Segiempat ABCD Satu angka dipanggil rajah yang terdiri daripada empat titik A, B, C, D, tiga setiap satu, tidak terletak pada satu garis lurus, dan empat segmen AB, BC, CD dan AD yang menghubungkan titik-titik ini.

Rajah menunjukkan segi empat.

Titik A, B, C dan D dipanggil bucu segi empat, dan segmen AB, BC, CD dan AD - pihak. Bucu A dan C, B dan D dipanggil bucu bertentangan. Sisi AB dan CD, BC dan AD dipanggil sisi bertentangan.

Terdapat segi empat cembung(dalam rajah - kiri) dan tidak cembung(dalam rajah - kanan).

Setiap pepenjuru segi empat cembung membahagikannya kepada dua segi tiga(AC pepenjuru membahagikan ABCD kepada dua segi tiga ABC dan ACD; pepenjuru BD - pada BCD dan BAD). Pada segi empat tidak cembung hanya satu pepenjuru membahagikannya kepada dua segi tiga(AC pepenjuru membahagikan ABCD kepada dua segi tiga ABC dan ACD; pepenjuru BD tidak).

Pertimbangkan jenis utama segi empat, sifatnya, rumus luas:

segi empat selari

segi empat selari dipanggil segi empat sisi bertentangan adalah selari berpasangan.

sifat:

Ciri-ciri segiempat selari:

1. Jika dalam segiempat dua sisi adalah sama dan selari, maka segiempat ini ialah segiempat selari.
2. Jika dalam segi empat sisi yang bertentangan adalah sama berpasangan, maka segiempat ini ialah segiempat selari.
3. Jika dalam segiempat pepenjuru bersilang dan titik persilangan dibahagikan kepada separuh, maka segiempat ini ialah segiempat selari.

Kawasan selari:

Trapeze

Trapeze Segi empat dipanggil segi empat di mana dua sisi adalah selari dan dua sisi yang lain tidak selari.

alasan dipanggil sisi selari, dan dua sisi yang lain sisi.

garisan tengah Trapezoid dipanggil segmen yang menghubungkan titik tengah sisinya.

TEOREM.

garisan tengah trapezium adalah selari dengan tapak dan sama dengan separuh jumlahnya.

Kawasan trapezium:

Ketupat

Ketupat Jajaran selari dipanggil jika semua sisi adalah sama.

sifat:

Kawasan ketupat:

segi empat tepat

segi empat tepat Jajaran selari dipanggil di mana semua sudut adalah sama.

sifat:

Tanda segi empat tepat:

Jika pepenjuru segi empat selari adalah sama, maka segiempat selari adalah segi empat tepat.

Luas segi empat tepat:

Segi empat

Segi empat Segi empat tepat dipanggil di mana semua sisi adalah sama.

Hartanah:

Segi empat sama mempunyai semua sifat segi empat tepat dan belah ketupat (segi empat tepat ialah segi empat selari, oleh itu segi empat sama ialah segi empat selari dengan semua sisi sama, iaitu belah ketupat).

Luas persegi:

Belakang ke hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili tahap penuh pembentangan. Jika anda berminat kerja ini sila muat turun versi penuh.

Tujuan pelajaran: mempertimbangkan ciri segi empat selari dan menyatukan pengetahuan yang diperoleh dalam proses menyelesaikan masalah.

Tugasan:

• pendidikan: pembentukan kemahiran untuk menggunakan tanda segi empat selari untuk menyelesaikan masalah;
• membangun: pembangunan pemikiran logik, perhatian, kemahiran kerja bebas, kemahiran harga diri;
• pendidikan: memupuk minat dalam subjek, keupayaan untuk bekerja dalam satu pasukan, budaya komunikasi.

Jenis pelajaran: mempelajari bahan baharu, peneguhan primer.

peralatan: papan interaktif, projektor, kad tugas, pembentangan.

Semasa kelas

1. Detik organisasi.

W: Selamat petang kawan-kawan! Hari ini dalam pelajaran kita sekali lagi akan bercakap tentang segi empat selari. Kita perlu menyelesaikan banyak tugasan, membuktikan teorem dan belajar cara mengaplikasikannya dalam menyelesaikan masalah. Moto pelajaran kami ialah kata-kata Le Carbusier: "Segala sesuatu di sekeliling adalah geometri."

2. Aktualisasi pengetahuan pelajar.

Tinjauan teori

Berikan beberapa pelajar tugasan individu pada kad mengenai topik tersebut sifat selari(tugasan dipilih oleh masing-masing sendiri pada slaid pembentangan melalui hiperpautan, melayang tetikus pada angka, tetapi bukan nombor), dengar secara individu kepada setiap responden.

Dengan selebihnya - untuk membuktikan sifat tambahan segi empat selari. (Mula-mula bincangkan bukti secara lisan, kemudian semak dengan papan putih interaktif.)

1°. Pembahagi dua sudut bagi segi empat selari memotong segi tiga sama kaki daripadanya.

2°. Pembelah dua bagi sudut bersebelahan bagi segi empat selari adalah berserenjang, dan pembahagi dua sudut bertentangan adalah selari atau terletak pada garis yang sama.

Selepas penyediaan, dengarkan bukti sifat tambahan segi empat selari.

ABCD ialah segi empat selari,

AE ialah pembahagi dua sudut BAD.

Buktikan: ABE ialah sama kaki.

Bukti:

Oleh kerana ABCD ialah segiempat selari, maka BC || AD, maka sudut EAD = sudut BEA sebagai bersilang dengan garis selari BC dan AD dan sekan AE. AE ialah pembahagi dua sudut BAD, jadi sudut BAE = sudut EAD, jadi sudut BAE = sudut BEA.

Dalam sudut ABE BAE = sudut BEA, jadi ABE ialah sama kaki dengan tapak AE.

Soalan cadangan:

Takrifkan segi tiga sama kaki.

Apakah sudut dalam BAE yang boleh sama? kenapa?

ABCD ialah segi empat selari,

BE ialah pembahagi bagi sudut CBA,

AE ialah pembahagi dua sudut BAD.

Soalan cadangan:

Bilakah garis AE dan CK akan selari?

Adakah sudut BEA dan<3? Почему?

Dalam kes apakah AE dan CK akan sepadan?

Bersedia untuk mempelajari bahan baharu

Kerja hadapan dengan kelas (secara lisan).

• Apakah maksud perkataan "sifat" dan "ciri"? Beri contoh.
• Apakah teorem songsang?
• Adakah kebalikan daripada pernyataan yang diberikan sentiasa benar? Beri contoh.

3. Penjelasan bahan baharu.

DW: Setiap objek mempunyai sifat dan ciri tersendiri. Sila beritahu saya bagaimana sifat berbeza daripada ciri.

Mari cuba memahami isu ini dengan contoh mudah. Diberi objek - musim luruh. Namakan sifatnya: Ciri-cirinya:

• Apakah penyataan yang merupakan sifat dan sifat sesuatu objek berhubung antara satu sama lain? (jawapan: terbalik)
• Apakah sifat dalam kursus geometri yang telah kita pelajari? Rumuskan mereka. (namakan beberapa)

Bolehkah sebaliknya berlaku untuk mana-mana harta? (pelbagai jawapan).

Mari kita semak pada sifat berikut:

Kesimpulan: Adakah mungkin untuk membina pernyataan sebaliknya yang benar untuk mana-mana harta? (tidak, bukan untuk sesiapa)

Sekarang, mari kita kembali ke segi empat kita, ingat sifatnya dan rumuskan pernyataan songsangnya, iaitu: .. (jawapannya ialah tanda segi empat selari). Jadi, topik pelajaran hari ini: "Tanda-tanda segi empat selari."

Jadi, namakan sifat segi empat selari.

Rumuskan songsangan bagi sifat penegasan. (Murid merumus tanda, guru membetulkannya dan merumusnya semula)

Mari kita buktikan tanda-tanda ini. Tanda pertama secara terperinci, yang kedua pendek, yang ketiga adalah sendiri di rumah.

4. Pengukuhan bahan yang dipelajari.

Bekerja dalam buku kerja: selesaikan masalah No. 11 pada papan putih interaktif untuk memanggil pelajar yang kurang bersedia ke papan hitam.

Penyelesaian masalah No. 379 (tulis penyelesaian pada papan putih interaktif). Daripada bucu B dan D segi empat selari ABCD, di mana AB BC dan A adalah tajam, serenjang BK dan DM dilukis ke garis AC. Buktikan bahawa BMDK segiempat ialah segiempat selari.

Tahap purata

segi empat selari, segi empat tepat, rombus, segi empat sama (2019)

1. segi empat selari

Kata majmuk "paralelogram"? Dan di belakangnya adalah sosok yang sangat sederhana.

Nah, iaitu, kami mengambil dua garis selari:

Disilangkan oleh dua lagi:

Dan di dalam - segi empat selari!

Apakah sifat segi empat selari?

sifat selari.

Iaitu, apakah yang boleh digunakan jika segi empat selari diberikan dalam masalah?

Soalan ini dijawab oleh teorem berikut:

Mari kita lukis semuanya secara terperinci.

Apakah titik pertama teorem? Dan hakikat bahawa jika anda MEMPUNYAI segi empat selari, maka dengan segala cara

Perenggan kedua bermaksud bahawa jika terdapat segi empat selari, maka, sekali lagi, dengan segala cara:

Nah, dan akhirnya, titik ketiga bermakna jika anda MEMPUNYAI segi empat selari, maka pastikan:

Lihat betapa banyak pilihan? Apa yang perlu digunakan dalam tugasan? Cuba fokus pada persoalan tugas, atau cuba semuanya secara bergilir - beberapa jenis "kunci" akan dilakukan.

Dan sekarang mari kita tanya diri kita satu lagi soalan: bagaimana untuk mengenali segi empat selari "di muka"? Apakah yang mesti berlaku kepada segi empat supaya kita mempunyai hak untuk memberikannya "tajuk" segi empat selari?

Soalan ini dijawab oleh beberapa tanda segi empat selari.

Ciri-ciri segi empat selari.

Perhatian! Mulakan.

segi empat selari.

Beri perhatian: jika anda telah menemui sekurang-kurangnya satu tanda dalam masalah anda, maka anda mempunyai segi empat tepat, dan anda boleh menggunakan semua sifat segi empat selari.

2. Segi empat tepat

Saya tidak fikir ia akan menjadi berita kepada anda sama sekali.

Soalan pertama ialah: adakah segi empat tepat selari?

Sudah tentu! Lagipun, dia ada - ingat, tanda 3 kita?

Dan dari sini, sudah tentu, ia mengikuti bahawa untuk segi empat tepat, seperti untuk mana-mana segi empat selari, dan, dan pepenjuru dibahagikan dengan titik persilangan separuh.

Tetapi terdapat segi empat tepat dan satu sifat tersendiri.

Harta segi empat tepat

Mengapa harta ini tersendiri? Kerana tiada segi empat selari lain mempunyai pepenjuru yang sama. Mari kita rumuskan dengan lebih jelas.

Beri perhatian: untuk menjadi segi empat tepat, segi empat mesti terlebih dahulu menjadi segi empat selari, dan kemudian membentangkan kesamaan pepenjuru.

3. Berlian

Dan sekali lagi persoalannya ialah: adakah rombus adalah segi empat selari atau tidak?

Dengan hak penuh - segi empat selari, kerana ia mempunyai dan (ingat tanda kami 2).

Dan sekali lagi, kerana rombus ialah segi empat selari, maka ia mesti mempunyai semua sifat segi empat selari. Ini bermakna rombus mempunyai sudut bertentangan sama, sisi bertentangan adalah selari, dan pepenjuru dibahagikan dengan titik persilangan.

Sifat Ketupat

Tengok gambar:

Seperti dalam kes segi empat tepat, sifat-sifat ini adalah tersendiri, iaitu, untuk setiap sifat ini, kita boleh membuat kesimpulan bahawa kita tidak hanya mempunyai segi empat selari, tetapi rombus.

Tanda-tanda rombus

Dan perhatikan sekali lagi: bukan hanya segi empat dengan pepenjuru serenjang, tetapi selari. Pastikan:

Tidak, sudah tentu tidak, walaupun pepenjuru dan berserenjang, dan pepenjuru ialah pembahagi dua sudut u. Tetapi ... pepenjuru tidak membahagi, titik persilangan separuh, oleh itu - BUKAN segi empat selari, dan oleh itu BUKAN rombus.

Iaitu, segi empat sama ialah segi empat tepat dan rombus pada masa yang sama. Mari lihat apa yang terhasil daripada ini.

Adakah jelas mengapa? - rombus - pembahagi dua sudut A, yang sama dengan. Jadi ia membahagi (dan juga) kepada dua sudut sepanjang.

Nah, ia agak jelas: pepenjuru segi empat tepat adalah sama; pepenjuru rombus adalah berserenjang, dan secara umum - pepenjuru selari dibahagikan dengan titik persilangan pada separuh.

TAHAP PURATA

Sifat segi empat. segi empat selari

sifat selari

Perhatian! perkataan " sifat selari» bermakna jika anda mempunyai tugas terdapat segi empat selari, maka semua yang berikut boleh digunakan.

Teorem tentang sifat segi empat selari.

Dalam mana-mana segi empat selari:

Mari kita lihat mengapa ini benar, dengan kata lain KAMI AKAN BUKTIKAN teorem.

Jadi mengapa 1) benar?

Oleh kerana ia adalah segi empat selari, maka:

• seperti baring bersilang
• sebagai berbaring di seberang.

Oleh itu, (atas asas II: dan - umum.)

Nah, sekali, kemudian - itu sahaja! - terbukti.

Tetapi dengan cara ini! Kami juga membuktikan 2)!

kenapa? Tetapi selepas semua (lihat gambar), iaitu, kerana.

Tinggal 3 lagi).

Untuk melakukan ini, anda masih perlu melukis pepenjuru kedua.

Dan sekarang kita melihatnya - mengikut tanda II (sudut dan sisi "di antara" mereka).

Hartanah terbukti! Mari kita beralih kepada tanda-tanda.

Ciri segi empat selari

Ingat bahawa tanda segi empat selari menjawab soalan "bagaimana untuk mengetahui?" Bahawa angka itu ialah segi empat selari.

Dalam ikon ia seperti ini:

kenapa? Alangkah baiknya untuk memahami mengapa - itu sudah cukup. Tetapi lihat:

Nah, kami telah mengetahui sebab tanda 1 adalah benar.

Nah, itu lebih mudah! Mari kita lukis pepenjuru sekali lagi.

Yang bermaksud:

Dan juga mudah. Tetapi… berbeza!

Bermaksud, . Wah! Tetapi juga - dalaman berat sebelah di secant!

Oleh itu hakikat yang bermakna itu.

Dan jika anda melihat dari sisi yang lain, maka mereka adalah dalaman satu sisi pada satu sekan! Dan oleh itu.

Lihat betapa hebatnya?!

Dan sekali lagi mudah:

Tepat sama, dan.

Beri perhatian: jika anda mendapati sekurang-kurangnya satu tanda segi empat selari dalam masalah anda, maka anda mempunyai betul-betul segi empat selari dan anda boleh gunakan semua orang sifat segi empat selari.

Untuk kejelasan lengkap, lihat rajah:

Sifat segi empat. segi empat tepat.

Sifat segi empat tepat:

Perkara 1) agak jelas - lagipun, tanda 3 () dipenuhi

Dan titik 2) - sangat penting. Jadi mari kita buktikan itu

Jadi, pada dua kaki (dan - umum).

Oleh kerana segi tiga adalah sama, maka hipotenus mereka juga sama.

Terbukti!

Dan bayangkan, kesamaan pepenjuru adalah sifat tersendiri bagi segi empat tepat di antara semua segi empat selari. Maksudnya, pernyataan berikut adalah benar

Jom tengok kenapa?

Jadi, (maksudnya sudut segi empat selari). Tetapi sekali lagi, ingat bahawa - segi empat selari, dan oleh itu.

Bermaksud, . Dan, sudah tentu, ia mengikuti daripada ini bahawa setiap daripada mereka Lagipun, dalam jumlah yang mereka patut berikan!

Di sini kami telah membuktikan bahawa jika segi empat selari tiba-tiba (!) akan menjadi pepenjuru yang sama, maka ini betul-betul segi empat tepat.

Tetapi! Beri perhatian! Ini adalah tentang segi empat selari! Tiada satu pun segiempat dengan pepenjuru yang sama ialah segi empat tepat, dan sahaja segi empat selari!

Sifat segi empat. Ketupat

Dan sekali lagi persoalannya ialah: adakah rombus adalah segi empat selari atau tidak?

Dengan hak penuh - segi empat selari, kerana ia mempunyai dan (Ingat tanda kami 2).

Dan sekali lagi, kerana rombus ialah segi empat selari, ia mesti mempunyai semua sifat segi empat selari. Ini bermakna rombus mempunyai sudut bertentangan sama, sisi bertentangan adalah selari, dan pepenjuru dibahagikan dengan titik persilangan.

Tetapi terdapat juga ciri khas. Kita rumuskan.

Sifat Ketupat

kenapa? Nah, kerana rombus ialah segi empat selari, maka pepenjurunya dibahagikan kepada separuh.

kenapa? Ya, itulah sebabnya!

Dalam erti kata lain, pepenjuru dan ternyata menjadi pembahagi dua sudut rombus.

Seperti dalam kes segi empat tepat, sifat-sifat ini adalah tersendiri, setiap daripada mereka juga adalah tanda ketupat.

Tanda ketupat.

Kenapa begitu? Dan lihat

Oleh itu, dan kedua-duanya segi tiga ini adalah sama kaki.

Untuk menjadi belah ketupat, segi empat mesti terlebih dahulu "menjadi" segi empat selari, dan kemudian sudah menunjukkan ciri 1 atau ciri 2.

Sifat segi empat. Segi empat

Iaitu, segi empat sama ialah segi empat tepat dan rombus pada masa yang sama. Mari lihat apa yang terhasil daripada ini.

Adakah jelas mengapa? Square - rombus - pembahagi dua sudut, yang sama dengan. Jadi ia membahagi (dan juga) kepada dua sudut sepanjang.

Nah, ia agak jelas: pepenjuru segi empat tepat adalah sama; pepenjuru rombus adalah berserenjang, dan secara umum - pepenjuru selari dibahagikan dengan titik persilangan pada separuh.

kenapa? Baik, gunakan Teorem Pythagoras sahaja.

RUMUSAN DAN FORMULA ASAS

Sifat selari:

1. Sisi bertentangan adalah sama: , .
2. Sudut bertentangan ialah: , .
3. Sudut pada satu sisi menambah hingga: , .
4. Diagonal dibahagikan dengan titik persilangan separuh: .

Sifat segi empat tepat:

1. Diagonal bagi segi empat tepat ialah: .
2. Segi empat tepat ialah segiempat selari (semua sifat segi empat tepat dipenuhi untuk segi empat tepat).

Sifat rombus:

1. pepenjuru rombus adalah berserenjang: .
2. Diagonal bagi rombus ialah pembahagi dua sudutnya: ; ; ; .
3. Ketupat ialah segi empat selari (semua sifat segi empat selari dipenuhi untuk rombus).

Sifat segi empat sama:

Segi empat ialah belah ketupat dan segi empat tepat pada masa yang sama, oleh itu, untuk segi empat sama, semua sifat segi empat tepat dan belah ketupat dipenuhi. Serta.

Ia adalah segiempat yang sisi bertentangannya adalah selari berpasangan.

Harta 1 . Mana-mana pepenjuru segi empat selari membahagikannya kepada dua segi tiga sama.

Bukti . Mengikut tanda II (sudut bersilang dan sisi biasa).

Teorem terbukti.

Harta 2 . Dalam segi empat selari, sisi bertentangan adalah sama dan sudut bertentangan adalah sama.

Bukti .
Begitu juga,

Teorem terbukti.

Sifat 3. Dalam segi empat selari pepenjuru, titik persilangan dibahagikan kepada separuh.

Bukti .

Teorem terbukti.

Harta 4 . Pembahagi dua sudut bagi segi empat selari, melintasi sisi bertentangan, membahagikannya kepada segi tiga sama kaki dan trapezium. (Ch. perkataan - atas - dua isosceles? -ka).

Bukti .

Teorem terbukti.

Harta 5 . Dalam segi empat selari, segmen dengan hujung pada sisi bertentangan, melalui titik persilangan pepenjuru, dibelah dua oleh titik ini.

Bukti .

Teorem terbukti.

Harta 6 . Sudut antara ketinggian yang dijatuhkan dari bucu sudut tumpul segiempat selari adalah sama dengan sudut akut segi empat selari.

Bukti .

Teorem terbukti.

Harta 7 . Jumlah sudut segi empat selari yang bersebelahan dengan satu sisi ialah 180°.

Bukti .

Teorem terbukti.

Pembinaan pembahagi dua sudut. Sifat pembahagi dua sudut bagi segitiga.

1) Bina sinar DE yang sewenang-wenangnya.

2) Pada sinar tertentu, bina bulatan arbitrari dengan pusat di bucu dan sama
berpusat pada permulaan sinar yang dibina.

3) F dan G - titik persilangan bulatan dengan sisi sudut yang diberikan, H - titik persilangan bulatan dengan sinar yang dibina

Bina bulatan dengan pusat di titik H dan jejari sama dengan FG.

5) I - titik persilangan bulatan rasuk yang dibina.

6) Lukis garisan melalui bucu dan I.

IDH - sudut yang diperlukan.
)

Harta 1 . Pembahagi dua sudut bagi segi tiga membahagikan sisi bertentangan mengikut bahagian dengan sisi yang bersebelahan.

Bukti . Biarkan x, y ialah ruas-ruas sisi c. Kami meneruskan sinar BC. Pada sinar BC, kami memplot segmen CK dari C sama dengan AC.

Untuk menentukan sama ada angka yang diberikan ialah segiempat selari, terdapat beberapa tanda. Pertimbangkan tiga ciri utama segi empat selari.

1 ciri segi empat selari

Jika dua sisi segiempat sama dan selari, maka segiempat itu ialah segiempat selari.

Bukti:

Pertimbangkan segi empat ABCD. Biarkan sisi AB dan CD selari di dalamnya. Dan biarkan AB=CD. Mari kita lukis BD pepenjuru di dalamnya. Ia akan membahagikan segi empat yang diberikan kepada dua segi tiga sama: ABD dan CBD.

Segitiga ini adalah sama dalam dua sisi dan sudut di antara mereka (BD ialah sisi sepunya, AB = CD mengikut keadaan, sudut1 = sudut2 sebagai sudut bersilang pada BD sekan bagi garis selari AB dan CD.), dan oleh itu sudut3 = sudut4 .

Dan sudut-sudut ini akan bersilang pada persilangan garis BC dan AD oleh BD sekan. Dari sini ia mengikuti bahawa BC dan AD adalah selari antara satu sama lain. Kami mempunyai bahawa dalam segi empat ABCD sisi bertentangan adalah selari berpasangan, dan oleh itu segi empat ABCD ialah segi empat selari.

2 tanda segi empat selari

Jika sisi bertentangan bagi segiempat sama berpasangan, maka segiempat itu ialah segiempat selari.

Bukti:

Pertimbangkan segi empat ABCD. Mari kita lukis BD pepenjuru di dalamnya. Ia akan membahagikan segi empat yang diberikan kepada dua segi tiga sama: ABD dan CBD.

Kedua-dua segi tiga ini akan sama antara satu sama lain pada tiga sisi (BD ialah sisi sepunya, AB = CD dan BC = AD mengikut keadaan). Daripada ini kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut1 = sudut2. Ia berikutan bahawa AB adalah selari dengan CD. Dan kerana AB \u003d CD dan AB adalah selari dengan CD, maka dengan tanda pertama segi empat selari, ABCD segiempat akan menjadi segi empat selari.

3 tanda segi empat selari

Jika dalam segiempat pepenjuru bersilang dan titik persilangan dibelah dua, maka segiempat ini akan menjadi segiempat selari.

Pertimbangkan segi empat ABCD. Mari kita lukis di dalamnya dua pepenjuru AC dan BD, yang akan bersilang pada titik O dan membelah titik ini.

Segitiga AOB dan COD akan sama antara satu sama lain, mengikut tanda pertama kesamaan segi tiga. (AO = OC, BO = OD mengikut konvensyen, sudut AOB = sudut COD sebagai sudut menegak.) Oleh itu, AB = CD dan sudut1 = sudut 2. Daripada kesamaan sudut 1 dan 2, kita mempunyai AB adalah selari dengan CD. Kemudian kita mempunyai bahawa dalam segi empat ABCD sisi AB adalah sama dengan CD dan selari, dan dengan kriteria pertama segi empat selari, segiempat ABCD akan menjadi segi empat selari.