Bagaimana untuk mencari pembahagi janjang geometri. Konsep janjang geometri

Janjang geometri, bersama-sama dengan aritmetik, adalah penting siri nombor, yang dipelajari dalam kursus sekolah algebra dalam darjah 9. Dalam artikel ini kita akan melihat penyebut janjang geometri dan cara nilainya mempengaruhi sifatnya.

Definisi janjang geometri

Pertama, mari kita tentukan ini siri nombor. Siri sedemikian dipanggil janjang geometri nombor rasional, yang dibentuk dengan mendarabkan unsur pertamanya secara berurutan dengan nombor tetap, dipanggil penyebut.

Sebagai contoh, nombor dalam siri 3, 6, 12, 24, ... adalah janjang geometri, kerana jika anda mendarab 3 (elemen pertama) dengan 2, anda mendapat 6. Jika anda mendarab 6 dengan 2, anda mendapat 12, dan seterusnya.

Ahli-ahli jujukan yang sedang dipertimbangkan biasanya dilambangkan dengan simbol ai, di mana i ialah integer yang menunjukkan nombor unsur dalam siri itu.

Takrif janjang di atas boleh ditulis dalam bahasa matematik seperti berikut: an = bn-1 * a1, dengan b ialah penyebut. Mudah untuk menyemak formula ini: jika n = 1, maka b1-1 = 1, dan kita mendapat a1 = a1. Jika n = 2, maka an = b * a1, dan kita sekali lagi sampai kepada takrifan siri nombor yang dipersoalkan. Penaakulan yang sama boleh diteruskan untuk nilai yang besar n.

Penyebut janjang geometri

Nombor b sepenuhnya menentukan watak keseluruhan siri nombor itu. Penyebut b boleh menjadi positif, negatif, atau lebih besar daripada atau kurang daripada satu. Semua pilihan di atas membawa kepada urutan yang berbeza:

• b > 1. Terdapat siri nombor rasional yang semakin meningkat. Contohnya, 1, 2, 4, 8, ... Jika unsur a1 adalah negatif, maka keseluruhan jujukan akan meningkat hanya dalam nilai mutlak, tetapi berkurangan bergantung pada tanda nombor.
• b = 1. Selalunya kes ini tidak dipanggil janjang, kerana terdapat siri biasa nombor rasional yang sama. Contohnya, -4, -4, -4.

Formula untuk jumlah

Sebelum beralih kepada pertimbangan masalah khusus menggunakan penyebut jenis perkembangan yang sedang dipertimbangkan, adalah perlu untuk memberikan formula penting untuk hasil tambah n unsur pertamanya. Formula kelihatan seperti: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Anda boleh mendapatkan ungkapan ini sendiri jika anda mempertimbangkan urutan rekursif bagi sebutan janjang. Juga ambil perhatian bahawa dalam formula di atas adalah cukup untuk mengetahui hanya elemen pertama dan penyebut untuk mencari jumlah bilangan sebutan sewenang-wenangnya.

Urutan menurun tanpa had

Penjelasan telah diberikan di atas tentang apa itu. Sekarang, mengetahui formula untuk Sn, mari kita gunakannya pada siri nombor ini. Oleh kerana sebarang nombor yang modulusnya tidak melebihi 1, apabila dinaikkan kepada darjah besar cenderung kepada sifar, iaitu, b∞ => 0 jika -1

Oleh kerana perbezaan (1 - b) akan sentiasa positif, tanpa mengira nilai penyebutnya, tanda hasil tambah janjang geometri S∞ secara unik ditentukan oleh tanda unsur pertamanya a1.

Sekarang mari kita lihat beberapa masalah di mana kita akan menunjukkan cara menggunakan pengetahuan yang diperoleh pada nombor tertentu.

Tugasan No. 1. Pengiraan unsur-unsur janjang dan jumlah yang tidak diketahui

Diberi janjang geometri, penyebut janjang itu ialah 2, dan unsur pertamanya ialah 3. Apakah sebutan ke-7 dan ke-10nya bersamaan dengan, dan apakah hasil tambah tujuh unsur awalnya?

Keadaan masalahnya agak mudah dan melibatkan penggunaan langsung formula di atas. Jadi, untuk mengira nombor unsur n, kita menggunakan ungkapan an = bn-1 * a1. Untuk elemen ke-7 kita mempunyai: a7 = b6 * a1, menggantikan data yang diketahui, kita dapat: a7 = 26 * 3 = 192. Kami melakukan perkara yang sama untuk sebutan ke-10: a10 = 29 * 3 = 1536.

Mari kita gunakan formula yang terkenal untuk jumlah dan tentukan nilai ini untuk 7 elemen pertama siri. Kami ada: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Masalah No. 2. Menentukan jumlah unsur arbitrari sesuatu janjang

Biarkan -2 sama dengan penyebut janjang geometri bn-1 * 4, dengan n ialah integer. Ia adalah perlu untuk menentukan jumlah dari elemen ke-5 hingga ke-10 siri ini, termasuk.

Masalah yang ditimbulkan tidak dapat diselesaikan secara langsung menggunakan formula yang diketahui. Ia boleh diselesaikan dengan 2 cara pelbagai kaedah. Untuk kesempurnaan pembentangan topik, kami membentangkan kedua-duanya.

Kaedah 1. Ideanya mudah: anda perlu mengira dua jumlah yang sepadan bagi sebutan pertama, dan kemudian tolak yang lain daripada satu. Kami mengira jumlah yang lebih kecil: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Sekarang kita mengira jumlah yang lebih besar: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Perhatikan bahawa dalam ungkapan terakhir hanya 4 istilah telah dijumlahkan, kerana yang ke-5 sudah termasuk dalam jumlah yang perlu dikira mengikut syarat masalah. Akhirnya, kita ambil perbezaan: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Kaedah 2. Sebelum menggantikan nombor dan mengira, anda boleh mendapatkan formula untuk hasil tambah antara sebutan m dan n bagi siri berkenaan. Kami melakukan perkara yang sama seperti dalam kaedah 1, cuma kami mula-mula bekerja dengan perwakilan simbolik jumlah tersebut. Kami mempunyai: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Anda boleh menggantikan ke dalam ungkapan yang terhasil nombor yang diketahui dan hitung keputusan akhir: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Masalah No 3. Apakah penyebutnya?

Biarkan a1 = 2, cari penyebut janjang geometri, dengan syarat jumlah tak terhingganya ialah 3, dan diketahui bahawa ini ialah siri nombor yang semakin berkurangan.

Berdasarkan keadaan masalah, tidak sukar untuk meneka formula yang harus digunakan untuk menyelesaikannya. Sudah tentu, untuk jumlah janjang menurun secara tidak terhingga. Kami mempunyai: S∞ = a1 / (1 - b). Dari mana kita menyatakan penyebut: b = 1 - a1 / S∞. Yang tinggal hanyalah menggantikan nilai yang diketahui dan dapatkan nombor yang diperlukan: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 atau -0.333(3). Kita boleh menyemak keputusan ini secara kualitatif jika kita ingat bahawa untuk jenis urutan ini modulus b tidak boleh melebihi 1. Seperti yang dapat dilihat, |-1 / 3|

Tugasan No 4. Memulihkan satu siri nombor

Biarkan 2 elemen siri nombor diberikan, contohnya, ke-5 bersamaan dengan 30 dan ke-10 bersamaan dengan 60. Ia adalah perlu untuk membina semula keseluruhan siri daripada data ini, dengan mengetahui bahawa ia memenuhi sifat janjang geometri.

Untuk menyelesaikan masalah, anda mesti menulis ungkapan yang sepadan untuk setiap istilah yang diketahui. Kami mempunyai: a5 = b4 * a1 dan a10 = b9 * a1. Sekarang bahagikan ungkapan kedua dengan yang pertama, kita dapat: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Dari sini kita menentukan penyebut dengan mengambil punca kelima nisbah sebutan yang diketahui daripada pernyataan masalah, b = 1.148698. Kami menggantikan nombor yang terhasil ke dalam salah satu ungkapan untuk unsur yang diketahui, kami dapat: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Oleh itu, kami mendapati penyebut bagi janjang bn, dan janjang geometri bn-1 * 17.2304966 = an, dengan b = 1.148698.

Di manakah janjang geometri digunakan?

Jika tiada aplikasi praktikal siri nombor ini, maka kajiannya akan dikurangkan kepada minat teori semata-mata. Tetapi aplikasi sedemikian wujud.

Di bawah ialah 3 contoh yang paling terkenal:

• Paradoks Zeno, di mana Achilles yang lincah tidak dapat mengejar kura-kura yang perlahan, diselesaikan menggunakan konsep urutan nombor yang berkurangan tanpa had.
• Jika anda meletakkan bijirin gandum pada setiap petak papan catur supaya pada petak pertama anda meletakkan 1 biji, pada petak ke-2 - 2, pada petak ke-3 - 3, dan seterusnya, kemudian untuk mengisi semua petak papan yang anda perlukan 18446744073709551615 bijirin!
• Dalam permainan "Menara Hanoi", untuk memindahkan cakera dari satu batang ke yang lain, adalah perlu untuk melakukan operasi 2n - 1, iaitu, bilangannya meningkat secara eksponen dengan bilangan n cakera yang digunakan.

Jika bagi setiap nombor asli n perlawanan nombor sebenar a n , kemudian mereka mengatakan bahawa ia diberikan urutan nombor :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Jadi, urutan nombor adalah fungsi hujah semula jadi.

Nombor a 1 dipanggil sebutan pertama bagi urutan itu , nombor a 2 — sebutan kedua bagi urutan itu , nombor a 3 — ketiga dan sebagainya. Nombor a n dipanggil penggal ke- urutan , A nombor asli n — nombor dia .

Daripada dua orang ahli yang bersebelahan a n Dan a n +1 ahli urutan a n +1 dipanggil seterusnya (ke arah a n ), A a n — sebelumnya (ke arah a n +1 ).

Untuk menentukan jujukan, anda perlu menentukan kaedah yang membolehkan anda mencari ahli jujukan dengan sebarang nombor.

Selalunya urutan ditentukan menggunakan formula penggal ke-n , iaitu formula yang membolehkan anda menentukan ahli jujukan dengan nombornya.

Sebagai contoh,

urutan nombor ganjil positif boleh diberikan oleh formula

a n= 2n- 1,

dan urutan berselang-seli 1 Dan -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Urutan boleh ditentukan formula berulang, iaitu formula yang menyatakan mana-mana ahli jujukan, bermula dengan beberapa, melalui ahli sebelumnya (satu atau lebih).

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Jika a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , kemudian tujuh ahli yang pertama urutan nombor pasang seperti berikut:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Urutan boleh muktamad Dan tidak berkesudahan .

Urutan dipanggil muktamad jika dia ada nombor akhir ahli. Urutan dipanggil tidak berkesudahan , jika ia mempunyai ramai ahli yang tidak terhingga.

Sebagai contoh,

urutan nombor asli dua digit:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

muktamad.

Urutan nombor perdana:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

tidak berkesudahan. ◄

Urutan dipanggil semakin meningkat , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, lebih besar daripada yang sebelumnya.

Urutan dipanggil semakin berkurangan , jika setiap ahlinya, bermula dari yang kedua, adalah kurang daripada yang sebelumnya.

Sebagai contoh,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - meningkatkan urutan;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - urutan menurun. ◄

Urutan yang unsur-unsurnya tidak berkurang apabila bilangan bertambah, atau, sebaliknya, tidak bertambah, dipanggil urutan yang membosankan .

Jujukan monotonik, khususnya, ialah jujukan meningkat dan jujukan menurun.

Janjang aritmetik

Janjang aritmetik ialah urutan di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya, yang mana nombor yang sama ditambah.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ialah janjang aritmetik jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

a n +1 = a n + d,

di mana d - nombor tertentu.

Oleh itu, perbezaan antara sebutan berikutnya dan sebelumnya bagi janjang aritmetik yang diberikan sentiasa malar:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Nombor d dipanggil perbezaan janjang aritmetik.

Untuk menentukan janjang aritmetik, cukup untuk menunjukkan sebutan dan perbezaan pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika a 1 = 3, d = 4 , maka kita dapati lima sebutan pertama bagi jujukan seperti berikut:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Untuk janjang aritmetik dengan sebutan pertama a 1 dan perbezaannya d dia n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Sebagai contoh,

cari sebutan ketiga puluh janjang aritmetik itu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

kemudian jelas

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Setiap ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min aritmetik ahli sebelumnya dan seterusnya.

nombor a, b dan c ialah sebutan berturut-turut bagi beberapa janjang aritmetik jika dan hanya jika salah satu daripadanya adalah sama dengan min aritmetik dua yang lain.

Sebagai contoh,

a n = 2n- 7 , ialah suatu janjang aritmetik.

Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Oleh itu,

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Perhatikan bahawa n Sebutan ke-satu janjang aritmetik boleh didapati bukan sahaja melalui a 1 , tetapi juga mana-mana sebelumnya a k

a n = a k + (n- k)d.

Sebagai contoh,

Untuk a 5 boleh ditulis

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

kemudian jelas

a n=	a n-k + a n+k
	2

mana-mana ahli janjang aritmetik, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan separuh hasil tambah ahli janjang aritmetik yang sama jaraknya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang aritmetik persamaan berikut dipegang:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kerana

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ a n,

pertama n sebutan bagi suatu janjang aritmetik adalah sama dengan hasil darab separuh daripada jumlah sebutan ekstrem dan bilangan sebutan:

Dari sini, khususnya, ia mengikuti bahawa jika anda perlu menjumlahkan terma

a k, a k +1 , . . . , a n,

maka formula sebelumnya mengekalkan strukturnya:

Sebagai contoh,

dalam janjang aritmetik 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Jika diberi janjang aritmetik, kemudian kuantiti a 1 , a n, d, n DanS n dihubungkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika makna tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai yang sepadan bagi dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini, digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui.

Janjang aritmetik ialah jujukan monotonik. Di mana:

• Jika d > 0 , maka ia semakin meningkat;
• Jika d < 0 , maka ia semakin berkurangan;
• Jika d = 0 , maka urutan itu akan menjadi pegun.

Janjang geometri

Janjang geometri ialah urutan di mana setiap ahli, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan yang sebelumnya didarab dengan nombor yang sama.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ialah janjang geometri jika bagi sebarang nombor asli n syarat dipenuhi:

b n +1 = b n · q,

di mana q ≠ 0 - nombor tertentu.

Oleh itu, nisbah sebutan berikutnya bagi janjang geometri yang diberikan kepada yang sebelumnya ialah nombor tetap:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nombor q dipanggil penyebut janjang geometri.

Untuk menentukan janjang geometri, cukup untuk menunjukkan sebutan dan penyebut pertamanya.

Sebagai contoh,

Jika b 1 = 1, q = -3 , maka kita dapati lima sebutan pertama bagi jujukan seperti berikut:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 dan penyebut q dia n Istilah ke boleh didapati menggunakan formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Sebagai contoh,

cari sebutan ketujuh janjang geometri itu 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

kemudian jelas

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

setiap ahli janjang geometri, bermula dari yang kedua, adalah sama dengan min geometri (berkadar) ahli sebelum dan seterusnya.

Oleh kerana sebaliknya juga benar, pernyataan berikut berlaku:

nombor a, b dan c ialah sebutan berturut-turut bagi beberapa janjang geometri jika dan hanya jika kuasa dua salah satu daripadanya sama dengan produk dua yang lain, iaitu, satu daripada nombor ialah min geometri bagi dua yang lain.

Sebagai contoh,

Mari kita buktikan bahawa urutan yang diberikan oleh formula b n= -3 2 n , ialah janjang geometri. Mari kita gunakan pernyataan di atas. Kami ada:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Oleh itu,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

yang membuktikan pernyataan yang dikehendaki. ◄

Perhatikan bahawa n Sebutan ke-th suatu janjang geometri boleh didapati bukan sahaja melalui b 1 , tetapi juga mana-mana ahli terdahulu b k , yang mana ia cukup untuk menggunakan formula

b n = b k · qn - k.

Sebagai contoh,

Untuk b 5 boleh ditulis

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

kemudian jelas

b n 2 = b n - k· b n + k

kuasa dua bagi sebarang sebutan janjang geometri, bermula dari kedua, adalah sama dengan hasil darab sebutan janjang ini yang sama jaraknya daripadanya.

Di samping itu, untuk sebarang janjang geometri kesamaan adalah benar:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Sebagai contoh,

dalam janjang geometri

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kerana

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

pertama n ahli janjang geometri dengan penyebut q ≠ 0 dikira dengan formula:

Dan bila q = 1 - mengikut formula

S n= nb 1

Ambil perhatian bahawa jika anda perlu menjumlahkan syarat

b k, b k +1 , . . . , b n,

maka formula digunakan:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Sebagai contoh,

dalam janjang geometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Jika suatu janjang geometri diberi, maka kuantitinya b 1 , b n, q, n Dan S n dihubungkan dengan dua formula:

Oleh itu, jika nilai mana-mana tiga daripada kuantiti ini diberikan, maka nilai sepadan dua kuantiti lain ditentukan daripada formula ini, digabungkan ke dalam sistem dua persamaan dengan dua tidak diketahui.

Untuk janjang geometri dengan sebutan pertama b 1 dan penyebut q berikut berlaku sifat monotoni :

• perkembangan meningkat jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan q> 1;

b 1 < 0 Dan 0 < q< 1;

• Kemajuan semakin berkurangan jika salah satu daripada syarat berikut dipenuhi:

b 1 > 0 Dan 0 < q< 1;

b 1 < 0 Dan q> 1.

Jika q< 0 , maka janjang geometri itu berselang-seli: sebutannya dengan nombor ganjil mempunyai tanda yang sama dengan sebutan pertamanya, dan sebutan dengan nombor genap mempunyai tanda bertentangan. Jelaslah bahawa janjang geometri berselang-seli bukanlah monotonik.

Produk pertama n sebutan janjang geometri boleh dikira menggunakan formula:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Sebagai contoh,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga

Janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga dipanggil janjang geometri tak terhingga yang modulus penyebutnya kurang 1 , itu dia

|q| < 1 .

Ambil perhatian bahawa janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga mungkin bukan jujukan menurun. Ia sesuai dengan majlis

1 < q< 0 .

Dengan penyebut sedemikian, urutannya berselang-seli. Sebagai contoh,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga namakan nombor yang menghampiri jumlah yang pertama tanpa had n ahli kemajuan dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan n . Nombor ini sentiasa terhingga dan dinyatakan oleh formula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Sebagai contoh,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Hubungan antara janjang aritmetik dan geometri

Janjang aritmetik dan geometri adalah berkait rapat. Mari kita lihat hanya dua contoh.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Itu

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Sebagai contoh,

1, 3, 5, . . . - janjang aritmetik dengan beza 2 Dan

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - janjang geometri dengan penyebut 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - janjang geometri dengan penyebut q , Itu

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - janjang aritmetik dengan beza log aq .

Sebagai contoh,

2, 12, 72, . . . - janjang geometri dengan penyebut 6 Dan

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - janjang aritmetik dengan beza lg 6 . ◄

Arahan

10, 30, 90, 270...

Anda perlu mencari penyebut janjang geometri.
Penyelesaian:

Pilihan 1. Mari kita ambil istilah arbitrari bagi janjang (contohnya, 90) dan bahagikannya dengan yang sebelumnya (30): 90/30=3.

Jika jumlah beberapa sebutan janjang geometri atau hasil tambah semua sebutan janjang geometri yang berkurangan diketahui, maka untuk mencari penyebut janjang itu, gunakan formula yang sesuai:
Sn = b1*(1-q^n)/(1-q), dengan Sn ialah hasil tambah n sebutan pertama bagi janjang geometri dan
S = b1/(1-q), dengan S ialah hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga (jumlah semua sebutan janjang dengan penyebut kurang daripada satu).
Contoh.

Sebutan pertama bagi janjang geometri yang semakin berkurangan sama dengan satu, dan hasil tambah semua sebutannya adalah sama dengan dua.

Ia diperlukan untuk menentukan penyebut janjang ini.
Penyelesaian:

Gantikan data daripada masalah ke dalam formula. Ia akan menjadi:
2=1/(1-q), dari mana – q=1/2.

Janjang ialah urutan nombor. Dalam janjang geometri, setiap sebutan berikutnya diperoleh dengan mendarab yang sebelumnya dengan nombor q tertentu, dipanggil penyebut janjang itu.

Arahan

Jika dua sebutan geometri bersebelahan b(n+1) dan b(n) diketahui, untuk mendapatkan penyebut, anda perlu membahagikan nombor dengan yang lebih besar dengan yang mendahuluinya: q=b(n+1)/b (n). Ini berikutan daripada definisi janjang dan penyebutnya. Satu syarat penting ialah ketaksamaan bagi sebutan pertama dan penyebut janjang kepada sifar, jika tidak, ia dianggap tidak tentu.

Oleh itu, perhubungan berikut diwujudkan antara sebutan janjang: b2=b1 q, b3=b2 q, ... , b(n)=b(n-1) q. Dengan menggunakan formula b(n)=b1 q^(n-1), sebarang sebutan janjang geometri yang penyebut q dan sebutan b1 diketahui boleh dikira. Selain itu, setiap janjang adalah sama dalam modulus dengan purata ahli jirannya: |b(n)|=√, yang mana janjang itu mendapat .

Analog janjang geometri adalah yang paling mudah fungsi eksponen y=a^x, dengan x ialah eksponen, a ialah nombor tertentu. Dalam kes ini, penyebut janjang itu bertepatan dengan sebutan pertama dan sama dengan nombor a. Nilai fungsi y boleh difahami sebagai penggal ke- janjang jika hujah x diambil sebagai nombor asli n (pembilang).

Wujud untuk hasil tambah n sebutan pertama suatu janjang geometri: S(n)=b1 (1-q^n)/(1-q). Formula ini sah untuk q≠1. Jika q=1, maka hasil tambah n sebutan pertama dikira dengan formula S(n)=n b1. Dengan cara ini, janjang akan dipanggil meningkat apabila q lebih besar daripada satu dan b1 adalah positif. Jika penyebut janjang tidak melebihi satu dalam nilai mutlak, janjang itu akan dipanggil menurun.

Kes istimewa janjang geometri – janjang geometri menurun secara tidak terhingga (b.u.g.p.). Hakikatnya ialah syarat janjang geometri yang menurun akan berkurangan berulang kali, tetapi tidak akan mencapai sifar. Walaupun begitu, adalah mungkin untuk mencari jumlah semua istilah bagi janjang sedemikian. Ia ditentukan oleh formula S=b1/(1-q). Jumlah n ahli tidak terhingga.

Untuk menggambarkan cara anda boleh menambah bilangan nombor yang tidak terhingga tanpa mendapat infiniti, bakar kek. Potong separuh daripadanya. Kemudian potong 1/2 dari separuh, dan seterusnya. Kepingan yang anda akan dapat adalah tidak lebih daripada ahli janjang geometri yang berkurangan tanpa had dengan penyebut 1/2. Jika anda menjumlahkan kesemua kepingan ini, anda akan mendapat kek asli.

Masalah geometri ialah kelainan istimewa latihan yang memerlukan pemikiran spatial. Jika anda tidak dapat menyelesaikan geometri tugasan, cuba ikut peraturan di bawah.

Arahan

Baca syarat tugasan dengan teliti; jika anda tidak ingat atau tidak faham sesuatu, baca semula sekali lagi.

Cuba tentukan jenis apa masalah geometri ia adalah, sebagai contoh: pengiraan, apabila anda perlu mengetahui beberapa nilai, tugas pada , memerlukan rantaian logik penaakulan, tugas pada pembinaan menggunakan kompas dan pembaris. Lebih banyak tugas jenis campuran. Apabila anda telah mengetahui jenis masalah, cuba berfikir secara logik.

Gunakan teorem yang diperlukan untuk tugasan yang diberikan, tetapi jika anda mempunyai keraguan atau tidak ada pilihan sama sekali, maka cuba ingat teori yang anda pelajari mengenai topik yang berkaitan.

Tuliskan juga penyelesaian kepada masalah tersebut dalam bentuk draf. Cuba mohon kaedah yang diketahui menyemak ketepatan keputusan anda.

Isikan penyelesaian masalah dengan teliti dalam buku nota anda, tanpa memadam atau memotong, dan yang paling penting - . Ia mungkin mengambil masa dan usaha untuk menyelesaikan masalah geometri yang pertama. Walau bagaimanapun, sebaik sahaja anda menguasai proses ini, anda akan mula mengklik tugas seperti kacang, menikmatinya!

Janjang geometri ialah jujukan nombor b1, b2, b3, ... , b(n-1), b(n) supaya b2=b1*q, b3=b2*q, ... , b(n ) =b(n-1)*q, b1≠0, q≠0. Dalam erti kata lain, setiap sebutan janjang itu diperoleh daripada yang sebelumnya dengan mendarabnya dengan beberapa penyebut bukan sifar bagi janjang q.

Arahan

Masalah kemajuan paling kerap diselesaikan dengan merangka dan kemudian mengikuti sistem berkenaan dengan sebutan pertama janjang b1 dan penyebut janjang q. Untuk mencipta persamaan, adalah berguna untuk mengingati beberapa formula.

Bagaimana untuk menyatakan sebutan ke-n janjang melalui sebutan pertama janjang dan penyebut janjang itu: b(n)=b1*q^(n-1).

Mari kita pertimbangkan secara berasingan kes |q|<1. Если знаменатель прогрессии по модулю меньше единицы, имеем бесконечно убывающую геометрическую . Сумма первых n членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ищется так же, как и для неубывающей геометрической прогрессии. Однако в случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии можно найти также сумму всех членов этой прогрессии, поскольку при бесконечном n будет бесконечно уменьшаться значение b(n), и сумма всех членов будет стремиться к определенному пределу. Итак, сумма всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Mari kita pertimbangkan siri tertentu.

7 28 112 448 1792...

Jelas sekali bahawa nilai mana-mana unsurnya betul-betul empat kali lebih besar daripada yang sebelumnya. Ini bermakna siri ini adalah satu perkembangan.

Janjang geometri ialah urutan nombor yang tidak terhingga, ciri utamanya ialah nombor seterusnya diperoleh daripada yang sebelumnya dengan mendarab dengan nombor tertentu. Ini dinyatakan oleh formula berikut.

a z +1 =a z ·q, dengan z ialah nombor elemen yang dipilih.

Sehubungan itu, z ∈ N.

Tempoh di mana janjang geometri dipelajari di sekolah ialah darjah 9. Contoh akan membantu anda memahami konsep:

0.25 0.125 0.0625...

Berdasarkan formula ini, penyebut janjang boleh didapati seperti berikut:

Baik q mahupun b z boleh menjadi sifar. Selain itu, setiap elemen janjang tidak boleh sama dengan sifar.

Oleh itu, untuk mengetahui nombor seterusnya dalam satu siri, anda perlu mendarab yang terakhir dengan q.

Untuk menetapkan janjang ini, anda mesti menentukan elemen dan penyebutnya yang pertama. Selepas ini, adalah mungkin untuk mencari mana-mana istilah berikutnya dan jumlahnya.

Varieti

Bergantung kepada q dan a 1, janjang ini dibahagikan kepada beberapa jenis:

• Jika kedua-dua a 1 dan q adalah lebih besar daripada satu, maka jujukan sedemikian ialah janjang geometri yang meningkat dengan setiap elemen berikutnya. Contoh ini dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =3, q=2 - kedua-dua parameter lebih besar daripada satu.

Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti ini:

3 6 12 24 48 ...

• Jika |q| adalah kurang daripada satu, iaitu, pendaraban dengannya bersamaan dengan pembahagian, maka janjang dengan keadaan yang serupa ialah janjang geometri menurun. Contoh ini dibentangkan di bawah.

Contoh: a 1 =6, q=1/3 - a 1 lebih besar daripada satu, q kurang.

Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti berikut:

6 2 2/3 ... - mana-mana unsur adalah 3 kali lebih besar daripada unsur yang mengikutinya.

• Tanda berselang seli. Jika q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Contoh: a 1 = -3, q = -2 - kedua-dua parameter adalah kurang daripada sifar.

Kemudian urutan nombor boleh ditulis seperti ini:

3, 6, -12, 24,...

Formula

Terdapat banyak formula untuk kegunaan mudah janjang geometri:

• Formula jangka Z. Membolehkan anda mengira elemen di bawah nombor tertentu tanpa mengira nombor sebelumnya.

Contoh:q = 3, a 1 = 4. Ia dikehendaki mengira elemen keempat janjang itu.

Penyelesaian:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Jumlah unsur pertama yang kuantitinya sama dengan z. Membolehkan anda mengira jumlah semua elemen urutan sehinggaa zinklusif.

Sejak (1-q) berada dalam penyebut, maka (1 - q)≠ 0, oleh itu q tidak sama dengan 1.

Nota: jika q=1, maka janjang itu akan menjadi satu siri nombor berulang tak terhingga.

Jumlah janjang geometri, contoh:a 1 = 2, q= -2. Kira S5.

Penyelesaian:S 5 = 22 - pengiraan menggunakan formula.

• Jumlah jika |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Contoh:a 1 = 2 , q= 0.5. Cari jumlahnya.

Penyelesaian:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Beberapa sifat:

• Ciri ciri. Jika syarat berikut berfungsi untuk mana-manaz, maka siri nombor yang diberikan ialah janjang geometri:

a z 2 = a z -1 · az+1

• Juga, kuasa dua sebarang nombor dalam janjang geometri ditemui dengan menambah kuasa dua mana-mana dua nombor lain dalam siri tertentu, jika jaraknya sama dari unsur ini.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , Di manat- jarak antara nombor ini.

• elemenberbeza dalam qsekali.
• Logaritma unsur-unsur janjang juga membentuk janjang, tetapi satu aritmetik, iaitu, setiap satu daripadanya lebih besar daripada yang sebelumnya dengan nombor tertentu.

Contoh beberapa masalah klasik

Untuk lebih memahami apa itu janjang geometri, contoh dengan penyelesaian untuk kelas 9 boleh membantu.

• syarat:a 1 = 3, a 3 = 48. Cariq.

Penyelesaian: setiap elemen berikutnya adalah lebih besar daripada elemen sebelumnya dalamq sekali.Adalah perlu untuk menyatakan beberapa unsur dari segi yang lain menggunakan penyebut.

Oleh itu,a 3 = q 2 · a 1

Apabila menggantikanq= 4

• syarat:a 2 = 6, a 3 = 12. Kira S 6.

Penyelesaian:Untuk melakukan ini, cari q, elemen pertama dan gantikannya ke dalam formula.

a 3 = q· a 2 , oleh itu,q= 2

a 2 = q · a 1,sebab tu a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Cari unsur keempat janjang itu.

Penyelesaian: untuk melakukan ini, cukup untuk menyatakan unsur keempat melalui penyebut pertama dan melalui penyebut.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Contoh permohonan:

• Pelanggan bank membuat deposit dalam jumlah 10,000 rubel, di bawah syarat yang setiap tahun pelanggan akan mempunyai 6% daripadanya ditambah kepada jumlah prinsipal. Berapakah jumlah wang yang akan berada dalam akaun selepas 4 tahun?

Penyelesaian: Jumlah awal ialah 10 ribu rubel. Ini bermakna setahun selepas pelaburan akaun akan mempunyai jumlah yang sama dengan 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Sehubungan itu, jumlah dalam akaun selepas setahun lagi akan dinyatakan seperti berikut:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Iaitu, setiap tahun jumlahnya meningkat sebanyak 1.06 kali ganda. Ini bermakna untuk mencari jumlah dana dalam akaun selepas 4 tahun, sudah cukup untuk mencari elemen keempat perkembangan, yang diberikan oleh elemen pertama bersamaan dengan 10 ribu dan penyebutnya sama dengan 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Contoh masalah pengiraan jumlah:

Janjang geometri digunakan dalam pelbagai masalah. Contoh untuk mencari jumlah boleh diberikan seperti berikut:

a 1 = 4, q= 2, hitungS 5.

Penyelesaian: semua data yang diperlukan untuk pengiraan diketahui, anda hanya perlu menggantikannya ke dalam formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Hitung hasil tambah enam unsur pertama.

Penyelesaian:

Dalam geom. kemajuan, setiap elemen seterusnya adalah q kali lebih besar daripada yang sebelumnya, iaitu, untuk mengira jumlah yang anda perlukan untuk mengetahui elemena 1 dan penyebutq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Begitu juga, anda perlu mencaria 1 , mengetahuia 2 Danq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

JURUTAN NOMER VI

§ l48. Jumlah janjang geometri yang berkurangan secara tak terhingga

Sehingga kini, apabila bercakap tentang jumlah, kita selalu menganggap bahawa bilangan istilah dalam jumlah ini adalah terhingga (contohnya, 2, 15, 1000, dll.). Tetapi apabila menyelesaikan beberapa masalah (terutamanya matematik yang lebih tinggi) seseorang perlu berurusan dengan jumlah bilangan sebutan yang tidak terhingga

S= a 1 + a 2 + ... + a n + ... . (1)

Apakah jumlah ini? A-priory hasil tambah bilangan sebutan yang tidak terhingga a 1 , a 2 , ..., a n , ... dipanggil had jumlah S n pertama P nombor apabila P -> ∞ :

S=S n = (a 1 + a 2 + ... + a n ). (2)

Had (2), sudah tentu, mungkin wujud atau tidak. Sehubungan itu, mereka mengatakan bahawa jumlah (1) wujud atau tidak wujud.

Bagaimanakah kita boleh mengetahui sama ada jumlah (1) wujud dalam setiap kes tertentu? Penyelesaian umum untuk isu ini melangkaui skop program kami. Walau bagaimanapun, terdapat satu kes khas penting yang perlu kita pertimbangkan sekarang. Kita akan bercakap tentang menjumlahkan terma bagi janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga.

biarlah a 1 , a 1 q , a 1 q 2, ... ialah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga. Ini bermakna bahawa | q |< 1. Сумма первых P syarat perkembangan ini adalah sama

Daripada teorem asas mengenai had pembolehubah (lihat § 136) kita perolehi:

Tetapi 1 = 1, a qn = 0. Oleh itu

Jadi, hasil tambah suatu janjang geometri yang menyusut tak terhingga adalah sama dengan sebutan pertama janjang ini dibahagikan dengan satu tolak penyebut janjang ini.

1) Jumlah janjang geometri 1, 1/3, 1/9, 1/27, ... adalah sama dengan

dan hasil tambah janjang geometri ialah 12; -6; 3; - 3 / 2 , ... sama

2) Tukarkan pecahan berkala mudah 0.454545 ... kepada pecahan biasa.

Untuk menyelesaikan masalah ini, bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Sisi kanan kesamaan ini ialah hasil tambah janjang geometri yang berkurangan tak terhingga, sebutan pertamanya bersamaan dengan 45/100, dan penyebutnya ialah 1/100. sebab tu

Menggunakan kaedah yang diterangkan, peraturan am untuk menukar pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa boleh diperolehi (lihat Bab II, § 38):

Untuk menukar pecahan berkala mudah kepada pecahan biasa, anda perlu melakukan perkara berikut: dalam pengangka letakkan tempoh pecahan perpuluhan, dan dalam penyebut - nombor yang terdiri daripada sembilan diambil seberapa banyak bilangan digit dalam tempoh itu. daripada pecahan perpuluhan.

3) Tukarkan pecahan berkala bercampur 0.58333 .... kepada pecahan biasa.

Mari kita bayangkan pecahan ini sebagai jumlah tak terhingga:

Di sebelah kanan kesamaan ini, semua sebutan, bermula dari 3/1000, membentuk janjang geometri menyusut tak terhingga, sebutan pertamanya bersamaan dengan 3/1000, dan penyebutnya ialah 1/10. sebab tu

Menggunakan kaedah yang diterangkan, peraturan am untuk menukar pecahan berkala campuran kepada pecahan biasa boleh diperolehi (lihat Bab II, § 38). Kami sengaja tidak membentangkannya di sini. Tidak perlu mengingati peraturan yang rumit ini. Adalah lebih berguna untuk mengetahui bahawa mana-mana pecahan berkala bercampur boleh diwakili sebagai hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga dan nombor tertentu. Dan formulanya

untuk jumlah janjang geometri yang menurun secara tidak terhingga, anda mesti, sudah tentu, ingat.

Sebagai latihan, kami mencadangkan anda, sebagai tambahan kepada masalah No. 995-1000 yang diberikan di bawah, sekali lagi beralih kepada masalah No. 301 § 38.

Senaman

995. Apakah yang dipanggil hasil tambah janjang geometri yang menurun secara tak terhingga?

996. Cari hasil tambah janjang geometri menurun tak terhingga:

997. Pada nilai apa X perkembangan

adakah ia semakin berkurangan? Cari jumlah janjang sedemikian.

998. Dalam segi tiga sama sisi dengan sisi A segi tiga baru ditulis dengan menyambungkan titik tengah sisinya; segi tiga baharu ditulis dalam segi tiga ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum.

a) jumlah perimeter semua segi tiga ini;

b) jumlah kawasan mereka.

999. Segi empat dengan sisi A segi empat sama baru ditulis dengan menyambungkan titik tengah sisinya; segi empat sama ditulis dalam petak ini dengan cara yang sama, dan seterusnya ad infinitum. Cari hasil tambah perimeter semua segi empat sama ini dan hasil tambah luasnya.

1000. Susun suatu janjang geometri yang menyusut tak terhingga supaya hasil tambahnya adalah sama dengan 25/4, dan hasil tambah kuasa dua sebutannya adalah sama dengan 625/24.