zaman purba

Pada zaman purba, beberapa idea muncul yang kemudiannya membawa kepada kalkulus integral, tetapi pada era itu idea-idea ini tidak dikembangkan dengan cara yang ketat dan sistematik. Pengiraan isipadu dan kawasan, yang merupakan salah satu matlamat kalkulus kamiran, boleh didapati dalam Papirus Matematik Moscow dari Mesir (c. 1820 SM), tetapi formulanya adalah lebih banyak arahan, tanpa sebarang petunjuk kaedah, dan beberapa hanya tersilap. Dalam era matematik Yunani, Eudoxus (c. 408-355 SM) menggunakan kaedah keletihan untuk mengira kawasan dan isipadu, yang menjangkakan konsep had, dan kemudiannya idea ini dikembangkan lagi oleh Archimedes (c. 287-212 SM) dengan mencipta heuristik yang menyerupai kaedah kalkulus kamiran. Kaedah keletihan kemudiannya dicipta di China oleh Liu Hui pada abad ke-3 Masihi, yang digunakannya untuk mengira luas bulatan. Pada AD ke-5, Zu Chongzhi telah membangunkan kaedah untuk mengira isipadu bola, yang kemudiannya dipanggil prinsip Cavalieri.

Pertengahan umur

Pada abad ke-14, ahli matematik India Madhava Sangamagrama dan sekolah matematik astronomi Kerala memperkenalkan banyak komponen kalkulus seperti siri Taylor, penghampiran siri tak terhingga, ujian penumpuan kamiran, bentuk awal pembezaan, pengamiran istilah demi sebutan, kaedah lelaran untuk menyelesaikan persamaan bukan linear, dan menentukan kawasan di bawah lengkung itu kamirannya. Ada yang menganggap Yuktibhaza (Yuktibhāṣā) sebagai karya pertama tentang kalkulus.

Zaman moden

Di Eropah, risalah oleh Bonaventure Cavalieri menjadi karya asas, di mana dia berhujah bahawa jilid dan luas boleh dikira sebagai jumlah jilid dan luas bahagian nipis yang tidak terhingga. Idea-idea itu serupa dengan yang dikemukakan oleh Archimedes dalam Kaedah, tetapi risalah oleh Archimedes ini telah hilang sehingga separuh pertama abad ke-20. Kerja Cavalieri tidak diiktiraf, kerana kaedahnya boleh membawa kepada keputusan yang salah, dan dia mencipta reputasi yang meragukan untuk nilai yang sangat kecil.

Kajian formal kalkulus infinitesimal, yang digabungkan oleh Cavalieri dengan kalkulus perbezaan terhingga, sedang dijalankan di Eropah pada masa yang sama. Pierre Fermat, mendakwa bahawa dia meminjam ini daripada Diophantus, memperkenalkan konsep "quasi-equality" (eng. adequality), iaitu kesamaan sehingga ralat yang sangat kecil. Sumbangan besar turut dibuat oleh John Wallis, Isaac Barrow dan James Gregory. Dua yang terakhir sekitar 1675 membuktikan teorem asas kedua kalkulus.

Asas

Dalam matematik, asas merujuk kepada definisi ketat subjek, bermula dari aksiom dan definisi yang tepat. Pada peringkat awal pembangunan kalkulus, penggunaan kuantiti yang tidak terhingga dianggap tidak ketat, ia tertakluk kepada kritikan keras oleh beberapa pengarang, terutamanya Michel Rolle dan Bishop Berkeley. Berkeley terkenal menggambarkan infinitesimal sebagai "hantu kuantiti mati" dalam bukunya The Analyst pada tahun 1734. Pembangunan asas yang ketat untuk kalkulus menduduki ahli matematik selama lebih satu abad selepas Newton dan Leibniz, dan masih agak aktif dalam bidang penyelidikan hari ini.

Beberapa ahli matematik, termasuk Maclaurin, cuba membuktikan kesahihan penggunaan infinitesimals, tetapi ini hanya dilakukan 150 tahun kemudian oleh karya Cauchy dan Weierstrass, yang akhirnya menemui cara bagaimana untuk mengelakkan "perkara kecil" mudah infinitesimal, dan permulaannya diletakkan kalkulus pembezaan dan kamiran. Dalam tulisan Cauchy kita dapati spektrum universal pendekatan asas, termasuk definisi kesinambungan dari segi infinitesimal dan prototaip (agak tidak tepat) bagi definisi had (ε, δ) dalam definisi pembezaan. Dalam karyanya, Weierstrass memformalkan konsep had dan menghapuskan kuantiti tak terhingga. Selepas kerja Weierstrass ini, had, dan bukan kuantiti tak terhingga, menjadi asas umum untuk kalkulus. Bernhard Riemann menggunakan idea ini untuk memberikan takrifan yang tepat bagi kamiran. Juga, dalam tempoh ini, idea-idea kalkulus digeneralisasikan kepada ruang Euclidean dan kepada satah kompleks.

Dalam matematik moden, asas kalkulus dimasukkan ke dalam bahagian analisis sebenar, yang mengandungi definisi lengkap dan bukti teorem dalam kalkulus. Skop penyelidikan kalkulus telah menjadi lebih luas. Henri Lebesgue mengembangkan teori ukuran set dan menggunakannya untuk menentukan kamiran semua kecuali fungsi yang paling eksotik. Laurent Schwartz memperkenalkan fungsi umum, yang boleh digunakan untuk mengira derivatif sebarang fungsi sama sekali.

Pengenalan had menentukan bukan satu-satunya pendekatan yang ketat kepada asas kalkulus. Alternatifnya ialah, sebagai contoh, analisis bukan standard Abraham Robinson. Pendekatan Robinson, yang dibangunkan pada tahun 1960-an, menggunakan alat teknikal daripada logik matematik untuk melanjutkan sistem nombor nyata kepada infinitesimal dan infinite, seperti yang berlaku dalam konsep asal Newton-Leibniz. Nombor-nombor ini, dipanggil hiperreal, boleh digunakan dalam peraturan biasa kalkulus, sama seperti apa yang Leibniz lakukan.

Kepentingan

Walaupun beberapa idea kalkulus sebelum ini telah dibangunkan di Mesir, Greece, China, India, Iraq, Parsi, dan Jepun, penggunaan moden kalkulus bermula di Eropah pada abad ke-17, apabila Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz membina hasil kerja ahli matematik terdahulu prinsip asasnya. Perkembangan kalkulus adalah berdasarkan konsep awal gerakan serta-merta dan luas di bawah lengkung.

Kalkulus pembezaan digunakan dalam pengiraan yang berkaitan dengan kelajuan dan pecutan, sudut lengkung dan pengoptimuman. Aplikasi kalkulus kamiran termasuk pengiraan yang melibatkan luas, isipadu, panjang lengkok, pusat jisim, kerja dan tekanan. Aplikasi yang lebih kompleks termasuk pengiraan siri kuasa dan siri Fourier.

Kalkulus [ ] juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih tepat tentang sifat ruang, masa dan gerakan. Selama berabad-abad, ahli matematik dan ahli falsafah telah bergelut dengan paradoks yang berkaitan dengan pembahagian dengan sifar atau mencari jumlah siri nombor yang tidak terhingga. Soalan-soalan ini timbul dalam kajian gerakan dan pengiraan kawasan. Ahli falsafah Yunani kuno Zeno dari Elea memberikan beberapa contoh terkenal tentang paradoks tersebut. Kalkulus menyediakan alat untuk menyelesaikan paradoks ini, khususnya had dan siri tak terhingga.

Had dan infinitesimal

Nota

1. morris kline, Pemikiran matematik dari zaman purba hingga moden, Jld. saya
2. archimedes, kaedah, dalam Karya Archimedes ISBN 978-0-521-66160-7
3. Dun, Liu; Fan, Dainian; Cohen, Robert Sonne. Perbandingan kajian Archimdes" dan Liu Hui tentang bulatan (Bahasa Inggeris): jurnal. - Springer, 1966. - Jld. 130 . - Hlm. 279 . - ISBN 0-792-33463-9., Bab, hlm. 279
4. Zill, Dennis G.; Wright, Scott; Wright, Warren S. Kalkulus: Transendental Awal (tidak tentu). - 3. - Pembelajaran Jones & Bartlett (Bahasa Inggeris)bahasa Rusia, 2009. - S. xxvii. - ISBN 0-763-75995-3., Petikan muka surat 27
5. matematik India
6. von Neumann, J., "The Mathematician", dalam Heywood, R. B., ed., Kerja-kerja Minda, Akhbar Universiti Chicago, 1947, hlm. 180-196. Dicetak semula dalam Bródy, F., Vámos, T., eds., Kompedium Neumann, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., 1995, ISBN 9810222017, ms. 618-626.
7. André Weil: Teori nombor. Pendekatan melalui sejarah. Dari Hammurapi ke Legendre. Birkhauser Boston, Inc., Boston, MA, 1984, ISBN 0-8176-4565-9, hlm. 28.
8. Leibniz, Gottfried Wilhelm. Manuskrip Matematik Awal Leibniz. Cosimo, Inc., 2008. Halaman 228. Salinan
9. Unlu, Elif Maria Gaetana Agnesi (tidak tentu) . Kolej Agnes Scott (April 1995). Diarkibkan daripada yang asal pada 5 September 2012.

Pautan

• Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010). "Calculus", ed. ke-9, Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-547-16702-2
• McQuarrie, Donald A. (2003). Kaedah Matematik untuk Saintis dan Jurutera, Buku Sains Universiti. ISBN 978-1-891389-24-5
• James Stewart (2008). Kalkulus: Transendental Awal, ed. ke-6, Brooks Cole Cengage Learning.

pengenalan

L. Euler ialah ahli matematik paling produktif dalam sejarah, pengarang lebih daripada 800 karya mengenai analisis matematik, geometri pembezaan, teori nombor, pengiraan anggaran, mekanik cakerawala, fizik matematik, optik, balistik, pembinaan kapal, teori muzik, dll. Banyak daripada karya-karya beliau mempunyai pengaruh yang besar terhadap perkembangan sains.

Euler menghabiskan hampir separuh hayatnya di Rusia, di mana dia dengan penuh semangat membantu mencipta sains Rusia. Pada tahun 1726 beliau telah dijemput untuk bekerja di St. Petersburg. Pada 1731-1741 dan bermula dari 1766 beliau adalah ahli akademik Akademi Sains St. Petersburg (pada 1741-1766 beliau bekerja di Berlin, kekal sebagai ahli kehormat Akademi St. Petersburg). Dia tahu bahasa Rusia dengan baik, dia menerbitkan sebahagian daripada karyanya (terutama buku teks) dalam bahasa Rusia. Ahli akademik Rusia pertama dalam matematik (S.K. Kotelnikov) dan dalam astronomi (S.Ya. Rumovsky) adalah pelajar Euler. Beberapa keturunannya masih tinggal di Rusia.

L. Euler memberi sumbangan yang sangat besar kepada pembangunan analisis matematik.

Tujuan abstrak adalah untuk mengkaji sejarah perkembangan analisis matematik pada abad ke-18.

Konsep analisis matematik. Garis besar sejarah

Analisis matematik ialah satu set cabang matematik yang dikhaskan untuk mengkaji fungsi dan generalisasinya menggunakan kaedah kalkulus pembezaan dan kamiran. Dengan tafsiran umum sedemikian, analisis juga harus merangkumi analisis fungsi, bersama-sama dengan teori integral Lebesgue, analisis kompleks (TFKP), yang mengkaji fungsi yang ditakrifkan pada satah kompleks, analisis bukan standard, yang mengkaji nombor yang sangat kecil dan tidak terhingga. , serta kalkulus variasi.

Dalam proses pendidikan, analisis merangkumi

kalkulus pembezaan dan kamiran

Teori siri (fungsi, kuasa dan Fourier) dan kamiran pelbagai dimensi

analisis vektor.

Pada masa yang sama, elemen analisis fungsian dan teori kamiran Lebesgue diberikan secara pilihan, dan TFKP, kalkulus variasi, teori persamaan pembezaan diajar dalam kursus berasingan. Ketegasan eksposisi mengikut corak akhir abad ke-19 dan khususnya menggunakan teori set naif.

Pendahulu analisis matematik ialah kaedah keletihan purba dan kaedah tidak boleh dibahagikan. Ketiga-tiga arah, termasuk analisis, mempunyai idea awal yang sama: penguraian kepada unsur-unsur yang sangat kecil, yang sifatnya, walau bagaimanapun, kelihatan agak samar kepada pengarang idea itu. Pendekatan algebra (kalkulus infinitesimal) mula muncul di Wallis, James Gregory dan Barrow. Kalkulus baru sebagai sistem telah dicipta sepenuhnya oleh Newton, yang bagaimanapun, tidak menerbitkan penemuannya untuk masa yang lama. Newton I. Karya matematik. M, 1937.

Tarikh rasmi kelahiran kalkulus pembezaan boleh dipertimbangkan Mei 1684, apabila Leibniz menerbitkan artikel pertama "Kaedah baru maxima dan minima ..." Leibniz // Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., jilid V, hlm. 220-226. Rus. per.: Mat Kejayaan. Nauk, jilid 3, c. 1 (23), hlm. 166--173.. Artikel ini, dalam bentuk yang ringkas dan tidak boleh diakses, menggariskan prinsip kaedah baharu yang dipanggil kalkulus pembezaan.

Pada penghujung abad ke-17, satu bulatan timbul di sekitar Leibniz, wakil yang paling menonjol adalah saudara Bernoulli, Jacob dan Johann, dan Lopital. Pada tahun 1696, menggunakan syarahan I. Bernoulli, Lopital menulis buku teks pertama L'pital. Analisis infinitesimal. M.-L.: GTTI, 1935., yang membentangkan kaedah baru seperti yang diterapkan pada teori lengkung satah. Dia memanggilnya "Analisis infinitesimal", dengan itu memberikan salah satu nama kepada cabang baru matematik. Penyampaian adalah berdasarkan konsep pembolehubah, di antaranya terdapat beberapa sambungan, kerana perubahan dalam satu memerlukan perubahan pada yang lain. Dalam Lopital, sambungan ini diberikan menggunakan lengkung satah: jika M ialah titik bergerak bagi lengkung satah, maka koordinat Cartesan x dan y, yang dipanggil diameter dan ordinat lengkung, adalah pembolehubah, dan perubahan dalam x memerlukan perubahan. dalam y. Konsep fungsi tiada: ingin mengatakan bahawa pergantungan pembolehubah diberikan, Lopital mengatakan bahawa "sifat lengkung diketahui." Konsep pembezaan diperkenalkan seperti berikut:

“Bahagian infinitesimal yang mana nilai pembolehubah terus meningkat atau menurun dipanggil pembezaannya ... Untuk menunjukkan pembezaan kuantiti berubah, yang dengan sendirinya dinyatakan oleh satu huruf, kita akan menggunakan tanda atau simbol d. di sana. Ch.1, def.2 %D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0% B8%D0%B7 - cite_note -4#cite_note-4 ... Bahagian infinitesimal di mana pembezaan pembolehubah bertambah atau berkurang secara berterusan dipanggil ... pembezaan kedua. di sana. Ch.4, def.1.

Takrifan ini diterangkan secara geometri, dengan kenaikan yang tidak terhingga ditunjukkan sebagai terhingga dalam rajah. Pertimbangan adalah berdasarkan dua keperluan (aksiom). Pertama:

Ia dikehendaki bahawa dua kuantiti yang berbeza antara satu sama lain hanya dengan jumlah yang tidak terhingga boleh diambil secara acuh tak acuh satu daripada yang lain. Lopital. Analisis infinitesimal. M.-L.: GTTI, 1935. ch.1, keperluan 1.

dxy = (x + dx)(y + dy) ? xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

dan sebagainya. peraturan pembezaan. Keperluan kedua ialah:

Ia dikehendaki bahawa seseorang boleh menganggap garis melengkung sebagai koleksi set tak terhingga garis lurus tak terhingga kecil.

Kesinambungan setiap garis tersebut dipanggil tangen kepada lengkung. di sana. Bab 2. def. Menyiasat tangen yang melalui titik M = (x, y), L'Hopital sangat mementingkan kuantiti

mencapai nilai ekstrem pada titik infleksi lengkung, manakala nisbah dy kepada dx tidak diberi sebarang kepentingan khusus.

Mencari titik ekstrem perlu diberi perhatian. Jika, dengan pertambahan berterusan dalam diameter x, ordinat bagi y mula-mula bertambah dan kemudian berkurangan, maka pembezaan dy adalah positif pertama berbanding dx, dan kemudian negatif.

Tetapi mana-mana kuantiti yang terus meningkat atau berkurangan tidak boleh bertukar daripada positif kepada negatif tanpa melalui infiniti atau sifar ... Ini berikutan bahawa pembezaan magnitud terbesar dan terkecil mestilah sama dengan sifar atau infiniti.

Rumusan ini mungkin tidak sempurna, jika kita ingat keperluan pertama: katakan, y = x2, kemudian berdasarkan keperluan pertama

2xdx + dx2 = 2xdx;

pada sifar, sebelah kanan adalah sifar, tetapi sebelah kiri tidak. Nampaknya sepatutnya dikatakan bahawa dy boleh diubah mengikut keperluan pertama supaya pada titik maksimum dy = 0. Dalam contoh, semuanya jelas, dan hanya dalam teori titik infleksi Lopital menulis bahawa dy adalah sama dengan sifar pada titik maksimum, dibahagikan dengan dx Lopital. Analisis infinitesimal. M.-L.: GTTI, 1935 § 46.

Selanjutnya, dengan bantuan pembezaan sahaja, syarat untuk ekstrem dirumuskan dan sejumlah besar masalah kompleks dipertimbangkan, terutamanya berkaitan dengan geometri pembezaan pada satah. Pada akhir buku, dalam ch. 10, apa yang kini dipanggil peraturan L'Hopital dinyatakan, walaupun dalam bentuk yang tidak biasa. Biarkan nilai ordinat y lengkung itu dinyatakan sebagai pecahan, pengangka dan penyebutnya lenyap pada x = a. Kemudian titik lengkung dengan x = a mempunyai ordinat y sama dengan nisbah pembezaan pengangka kepada pembezaan penyebut yang diambil pada x = a.

Menurut idea L'Hopital, apa yang ditulisnya adalah bahagian pertama "Analisis", manakala bahagian kedua sepatutnya mengandungi kalkulus kamiran, iaitu cara untuk mencari sambungan pembolehubah dengan sambungan yang diketahui bagi pembezaannya. Eksposisi pertamanya diberikan oleh Johann Bernoulli dalam Syarahan Matematik mengenai Kaedah Kamiran oleh Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914. Di sini kaedah untuk mengambil kebanyakan kamiran asas diberikan dan kaedah untuk menyelesaikan banyak persamaan pembezaan tertib pertama diberikan.

Sejarah kalkulus

Abad ke-18 sering dipanggil abad revolusi saintifik, yang menentukan perkembangan masyarakat sehingga ke hari ini. Revolusi ini berdasarkan penemuan matematik yang luar biasa yang dibuat pada abad ke-17 dan diasaskan pada abad berikutnya. “Tidak ada satu objek pun dalam dunia material dan tiada satu pun pemikiran dalam alam roh, yang tidak akan terjejas oleh pengaruh revolusi saintifik abad ke-18. Tiada satu pun unsur tamadun moden boleh wujud tanpa prinsip mekanik, tanpa geometri analitik dan kalkulus pembezaan. Tidak ada satu cabang pun aktiviti manusia yang tidak mengalami pengaruh kuat dari genius Galileo, Descartes, Newton dan Leibniz. Kata-kata ahli matematik Perancis E. Borel (1871 - 1956), yang diucapkan olehnya pada tahun 1914, kekal relevan pada zaman kita. Ramai saintis hebat menyumbang kepada pembangunan analisis matematik: I. Kepler (1571 -1630), R. Descartes (1596 -1650), P. Fermat (1601 -1665), B. Pascal (1623 -1662), H. Huygens (1629 -1695), I. Barrow (1630 -1677), saudara J. Bernoulli (1654 -1705) dan I. Bernoulli (1667 -1748) dan lain-lain.

Inovasi selebriti ini dalam memahami dan menerangkan dunia di sekeliling kita:

pergerakan, perubahan dan kebolehubahan (kehidupan yang dimasuki dengan dinamik dan perkembangannya);

pemeran statistik dan gambaran keadaannya.

Penemuan matematik abad ke-17-17 ditakrifkan menggunakan konsep seperti pembolehubah dan fungsi, koordinat, graf, vektor, terbitan, kamiran, siri dan persamaan pembezaan.

Pascal, Descartes dan Leibniz bukanlah ahli matematik seperti ahli falsafah. Ia adalah makna manusia sejagat dan falsafah penemuan matematik mereka yang kini menjadi nilai utama dan merupakan elemen yang diperlukan dalam budaya bersama.

Kedua-dua falsafah serius dan matematik serius tidak boleh difahami tanpa menguasai bahasa yang sesuai. Newton, dalam surat kepada Leibniz mengenai penyelesaian persamaan pembezaan, menggariskan kaedahnya seperti berikut: 5accdae10effh 12i…rrrssssttuu.

Pengasas sains moden - Copernicus, Kepler, Galileo dan Newton - mendekati kajian alam sebagai matematik. Semasa mengkaji gerakan, ahli matematik membangunkan konsep asas seperti fungsi, atau hubungan antara pembolehubah, contohnya. d = kt 2, di mana d ialah jarak yang dilalui oleh jasad yang jatuh bebas, dan t ialah bilangan saat badan jatuh bebas. Konsep fungsi segera menjadi pusat dalam menentukan kelajuan pada masa tertentu dan pecutan jasad yang bergerak. Kesukaran matematik masalah ini ialah pada bila-bila masa badan bergerak jarak sifar dalam masa sifar. Oleh itu, menentukan nilai kelajuan pada satu saat dengan membahagikan laluan dengan masa, kita akan sampai kepada ungkapan tidak bermakna secara matematik 0/0.

Masalah menentukan dan mengira kadar serta-merta perubahan pelbagai kuantiti menarik perhatian hampir semua ahli matematik abad ke-17, termasuk Barrow, Fermat, Descartes, dan Wallis. Idea dan kaedah yang berbeza yang dicadangkan oleh mereka digabungkan menjadi kaedah formal yang sistematik dan boleh digunakan secara universal oleh Newton dan G. Leibniz (1646-1716), pencipta kalkulus pembezaan. Terdapat perdebatan hangat di antara mereka mengenai keutamaan dalam membangunkan kalkulus ini, dengan Newton menuduh Leibniz plagiarisme. Walau bagaimanapun, seperti yang ditunjukkan oleh kajian ahli sejarah sains, Leibniz mencipta analisis matematik secara bebas daripada Newton. Akibat konflik, pertukaran idea antara ahli matematik benua Eropah dan England telah terganggu selama bertahun-tahun, sehingga merugikan pihak British. Ahli matematik Inggeris terus mengembangkan idea-idea analisis dalam arah geometri, manakala ahli matematik benua Eropah, termasuk I. Bernoulli (1667-1748), Euler dan Lagrange, mencapai kejayaan yang lebih besar, mengikut pendekatan algebra, atau analitikal.

Asas semua analisis matematik adalah konsep had. Kelajuan pada satu titik masa ditakrifkan sebagai had ke arah mana kelajuan purata cenderung d/t apabila nilai t semakin menghampiri sifar. Kalkulus pembezaan menyediakan kaedah umum yang mudah untuk mencari kadar perubahan fungsi f (x) untuk sebarang nilai X. Kelajuan ini dipanggil derivatif. Daripada keluasan rekod f (x) adalah jelas bahawa konsep derivatif boleh digunakan bukan sahaja dalam tugas yang berkaitan dengan keperluan untuk mencari kelajuan atau pecutan, tetapi juga berkaitan dengan sebarang pergantungan fungsi, sebagai contoh, kepada beberapa nisbah daripada teori ekonomi. Salah satu aplikasi utama kalkulus pembezaan ialah apa yang dipanggil. tugas untuk maksimum dan minimum; Satu lagi masalah penting ialah mencari tangen pada lengkung tertentu.

Ternyata dengan bantuan derivatif, yang dicipta khas untuk bekerja dengan masalah pergerakan, ia juga mungkin untuk mencari kawasan dan isipadu yang dibatasi oleh lengkung dan permukaan, masing-masing. Kaedah geometri Euclidean tidak mempunyai keluasan yang betul dan tidak membenarkan mendapatkan keputusan kuantitatif yang diperlukan. Melalui usaha ahli matematik abad ke-17. Banyak kaedah persendirian dicipta yang memungkinkan untuk mencari kawasan angka yang dibatasi oleh lengkung dari satu jenis atau yang lain, dan dalam beberapa kes terdapat hubungan antara masalah ini dan masalah mencari kadar perubahan fungsi. Tetapi, seperti dalam kes kalkulus pembezaan, Newton dan Leibniz yang menyedari keluasan kaedah dan dengan itu meletakkan asas kalkulus kamiran.

Kaedah Newton-Leibniz bermula dengan penggantian lengkung yang mengehadkan kawasan yang akan ditentukan oleh urutan garis putus yang menghampirinya, sama seperti cara ia dilakukan dalam kaedah keletihan yang dicipta oleh orang Yunani. Luas tepat adalah sama dengan jumlah had kawasan n segi empat tepat apabila n bertukar kepada infiniti. Newton menunjukkan bahawa had ini boleh didapati dengan membalikkan proses mencari kadar perubahan fungsi. Operasi songsang pembezaan dipanggil integrasi. Pernyataan bahawa penjumlahan boleh dilakukan dengan membalikkan pembezaan dipanggil teorem asas analisis matematik. Sama seperti pembezaan boleh digunakan untuk kelas masalah yang lebih luas daripada pencarian halaju dan pecutan, penyepaduan boleh digunakan untuk sebarang masalah yang berkaitan dengan penjumlahan, contohnya, kepada masalah fizikal yang melibatkan penambahan daya.

Abad ke-19 adalah permulaan zaman baharu, keempat dalam sejarah matematik - zaman matematik moden.

Kita sedia maklum bahawa salah satu hala tuju utama perkembangan matematik dalam tempoh keempat ialah pengukuhan ketegasan pembuktian dalam semua matematik, terutamanya penstrukturan semula analisis matematik secara logik. Pada separuh kedua abad XVIII. banyak percubaan telah dibuat untuk menyusun semula analisis matematik: pengenalan definisi had (D'Alembert dan lain-lain), definisi derivatif sebagai had nisbah (Euler dan lain-lain), keputusan Lagrange dan Carnot, dsb. ., tetapi kerja-kerja ini tidak mempunyai sistem, dan kadangkala ia tidak berjaya. Walau bagaimanapun, mereka menyediakan tanah di mana perestroika pada abad ke-19. dapat dijalankan. Pada abad ke-19 arah pembangunan analisis matematik ini menjadi yang terkemuka. Mereka diambil alih oleh O. Koshi, B. Bolzano, K. Weierstrass dan lain-lain.

1. Augustin Louis Cauchy (1789−1857) lulus dari Sekolah Politeknik dan Institut Komunikasi di Paris. Sejak 1816, ahli Akademi Paris dan profesor di Sekolah Politeknik. Pada tahun 1830−1838. semasa tahun republik itu, dia berada dalam buangan kerana keyakinan monarkinya. Sejak 1848, Cauchy menjadi profesor di Sorbonne - Universiti Paris. Beliau menerbitkan lebih daripada 800 kertas kerja mengenai kalkulus, persamaan pembezaan, teori fungsi pembolehubah kompleks, algebra, teori nombor, geometri, mekanik, optik, dll. Bidang utama minat saintifiknya ialah kalkulus dan teori fungsi kompleks pembolehubah.

Cauchy menerbitkan kuliahnya mengenai analisis, yang diberikan di Sekolah Politeknik, dalam tiga gubahan: "Kursus Analisis" (1821), "Ringkasan Kuliah tentang Kalkulus Infinitesimal" (1823), "Kuliah Aplikasi Analisis kepada Geometri", 2 jilid (1826, 1828). dalam buku-buku ini, buat pertama kalinya, analisis matematik adalah berdasarkan teori had. mereka menandakan permulaan penyusunan semula radikal analisis matematik.

Cauchy memberikan takrifan berikut tentang had pembolehubah: "Jika nilai yang diberikan secara berturut-turut kepada pembolehubah yang sama menghampiri nilai tetap selama-lamanya, sehingga pada akhirnya mereka berbeza sedikit daripadanya secara sewenang-wenangnya, maka yang terakhir dipanggil had bagi semua yang lain." Intipati perkara itu dinyatakan dengan baik di sini, tetapi perkataan "sewenang-wenangnya kecil" itu sendiri perlu ditakrifkan, dan selain itu, takrifan had pembolehubah, dan bukan had fungsi, dirumuskan di sini. Selanjutnya, penulis membuktikan pelbagai sifat had.

Kemudian Cauchy memberikan takrifan berikut tentang kesinambungan fungsi: fungsi dipanggil selanjar (pada satu titik) jika kenaikan tak terhingga bagi hujah menjana kenaikan fungsi yang sangat kecil, iaitu, dalam bahasa moden

Kemudian dia mempunyai pelbagai sifat fungsi berterusan.

Dalam buku pertama, beliau juga menganggap teori siri: beliau mentakrifkan jumlah siri nombor sebagai had jumlah separanya, memperkenalkan beberapa kriteria yang mencukupi untuk penumpuan siri nombor, serta siri kuasa dan rantau penumpuan mereka - semua ini di kawasan sebenar dan di kawasan kompleks.

Beliau menghuraikan kalkulus pembezaan dan kamiran dalam buku kedua.

Cauchy mentakrifkan terbitan fungsi sebagai had nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah apabila kenaikan hujah cenderung kepada sifar, dan pembezaan sebagai had nisbah Dari sini ia mengikutinya. Seterusnya, kami mempertimbangkan formula biasa untuk derivatif; penulis sering menggunakan teorem nilai min Lagrange.

Dalam kalkulus kamiran, Cauchy buat pertama kalinya mengemukakan kamiran pasti sebagai konsep asas. Beliau juga memperkenalkannya buat kali pertama sebagai had jumlah kamiran. Di sini kami membuktikan satu teorem penting mengenai kebolehintegrasian fungsi berterusan. Kamiran tak tentu ditakrifkan sebagai fungsi hujah yang. Selain itu, pengembangan fungsi dalam siri Taylor dan Maclaurin dipertimbangkan di sini.

Pada separuh kedua abad XIX. sebilangan saintis: B. Riemann, G. Darboux dan lain-lain menemui syarat baharu untuk kebolehsepaduan fungsi dan malah mengubah takrifan kamiran pasti dengan cara yang boleh digunakan untuk penyepaduan beberapa fungsi tak selanjar.

Dalam teori persamaan pembezaan, Cauchy terutamanya terlibat dalam membuktikan teorem kewujudan yang asasnya penting: kewujudan penyelesaian kepada persamaan pembezaan biasa, pertama daripada yang pertama, dan kemudian dari urutan ke-; kewujudan penyelesaian untuk sistem linear persamaan pembezaan separa.

Dalam teori fungsi pembolehubah kompleks, Cauchy adalah pengasas; banyak artikelnya dikhaskan kepadanya. Pada abad XVIII. Euler dan d'Alembert hanya meletakkan asas bagi teori ini. Dalam kursus universiti mengenai teori fungsi pembolehubah kompleks, kami sentiasa memenuhi nama Cauchy: Cauchy - syarat Riemann untuk kewujudan derivatif, kamiran Cauchy, formula kamiran Cauchy, dsb.; banyak teorem pada sisa-sisa fungsi juga disebabkan oleh Cauchy. B. Riemann, K. Weierstrass, P. Laurent dan lain-lain juga memperoleh keputusan yang sangat penting dalam bidang ini.

Mari kita kembali kepada konsep asas analisis matematik. Pada separuh kedua abad ini, menjadi jelas bahawa saintis Czech Bernard Bolzano (1781 - 1848) telah melakukan banyak perkara dalam bidang analisis yang menyokong sebelum Cauchy dan Weierstrasse. Sebelum Cauchy, dia memberikan definisi had, kesinambungan fungsi, dan penumpuan siri nombor, membuktikan kriteria untuk penumpuan jujukan nombor, dan juga, lama sebelum ia muncul di Weierstrass, teorem: jika nombor ditetapkan dibatasi dari atas (dari bawah), maka ia mempunyai tepi atas tepat (bawah tepat). Beliau menganggap beberapa sifat fungsi berterusan; Ingat bahawa dalam kursus analisis matematik universiti terdapat teorem Bolzano-Cauchy dan Bolzano-Weierstrass mengenai fungsi berterusan pada segmen. Bolzano juga menyiasat beberapa isu analisis matematik, contohnya, dia membina contoh pertama fungsi yang berterusan pada segmen, tetapi tidak mempunyai derivatif pada mana-mana titik pada segmen. Semasa hayatnya, Bolzano hanya dapat menerbitkan lima karya kecil, jadi hasilnya diketahui terlambat.

2. Dalam analisis matematik, ketiadaan definisi fungsi yang jelas semakin jelas dirasai. Sumbangan penting untuk menyelesaikan pertikaian tentang apa yang dimaksudkan dengan fungsi telah dibuat oleh saintis Perancis Jean Fourier. Beliau terlibat dalam teori matematik pengaliran haba dalam pepejal dan sehubungan dengan ini beliau menggunakan siri trigonometri (siri Fourier)

siri ini kemudiannya digunakan secara meluas dalam fizik matematik - sains yang memperkatakan kaedah matematik untuk mengkaji persamaan pembezaan separa yang ditemui dalam fizik. Fourier membuktikan bahawa mana-mana lengkung selanjar, tidak kira bahagian heterogen yang terdiri daripadanya, boleh ditakrifkan dengan satu ungkapan analitik - siri trigonometri, dan ini juga boleh dilakukan untuk beberapa lengkung dengan ketakselanjaran. Kajian siri sedemikian, yang dijalankan oleh Fourier, sekali lagi menimbulkan persoalan tentang apa yang dimaksudkan dengan fungsi. Bolehkah kita menganggap bahawa lengkung sedemikian mentakrifkan fungsi? (Ini adalah pembaharuan kontroversi abad ke-18 lama tentang hubungan antara fungsi dan formula pada tahap yang baru.)

Pada tahun 1837, ahli matematik Jerman P. Dierechle buat pertama kalinya memberikan definisi moden tentang fungsi: "terdapat fungsi pembolehubah (pada segmen jika, setiap nilai (pada segmen ini) sepadan dengan nilai yang pasti sepenuhnya, dan tidak kira bagaimana surat-menyurat ini diwujudkan - dengan formula analitik, graf, jadual atau bahkan hanya dalam perkataan". Penambahan itu patut diberi perhatian: "tidak ada bezanya bagaimana surat-menyurat ini ditubuhkan." Takrifan Direkhlet mendapat pengiktirafan umum dengan agak cepat Benar, kini menjadi kebiasaan untuk memanggil surat-menyurat itu sendiri sebagai fungsi.

3. Standard moden ketelitian dalam analisis matematik mula-mula muncul dalam karya Weierstrass (1815−1897), bekerja untuk masa yang lama sebagai guru matematik di gimnasium, dan pada tahun 1856 menjadi profesor di Universiti Berlin. Pendengar syarahannya secara beransur-ansur menerbitkannya dalam bentuk buku yang berasingan, berkat kandungan syarahan Weierstrass menjadi terkenal di Eropah. Weierstrasslah yang mula menggunakan bahasa secara sistematik dalam analisis matematik. Beliau memberikan takrifan had jujukan, takrifan had fungsi dalam bahasa (yang sering tersilap dipanggil takrif Cauchy), teorem yang terbukti dengan ketat. pada had dan apa yang dipanggil teorem Weierstrass pada had jujukan monoton: jujukan meningkat (berkurang), bersempadan dari atas (dari bawah), mempunyai had terhingga. Dia mula menggunakan konsep sempadan atas dan bawah yang tepat bagi set berangka, konsep titik had set, membuktikan teorem (yang juga mempunyai pengarang lain - Bolzano): set berangka bersempadan mempunyai titik had, dianggap beberapa sifat fungsi berterusan. Weierstrass menumpukan banyak karya kepada teori fungsi pembolehubah kompleks, menyokongnya dengan bantuan siri kuasa. Beliau juga mengusahakan kalkulus variasi, geometri pembezaan dan algebra linear.

4. Marilah kita memikirkan tentang teori himpunan tak terhingga. Penciptanya ialah ahli matematik Jerman Kantor. Georg Kantor (18451918) bekerja selama bertahun-tahun sebagai profesor di Universiti Halle. Beliau menerbitkan karya mengenai teori set bermula dari tahun 1870. Dia membuktikan ketidakbolehkiraan set nombor nyata, dengan itu mewujudkan kewujudan set tak terhingga yang tidak setara, memperkenalkan konsep umum kuasa set, dan mengetahui prinsip untuk membandingkan kuasa. Kantor membina teori nombor transfinite, "tidak betul", mengaitkan nombor transfiniti yang paling rendah dan terkecil kepada kardinaliti set boleh dikira (khususnya, set nombor asli), kardinaliti set nombor nyata - lebih tinggi, lebih besar. nombor transfiniti, dsb.; ini membolehkannya membina aritmetik untuk nombor transfiniti yang serupa dengan aritmetik biasa untuk nombor asli. Cantor secara sistematik menggunakan infiniti sebenar, sebagai contoh, kemungkinan benar-benar "meletihkan" siri semula jadi nombor, manakala sebelum dia dalam matematik abad ke-19. hanya potensi infiniti digunakan.

Teori set Cantor menimbulkan bantahan daripada ramai ahli matematik apabila ia mula-mula muncul, tetapi pengiktirafan secara beransur-ansur datang apabila kepentingannya yang besar untuk menyokong topologi dan teori fungsi pembolehubah sebenar menjadi jelas. Tetapi jurang logik kekal dalam teori itu sendiri, khususnya, paradoks teori set ditemui. Berikut adalah salah satu paradoks yang paling terkenal. Nyatakan dengan set semua set sedemikian yang bukan unsur mereka sendiri. Adakah kemasukan juga memegang dan bukan elemen, kerana dengan syarat hanya set tersebut dimasukkan sebagai elemen yang bukan elemen sendiri; jika, mengikut syarat, percanggahan kemasukan berlaku dalam kedua-dua kes.

Paradoks ini dikaitkan dengan ketidakkonsistenan dalaman beberapa set. Ia menjadi jelas bahawa tidak semua set boleh digunakan dalam matematik. Kewujudan paradoks telah diatasi oleh penciptaan pada awal abad ke-20. teori set aksiomatik (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann, dll.), yang, khususnya, menjawab soalan: set apakah yang boleh digunakan dalam matematik? Ternyata seseorang boleh menggunakan set kosong, penyatuan set yang diberikan, set semua subset set tertentu, dsb.