Apakah cara paling mudah untuk mencari penyebut sepunya bagi dua nombor? Kaedah untuk mencari gandaan sepunya terkecil, nok - ini, dan semua penjelasan

Mari lihat tiga cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil.

Mencari dengan pemfaktoran

Kaedah pertama ialah mencari gandaan sepunya terkecil dengan memfaktorkan nombor yang diberikan kepada faktor perdana.

Katakan kita perlu mencari LCM nombor: 99, 30 dan 28. Untuk melakukan ini, mari kita faktorkan setiap nombor ini ke dalam faktor perdana:

Untuk nombor yang diingini boleh dibahagikan dengan 99, 30 dan 28, adalah perlu dan memadai bahawa ia termasuk semua faktor perdana pembahagi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil semua faktor utama nombor ini kepada kuasa yang paling besar dan mendarabnya bersama-sama:

2 2 3 2 5 7 11 = 13,860

Oleh itu, LCM (99, 30, 28) = 13,860. Tiada nombor lain yang kurang daripada 13,860 boleh dibahagi dengan 99, 30 atau 28.

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberikan, anda memfaktorkannya ke dalam faktor perdananya, kemudian ambil setiap faktor perdana dengan eksponen terbesar yang tertera di dalamnya, dan darabkan faktor tersebut bersama-sama.

Oleh kerana nombor koprime tidak mempunyai persamaan faktor utama, maka gandaan sepunya terkecil mereka adalah sama dengan hasil darab nombor ini. Sebagai contoh, tiga nombor: 20, 49 dan 33 adalah relatif perdana. sebab tu

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32,340.

Perkara yang sama mesti dilakukan apabila mencari gandaan sepunya terkecil berbeza nombor perdana. Contohnya, LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Mencari melalui pemilihan

Kaedah kedua ialah mencari gandaan sepunya terkecil melalui pemilihan.

Contoh 1. Apabila nombor terbesar yang diberi dibahagikan dengan nombor lain yang diberi, maka KPK nombor ini adalah sama dengan yang terbesar daripadanya. Sebagai contoh, diberi empat nombor: 60, 30, 10 dan 6. Setiap daripada mereka boleh dibahagi dengan 60, oleh itu:

LCM(60, 30, 10, 6) = 60

Dalam kes lain, untuk mencari gandaan sepunya terkecil, prosedur berikut digunakan:

Tentukan nombor terbesar daripada nombor yang diberi.
Seterusnya kita dapati nombor yang merupakan gandaan bilangan terbesar, mendarabkannya dengan integer dalam tertib menaik dan menyemak sama ada nombor yang tinggal boleh dibahagikan dengan hasil darab.

Contoh 2. Diberi tiga nombor 24, 3 dan 18. Kami menentukan yang terbesar daripada mereka - ini ialah nombor 24. Seterusnya, kami mencari nombor yang merupakan gandaan 24, memeriksa sama ada setiap daripada mereka boleh dibahagi dengan 18 dan 3:

24 · 1 = 24 - boleh dibahagi dengan 3, tetapi tidak boleh dibahagikan dengan 18.

24 · 2 = 48 - boleh dibahagi dengan 3, tetapi tidak boleh dibahagikan dengan 18.

24 · 3 = 72 - boleh dibahagi dengan 3 dan 18.

Oleh itu, LCM (24, 3, 18) = 72.

Mencari dengan mencari LCM secara berurutan

Kaedah ketiga ialah mencari gandaan sepunya terkecil dengan mencari LCM secara berurutan.

LCM bagi dua nombor yang diberikan adalah sama dengan hasil darab nombor ini dibahagikan dengan pembahagi sepunya terbesar mereka.

Contoh 1. Cari KPK bagi dua nombor yang diberi: 12 dan 8. Tentukan pembahagi sepunya terbesar mereka: GCD (12, 8) = 4. Darabkan nombor ini:

Kami membahagikan produk dengan gcd mereka:

Oleh itu, LCM (12, 8) = 24.

Untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, gunakan prosedur berikut:

Mula-mula, cari LCM bagi mana-mana dua nombor ini.
Kemudian, LCM bagi gandaan sepunya terkecil ditemui dan yang ketiga nombor yang diberi.
Kemudian, LCM bagi gandaan sepunya terkecil yang terhasil dan nombor keempat, dsb.
Oleh itu, pencarian untuk LCM diteruskan selagi ada nombor.

Contoh 2. Cari LCM tiga data nombor: 12, 8 dan 9. Kami telah menemui LCM nombor 12 dan 8 dalam contoh sebelumnya (ini ialah nombor 24). Ia kekal untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 24 dan nombor ketiga yang diberikan - 9. Tentukan pembahagi sepunya terbesar mereka: GCD (24, 9) = 3. Darabkan LCM dengan nombor 9:

Kami membahagikan produk dengan gcd mereka:

Oleh itu, LCM (12, 8, 9) = 72.

Apabila menambah dan menolak pecahan algebra dengan penyebut yang berbeza mula-mula pecahan membawa kepada penyebut biasa. Ini bermakna mereka mencari satu penyebut yang dibahagikan dengan penyebut asal bagi setiap pecahan algebra yang termasuk dalam ungkapan yang diberikan.

Seperti yang anda ketahui, jika pengangka dan penyebut pecahan didarab (atau dibahagikan) dengan nombor yang sama selain sifar, nilai pecahan itu tidak akan berubah. Ini adalah sifat utama pecahan. Oleh itu, apabila pecahan dikurangkan kepada penyebut biasa, ia pada asasnya mendarabkan penyebut asal setiap pecahan dengan faktor yang hilang untuk mendapatkan penyebut biasa. Dalam kes ini, anda perlu mendarabkan pengangka pecahan dengan faktor ini (ia adalah berbeza untuk setiap pecahan).

Sebagai contoh, diberi jumlah pecahan algebra berikut:

Ia diperlukan untuk memudahkan ungkapan, iaitu, menambah dua pecahan algebra. Untuk melakukan ini, pertama sekali, anda perlu membawa sebutan pecahan kepada penyebut biasa. Langkah pertama ialah mencari monomial yang boleh dibahagikan dengan 3x dan 2y. Dalam kes ini, adalah wajar ia menjadi yang terkecil, iaitu, cari gandaan sepunya terkecil (LCM) untuk 3x dan 2y.

Untuk pekali berangka dan pembolehubah, LCM dicari secara berasingan. LCM(3, 2) = 6 dan LCM(x, y) = xy. Seterusnya, nilai yang ditemui didarabkan: 6xy.

Sekarang kita perlu menentukan dengan faktor apa yang kita perlukan untuk mendarabkan 3x untuk mendapatkan 6xy:
6xy ÷ 3x = 2y

Ini bermakna apabila mengurangkan pecahan algebra pertama kepada penyebut sepunya, pengangkanya mesti didarab dengan 2y (penyebutnya telah pun didarab apabila dikurangkan kepada penyebut sepunya). Pengganda untuk pengangka bagi pecahan kedua dicari dengan cara yang sama. Ia akan sama dengan 3x.

Oleh itu kita mendapat:

Kemudian anda boleh bertindak seperti dengan pecahan dengan penyebut yang sama: pengangka ditambah, dan satu penyebut biasa ditulis:

Selepas transformasi, ungkapan yang dipermudahkan diperolehi, iaitu satu pecahan algebra, iaitu jumlah dua yang asal:

Pecahan algebra dalam ungkapan asal mungkin mengandungi penyebut yang merupakan polinomial dan bukannya monomial (seperti dalam contoh di atas). Dalam kes ini, sebelum mencari penyebut biasa, anda harus memfaktorkan penyebut (jika boleh). Seterusnya, penyebut biasa dikumpulkan daripada faktor yang berbeza. Jika pengganda berada dalam beberapa penyebut asal, maka ia diambil sekali. Jika pengganda mempunyai darjah yang berbeza dalam penyebut asal, maka ia diambil dengan yang lebih besar. Sebagai contoh:

Di sini polinomial a 2 – b 2 boleh diwakili sebagai hasil darab (a – b)(a + b). Faktor 2a – 2b dikembangkan sebagai 2(a – b). Oleh itu, penyebut sepunya ialah 2(a – b)(a + b).

Untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan, anda perlu dapat mencari penyebut sepunya terendah. Di bawah adalah arahan terperinci.

Bagaimana untuk mencari penyebut biasa terendah - konsep

Penyebut biasa terkecil (LCD) dalam kata mudah ialah nombor minimum yang boleh dibahagi dengan penyebut semua pecahan contoh ini. Dalam erti kata lain, ia dipanggil Gandaan Sepunya Terkecil (LCM). NOS digunakan hanya jika penyebut pecahan adalah berbeza.

Bagaimana untuk mencari penyebut biasa terendah - contoh

Mari lihat contoh mencari NOC.

Kira: 3/5 + 2/15.

Penyelesaian (Urutan tindakan):

Kami melihat penyebut pecahan, pastikan ia berbeza dan ungkapan itu dipendekkan yang mungkin.
Kami dapati yang paling banyak bilangan yang lebih kecil, yang boleh dibahagi dengan kedua-dua 5 dan 15. Nombor ini akan menjadi 15. Oleh itu, 3/5 + 2/15 = ?/15.
Kami telah mengetahui penyebutnya. Apa yang akan ada dalam pengangka? Pengganda tambahan akan membantu kami memikirkan perkara ini. Faktor tambahan ialah nombor yang diperoleh dengan membahagikan NZ dengan penyebut pecahan tertentu. Untuk 3/5, faktor tambahan ialah 3, kerana 15/5 = 3. Untuk pecahan kedua, faktor tambahan ialah 1, kerana 15/15 = 1.
Setelah mengetahui faktor tambahan, kami mendarabkannya dengan pengangka pecahan dan menambah nilai yang terhasil. 3/5 + 2/15 = (3*3+2*1)/15 = (9+2)/15 = 11/15.

Jawapan: 3/5 + 2/15 = 11/15.

Jika dalam contoh bukan 2, tetapi 3 atau lebih pecahan ditambah atau ditolak, maka NCD mesti dicari seberapa banyak pecahan yang diberikan.

Kira: 1/2 – 5/12 + 3/6

Penyelesaian (urutan tindakan):

Mencari penyebut biasa terendah. Nombor minimum yang boleh dibahagi dengan 2, 12 dan 6 ialah 12.
Kami mendapat: 1/2 – 5/12 + 3/6 = ?/12.
Kami sedang mencari pengganda tambahan. Untuk 1/2 – 6; untuk 5/12 – 1; untuk 3/6 – 2.
Kami mendarab dengan pengangka dan menetapkan tanda yang sepadan: 1/2 – 5/12 + 3/6 = (1*6 – 5*1 + 2*3)/12 = 7/12.

Jawapan: 1/2 – 5/12 + 3/6 = 7/12.

Darab silang silang

Kaedah Pembahagi Biasa

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Untuk menghargai berapa banyak perbezaan yang dihasilkan oleh kaedah berbilang paling sepunya, cuba kira contoh yang sama ini menggunakan kaedah silang silang.

Penyebut sepunya bagi pecahan

Sudah tentu, tanpa kalkulator. Saya rasa selepas ini komen tidak perlu.

Lihat juga:

Saya pada asalnya ingin memasukkan teknik penyebut biasa dalam bahagian Menambah dan Menolak Pecahan. Tetapi terdapat begitu banyak maklumat, dan kepentingannya sangat besar (lagipun, bukan sahaja pecahan berangka), bahawa adalah lebih baik untuk mengkaji isu ini secara berasingan.

Jadi, katakan kita mempunyai dua pecahan dengan penyebut yang berbeza. Dan kami ingin memastikan bahawa penyebut menjadi sama. Sifat asas pecahan datang untuk menyelamatkan, yang, biar saya ingatkan anda, berbunyi seperti ini:

Pecahan tidak akan berubah jika pengangka dan penyebutnya didarab dengan nombor yang sama selain daripada sifar.

Oleh itu, jika anda memilih faktor dengan betul, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini dipanggil. Dan nombor yang diperlukan, "petang keluar" penyebut, dipanggil.

Mengapakah kita perlu mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa? Berikut adalah beberapa sebab:

Menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza. Tiada cara lain untuk melaksanakan operasi ini;
Membandingkan pecahan. Kadangkala pengurangan kepada penyebut biasa sangat memudahkan tugas ini;
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan peratusan. Peratusan sebenarnya adalah ungkapan biasa yang mengandungi pecahan.

Terdapat banyak cara untuk mencari nombor yang, apabila didarab dengannya, akan menjadikan penyebut pecahan sama. Kami akan mempertimbangkan hanya tiga daripada mereka - untuk meningkatkan kerumitan dan, dalam erti kata lain, keberkesanan.

Darab silang silang

Kaedah yang paling mudah dan boleh dipercayai, yang dijamin untuk menyamakan penyebut. Kami akan bertindak "secara terburu-buru": kami mendarabkan pecahan pertama dengan penyebut pecahan kedua, dan yang kedua dengan penyebut yang pertama. Akibatnya, penyebut kedua-dua pecahan akan menjadi sama dengan produk penyebut asal. Tengoklah:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Sebagai faktor tambahan, pertimbangkan penyebut pecahan jiran. Kita mendapatkan:

Ya, semudah itu. Jika anda baru mula belajar pecahan, lebih baik bekerja menggunakan kaedah ini - dengan cara ini anda akan menginsuranskan diri anda terhadap banyak kesilapan dan dijamin akan mendapat hasilnya.

Satu-satunya kelemahan kaedah ini- anda perlu mengira banyak, kerana penyebutnya didarabkan "seluruh", dan hasilnya boleh menjadi sangat nombor besar. Ini adalah harga yang perlu dibayar untuk kebolehpercayaan.

Kaedah Pembahagi Biasa

Teknik ini membantu mengurangkan pengiraan dengan ketara, tetapi, malangnya, ia digunakan agak jarang. Kaedahnya adalah seperti berikut:

Sebelum anda terus ke hadapan (iaitu, menggunakan kaedah silang silang), lihat penyebutnya. Mungkin salah satu daripada mereka (yang lebih besar) dibahagikan kepada yang lain.
Nombor yang terhasil daripada pembahagian ini akan menjadi faktor tambahan bagi pecahan dengan penyebut yang lebih kecil.
Dalam kes ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu didarab dengan apa-apa sama sekali - di sinilah simpanannya. Pada masa yang sama, kebarangkalian ralat berkurangan dengan ketara.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Perhatikan bahawa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Oleh kerana dalam kedua-dua kes satu penyebut dibahagikan tanpa baki oleh yang lain, kita menggunakan kaedah faktor sepunya. Kami ada:

Perhatikan bahawa pecahan kedua tidak didarab dengan apa-apa pun. Malah, kami mengurangkan jumlah pengiraan separuh!

Dengan cara ini, saya tidak mengambil pecahan dalam contoh ini secara kebetulan. Jika anda berminat, cuba kira mereka menggunakan kaedah silang silang. Selepas pengurangan, jawapan akan sama, tetapi akan ada lebih banyak kerja.

Ini adalah kekuatan kaedah pembahagi biasa, tetapi, saya ulangi, ia hanya boleh digunakan dalam kes apabila salah satu penyebut dibahagikan dengan yang lain tanpa baki. Yang berlaku agak jarang.

Kaedah berbilang sepunya terkecil

Apabila kita mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, kita pada asasnya cuba mencari nombor yang boleh dibahagikan dengan setiap penyebut. Kemudian kita bawa penyebut kedua-dua pecahan kepada nombor ini.

Terdapat banyak nombor sedemikian, dan yang terkecil daripada mereka tidak semestinya sama dengan hasil darab langsung penyebut pecahan asal, seperti yang diandaikan dalam kaedah "silang silang".

Sebagai contoh, untuk penyebut 8 dan 12, nombor 24 agak sesuai, kerana 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Nombor ini banyak kurang produk 8 12 = 96.

Nombor terkecil yang boleh dibahagi oleh setiap penyebut dipanggil mereka (LCM).

Notasi: Gandaan sepunya terkecil a dan b dilambangkan dengan LCM(a; b). Contohnya, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Jika anda berjaya mencari nombor sedemikian, jumlah pengiraan akan menjadi minimum. Lihat contoh:

Cara Mencari Penyebut Sepunya Terendah

Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 ialah koprime (tidak mempunyai faktor sepunya selain 1), dan faktor 117 adalah sepunya. Oleh itu LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Begitu juga, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 ialah koprima, dan faktor 5 adalah biasa. Oleh itu LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan kepada penyebut biasa:

Perhatikan betapa bergunanya untuk memfaktorkan penyebut asal:

Setelah menemui pengganda yang sama, kami serta-merta tiba di gandaan sepunya terkecil, yang, secara amnya, adalah masalah bukan remeh;
Daripada pengembangan yang terhasil, anda boleh mengetahui faktor yang "hilang" dalam setiap pecahan. Sebagai contoh, 234 · 3 = 702, oleh itu, untuk pecahan pertama faktor tambahan ialah 3.

Jangan fikir ada yang begitu pecahan kompleks tidak akan berlaku dalam contoh sebenar. Mereka bertemu sepanjang masa, dan tugas di atas bukanlah had!

Satu-satunya masalah ialah bagaimana untuk mencari NOC ini. Kadang-kadang segala-galanya boleh ditemui dalam beberapa saat, secara harfiah "dengan mata," tetapi secara umum ini adalah tugas pengiraan yang kompleks yang memerlukan pertimbangan yang berasingan. Kami tidak akan menyentuh perkara itu di sini.

Lihat juga:

Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya

Saya pada asalnya ingin memasukkan teknik penyebut biasa dalam bahagian Menambah dan Menolak Pecahan. Tetapi ternyata terdapat begitu banyak maklumat, dan kepentingannya sangat besar (lagipun, bukan sahaja pecahan berangka mempunyai penyebut biasa), bahawa adalah lebih baik untuk mengkaji isu ini secara berasingan.

Pecahan tidak akan berubah jika pengangka dan penyebutnya didarab dengan nombor yang sama selain daripada sifar.

Oleh itu, jika anda memilih faktor dengan betul, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini dipanggil. Dan nombor yang diperlukan, "petang keluar" penyebut, dipanggil.

Mengapakah kita perlu mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa?

Penyebut biasa, konsep dan definisi.

Berikut adalah beberapa sebab:

Menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza. Tiada cara lain untuk melaksanakan operasi ini;
Membandingkan pecahan. Kadangkala pengurangan kepada penyebut biasa sangat memudahkan tugas ini;
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan peratusan. Peratusan pada asasnya ialah ungkapan biasa yang mengandungi pecahan.

Darab silang silang

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Sebagai faktor tambahan, pertimbangkan penyebut pecahan jiran. Kita mendapatkan:

Satu-satunya kelemahan kaedah ini ialah anda perlu mengira banyak, kerana penyebutnya didarabkan "sepanjang jalan", dan hasilnya boleh menjadi nombor yang sangat besar. Ini adalah harga yang perlu dibayar untuk kebolehpercayaan.

Kaedah Pembahagi Biasa

Teknik ini membantu mengurangkan pengiraan dengan ketara, tetapi, malangnya, ia digunakan agak jarang. Kaedahnya adalah seperti berikut:

Sebelum anda terus ke hadapan (iaitu, menggunakan kaedah silang silang), lihat penyebutnya. Mungkin salah satu daripada mereka (yang lebih besar) dibahagikan kepada yang lain.
Nombor yang terhasil daripada pembahagian ini akan menjadi faktor tambahan bagi pecahan dengan penyebut yang lebih kecil.
Dalam kes ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu didarab dengan apa-apa sama sekali - di sinilah simpanannya. Pada masa yang sama, kebarangkalian ralat berkurangan dengan ketara.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Perhatikan bahawa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Oleh kerana dalam kedua-dua kes satu penyebut dibahagikan tanpa baki oleh yang lain, kita menggunakan kaedah faktor sepunya. Kami ada:

Perhatikan bahawa pecahan kedua tidak didarab dengan apa-apa pun. Malah, kami mengurangkan jumlah pengiraan separuh!

Ini adalah kuasa kaedah pembahagi biasa, tetapi, sekali lagi, ia hanya boleh digunakan apabila salah satu penyebut boleh dibahagikan dengan yang lain tanpa baki. Yang berlaku agak jarang.

Kaedah berbilang sepunya terkecil

Terdapat banyak nombor sedemikian, dan yang terkecil daripada mereka tidak semestinya sama dengan hasil darab langsung penyebut pecahan asal, seperti yang diandaikan dalam kaedah "silang silang".

Sebagai contoh, untuk penyebut 8 dan 12, nombor 24 agak sesuai, kerana 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Nombor ini jauh lebih kecil daripada hasil darab 8 12 = 96.

Nombor terkecil yang boleh dibahagi oleh setiap penyebut dipanggil mereka (LCM).

Notasi: Gandaan sepunya terkecil a dan b dilambangkan dengan LCM(a; b). Contohnya, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Jika anda berjaya mencari nombor sedemikian, jumlah pengiraan akan menjadi minimum. Lihat contoh:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 ialah koprime (tidak mempunyai faktor sepunya selain 1), dan faktor 117 adalah sepunya. Oleh itu LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Begitu juga, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 ialah koprima, dan faktor 5 adalah biasa. Oleh itu LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan kepada penyebut biasa:

Perhatikan betapa bergunanya untuk memfaktorkan penyebut asal:

Setelah menemui faktor yang sama, kami serta-merta tiba di gandaan sepunya terkecil, yang, secara amnya, adalah masalah bukan remeh;
Daripada pengembangan yang terhasil, anda boleh mengetahui faktor yang "hilang" dalam setiap pecahan. Sebagai contoh, 234 · 3 = 702, oleh itu, untuk pecahan pertama faktor tambahan ialah 3.

Untuk menghargai berapa banyak perbezaan yang dihasilkan oleh kaedah berbilang paling sepunya, cuba kira contoh yang sama ini menggunakan kaedah silang silang. Sudah tentu, tanpa kalkulator. Saya rasa selepas ini komen tidak perlu.

Jangan fikir bahawa tidak akan ada pecahan kompleks sedemikian dalam contoh sebenar. Mereka bertemu sepanjang masa, dan tugas di atas bukanlah had!

Lihat juga:

Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya

Pecahan tidak akan berubah jika pengangka dan penyebutnya didarab dengan nombor yang sama selain daripada sifar.

Oleh itu, jika anda memilih faktor dengan betul, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini dipanggil. Dan nombor yang diperlukan, "petang keluar" penyebut, dipanggil.

Mengapakah kita perlu mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa? Berikut adalah beberapa sebab:

Menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza. Tiada cara lain untuk melaksanakan operasi ini;
Membandingkan pecahan. Kadangkala pengurangan kepada penyebut biasa sangat memudahkan tugas ini;
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan peratusan. Peratusan pada asasnya ialah ungkapan biasa yang mengandungi pecahan.

Darab silang silang

Tengoklah:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Sebagai faktor tambahan, pertimbangkan penyebut pecahan jiran. Kita mendapatkan:

Kaedah Pembahagi Biasa

Teknik ini membantu mengurangkan pengiraan dengan ketara, tetapi, malangnya, ia digunakan agak jarang. Kaedahnya adalah seperti berikut:

Sebelum anda terus ke hadapan (iaitu, menggunakan kaedah silang silang), lihat penyebutnya. Mungkin salah satu daripada mereka (yang lebih besar) dibahagikan kepada yang lain.
Nombor yang terhasil daripada pembahagian ini akan menjadi faktor tambahan bagi pecahan dengan penyebut yang lebih kecil.
Dalam kes ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu didarab dengan apa-apa sama sekali - di sinilah simpanannya. Pada masa yang sama, kebarangkalian ralat berkurangan dengan ketara.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Perhatikan bahawa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Oleh kerana dalam kedua-dua kes satu penyebut dibahagikan tanpa baki oleh yang lain, kita menggunakan kaedah faktor sepunya. Kami ada:

Perhatikan bahawa pecahan kedua tidak didarab dengan apa-apa pun. Malah, kami mengurangkan jumlah pengiraan separuh!

Ini adalah kuasa kaedah pembahagi biasa, tetapi, sekali lagi, ia hanya boleh digunakan apabila salah satu penyebut boleh dibahagikan dengan yang lain tanpa baki. Yang berlaku agak jarang.

Kaedah berbilang sepunya terkecil

Terdapat banyak nombor sedemikian, dan yang terkecil daripada mereka tidak semestinya sama dengan hasil darab langsung penyebut pecahan asal, seperti yang diandaikan dalam kaedah "silang silang".

Sebagai contoh, untuk penyebut 8 dan 12, nombor 24 agak sesuai, kerana 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Nombor ini jauh lebih kecil daripada hasil darab 8 12 = 96.

Nombor terkecil yang boleh dibahagi oleh setiap penyebut dipanggil mereka (LCM).

Notasi: Gandaan sepunya terkecil a dan b dilambangkan dengan LCM(a; b). Contohnya, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Jika anda berjaya mencari nombor sedemikian, jumlah pengiraan akan menjadi minimum. Lihat contoh:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 ialah koprime (tidak mempunyai faktor sepunya selain 1), dan faktor 117 adalah sepunya. Oleh itu LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Begitu juga, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 ialah koprima, dan faktor 5 adalah biasa. Oleh itu LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan kepada penyebut biasa:

Perhatikan betapa bergunanya untuk memfaktorkan penyebut asal:

Setelah menemui faktor yang sama, kami serta-merta tiba di gandaan sepunya terkecil, yang, secara amnya, adalah masalah bukan remeh;
Daripada pengembangan yang terhasil, anda boleh mengetahui faktor yang "hilang" dalam setiap pecahan. Sebagai contoh, 234 · 3 = 702, oleh itu, untuk pecahan pertama faktor tambahan ialah 3.

Jangan fikir bahawa tidak akan ada pecahan kompleks sedemikian dalam contoh sebenar. Mereka bertemu sepanjang masa, dan tugas di atas bukanlah had!

Lihat juga:

Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya

Pecahan tidak akan berubah jika pengangka dan penyebutnya didarab dengan nombor yang sama selain daripada sifar.

Oleh itu, jika anda memilih faktor dengan betul, penyebut pecahan akan menjadi sama - proses ini dipanggil. Dan nombor yang diperlukan, "petang keluar" penyebut, dipanggil.

Mengapakah kita perlu mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa? Berikut adalah beberapa sebab:

Menambah dan menolak pecahan dengan penyebut yang berbeza. Tiada cara lain untuk melaksanakan operasi ini;
Membandingkan pecahan. Kadangkala pengurangan kepada penyebut biasa sangat memudahkan tugas ini;
Menyelesaikan masalah yang melibatkan pecahan dan peratusan. Peratusan pada asasnya ialah ungkapan biasa yang mengandungi pecahan.

Darab silang silang

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Sebagai faktor tambahan, pertimbangkan penyebut pecahan jiran. Kita mendapatkan:

Satu-satunya kelemahan kaedah ini ialah anda perlu mengira banyak, kerana penyebutnya didarabkan "sepanjang jalan", dan hasilnya boleh menjadi nombor yang sangat besar.

Mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya

Ini adalah harga yang perlu dibayar untuk kebolehpercayaan.

Kaedah Pembahagi Biasa

Teknik ini membantu mengurangkan pengiraan dengan ketara, tetapi, malangnya, ia digunakan agak jarang. Kaedahnya adalah seperti berikut:

Sebelum anda terus ke hadapan (iaitu, menggunakan kaedah silang silang), lihat penyebutnya. Mungkin salah satu daripada mereka (yang lebih besar) dibahagikan kepada yang lain.
Nombor yang terhasil daripada pembahagian ini akan menjadi faktor tambahan bagi pecahan dengan penyebut yang lebih kecil.
Dalam kes ini, pecahan dengan penyebut besar tidak perlu didarab dengan apa-apa sama sekali - di sinilah simpanannya. Pada masa yang sama, kebarangkalian ralat berkurangan dengan ketara.

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Perhatikan bahawa 84: 21 = 4; 72: 12 = 6. Oleh kerana dalam kedua-dua kes satu penyebut dibahagikan tanpa baki oleh yang lain, kita menggunakan kaedah faktor sepunya. Kami ada:

Perhatikan bahawa pecahan kedua tidak didarab dengan apa-apa pun. Malah, kami mengurangkan jumlah pengiraan separuh!

Ini adalah kuasa kaedah pembahagi biasa, tetapi, sekali lagi, ia hanya boleh digunakan apabila salah satu penyebut boleh dibahagikan dengan yang lain tanpa baki. Yang berlaku agak jarang.

Kaedah berbilang sepunya terkecil

Terdapat banyak nombor sedemikian, dan yang terkecil daripada mereka tidak semestinya sama dengan hasil darab langsung penyebut pecahan asal, seperti yang diandaikan dalam kaedah "silang silang".

Sebagai contoh, untuk penyebut 8 dan 12, nombor 24 agak sesuai, kerana 24: 8 = 3; 24: 12 = 2. Nombor ini jauh lebih kecil daripada hasil darab 8 12 = 96.

Nombor terkecil yang boleh dibahagi oleh setiap penyebut dipanggil mereka (LCM).

Notasi: Gandaan sepunya terkecil a dan b dilambangkan dengan LCM(a; b). Contohnya, LCM(16, 24) = 48; LCM(8; 12) = 24.

Jika anda berjaya mencari nombor sedemikian, jumlah pengiraan akan menjadi minimum. Lihat contoh:

Tugasan. Cari maksud ungkapan:

Ambil perhatian bahawa 234 = 117 2; 351 = 117 · 3. Faktor 2 dan 3 ialah koprime (tidak mempunyai faktor sepunya selain 1), dan faktor 117 adalah sepunya. Oleh itu LCM(234, 351) = 117 2 3 = 702.

Begitu juga, 15 = 5 3; 20 = 5 · 4. Faktor 3 dan 4 ialah koprima, dan faktor 5 adalah biasa. Oleh itu LCM(15, 20) = 5 3 4 = 60.

Sekarang mari kita bawa pecahan kepada penyebut biasa:

Perhatikan betapa bergunanya untuk memfaktorkan penyebut asal:

Setelah menemui faktor yang sama, kami serta-merta tiba di gandaan sepunya terkecil, yang, secara amnya, adalah masalah bukan remeh;
Daripada pengembangan yang terhasil, anda boleh mengetahui faktor yang "hilang" dalam setiap pecahan. Sebagai contoh, 234 · 3 = 702, oleh itu, untuk pecahan pertama faktor tambahan ialah 3.

Jangan fikir bahawa tidak akan ada pecahan kompleks sedemikian dalam contoh sebenar. Mereka bertemu sepanjang masa, dan tugas di atas bukanlah had!

Untuk mengurangkan pecahan kepada penyebut sepunya terkecil, anda perlu: 1) mencari gandaan sepunya terkecil bagi penyebut pecahan yang diberi, ia akan menjadi penyebut sepunya terkecil. 2) cari faktor tambahan bagi setiap pecahan dengan membahagikan penyebut baharu dengan penyebut setiap pecahan. 3) darabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor tambahannya.

Contoh. Kurangkan pecahan berikut kepada penyebut sepunya terendah.

Kami mencari gandaan sepunya terkecil bagi penyebut: LCM(5; 4) = 20, kerana 20 ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan kedua-dua 5 dan 4. Cari untuk pecahan pertama faktor tambahan 4 (20 : 5=4). Untuk pecahan ke-2 faktor tambahan ialah 5 (20 : 4=5). Kami mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan pertama dengan 4, dan pengangka dan penyebut pecahan ke-2 dengan 5. Kami telah mengurangkan pecahan ini kepada penyebut biasa terendah ( 20 ).

Penyebut sepunya terendah bagi pecahan ini ialah nombor 8, kerana 8 boleh dibahagi dengan 4 dan dirinya sendiri. Tidak akan ada faktor tambahan kepada pecahan 1 (atau kita boleh mengatakan bahawa ia sama dengan satu), kepada pecahan ke-2 faktor tambahan ialah 2 (8 : 4=2). Kami mendarabkan pengangka dan penyebut bagi pecahan ke-2 dengan 2. Kami telah mengurangkan pecahan ini kepada penyebut sepunya terendah ( 8 ).

Pecahan ini tidak boleh dikurangkan.

Mari kita kurangkan pecahan 1 sebanyak 4, dan kurangkan pecahan ke-2 sebanyak 2. ( lihat contoh untuk singkatan pecahan biasa: Peta laman → 5.4.2. Contoh pecahan biasa penurun). Cari LOC(16 ; 20)=2 4 · 5=16· 5=80. Pengganda tambahan untuk pecahan pertama ialah 5 (80 : 16=5). Faktor tambahan untuk pecahan ke-2 ialah 4 (80 : 20=4). Kami mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan pertama dengan 5, dan pengangka dan penyebut pecahan ke-2 dengan 4. Kami telah mengurangkan pecahan ini kepada penyebut sepunya terendah ( 80 ).

Kami mendapati penyebut sepunya terendah NCD(5 ; 6 dan 15)=NOK(5 ; 6 dan 15)=30. Faktor tambahan kepada pecahan 1 ialah 6 (30 : 5=6), faktor tambahan kepada pecahan ke-2 ialah 5 (30 : 6=5), faktor tambahan kepada pecahan ke-3 ialah 2 (30 : 15=2). Kami mendarabkan pengangka dan penyebut pecahan pertama dengan 6, pengangka dan penyebut pecahan ke-2 dengan 5, pengangka dan penyebut pecahan ke-3 dengan 2. Kami telah mengurangkan pecahan ini kepada penyebut biasa terendah ( 30 ).

Muka surat 1 daripada 1 1