Untuk beberapa waktu sekarang, pangkalan data sijil terbina dalam untuk SSL telah berhenti berfungsi dengan betul dalam TheBat (tidak jelas sebabnya).

Apabila menyemak siaran, ralat muncul:

Sijil CA tidak diketahui
Pelayan tidak membentangkan sijil akar dalam sesi dan sijil akar yang sepadan tidak ditemui dalam buku alamat.
Sambungan ini tidak boleh dirahsiakan. Tolonglah
hubungi pentadbir pelayan anda.

Dan anda ditawarkan pilihan jawapan - YA / TIDAK. Jadi setiap kali anda mengalih keluar mel.

Penyelesaian

Dalam kes ini, anda perlu menggantikan standard pelaksanaan S/MIME dan TLS dengan Microsoft CryptoAPI dalam tetapan TheBat!

Oleh kerana saya perlu menggabungkan semua fail menjadi satu, saya mula-mula menukar semuanya fail doc ke dalam satu fail pdf (menggunakan program Acrobat), dan kemudian memindahkannya ke fb2 melalui penukar dalam talian. Anda juga boleh menukar fail secara individu. Format boleh sama sekali (sumber) - dokumen, jpg, dan juga arkib zip!

Nama tapak sepadan dengan intipati :) Photoshop dalam talian.

Kemas kini Mei 2015

Saya menemui satu lagi tapak yang hebat! Lebih mudah dan berfungsi untuk mencipta kolaj tersuai sepenuhnya! Ini ialah tapak http://www.fotor.com/ru/collage/. Nikmati untuk kesihatan anda. Dan saya akan menggunakannya sendiri.

Dalam hidup saya, saya menghadapi masalah membaiki dapur elektrik. Saya telah melakukan banyak perkara, belajar banyak, tetapi entah bagaimana tidak ada kaitan dengan jubin. Ia adalah perlu untuk menggantikan kenalan pada pengawal selia dan penunu. Persoalannya timbul - bagaimana untuk menentukan diameter pembakar pada dapur elektrik?

Jawapannya ternyata mudah. Anda tidak perlu mengukur apa-apa, anda boleh dengan mudah menentukan dengan mata saiz yang anda perlukan.

Pembakar terkecil- ini ialah 145 milimeter (14.5 sentimeter)

Pembakar tengah- ini ialah 180 milimeter (18 sentimeter).

Dan akhirnya, yang paling banyak penunu besar- ini ialah 225 milimeter (22.5 sentimeter).

Ia cukup untuk menentukan saiz dengan mata dan memahami diameter yang anda perlukan pembakar. Apabila saya tidak mengetahui perkara ini, saya bimbang tentang dimensi ini, saya tidak tahu cara mengukur, tepi mana yang hendak dilayari, dsb. Sekarang saya sudah bijak :) Saya harap saya membantu anda juga!

Dalam hidup saya, saya menghadapi masalah seperti itu. Saya rasa saya bukan seorang sahaja.

Salah satu daripada tugas paling penting kalkulus pembezaan adalah pembangunan contoh biasa kajian tingkah laku fungsi.

Jika fungsi y=f(x) adalah selanjar pada selang , dan terbitannya adalah positif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) bertambah sebanyak (f"(x)0) Jika fungsi y=f (x) adalah selanjar pada segmen , dan terbitannya adalah negatif atau sama dengan 0 pada selang (a,b), maka y=f(x) berkurang sebanyak (f"(x)0. )

Selang di mana fungsi tidak berkurangan atau meningkat dipanggil selang monotonisitas fungsi. Kemonotonan sesuatu fungsi boleh berubah hanya pada titik domain definisinya di mana tanda terbitan pertama berubah. Titik di mana terbitan pertama fungsi hilang atau mempunyai ketakselanjaran dipanggil kritikal.

Teorem 1 (1hb keadaan yang mencukupi kewujudan ekstrem).

Biarkan fungsi y=f(x) ditakrifkan pada titik x 0 dan biarkan terdapat kejiranan δ>0 supaya fungsi itu berterusan pada selang dan boleh dibezakan pada selang (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , dan terbitannya mengekalkan tanda malar pada setiap selang ini. Kemudian jika pada x 0 -δ,x 0) dan (x 0 , x 0 +δ) tanda-tanda terbitan adalah berbeza, maka x 0 ialah titik ekstrem, dan jika ia bertepatan, maka x 0 bukan titik ekstrem. . Lebih-lebih lagi, jika, apabila melalui titik x0, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak (di sebelah kiri x 0 f"(x)>0 berpuas hati, maka x 0 ialah titik maksimum; jika derivatif bertukar tanda dari tolak hingga tambah (di sebelah kanan x 0 dilaksanakan f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Titik maksimum dan minimum dipanggil titik ekstrem fungsi, dan titik maksimum dan minimum fungsi ialah nilai ekstremnya.

Teorem 2 (tanda perlu bagi ekstrem tempatan).

Jika fungsi y=f(x) mempunyai ekstrem pada arus x=x 0, maka sama ada f’(x 0)=0 atau f’(x 0) tidak wujud.
Pada titik ekstrem fungsi boleh beza, tangen kepada grafnya adalah selari dengan paksi Lembu.

Algoritma untuk mengkaji fungsi untuk ekstrem:

1) Cari terbitan bagi fungsi itu.
2) Cari titik kritikal, i.e. titik di mana fungsi adalah selanjar dan terbitan adalah sifar atau tidak wujud.
3) Pertimbangkan kejiranan setiap titik, dan periksa tanda terbitan di sebelah kiri dan kanan titik ini.
4) Tentukan koordinat titik ekstrem; untuk ini, gantikan nilai titik kritikal ke dalam fungsi ini. Menggunakan keadaan yang mencukupi untuk ekstrem, buat kesimpulan yang sesuai.

Contoh 18. Periksa fungsi y=x 3 -9x 2 +24x untuk ekstrem

Penyelesaian.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Menyamakan terbitan kepada sifar, kita dapati x 1 =2, x 2 =4. DALAM dalam kes ini derivatif ditakrifkan di mana-mana; Ini bermakna selain daripada dua titik yang ditemui, tiada titik kritikal yang lain.
3) Tanda terbitan y"=3(x-2)(x-4) berubah bergantung pada selang seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 1. Apabila melalui titik x=2, derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak, dan apabila melalui titik x=4 - dari tolak hingga tambah.
4) Pada titik x=2 fungsi mempunyai maksimum y max =20, dan pada titik x=4 - minimum y min =16.

Teorem 3. (syarat mencukupi ke-2 untuk kewujudan ekstrem).

Biarkan f"(x 0) dan pada titik x 0 wujud f""(x 0). Kemudian jika f""(x 0)>0, maka x 0 ialah titik minimum, dan jika f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Pada segmen, fungsi y=f(x) boleh mencapai nilai terkecil (y terkecil) atau terbesar (y tertinggi) sama ada pada titik kritikal fungsi yang terletak dalam selang (a;b), atau pada hujung segmen.

Algoritma untuk mencari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi berterusan y=f(x) pada segmen:

1) Cari f"(x).
2) Cari titik di mana f"(x)=0 atau f"(x) tidak wujud, dan pilih daripadanya titik yang terletak di dalam segmen.
3) Kira nilai fungsi y=f(x) pada titik yang diperolehi dalam langkah 2), serta pada hujung segmen dan pilih yang terbesar dan terkecil daripadanya: masing-masing adalah yang terbesar (y). terbesar) dan nilai terkecil (y terkecil) bagi fungsi pada selang waktu.

Contoh 19. Cari nilai terbesar bagi fungsi selanjar y=x 3 -3x 2 -45+225 pada ruas itu.

1) Kami mempunyai y"=3x 2 -6x-45 pada segmen
2) Derivatif y" wujud untuk semua x. Mari cari titik di mana y"=0; kita dapat:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x 1 =-3; x 2 =5
3) Hitung nilai fungsi pada titik x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Segmen mengandungi hanya titik x=5. Nilai terbesar fungsi yang ditemui ialah 225, dan yang terkecil ialah nombor 50. Jadi, y max = 225, y min = 50.

Kajian fungsi pada kecembungan

Rajah menunjukkan graf bagi dua fungsi. Yang pertama adalah cembung ke atas, yang kedua cembung ke bawah.

Fungsi y=f(x) adalah berterusan pada segmen dan boleh dibezakan dalam selang (a;b), dipanggil cembung ke atas (ke bawah) pada segmen ini jika, untuk axb, grafnya tidak terletak lebih tinggi (tidak lebih rendah) daripada tangen yang dilukis pada sebarang titik M 0 (x 0 ;f(x 0)), dengan axb.

Teorem 4. Biarkan fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada mana-mana titik pedalaman x segmen dan selanjar pada hujung segmen ini. Kemudian jika ketaksamaan f""(x)0 memegang pada selang (a;b), maka fungsi itu adalah cembung ke bawah pada selang ; jika ketaksamaan f""(x)0 kekal pada selang (a;b), maka fungsi itu adalah cembung ke atas pada .

Teorem 5. Jika fungsi y=f(x) mempunyai terbitan kedua pada selang (a;b) dan jika ia berubah tanda apabila melalui titik x 0, maka M(x 0 ;f(x 0)) ialah titik infleksi.

Peraturan untuk mencari titik infleksi:

1) Cari titik di mana f""(x) tidak wujud atau lenyap.
2) Periksa tanda f""(x) di kiri dan kanan setiap titik yang terdapat pada langkah pertama.
3) Berdasarkan Teorem 4, buat satu kesimpulan.

Contoh 20. Cari titik ekstrem dan titik infleksi graf bagi fungsi y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Kami mempunyai f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Jelas sekali, f"(x)=0 apabila x 1 =0, x 2 =1. Apabila melalui titik x=0, derivatif menukar tanda daripada tolak kepada tambah, tetapi apabila melalui titik x=1 ia tidak menukar tanda. Ini bermakna x=0 ialah titik minimum (y min =12), dan tiada ekstrem pada titik x=1. Seterusnya, kita dapati . Terbitan kedua hilang pada titik x 1 =1, x 2 =1/3. Tanda-tanda derivatif kedua berubah seperti berikut: Pada sinar (-∞;) kita mempunyai f""(x)>0, pada selang (;1) kita mempunyai f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Oleh itu, x= ialah titik infleksi graf fungsi (peralihan daripada cembung ke bawah kepada cembung ke atas) dan x=1 juga ialah titik infleksi (peralihan dari cembung ke atas kepada cembung ke bawah). Jika x=, maka y= ; jika, maka x=1, y=13.

Algoritma untuk mencari asimtot graf

I. Jika y=f(x) sebagai x → a, maka x=a ialah asimtot menegak.
II. Jika y=f(x) sebagai x → ∞ atau x → -∞, maka y=A ialah asimtot mengufuk.
III. Untuk mencari asimtot serong, kami menggunakan algoritma berikut:
1) Kira . Jika had wujud dan bersamaan dengan b, maka y=b ialah asimtot mendatar; jika , kemudian pergi ke langkah kedua.
2) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan bersamaan dengan k, maka pergi ke langkah ketiga.
3) Kira . Jika had ini tidak wujud, maka tiada asimtot; jika ia wujud dan sama dengan b, maka pergi ke langkah keempat.
4) Tuliskan persamaan asimtot oblik y=kx+b.

Contoh 21: Cari asymptot untuk fungsi

1)
2)
3)
4) Persamaan asimtot oblik mempunyai bentuk

Skim untuk mengkaji fungsi dan membina grafnya

I. Cari domain takrifan fungsi.
II. Cari titik persilangan graf fungsi dengan paksi koordinat.
III. Cari asimtot.
IV. Cari titik ekstrem yang mungkin.
V. Cari titik kritikal.
VI. Dengan menggunakan angka bantu, teroka tanda terbitan pertama dan kedua. Tentukan kawasan fungsi bertambah dan berkurangan, cari arah kecembungan graf, titik ekstrem dan titik infleksi.
VII. Bina graf, dengan mengambil kira penyelidikan yang dijalankan dalam perenggan 1-6.

Contoh 22: Bina graf bagi fungsi mengikut rajah di atas

Penyelesaian.
I. Domain bagi suatu fungsi ialah set semua nombor nyata kecuali x=1.
II. Oleh kerana persamaan x 2 +1=0 tidak mempunyai punca nyata, graf fungsi tidak mempunyai titik persilangan dengan paksi Ox, tetapi bersilang dengan paksi Oy pada titik (0;-1).
III. Mari kita jelaskan persoalan kewujudan asimtot. Mari kita kaji kelakuan fungsi berhampiran titik ketakselanjaran x=1. Oleh kerana y → ∞ sebagai x → -∞, y → +∞ sebagai x → 1+, maka garis lurus x=1 ialah asimtot menegak bagi graf fungsi.
Jika x → +∞(x → -∞), maka y → +∞(y → -∞); oleh itu, graf tidak mempunyai asimtot mendatar. Selanjutnya, dari kewujudan had

Menyelesaikan persamaan x 2 -2x-1=0 kita memperoleh dua titik ekstrem yang mungkin:
x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2

V. Untuk mencari titik kritikal, kita mengira terbitan kedua:

Oleh kerana f""(x) tidak lenyap, tiada titik kritikal.
VI. Mari kita periksa tanda terbitan pertama dan kedua. Kemungkinan titik ekstrem yang perlu dipertimbangkan: x 1 =1-√2 dan x 2 =1+√2, bahagikan domain kewujudan fungsi kepada selang (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) dan (1+√2;+∞).

Dalam setiap selang ini, derivatif mengekalkan tandanya: dalam yang pertama - tambah, dalam kedua - tolak, dalam ketiga - tambah. Urutan tanda terbitan pertama akan ditulis seperti berikut: +,-+.
Kami mendapati bahawa fungsi meningkat pada (-∞;1-√2), menurun pada (1-√2;1+√2), dan meningkat semula pada (1+√2;+∞). Mata melampau: maksimum pada x=1-√2, dan f(1-√2)=2-2√2 minimum pada x=1+√2, dan f(1+√2)=2+2√2. Pada (-∞;1) graf adalah cembung ke atas, dan pada (1;+∞) ia cembung ke bawah.
VII Mari kita buat jadual nilai yang diperolehi

VIII Berdasarkan data yang diperoleh, kami membina lakaran graf fungsi tersebut

Untuk mengkaji sepenuhnya fungsi dan memplot grafnya, disyorkan untuk menggunakan skema berikut:

1) cari domain takrifan fungsi;

2) cari titik ketakselanjaran fungsi dan asimtot menegak (jika wujud);

3) menyiasat kelakuan fungsi pada infiniti, cari asimtot mendatar dan serong;

4) memeriksa fungsi untuk pariti (keanehan) dan periodicity (untuk fungsi trigonometri);

5) cari keterlaluan dan selang kemonotonan fungsi;

6) tentukan selang kecembungan dan titik infleksi;

7) cari titik persilangan dengan paksi koordinat, dan, jika boleh, beberapa titik tambahan yang menjelaskan graf.

Kajian fungsi dijalankan serentak dengan pembinaan grafnya.

Contoh 9 Terokai fungsi dan bina graf.

1. Skop definisi: ;

2. Fungsi mengalami ketakselanjaran pada titik
,
;

Kami mengkaji fungsi untuk kehadiran asimtot menegak.

;
,
─ asimtot menegak.

;
,
─ asimtot menegak.

3. Kami memeriksa fungsi untuk kehadiran asimtot serong dan mendatar.

Lurus
─ asimtot serong, jika
,
.

,
.

Lurus
─ asimtot mendatar.

4. Fungsinya genap kerana
.

Pariti fungsi menunjukkan simetri graf berbanding dengan ordinat.

5. Cari selang monotonicity dan extrema bagi fungsi tersebut.
;
Mari cari titik kritikal, i.e. titik di mana terbitan adalah 0 atau tidak wujud:
;

. Kami mempunyai tiga mata . Titik ini membahagikan keseluruhan paksi sebenar kepada empat selang. Mari kita tentukan tanda-tandanya

pada setiap daripada mereka.
Pada selang (-∞; -1) dan (-1; 0) fungsi bertambah, pada selang (0; 1) dan (1; +∞) ─ ia berkurang. Apabila melalui sesuatu titik
.

tanda perubahan terbitan daripada tambah kepada tolak, oleh itu, pada ketika ini fungsi mempunyai maksimum

6. Cari selang titik cembung dan titik lengkuk. Mari cari titik di mana

ialah 0, atau tidak wujud.
,
,

tidak mempunyai akar sebenar.
mata
Dan bahagikan paksi sebenar kepada tiga selang. Mari kita tentukan tanda itu

pada setiap selang waktu.
Oleh itu, lengkung pada selang
Dan
mata
cembung ke bawah, pada selang (-1;1) cembung ke atas; tiada titik infleksi, kerana fungsinya adalah pada titik

tidak ditakrifkan.

7. Cari titik persilangan dengan paksi.
Dengan gandar
graf fungsi bersilang pada titik (0; -1), dan dengan paksi

graf tidak bersilang, kerana pengangka bagi fungsi ini tidak mempunyai punca sebenar.

Graf bagi fungsi yang diberikan ditunjukkan dalam Rajah 1.

Rajah 1 ─ Graf fungsi

Aplikasi konsep terbitan dalam ekonomi. Fungsi keanjalan

Untuk mengkaji proses ekonomi dan menyelesaikan masalah gunaan lain, konsep keanjalan fungsi sering digunakan. Definisi.
Fungsi keanjalan dipanggil had nisbah kenaikan relatif fungsi kepada kenaikan relatif pembolehubah
di

, . (VII)
Keanjalan fungsi menunjukkan kira-kira berapa peratus fungsi itu akan berubah apabila pembolehubah bebas berubah

sebanyak 1%.
Fungsi keanjalan digunakan dalam analisis permintaan dan penggunaan. Jika keanjalan permintaan (dalam nilai mutlak)
, maka permintaan dianggap anjal jika
─ neutral jika

─ tidak anjal berbanding harga (atau pendapatan). Contoh 10
Kira keanjalan fungsi itu = 3.

dan cari nilai indeks keanjalan bagi

Penyelesaian: mengikut formula (VII), keanjalan fungsi ialah:
Biarkan x=3, kemudian

.Ini bermakna jika pembolehubah bebas meningkat sebanyak 1%, maka nilai pembolehubah bersandar akan meningkat sebanyak 1.42%. Contoh 11 Biarkan permintaan berfungsi berkenaan harga
nampak macam , Di mana

─ pekali malar. Cari nilai penunjuk keanjalan fungsi permintaan pada harga x = 3 den. unit

Penyelesaian: hitung keanjalan fungsi permintaan menggunakan formula (VII)
Percaya
unit kewangan, kita dapat
unit kewangan kenaikan 1% dalam harga akan menyebabkan penurunan 6% dalam permintaan, i.e. permintaan adalah anjal.

laksanakan penyelidikan penuh dan plot fungsi

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Kawasan definisi fungsi. Oleh kerana fungsi itu ialah pecahan, kita perlu mencari sifar penyebutnya.

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

Kami mengecualikan satu-satunya titik x=1x=1 daripada domain definisi fungsi dan dapatkan:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Mari kita kaji kelakuan fungsi di sekitar titik ketakselanjaran. Mari cari had berat sebelah:

Oleh kerana hadnya adalah sama dengan infiniti, titik x=1x=1 ialah ketakselanjaran jenis kedua, garis lurus x=1x=1 ialah asimtot menegak.

3) Mari kita tentukan titik persilangan graf fungsi dengan paksi koordinat.

Mari kita cari titik persilangan dengan paksi ordinat OyOy, yang mana kita samakan x=0x=0:

Oleh itu, titik persilangan dengan paksi OyOy mempunyai koordinat (0;8)(0;8).

Mari kita cari titik persilangan dengan paksi absis OxOx, yang mana kita tetapkan y=0y=0:

Persamaan tidak mempunyai punca, jadi tiada titik persilangan dengan paksi OxOx.

Ambil perhatian bahawa x2+8>0x2+8>0 untuk mana-mana xx. Oleh itu, untuk x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), fungsi y>0y>0 (mengambil nilai positif, graf berada di atas paksi-x), untuk x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) fungsi y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Fungsi ini bukan genap atau ganjil kerana:

5) Mari kita periksa fungsi untuk berkala. Fungsi ini tidak berkala, kerana ia adalah fungsi rasional pecahan.

6) Mari kita periksa fungsi untuk extrema dan monotonicity. Untuk melakukan ini, kami mencari derivatif pertama fungsi:

Mari kita samakan terbitan pertama kepada sifar dan cari titik pegun (di mana y′=0y′=0):

Kami mendapat tiga titik kritikal: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Mari bahagikan keseluruhan domain definisi fungsi kepada selang dengan titik ini dan tentukan tanda terbitan dalam setiap selang:

Untuk x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) terbitan y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Untuk x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) terbitan y′>0y′>0, fungsi bertambah pada selang ini.

Dalam kes ini, x=−2x=−2 ialah titik minimum tempatan (fungsi menurun dan kemudian meningkat), x=4x=4 ialah titik maksimum tempatan (fungsi meningkat dan kemudian berkurang).

Mari cari nilai fungsi pada titik ini:

Oleh itu, titik minimum ialah (−2;4)(−2;4), titik maksimum ialah (4;−8)(4;−8).

7) Kami memeriksa fungsi untuk kinks dan convexity. Mari kita cari terbitan kedua bagi fungsi tersebut:

Mari kita samakan derivatif kedua kepada sifar:

Persamaan yang terhasil tidak mempunyai punca, jadi tiada titik infleksi. Selain itu, apabila x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 berpuas hati, iaitu, fungsi itu cekung, apabila x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) berpuas hati dengan y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Mari kita periksa kelakuan fungsi pada infiniti, iaitu, pada .

Kerana hadnya tidak berkesudahan, asimtot mendatar Tidak.

Mari cuba tentukan asimtot serong dalam bentuk y=kx+by=kx+b. Kami mengira nilai k,bk,b menggunakan formula yang diketahui:

Kami mendapati bahawa fungsi itu mempunyai satu asimtot serong y=−x−1y=−x−1.

9) Mata tambahan. Mari kita hitung nilai fungsi pada beberapa titik lain untuk membina graf dengan lebih tepat.

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.

10) Berdasarkan data yang diperoleh, kita akan membina graf, menambahnya dengan asimtot x=1x=1 (biru), y=−x−1y=−x−1 (hijau) dan tandakan titik ciri (persilangan ungu dengan paksi ordinat , ekstrem oren, mata tambahan hitam):

Tugasan 4: Geometrik, Masalah ekonomi (Saya tidak tahu apa, berikut adalah anggaran pilihan masalah dengan penyelesaian dan formula)

Contoh 3.23. a

Penyelesaian. x Dan y y
y = a - 2×a/4 =a/2. Oleh kerana x = a/4 adalah satu-satunya titik kritikal, mari kita semak sama ada tanda derivatif berubah apabila melalui titik ini. Untuk xa/4 S " > 0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет nilai tertinggi fungsi. Oleh itu, nisbah aspek yang paling baik bagi tapak di bawah keadaan masalah yang diberikan ialah y = 2x.

Contoh 3.24.

Penyelesaian.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Contoh 3.22. Cari ekstrem bagi fungsi f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Penyelesaian. Oleh kerana f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), maka titik genting bagi fungsi x 1 = 2 dan x 2 = 3. Extrema hanya boleh berada di Oleh itu, apabila melalui titik x 1 = 2 derivatif menukar tandanya dari tambah kepada tolak, maka pada titik ini fungsi mempunyai maksimum Apabila melalui titik x 2 = 3 derivatif menukar tandanya dari tolak hingga tambah, oleh itu pada titik x 2 = 3 fungsi mempunyai minimum Setelah mengira nilai fungsi pada titik
x 1 = 2 dan x 2 = 3, kita dapati ekstrema fungsi: maksimum f(2) = 14 dan minimum f(3) = 13.

Contoh 3.23. Ia adalah perlu untuk membina kawasan segi empat tepat berhampiran dinding batu supaya ia dipagari pada tiga sisi dengan dawai dan sisi keempat bersebelahan dengan dinding. Untuk ini ada a meter linear mesh. Apakah nisbah aspek yang akan dimiliki oleh tapak tersebut kawasan terbesar?

Penyelesaian. Mari kita nyatakan sisi platform dengan x Dan y. Luas tapak ialah S = xy. biarlah y- ini ialah panjang sisi yang bersebelahan dengan dinding. Kemudian, dengan syarat, kesamaan 2x + y = mesti dipegang. Oleh itu y = a - 2x dan S = x(a - 2x), di mana
0 ≤ x ≤ a/2 (panjang dan lebar pad tidak boleh negatif). S " = a - 4x, a - 4x = 0 pada x = a/4, dari mana
y = a - 2×a/4 =a/2. Memandangkan x = a/4 ialah satu-satunya titik kritikal, mari kita periksa sama ada tanda derivatif berubah apabila melalui titik ini. Untuk xa/4 S " > 0, dan untuk x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Contoh 3.24. Ia diperlukan untuk mengeluarkan tangki silinder tertutup dengan kapasiti V=16p ≈ 50 m 3 . Apakah ukuran tangki yang sepatutnya (jejari R dan ketinggian H) supaya jumlah bahan yang paling sedikit digunakan untuk pembuatannya?

Penyelesaian. Segi empat permukaan penuh silinder adalah sama dengan S = 2pR(R+H). Kita tahu isipadu silinder V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Ini bermakna S(R) = 2p(R 2 +16/R). Kami mencari terbitan fungsi ini:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 untuk R 3 = 8, oleh itu,
R = 2, H = 16/4 = 4.

Maklumat berkaitan.