Bagaimana untuk mencari penyebut janjang geometri. Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

URUTAN NUMERIK VI

§ l48. Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga

Sehingga kini, bercakap tentang jumlah, kami sentiasa menganggap bahawa bilangan istilah dalam jumlah ini adalah terhingga (contohnya, 2, 15, 1000, dsb.). Tetapi apabila menyelesaikan beberapa masalah (terutamanya matematik yang lebih tinggi) seseorang itu perlu berurusan dengan hasil tambah bilangan sebutan yang tidak terhingga

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Apakah jumlah ini? Mengikut takrifan hasil tambah bilangan sebutan yang tidak terhingga a 1 , a 2 , ..., a n , ... dipanggil had jumlah S n pertama P nombor apabila P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Had (2), sudah tentu, mungkin wujud atau tidak. Sehubungan itu, jumlah (1) dikatakan wujud atau tidak wujud.

Bagaimana untuk mengetahui sama ada jumlah (1) wujud dalam setiap kes tertentu? Keputusan bersama Soalan ini melangkaui skop program kami. Walau bagaimanapun, ada satu yang penting kes istimewa yang kini perlu kita pertimbangkan. Kita akan bercakap tentang penjumlahan sebutan bagi janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga.

biarlah a 1 , a 1 q , a 1 q 2 , ... ialah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga. Ini bermakna bahawa | q |< 1. Сумма первых P ahli perkembangan ini adalah sama dengan

Daripada teorem had utama pembolehubah(lihat § 136) kita dapat:

Tetapi 1 = 1, a q n = 0. Oleh itu

Jadi, jumlah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga adalah sama dengan sebutan pertama kemajuan ini dibahagikan dengan satu tolak penyebut janjang ini.

1) Jumlah janjang geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... ialah

dan jumlah janjang geometri ialah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama

2) Mudah pecahan berkala 0.454545 ... tukar kepada biasa.

Untuk menyelesaikan masalah ini, kami membentangkan pecahan yang diberi sebagai jumlah tak terhingga:

Bahagian kanan daripada kesamaan ini ialah hasil tambah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga, sebutan pertamanya ialah 45/100, dan penyebutnya ialah 1/100. sebab tu

Dengan cara yang diterangkan, seseorang boleh mendapatkan peraturan Am penukaran pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa (lihat Bab II, § 38):

Untuk menukar pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa, anda perlu melakukan perkara berikut: masukkan noktah dalam pengangka pecahan perpuluhan, dan dalam penyebut - nombor yang terdiri daripada sembilan diambil seberapa banyak bilangan digit dalam tempoh pecahan perpuluhan.

3) Pecahan berkala bercampur 0.58333 .... bertukar menjadi pecahan biasa.

Mari kita wakili pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Di sebelah kanan kesamaan ini, semua sebutan, bermula dari 3/1000, membentuk janjang geometri menyusut tak terhingga, sebutan pertamanya ialah 3/1000, dan penyebutnya ialah 1/10. sebab tu

Dengan cara yang diterangkan, peraturan am untuk penukaran pecahan berkala campuran kepada pecahan biasa juga boleh diperolehi (lihat Bab II, § 38). Kami sengaja tidak memasukkannya di sini. Tidak perlu menghafal peraturan yang rumit ini. Adalah lebih berguna untuk mengetahui bahawa mana-mana pecahan berkala bercampur boleh diwakili sebagai hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga dan beberapa nombor. Dan formulanya

untuk jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tidak terhingga, seseorang mesti, sudah tentu, ingat.

Sebagai latihan, kami menjemput anda, sebagai tambahan kepada masalah No. 995-1000 di bawah, untuk sekali lagi beralih kepada masalah No. 301 § 38.

Senaman

995. Apakah yang dipanggil hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga?

996. Cari jumlah janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga:

997. Untuk apa nilai X kemajuan

semakin berkurangan? Cari jumlah janjang sedemikian.

998. Dalam segi tiga sama sisi dengan pesta a segi tiga baru ditulis dengan menyambungkan titik tengah sisinya; segi tiga baharu ditulis dalam segi tiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum.

a) jumlah perimeter semua segi tiga ini;

b) jumlah kawasan mereka.

999. Dalam segi empat sama dengan sisi a ditulis dengan menyambung titik tengah sisinya persegi baru; segi empat sama ditulis dalam petak ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Cari hasil tambah perimeter semua segi empat sama ini dan hasil tambah luasnya.

1000. Buat satu janjang geometri yang menyusut tak terhingga, supaya hasil tambahnya adalah sama dengan 25 / 4, dan hasil tambah kuasa dua sebutannya adalah sama dengan 625 / 24.

Nombor ini dipanggil penyebut janjang geometri, iaitu, setiap sebutan berbeza daripada yang sebelumnya mengikut kali q. (Kami akan menganggap bahawa q ≠ 1, jika tidak semuanya terlalu remeh). Ia adalah mudah untuk melihatnya formula am ahli n -th bagi janjang geometri b n = b 1 q n - 1 ; sebutan dengan nombor b n dan b m berbeza dengan q n – m kali.

Sudah masuk Mesir Purba mengetahui bukan sahaja aritmetik, tetapi juga janjang geometri. Di sini, sebagai contoh, adalah tugas dari papirus Rhind: “Tujuh muka mempunyai tujuh kucing; setiap kucing makan tujuh tikus, setiap tikus makan tujuh biji jagung, setiap telinga boleh tumbuh tujuh sukat barli. Berapa besarkah nombor dalam siri ini dan jumlahnya?

nasi. 1. Masalah janjang geometri Mesir Purba

Tugasan ini diulang berkali-kali dengan variasi yang berbeza antara orang lain pada masa yang lain. Sebagai contoh, secara bertulis pada abad XIII. "Book of the abakus" oleh Leonardo dari Pisa (Fibonacci) mempunyai masalah di mana 7 wanita tua muncul dalam perjalanan ke Rom (jelas jemaah haji), setiap satunya mempunyai 7 bagal, setiap satunya mempunyai 7 beg, setiap satunya mempunyai 7 roti, setiap satunya mempunyai 7 pisau, setiap satunya dalam 7 sarung. Masalahnya bertanya berapa banyak barang yang ada.

Hasil tambah n ahli pertama janjang geometri S n = b 1 (q n - 1) / (q - 1) . Formula ini boleh dibuktikan, sebagai contoh, seperti berikut: S n \u003d b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n - 1.

Mari tambah nombor b 1 q n kepada S n dan dapatkan:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Oleh itu S n (q - 1) = b 1 (q n - 1), dan kita mendapat formula yang diperlukan.

Sudah pada salah satu tablet tanah liat Babylon Purba berkaitan dengan abad VI. BC e., mengandungi jumlah 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 - 1. Benar, seperti dalam beberapa kes lain, kita tidak tahu di mana fakta ini diketahui oleh orang Babylon. .

Pertumbuhan pesat perkembangan geometri dalam beberapa budaya, khususnya, di India, berulang kali digunakan sebagai simbol yang jelas tentang keluasan alam semesta. Dalam legenda yang terkenal tentang kemunculan catur, penguasa memberi peluang kepada pencipta mereka untuk memilih sendiri ganjaran, dan dia meminta sejumlah butir gandum yang akan diperolehi jika seseorang diletakkan pada sel pertama papan catur, dua pada yang kedua, empat pada yang ketiga, lapan pada yang keempat, dan lain-lain, setiap kali bilangannya digandakan. Vladyka menyangka bahawa ia adalah, paling banyak, beberapa karung, tetapi dia salah mengira. Adalah mudah untuk melihat bahawa untuk semua 64 petak papan catur pencipta sepatutnya menerima (2 64 - 1) butiran, yang dinyatakan sebagai nombor 20 digit; walaupun seseorang itu menyemai seluruh permukaan Bumi, ia akan mengambil masa sekurang-kurangnya 8 tahun untuk menuai jumlah yang diperlukan bijirin. Legenda ini kadangkala ditafsirkan sebagai rujukan kepada kemungkinan yang hampir tidak terhad yang tersembunyi dalam permainan catur.

Fakta bahawa nombor ini benar-benar 20 digit adalah mudah untuk dilihat:

2 64 \u003d 2 4 ∙ (2 10) 6 \u003d 16 1024 6 ≈ 16 1000 6 \u003d 1.6 10 19 (pengiraan yang lebih tepat memberikan 1.84 10 19). Tetapi saya tertanya-tanya sama ada anda boleh mengetahui digit apakah nombor ini berakhir?

Janjang geometri meningkat jika modulo penyebut lebih besar daripada 1, atau menurun jika kurang daripada satu. AT kes terakhir nombor q n boleh menjadi kecil sewenang-wenangnya untuk n yang cukup besar. Walaupun eksponen yang semakin meningkat meningkat secara tidak dijangka dengan pantas, eksponen yang semakin berkurangan berkurangan dengan cepat.

Semakin besar n, semakin lemah nombor q n berbeza dari sifar, dan semakin hampir jumlah n ahli janjang geometri S n \u003d b 1 (1 - q n) / (1 - q) dengan nombor S \u003d b 1 / (1 - q) . (Begitu alasan, sebagai contoh, F. Viet). Nombor S dipanggil jumlah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga. Walau bagaimanapun, selama berabad-abad persoalan tentang apakah maksud penjumlahan SEMUA janjang geometri, dengan bilangan sebutan yang tidak terhingga, tidak cukup jelas kepada ahli matematik.

Janjang geometri yang semakin berkurangan dapat dilihat, sebagai contoh, dalam aporia Zeno "Menggigit" dan "Achilles dan kura-kura". Dalam kes pertama, jelas menunjukkan bahawa keseluruhan jalan (anggap panjang 1) ialah jumlah bilangan tak terhingga bagi segmen 1/2, 1/4, 1/8, dsb. Ini, sudah tentu, adalah bagaimana keadaannya. dari sudut idea tentang jumlah akhir janjang geometri tak terhingga. Namun - bagaimana ini boleh berlaku?

nasi. 2. Kemajuan dengan faktor 1/2

Dalam aporia tentang Achilles, keadaannya sedikit lebih rumit, kerana di sini penyebut janjang itu tidak sama dengan 1/2, tetapi dengan beberapa nombor lain. Biarkan, sebagai contoh, Achilles berlari pada kelajuan v, kura-kura bergerak pada kelajuan u, dan jarak awal antara mereka ialah l. Achilles akan berlari jarak ini dalam masa l / v , kura-kura akan bergerak jarak lu / v pada masa ini. Apabila Achilles berlari melalui segmen ini, jarak antara dia dan penyu akan menjadi sama dengan l (u / v) 2, dan lain-lain. Ternyata mengejar penyu itu bermakna mencari jumlah janjang geometri yang berkurangan tanpa terhingga dengan yang pertama. sebutan l dan penyebut u / v. Jumlah ini - segmen yang Achilles akhirnya akan lari ke titik pertemuan dengan penyu - adalah sama dengan l / (1 - u / v) = lv / (v - u) . Tetapi, sekali lagi, bagaimana keputusan ini harus ditafsirkan dan mengapa ia masuk akal sama sekali, tidak begitu jelas untuk masa yang lama.

nasi. 3. Janjang geometri dengan pekali 2/3

Jumlah janjang geometri digunakan oleh Archimedes semasa menentukan luas segmen parabola. Biarkan segmen parabola yang diberi dibatasi oleh kord AB dan biarkan tangen pada titik D parabola itu selari dengan AB. Biarkan C ialah titik tengah AB, E titik tengah AC, F titik tengah CB. Lukis garisan selari dengan DC melalui titik A , E , F , B ; biarkan tangen dilukis pada titik D , garis-garis ini bersilang pada titik K , L , M , N . Mari kita juga melukis segmen AD dan DB. Biarkan garis EL bersilang dengan garis AD pada titik G, dan parabola pada titik H; garis FM bersilang garis DB pada titik Q, dan parabola pada titik R. mengikut teori umum bahagian kon, DC ialah diameter parabola (iaitu, segmen selari dengan paksinya); ia dan tangen pada titik D boleh berfungsi sebagai paksi koordinat x dan y, di mana persamaan parabola ditulis sebagai y 2 \u003d 2px (x ialah jarak dari D ke mana-mana titik diameter tertentu, y ialah panjang a segmen selari dengan tangen tertentu dari titik diameter ini ke beberapa titik pada parabola itu sendiri).

Berdasarkan persamaan parabola, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH , DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA , dan sejak DK = 2DL , maka KA = 4LH . Oleh kerana KA = 2LG , LH = HG . Luas segmen ADB parabola adalah sama dengan luas segitiga ΔADB dan luas segmen AHD dan DRB digabungkan. Sebaliknya, luas segmen AHD adalah sama dengan luas segi tiga AHD dan baki segmen AH dan HD, dengan setiap satunya operasi yang sama boleh dilakukan - berpecah menjadi segitiga (Δ) dan dua bahagian yang tinggal (), dsb.:

Luas segi tiga ΔAHD adalah sama dengan separuh luas segi tiga ΔALD (mereka mempunyai titik persamaan AD , dan ketinggian berbeza dengan faktor 2), yang, pada gilirannya, adalah sama dengan separuh luas segi tiga ΔAKD , dan dengan itu separuh kawasan segitiga ΔACD . Oleh itu, luas segi tiga ΔAHD adalah sama dengan satu perempat daripada luas segi tiga ΔACD. Begitu juga, luas segi tiga ΔDRB adalah sama dengan satu perempat daripada luas segi tiga ΔDFB. Jadi, luas segi tiga ∆AHD dan ∆DRB, diambil bersama, adalah sama dengan satu perempat daripada luas segi tiga ∆ADB. Mengulangi operasi ini seperti yang digunakan pada segmen AH , HD , DR dan RB juga akan memilih segi tiga daripadanya, luas yang, diambil bersama, akan menjadi 4 kali kurang daripada luas segi tiga ΔAHD dan ΔDRB, diambil bersama-sama, dan oleh itu 16 kali lebih kecil, daripada luas segi tiga ΔADB . Dan sebagainya:

Oleh itu, Archimedes membuktikan bahawa "setiap segmen yang tertutup antara garis lurus dan parabola ialah empat pertiga daripada segi tiga yang mempunyai tapak yang sama dan ketinggian yang sama dengannya."

>>Matematik: Janjang geometri

Untuk kemudahan pembaca, bahagian ini mengikut pelan yang sama seperti yang kami ikuti dalam bahagian sebelumnya.

1. Konsep asas.

Definisi. Satu jujukan berangka, semua ahli yang berbeza daripada 0 dan setiap ahli yang, bermula dari yang kedua, diperoleh daripada ahli sebelumnya dengan mendarabnya dengan nombor yang sama dipanggil janjang geometri. Dalam kes ini, nombor 5 dipanggil penyebut janjang geometri.

Oleh itu, janjang geometri ialah jujukan berangka (b n) yang diberikan secara rekursif oleh hubungan

Adakah mungkin, dengan melihat urutan nombor, untuk menentukan sama ada ia adalah janjang geometri? boleh. Jika anda yakin bahawa nisbah mana-mana ahli jujukan kepada ahli sebelumnya adalah malar, maka anda mempunyai janjang geometri.
Contoh 1

1, 3, 9, 27, 81,... .
b 1 = 1, q = 3.

Contoh 2

Ini adalah janjang geometri yang
Contoh 3

Ini adalah janjang geometri yang
Contoh 4

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Ini ialah janjang geometri dengan b 1 - 8, q = 1.

Ambil perhatian bahawa jujukan ini juga merupakan janjang aritmetik (lihat Contoh 3 daripada § 15).

Contoh 5

2,-2,2,-2,2,-2.....

Ini ialah janjang geometri, di mana b 1 \u003d 2, q \u003d -1.

Jelas sekali, janjang geometri ialah jujukan meningkat jika b 1 > 0, q > 1 (lihat Contoh 1), dan jujukan menurun jika b 1 > 0, 0< q < 1 (см. пример 2).

Untuk menunjukkan bahawa jujukan (b n) ialah janjang geometri, tatatanda berikut kadangkala sesuai:

Ikon menggantikan frasa "kemajuan geometri".
Kami perhatikan satu sifat yang ingin tahu dan pada masa yang sama agak jelas bagi perkembangan geometri:
Jika urutan ialah janjang geometri, kemudian turutan segi empat sama, i.e. ialah janjang geometri.
Dalam janjang geometri kedua, sebutan pertama adalah sama dengan q 2.
Jika kita membuang semua sebutan berikut b n secara eksponen, maka kita mendapat janjang geometri terhingga
Dalam perenggan berikut bahagian ini, kami akan mempertimbangkan yang paling banyak sifat penting janjang geometri.

2. Formula sebutan ke-n suatu janjang geometri.

Pertimbangkan janjang geometri penyebut q. Kami ada:

Tidak sukar untuk meneka bahawa untuk sebarang nombor n kesamaan

Ini ialah formula bagi sebutan ke-n suatu janjang geometri.

Komen.

Jika anda telah membaca Nota PENTING daripada perenggan sebelumnya dan memahaminya, kemudian cuba buktikan rumus (1) dengan kaedah induksi matematik sama seperti yang dilakukan untuk formula sebutan ke-n janjang aritmetik.

Mari kita tulis semula formula sebutan ke-n bagi janjang geometri

dan memperkenalkan tatatanda: Kami mendapat y \u003d mq 2, atau, dengan lebih terperinci,
Hujah x terkandung dalam eksponen, jadi fungsi sedemikian dipanggil fungsi eksponen. Ini bermakna janjang geometri boleh dianggap sebagai fungsi eksponen yang diberikan pada set N nombor asli. Pada rajah. 96a menunjukkan graf bagi fungsi Rajah. 966 - graf fungsi Dalam kedua-dua kes kita ada titik terpencil(dengan abscissas x = 1, x = 2, x = 3, dsb.) terletak pada beberapa lengkung (kedua-dua rajah menunjukkan lengkung yang sama, hanya terletak secara berbeza dan digambarkan pada skala yang berbeza). Lengkung ini dipanggil eksponen. Lebih lanjut mengenai fungsi eksponen dan grafik dia kita akan bercakap dalam kursus algebra gred 11.

Mari kita kembali ke contoh 1-5 dari perenggan sebelumnya.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Ini ialah janjang geometri, di mana b 1 \u003d 1, q \u003d 3. Mari kita buat formula untuk sebutan ke-n
2) Ini ialah janjang geometri, di mana Mari kita rumuskan sebutan ke-n

Ini adalah janjang geometri yang Susun formula untuk sebutan ke-n
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Ini ialah janjang geometri, di mana b 1 \u003d 8, q \u003d 1. Mari kita buat formula untuk sebutan ke-n
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Ini ialah janjang geometri, di mana b 1 = 2, q = -1. Susun formula untuk sebutan ke-n

Contoh 6

Diberi janjang geometri

Dalam semua kes, penyelesaian adalah berdasarkan formula ahli ke-n suatu janjang geometri

a) Meletakkan n = 6 dalam formula sebutan ke-n janjang geometri, kita dapat

b) Kami ada

Sejak 512 \u003d 2 9, kami mendapat n - 1 \u003d 9, n \u003d 10.

d) Kami ada

Contoh 7

Perbezaan antara ahli ketujuh dan kelima janjang geometri ialah 48, hasil tambah ahli kelima dan keenam janjang itu juga ialah 48. Cari ahli kedua belas janjang ini.

Peringkat pertama. Melukis model matematik.

Syarat-syarat tugas boleh ditulis secara ringkas seperti berikut:

Menggunakan formula ahli ke-n bagi janjang geometri, kita dapat:
Kemudian keadaan kedua masalah (b 7 - b 5 = 48) boleh ditulis sebagai

Keadaan ketiga masalah (b 5 +b 6 = 48) boleh ditulis sebagai

Hasilnya, kita memperoleh sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah b 1 dan q:

yang, digabungkan dengan syarat 1) yang ditulis di atas, ialah model matematik tugasan.

Fasa kedua.

Bekerja dengan model yang disusun. Menyamakan bahagian kiri kedua-dua persamaan sistem, kita dapat:

(kami telah membahagikan kedua-dua belah persamaan ke dalam ungkapan b 1 q 4 , yang berbeza daripada sifar).

Daripada persamaan q 2 - q - 2 = 0 kita dapati q 1 = 2, q 2 = -1. Menggantikan nilai q = 2 ke dalam persamaan kedua sistem, kita perolehi
Menggantikan nilai q = -1 ke dalam persamaan kedua sistem, kita dapat b 1 1 0 = 48; persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian.

Jadi, b 1 \u003d 1, q \u003d 2 - pasangan ini adalah penyelesaian kepada sistem persamaan yang disusun.

Sekarang kita boleh menulis janjang geometri, mengenainya dalam soalan dalam masalah: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Peringkat ketiga.

Jawapan kepada soalan masalah. Ia dikehendaki mengira b 12 . Kami ada

Jawapan: b 12 = 2048.

3. Formula bagi jumlah ahli bagi janjang geometri terhingga.

Biarkan ada janjang geometri terhingga

Nyatakan dengan S n jumlah sebutannya, i.e.

Mari kita dapatkan formula untuk mencari jumlah ini.

Mari kita mulakan dari sangat kes mudah, apabila q = 1. Maka janjang geometri b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn terdiri daripada n nombor yang sama dengan b 1 , i.e. janjangnya ialah b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Jumlah nombor ini ialah nb 1 .

Biarkan sekarang q = 1 Untuk mencari S n kita menggunakan kaedah buatan: mari kita lakukan beberapa transformasi bagi ungkapan S n q. Kami ada:

Menjalankan transformasi, kami, pertama sekali, menggunakan definisi janjang geometri, mengikutnya (lihat baris penaakulan ketiga); kedua, mereka menambah dan menolak mengapa makna ungkapan itu, tentu saja, tidak berubah (lihat baris keempat penaakulan); ketiga, kami menggunakan formula ahli ke-n bagi janjang geometri:

Daripada formula (1) kita dapati:

Ini ialah formula untuk jumlah n ahli janjang geometri (untuk kes apabila q = 1).

Contoh 8

Diberi janjang geometri terhingga

a) jumlah ahli kemajuan; b) jumlah kuasa dua sebutannya.

b) Di atas (lihat ms 132) kita telah pun menyatakan bahawa jika semua ahli janjang geometri adalah kuasa dua, maka janjang geometri dengan anggota pertama b 2 dan penyebut q 2 akan diperolehi. Kemudian jumlah enam sebutan janjang baharu akan dikira oleh

Contoh 9

Cari sebutan ke-8 bagi janjang geometri yang baginya

Malah, kami telah membuktikan teorem berikut.

Jujukan berangka ialah janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua bagi setiap sebutannya, kecuali yang pertama (dan yang terakhir, dalam kes jujukan terhingga), adalah sama dengan hasil darab sebutan sebelumnya dan seterusnya. (sifat ciri janjang geometri).

Pertimbangkan sekarang persoalan penjumlahan janjang geometri tak terhingga. Mari kita panggil jumlah separa bagi janjang tak terhingga yang diberikan sebagai jumlah sebutan pertamanya. Nyatakan jumlah separa dengan simbol

Untuk setiap perkembangan yang tidak terhingga

seseorang boleh menyusun jujukan (juga tidak terhingga) bagi jumlah separanya

Biarkan urutan dengan peningkatan tanpa had mempunyai had

Dalam kes ini, nombor S, iaitu, had jumlah separa janjang itu, dipanggil jumlah janjang tak terhingga. Kami akan membuktikan bahawa janjang geometri menurun tak terhingga sentiasa mempunyai jumlah, dan memperoleh formula untuk jumlah ini (kita juga boleh menunjukkan bahawa janjang tak terhingga tidak mempunyai jumlah, tidak wujud).

Kami menulis ungkapan untuk jumlah separa sebagai jumlah ahli janjang mengikut formula (91.1) dan mempertimbangkan had jumlah separa di

Daripada teorem item 89 diketahui bahawa untuk janjang menurun ; oleh itu, menggunakan teorem had perbezaan, kita dapati

(peraturan juga digunakan di sini: faktor pemalar dikeluarkan dari tanda had). Kewujudan terbukti, dan pada masa yang sama formula untuk jumlah janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga diperoleh:

Kesamaan (92.1) juga boleh ditulis sebagai

Ia mungkin kelihatan paradoks di sini bahawa jumlah nombor yang tidak terhingga istilah diberikan nilai terhingga yang jelas.

Ilustrasi yang jelas boleh diberikan untuk menjelaskan keadaan ini. Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi sama dengan satu(Gamb. 72). Bahagikan segi empat sama ini dengan garis mendatar kepada dua bahagian yang sama dan bahagian atas sapukan pada bahagian bawah supaya segi empat tepat terbentuk dengan sisi 2 dan . Selepas itu, kami sekali lagi membahagikan separuh kanan segi empat tepat ini kepada separuh dengan garis mendatar dan pasangkan bahagian atas ke bahagian bawah (seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 72). Meneruskan proses ini, kami sentiasa berubah persegi asal dengan luas sama dengan 1, ke dalam angka bersaiz sama (mengambil bentuk tangga dengan langkah penipisan).

Dengan penerusan tak terhingga proses ini, seluruh luas segi empat sama terurai menjadi bilangan sebutan tak terhingga - kawasan segi empat tepat dengan tapak bersamaan dengan 1 dan ketinggian. Kawasan segi empat tepat hanya membentuk janjang menurun tak terhingga, jumlahnya

iaitu, seperti yang dijangkakan, adalah sama dengan luas segi empat sama.

Contoh. Cari hasil tambah bagi janjang tak terhingga berikut:

Penyelesaian, a) Kami perhatikan bahawa janjang ini Oleh itu, dengan formula (92.2) kami dapati

b) Di sini ia bermakna bahawa dengan formula yang sama (92.2) yang kita ada

c) Kami mendapati bahawa janjang ini Oleh itu, janjang ini tidak mempunyai jumlah.

Dalam Bahagian 5, penggunaan formula bagi jumlah sebutan bagi janjang menurun tak terhingga kepada penukaran pecahan perpuluhan berkala kepada pecahan biasa telah ditunjukkan.

Senaman

1. Hasil tambah bagi janjang geometri menurun tak terhingga ialah 3/5, dan hasil tambah empat sebutan pertamanya ialah 13/27. Cari sebutan pertama dan penyebut janjang itu.

2. Cari empat nombor yang membentuk janjang geometri berselang-seli, di mana sebutan kedua adalah kurang daripada yang pertama dengan 35, dan yang ketiga adalah lebih besar daripada yang keempat dengan 560.

3. Tunjukkan bagaimana jika urutan

membentuk janjang geometri yang menurun secara tak terhingga, kemudian jujukan

untuk sebarang bentuk janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga. Adakah dakwaan ini berlaku untuk

Terbitkan formula untuk hasil darab sebutan suatu janjang geometri.

Matematik adalah apamanusia mengawal alam dan diri mereka sendiri.

Ahli matematik Soviet, ahli akademik A.N. Kolmogorov

Janjang geometri.

Bersama-sama dengan tugas untuk janjang aritmetik, tugasan yang berkaitan dengan konsep janjang geometri juga biasa dalam ujian masuk dalam matematik. Untuk penyelesaian yang berjaya Untuk masalah sedemikian, anda perlu mengetahui sifat janjang geometri dan mempunyai kemahiran yang baik dalam menggunakannya.

Artikel ini ditumpukan kepada pembentangan sifat utama janjang geometri. Ia juga menyediakan contoh penyelesaian masalah biasa, dipinjam daripada tugasan ujian masuk dalam matematik.

Mari kita perhatikan terlebih dahulu sifat asas janjang geometri dan mengingat paling banyak formula penting dan kenyataan, dikaitkan dengan konsep ini.

Definisi. Urutan berangka dipanggil janjang geometri jika setiap nombornya, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, didarab dengan nombor yang sama. Nombor itu dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk janjang geometriformula adalah sah

, (1)

mana . Formula (1) dipanggil formula bagi istilah umum janjang geometri, dan formula (2) ialah sifat utama janjang geometri: setiap ahli janjang itu bertepatan dengan min geometri ahli jirannya dan .

Catatan, bahawa ia adalah tepat kerana sifat ini bahawa janjang yang dimaksudkan dipanggil "geometrik".

Formula (1) dan (2) di atas diringkaskan seperti berikut:

, (3)

Untuk mengira jumlah pertama ahli janjang geometriformula terpakai

Jika kita tentukan

mana . Oleh kerana , formula (6) ialah generalisasi formula (5).

Dalam kes apabila dan janjang geometrisemakin berkurangan secara tidak terhingga. Untuk mengira jumlahdaripada semua ahli janjang geometri yang berkurangan tidak terhingga, formula digunakan

. (7)

Sebagai contoh , menggunakan formula (7), seseorang boleh menunjukkan, apa

mana . Kesamaan ini diperoleh daripada formula (7) dengan syarat , (kesamaan pertama) dan , (kesamaan kedua).

Teorem. Jika , maka

Bukti. Jika , maka ,

Teorem telah terbukti.

Mari kita teruskan untuk mempertimbangkan contoh penyelesaian masalah mengenai topik "Kemajuan geometri".

Contoh 1 Diberi: , dan . Cari .

Penyelesaian. Jika formula (5) digunakan, maka

Jawapan: .

Contoh 2 Biar dan . Cari .

Penyelesaian. Sejak dan , kita menggunakan formula (5), (6) dan mendapatkan sistem persamaan

Jika persamaan kedua sistem (9) dibahagikan dengan yang pertama, kemudian atau . Daripada ini ia mengikuti . Mari kita pertimbangkan dua kes.

1. Jika , maka dari persamaan pertama sistem (9) kita ada.

2. Jika , maka .

Contoh 3 Biar , dan . Cari .

Penyelesaian. Ia mengikuti daripada formula (2) bahawa atau . Sejak , kemudian atau .

Dengan syarat. Walau bagaimanapun , oleh itu . Kerana dan , maka di sini kita mempunyai sistem persamaan

Jika persamaan kedua sistem dibahagikan dengan yang pertama, maka atau .

Oleh kerana , persamaan mempunyai satu punca yang sesuai . Dalam kes ini, persamaan pertama sistem membayangkan .

Dengan mengambil kira formula (7), kami memperoleh.

Jawapan: .

Contoh 4 Diberi: dan . Cari .

Penyelesaian. Sejak itu .

Kerana , kemudian atau

Mengikut formula (2), kita ada . Dalam hal ini, daripada kesamarataan (10) kita memperoleh atau .

Walau bagaimanapun, dengan syarat, oleh itu.

Contoh 5 Adalah diketahui bahawa . Cari .

Penyelesaian. Menurut teorem, kita mempunyai dua kesamaan

Sejak , kemudian atau . Kerana, kemudian.

Jawapan: .

Contoh 6 Diberi: dan . Cari .

Penyelesaian. Dengan mengambil kira formula (5), kami memperoleh

Sejak itu . Sejak , dan , kemudian .

Contoh 7 Biar dan . Cari .

Penyelesaian. Mengikut formula (1), kita boleh menulis

Oleh itu, kami mempunyai atau . Adalah diketahui bahawa dan , oleh itu dan .

Jawapan: .

Contoh 8 Cari penyebut bagi janjang geometri menurun tak terhingga jika

dan .

Penyelesaian. Daripada formula (7) ia berikut dan . Dari sini dan dari keadaan masalah, kita memperoleh sistem persamaan

Jika persamaan pertama sistem itu adalah kuasa dua, dan kemudian bahagikan persamaan yang terhasil dengan persamaan kedua, maka kita dapat

Ataupun .

Jawapan: .

Contoh 9 Cari semua nilai yang mana jujukan , , ialah janjang geometri.

Penyelesaian. Biar , dan . Menurut formula (2), yang mentakrifkan sifat utama janjang geometri, kita boleh menulis atau .

Dari sini kita mendapat persamaan kuadratik, yang akarnya dan .

Mari kita semak: jika, kemudian , dan ; jika , maka , dan .

Dalam kes pertama kita ada dan , dan dalam yang kedua - dan .

Jawapan: , .

Contoh 10selesaikan persamaan

, (11)

di mana dan .

Penyelesaian. Bahagian kiri persamaan (11) ialah hasil tambah janjang geometri menurun tak terhingga, di mana dan , dengan syarat: dan .

Daripada formula (7) ia berikut, apa . Dalam hal ini, persamaan (11) mengambil bentuk atau . akar yang sesuai persamaan kuadratik ialah

Jawapan: .

Contoh 11. P urutan nombor positif membentuk janjang aritmetik, a - janjang geometri, apa kaitannya dengan . Cari .

Penyelesaian. Kerana jujukan aritmetik, kemudian (sifat utama janjang aritmetik). Kerana ia, kemudian atau . Ini bermakna, bahawa janjang geometri ialah. Mengikut formula (2), kemudian kita menulis bahawa .

Sejak dan , kemudian . Dalam kes itu, ungkapan mengambil borang atau . Dengan syarat, jadi dari persamaankami memperoleh penyelesaian unik bagi masalah yang sedang dipertimbangkan, iaitu .

Jawapan: .

Contoh 12. Kira jumlah

. (12)

Penyelesaian. Darab kedua-dua belah kesamaan (12) dengan 5 dan dapatkan

Jika kita tolak (12) daripada ungkapan yang terhasil, kemudian

atau .

Untuk mengira, kami menggantikan nilai ke dalam formula (7) dan mendapatkan . Sejak itu .

Jawapan: .

Contoh penyelesaian masalah yang diberikan di sini akan berguna kepada pemohon sebagai persediaan untuk peperiksaan kemasukan. Untuk kajian yang lebih mendalam tentang kaedah penyelesaian masalah, dikaitkan dengan janjang geometri, boleh digunakan panduan belajar daripada senarai literatur yang disyorkan.

1. Pengumpulan tugasan dalam matematik untuk pemohon ke universiti teknikal / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir i Obrazovanie, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: bahagian tambahan kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 p.

3. Medynsky M.M. Kursus penuh matematik asas dalam tugasan dan latihan. Buku 2: Urutan Nombor dan perkembangan. – M.: Editus, 2015. - 208 p.

Adakah anda mempunyai sebarang soalan?

Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.