Bagaimana untuk mencari punca positif terkecil bagi persamaan trigonometri. Persamaan trigonometri

Persamaan trigonometri. Sebagai sebahagian daripada peperiksaan matematik di bahagian pertama terdapat tugas yang berkaitan dengan menyelesaikan persamaan - ini persamaan mudah yang diselesaikan dalam beberapa minit, banyak jenis boleh diselesaikan secara lisan. Termasuk: persamaan linear, kuadratik, rasional, tidak rasional, eksponen, logaritma dan trigonometri.

Dalam artikel ini kita akan melihat persamaan trigonometri. Penyelesaian mereka berbeza dalam jumlah pengiraan dan dalam kerumitan daripada masalah lain dalam bahagian ini. Jangan risau, perkataan "kesukaran" merujuk kepada kesukaran relatif mereka berbanding tugas lain.

Di samping mencari punca-punca persamaan itu sendiri, adalah perlu untuk menentukan punca positif negatif atau terkecil yang terbesar. Kemungkinan anda akan mendapat persamaan trigonometri pada peperiksaan, sudah tentu, kecil.

Terdapat kurang daripada 7% daripada mereka dalam bahagian Peperiksaan Negeri Bersepadu ini. Tetapi ini tidak bermakna mereka harus diabaikan. Dalam Bahagian C, anda juga perlu menyelesaikan persamaan trigonometri, jadi pemahaman yang baik tentang teknik penyelesaian dan pemahaman teori hanya perlu.

Memahami bahagian trigonometri matematik akan sangat menentukan kejayaan anda dalam menyelesaikan banyak masalah. Saya mengingatkan anda bahawa jawapannya ialah integer atau nombor terhingga perpuluhan. Selepas anda mendapat punca persamaan, PASTIKAN anda menyemak. Ia tidak akan mengambil banyak masa, dan ia akan menyelamatkan anda daripada membuat kesilapan.

Kami juga akan melihat persamaan lain pada masa hadapan, jangan ketinggalan! Mari kita ingat semula formula untuk punca persamaan trigonometri, anda perlu mengetahuinya:

Pengetahuan tentang nilai-nilai ini adalah perlu; ini adalah "ABC", tanpanya mustahil untuk mengatasi banyak tugas. Hebat, jika ingatan anda baik, anda mudah belajar dan mengingati nilai-nilai ini. Apa yang perlu dilakukan jika anda tidak dapat melakukan ini, terdapat kekeliruan dalam kepala anda, tetapi anda hanya keliru apabila mengambil peperiksaan. Adalah memalukan untuk kehilangan mata kerana anda menulis nilai yang salah dalam pengiraan anda.

Nilai-nilai ini mudah, ia juga diberikan dalam teori yang anda terima dalam surat kedua selepas melanggan surat berita. Jika anda belum melanggan lagi, berbuat demikian! Pada masa akan datang kami juga akan mempertimbangkan bagaimana nilai-nilai ini boleh ditentukan oleh bulatan trigonometri. Ia bukan tanpa alasan ia dipanggil "Jantung Emas Trigonometri."

Biar saya jelaskan dengan segera, untuk mengelakkan kekeliruan, bahawa dalam persamaan yang dipertimbangkan di bawah, takrifan arcsine, arccosine, arctangent menggunakan sudut diberikan X Untuk persamaan yang sepadan: cosx=a, sinx=a, tgx=a, di mana X juga boleh menjadi ungkapan. Dalam contoh di bawah, hujah kami ditentukan dengan tepat oleh ungkapan.

Jadi, mari kita pertimbangkan tugas berikut:

Cari punca persamaan:

Tulis punca negatif terbesar dalam jawapan anda.

Dengan keputusan persamaan cos x = a ialah dua punca:

Definisi: Biarkan nombor a dalam modulus tidak melebihi satu. Kosinus lengkok bagi suatu nombor ialah sudut x terletak dalam julat dari 0 hingga Pi, yang kosinusnya sama dengan a.

Bermakna

Jom luahkan x:

Mari cari punca negatif terbesar. Bagaimana untuk melakukan ini? Mari kita ganti makna yang berbeza n ke dalam punca yang terhasil, hitung dan pilih yang negatif terbesar.

Kami mengira:

Dengan n = – 2 x 1 = 3 (– 2) – 4.5 = – 10.5 x 2 = 3 (– 2) – 5.5 = – 11.5

Dengan n = – 1 x 1 = 3 (– 1) – 4.5 = – 7.5 x 2 = 3 (– 1) – 5.5 = – 8.5

Dengan n = 0 x 1 = 3∙0 – 4.5 = – 4.5 x 2 = 3∙0 – 5.5 = – 5.5

Dengan n = 1 x 1 = 3∙1 – 4.5 = – 1.5 x 2 = 3∙1 – 5.5 = – 2.5

Dengan n = 2 x 1 = 3∙2 – 4.5 = 1.5 x 2 = 3∙2 – 5.5 = 0.5

Kami mendapati bahawa punca negatif terbesar ialah -1.5

Jawapan: –1.5

Tentukan sendiri:

Selesaikan persamaan:

Dengan keputusan persamaan dosa x = a ialah dua punca:

Sama ada (ia menggabungkan kedua-dua perkara di atas):

Definisi: Biarkan nombor a dalam modulus tidak melebihi satu. Lengkok bagi suatu nombor ialah sudut x yang terletak dalam julat dari – 90° hingga 90°, sinus yang sama dengan a.

Bermakna

Ungkapkan x (darab kedua-dua belah persamaan dengan 4 dan bahagi dengan Pi):

Mari cari punca positif terkecil. Di sini ia segera jelas bahawa apabila menggantikan nilai negatif n kita mendapat akar negatif. Oleh itu, kita akan menggantikan n = 0,1,2...

Apabila n = 0 x = (– 1) 0 + 4∙0 + 3 = 4

Apabila n = 1 x = (– 1) 1 + 4∙1 + 3 = 6

Apabila n = 2 x = (– 1) 2 + 4∙2 + 3 = 12

Mari kita semak dengan n = –1 x = (–1) –1 + 4∙(–1) + 3 = –2

Jadi punca positif terkecil ialah 4.

Jawapan: 4

Tentukan sendiri:

Selesaikan persamaan:

Tulis punca positif terkecil dalam jawapan anda.

Agak kerap dalam tugasan peningkatan kerumitan berjumpa persamaan trigonometri yang mengandungi modulus. Kebanyakan daripada mereka memerlukan pendekatan heuristik untuk penyelesaian, yang sama sekali tidak biasa kepada kebanyakan pelajar sekolah.

Masalah yang dicadangkan di bawah bertujuan untuk memperkenalkan anda kepada teknik yang paling tipikal untuk menyelesaikan persamaan trigonometri yang mengandungi modulus.

Masalah 1. Cari beza (dalam darjah) punca negatif positif dan terbesar terkecil bagi persamaan 1 + 2sin x |cos x| = 0.

Penyelesaian.

Mari kembangkan modul:

1) Jika cos x ≥ 0, maka persamaan asal akan mengambil bentuk 1 + 2sin x · cos x = 0.

Mari kita gunakan formula sinus sudut berganda, kita dapat:

1 + sin 2x = 0; sin 2x = -1;

2x = -π/2 + 2πn, n € Z;

x = -π/4 + πn, n € Z. Oleh kerana cos x ≥ 0, maka x = -π/4 + 2πk, k € Z.

2) Jika kos x< 0, то persamaan yang diberikan mempunyai bentuk 1 – 2sin x cos x = 0. Dengan menggunakan formula sinus bersudut dua, kita ada:

1 – dosa 2x = 0; dosa 2x = 1;

2x = π/2 + 2πn, n € Z;

x = π/4 + πn, n € Z. Oleh kerana cos x< 0, то x = 5π/4 + 2πk, k € Z.

3) Punca negatif terbesar persamaan: -π/4; punca positif terkecil bagi persamaan: 5π/4.

Perbezaan yang diperlukan: 5π/4 – (-π/4) = 6π/4 = 3π/2 = 3 180°/2 = 270°.

Jawapan: 270°.

Masalah 2. Cari (dalam darjah) punca positif terkecil bagi persamaan |tg x| + 1/cos x = tan x.

Penyelesaian.

Mari kembangkan modul:

1) Jika tan x ≥ 0, maka

tan x + 1/cos x = tan x;

Persamaan yang terhasil tidak mempunyai punca.

2) Jika tg x< 0, тогда

Tg x + 1/cos x = tg x;

1/cos x – 2tg x = 0;

1/cos x – 2sin x / cos x = 0;

(1 – 2sin x) / cos x = 0;

1 – 2sin x = 0 dan cos x ≠ 0.

Menggunakan Rajah 1 dan keadaan tg x< 0 находим, что x = 5π/6 + 2πn, где n € Z.

3) Punca positif terkecil persamaan ialah 5π/6. Mari tukar nilai ini kepada darjah:

5π/6 = 5 180°/6 = 5 30° = 150°.

Jawapan: 150°.

Tugasan 3. Cari kuantiti akar yang berbeza persamaan sin |2x| = cos 2x pada selang [-π/2; π/2].

Penyelesaian.

Mari kita tulis persamaan dalam bentuk sin|2x| – cos 2x = 0 dan pertimbangkan fungsi y = sin |2x| – cos 2x. Oleh kerana fungsi itu genap, kita akan mencari sifarnya untuk x ≥ 0.

sin 2x – cos 2x = 0; Mari bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan cos 2x ≠ 0, kita dapat:

tg 2x – 1 = 0;

2x = π/4 + πn, n € Z;

x = π/8 + πn/2, n € Z.

Dengan menggunakan pariti fungsi, kita dapati bahawa punca-punca persamaan asal ialah nombor bagi bentuk

± (π/8 + πn/2), dengan n € Z.

Selang [-π/2; π/2] tergolong dalam nombor: -π/8; π/8.

Jadi, dua punca persamaan tergolong dalam selang yang diberikan.

Jawapan: 2.

Persamaan ini juga boleh diselesaikan dengan membuka modul.

Masalah 4. Cari bilangan punca persamaan sin x – (|2cos x – 1|)/(2cos x – 1) · sin 2 x = sin 2 x pada selang [-π; 2π].

Penyelesaian.

1) Pertimbangkan kes apabila 2cos x – 1 > 0, i.e. cos x > 1/2, maka persamaannya dalam bentuk:

sin x – sin 2 x = sin 2 x;

sin x – 2sin 2 x = 0;

sin x(1 – 2sin x) = 0;

sin x = 0 atau 1 – 2sin x = 0;

sin x = 0 atau sin x = 1/2.

Menggunakan Rajah 2 dan keadaan cos x > 1/2, kita dapati punca-punca persamaan:

x = π/6 + 2πn atau x = 2πn, n € Z.

2) Pertimbangkan kes apabila 2cos x – 1< 0, т.е. cos x < 1/2, тогда исходное уравнение принимает вид:

sin x + sin 2 x = sin 2 x;

x = 2πn, n € Z.

Menggunakan Rajah 2 dan keadaan cos x< 1/2, находим, что x = π + 2πn, где n € Z.

Menggabungkan dua kes, kami mendapat:

x = π/6 + 2πn atau x = πn.

3) Selang [-π; 2π] tergolong dalam akar: π/6; -π; 0; π; 2π.

Oleh itu, selang yang diberikan mengandungi lima punca persamaan.

Jawapan: 5.

Masalah 5. Cari bilangan punca persamaan (x – 0.7) 2 |sin x| + sin x = 0 pada selang [-π; 2π].

Penyelesaian.

1) Jika sin x ≥ 0, maka persamaan asal mengambil bentuk (x – 0.7) 2 sin x + sin x = 0. Selepas mengambil faktor sepunya sin x daripada kurungan, kita dapat:

sin x((x – 0.7) 2 + 1) = 0; kerana (x – 0.7) 2 + 1 > 0 untuk semua x nyata, maka sinx = 0, i.e. x = πn, n € Z.

2) Jika dosa x< 0, то -(x – 0,7) 2 sin x + sin x = 0;

sin x((x – 0.7) 2 – 1) = 0;

sinx = 0 atau (x – 0.7) 2 + 1 = 0. Oleh kerana sin x< 0, то (x – 0,7) 2 = 1. Извлекаем punca kuasa dua dari kiri dan bahagian yang betul daripada persamaan terakhir, kita dapat:

x – 0.7 = 1 atau x – 0.7 = -1, yang bermaksud x = 1.7 atau x = -0.3.

Mengambil kira keadaan sinx< 0 получим, что sin (-0,3) ≈ sin (-17,1°) < 0 и sin (1,7) ≈ sin (96,9°) >0, yang bermaksud hanya nombor -0.3 adalah punca persamaan asal.

3) Selang [-π; 2π] tergolong dalam nombor: -π; 0; π; 2π; -0.3.

Oleh itu, persamaan mempunyai lima punca pada selang tertentu.

Jawapan: 5.

Anda boleh membuat persediaan untuk pelajaran atau peperiksaan menggunakan pelbagai sumber pendidikan, yang terdapat di Internet. Pada masa ini sesiapa sahaja seseorang hanya perlu menggunakan yang baru teknologi maklumat, kerana penggunaannya yang betul, dan paling penting, sesuai akan membantu meningkatkan motivasi dalam mempelajari subjek, meningkatkan minat dan membantu untuk mengasimilasikan bahan yang diperlukan dengan lebih baik. Tetapi jangan lupa bahawa komputer tidak mengajar anda untuk berfikir; maklumat yang diterima mesti diproses, difahami dan diingati. Oleh itu, anda boleh beralih kepada kami tutor dalam talian, yang akan membantu anda menangani menyelesaikan masalah yang menarik minat anda.

Masih ada soalan? Tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor -.
Pelajaran pertama adalah percuma!

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan pertanyaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.