Bagaimana untuk mencari punca persamaan dengan logaritma. Logaritma: contoh dan penyelesaian

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menyerahkan permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat e-mel anda, dsb.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Maklumat peribadi yang kami kumpulkan membolehkan kami menghubungi anda dengan tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau atas dasar permintaan awam atau permintaan daripada badan kerajaan di Persekutuan Rusia - untuk mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Persamaan logaritma. Kami terus mempertimbangkan masalah daripada Bahagian B Peperiksaan Negeri Bersepadu dalam matematik. Kami telah mengkaji penyelesaian kepada beberapa persamaan dalam artikel "", "". Dalam artikel ini kita akan melihat persamaan logaritma. Saya akan katakan dengan segera bahawa tidak akan ada transformasi yang kompleks apabila menyelesaikan persamaan tersebut pada Peperiksaan Negeri Bersepadu. Mereka mudah.

Ia cukup untuk mengetahui dan memahami identiti logaritma asas, untuk mengetahui sifat-sifat logaritma. Sila ambil perhatian bahawa selepas menyelesaikannya, anda MESTI melakukan semakan - gantikan nilai yang terhasil ke dalam persamaan asal dan hitung, pada akhirnya anda harus mendapat kesamaan yang betul.

Definisi:

Logaritma nombor kepada asas b ialah eksponen.yang mana b mesti dinaikkan untuk mendapatkan a.

Contohnya:

Log 3 9 = 2, kerana 3 2 = 9

Sifat logaritma:

Kes khas logaritma:

Jom selesaikan masalah. Dalam contoh pertama kita akan melakukan semakan. Pada masa hadapan, semak sendiri.

Cari punca persamaan: log 3 (4–x) = 4

Oleh kerana log b a = x b x = a, maka

3 4 = 4 – x

x = 4 – 81

x = – 77

Peperiksaan:

log 3 (4–(–77)) = 4

log 3 81 = 4

3 4 = 81 Betul.

Jawapan: – 77

Tentukan sendiri:

Cari punca persamaan: log 2 (4 – x) = 7

Cari punca log persamaan 5(4 + x) = 2

Kami menggunakan identiti logaritma asas.

Oleh kerana log a b = x b x = a, maka

5 2 = 4 + x

x =5 2 – 4

x = 21

Peperiksaan:

log 5 (4 + 21) = 2

log 5 25 = 2

5 2 = 25 Betul.

Jawapan: 21

Cari punca persamaan log 3 (14 – x) = log 3 5.

Sifat berikut berlaku, maksudnya adalah seperti berikut: jika di sebelah kiri dan kanan persamaan kita mempunyai logaritma dengan asas yang sama, maka kita boleh menyamakan ungkapan di bawah tanda-tanda logaritma.

14 – x = 5

x=9

Buat pemeriksaan.

Jawapan: 9

Tentukan sendiri:

Cari punca persamaan log 5 (5 – x) = log 5 3.

Cari punca persamaan: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Jika log c a = log c b, maka a = b

x + 3 = 4x – 15

3x = 18

x=6

Buat pemeriksaan.

Jawapan: 6

Cari punca log persamaan 1/8 (13 – x) = – 2.

(1/8) –2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

x = 13 – 64

x = – 51

Buat pemeriksaan.

Tambahan kecil - harta itu digunakan di sini

darjah ().

Jawapan: - 51

Tentukan sendiri:

Cari punca persamaan: log 1/7 (7 – x) = – 2

Cari punca persamaan log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.

Mari kita ubah sisi kanan. Mari gunakan harta itu:

log a b m = m∙log a b

log 2 (4 – x) = log 2 5 2

Jika log c a = log c b, maka a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

x = – 21

Buat pemeriksaan.

Jawapan: - 21

Tentukan sendiri:

Cari punca persamaan: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Selesaikan persamaan log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Jika log c a = log c b, maka a = b

x 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

x = 2.75

Buat pemeriksaan.

Jawapan: 2.75

Tentukan sendiri:

Cari punca persamaan log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Selesaikan persamaan log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Adalah perlu untuk mendapatkan ungkapan bentuk di sebelah kanan persamaan:

log 2 (......)

Kami mewakili 1 sebagai logaritma asas 2:

1 = log 2 2

log c (ab) = log c a + log c b

log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2

Kami mendapat:

log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)

Jika log c a = log c b, maka a = b, maka

2 – x = 4 – 6x

5x = 2

x = 0.4

Buat pemeriksaan.

Jawapan: 0.4

Tentukan sendiri: Seterusnya anda perlu menyelesaikan persamaan kuadratik. By the way,

akarnya ialah 6 dan – 4.

Akar "–4" bukan penyelesaian, kerana asas logaritma mestilah lebih besar daripada sifar, dan dengan "– 4" ia sama dengan " – 5". Penyelesaiannya ialah akar 6.Buat pemeriksaan.

Jawapan: 6.

R makan sendiri:

Selesaikan log persamaan x –5 49 = 2. Jika persamaan mempunyai lebih daripada satu punca, jawab dengan yang lebih kecil.

Seperti yang anda lihat, tiada transformasi rumit dengan persamaan logaritmaTidak. Ia cukup untuk mengetahui sifat-sifat logaritma dan dapat mengaplikasikannya. Dalam masalah USE yang berkaitan dengan transformasi ungkapan logaritma, transformasi yang lebih serius dilakukan dan kemahiran yang lebih mendalam dalam penyelesaian diperlukan. Kami akan melihat contoh sedemikian, jangan ketinggalan!Semoga berjaya kepada anda!!!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.

Seperti yang anda ketahui, apabila mendarab ungkapan dengan kuasa, eksponennya sentiasa ditambah (a b *a c = a b+c). Undang-undang matematik ini diterbitkan oleh Archimedes, dan kemudian, pada abad ke-8, ahli matematik Virasen mencipta jadual eksponen integer. Merekalah yang berkhidmat untuk penemuan logaritma selanjutnya. Contoh penggunaan fungsi ini boleh didapati hampir di mana-mana di mana perlu untuk memudahkan pendaraban yang rumit dengan penambahan mudah. Jika anda menghabiskan 10 minit membaca artikel ini, kami akan menerangkan kepada anda apa itu logaritma dan cara bekerja dengannya. Dalam bahasa yang mudah dan mudah diakses.

Definisi dalam matematik

Logaritma ialah ungkapan dalam bentuk berikut: log a b=c, iaitu, logaritma sebarang nombor bukan negatif (iaitu, sebarang positif) “b” kepada asasnya “a” dianggap sebagai kuasa “c ” yang mana adalah perlu untuk menaikkan asas “a” untuk akhirnya mendapatkan nilai “b”. Mari analisa logaritma menggunakan contoh, katakan terdapat log ungkapan 2 8. Bagaimana untuk mencari jawapannya? Ia sangat mudah, anda perlu mencari kuasa supaya dari 2 kepada kuasa yang diperlukan anda mendapat 8. Selepas melakukan beberapa pengiraan dalam kepala anda, kami mendapat nombor 3! Dan itu benar, kerana 2 kepada kuasa 3 memberikan jawapan sebagai 8.

Jenis-jenis logaritma

Bagi kebanyakan pelajar dan pelajar, topik ini kelihatan rumit dan tidak dapat difahami, tetapi sebenarnya logaritma tidak begitu menakutkan, perkara utama ialah memahami makna umum mereka dan mengingati sifat dan beberapa peraturan mereka. Terdapat tiga jenis ungkapan logaritma yang berasingan:

1. Logaritma asli ln a, dengan asasnya ialah nombor Euler (e = 2.7).
2. Perpuluhan a, dengan asasnya ialah 10.
3. Logaritma sebarang nombor b kepada asas a>1.

Setiap daripada mereka diselesaikan dengan cara yang standard, termasuk penyederhanaan, pengurangan dan pengurangan seterusnya kepada satu logaritma menggunakan teorem logaritma. Untuk mendapatkan nilai logaritma yang betul, anda harus ingat sifatnya dan urutan tindakan apabila menyelesaikannya.

Peraturan dan beberapa sekatan

Dalam matematik, terdapat beberapa peraturan-kekangan yang diterima sebagai aksiom, iaitu, ia tidak tertakluk kepada perbincangan dan merupakan kebenaran. Sebagai contoh, adalah mustahil untuk membahagikan nombor dengan sifar, dan juga mustahil untuk mengekstrak punca genap nombor negatif. Logaritma juga mempunyai peraturannya sendiri, yang berikut anda boleh belajar bekerja dengan mudah walaupun dengan ungkapan logaritma yang panjang dan luas:

• Asas "a" mestilah sentiasa lebih besar daripada sifar, dan tidak sama dengan 1, jika tidak, ungkapan itu akan kehilangan maknanya, kerana "1" dan "0" pada mana-mana darjah sentiasa sama dengan nilainya;
• jika a > 0, kemudian a b >0, ternyata “c” juga mestilah lebih besar daripada sifar.

Bagaimana untuk menyelesaikan logaritma?

Sebagai contoh, tugasan diberikan untuk mencari jawapan kepada persamaan 10 x = 100. Ini sangat mudah, anda perlu memilih kuasa dengan menaikkan nombor sepuluh yang kita dapat 100. Ini, sudah tentu, adalah 10 2 = 100.

Sekarang mari kita wakili ungkapan ini dalam bentuk logaritma. Kami mendapat log 10 100 = 2. Apabila menyelesaikan logaritma, semua tindakan secara praktikalnya menumpu untuk mencari kuasa yang diperlukan untuk memasukkan asas logaritma untuk mendapatkan nombor yang diberikan.

Untuk menentukan nilai ijazah yang tidak diketahui dengan tepat, anda perlu belajar cara bekerja dengan jadual darjah. Ia kelihatan seperti ini:

Seperti yang anda lihat, sesetengah eksponen boleh meneka secara intuitif jika anda mempunyai minda teknikal dan pengetahuan tentang jadual pendaraban. Walau bagaimanapun, untuk nilai yang lebih besar anda memerlukan jadual kuasa. Ia boleh digunakan walaupun oleh mereka yang tidak tahu apa-apa tentang topik matematik yang kompleks. Lajur kiri mengandungi nombor (asas a), baris atas nombor ialah nilai kuasa c yang nombor a dinaikkan. Di persimpangan, sel mengandungi nilai nombor yang merupakan jawapan (a c =b). Mari kita ambil, sebagai contoh, sel pertama dengan nombor 10 dan kuasa duakannya, kita mendapat nilai 100, yang ditunjukkan di persimpangan dua sel kita. Segala-galanya sangat mudah dan mudah sehinggakan humanis yang paling benar akan faham!

Persamaan dan ketaksamaan

Ternyata dalam keadaan tertentu eksponen adalah logaritma. Oleh itu, sebarang ungkapan berangka matematik boleh ditulis sebagai kesamaan logaritma. Sebagai contoh, 3 4 =81 boleh ditulis sebagai asas 3 logaritma 81 bersamaan dengan empat (log 3 81 = 4). Untuk kuasa negatif peraturannya adalah sama: 2 -5 = 1/32 kita menulisnya sebagai logaritma, kita mendapat log 2 (1/32) = -5. Salah satu bahagian matematik yang paling menarik ialah topik "logaritma". Kami akan melihat contoh dan penyelesaian persamaan di bawah, sejurus selepas mengkaji sifatnya. Sekarang mari kita lihat rupa ketaksamaan dan cara membezakannya daripada persamaan.

Ungkapan bentuk berikut diberikan: log 2 (x-1) > 3 - ia adalah ketaksamaan logaritma, kerana nilai “x” yang tidak diketahui berada di bawah tanda logaritma. Dan juga dalam ungkapan dua kuantiti dibandingkan: logaritma nombor yang dikehendaki kepada asas dua adalah lebih besar daripada nombor tiga.

Perbezaan paling penting antara persamaan logaritma dan ketaksamaan ialah persamaan dengan logaritma (contohnya, logaritma 2 x = √9) membayangkan satu atau lebih nilai berangka tertentu dalam jawapan, manakala apabila menyelesaikan ketaksamaan, kedua-dua julat yang boleh diterima nilai dan mata ditentukan untuk memecahkan fungsi ini. Akibatnya, jawapannya bukanlah satu set nombor individu yang mudah, seperti dalam jawapan kepada persamaan, tetapi siri berterusan atau set nombor.

Teorem asas tentang logaritma

Apabila menyelesaikan tugas primitif mencari nilai logaritma, sifatnya mungkin tidak diketahui. Walau bagaimanapun, apabila ia datang kepada persamaan logaritma atau ketaksamaan, pertama sekali, adalah perlu untuk memahami dengan jelas dan menggunakan dalam amalan semua sifat asas logaritma. Kita akan melihat contoh persamaan kemudian;

1. Identiti utama kelihatan seperti ini: a logaB =B. Ia terpakai hanya apabila a lebih besar daripada 0, tidak sama dengan satu, dan B lebih besar daripada sifar.
2. Logaritma produk boleh diwakili dalam formula berikut: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Dalam kes ini, syarat wajib ialah: d, s 1 dan s 2 > 0; a≠1. Anda boleh memberikan bukti untuk formula logaritma ini, dengan contoh dan penyelesaian. Biarkan log a s 1 = f 1 dan log a s 2 = f 2, kemudian a f1 = s 1, a f2 = s 2. Kami memperoleh bahawa s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (sifat bagi darjah ), dan kemudian mengikut takrifan: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, iaitu apa yang perlu dibuktikan.
3. Logaritma hasil bagi kelihatan seperti ini: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorem dalam bentuk formula mengambil bentuk berikut: log a q b n = n/q log a b.

Formula ini dipanggil "sifat darjah logaritma." Ia menyerupai sifat darjah biasa, dan ia tidak menghairankan, kerana semua matematik adalah berdasarkan postulat semula jadi. Mari kita lihat buktinya.

Biarkan log a b = t, ternyata a t =b. Jika kita menaikkan kedua-dua bahagian kepada kuasa m: a tn = b n ;

tetapi oleh kerana a tn = (a q) nt/q = b n, oleh itu log a q b n = (n*t)/t, kemudian log a q b n = n/q log a b. Teorem terbukti.

Contoh masalah dan ketidaksamaan

Jenis masalah yang paling biasa pada logaritma ialah contoh persamaan dan ketaksamaan. Ia ditemui dalam hampir semua buku masalah, dan juga merupakan bahagian yang diperlukan dalam peperiksaan matematik. Untuk memasuki universiti atau lulus peperiksaan masuk dalam matematik, anda perlu tahu cara menyelesaikan tugas tersebut dengan betul.

Malangnya, tiada pelan atau skema tunggal untuk menyelesaikan dan menentukan nilai logaritma yang tidak diketahui, tetapi peraturan tertentu boleh digunakan untuk setiap ketaksamaan matematik atau persamaan logaritma. Pertama sekali, anda harus mengetahui sama ada ungkapan itu boleh dipermudahkan atau dikurangkan kepada bentuk umum. Anda boleh memudahkan ungkapan logaritma panjang jika anda menggunakan sifatnya dengan betul. Jom kenali mereka dengan cepat.

Apabila menyelesaikan persamaan logaritma, kita mesti menentukan jenis logaritma yang kita ada: ungkapan contoh mungkin mengandungi logaritma asli atau satu perpuluhan.

Berikut adalah contoh ln100, ln1026. Penyelesaian mereka bermuara kepada fakta bahawa mereka perlu menentukan kuasa yang mana asas 10 akan sama dengan 100 dan 1026, masing-masing. Untuk menyelesaikan logaritma asli, anda perlu menggunakan identiti logaritma atau sifatnya. Mari kita lihat contoh penyelesaian masalah logaritma pelbagai jenis.

Cara Menggunakan Rumus Logaritma: Dengan Contoh dan Penyelesaian

Jadi, mari kita lihat contoh penggunaan teorem asas tentang logaritma.

1. Sifat logaritma produk boleh digunakan dalam tugasan di mana ia perlu untuk menguraikan nilai besar nombor b kepada faktor yang lebih mudah. Sebagai contoh, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Jawapannya ialah 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - seperti yang anda lihat, menggunakan sifat keempat kuasa logaritma, kami berjaya menyelesaikan ungkapan yang kelihatan rumit dan tidak dapat diselesaikan. Anda hanya perlu memfaktorkan asas dan kemudian mengeluarkan nilai eksponen daripada tanda logaritma.

Tugasan daripada Peperiksaan Negeri Bersepadu

Logaritma sering dijumpai dalam peperiksaan kemasukan, terutamanya banyak masalah logaritma dalam Peperiksaan Negeri Bersepadu (peperiksaan negeri untuk semua lepasan sekolah). Biasanya, tugasan ini hadir bukan sahaja dalam bahagian A (bahagian ujian yang paling mudah dalam peperiksaan), tetapi juga dalam bahagian C (tugas yang paling kompleks dan banyak). Peperiksaan memerlukan pengetahuan yang tepat dan sempurna tentang topik "Logaritma semulajadi".

Contoh dan penyelesaian kepada masalah diambil daripada versi rasmi Peperiksaan Negeri Bersepadu. Mari lihat bagaimana tugasan sedemikian diselesaikan.

Diberi log 2 (2x-1) = 4. Penyelesaian:
mari kita tulis semula ungkapan itu, permudahkan sedikit log 2 (2x-1) = 2 2, dengan takrifan logaritma kita mendapat bahawa 2x-1 = 2 4, oleh itu 2x = 17; x = 8.5.

• Adalah lebih baik untuk mengurangkan semua logaritma kepada asas yang sama supaya penyelesaiannya tidak menyusahkan dan mengelirukan.
• Semua ungkapan di bawah tanda logaritma ditunjukkan sebagai positif, oleh itu, apabila eksponen ungkapan yang berada di bawah tanda logaritma dan sebagai tapaknya diambil sebagai pengganda, ungkapan yang tinggal di bawah logaritma mestilah positif.

Ungkapan logaritma, contoh penyelesaian. Dalam artikel ini kita akan melihat masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugasan bertanyakan soalan mencari makna ungkapan. Perlu diingatkan bahawa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan memahami maksudnya adalah sangat penting. Bagi Peperiksaan Negeri Bersepadu, logaritma digunakan semasa menyelesaikan persamaan, dalam masalah yang digunakan, dan juga dalam tugas yang berkaitan dengan kajian fungsi.

Mari kita berikan contoh untuk memahami maksud logaritma:

Identiti logaritma asas:

Sifat logaritma yang mesti sentiasa diingati:

*Logaritma hasil darab adalah sama dengan jumlah logaritma faktor.

* * *

*Logaritma bagi hasil (pecahan) adalah sama dengan perbezaan antara logaritma faktor.

* * *

*Logaritma eksponen adalah sama dengan hasil darab eksponen dan logaritma tapaknya.

* * *

*Peralihan kepada asas baharu

* * *

Lebih banyak hartanah:

* * *

Pengiraan logaritma berkait rapat dengan penggunaan sifat eksponen.

Mari kita senaraikan beberapa daripadanya:

Intipati sifat ini ialah apabila pengangka dipindahkan ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah kepada sebaliknya. Contohnya:

Akibat daripada harta ini:

* * *

Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa, asas kekal sama, tetapi eksponen didarabkan.

* * *

Seperti yang anda lihat, konsep logaritma itu sendiri adalah mudah. Perkara utama ialah anda memerlukan latihan yang baik, yang memberi anda kemahiran tertentu. Sudah tentu, pengetahuan tentang formula diperlukan. Jika kemahiran dalam menukar logaritma asas belum dibangunkan, maka apabila menyelesaikan tugas mudah anda boleh dengan mudah membuat kesilapan.

Berlatih, selesaikan contoh paling mudah dari kursus matematik dahulu, kemudian beralih kepada yang lebih kompleks. Pada masa hadapan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "hodoh" diselesaikan;

Itu sahaja! Semoga berjaya kepada anda!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu saya tentang laman web di rangkaian sosial.