Bagaimana untuk mencari selang kemonotonan sesuatu fungsi. b - nombor akhir

Teorem tentang had fungsi monoton. Satu bukti teorem diberikan menggunakan dua kaedah. Takrif fungsi meningkat, tidak menurun, menurun dan tidak meningkat dengan ketat juga diberikan. Definisi fungsi monotonik.

Definisi

Definisi fungsi bertambah dan berkurang
Biarkan fungsi f (x) ditakrifkan pada beberapa set nombor nyata X.
Fungsi itu dipanggil meningkat dengan tegas (menurun dengan ketat), jika untuk semua x′, x′′ ∈ X sehingga x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′)< f(x′′) (f (x′) > f(x′′) ) .
Fungsi itu dipanggil tidak berkurangan (tidak bertambah), jika untuk semua x′, x′′ ∈ X sehingga x′< x′′ выполняется неравенство:
f (x′) ≤ f(x′′)(f (x′) ≥ f(x′′) ) .

Ia berikutan bahawa fungsi yang meningkat dengan ketat juga tidak berkurangan. Fungsi yang berkurangan dengan tegas juga tidak meningkat.

Definisi fungsi monotonik
Fungsi itu dipanggil membosankan, jika ia tidak berkurangan atau tidak meningkat.

Untuk mengkaji kemonotonan fungsi pada set X tertentu, anda perlu mencari perbezaan nilainya dalam dua mata sewenang-wenangnya tergolong dalam set ini. Jika , maka fungsi meningkat dengan tegas; jika , maka fungsi tidak berkurangan; jika , maka berkurangan dengan ketat; jika , maka ia tidak bertambah.

Jika pada set tertentu fungsinya adalah positif: , maka untuk menentukan monotonicity, anda boleh mengkaji hasil bagi membahagikan nilainya pada dua titik sewenang-wenangnya set ini. Jika , maka fungsi itu meningkat dengan tegas; jika , maka fungsi tidak berkurangan; jika , maka berkurangan dengan ketat; jika , maka tidak meningkat.

Teorem
Biarkan fungsi f (x) tidak berkurang pada selang waktu (a, b), Di mana.
Jika ia bersempadan di atas dengan nombor M:, maka terdapat had kiri terhingga pada titik b:. (x) Jika f
tidak terhad dari atas, maka . (x) Jika f (x) adalah bersempadan di bawah dengan nombor m : , maka terdapat had kanan terhingga pada titik a : .

Jika f
tidak bersempadan di bawah, maka .

Jika titik a dan b berada pada infiniti, maka dalam ungkapan tanda had bermakna . (x) tidak berkurang pada selang waktu (a, b) Teorem ini boleh dirumuskan dengan lebih padat.
;
.

Biarkan fungsi f

, Di mana. Kemudian terdapat had satu sisi pada titik a dan b:
;
.

Teorem serupa untuk fungsi tidak bertambah.
Biarkan fungsi tidak meningkat pada selang di mana .
Kemudian terdapat had satu sisi:

Akibat

Fungsi tidak berkurangan

b - nombor akhir

Fungsi adalah terhad dari atas

1.1.1. Biarkan fungsi itu dibatasi di atas dengan nombor M: untuk .

.
;
.

Oleh kerana fungsi tidak berkurangan, maka apabila .
Kemudian
di .
;
;
.
Mari kita ubah ketidaksamaan terakhir:
Kemudian

Kemudian
Kerana, kemudian.

Kemudian

"Takrifan had sebelah satu fungsi pada titik akhir").
Fungsi tidak terhad dari atas
1. Biarkan fungsi tidak berkurangan pada selang waktu.
1.1. Biarkan nombor b terhingga: .

.

Kemudian

1.1.2. Biarkan fungsi tidak terikat di atas.
Kemudian
Mari kita buktikan bahawa dalam kes ini ada hadnya.

Mari kita nyatakan.

Fungsi adalah terhad dari atas

"Takrifan had sebelah satu fungsi pada titik akhir").
Kemudian bagi sesiapa pun ada, jadi
1.1. Biarkan nombor b terhingga: .

Ini bermakna bahawa had di sebelah kiri pada titik b ialah (lihat "Takrifan had tak terhingga sebelah satu fungsi pada titik akhir").
.
b awal tambah infiniti 1.2.1. Biarkan fungsi itu dibatasi di atas dengan nombor M: untuk . Oleh kerana fungsi dibatasi di atas, terdapat supremum terhingga Mengikut definisi tepat:
;
tepi atas
.

, dijalankan
Kemudian

syarat berikut
Kemudian
untuk mana-mana positif ada hujah yang mana

Kemudian

"Takrifan had sebelah satu fungsi pada titik akhir").
Oleh kerana fungsi tidak berkurangan, maka apabila .
Kemudian pada .
1.1. Biarkan nombor b terhingga: .

Ataupun
.

Jadi, kami mendapati bahawa untuk sesiapa sahaja terdapat nombor, jadi

"Takrifan had berat sebelah pada infiniti").
Kemudian
1.2. Biarkan nombor b sama dengan tambah infiniti: .

1.2.2. Biarkan fungsi tidak terikat di atas.

Oleh kerana fungsi itu tidak bersempadan di atas, maka untuk sebarang nombor M terdapat hujah yang mana

Oleh kerana fungsi tidak berkurangan, maka apabila .
.
Kemudian pada .
;
Jadi untuk mana-mana ada nombor , jadi
.
Ini bermakna bahawa had pada adalah sama dengan (lihat "Takrifan had tak terhingga satu sisi pada tak terhingga").

Fungsi tidak meningkat
Kemudian
Sekarang pertimbangkan kes apabila fungsi tidak meningkat. Anda boleh, seperti di atas, mempertimbangkan setiap pilihan secara berasingan. Tetapi kami akan melindungi mereka dengan segera. Untuk ini kami gunakan. Mari kita buktikan bahawa dalam kes ini ada hadnya.
Kemudian
Pertimbangkan infimum terhingga bagi set nilai fungsi:

Di sini B boleh sama ada nombor terhingga atau titik pada infiniti.
Kemudian
Mengikut takrifan sempadan bawah yang tepat, syarat berikut dipenuhi:

untuk mana-mana kejiranan titik B terdapat hujah yang mana

Mengikut syarat teorem, .

Sekarang kita akan menunjukkan bahawa terdapat had pada titik a dan cari nilainya.

Mari kita pertimbangkan fungsinya. -1 Mengikut syarat teorem, fungsinya adalah monotonik untuk .

Mari gantikan pembolehubah x dengan - x (atau lakukan penggantian dan kemudian gantikan pembolehubah t dengan x ). Kemudian fungsinya adalah monotonik untuk .
.
Mendarab ketaksamaan dengan
.

dan mengubah susunannya kita sampai pada kesimpulan bahawa fungsi itu adalah monotonik untuk .
.

Dengan cara yang sama mudah untuk menunjukkan bahawa jika ia tidak berkurangan, maka ia tidak bertambah. Kemudian, mengikut apa yang dibuktikan di atas, ada hadnya
(1) .
Jika ia tidak bertambah, ia tidak berkurangan. Dalam kes ini ada hadnya
.
Sekarang ia kekal untuk menunjukkan bahawa jika terdapat had fungsi di , maka terdapat had fungsi di , dan had ini adalah sama:
Kemudian

Mari kita perkenalkan notasi:
Kemudian
Mari kita ungkapkan f dalam sebutan g:
Kemudian
Mari kita ambil nombor positif sewenang-wenangnya.
Kemudian

Biarkan terdapat kejiranan epsilon titik A.
Kejiranan epsilon ditakrifkan untuk nilai terhingga dan tak terhingga bagi A (lihat "Kejiranan titik"). Oleh kerana terdapat had (1), maka, mengikut takrifan had, bagi mana-mana ada wujud sedemikian
Kejiranan epsilon ditakrifkan untuk nilai terhingga dan tak terhingga bagi A (lihat "Kejiranan titik"). Oleh kerana terdapat had (1), maka, mengikut takrifan had, bagi mana-mana ada wujud sedemikian
Kejiranan epsilon ditakrifkan untuk nilai terhingga dan tak terhingga bagi A (lihat "Kejiranan titik"). Oleh kerana terdapat had (1), maka, mengikut takrifan had, bagi mana-mana ada wujud sedemikian
Kemudian

Biarkan a menjadi nombor terhingga. Mari kita nyatakan kejiranan tertusuk kiri titik -a menggunakan ketaksamaan:
Kemudian
Mari gantikan x dengan -x dan ambil kira bahawa:
.

Dua ketaksamaan terakhir mentakrifkan kejiranan kanan tertusuk bagi titik a.

Kemudian

Biarkan a menjadi nombor tak terhingga, . Kami mengulangi alasan. pada ;

Jadi, kami mendapati bahawa untuk sesiapa sahaja ada perkara itu Ini bermakna bahawa< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Teorem terbukti. Kami pertama kali bertemu dalam kursus algebra darjah 7. Melihat graf fungsi, kami menurunkan maklumat yang sepadan: jika, bergerak sepanjang graf dari kiri ke kanan, kami pada masa yang sama bergerak dari bawah ke atas (seolah-olah mendaki bukit), maka kami mengisytiharkan fungsi untuk meningkat (Rajah 124); jika kita bergerak dari atas ke bawah (turun bukit), maka kita mengisytiharkan fungsi itu menurun (Rajah 125).< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует Bagaimanapun, ahli matematik tidak begitu menggemari kaedah mengkaji sifat sesuatu fungsi ini. Mereka percaya bahawa takrifan konsep tidak seharusnya berdasarkan lukisan - lukisan itu hendaklah hanya menggambarkan satu atau satu lagi sifat fungsi padanya. grafik

. Marilah kita memberikan definisi yang ketat tentang konsep peningkatan dan penurunan fungsi.

Definisi 1.
fungsi berkurangan jika nilai argumen yang lebih besar sepadan dengan nilai fungsi yang lebih kecil.

Menggunakan takrifan ini dan sifat-sifat yang ditetapkan dalam § 33 ketaksamaan berangka, kita akan dapat mewajarkan kesimpulan tentang peningkatan atau penurunan fungsi yang dikaji sebelum ini.

1. Fungsi linear y = kx +m

Jika k > 0, maka fungsi bertambah sepanjang (Rajah 126); jika k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Bukti. Biarkan f(x) = kx +m. Jika x 1< х 2 и k >Oh, kemudian, mengikut sifat 3 ketaksamaan berangka (lihat § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Jadi, daripada ketaksamaan x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. linear fungsi y = kx+ m.

Jika x 1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , dan mengikut sifat 2, daripada kx 1 > kx 2 ia mengikuti bahawa kx 1 + m> kx 2 + i.e.

Jadi, daripada ketaksamaan x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2). Ini bermakna penurunan dalam fungsi y = f(x), i.e. fungsi linear y = kx + m.

Jika fungsi bertambah (berkurang) di seluruh domain definisinya, maka ia boleh dipanggil meningkat (berkurang) tanpa menunjukkan selang. Sebagai contoh, mengenai fungsi y = 2x - 3 kita boleh mengatakan bahawa ia meningkat sepanjang garis nombor keseluruhan, tetapi kita juga boleh mengatakannya dengan lebih ringkas: y = 2x - 3 - meningkat
fungsi.

2. Fungsi y = x2

1. Pertimbangkan fungsi y = x 2 pada sinar. Mari kita ambil dua nombor bukan positif x 1 dan x 2 supaya x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >- x 2. Oleh kerana nombor - x 1 dan - x 2 adalah bukan negatif, maka dengan mengkuadratkan kedua-dua belah ketaksamaan terakhir, kita memperoleh ketaksamaan makna yang sama (-x 1) 2 > (-x 2) 2, i.e. Ini bermakna f(x 1) > f(x 2).

Jadi, daripada ketaksamaan x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x 2).

Oleh itu, fungsi y = x 2 berkurangan pada sinar (- 00, 0] (Rajah 128).

1. Pertimbangkan fungsi pada selang (0, + 00).
Biarkan x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x 2).

Jadi, daripada ketaksamaan x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2). Ini bermakna fungsi berkurangan pada sinar terbuka (0, + 00) (Rajah 129).

2. Pertimbangkan fungsi pada selang (-oo, 0). Biarkan x 1< х 2 , х 1 и х 2 - nombor negatif. Kemudian - x 1 > - x 2, dan kedua-dua belah ketaksamaan terakhir - nombor positif, dan oleh itu (kami sekali lagi menggunakan ketaksamaan yang dibuktikan dalam Contoh 1 daripada § 33). Seterusnya kita ada, dari mana kita dapat.

Jadi, daripada ketaksamaan x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) i.e. fungsi berkurangan pada sinar terbuka (- 00 , 0)

Biasanya istilah "fungsi meningkat" dan "fungsi menurun" digabungkan nama biasa fungsi monotonik, dan kajian fungsi untuk meningkat dan menurun dipanggil kajian fungsi untuk monotoni.

Penyelesaian.

1) Mari kita plot fungsi y = 2x2 dan ambil cabang parabola ini pada x< 0 (рис. 130).

2) Bina dan pilih bahagiannya pada segmen (Gamb. 131).

3) Mari kita bina hiperbola dan pilih bahagiannya pada sinar terbuka (4, + 00) (Gamb. 132).
4) Mari kita gambarkan ketiga-tiga “kepingan” dalam satu sistem koordinat - ini ialah graf bagi fungsi y = f(x) (Rajah 133).

Mari baca graf fungsi y = f(x).

1. Domain takrifan fungsi ialah keseluruhan garis nombor.

2. y = 0 pada x = 0; y > 0 untuk x > 0.

3. Fungsi berkurangan pada sinar (-oo, 0], bertambah pada ruas , berkurang pada sinar , cembung ke atas pada ruas , cembung ke bawah pada sinar Pertimbangkan fungsi \(f(t)=t^3+t\) . Kemudian persamaan akan ditulis semula dalam bentuk: \ Mari kita kaji fungsi \(f(t)\) . \ Akibatnya, fungsi \(f(t)\) meningkat untuk semua \(t\) . Ini bermakna setiap nilai fungsi \(f(t)\) sepadan dengan tepat satu nilai argumen \(t\) . Oleh itu, agar persamaan mempunyai punca, perlu: \ Untuk persamaan yang terhasil mempunyai dua punca, diskriminasinya mestilah positif: \

Jawapan:

\(\left(-\infty;\dfrac1(12)\kanan)\)

Tugasan 2 #2653

Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu

Cari semua nilai parameter \(a\) yang persamaannya \

mempunyai dua akar.

(Tugas daripada pelanggan.)

Mari buat penggantian: \(ax^2-2x=t\) , \(x^2-1=u\) . Kemudian persamaan akan mengambil bentuk: \ Pertimbangkan fungsi \(f(w)=7^w+\sqrtw\) . Kemudian persamaan kita akan mengambil bentuk: \

Mari cari derivatif \ Ambil perhatian bahawa untuk semua \(w\ne 0\) terbitan ialah \(f"(w)>0\) , sejak \(7^w>0\) , \(w^6>0\) . Perhatikan juga bahawa fungsi \(f(w)\) itu sendiri ditakrifkan untuk semua \(w\) . Memandangkan \(f(w)\) adalah berterusan, kita boleh membuat kesimpulan bahawa \(f (w)\) meningkat pada keseluruhannya. \(\mathbb(R)\) .
Ini bermakna kesamaan \(f(t)=f(u)\) adalah mungkin jika dan hanya jika \(t=u\) . Mari kembali kepada pembolehubah asal dan selesaikan persamaan yang terhasil:

\ Agar persamaan ini mempunyai dua punca, ia mestilah segi empat sama dan diskriminasinya mestilah positif:

\[\begin(cases) a-1\ne 0\\ 4-4(a-1)>0\end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases)a\ne1\\a<2\end{cases}\]

Jawapan:

\((-\infty;1)\cup(1;2)\)

Tugasan 3 #3921

Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu

Cari semua nilai positif parameter \(a\) yang persamaannya

mempunyai sekurang-kurangnya \(2\) penyelesaian.

Mari alihkan semua istilah yang mengandungi \(ax\) ke kiri, dan yang mengandungi \(x^2\) ke kanan, dan pertimbangkan fungsi
\

Kemudian persamaan asal akan mengambil bentuk:
\

Mari cari derivatif:
\

Kerana \((t-2)^2 \geqslant 0, \e^t>0, \1+\cos(2t) \geqslant 0\), kemudian \(f"(t)\geqslant 0\) untuk sebarang \(t\in \mathbb(R)\) .

Selain itu, \(f"(t)=0\) jika \((t-2)^2=0\) dan \(1+\cos(2t)=0\) pada masa yang sama, yang tidak benar untuk sebarang \ (t\) . Oleh itu, \(f"(t)> 0\) untuk sebarang \(t\in \mathbb(R)\) .

Oleh itu, fungsi \(f(t)\) meningkat dengan ketat untuk semua \(t\in \mathbb(R)\) .

Ini bermakna persamaan \(f(ax)=f(x^2)\) adalah bersamaan dengan persamaan \(ax=x^2\) .

Persamaan \(x^2-ax=0\) untuk \(a=0\) mempunyai satu punca \(x=0\), dan untuk \(a\ne 0\) ia mempunyai dua pelbagai akar\(x_1=0\) dan \(x_2=a\) .
Kita perlu mencari nilai \(a\) di mana persamaan akan mempunyai sekurang-kurangnya dua punca, juga mengambil kira fakta bahawa \(a>0\) .
Oleh itu, jawapannya ialah: \(a\in (0;+\infty)\) .

Jawapan:

\((0;+\infty)\) .

Tugasan 4 #1232

Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu

Cari semua nilai parameter \(a\) , bagi setiap satu yang mempunyai persamaan \

mempunyai penyelesaian yang unik.

Mari kita darabkan sisi kanan dan kiri persamaan dengan \(2^(\sqrt(x+1))\) (sejak \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) dan tulis semula persamaan dalam bentuk: \

Pertimbangkan fungsinya \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) untuk \(t\geqslant 0\) (sejak \(\sqrt(x+1)\geqslant 0\) ).

Derivatif \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\kanan)\).

Kerana \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) untuk semua \(t\geqslant 0\) , kemudian \(y"<0\) при всех \(t\geqslant 0\) .

Akibatnya, apabila \(t\geqslant 0\) fungsi \(y\) berkurangan secara monoton.

Persamaan boleh dipertimbangkan dalam bentuk \(y(t)=y(z)\) , di mana \(z=ax, t=\sqrt(x+1)\) . Daripada kemonotonan fungsi itu menunjukkan bahawa kesamaan hanya mungkin jika \(t=z\) .

Ini bermakna bahawa persamaan adalah bersamaan dengan persamaan: \(ax=\sqrt(x+1)\), yang seterusnya bersamaan dengan sistem: \[\begin(cases) a^2x^2-x-1=0\\ ax \geqslant 0 \end(cases)\]

Apabila \(a=0\) sistem mempunyai satu penyelesaian \(x=-1\) yang memenuhi syarat \(ax\geqslant 0\) .

Pertimbangkan kes \(a\ne 0\) . Diskriminasi bagi persamaan pertama sistem \(D=1+4a^2>0\) untuk semua \(a\) . Akibatnya, persamaan sentiasa mempunyai dua punca \(x_1\) dan \(x_2\), dan ia mempunyai tanda yang berbeza (kerana mengikut teorem Vieta \(x_1\cdot x_2=-\dfrac(1)(a^2)<0\) ).

Ini bermakna bahawa untuk \(a<0\) условию \(ax\geqslant 0\) подходит отрицательный корень, при \(a>0\) keadaan dipenuhi oleh punca positif. Oleh itu, sistem sentiasa mempunyai penyelesaian yang unik.

Jadi, \(a\in \mathbb(R)\) .

Jawapan:

\(a\in \mathbb(R)\) .

Tugasan 5 #1234

Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu

Cari semua nilai parameter \(a\) , bagi setiap satu yang mempunyai persamaan \

mempunyai sekurang-kurangnya satu punca daripada segmen \([-1;0]\) .

Pertimbangkan fungsinya \(f(x)=2x^3-3x(ax+x-a^2-1)-3a-a^3\) untuk beberapa tetap \(a\) . Mari cari derivatifnya: \(f"(x)=6x^2-6ax-6x+3a^2+3=3(x^2-2ax+a^2+x^2-2x+1)=3((x-a)^2 +(x-1)^2)\).

Ambil perhatian bahawa \(f"(x)\geqslant 0\) untuk semua nilai \(x\) dan \(a\) , dan sama dengan \(0\) hanya untuk \(x=a=1 \). Tetapi untuk \(a=1\):
\(f"(x)=6(x-1)^2 \Anak panah kanan f(x)=2(x-1)^3 \Anak panah kanan\) persamaan \(2(x-1)^3=0\) mempunyai punca tunggal \(x=1\) yang tidak memenuhi syarat. Oleh itu, \(a\) tidak boleh sama dengan \(1\) .

Ini bermakna untuk semua \(a\ne 1\) fungsi \(f(x)\) semakin meningkat, oleh itu, persamaan \(f(x)=0\) tidak boleh mempunyai lebih daripada satu punca. Dengan mengambil kira sifat fungsi kubik, graf \(f(x)\) untuk beberapa tetap \(a\) akan kelihatan seperti ini:

Ini bermakna agar persamaan mempunyai punca bagi segmen \([-1;0]\), adalah perlu: \[\begin(cases) f(0)\geqslant 0\\ f(-1)\leqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a(a^2+3)\leqslant 0\\ ( a+2)(a^2+a+4)\geqslant 0 \end(cases) \Rightarrow \begin(cases) a\leqslant 0\\ a\geqslant -2 \end(cases) \Rightarrow -2\leqslant a\leqslant 0\]

Oleh itu, \(a\in [-2;0]\) .

Jawapan:

\(a\dalam [-2;0]\) .

Tugasan 6 #2949

Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu

Cari semua nilai parameter \(a\) , bagi setiap satu yang mempunyai persamaan \[(\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6)\cdot (\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2))=0\]

mempunyai akar.

(Tugas daripada pelanggan)

Persamaan ODZ: \(2x-2x^2\geqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad x\in \). Oleh itu, agar persamaan mempunyai punca, perlu sekurang-kurangnya satu daripada persamaan tersebut \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad (\small(\text(atau)))\quad \sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^ 2)=0\] mempunyai keputusan mengenai ODZ.

1) Pertimbangkan persamaan pertama \[\sin^2x-5\sin x-2a(\sin x-3)+6=0 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(berkumpul)\mula(disejajarkan) &\sin x=2a+ 2 \\ &\sin x=3\\ \end(aligned) \end(berkumpul)\kanan. \quad\Leftrightarrow\quad \sin x=2a+2\] Persamaan ini mesti mempunyai punca dalam \(\) . Pertimbangkan bulatan:

Oleh itu, kita melihat bahawa untuk mana-mana \(2a+2\in [\sin 0;\sin 1]\) persamaan akan mempunyai satu penyelesaian, dan untuk semua yang lain ia tidak akan mempunyai penyelesaian. Oleh itu, apabila \(a\dalam \kiri[-1;-1+\sin 1\kanan]\) persamaan mempunyai penyelesaian.

2) Pertimbangkan persamaan kedua \[\sqrt2a+8x\sqrt(2x-2x^2)=0 \quad\Leftrightarrow\quad 8x\sqrt(x-x^2)=-a\]

Pertimbangkan fungsi \(f(x)=8x\sqrt(x-x^2)\) . Mari cari derivatifnya: \ Pada ODZ, terbitan mempunyai satu sifar: \(x=\frac34\) , yang juga merupakan titik maksimum bagi fungsi \(f(x)\) .
Ambil perhatian bahawa \(f(0)=f(1)=0\) . Jadi, secara skematik graf \(f(x)\) kelihatan seperti ini:

Oleh itu, untuk persamaan mempunyai penyelesaian, adalah perlu bahawa graf \(f(x)\) bersilang dengan garis lurus \(y=-a\) (rajah menunjukkan salah satu pilihan yang sesuai). Iaitu, perlu itu \ . Untuk ini \(x\) :

Fungsi \(y_1=\sqrt(x-1)\) semakin meningkat. Graf fungsi \(y_2=5x^2-9x\) ialah parabola, bucunya berada pada titik \(x=\dfrac(9)(10)\) . Akibatnya, untuk semua \(x\geqslant 1\), fungsi \(y_2\) juga semakin meningkat (cabang kanan parabola). Kerana jumlah fungsi meningkat dengan tegas meningkat dengan ketat, kemudian \(f_a(x)\) meningkat dengan ketat (pemalar \(3a+8\) tidak menjejaskan kemonotonan fungsi).

Fungsi \(g_a(x)=\dfrac(a^2)(x)\) untuk semua \(x\geqslant 1\) mewakili sebahagian daripada cabang kanan hiperbola dan semakin berkurangan.

Menyelesaikan persamaan \(f_a(x)=g_a(x)\) bermakna mencari titik persilangan bagi fungsi \(f\) dan \(g\) . Daripada monotonisitas bertentangan mereka, persamaan boleh mempunyai paling banyak satu punca.

Apabila \(x\geqslant 1\) \(f_a(x)\geqslant 3a+4, \ \ \ 0 . Oleh itu, persamaan akan mempunyai penyelesaian yang unik jika:

\\cawan

Jawapan:

\(a\in (-\infty;-1]\cup)