Menggunakan kaedah kuasa dua terkecil untuk menganggarkan. Penghampiran data sumber mengikut pergantungan linear
KERJA KURSUS
disiplin: Sains Komputer
Topik: Kaedah penghampiran fungsi petak terkecil
pengenalan
1. Pernyataan masalah
Pengiraan menggunakan jadual yang dibuat dengan cara Microsoft Excel
Gambar rajah algoritma
Pengiraan dalam MathCad
Keputusan yang diperoleh menggunakan fungsi Linear
Pembentangan keputusan dalam bentuk graf
pengenalan
Tujuan kerja kursus adalah untuk mendalami pengetahuan dalam sains komputer, membangun dan menyatukan kemahiran dalam bekerja dengan pemproses hamparan Microsoft Excel dan produk perisian MathCAD dan aplikasi mereka untuk menyelesaikan masalah menggunakan komputer daripada bidang subjek berkaitan dengan penyelidikan.
Penghampiran (dari bahasa Latin "approximare" - "mendekati") - ungkapan anggaran mana-mana objek matematik(contohnya, nombor atau fungsi) melalui yang lain yang lebih ringkas, lebih senang digunakan atau lebih dikenali. DALAM penyelidikan saintifik penghampiran digunakan untuk menerangkan, menganalisis, membuat generalisasi dan seterusnya menggunakan keputusan empirikal.
Seperti yang diketahui, mungkin terdapat sambungan yang tepat (berfungsi) antara kuantiti, apabila satu nilai tertentu sepadan dengan satu nilai hujah, dan sambungan (korelasi) yang kurang tepat, apabila satu nilai khusus argumen sepadan dengan nilai anggaran atau set nilai fungsi tertentu, pada satu darjah atau yang lain berdekatan antara satu sama lain. Apabila menjalankan penyelidikan saintifik, memproses hasil pemerhatian atau eksperimen, anda biasanya perlu berurusan dengan pilihan kedua.
Apabila mengkaji kebergantungan kuantitatif pelbagai penunjuk, nilai yang ditentukan secara empirik, sebagai peraturan, terdapat beberapa kebolehubahan. Ia sebahagiannya ditentukan oleh kepelbagaian objek yang dikaji terhadap benda mati dan, terutamanya, alam semula jadi, dan sebahagiannya ditentukan oleh kesilapan pemerhatian dan pemprosesan kuantitatif bahan. Komponen terakhir tidak boleh selalu dihapuskan sepenuhnya; ia hanya boleh diminimumkan dengan pemilihan kaedah penyelidikan yang mencukupi dan kerja yang teliti. Oleh itu, apabila melakukan apa-apa kerja penyelidikan, masalah timbul untuk mengenal pasti sifat sebenar pergantungan penunjuk yang dikaji, tahap ini atau itu yang disembunyikan oleh kegagalan untuk mengambil kira kebolehubahan: nilai. Untuk tujuan ini, penghampiran digunakan - perihalan anggaran pergantungan korelasi pembolehubah oleh persamaan pergantungan fungsi yang sesuai yang menyampaikan kecenderungan utama pergantungan (atau "trend"nya).
Apabila memilih anggaran, seseorang harus meneruskan dari masalah penyelidikan khusus. Lazimnya, lebih mudah persamaan yang digunakan untuk penghampiran, lebih banyak anggaran perihalan hubungan yang terhasil. Oleh itu, adalah penting untuk membaca betapa pentingnya dan apa yang menyebabkan penyimpangan nilai tertentu dari arah aliran yang terhasil. Apabila menerangkan pergantungan secara empirik nilai-nilai tertentu anda boleh mencapai ketepatan yang lebih besar dengan menggunakan beberapa yang lebih kompleks, banyak persamaan parametrik. Walau bagaimanapun, tidak ada gunanya cuba menyampaikan dengan ketepatan maksimum sisihan rawak nilai dalam siri data empirikal tertentu. Adalah lebih penting untuk memahami corak umum itu dalam kes ini adalah paling logik dan dengan ketepatan yang boleh diterima dinyatakan dengan tepat oleh persamaan dua parameter fungsi kuasa. Oleh itu, apabila memilih kaedah penghampiran, penyelidik sentiasa membuat kompromi: dia memutuskan sejauh mana dalam kes ini adalah dinasihatkan dan sesuai untuk "mengorbankan" butiran dan, dengan itu, secara amnya pergantungan pembolehubah yang dibandingkan harus dinyatakan. Bersama-sama dengan mengenal pasti corak bertopeng sisihan rawak data empirikal daripada corak umum, anggaran juga membolehkan kami menyelesaikan banyak perkara lain tugas penting: memformalkan pergantungan yang didapati; cari nilai yang tidak diketahui pembolehubah bersandar secara interpolasi atau, jika sesuai, ekstrapolasi.
Dalam setiap tugas, keadaan masalah, data awal, borang untuk mengeluarkan keputusan dirumuskan, dan kebergantungan matematik utama untuk menyelesaikan masalah ditunjukkan. Selaras dengan kaedah untuk menyelesaikan masalah, algoritma penyelesaian dibangunkan, yang dibentangkan dalam bentuk grafik.
1. Pernyataan masalah
1. Menggunakan kaedah kuasa dua terkecil, anggaran fungsi yang diberikan dalam jadual:
a) polinomial darjah pertama;
b) polinomial darjah kedua;
c) pergantungan eksponen.
Untuk setiap pergantungan, hitung pekali determinisme.
Kira pekali korelasi (hanya dalam kes a).
Untuk setiap pergantungan, lukis garis arah aliran.
Gunakan fungsi LINEST untuk mengira ciri berangka bergantung kepada.
Bandingkan pengiraan anda dengan keputusan yang diperoleh menggunakan fungsi LINEST.
Buat kesimpulan yang manakah antara formula yang terhasil dengan cara yang terbaik menghampiri fungsi.
Tulis program dalam salah satu bahasa pengaturcaraan dan bandingkan hasil pengiraan dengan yang diperoleh di atas.
Pilihan 3. Fungsi diberikan dalam jadual. 1.
Jadual 1.
xyxyxyxyxy0.281.052.349.113.3329.434.2386.445.55187.540.872.872.6516.863.4137.454.8390.856.32200.451.7.451 .9299.066.66212.971.998.962.8318.993.8556.945.14120.457.13275.742.088.083.0623.754.0175.085.231 657. 25321.43
2. Formula pengiraan
Selalunya, apabila menganalisis data empirikal, terdapat keperluan untuk mencari hubungan berfungsi antara kuantiti x dan y, yang diperoleh hasil daripada pengalaman atau pengukuran.
Xi ( pembolehubah bebas) ditetapkan oleh penguji, dan yi, dipanggil nilai empirikal atau eksperimen, diperoleh hasil daripada eksperimen.
Bentuk analitikal hubungan fungsian yang wujud antara kuantiti x dan y biasanya tidak diketahui, jadi tugas yang penting secara praktikal timbul - untuk mencari formula empirikal
(di manakah parameter), nilai yang akan berbeza sedikit daripada nilai eksperimen.
Mengikut kaedah kuasa dua terkecil, pekali terbaik ialah pekali yang jumlah sisihan kuasa dua bagi fungsi empirikal yang ditemui daripada tetapkan nilai fungsi akan menjadi minimum.
menggunakan syarat yang perlu ekstrem bagi fungsi beberapa pembolehubah - kesamaan kepada sifar terbitan separa, cari set pekali yang menyampaikan fungsi minimum yang ditakrifkan oleh formula (2) dan dapatkan sistem biasa untuk menentukan pekali:
Oleh itu, mencari pekali dikurangkan kepada sistem penyelesaian (3).
Jenis sistem (3) bergantung pada kelas mana formula empirikal kami mencari pergantungan (1). Dalam kes pergantungan linear, sistem (3) akan mengambil bentuk:
Dalam kes pergantungan kuadratik, sistem (3) akan mengambil bentuk:
Dalam sesetengah kes, fungsi di mana pekali tidak pasti masuk secara tidak linear diambil sebagai formula empirikal. Dalam kes ini, kadangkala masalah itu boleh dilinearkan, i.e. mengurangkan kepada linear. Kebergantungan tersebut termasuk kebergantungan eksponen
di mana a1 dan a2 ialah pekali tak tertakrif.
Linearisasi dicapai dengan mengambil logaritma kesamaan (6), selepas itu kita memperoleh hubungan
Mari kita nyatakan dan, masing-masing, dengan dan, kemudian kebergantungan (6) boleh ditulis dalam bentuk, yang membolehkan kita menggunakan formula (4) dengan menggantikan a1 oleh dan oleh.
Graf kebergantungan fungsi yang dibina semula y(x) berdasarkan keputusan pengukuran (xi, yi), i=1,2,…,n dipanggil lengkung regresi. Untuk menyemak persetujuan lengkung regresi yang dibina dengan keputusan eksperimen, ciri berangka berikut biasanya diperkenalkan: pekali korelasi (pergantungan linear), nisbah korelasi dan pekali penentuan.
Pekali korelasi ialah ukuran hubungan linear antara sandaran pembolehubah rawak: Ia menunjukkan betapa baiknya, secara purata, satu daripada kuantiti boleh diwakili sebagai fungsi linear bagi yang lain.
Pekali korelasi dikira menggunakan formula:
di manakah purata nilai aritmetik masing-masing dalam x, y.
Pekali korelasi antara pembolehubah rawak dalam nilai mutlak tidak melebihi 1. Semakin hampir kepada 1, semakin hampir sambungan linear antara x dan y.
Dalam kes korelasi tak linear, nilai purata bersyarat terletak berhampiran garis melengkung. Dalam kes ini, adalah disyorkan untuk menggunakan nisbah korelasi sebagai ciri kekuatan sambungan, tafsiran yang tidak bergantung pada jenis pergantungan yang dikaji.
Nisbah korelasi dikira menggunakan formula:
di mana pengangka mencirikan serakan purata bersyarat di sekitar purata tanpa syarat.
Sentiasa. Kesamaan = sepadan dengan nilai rawak tidak berkorelasi; = jika dan hanya jika terdapat sambungan fungsi yang tepat antara x dan y. Dalam kes pergantungan linear y pada x, nisbah korelasi bertepatan dengan kuasa dua pekali korelasi. Nilai digunakan sebagai penunjuk sisihan regresi daripada linear.
Nisbah korelasi ialah ukuran korelasi antara y dan x dalam sebarang bentuk, tetapi tidak dapat memberi gambaran tentang tahap kedekatan data empirikal dengan bentuk khas. Untuk mengetahui seberapa tepat lengkung yang dibina mencerminkan data empirikal, ciri lain diperkenalkan - pekali penentuan.
di mana Srest = - jumlah baki segi empat sama, mencirikan sisihan data eksperimen daripada yang teori.total - jumlah penuh segi empat sama, di mana nilai purata ialah yi.
Jumlah regresi kuasa dua yang mencirikan sebaran data.
Lebih kecil jumlah baki kuasa dua berbanding dengan jumlah keseluruhan segi empat sama, itu lebih nilai pekali penentuan r2, yang menunjukkan betapa baiknya persamaan yang diperolehi menggunakan analisis regresi, menerangkan hubungan antara pembolehubah. Jika ia sama dengan 1, maka terdapat korelasi lengkap dengan model, i.e. tiada perbezaan antara nilai sebenar dan anggaran y. Dalam kes yang bertentangan, jika pekali penentuan ialah 0, maka persamaan regresi tidak berjaya meramalkan nilai y.
Pekali determinisme sentiasa tidak melebihi nisbah korelasi. Dalam kes apabila kesaksamaan dipenuhi, kita boleh menganggap bahawa formula empirikal yang dibina paling tepat menggambarkan data empirikal.
3. Pengiraan menggunakan jadual yang dibuat menggunakan Microsoft Excel
Untuk menjalankan pengiraan, adalah dinasihatkan untuk menyusun data dalam bentuk jadual 2, menggunakan alat pemproses meja Microsoft Excel.
Jadual 2
ABCDEFGHI10,281,050,07840,2940,0219520,0061470,082320,048790,01366120,872,870,75692,49690,6585038,572030,572030 5131,656,432,722510,60954,4921257,41200617,505681,8609753,07060841 , 998,963,960117,83047,88059915,6823935,48252,192774,36361352,088,084,326416,80648,99891243 2 ,349,115,475621,317412,812929,982249,882722,2093735,16993272,6516 , 867,022544,67918,6096349,31551118,39942,8249447,48610182,7717,977,672949,776921,25393892 3 18,998,008953,741722,6651964,14248152,0892,9439138, 331272103,0623,759,363672,67528,6526287,677222,38553,1675839,692803113,3329,4311,088998,001934,9236,923 01511,26211123,4137,4511,6281127,704539,65182135,2127435 , 47233.62300712.35445133.5542.4412.6025150.66244.73888158.823534.85013.74809113.30572143 , 7065843,99324,04199815,56169154,0175,0816,0801301,070864 , 4812258.56961207.2944.31855417.3174164.2386.4417.8929365.641275.68697320 3 8.8055112.6786544.23762119.4314.5092121.77948184.9299.0624, 2064487,3752119,0955585, 94982397,8864,59572622,61097195,14120,4526,4196619,113135,7967697,99533182,2414,79123524,62695293 143,0557748,18113819,8324,93913925,8317215, 55187,5430,80251040, 847170,9539948,7945776,7015,23399229,04866226,32200,4539,94241266,844252,4361595,3958006,4545,392 4,35561418,38295,40831967,4199446,4125, 36115135,70527247,13275 ,7450,83691966,026362,46712584,3914017,775,61945840,06674257,25321,4352,56252330,368381,0781276 652695,932089,99453,310511850,652417,56813982, 9971327.3490.97713415.0797 S U M M S Mari kita terangkan bagaimana Jadual 2 disusun. Langkah 1. Dalam sel A1:A25 kita masukkan nilai xi. Langkah 2. Dalam sel B1:B25 kita masukkan nilai yi. Langkah 3. Dalam sel C1, masukkan formula = A1^2. Langkah 4. Formula ini disalin ke dalam sel C1:C25. Langkah 5. Dalam sel D1 masukkan formula = A1 * B1. Langkah 6. Formula ini disalin ke dalam sel D1:D25. Langkah 7. Dalam sel F1, masukkan formula = A1^4. Langkah 8. Formula ini disalin ke dalam sel F1:F25. Langkah 9. Dalam sel G1, masukkan formula = A1^2*B1. Langkah 10. Formula ini disalin ke dalam sel G1:G25. Langkah 11. Dalam sel H1, masukkan formula = LN(B1). Langkah 12. Formula ini disalin ke dalam sel H1:H25. Langkah 13. Dalam sel I1 masukkan formula = A1*LN(B1). Langkah 14. Formula ini disalin ke dalam sel I1:I25. Kami melakukan langkah seterusnya menggunakan penjumlahan automatik S .
Langkah 15. Dalam sel A26, masukkan formula = SUM(A1:A25). Langkah 16. Dalam sel B26, masukkan formula = SUM(B1:B25). Langkah 17. Dalam sel C26, masukkan formula = SUM(C1:C25). Langkah 18. Dalam sel D26, masukkan formula = SUM(D1:D25). Langkah 19. Dalam sel E26, masukkan formula = SUM(E1:E25). Langkah 20. Dalam sel F26, masukkan formula = SUM(F1:F25). Langkah 21. Dalam sel G26, masukkan formula = SUM(G1:G25). Langkah 22. Dalam sel H26, masukkan formula = SUM(H1:H25). Langkah 23. Dalam sel I26, masukkan formula = SUM(I1:I25). Mari kita anggaran fungsinya fungsi linear. Untuk menentukan pekali dan kita akan menggunakan sistem (4). Menggunakan jumlah Jadual 2, yang terletak dalam sel A26, B26, C26 dan D26, kami menulis sistem (4) dalam bentuk menyelesaikan yang mana, kita dapat dan. Sistem ini telah diselesaikan menggunakan kaedah Cramer. Intipatinya adalah seperti berikut. Pertimbangkan sistem n algebra persamaan linear dengan n yang tidak diketahui: Penentu sistem ialah penentu matriks sistem: Mari kita nyatakan - penentu yang diperoleh daripada penentu sistem Δ dengan menggantikan lajur ke-j dengan lajur Oleh itu, penghampiran linear mempunyai bentuk Kami menyelesaikan sistem (11) menggunakan Microsoft Excel. Keputusan dibentangkan dalam Jadual 3. Jadual 3 ABCDE282595.932089.992995.93453.310511850.653031 Matriks songsang320.212802-0.04503a1=-88.9208133-0.045030.021476.59=476. Dalam Jadual 3, dalam sel A32:B33 formula ditulis (=MOBR(A28:B29)). Dalam sel E32:E33 formula ditulis (= MULTIPLE(A32:B33),(C28:C29)). Seterusnya kita menganggarkan fungsi fungsi kuadratik. Untuk menentukan pekali a1, a2 dan a3, kami menggunakan sistem (5). Menggunakan jumlah Jadual 2, yang terletak dalam sel A26, B26, C26, D26, E26, F26, G26, kami menulis sistem (5) dalam bentuk menyelesaikan yang mana, kita dapat a1=10.663624, dan Oleh itu, penghampiran kuadratik mempunyai bentuk Kami menyelesaikan sistem (16) menggunakan Microsoft Excel. Keputusan dibentangkan dalam Jadual 4. Jadual 4 ABCDEF362595,93453,31052089,993795,93453,31052417,56811850,65538453,31052417,56813982,9971327,3071327,3453948 033846a1=10.66362442-0.314390,184534-0.021712a2=-18, 924512430.033846-0.021710.002728a3=8.027230
Dalam jadual 4, dalam sel A41:C43 formula ditulis (=MOBR(A36:C38)). Dalam sel F41:F43 formula ditulis (= MULTIPLE(A41:C43),(D36:D38)). Sekarang mari kita anggaran fungsi dengan fungsi eksponen. Untuk menentukan pekali dan, kami mengambil logaritma nilai dan, menggunakan jumlah Jadual 2, yang terletak dalam sel A26, C26, H26 dan I26, kami memperoleh sistem Setelah menyelesaikan sistem (18), kami memperoleh dan. Selepas potentiation kita dapat. Oleh itu, penghampiran eksponen mempunyai bentuk Kami menyelesaikan sistem (18) menggunakan Microsoft Excel. Keputusan dibentangkan dalam Jadual 5. Jadual 5 BCDEF462595.9390.977134795.93453.3105415.07974849 Matriks songsang=0.667679 500.212802-0.04503a2=0.774368 51-30.61a8 51-30.61a
Dalam sel A50:B51 formula ditulis (=MOBR(A46:B47)). Dalam sel E51 formula =EXP(E49) ditulis. Mari kita hitung min aritmetik menggunakan formula: Keputusan pengiraan menggunakan Microsoft Excel dibentangkan dalam Jadual 6. Jadual 6 BC54Xav=3.837255Yav=83.5996 Dalam sel B54 formula = A26/25 ditulis. Dalam sel B55 formula ditulis = B26/25 Jadual 7 ABJKLMNO10,281,05293,645412,653676814,4365987,97624,444081,88177520,872,87239,54098,8042766517,268274 56,43168,78534,7838445955,147448,035726,395820,32073741, 998,96137,87433,4121485571,0770,7358817,368220,02062652,088,08132,7033,0877525703,2112,138714,2614 52582,2416085548,70151,488211,4985887,99584272,6516, 8679,233251,4094444454,174178,5730,000622,83382582,7717,9770,039911,1389164307,244311,46313,46313,46313,477985 4791,0144524174,4373,4915,7914362,382273103,0623,7546 , 515110.604043581.975620.344117.375498.423061113.3329.4327.474820.2572522934 1 10,18252129,786725,90914,090409102,2541133,5542,4411, 821040, 0824841694.113797 0,02986 72.58358265.3212126.0007996.9257164.2386.441, 1157090,1542928 ,067872219,6288148,75781214,778174,8390,857,1981970,98565252,56831397,703245,695876,64891184 241103,718163,9776121,868195,14120,4548,00871, 6972881357, 952471,908425,17881258,6007205,23139,6578,0671,9398923141,64743,1629470,45155769,9408215,51187 725,38421200,5291951,06226,32200,45290,11626,16429613654, 0227 , 28786126,28273577,409236,66212,97365,18687,968216736,76,0387557670470470470470. , 1469344766,92257,25321,43811,667611,647256563,37121, 842677, 966445516,82695,932089,93830,94585,207919964427404,823786,286115678,1C u m m Jumlah bakiXY linear.quad.exposure Mari kita terangkan bagaimana ia disusun. Sel A1:A26 dan B1:B26 sudah diisi. Langkah 1. Dalam sel J1 masukkan formula = (A1-$B$54)*(B1-$B$55). Langkah 2. Formula ini disalin ke dalam sel J2:J25. Langkah 3. Dalam sel K1, masukkan formula = (A1-$B$54)^2. Langkah 4. Formula ini disalin ke dalam sel k2:K25. Langkah 5. Dalam sel L1, masukkan formula = (B1-$B$55)^2. Langkah 6. Formula ini disalin ke dalam sel L2:L25. Langkah 7. Dalam sel M1, masukkan formula = ($E$32+$E$33*A1-B1)^2. Langkah 8. Formula ini disalin ke dalam sel M2:M25. Langkah 9. Dalam sel N1, masukkan formula = ($F$41+$F$42*A1+$F$43*A1^2-B1)^2. Langkah 10. Formula ini disalin ke dalam sel N2:N25. Langkah 11. Dalam sel O1, masukkan formula = ($E$51*EXP($E$50*A1)-B1)^2. Langkah 12. Formula ini disalin ke dalam sel O2:O25. Kami melakukan langkah seterusnya menggunakan penjumlahan automatik S .
Langkah 13. Dalam sel J26, masukkan formula = SUM(J1:J25). Langkah 14. Dalam sel K26, masukkan formula = SUM(K1:K25). Langkah 15. Dalam sel L26, masukkan formula = SUM(L1:L25). Langkah 16. Dalam sel M26, masukkan formula = SUM(M1:M25). Langkah 17. Dalam sel N26, masukkan formula = SUM(N1:N25). Langkah 18. Dalam sel O26, masukkan formula = SUM(O1:O25). Sekarang mari kita hitung pekali korelasi menggunakan formula (8) (hanya untuk penghampiran linear) dan pekali penentuan menggunakan formula (10). Keputusan pengiraan menggunakan Microsoft Excel dibentangkan dalam Jadual 8. Jadual 8 AB57 Pekali korelasi 0.92883358 Pekali penentuan (penghampiran linear) 0.8627325960 Pekali penentuan (penghampiran kuadratik) 0.9810356162 Pekali penentuan (penghampiran eksponen) 78.630 Dalam sel E57 formula ditulis =J26/(K26*L26)^(1/2). Dalam sel E59 formula = 1-M26/L26 ditulis. Dalam sel E61 formula = 1-N26/L26 ditulis. Dalam sel E63 formula = 1-O26/L26 ditulis. Analisis keputusan pengiraan menunjukkan bahawa penghampiran kuadratik paling tepat menggambarkan data eksperimen. Gambar rajah algoritma nasi. 1. Gambar rajah algoritma untuk atur cara pengiraan. 5. Pengiraan dalam MathCad Regresi linear · garis (x, y) - vektor dua elemen (b, a) pekali regresi linear b+ax; · x ialah vektor data hujah sebenar; · y ialah vektor nilai data sebenar dengan saiz yang sama. Rajah 2. Regresi polinomial bermaksud menghampiri data (x1, y1) dengan polinomial ijazah kth Untuk k=i polinomial ialah garis lurus, untuk k=2 ia adalah parabola, untuk k=3 ia adalah parabola padu, dsb. Sebagai peraturan, dalam amalan k<5. · regresi (x,y,k) - vektor pekali untuk membina regresi polinomial data; · interp (s,x,y,t) - hasil regresi polinomial; · s=regres(x,y,k); · x ialah vektor data hujah sebenar, unsur-unsurnya disusun dalam tertib menaik; · y ialah vektor nilai data sebenar dengan saiz yang sama; · k - tahap polinomial regresi (integer positif); · t ialah nilai hujah polinomial regresi. Rajah 3 Sebagai tambahan kepada yang dibincangkan, beberapa lagi jenis regresi tiga parameter dibina ke dalam Mathcad pelaksanaannya agak berbeza daripada pilihan regresi di atas kerana bagi mereka, sebagai tambahan kepada tatasusunan data, adalah perlu untuk menentukan beberapa nilai awal; daripada pekali a, b, c. Gunakan jenis regresi yang sesuai jika anda mempunyai idea yang baik tentang jenis pergantungan yang menerangkan set data anda. Apabila jenis regresi tidak menggambarkan urutan data dengan baik, hasilnya selalunya tidak memuaskan dan malah sangat berbeza bergantung pada pilihan nilai awal. Setiap fungsi menghasilkan vektor parameter yang diperhalusi a, b, c. Keputusan diperoleh menggunakan fungsi LINEST Mari kita lihat tujuan fungsi LINEST. Fungsi ini menggunakan kuasa dua terkecil untuk mengira garis lurus yang paling sesuai dengan data yang tersedia. Fungsi mengembalikan tatasusunan yang menerangkan baris yang terhasil. Persamaan untuk garis lurus ialah: M1x1 + m2x2 + ... + b atau y = mx + b, perisian microsoft algoritma jadual Untuk mendapatkan keputusan, anda perlu membuat formula jadual yang akan menduduki 5 baris dan 2 lajur. Selang ini boleh didapati di mana-mana pada lembaran kerja. Semasa selang waktu ini, anda perlu memasukkan fungsi LINEST. Akibatnya, semua sel selang A65:B69 harus diisi (seperti ditunjukkan dalam Jadual 9). Jadual 9. АВ6544,95997-88,9208663,73946615,92346670,86273234,5183168144,55492369172239,227404,82 Mari kita terangkan tujuan beberapa kuantiti yang terdapat dalam Jadual 9. Nilai yang terletak dalam sel A65 dan B65 mencirikan kecerunan dan anjakan, masing-masing - pekali penentuan F - bilangan darjah kebebasan - jumlah sisa kuasa dua. Pembentangan keputusan dalam bentuk graf nasi. 4. Graf penghampiran linear nasi. 5. Graf penghampiran kuadratik nasi. 6. Graf penghampiran eksponen Kesimpulan Marilah kita membuat kesimpulan berdasarkan hasil data yang diperolehi. Analisis keputusan pengiraan menunjukkan bahawa penghampiran kuadratik paling sesuai menerangkan data eksperimen, kerana garis arah aliran untuknya paling tepat menggambarkan tingkah laku fungsi di kawasan ini. Membandingkan keputusan yang diperoleh menggunakan fungsi LINEST, kita melihat bahawa ia sepenuhnya bertepatan dengan pengiraan yang dilakukan di atas. Ini menunjukkan bahawa pengiraan adalah betul. Keputusan yang diperoleh menggunakan program MathCad sepenuhnya bertepatan dengan nilai yang diberikan di atas. Ini menunjukkan ketepatan pengiraan. Senarai sastera terpakai
Pengiraan, atau penghampiran- kaedah saintifik yang terdiri daripada menggantikan beberapa objek dengan yang lain, dari satu segi atau yang lain dekat dengan yang asal, tetapi lebih mudah.
Penghampiran membolehkan anda mengkaji ciri berangka dan sifat kualitatif objek, mengurangkan masalah kepada kajian objek yang lebih mudah atau lebih mudah (contohnya, ciri-ciri yang mudah dikira atau sifatnya sudah diketahui). Dalam teori nombor, penghampiran Diophantine dikaji, khususnya, penghampiran nombor tidak rasional oleh yang rasional. Dalam geometri, anggaran lengkung oleh garis putus-putus dipertimbangkan. Beberapa cabang matematik pada dasarnya menumpukan sepenuhnya kepada penghampiran, contohnya, teori penghampiran fungsi, kaedah analisis berangka.
Dalam erti kata kiasan ia digunakan dalam falsafah sebagai kaedah penghampiran, petunjuk yang bersifat anggaran, bukan muktamad. Sebagai contoh, dalam pengertian ini, istilah "penghampiran" digunakan secara aktif oleh Søren Kierkegaard (1813-1855) dalam "Final Unscientific Afterword ...".
Jika fungsi itu digunakan hanya untuk interpolasi, maka sudah cukup untuk menganggarkan titik dengan polinomial, katakan, darjah kelima:
Keadaan ini jauh lebih rumit jika data semula jadi di atas berfungsi sebagai titik rujukan untuk mengenal pasti undang-undang perubahan dengan syarat sempadan yang diketahui. Contohnya: dan 
. Di sini kualiti hasil bergantung kepada profesionalisme penyelidik. Dalam kes ini, undang-undang yang paling sesuai ialah:
Untuk pemilihan parameter persamaan yang optimum, kaedah kuasa dua terkecil biasanya digunakan.
Kaedah kuasa dua terkecil (LSM,InggerisBiasalah Paling tidak Segi empat , O.L.S. ) - kaedah matematik yang digunakan untuk menyelesaikan pelbagai masalah, berdasarkan meminimumkan jumlah kuasa dua fungsi tertentu pembolehubah yang dikehendaki. Ia boleh digunakan untuk "menyelesaikan" sistem persamaan yang terlalu ditentukan (apabila bilangan persamaan melebihi bilangan yang tidak diketahui), untuk mencari penyelesaian dalam kes sistem persamaan tak linear biasa (tidak ditentukan terlebih dahulu), untuk menganggarkan nilai titik dengan beberapa fungsi. OLS ialah salah satu kaedah asas analisis regresi untuk menganggar parameter model regresi yang tidak diketahui daripada data sampel.
Jika kuantiti fizik tertentu bergantung kepada kuantiti lain, maka pergantungan ini boleh dikaji dengan mengukur y pada nilai x yang berbeza. Hasil daripada pengukuran, beberapa nilai diperoleh:
x 1, x 2, ..., x i, ..., x n;
y 1 , y 2 , ..., y i , ... , y n .
Berdasarkan data eksperimen sedemikian, adalah mungkin untuk membina graf kebergantungan y = ƒ(x). Lengkung yang terhasil memungkinkan untuk menilai bentuk fungsi ƒ(x). Walau bagaimanapun, pekali malar yang memasuki fungsi ini masih tidak diketahui. Mereka boleh ditentukan menggunakan kaedah kuasa dua terkecil. Titik eksperimen, sebagai peraturan, tidak terletak tepat pada lengkung. Kaedah kuasa dua terkecil memerlukan jumlah kuasa dua sisihan titik eksperimen daripada lengkung, i.e.
2 adalah yang terkecil.
Dalam amalan, kaedah ini paling kerap (dan paling mudah) digunakan dalam kes hubungan linear, i.e. bila y = kx atau
y = a + bx.
Kebergantungan linear sangat meluas dalam fizik. Dan walaupun perhubungan itu bukan linear, mereka biasanya cuba membina graf untuk mendapatkan garis lurus. Sebagai contoh, jika diandaikan bahawa indeks biasan kaca n berkaitan dengan panjang gelombang cahaya λ oleh hubungan n = a + b/λ 2, maka pergantungan n pada λ -2 diplotkan pada graf. Dalam amalan, kaedah ini paling kerap (dan paling mudah) digunakan dalam kes hubungan linear, i.e. bila Pertimbangkan kebergantungan
.
(garis lurus yang melalui asal). Mari kita susun nilai φ - jumlah kuasa dua sisihan titik kita dari garis lurus
Nilai φ sentiasa positif dan ternyata lebih kecil semakin dekat titik kita dengan garis lurus. Kaedah kuasa dua terkecil menyatakan bahawa nilai untuk k harus dipilih supaya φ mempunyai minimum
atau (19)
Pengiraan menunjukkan bahawa ralat punca-min-kuasa dua dalam menentukan nilai k adalah sama dengan
, (20) dengan n ialah bilangan ukuran. Sekarang mari kita pertimbangkan kes yang lebih sukar, apabila mata mesti memenuhi formula y = a + bx
(garis lurus yang tidak melalui asal).
Mari kita semula bentuk kuadratik φ, sama dengan jumlah sisihan kuasa dua titik x i, y i dari garis lurus
dan cari nilai a dan b yang mana φ mempunyai minimum
;
.
Penyelesaian bersama persamaan ini memberi
(21)
Punca ralat purata kuasa dua bagi penentuan a dan b adalah sama
(23)
. (24)
Apabila memproses keputusan pengukuran menggunakan kaedah ini, adalah mudah untuk meringkaskan semua data dalam jadual di mana semua jumlah yang termasuk dalam formula (19)–(24) dikira secara awal. Bentuk jadual ini diberikan dalam contoh di bawah.
Contoh 1. Persamaan asas dinamik gerakan putaran ε = M/J (garis lurus yang melalui asal koordinat) telah dikaji. Pada nilai yang berbeza pada masa M, pecutan sudut ε badan tertentu diukur. Ia diperlukan untuk menentukan momen inersia badan ini. Keputusan pengukuran momen daya dan pecutan sudut disenaraikan dalam lajur kedua dan ketiga jadual 5.
Jadual 5
Menggunakan formula (19) kita tentukan:
.
Untuk menentukan punca ralat min kuasa dua, kami menggunakan formula (20)
0.005775 kg-1 · m -2 .
Mengikut formula (18) yang kita ada
S J = (2.996 0.005775)/0.3337 = 0.05185 kg m 2 .
Setelah menetapkan kebolehpercayaan P = 0.95, menggunakan jadual pekali Pelajar untuk n = 5, kita dapati t = 2.78 dan tentukan ralat mutlak ΔJ = 2.78 0.05185 = 0.1441 ≈ 0.2 kg m 2 .
Mari tulis keputusan dalam borang:
J = (3.0 ± 0.2) kg m 2 ;
Contoh 2. Mari kita hitung pekali suhu rintangan logam menggunakan kaedah kuasa dua terkecil. Rintangan bergantung secara linear pada suhu
R t = R 0 (1 + α t°) = R 0 + R 0 α t°.
Istilah bebas menentukan rintangan R 0 pada suhu 0 ° C, dan cerun adalah hasil darab pekali suhu α dan rintangan R 0 .
Keputusan pengukuran dan pengiraan diberikan dalam jadual ( lihat jadual 6).
Jadual 6
|
(r - bt - a) 2 .10 -6 |
|||||||
Menggunakan formula (21), (22) kita tentukan
R 0 = ¯R- α R 0 ¯ t = 1.4005 - 0.002645 85.83333 = 1.1735 Ohm .
Mari cari ralat dalam takrifan α. Oleh kerana , maka mengikut formula (18) kita mempunyai:
.
Menggunakan formula (23), (24) kita ada
;
0.014126 Ohm.
Setelah menetapkan kebolehpercayaan kepada P = 0.95, menggunakan jadual pekali Pelajar untuk n = 6, kita dapati t = 2.57 dan tentukan ralat mutlak Δα = 2.57 0.000132 = 0.000338 hujan batu -1 .
α = (23 ± 4) 10 -4 hujan batu-1 pada P = 0.95.
Contoh 3. Ia diperlukan untuk menentukan jejari kelengkungan kanta menggunakan gelang Newton. Jejari gelang Newton r m diukur dan bilangan gelang m ini ditentukan. Jejari gelang Newton berkaitan dengan jejari kelengkungan kanta R dan nombor gelang mengikut persamaan.
r 2 m = mλR - 2d 0 R,
dengan d 0 ialah ketebalan jurang antara kanta dan plat selari satah (atau ubah bentuk kanta),
λ ialah panjang gelombang cahaya tuju.
λ = (600 ± 6) nm; r 2 m = y; m = x; λR = b; -2d 0 R = a,
maka persamaan akan mengambil bentuk Sekarang mari kita pertimbangkan kes yang lebih sukar, apabila mata mesti memenuhi formula.
Keputusan pengukuran dan pengiraan dimasukkan ke dalam jadual 7.
Jadual 7
|
y = r 2, 10 -2 mm 2 |
y - bx - a, 10 -4 |
(y - bx - a) 2 , 10 -6 |
|||||
Kami mengira:
1. a dan b mengikut formula (21), (22).
a = ¯r 2 - b¯m = (0.208548333 - 0.0594957 3.5) = 0.0003133 mm 2 .
2. Kira ralat punca-min-kuasa dua untuk nilai b dan a menggunakan formula (23), (24)
3. Dengan kebolehpercayaan P = 0.95, menggunakan jadual pekali Pelajar untuk n = 6, kita dapati t = 2.57 dan tentukan ralat mutlak
Δb = 2.57 · 0.000211179 = 6·10 -4 mm 2 ;
Δa = 2.57 0.000822424 = 3 10 -3 mm 2 .
4. Catatkan keputusan
b = (595 ± 6) 10 -4 mm 2 pada P = 0.95;
a = (0.3 ± 3)·10 -3 mm 2 pada P = 0.95;
Daripada keputusan eksperimen yang diperolehi, ia mengikuti bahawa, dalam ralat eksperimen ini, garis lurus r 2 m = ƒ(m) melalui asalan koordinat, kerana jika ralat dalam nilai mana-mana parameter ternyata setanding atau melebihi nilai parameter, ini bermakna kemungkinan besar nilai sebenar parameter ini adalah sifar.
Di bawah syarat eksperimen ini, nilai a tidak menarik. Oleh itu, kami tidak akan menanganinya lagi.
5. Kira jejari kelengkungan kanta:
R = b / λ = 594.5 / 6 = 99.1 mm.
6. Oleh kerana ralat sistematik diberikan untuk panjang gelombang, mari kita juga mengira ralat sistematik untuk R menggunakan formula (16), dengan mengambil sebagai ralat sistematik bagi kuantiti b ralat rawaknya Δb.
Kami menulis hasil akhir R = (99 ± 2) mmε ≈ 3% pada P = 0.95.
Contoh.
Data eksperimen tentang nilai pembolehubah X Dan di diberikan dalam jadual.
Hasil daripada penjajaran mereka, fungsi itu diperolehi 
menggunakan kaedah kuasa dua terkecil, anggaran data ini dengan pergantungan linear y=ax+b(cari parameter A Dan b). Ketahui yang mana antara dua baris yang lebih baik (dalam erti kata kaedah kuasa dua terkecil) menjajarkan data eksperimen. Buat lukisan.
Intipati kaedah kuasa dua terkecil (LSM).
Tugasnya adalah untuk mencari pekali pergantungan linear di mana fungsi dua pembolehubah A Dan b
mengambil nilai terkecil. Iaitu, diberi A Dan b jumlah sisihan kuasa dua data eksperimen daripada garis lurus yang ditemui akan menjadi yang terkecil. Ini adalah titik keseluruhan kaedah kuasa dua terkecil.
Oleh itu, menyelesaikan contoh adalah untuk mencari ekstrem fungsi dua pembolehubah.
Menerbitkan formula untuk mencari pekali.
Sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui disusun dan diselesaikan. Mencari terbitan separa bagi suatu fungsi 
oleh pembolehubah A Dan b, kita samakan derivatif ini kepada sifar. 
Kami menyelesaikan sistem persamaan yang terhasil menggunakan sebarang kaedah (contohnya dengan kaedah penggantian atau kaedah Cramer) dan dapatkan formula untuk mencari pekali menggunakan kaedah kuasa dua terkecil (LSM). 
Diberi A Dan b fungsi 
mengambil nilai terkecil. Bukti fakta ini diberikan di bawah dalam teks di penghujung halaman.
Itulah keseluruhan kaedah kuasa dua terkecil. Formula untuk mencari parameter a mengandungi jumlah ,,, dan parameter n- jumlah data eksperimen. Kami mengesyorkan untuk mengira nilai amaun ini secara berasingan. Pekali b ditemui selepas pengiraan a.
Sudah tiba masanya untuk mengingati contoh asal.
Penyelesaian.
Dalam contoh kita n=5. Kami mengisi jadual untuk kemudahan mengira jumlah yang termasuk dalam formula pekali yang diperlukan. 
Nilai dalam baris keempat jadual diperoleh dengan mendarabkan nilai baris ke-2 dengan nilai baris ke-3 untuk setiap nombor i.
Nilai dalam baris kelima jadual diperoleh dengan mengkuadratkan nilai dalam baris ke-2 untuk setiap nombor i.
Nilai dalam lajur terakhir jadual adalah jumlah nilai di seluruh baris.
Kami menggunakan formula kaedah kuasa dua terkecil untuk mencari pekali A Dan b. Kami menggantikan nilai yang sepadan dari lajur terakhir jadual kepada mereka: 
Oleh itu, y = 0.165x+2.184- garis lurus anggaran yang dikehendaki.
Ia kekal untuk mengetahui yang mana satu baris y = 0.165x+2.184 atau 
lebih baik menghampiri data asal, iaitu anggaran menggunakan kaedah kuasa dua terkecil.
Anggaran ralat kaedah kuasa dua terkecil.
Untuk melakukan ini, anda perlu mengira jumlah sisihan kuasa dua bagi data asal daripada baris ini 
Dan 
, nilai yang lebih kecil sepadan dengan garis yang lebih baik menghampiri data asal dalam erti kata kaedah kuasa dua terkecil. 
Sejak , kemudian lurus y = 0.165x+2.184 lebih baik menghampiri data asal.
Ilustrasi grafik kaedah kuasa dua terkecil (LS).
Semuanya jelas kelihatan pada graf. Garis merah ialah garis lurus yang ditemui y = 0.165x+2.184, garis biru ialah 
, titik merah jambu adalah data asal.
Dalam amalan, apabila memodelkan pelbagai proses - khususnya, ekonomi, fizikal, teknikal, sosial - satu atau kaedah lain untuk mengira nilai anggaran fungsi daripada nilai yang diketahui pada titik tetap tertentu digunakan secara meluas.
Masalah penghampiran fungsi jenis ini sering timbul:
apabila membina formula anggaran untuk mengira nilai kuantiti ciri proses yang dikaji menggunakan data jadual yang diperoleh hasil daripada eksperimen;
dalam penyepaduan berangka, pembezaan, menyelesaikan persamaan pembezaan, dsb.;
jika perlu, hitung nilai fungsi pada titik perantaraan selang yang dipertimbangkan;
apabila menentukan nilai kuantiti ciri proses di luar selang yang dipertimbangkan, khususnya semasa meramal.
Jika, untuk memodelkan proses tertentu yang ditentukan oleh jadual, kami membina fungsi yang lebih kurang menerangkan proses ini berdasarkan kaedah kuasa dua terkecil, ia akan dipanggil fungsi penghampiran (regresi), dan masalah membina fungsi menghampiri itu sendiri akan dipanggil. masalah anggaran.
Artikel ini membincangkan keupayaan pakej MS Excel untuk menyelesaikan masalah jenis ini, di samping itu, ia menyediakan kaedah dan teknik untuk membina (mencipta) regresi untuk fungsi jadual (yang merupakan asas analisis regresi).
Excel mempunyai dua pilihan untuk membina regresi.
Menambah regresi terpilih (garis arah aliran) pada rajah yang dibina berdasarkan jadual data untuk ciri proses yang dikaji (hanya tersedia jika rajah telah dibina);
Menggunakan fungsi statistik terbina dalam lembaran kerja Excel, membolehkan anda mendapatkan regresi (garisan aliran) terus daripada jadual data sumber.
Menambah garis arah aliran pada carta
Untuk jadual data yang menerangkan proses dan diwakili oleh gambar rajah, Excel mempunyai alat analisis regresi yang berkesan yang membolehkan anda:
bina berdasarkan kaedah kuasa dua terkecil dan tambahkan lima jenis regresi pada rajah, yang memodelkan proses yang dikaji dengan pelbagai darjah ketepatan;
tambahkan persamaan regresi yang dibina pada rajah;
tentukan tahap kesesuaian regresi yang dipilih dengan data yang dipaparkan pada carta.
Berdasarkan data carta, Excel membolehkan anda memperoleh jenis regresi linear, polinomial, logaritma, kuasa, eksponen, yang ditentukan oleh persamaan:
y = y(x)
di mana x ialah pembolehubah bebas yang sering mengambil nilai jujukan nombor asli (1; 2; 3; ...) dan menghasilkan, sebagai contoh, kira detik masa proses yang dikaji (ciri).
1 . Regresi linear adalah baik untuk memodelkan ciri-ciri yang nilainya meningkat atau menurun pada kadar yang tetap. Ini adalah model paling mudah untuk dibina untuk proses yang dikaji. Ia dibina mengikut persamaan:
y = mx + b
di mana m ialah tangen bagi cerun regresi linear kepada paksi-x; b - koordinat titik persilangan regresi linear dengan paksi ordinat.
2 . Garis arah aliran polinomial berguna untuk menerangkan ciri yang mempunyai beberapa ekstrem yang berbeza (maksima dan minima). Pilihan darjah polinomial ditentukan oleh bilangan ekstrem ciri yang dikaji. Oleh itu, polinomial darjah kedua boleh menggambarkan proses yang hanya mempunyai satu maksimum atau minimum; polinomial darjah ketiga - tidak lebih daripada dua ekstrem; polinomial darjah keempat - tidak lebih daripada tiga ekstrem, dsb.
Dalam kes ini, garis arah aliran dibina mengikut persamaan:
y = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6
di mana pekali c0, c1, c2,... c6 adalah pemalar yang nilainya ditentukan semasa pembinaan.
3 . Garis arah aliran logaritma berjaya digunakan apabila memodelkan ciri-ciri yang nilainya pada mulanya berubah dengan cepat dan kemudian secara beransur-ansur stabil.
y = c ln(x) + b
4 . Garis arah aliran undang-undang kuasa memberikan hasil yang baik jika nilai hubungan yang dikaji dicirikan oleh perubahan berterusan dalam kadar pertumbuhan. Contoh pergantungan sedemikian ialah graf pergerakan seragam kereta. Jika terdapat sifar atau nilai negatif dalam data, anda tidak boleh menggunakan garis aliran kuasa.
Dibina mengikut persamaan:
y = c xb
di mana pekali b, c ialah pemalar.
5 . Garis arah aliran eksponen harus digunakan apabila kadar perubahan dalam data terus meningkat. Untuk data yang mengandungi nilai sifar atau negatif, anggaran jenis ini juga tidak berkenaan.
Dibina mengikut persamaan:
y = c ebx
di mana pekali b, c ialah pemalar.
Apabila memilih garis arah aliran, Excel secara automatik mengira nilai R2, yang mencirikan kebolehpercayaan anggaran: semakin hampir nilai R2 dengan perpaduan, lebih pasti garis aliran menghampiri proses yang dikaji. Jika perlu, nilai R2 sentiasa boleh dipaparkan pada carta.
Ditentukan oleh formula:
Untuk menambah garis arah aliran pada siri data:
aktifkan carta berdasarkan satu siri data, iaitu klik dalam kawasan carta. Item Rajah akan muncul dalam menu utama;
Selepas mengklik pada item ini, menu akan muncul pada skrin di mana anda harus memilih arahan Add trend line.
Tindakan yang sama boleh dilaksanakan dengan mudah dengan menggerakkan penuding tetikus ke atas graf yang sepadan dengan salah satu siri data dan klik kanan; Dalam menu konteks yang muncul, pilih arahan Tambah garis arah aliran. Kotak dialog Trendline akan muncul pada skrin dengan tab Type dibuka (Gamb. 1).
Selepas ini anda perlukan:
Pilih jenis garis arah aliran yang diperlukan pada tab Jenis (jenis Linear dipilih secara lalai). Untuk jenis Polinomial, dalam medan Ijazah, nyatakan darjah polinomial yang dipilih.
1 . Medan Dibina pada siri menyenaraikan semua siri data dalam carta yang dipersoalkan. Untuk menambah garis aliran pada siri data tertentu, pilih namanya dalam medan siri Terbina.
Jika perlu, dengan pergi ke tab Parameter (Gamb. 2), anda boleh menetapkan parameter berikut untuk garis arah aliran:
tukar nama garis arah aliran dalam Nama medan lengkung yang hampir (dilicinkan).
tetapkan bilangan tempoh (ke hadapan atau ke belakang) untuk ramalan dalam medan Ramalan;
paparkan persamaan garis arah aliran dalam kawasan rajah, yang mana anda harus mendayakan persamaan tunjukkan pada kotak semak rajah;
paparkan nilai kebolehpercayaan anggaran R2 dalam kawasan rajah, yang mana anda harus membolehkan kotak semak Letakkan nilai kebolehpercayaan anggaran pada rajah (R^2);
tetapkan titik persilangan garis arah aliran dengan paksi Y, yang mana anda harus mendayakan kotak semak untuk persilangan lengkung dengan paksi Y pada satu titik;
Klik butang OK untuk menutup kotak dialog.
Untuk mula mengedit garis arah aliran yang telah dilukis, terdapat tiga cara:
gunakan arahan garis aliran Terpilih daripada menu Format, setelah memilih garis aliran sebelum ini;
pilih arahan Format garis arah aliran daripada menu konteks, yang dipanggil dengan mengklik kanan pada garis arah aliran;
klik dua kali pada garis arah aliran.
Kotak dialog Format Garisan Trend akan muncul pada skrin (Gamb. 3), mengandungi tiga tab: Lihat, Jenis, Parameter dan kandungan dua yang terakhir bertepatan sepenuhnya dengan tab yang serupa pada kotak dialog Trend Line (Gamb. 1). -2). Pada tab Paparan, anda boleh menetapkan jenis garisan, warna dan ketebalannya.
Untuk memadam garis aliran yang telah dilukis, pilih garis arah aliran untuk dipadamkan dan tekan kekunci Padam.
Kelebihan alat analisis regresi yang dipertimbangkan ialah:
kemudahan relatif untuk membina garis arah aliran pada carta tanpa membuat jadual data untuknya;
senarai jenis garis aliran yang dicadangkan yang agak luas, dan senarai ini termasuk jenis regresi yang paling biasa digunakan;
keupayaan untuk meramalkan tingkah laku proses yang dikaji oleh bilangan langkah ke hadapan, dan juga ke belakang yang sewenang-wenangnya (dalam had akal);
keupayaan untuk mendapatkan persamaan garis arah aliran dalam bentuk analisis;
kemungkinan, jika perlu, untuk mendapatkan penilaian kebolehpercayaan anggaran.
Kelemahan termasuk yang berikut:
pembinaan garis aliran dijalankan hanya jika terdapat gambar rajah yang dibina pada satu siri data;
proses penjanaan siri data untuk ciri yang dikaji berdasarkan persamaan garis arah aliran yang diperolehi untuknya agak berantakan: persamaan regresi yang diperlukan dikemas kini dengan setiap perubahan dalam nilai siri data asal, tetapi hanya dalam kawasan carta , manakala siri data yang dibentuk berdasarkan arah aliran persamaan garis lama kekal tidak berubah;
Dalam laporan Carta Pangsi, menukar paparan carta atau laporan Jadual Pangsi yang berkaitan tidak mengekalkan garis arah aliran sedia ada, bermakna sebelum anda melukis garis arah aliran atau sebaliknya memformat laporan Carta Pangsi, anda harus memastikan bahawa reka letak laporan memenuhi keperluan yang diperlukan.
Garis arah aliran boleh digunakan untuk menambah siri data yang dibentangkan pada carta seperti graf, histogram, carta kawasan tidak piawai rata, carta bar, carta serakan, carta gelembung dan carta saham.
Anda tidak boleh menambah garis arah aliran pada siri data dalam carta 3D, ternormal, radar, pai dan donat.
Menggunakan fungsi terbina dalam Excel
Excel juga mempunyai alat analisis regresi untuk memplot garis arah aliran di luar kawasan carta. Terdapat beberapa fungsi lembaran kerja statistik yang boleh anda gunakan untuk tujuan ini, tetapi kesemuanya hanya membenarkan anda membina regresi linear atau eksponen.
Excel mempunyai beberapa fungsi untuk membina regresi linear, khususnya:
CERUN dan POTONG.
TREND;
Serta beberapa fungsi untuk membina garis aliran eksponen, khususnya:
LGRFPRIBL.
Perlu diingatkan bahawa teknik untuk membina regresi menggunakan fungsi TREND dan GROWTH adalah hampir sama. Perkara yang sama boleh dikatakan mengenai pasangan fungsi LINEST dan LGRFPRIBL. Untuk empat fungsi ini, mencipta jadual nilai menggunakan ciri Excel seperti formula tatasusunan, yang agak mengganggu proses membina regresi. Mari kita perhatikan juga bahawa pembinaan regresi linear, pada pendapat kami, paling mudah dicapai menggunakan fungsi CERUN dan INTERCEPT, di mana yang pertama menentukan kecerunan regresi linear, dan yang kedua menentukan segmen yang dipintas oleh regresi pada paksi-y.
Kelebihan alat fungsi terbina dalam untuk analisis regresi ialah:
proses yang agak mudah dan seragam untuk menjana siri data ciri yang dikaji untuk semua fungsi statistik terbina dalam yang mentakrifkan garis aliran;
metodologi standard untuk membina garis aliran berdasarkan siri data yang dijana;
keupayaan untuk meramalkan tingkah laku proses yang dikaji dengan bilangan langkah yang diperlukan ke hadapan atau ke belakang.
Kelemahannya termasuk fakta bahawa Excel tidak mempunyai fungsi terbina dalam untuk mencipta jenis garis arah aliran (kecuali linear dan eksponen) yang lain. Keadaan ini selalunya tidak membenarkan memilih model yang cukup tepat bagi proses yang dikaji, serta mendapatkan ramalan yang hampir dengan realiti. Di samping itu, apabila menggunakan fungsi TREND dan GROWTH, persamaan garis aliran tidak diketahui.
Perlu diingatkan bahawa penulis tidak menetapkan untuk membentangkan kursus analisis regresi dengan sebarang tahap kesempurnaan. Tugas utamanya adalah untuk menunjukkan, menggunakan contoh khusus, keupayaan pakej Excel semasa menyelesaikan masalah anggaran; tunjukkan alat berkesan yang ada pada Excel untuk membina regresi dan ramalan; menggambarkan bagaimana masalah sedemikian boleh diselesaikan dengan agak mudah walaupun oleh pengguna yang tidak mempunyai pengetahuan yang luas tentang analisis regresi.
Contoh penyelesaian masalah tertentu
Mari kita lihat menyelesaikan masalah khusus menggunakan alat Excel yang disenaraikan.
Masalah 1
Dengan jadual data mengenai keuntungan perusahaan pengangkutan motor untuk 1995-2002. anda perlu melakukan perkara berikut:
Bina gambar rajah.
Tambahkan garis arah aliran linear dan polinomial (kuadrat dan kubik) pada carta.
Dengan menggunakan persamaan garis arah aliran, dapatkan data jadual tentang keuntungan perusahaan untuk setiap garis arah aliran untuk 1995-2004.
Buat ramalan untuk keuntungan perusahaan untuk tahun 2003 dan 2004.
Penyelesaian masalah
Dalam julat sel A4:C11 lembaran kerja Excel, masukkan lembaran kerja yang ditunjukkan dalam Rajah. 4.
Setelah memilih julat sel B4:C11, kami membina gambar rajah.
Kami mengaktifkan gambar rajah yang dibina dan, mengikut kaedah yang diterangkan di atas, selepas memilih jenis garis arah aliran dalam kotak dialog Garis Aliran (lihat Rajah 1), kami secara bergilir-gilir menambah garis arah aliran linear, kuadratik dan kubik pada rajah. Dalam kotak dialog yang sama, buka tab Parameter (lihat Rajah 2), dalam medan Nama lengkung yang menghampiri (dilicinkan), masukkan nama arah aliran yang ditambah dan dalam medan Ramalan ke hadapan untuk: tempoh, tetapkan nilai 2, kerana ia dirancang untuk membuat ramalan keuntungan untuk dua tahun akan datang. Untuk memaparkan persamaan regresi dan nilai kebolehpercayaan anggaran R2 dalam kawasan rajah, dayakan persamaan tunjukkan pada kotak semak skrin dan letakkan nilai kebolehpercayaan anggaran (R^2) pada rajah. Untuk persepsi visual yang lebih baik, kami menukar jenis, warna dan ketebalan garis arah aliran yang dibina, yang mana kami menggunakan tab Paparan kotak dialog Format Garisan Aliran (lihat Rajah 3). Gambar rajah yang terhasil dengan garis aliran tambahan ditunjukkan dalam Rajah. 5.
Untuk mendapatkan data jadual mengenai keuntungan perusahaan bagi setiap garis arah aliran untuk 1995-2004.
Mari kita gunakan persamaan garis arah aliran yang dibentangkan dalam Rajah. 5. Untuk melakukan ini, dalam sel julat D3:F3, masukkan maklumat teks tentang jenis garis arah aliran yang dipilih: Aliran linear, Aliran kuadratik, Aliran padu. Seterusnya, masukkan formula regresi linear dalam sel D4 dan, menggunakan penanda isian, salin formula ini dengan rujukan relatif kepada julat sel D5:D13. Perlu diingat bahawa setiap sel dengan formula regresi linear daripada julat sel D4:D13 mempunyai sebagai hujah sel yang sepadan daripada julat A4:A13. Begitu juga, untuk regresi kuadratik, isikan julat sel E4:E13, dan untuk regresi kubik, isikan julat sel F4:F13. Oleh itu, ramalan untuk keuntungan perusahaan untuk tahun 2003 dan 2004 telah disusun. menggunakan tiga trend. Jadual nilai yang terhasil ditunjukkan dalam Rajah. 6.
Bina gambar rajah.
Masalah 2
Tambahkan garis aliran logaritma, kuasa dan eksponen pada carta.
Terbitkan persamaan garis arah aliran yang diperolehi, serta nilai kebolehpercayaan anggaran R2 bagi setiap satu daripadanya.
Menggunakan persamaan garis arah aliran, dapatkan data jadual tentang keuntungan perusahaan untuk setiap garis arah aliran untuk 1995-2002.
Penyelesaian masalah
Mengikuti metodologi yang diberikan dalam menyelesaikan masalah 1, kami memperoleh gambar rajah dengan garis aliran logaritma, kuasa dan eksponen ditambah kepadanya (Rajah 7). Seterusnya, menggunakan persamaan garis arah aliran yang diperolehi, kami mengisi jadual nilai untuk keuntungan perusahaan, termasuk nilai ramalan untuk tahun 2003 dan 2004. (Gamb. 8).
Dalam Rajah. 5 dan rajah. dapat dilihat bahawa model dengan aliran logaritma sepadan dengan nilai kebolehpercayaan penghampiran yang paling rendah
R2 = 0.8659
Nilai tertinggi R2 sepadan dengan model dengan trend polinomial: kuadratik (R2 = 0.9263) dan padu (R2 = 0.933).
Masalah 3
Dengan jadual data mengenai keuntungan perusahaan pengangkutan motor untuk 1995-2002, diberikan dalam tugasan 1, anda mesti melakukan langkah berikut.
Dapatkan siri data untuk garis aliran linear dan eksponen menggunakan fungsi TREND dan GROW.
Menggunakan fungsi TREND dan GROWTH, buat ramalan keuntungan perusahaan untuk tahun 2003 dan 2004.
Bina gambar rajah untuk data asal dan siri data yang terhasil.
Penyelesaian masalah
Mari gunakan lembaran kerja untuk Masalah 1 (lihat Rajah 4). Mari kita mulakan dengan fungsi TREND:
pilih julat sel D4:D11, yang harus diisi dengan nilai-nilai fungsi TREND yang sepadan dengan data yang diketahui mengenai keuntungan perusahaan;
Panggil arahan Fungsi dari menu Sisipkan. Dalam kotak dialog Wizard Fungsi yang muncul, pilih fungsi TREND daripada kategori Statistik, dan kemudian klik butang OK. Operasi yang sama boleh dilakukan dengan mengklik butang (Sisipkan Fungsi) pada bar alat standard.
Dalam kotak dialog Fungsi Argumen yang muncul, masukkan julat sel C4:C11 dalam medan Known_values_y; dalam medan Known_values_x - julat sel B4:B11;
Untuk menjadikan formula yang dimasukkan menjadi formula tatasusunan, gunakan kombinasi kekunci + + .
Formula yang kami masukkan dalam bar formula akan kelihatan seperti: =(TREND(C4:C11,B4:B11)).
Akibatnya, julat sel D4:D11 diisi dengan nilai yang sepadan bagi fungsi TREND (Rajah 9).
Untuk membuat ramalan keuntungan perusahaan untuk tahun 2003 dan 2004. perlu:
pilih julat sel D12:D13 di mana nilai yang diramalkan oleh fungsi TREND akan dimasukkan.
panggil fungsi TREND dan dalam kotak dialog Fungsi Argumen yang muncul, masukkan dalam medan Known_values_y - julat sel C4:C11; dalam medan Known_values_x - julat sel B4:B11; dan dalam medan New_values_x - julat sel B12:B13.
tukar formula ini menjadi formula tatasusunan menggunakan kombinasi kekunci Ctrl + Shift + Enter.
Formula yang dimasukkan akan kelihatan seperti: =(TREND(C4:C11;B4:B11;B12:B13)), dan julat sel D12:D13 akan diisi dengan nilai ramalan fungsi TREND (lihat Rajah. 9).
Siri data diisi dengan cara yang sama menggunakan fungsi GROWTH, yang digunakan dalam analisis kebergantungan tak linear dan berfungsi dengan cara yang sama seperti TREND rakan linearnya.
Rajah 10 menunjukkan jadual dalam mod paparan formula.
Untuk data awal dan siri data yang diperoleh, rajah ditunjukkan dalam Rajah. 11.
Masalah 4
Dengan jadual data mengenai penerimaan permohonan untuk perkhidmatan oleh perkhidmatan penghantaran perusahaan pengangkutan motor untuk tempoh dari 1 hingga 11 bulan semasa, anda mesti melakukan tindakan berikut.
Dapatkan siri data untuk regresi linear: menggunakan fungsi SLOPE dan INTERCEPT; menggunakan fungsi LINEST.
Dapatkan satu siri data untuk regresi eksponen menggunakan fungsi LGRFPRIBL.
Menggunakan fungsi di atas, buat ramalan tentang penerimaan permohonan kepada perkhidmatan penghantaran untuk tempoh dari 12 hingga 14 bulan semasa.
Buat gambar rajah untuk siri data asal dan diterima.
Penyelesaian masalah
Ambil perhatian bahawa, tidak seperti fungsi TREND dan GROWTH, tiada satu pun fungsi yang disenaraikan di atas (CERUN, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB) adalah regresi. Fungsi ini hanya memainkan peranan sokongan, menentukan parameter regresi yang diperlukan.
Untuk regresi linear dan eksponen yang dibina menggunakan fungsi SLOPE, INTERCEPT, LINEST, LGRFPRIB, penampilan persamaannya sentiasa diketahui, berbeza dengan regresi linear dan eksponen yang sepadan dengan fungsi TREND dan GROWTH.
1 . Mari kita bina regresi linear dengan persamaan:
y = mx+b
menggunakan fungsi SLOPE dan INTERCEPT, dengan cerun regresi m ditentukan oleh fungsi SLOPE, dan istilah bebas b oleh fungsi INTERCEPT.
Untuk melakukan ini, kami melakukan tindakan berikut:
masukkan jadual asal ke dalam julat sel A4:B14;
nilai parameter m akan ditentukan dalam sel C19. Pilih fungsi Cerun daripada kategori Statistik; masukkan julat sel B4:B14 dalam medan_values_y yang diketahui dan julat sel A4:A14 dalam medan_values_x yang diketahui.
Formula akan dimasukkan dalam sel C19: =SLOPE(B4:B14,A4:A14);
Seterusnya, masukkan formula regresi linear dalam sel C4 dalam bentuk: =$C*A4+$D. Dalam formula ini, sel C19 dan D19 ditulis dengan rujukan mutlak (alamat sel tidak boleh berubah semasa kemungkinan penyalinan). Tanda rujukan mutlak $ boleh ditaip sama ada dari papan kekunci atau menggunakan kekunci F4, selepas meletakkan kursor pada alamat sel.
2 Menggunakan pemegang isian, salin formula ini ke dalam julat sel C4:C17. Kami memperoleh siri data yang diperlukan (Rajah 12). Disebabkan oleh fakta bahawa bilangan aplikasi adalah integer, anda harus menetapkan format nombor dengan bilangan tempat perpuluhan kepada 0 pada tab Nombor pada tetingkap Format Sel.
y = mx+b
. Sekarang mari kita bina regresi linear yang diberikan oleh persamaan:
menggunakan fungsi LINEST.
Untuk melakukan ini:
Masukkan fungsi LINEST ke dalam julat sel C20:D20 sebagai formula tatasusunan: =(LINEST(B4:B14,A4:A14)). Hasilnya, kami memperoleh nilai parameter m dalam sel C20, dan nilai parameter b dalam sel D20;
masukkan formula dalam sel D4: =$C*A4+$D;
3 salin formula ini menggunakan penanda isian ke dalam julat sel D4:D17 dan dapatkan siri data yang dikehendaki.
. Kami membina regresi eksponen dengan persamaan:
menggunakan fungsi LGRFPRIBL ia dilakukan dengan cara yang sama:
Dalam julat sel C21:D21 kita masukkan fungsi LGRFPRIBL sebagai formula tatasusunan: =( LGRFPRIBL (B4:B14,A4:A14)). Dalam kes ini, nilai parameter m akan ditentukan dalam sel C21, dan nilai parameter b akan ditentukan dalam sel D21;
formula dimasukkan ke dalam sel E4: =$D*$C^A4;
menggunakan penanda isian, formula ini disalin ke julat sel E4:E17, di mana siri data untuk regresi eksponen akan ditempatkan (lihat Rajah 12).
Dalam Rajah. Rajah 13 menunjukkan jadual di mana anda boleh melihat fungsi yang kami gunakan dengan julat sel yang diperlukan, serta formula. Magnitud 2 R dipanggil.
pekali penentuan
Tugas membina pergantungan regresi adalah untuk mencari vektor pekali m model (1) di mana pekali R mengambil nilai maksimumnya.
Untuk menilai kepentingan R, ujian F Fisher digunakan, dikira menggunakan formula n di mana
- saiz sampel (bilangan eksperimen);
k ialah bilangan pekali model. n Dan Jika F melebihi beberapa nilai kritikal untuk data k
Oleh itu, kepentingan R ditentukan bukan sahaja oleh nilainya, tetapi juga oleh nisbah antara bilangan eksperimen dan bilangan pekali (parameter) model. Sesungguhnya, nisbah korelasi untuk n=2 untuk model linear ringkas adalah sama dengan 1 (satu garis lurus sentiasa boleh dilukis melalui 2 titik pada satah). Walau bagaimanapun, jika data eksperimen adalah pembolehubah rawak, nilai R sedemikian harus dipercayai dengan sangat berhati-hati. Biasanya, untuk mendapatkan R yang ketara dan regresi yang boleh dipercayai, mereka berusaha untuk memastikan bahawa bilangan eksperimen dengan ketara melebihi bilangan pekali model (n>k).
Untuk membina linear model regresi perlu:
1) sediakan senarai n baris dan m lajur yang mengandungi data eksperimen (lajur yang mengandungi nilai output Y mestilah sama ada yang pertama atau yang terakhir dalam senarai); Sebagai contoh, mari kita ambil data daripada tugas sebelumnya, menambah lajur yang dipanggil "No Tempoh.", nomborkan nombor tempoh dari 1 hingga 12. (ini akan menjadi nilai X)
2) pergi ke menu Data/Analisis Data/Regression
Jika item "Analisis Data" dalam menu "Alat" tiada, maka anda harus pergi ke item "Tambahan" dalam menu yang sama dan tandai kotak pilihan "Pakej analisis".
3) dalam kotak dialog "Regression", tetapkan:
· selang input Y;
· selang input X;
· selang keluaran - sel kiri atas selang di mana keputusan pengiraan akan diletakkan (disyorkan untuk meletakkannya pada lembaran kerja baharu);
4) klik "Ok" dan analisis keputusan.
Pernyataan masalah penghampiran menggunakan kuasa dua terkecil. Syarat untuk anggaran terbaik.
Sekiranya satu set data eksperimen diperoleh dengan ralat yang ketara, maka interpolasi bukan sahaja tidak diperlukan, tetapi juga tidak diingini! Di sini ia diperlukan untuk membina lengkung yang akan menghasilkan semula graf corak eksperimen asal, i.e. akan sedekat mungkin dengan titik eksperimen, tetapi pada masa yang sama tidak sensitif terhadap sisihan rawak nilai yang diukur.
Mari kita perkenalkan fungsi berterusan φ(x) untuk penghampiran pergantungan diskret f(x i ) , i = 0… n. Kami akan menganggap itu φ(x) dibina mengikut keadaan penghampiran kuadratik terbaik, Jika
. (1)
Berat badan ρ Untuk i-titik memberi makna kepada ketepatan pengukuran nilai yang diberi: semakin banyak ρ , semakin hampir lengkung penghampiran "ditarik" ke titik tertentu. Dalam perkara berikut kita akan menganggap secara lalai ρ = 1 untuk semua mata.
Pertimbangkan kes itu penghampiran linear:
φ(x) = c 0 φ 0 (x) + c 1 φ 1 (x) + … + c m φ m (x), (2)
Untuk menilai kepentingan R, ujian F Fisher digunakan, dikira menggunakan formula φ 0 …φ m– sewenang-wenangnya fungsi asas, c 0 …c m- pekali tidak diketahui, m < n. Jika kita mengambil bilangan pekali penghampiran sama dengan nombor nod, maka penghampiran akar-min-kuasa dua akan bertepatan dengan interpolasi Lagrange, manakala, jika ralat pengiraan tidak diambil kira, Q = 0.
Jika ralat data eksperimen (awal) diketahui ξ , maka pilihan bilangan pekali, iaitu nilai m, ditentukan oleh syarat:
Dalam erti kata lain, jika , bilangan pekali penghampiran tidak mencukupi untuk menghasilkan semula graf dengan betul pergantungan eksperimen. Jika , banyak pekali dalam (2) tidak akan mempunyai makna fizikal.
Untuk menyelesaikan masalah penghampiran linear dalam kes am adalah perlu untuk mencari syarat bagi jumlah minimum sisihan kuasa dua bagi (2). Masalah mencari minimum boleh dikurangkan kepada masalah mencari punca sistem persamaan, Jika F melebihi beberapa nilai kritikal untuk data = 0…m. (4) .
Menggantikan (2) kepada (1) dan kemudian mengira (4) akhirnya akan membawa kepada sistem seterusnya algebra linear persamaan:
Seterusnya, anda harus menyelesaikan SLAE yang terhasil berkenaan dengan pekali c 0 …c m. Untuk menyelesaikan SLAE, matriks lanjutan pekali biasanya disusun, yang dipanggil Matriks gram, unsur-unsurnya ialah produk titik fungsi asas dan lajur pekali bebas:
,
Untuk menilai kepentingan R, ujian F Fisher digunakan, dikira menggunakan formula 
, 
, j = 0… m, k = 0…m.
Selepas menggunakan, sebagai contoh, kaedah Gaussian, pekali ditemui c 0 …c m, anda boleh membina lengkung anggaran atau mengira koordinat titik yang diberikan. Oleh itu, masalah penghampiran diselesaikan.
Penghampiran oleh polinomial kanonik.
Marilah kita memilih fungsi asas dalam bentuk urutan kuasa hujah x:
φ 0 (x) = x 0 = 1; φ 1 (x) = x 1 = x; φm(x) = x m, m < n.
Matriks Gram lanjutan untuk asas kuasa akan kelihatan seperti ini:
Keistimewaan pengiraan matriks sedemikian (untuk mengurangkan bilangan tindakan yang dilakukan) ialah perlu mengira hanya elemen baris pertama dan dua lajur terakhir: elemen yang tinggal diisi dengan mengalihkan baris sebelumnya (dengan kecuali dua lajur terakhir) satu kedudukan ke kiri. Dalam sesetengah bahasa pengaturcaraan di mana tiada prosedur pantas untuk eksponen, algoritma untuk mengira matriks Gram, yang dibentangkan di bawah, berguna.
Pemilihan fungsi asas dalam bentuk kuasa x tidak optimum dari sudut mencapai ralat terkecil. Ini adalah akibatnya bukan ortogonal fungsi asas yang dipilih. Harta benda ortogonal ialah bagi setiap jenis polinomial terdapat segmen [ x 0 , x n], di mana hasil darab skalar polinomial tertib berbeza lenyap:
, j ≠ k, ρ– beberapa fungsi berat.
Jika fungsi asas adalah ortogon, maka semua elemen bukan pepenjuru matriks Gram akan hampir kepada sifar, yang akan meningkatkan ketepatan pengiraan, sebaliknya apabila penentu matriks Gram sangat cepat cenderung kepada sifar, i.e. sistem menjadi tidak bersyarat.
Penghampiran oleh polinomial klasik ortogon.
Polinomial di bawah berkaitan dengan polinomial Jacobi, mempunyai sifat ortogonal dalam erti kata yang diterangkan di atas. Iaitu, untuk mencapai ketepatan tinggi pengiraan, adalah disyorkan untuk memilih fungsi asas untuk penghampiran dalam bentuk polinomial ini.
Penghampiran (dari bahasa Latin "anggaran" - "mendekat") ialah ungkapan anggaran mana-mana objek matematik (contohnya, nombor atau fungsi) melalui yang lain yang lebih ringkas, lebih senang digunakan atau lebih dikenali. Dalam penyelidikan saintifik, penghampiran digunakan untuk menerangkan, menganalisis, membuat generalisasi dan seterusnya menggunakan keputusan empirikal.
Seperti yang diketahui, mungkin terdapat hubungan yang tepat (fungsional) antara kuantiti apabila satu nilai hujah sepadan dengan satu nilai tertentu.
Apabila memilih anggaran, seseorang harus meneruskan dari masalah penyelidikan khusus. Lazimnya, lebih mudah persamaan yang digunakan untuk penghampiran, lebih banyak anggaran perihalan hubungan yang terhasil. Oleh itu, adalah penting untuk membaca betapa pentingnya dan apa yang menyebabkan penyimpangan nilai tertentu dari arah aliran yang terhasil. Apabila menerangkan pergantungan nilai yang ditentukan secara empirikal, ketepatan yang lebih besar boleh dicapai menggunakan beberapa persamaan berbilang parameter yang lebih kompleks. Walau bagaimanapun, tidak ada gunanya cuba menyampaikan dengan ketepatan maksimum sisihan rawak nilai dalam siri data empirikal tertentu. Apabila memilih kaedah penghampiran, penyelidik sentiasa membuat kompromi: dia memutuskan sejauh mana dalam kes ini adalah dinasihatkan dan sesuai untuk "mengorbankan" butiran dan, dengan itu, secara amnya pergantungan pembolehubah yang dibandingkan harus dinyatakan. Bersama dengan mengenal pasti corak yang disembunyikan oleh sisihan rawak data empirikal daripada pola umum, penghampiran juga memungkinkan untuk menyelesaikan banyak masalah penting lain: memformalkan pergantungan yang ditemui; cari nilai yang tidak diketahui bagi pembolehubah bersandar dengan interpolasi atau, jika sesuai, ekstrapolasi.
Tujuan kerja kursus ini adalah untuk belajar asas teori menghampiri fungsi jadual menggunakan kaedah kuasa dua terkecil, dan menggunakan pengetahuan teori, mencari anggaran polinomial. Mencari polinomial anggaran dalam rangka kerja kursus ini perlu dilakukan dengan menulis program dalam Pascal yang melaksanakan algoritma yang dibangunkan untuk mencari pekali polinomial penghampiran, dan juga menyelesaikan masalah yang sama menggunakan MathCad.
Dalam kerja kursus ini, program dalam bahasa Pascal dibangunkan dalam shell PascalABC versi 1.0 beta. Masalahnya telah diselesaikan dalam persekitaran MathCad menggunakan Mathcad versi 14.0.0.163.
Pernyataan masalah
Dalam kerja kursus ini anda mesti melengkapkan perkara berikut:
1. Bangunkan algoritma untuk mencari pekali bagi tiga polinomial hampir (polinomial) bentuk
untuk fungsi jadual y=f(x):untuk darjah polinomial n=2, 4, 5.
2. Bina gambar rajah blok algoritma.
3. Buat program dalam Pascal yang melaksanakan algoritma yang dibangunkan.
5. Bina graf bagi 3 fungsi anggaran yang diperolehi dalam satu sistem koordinat. Graf juga mesti mengandungi titik permulaan (X i , y i ) .
6. Selesaikan masalah menggunakan MathCAD.
Hasil penyelesaian masalah menggunakan program yang dicipta dalam bahasa Pascal dan dalam persekitaran MathCAD mesti dibentangkan dalam bentuk tiga polinomial yang dibina menggunakan pekali yang ditemui; jadual yang mengandungi nilai-nilai fungsi pada titik xi dan sisihan piawai yang diperoleh menggunakan polinomial yang ditemui.
Pembinaan formula empirikal menggunakan kaedah kuasa dua terkecil
Selalunya, terutamanya apabila menganalisis data empirikal, terdapat keperluan untuk mencari secara eksplisit hubungan fungsi antara nilai x dan y, yang diperoleh hasil daripada pengukuran.
Dalam kajian analitikal hubungan antara dua kuantiti x dan y, satu siri pemerhatian dibuat dan hasilnya ialah jadual nilai:
| x | ¼ | ¼ | ||||
| y | ¼ | ¼ |
Jadual ini biasanya diperoleh hasil daripada beberapa eksperimen di mana
Persamaan logaritma
Teknik untuk menyelesaikan persamaan logaritma
Analisis kendiri guru terapi pertuturan