Untuk memahami cara mengira LCM, anda harus terlebih dahulu menentukan maksud istilah "berbilang".

Gandaan A ialah nombor asli yang boleh dibahagi dengan A tanpa baki. Oleh itu, 15, 20, 25, dan seterusnya boleh dianggap gandaan bagi 5.

Terdapat bilangan pembahagi yang terhad bagi nombor tertentu, tetapi terdapat bilangan gandaan yang tidak terhingga.

Gandaan sepunya bagi nombor asli ialah nombor yang boleh dibahagi dengannya tanpa baki.

Bagaimana untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor

Gandaan sepunya terkecil (LCM) nombor (dua, tiga atau lebih) ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi sama rata dengan semua nombor ini.

Untuk mencari NOC, anda boleh menggunakan beberapa kaedah.

Untuk nombor kecil, adalah mudah untuk menulis dalam satu baris semua gandaan nombor ini sehingga nombor sepunya ditemui di antara mereka. Gandaan dilambangkan dalam rekod dengan huruf besar K.

Sebagai contoh, gandaan 4 boleh ditulis seperti ini:

K(4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K(6) = (12, 18, 24, ...)

Jadi, anda boleh melihat bahawa gandaan sepunya terkecil bagi nombor 4 dan 6 ialah nombor 24. Entri ini dilakukan seperti berikut:

LCM(4, 6) = 24

Jika nombornya besar, cari gandaan sepunya bagi tiga atau lebih nombor, maka lebih baik menggunakan cara lain untuk mengira LCM.

Untuk menyelesaikan tugas, adalah perlu untuk menguraikan nombor yang dicadangkan kepada faktor perdana.

Mula-mula anda perlu menulis pengembangan nombor terbesar dalam satu baris, dan di bawahnya - selebihnya.

Dalam pengembangan setiap nombor, mungkin terdapat bilangan faktor yang berbeza.

Sebagai contoh, mari kita memfaktorkan nombor 50 dan 20 menjadi faktor perdana.

Dalam pengembangan nombor yang lebih kecil, seseorang harus menggariskan faktor yang hilang dalam pengembangan nombor terbesar pertama, dan kemudian menambahnya kepadanya. Dalam contoh yang dibentangkan, deuce tiada.

Sekarang kita boleh mengira gandaan sepunya terkecil bagi 20 dan 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Oleh itu, hasil darab faktor perdana bagi nombor yang lebih besar dan faktor nombor kedua, yang tidak termasuk dalam penguraian nombor yang lebih besar, akan menjadi gandaan sepunya terkecil.

Untuk mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor, kesemuanya hendaklah diuraikan kepada faktor perdana, seperti dalam kes sebelumnya.

Sebagai contoh, anda boleh mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Oleh itu, hanya dua deuces daripada penguraian enam belas tidak termasuk dalam pemfaktoran nombor yang lebih besar (satu adalah dalam penguraian dua puluh empat).

Oleh itu, mereka perlu ditambah kepada penguraian bilangan yang lebih besar.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Terdapat kes khas untuk menentukan gandaan sepunya terkecil. Jadi, jika salah satu nombor boleh dibahagikan tanpa baki dengan yang lain, maka yang lebih besar daripada nombor ini akan menjadi gandaan sepunya terkecil.

Sebagai contoh, NOC dua belas dan dua puluh empat akan menjadi dua puluh empat.

Jika perlu mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor koprima yang tidak mempunyai pembahagi yang sama, maka LCM mereka akan sama dengan hasil darabnya.

Contohnya, LCM(10, 11) = 110.

Pelajar diberi banyak tugasan matematik. Di antara mereka, selalunya terdapat tugas dengan rumusan berikut: terdapat dua nilai. Bagaimana untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor yang diberikan? Ia adalah perlu untuk dapat melaksanakan tugas-tugas tersebut, kerana kemahiran yang diperoleh digunakan untuk bekerja dengan pecahan dengan penyebut yang berbeza. Dalam artikel itu, kami akan menganalisis cara mencari LCM dan konsep asas.

Sebelum mencari jawapan kepada soalan tentang cara mencari LCM, anda perlu mentakrifkan istilah berbilang. Selalunya, rumusan konsep ini adalah seperti berikut: gandaan beberapa nilai A ialah nombor asli yang akan dibahagi dengan A tanpa baki. Jadi, untuk 4, 8, 12, 16, 20 dan seterusnya, sehingga had yang diperlukan.

Dalam kes ini, bilangan pembahagi untuk nilai tertentu boleh dihadkan, dan terdapat banyak gandaan yang tidak terhingga. Terdapat juga nilai yang sama untuk nilai semula jadi. Ini adalah penunjuk yang dibahagikan oleh mereka tanpa baki. Setelah menangani konsep nilai terkecil untuk penunjuk tertentu, mari kita beralih kepada cara mencarinya.

Mencari NOC

Gandaan terkecil dua atau lebih eksponen ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi sepenuhnya dengan semua nombor yang diberi.

Terdapat beberapa cara untuk mencari nilai sedemikian. Mari kita pertimbangkan kaedah berikut:

1. Jika nombornya kecil, maka tulis dalam baris semua yang boleh dibahagikan dengannya. Teruskan melakukan ini sehingga anda menemui persamaan di antara mereka. Dalam rekod, mereka dilambangkan dengan huruf K. Contohnya, untuk 4 dan 3, gandaan terkecil ialah 12.
2. Jika ini besar atau anda perlu mencari gandaan untuk 3 atau lebih nilai, maka di sini anda harus menggunakan teknik berbeza yang melibatkan penguraian nombor menjadi faktor perdana. Pertama, letakkan yang terbesar daripada yang ditunjukkan, kemudian semua yang lain. Setiap daripada mereka mempunyai bilangan pengganda sendiri. Sebagai contoh, mari kita uraikan 20 (2*2*5) dan 50 (5*5*2). Untuk yang lebih kecil daripada mereka, gariskan faktor dan tambah kepada yang terbesar. Hasilnya ialah 100, yang akan menjadi gandaan sepunya terkecil daripada nombor di atas.
3. Apabila mencari 3 nombor (16, 24 dan 36) prinsipnya adalah sama seperti dua yang lain. Mari kembangkan setiap satu: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Hanya dua deuces daripada penguraian nombor 16 tidak termasuk dalam pengembangan yang terbesar. Kami menambahnya dan mendapat 144, yang merupakan hasil terkecil untuk nilai berangka yang ditunjukkan sebelum ini.

Sekarang kita tahu apakah teknik umum untuk mencari nilai terkecil untuk dua, tiga atau lebih nilai. Walau bagaimanapun, terdapat juga kaedah persendirian, membantu mencari NOC, jika yang sebelumnya tidak membantu.

Bagaimana untuk mencari GCD dan NOC.

Cara Persendirian Mencari

Seperti mana-mana bahagian matematik, terdapat kes khas mencari LCM yang membantu dalam situasi tertentu:

• jika salah satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain tanpa baki, maka gandaan terendah nombor ini adalah sama dengannya (NOC 60 dan 15 bersamaan dengan 15);
• Nombor koprima tidak mempunyai pembahagi perdana sepunya. Nilai terkecilnya adalah sama dengan hasil darab nombor ini. Oleh itu, untuk nombor 7 dan 8, ini akan menjadi 56;
• peraturan yang sama berfungsi untuk kes lain, termasuk yang istimewa, yang boleh dibaca dalam kesusasteraan khusus. Ini juga harus termasuk kes penguraian nombor komposit, yang merupakan subjek artikel berasingan dan juga disertasi Ph.D.

Kes khas adalah kurang biasa daripada contoh standard. Tetapi terima kasih kepada mereka, anda boleh belajar bagaimana untuk bekerja dengan pecahan daripada pelbagai tahap kerumitan. Ini terutama berlaku untuk pecahan., di mana terdapat penyebut yang berbeza.

Beberapa contoh

Mari lihat beberapa contoh, yang mana anda boleh memahami prinsip mencari gandaan terkecil:

1. Kami dapati LCM (35; 40). Kami meletakkan dahulu 35 = 5*7, kemudian 40 = 5*8. Kami menambah 8 kepada nombor terkecil dan mendapatkan NOC 280.
2. NOC (45; 54). Kami meletakkan setiap daripada mereka: 45 = 3*3*5 dan 54 = 3*3*6. Kami menambah nombor 6 hingga 45. Kami mendapat NOC bersamaan dengan 270.
3. Nah, contoh terakhir. Terdapat 5 dan 4. Tiada gandaan mudah untuknya, jadi gandaan sepunya terkecil dalam kes ini ialah hasil darabnya, bersamaan dengan 20.

Terima kasih kepada contoh, anda boleh memahami bagaimana NOC terletak, apakah nuansa dan apakah maksud manipulasi tersebut.

Mencari NOC adalah lebih mudah daripada yang mungkin kelihatan pada mulanya. Untuk ini, kedua-dua pengembangan mudah dan pendaraban nilai mudah antara satu sama lain digunakan.. Keupayaan untuk bekerja dengan bahagian matematik ini membantu dalam kajian lanjut tentang topik matematik, terutamanya pecahan daripada pelbagai darjah kerumitan.

Jangan lupa untuk menyelesaikan contoh secara berkala dengan kaedah yang berbeza, ini membangunkan radas logik dan membolehkan anda mengingati banyak istilah. Ketahui kaedah untuk mencari penunjuk sedemikian dan anda akan dapat bekerja dengan baik dengan bahagian matematik yang lain. Selamat belajar matematik!

Video

Video ini akan membantu anda memahami dan mengingati cara mencari gandaan sepunya terkecil.

Mari kita teruskan perbincangan tentang gandaan sepunya terkecil yang kita mulakan dalam bahagian LCM - Gandaan Sepunya Terkecil, Definisi, Contoh. Dalam topik ini, kita akan melihat cara untuk mencari LCM untuk tiga nombor atau lebih, kita akan menganalisis persoalan bagaimana untuk mencari LCM nombor negatif.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Pengiraan gandaan sepunya terkecil (LCM) melalui gcd

Kami telah pun mewujudkan hubungan antara gandaan sepunya terkecil dan pembahagi sepunya terbesar. Sekarang mari kita pelajari cara mentakrifkan LCM melalui GCD. Mula-mula, mari kita fikirkan cara melakukan ini untuk nombor positif.

Definisi 1

Anda boleh mencari gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar menggunakan formula LCM (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Contoh 1

Ia adalah perlu untuk mencari KPK bagi nombor 126 dan 70.

Penyelesaian

Mari kita ambil a = 126 , b = 70 . Gantikan nilai dalam formula untuk mengira gandaan sepunya terkecil melalui pembahagi sepunya terbesar LCM (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Cari GCD bagi nombor 70 dan 126. Untuk ini kita memerlukan algoritma Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , maka gcd (126 , 70) = 14 .

Mari kita hitung LCM: LCM (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Jawapan: LCM (126, 70) = 630.

Contoh 2

Cari nok bagi nombor 68 dan 34.

Penyelesaian

GCD dalam kes ini mudah dicari kerana 68 boleh dibahagi dengan 34. Kira gandaan sepunya terkecil menggunakan formula: LCM (68, 34) = 68 34: GCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Jawapan: LCM(68, 34) = 68.

Dalam contoh ini, kami menggunakan peraturan untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi integer positif a dan b: jika nombor pertama boleh dibahagi dengan kedua, maka LCM nombor ini akan sama dengan nombor pertama.

Mencari LCM dengan Memfaktorkan Nombor menjadi Faktor Perdana

Sekarang mari kita lihat cara untuk mencari LCM, yang berdasarkan penguraian nombor kepada faktor perdana.

Definisi 2

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah mudah:

• kita membentuk hasil darab semua faktor perdana nombor yang kita perlukan untuk mencari LCM;
• kami mengecualikan semua faktor utama daripada produk yang diperolehi;
• produk yang diperoleh selepas menghapuskan faktor perdana sepunya akan sama dengan LCM nombor yang diberikan.

Cara mencari gandaan sepunya terkecil ini adalah berdasarkan kesamaan LCM (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jika anda melihat formula, ia akan menjadi jelas: hasil darab nombor a dan b adalah sama dengan hasil darab semua faktor yang terlibat dalam pengembangan dua nombor ini. Dalam kes ini, GCD bagi dua nombor adalah sama dengan hasil darab semua faktor perdana yang hadir serentak dalam pemfaktoran kedua-dua nombor ini.

Contoh 3

Kami mempunyai dua nombor 75 dan 210 . Kita boleh memfaktorkan mereka seperti ini: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Jika anda membuat hasil darab semua faktor bagi dua nombor asal, anda akan mendapat: 2 3 3 5 5 5 7.

Jika kita mengecualikan faktor sepunya kepada kedua-dua nombor 3 dan 5, kita mendapat hasil darab dalam bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Produk ini akan menjadi LCM kami untuk nombor 75 dan 210.

Contoh 4

Cari LCM nombor 441 Dan 700 , menguraikan kedua-dua nombor menjadi faktor perdana.

Penyelesaian

Mari kita cari semua faktor perdana bagi nombor yang diberikan dalam keadaan:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Kami mendapat dua rantai nombor: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7 .

Hasil darab semua faktor yang mengambil bahagian dalam pengembangan nombor ini akan kelihatan seperti: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari cari faktor sepunya. Nombor ini ialah 7. Kami mengecualikannya daripada produk umum: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Jawapan: LCM (441 , 700) = 44 100 .

Mari kita berikan satu lagi rumusan kaedah untuk mencari LCM dengan menguraikan nombor menjadi faktor perdana.

Definisi 3

Sebelum ini, kami mengecualikan daripada jumlah bilangan faktor yang sama kepada kedua-dua nombor. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeza:

• Mari kita uraikan kedua-dua nombor kepada faktor perdana:
• tambah kepada hasil darab faktor perdana nombor pertama dengan faktor yang hilang bagi nombor kedua;
• kami mendapat produk, yang akan menjadi LCM yang dikehendaki bagi dua nombor.

Contoh 5

Mari kita kembali ke nombor 75 dan 210 , yang mana kita sudah mencari LCM dalam salah satu contoh sebelumnya. Mari kita pecahkan kepada faktor mudah: 75 = 3 5 5 Dan 210 = 2 3 5 7. Kepada hasil darab faktor 3 , 5 dan 5 nombor 75 menambah faktor yang hilang 2 Dan 7 nombor 210 . Kita mendapatkan: 2 3 5 5 7 . Ini ialah LCM bagi nombor 75 dan 210.

Contoh 6

Ia adalah perlu untuk mengira LCM bagi nombor 84 dan 648.

Penyelesaian

Mari kita uraikan nombor daripada keadaan kepada faktor perdana: 84 = 2 2 3 7 Dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Tambahkan pada hasil darab faktor 2 , 2 , 3 dan 7 nombor 84 hilang faktor 2 , 3 , 3 dan
3 nombor 648 . Kami mendapat produk 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi 84 dan 648.

Jawapan: LCM (84, 648) = 4536.

Mencari LCM bagi tiga atau lebih nombor

Tidak kira berapa banyak nombor yang kita hadapi, algoritma tindakan kita akan sentiasa sama: kita akan secara konsisten mencari LCM bagi dua nombor. Terdapat teorem untuk kes ini.

Teorem 1

Katakan kita mempunyai integer a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k daripada nombor ini ditemui dalam pengiraan berjujukan m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k = LCM (m k − 1 , a k) .

Sekarang mari kita lihat bagaimana teorem boleh digunakan untuk masalah tertentu.

Contoh 7

Anda perlu mengira gandaan sepunya terkecil daripada empat nombor 140 , 9 , 54 dan 250 .

Penyelesaian

Mari perkenalkan notasi: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Mari kita mulakan dengan mengira m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140 , 9) . Mari kita gunakan algoritma Euclidean untuk mengira GCD bagi nombor 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Kami mendapat: GCD(140, 9) = 1, LCM(140, 9) = 140 9: GCD(140, 9) = 140 9: 1 = 1260. Oleh itu, m 2 = 1 260 .

Sekarang mari kita hitung mengikut algoritma yang sama m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260 , 54) . Dalam perjalanan pengiraan, kita mendapat m 3 = 3 780.

Tinggal untuk kita mengira m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250) . Kami bertindak mengikut algoritma yang sama. Kami mendapat m 4 \u003d 94 500.

LCM bagi empat nombor daripada keadaan contoh ialah 94500 .

Jawapan: LCM (140, 9, 54, 250) = 94,500.

Seperti yang anda lihat, pengiraan adalah mudah, tetapi agak susah payah. Untuk menjimatkan masa, anda boleh pergi ke arah lain.

Definisi 4

Kami menawarkan kepada anda algoritma tindakan berikut:

• menguraikan semua nombor kepada faktor perdana;
• kepada hasil darab faktor nombor pertama, tambahkan faktor yang hilang daripada hasil darab nombor kedua;
• tambahkan faktor yang hilang bagi nombor ketiga kepada produk yang diperoleh pada peringkat sebelumnya, dsb.;
• produk yang terhasil akan menjadi gandaan sepunya terkecil semua nombor daripada keadaan.

Contoh 8

Ia adalah perlu untuk mencari KPK bagi lima nombor 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Penyelesaian

Mari kita uraikan kelima-lima nombor menjadi faktor perdana: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Nombor perdana, iaitu nombor 7, tidak boleh difaktorkan ke dalam faktor perdana. Nombor sedemikian bertepatan dengan penguraiannya menjadi faktor perdana.

Sekarang mari kita ambil hasil darab faktor perdana 2, 2, 3 dan 7 bagi nombor 84 dan tambahkan kepada mereka faktor yang hilang bagi nombor kedua. Kami telah menguraikan nombor 6 kepada 2 dan 3. Faktor ini sudah ada dalam hasil darab nombor pertama. Oleh itu, kami meninggalkan mereka.

Kami terus menambah pengganda yang hilang. Kita beralih kepada nombor 48, daripada hasil darab faktor perdana yang kita ambil 2 dan 2. Kemudian kita menambah faktor mudah 7 daripada nombor keempat dan faktor 11 dan 13 daripada nombor kelima. Kami dapat: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48,048. Ini ialah gandaan sepunya terkecil daripada lima nombor asal.

Jawapan: LCM (84, 6, 48, 7, 143) = 48,048.

Mencari Gandaan Sepunya Terkecil bagi Nombor Negatif

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil bagi nombor negatif, nombor-nombor ini mesti digantikan dengan nombor dengan tanda yang bertentangan, dan kemudian pengiraan hendaklah dijalankan mengikut algoritma di atas.

Contoh 9

LCM(54, −34) = LCM(54, 34) dan LCM(−622,−46, −54,−888) = LCM(622, 46, 54, 888) .

Perbuatan tersebut dibenarkan kerana jika diterima itu a Dan − a- nombor berlawanan
kemudian set gandaan a bertepatan dengan set gandaan nombor − a.

Contoh 10

Ia adalah perlu untuk mengira LCM nombor negatif − 145 Dan − 45 .

Penyelesaian

Jom tukar nombor − 145 Dan − 45 kepada nombor berlawanan mereka 145 Dan 45 . Sekarang, menggunakan algoritma, kami mengira LCM (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , setelah menentukan GCD menggunakan algoritma Euclid sebelum ini.

Kami mendapat bahawa LCM nombor − 145 dan − 45 sama 1 305 .

Jawapan: LCM (− 145 , − 45) = 1 305 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Cara mencari LCM (bilangan sepunya paling kurang)

Gandaan sepunya bagi dua integer ialah integer yang boleh dibahagi sama rata dengan kedua-dua nombor yang diberi tanpa baki.

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer ialah yang terkecil daripada semua integer yang boleh dibahagi sama rata dan tanpa baki oleh kedua-dua nombor yang diberikan.

Kaedah 1. Anda boleh mencari LCM, seterusnya, untuk setiap nombor yang diberikan, menulis dalam tertib menaik semua nombor yang diperoleh dengan mendarabnya dengan 1, 2, 3, 4, dan seterusnya.

Contoh untuk nombor 6 dan 9.
Kami mendarabkan nombor 6, secara berurutan, dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapat: 6, 12, 18 , 24, 30
Kami mendarabkan nombor 9, secara berurutan, dengan 1, 2, 3, 4, 5.
Kami mendapat: 9, 18 , 27, 36, 45
Seperti yang anda lihat, LCM untuk nombor 6 dan 9 ialah 18.

Kaedah ini mudah apabila kedua-dua nombor adalah kecil dan mudah untuk mendarabnya dengan urutan integer. Walau bagaimanapun, terdapat kes apabila anda perlu mencari LCM untuk nombor dua digit atau tiga digit, dan juga apabila terdapat tiga atau lebih nombor awal.

Kaedah 2. Anda boleh mencari LCM dengan menguraikan nombor asal kepada faktor perdana.
Selepas penguraian, adalah perlu untuk memotong nombor yang sama daripada siri faktor perdana yang terhasil. Baki nombor nombor pertama akan menjadi faktor untuk yang kedua, dan baki nombor nombor kedua akan menjadi faktor untuk yang pertama.

Contoh untuk nombor 75 dan 60.
Gandaan sepunya terkecil bagi nombor 75 dan 60 boleh didapati tanpa menulis gandaan nombor ini berturut-turut. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 kepada faktor utama:
75 = 3 * 5 * 5, dan
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Seperti yang anda lihat, faktor 3 dan 5 berlaku dalam kedua-dua baris. Secara mental kita "memotong" mereka.
Mari kita tuliskan baki faktor yang termasuk dalam pengembangan setiap nombor ini. Apabila mengurai nombor 75, kami meninggalkan nombor 5, dan apabila mengurai nombor 60, kami meninggalkan 2 * 2
Jadi, untuk menentukan LCM untuk nombor 75 dan 60, kita perlu mendarabkan nombor yang tinggal dari pengembangan 75 (ini adalah 5) dengan 60, dan nombor yang tinggal dari pengembangan nombor 60 (ini ialah 2 * 2). ) darab dengan 75. Iaitu, untuk memudahkan pemahaman , kita katakan bahawa kita darab "silang".
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
Beginilah cara kami menemui LCM untuk nombor 60 dan 75. Ini ialah nombor 300.

Contoh. Tentukan KPK untuk nombor 12, 16, 24
Dalam kes ini, tindakan kita akan menjadi lebih rumit. Tetapi, pertama, seperti biasa, kita menguraikan semua nombor menjadi faktor perdana
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Untuk menentukan LCM dengan betul, kami memilih nombor terkecil daripada semua nombor (ini ialah nombor 12) dan meneliti faktornya secara berturut-turut, memotongnya jika sekurang-kurangnya satu daripada baris nombor lain mempunyai faktor yang sama yang belum dipalang. keluar.

Langkah 1 . Kami melihat bahawa 2 * 2 berlaku dalam semua siri nombor. Kami mencoret mereka.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Langkah 2. Dalam faktor perdana nombor 12, hanya nombor 3 yang kekal. Tetapi ia hadir dalam faktor perdana nombor 24. Kami memotong nombor 3 dari kedua-dua baris, sementara tiada tindakan dijangka untuk nombor 16 .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Seperti yang anda lihat, apabila menguraikan nombor 12, kami "memotong" semua nombor. Jadi penemuan NOC selesai. Ia kekal hanya untuk mengira nilainya.
Untuk nombor 12, kita mengambil baki faktor daripada nombor 16 (yang paling hampir dalam tertib menaik)
12 * 2 * 2 = 48
Ini adalah NOC

Seperti yang anda lihat, dalam kes ini, mencari LCM agak sukar, tetapi apabila anda perlu mencarinya untuk tiga atau lebih nombor, kaedah ini membolehkan anda melakukannya dengan lebih pantas. Walau bagaimanapun, kedua-dua cara mencari LCM adalah betul.

Definisi. Nombor asli terbesar yang nombor a dan b boleh dibahagikan tanpa baki dipanggil pembahagi sepunya terbesar (gcd) nombor-nombor ini.

Mari kita cari pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 24 dan 35.
Pembahagi 24 ialah nombor 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, dan pembahagi 35 ialah nombor 1, 5, 7, 35.
Kami melihat bahawa nombor 24 dan 35 hanya mempunyai satu pembahagi biasa - nombor 1. Nombor sedemikian dipanggil coprime.

Definisi. Nombor asli dipanggil coprime jika pembahagi sepunya terbesar mereka (gcd) ialah 1.

Pembahagi Sepunya Terhebat (GCD) boleh didapati tanpa menulis semua pembahagi nombor yang diberikan.

Memfaktorkan nombor 48 dan 36, kita dapat:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor pertama ini, kami memadamkan faktor yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor kedua (iaitu, dua deuces).
Faktor 2 * 2 * 3 kekal. Hasil darabnya ialah 12. Nombor ini ialah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 48 dan 36. Pembahagi sepunya terbesar bagi tiga nombor atau lebih juga ditemui.

Untuk mencari pembahagi sepunya terbesar

2) daripada faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor ini, potong yang tidak termasuk dalam pengembangan nombor lain;
3) cari hasil darab faktor yang tinggal.

Jika semua nombor yang diberi boleh dibahagi dengan salah satu daripadanya, maka nombor ini ialah pembahagi sepunya terbesar nombor yang diberi.
Sebagai contoh, pembahagi sepunya terbesar bagi 15, 45, 75, dan 180 ialah 15, kerana ia membahagikan semua nombor lain: 45, 75, dan 180.

Gandaan sepunya terkecil (LCM)

Definisi. Gandaan sepunya terkecil (LCM) nombor asli a dan b ialah nombor asli terkecil yang merupakan gandaan bagi kedua-dua a dan b. Gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi nombor 75 dan 60 boleh didapati tanpa menulis gandaan nombor ini berturut-turut. Untuk melakukan ini, kami menguraikan 75 dan 60 menjadi faktor mudah: 75 \u003d 3 * 5 * 5, dan 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Kami menulis faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor pertama ini, dan menambah kepada mereka faktor yang hilang 2 dan 2 daripada pengembangan nombor kedua (iaitu, kami menggabungkan faktor).
Kami mendapat lima faktor 2 * 2 * 3 * 5 * 5, hasil darabnya ialah 300. Nombor ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor 75 dan 60.

Cari juga gandaan sepunya terkecil bagi tiga atau lebih nombor.

Kepada cari gandaan sepunya terkecil beberapa nombor asli, anda perlukan:
1) menguraikannya kepada faktor utama;
2) tuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan salah satu nombor;
3) menambah kepada mereka faktor yang hilang daripada pengembangan nombor yang tinggal;
4) cari hasil darab faktor yang terhasil.

Ambil perhatian bahawa jika salah satu daripada nombor ini boleh dibahagikan dengan semua nombor lain, maka nombor ini ialah gandaan sepunya terkecil bagi nombor ini.
Sebagai contoh, gandaan sepunya terkecil bagi 12, 15, 20, dan 60 ialah 60, kerana ia boleh dibahagi dengan semua nombor yang diberikan.

Pythagoras (abad VI SM) dan pelajarnya mengkaji isu kebolehbahagi nombor. Nombor yang sama dengan jumlah semua pembahaginya (tanpa nombor itu sendiri), mereka memanggil nombor sempurna. Sebagai contoh, nombor 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) adalah sempurna. Nombor sempurna seterusnya ialah 496, 8128, 33,550,336. Orang Pythagorean hanya mengetahui tiga nombor sempurna yang pertama. Yang keempat - 8128 - dikenali pada abad ke-1. n. e. Yang kelima - 33 550 336 - ditemui pada abad ke-15. Menjelang tahun 1983, 27 nombor sempurna sudah diketahui. Tetapi sehingga kini, saintis tidak tahu sama ada terdapat nombor sempurna ganjil, sama ada terdapat nombor sempurna terbesar.
Minat ahli matematik purba dalam nombor perdana adalah disebabkan oleh fakta bahawa sebarang nombor adalah sama ada perdana atau boleh diwakili sebagai hasil darab nombor perdana, iaitu nombor perdana adalah seperti batu bata dari mana seluruh nombor asli dibina.
Anda mungkin perasan bahawa nombor perdana dalam siri nombor asli berlaku tidak sekata - di beberapa bahagian siri terdapat lebih banyak daripada mereka, di bahagian lain - kurang. Tetapi semakin jauh kita bergerak di sepanjang siri nombor, semakin jarang nombor perdana. Timbul persoalan: adakah nombor perdana terakhir (terbesar) wujud? Ahli matematik Yunani kuno Euclid (abad ke-3 SM), dalam bukunya "Permulaan", yang selama dua ribu tahun menjadi buku teks utama matematik, membuktikan bahawa terdapat banyak nombor perdana yang tidak terhingga, iaitu, di belakang setiap nombor perdana terdapat nombor genap. nombor perdana yang lebih besar.
Untuk mencari nombor perdana, seorang lagi ahli matematik Yunani pada masa yang sama, Eratosthenes, telah menghasilkan kaedah sedemikian. Dia menulis semua nombor dari 1 hingga beberapa nombor, dan kemudian memotong unit, yang bukan nombor perdana mahupun nombor komposit, kemudian memotong satu semua nombor selepas 2 (nombor yang merupakan gandaan 2, iaitu 4, 6, 8, dsb.). Nombor pertama yang tinggal selepas 2 ialah 3. Kemudian, selepas dua, semua nombor selepas 3 dicoret (nombor yang merupakan gandaan 3, iaitu 6, 9, 12, dsb.). akhirnya, hanya nombor perdana sahaja yang tidak dipalang.