Bagaimana untuk mencari penentu songsang. matriks songsang

Mencari matriks songsang.

Dalam artikel ini, kita akan berurusan dengan konsep matriks songsang, sifatnya dan cara mencarinya. Marilah kita memikirkan secara terperinci tentang penyelesaian contoh di mana ia diperlukan untuk membina matriks songsang untuk yang diberikan.

Navigasi halaman.

Matriks songsang - definisi.

Mencari matriks songsang menggunakan matriks penambahan algebra.

Sifat matriks songsang.

Mencari matriks songsang dengan kaedah Gauss-Jordan.

Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear yang sepadan.

Matriks songsang - definisi.

Konsep matriks songsang diperkenalkan hanya untuk matriks segi empat sama yang penentunya berbeza daripada sifar, iaitu untuk matriks kuasa dua bukan tunggal.

Definisi.

Matriksdipanggil songsang matriks, yang penentunya berbeza daripada sifar, jika kesamaan adalah benar , di mana E ialah matriks identiti susunan n pada n.

Mencari matriks songsang menggunakan matriks penambahan algebra.

Bagaimana untuk mencari matriks songsang untuk yang diberikan?

Pertama, kita memerlukan konsep matriks terpindah, matriks minor, dan pelengkap algebra bagi unsur matriks.

Definisi.

kecilk-th pesanan matriks A pesanan m pada n ialah penentu bagi matriks tertib k pada k, yang diperoleh daripada unsur-unsur matriks TAPI terletak dalam pilihan k garisan dan k lajur. ( k tidak melebihi bilangan terkecil m atau n).

kecil (n-1) ke tertib, yang terdiri daripada elemen semua baris, kecuali i-th, dan semua lajur kecuali ke-j, matriks segi empat sama TAPI pesanan n pada n mari kita nyatakan sebagai .

Dengan kata lain, minor diperoleh daripada matriks segi empat sama TAPI pesanan n pada n memotong elemen i-th garisan dan ke-j kolum.

Sebagai contoh, mari kita menulis, kecil ke-2 tertib, yang diperoleh daripada matriks pemilihan elemen baris kedua, ketiga dan pertama, lajur ketiga . Kami juga menunjukkan minor, yang diperoleh daripada matriks memadam baris kedua dan lajur ketiga . Mari kita gambarkan pembinaan kanak-kanak bawah umur ini: dan .

Definisi.

Penambahan algebra unsur matriks segi empat sama dipanggil minor (n-1) ke tertib, yang diperoleh daripada matriks TAPI, memadamkan elemennya i-th garisan dan ke-j lajur didarab dengan .

Pelengkap algebra bagi suatu unsur dilambangkan sebagai . Oleh itu, .

Sebagai contoh, untuk matriks pelengkap algebra bagi unsur tersebut ialah .

Kedua, kita memerlukan dua sifat penentu, yang kita bincangkan dalam bahagian ini pengiraan penentu matriks:

Berdasarkan sifat penentu ini, definisi operasi mendarab matriks dengan nombor dan konsep matriks songsang, kita mempunyai kesamaan , di manakah matriks terpindah yang unsurnya ialah pelengkap algebra .

Matriks memang songsang bagi matriks TAPI, sejak persamaan . Jom tunjuk

Jom mengarang algoritma matriks songsang menggunakan persamaan .

Mari analisa algoritma untuk mencari matriks songsang menggunakan contoh.

Contoh.

Diberi matriks . Cari matriks songsang.

Penyelesaian.

Kirakan penentu matriks TAPI, mengembangkannya dengan elemen lajur ketiga:

Penentu bukan sifar, jadi matriks TAPI boleh diterbalikkan.

Mari cari matriks daripada penambahan algebra:

sebab tu

Mari kita laksanakan transposisi matriks daripada penambahan algebra:

Sekarang kita dapati matriks songsang sebagai :

Mari semak hasilnya:

Kesaksamaan dilaksanakan, oleh itu, matriks songsang ditemui dengan betul.

Sifat matriks songsang.

Konsep matriks songsang, kesamaan , takrifan operasi pada matriks, dan sifat penentu sesuatu matriks memungkinkan untuk membuktikan perkara berikut sifat matriks songsang:

Mencari unsur matriks songsang dengan menyelesaikan sistem persamaan algebra linear yang sepadan.

Pertimbangkan cara lain untuk mencari matriks songsang bagi matriks segi empat sama TAPI pesanan n pada n.

Kaedah ini adalah berdasarkan penyelesaian n sistem persamaan algebra tak homogen linear dengan n tidak diketahui. Pembolehubah yang tidak diketahui dalam sistem persamaan ini ialah unsur-unsur matriks songsang.

Ideanya sangat mudah. Nyatakan matriks songsang sebagai X, itu dia, . Oleh kerana mengikut takrifan matriks songsang , maka

Menyamakan elemen yang sepadan dengan lajur, kita dapat n sistem persamaan linear

Kami menyelesaikannya dalam apa jua cara dan membentuk matriks songsang daripada nilai yang ditemui.

Mari analisa kaedah ini dengan contoh.

Contoh.

Diberi matriks . Cari matriks songsang.

Penyelesaian.

Terima . Kesamaan memberi kita tiga sistem persamaan algebra tak homogen linear:

Kami tidak akan menerangkan penyelesaian sistem ini; jika perlu, rujuk bahagian penyelesaian sistem persamaan algebra linear.

Daripada sistem persamaan pertama kita ada , daripada kedua - , daripada ketiga - . Oleh itu, matriks songsang yang dikehendaki mempunyai bentuk . Kami mengesyorkan menyemak untuk memastikan keputusan adalah betul.

rumuskan.

Kami mempertimbangkan konsep matriks songsang, sifatnya dan tiga kaedah untuk mencarinya.

Contoh Penyelesaian Matriks Songsang

Latihan 1. Selesaikan SLAE menggunakan kaedah matriks songsang. 2 x 1 + 3x 2 + 3x 3 + x 4 = 1 3 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 2 5 x 1 + 7x 2 + 6x 3 + 2x 4 = 3 4 x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x4 = 4

Permulaan borang

Tamat borang

Penyelesaian. Mari tulis matriks dalam bentuk: Vektor B: B T = (1,2,3,4) Penentu utama Minor untuk (1,1): = 5 (6 1-3 2)-7 (3 1-3 2) +4 ( 3 2-6 2) = -3 Minor untuk (2,1): = 3 (6 1-3 2) -7 (3 1-3 1)+4 (3 2-6 1) = 0 Minor untuk (3 ,1): = 3 (3 1-3 2)-5 (3 1-3 1)+4 (3 2-3 1) = 3 Minor untuk (4,1): = 3 (3 2- 6 2) -5 (3 2-6 1)+7 (3 2-3 1) = 3 Penentu kecil ∆ = 2 (-3)-3 0+5 3-4 3 = -3

Matriks terpindah Pelengkap algebra ∆ 1.1 = 5 (6 1-2 3)-3 (7 1-2 4)+2 (7 3-6 4) = -3 ∆ 1.2 = -3 (6 1-2 3) -3 (7 1-2 4)+1 (7 3-6 4) = 0 ∆ 1.3 = 3 (3 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3-3 4 ) = 3 ∆ 1.4 = -3 (3 2-2 6) -3 (5 2-2 7)+1 (5 6-3 7) = -3 ∆ 2.1 = -3 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4 )+2 (5 3-6 4) = 9 ∆ 2.2 = 2 (6 1-2 3)-3 (5 1-2 4)+1 (5 3- 6 4) = 0 ∆ 2.3 = -2 (3 1-2 3)-3 (3 1-2 4)+1 (3 3-3 4) = -6 ∆ 2.4 = 2 (3 2- 2 6)-3 (3 2-2 5)+1 (3 6-3 5) = 3 ∆ 3.1 = 3 (7 1-2 4)-5 (5 1-2 4)+2 (5 4 -7 4) = -4 ∆ 3.2 = -2 (7 1-2 4 )-3 (5 1-2 4)+1 (5 4-7 4) = 1 ∆ 3.3 = 2 (5 1 -2 4)-3 (3 1-2 4)+1 (3 4-5 4) = 1 ∆ 3.4 = -2 (5 2-2 7)-3 (3 2-2 5)+1 ( 3 7-5 5) = 0 ∆ 4.1 = -3 (7 3-6 4) -5 (5 3-6 4)+3 (5 4-7 4) = -12 ∆ 4.2 = 2 ( 7 3-6 4) -3 (5 3-6 4) +3 (5 4-7 4) \u003d -3 ∆ 4.3 \u003d -2 (5 3-3 4) -3 (3 3-3 4) +3 (3 4-5 4) = 9 ∆ 4.4 = 2 (5 6-3 7)-3 (3 6- 3 5)+3 (3 7-5 5) = -3 Matriks Songsang Hasil Vektor X X = A -1 ∙ B X T = (2,-1,-0.33.1) x 1 = 2 x 2 = -1 x 3 = -0.33 x 4 = 1

lihat juga Penyelesaian SLAE dengan kaedah matriks songsang dalam talian. Untuk melakukan ini, masukkan data anda dan dapatkan keputusan dengan ulasan terperinci.

Tugasan 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikannya menggunakan matriks songsang. Semak penyelesaian yang diperolehi. Penyelesaian:xml:xls

Contoh 2. Tulis sistem persamaan dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan matriks songsang. Penyelesaian:xml:xls

Contoh. Satu sistem tiga persamaan linear dengan tiga tidak diketahui diberikan. Dikehendaki: 1) cari penyelesaiannya menggunakan Formula Cramer; 2) tulis sistem dalam bentuk matriks dan selesaikan menggunakan kalkulus matriks. Garis panduan. Selepas menyelesaikan dengan kaedah Cramer, cari butang "Penyelesaian matriks songsang untuk data awal". Anda akan menerima keputusan yang sesuai. Oleh itu, data tidak perlu diisi lagi. Penyelesaian. Nyatakan dengan A - matriks pekali untuk yang tidak diketahui; X - matriks lajur yang tidak diketahui; B - matriks-lajur ahli percuma:

Vektor B: B T =(4,-3,-3) Memandangkan tatatanda ini, sistem persamaan ini mengambil bentuk matriks berikut: А*Х = B. Jika matriks А bukan tunggal (penentunya ialah bukan sifar, maka ia mempunyai matriks songsang А -1. Mendarab kedua-dua belah persamaan dengan A -1, kita dapat: A -1 * A * X \u003d A -1 * B, A -1 * A \u003d E. Kesamaan ini dipanggil tatatanda matriks bagi penyelesaian sistem persamaan linear. Untuk mencari penyelesaian kepada sistem persamaan, adalah perlu untuk mengira matriks songsang A -1 . Sistem akan mempunyai penyelesaian jika penentu matriks A adalah bukan sifar. Mari cari penentu utama. ∆=-1 (-2 (-1)-1 1)-3 (3 (-1)-1 0)+2 (3 1-(-2 0))=14 Jadi, penentunya ialah 14 ≠ 0, jadi kita teruskan penyelesaian. Untuk melakukan ini, kita mencari matriks songsang melalui penambahan algebra. Mari kita mempunyai matriks bukan tunggal A:

Kami mengira penambahan algebra.

∆ 1,1 =(-2 (-1)-1 1)=1

∆ 1,2 =-(3 (-1)-0 1)=3

∆ 1,3 =(3 1-0 (-2))=3

∆ 2,1 =-(3 (-1)-1 2)=5

∆ 2,2 =(-1 (-1)-0 2)=1

∆ 2,3 =-(-1 1-0 3)=1

∆ 3,1 =(3 1-(-2 2))=7

∆ 3,2 =-(-1 1-3 2)=7

X T =(-1,1,2) x 1 = -14 / 14 = -1 x 2 = 14 / 14 =1 x 3 = 28 / 14 =2 Peperiksaan. -1 -1+3 1+0 2=4 3 -1+-2 1+1 2=-3 2 -1+1 1+-1 2=-3 doc:xml:xls Jawapan: -1,1,2.

Biarkan terdapat matriks segi empat sama bagi susunan ke-n

Matriks A -1 dipanggil matriks songsang berkenaan dengan matriks A, jika A * A -1 = E, dengan E ialah matriks identiti bagi susunan ke-n.

Matriks identiti- matriks segi empat sama, di mana semua elemen di sepanjang pepenjuru utama, melepasi dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah, adalah satu, dan selebihnya adalah sifar, sebagai contoh:

matriks songsang mungkin wujud hanya untuk matriks segi empat sama mereka. untuk matriks yang mempunyai bilangan baris dan lajur yang sama.

Teorem Keadaan Kewujudan Matriks Songsang

Untuk matriks mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa ia tidak merosot.

Matriks A = (A1, A2,...A n) dipanggil tidak merosot jika vektor lajur adalah bebas linear. Bilangan vektor lajur bebas linear bagi matriks dipanggil pangkat matriks. Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa agar matriks songsang wujud, adalah perlu dan mencukupi bahawa pangkat matriks adalah sama dengan dimensinya, i.e. r = n.

Algoritma untuk mencari matriks songsang

Tulis matriks A dalam jadual untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss dan di sebelah kanan (sebagai ganti bahagian kanan persamaan) tetapkan matriks E kepadanya.
Menggunakan transformasi Jordan, bawa matriks A kepada matriks yang terdiri daripada lajur tunggal; dalam kes ini, adalah perlu untuk mengubah matriks E secara serentak.
Jika perlu, susun semula baris (persamaan) jadual terakhir supaya matriks identiti E diperoleh di bawah matriks A jadual asal.
Tulis matriks songsang A -1, yang berada dalam jadual terakhir di bawah matriks E jadual asal.

Contoh 1

Untuk matriks A, cari matriks songsang A -1

Penyelesaian: Kami menulis matriks A dan di sebelah kanan kami menetapkan matriks identiti E. Dengan menggunakan transformasi Jordan, kami mengurangkan matriks A kepada matriks identiti E. Pengiraan ditunjukkan dalam Jadual 31.1.

Mari kita semak ketepatan pengiraan dengan mendarab matriks asal A dan matriks songsang A -1.

Hasil daripada pendaraban matriks, matriks identiti diperolehi. Oleh itu, pengiraan adalah betul.

Jawapan:

Penyelesaian persamaan matriks

Persamaan matriks boleh kelihatan seperti:

AX = B, XA = B, AXB = C,

di mana A, B, C diberi matriks, X ialah matriks yang dikehendaki.

Persamaan matriks diselesaikan dengan mendarabkan persamaan dengan matriks songsang.

Sebagai contoh, untuk mencari matriks daripada persamaan, anda perlu mendarabkan persamaan ini dengan di sebelah kiri.

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada persamaan, anda perlu mencari matriks songsang dan mendarabkannya dengan matriks di sebelah kanan persamaan.

Persamaan lain diselesaikan dengan cara yang sama.

Contoh 2

Selesaikan persamaan AX = B jika

Penyelesaian: Oleh kerana songsangan matriks adalah sama (lihat contoh 1)

Kaedah matriks dalam analisis ekonomi

Bersama-sama dengan yang lain, mereka juga mencari aplikasi kaedah matriks. Kaedah ini adalah berdasarkan algebra linear dan vektor-matriks. Kaedah sedemikian digunakan untuk tujuan menganalisis fenomena ekonomi yang kompleks dan multidimensi. Selalunya, kaedah ini digunakan apabila perlu untuk membandingkan fungsi organisasi dan bahagian strukturnya.

Dalam proses mengaplikasikan kaedah analisis matriks, beberapa peringkat boleh dibezakan.

Pada peringkat pertama pembentukan sistem penunjuk ekonomi dijalankan dan berdasarkannya matriks data awal disusun, iaitu jadual di mana nombor sistem ditunjukkan dalam baris individunya (i = 1,2,....,n), dan sepanjang graf menegak - bilangan penunjuk (j = 1,2,....,m).

Pada peringkat kedua untuk setiap lajur menegak, nilai terbesar yang tersedia bagi penunjuk didedahkan, yang diambil sebagai satu unit.

Selepas itu, semua jumlah yang ditunjukkan dalam lajur ini dibahagikan dengan nilai terbesar dan matriks pekali piawai terbentuk.

Pada peringkat ketiga semua komponen matriks adalah kuasa dua. Sekiranya mereka mempunyai kepentingan yang berbeza, maka setiap penunjuk matriks diberikan pekali pemberat tertentu k. Nilai yang terakhir ditentukan oleh pakar.

Pada yang terakhir peringkat keempat nilai penilaian yang ditemui Rj dikumpulkan mengikut urutan meningkat atau menurun.

Kaedah matriks di atas harus digunakan, sebagai contoh, dalam analisis perbandingan pelbagai projek pelaburan, serta dalam menilai penunjuk prestasi ekonomi organisasi yang lain.

Matriks $A^(-1)$ dipanggil songsangan bagi matriks segi empat sama $A$ jika $A^(-1)\cdot A=A\cdot A^(-1)=E$, dengan $E $ ialah matriks identiti, susunan yang sama dengan susunan matriks $A$.

Matriks bukan tunggal ialah matriks yang penentunya tidak sama dengan sifar. Oleh itu, matriks merosot adalah matriks yang penentunya sama dengan sifar.

Matriks songsang $A^(-1)$ wujud jika dan hanya jika matriks $A$ bukan tunggal. Jika matriks songsang $A^(-1)$ wujud, maka ia adalah unik.

Terdapat beberapa cara untuk mencari songsangan matriks, dan kita akan melihat dua daripadanya. Halaman ini akan membincangkan kaedah matriks bersebelahan, yang dianggap standard dalam kebanyakan kursus matematik yang lebih tinggi. Cara kedua untuk mencari matriks songsang (kaedah penjelmaan asas), yang melibatkan penggunaan kaedah Gauss atau kaedah Gauss-Jordan, dipertimbangkan dalam bahagian kedua.

Kaedah matriks bersebelahan (kesatuan).

Biarkan matriks $A_(n\times n)$ diberikan. Untuk mencari matriks songsang $A^(-1)$, tiga langkah diperlukan:

Cari penentu bagi matriks $A$ dan pastikan bahawa $\Delta A\neq 0$, i.e. bahawa matriks A adalah tidak merosot.
Susun pelengkap algebra $A_(ij)$ setiap elemen matriks $A$ dan tuliskan matriks $A_(n\kali n)^(*)=\kiri(A_(ij) \kanan)$ daripada yang ditemui pelengkap algebra.
Tulis matriks songsang dengan mengambil kira formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$.

Matriks $(A^(*))^T$ sering dirujuk sebagai matriks bersebelahan (mutual, allied) $A$.

Jika keputusan dibuat secara manual, maka kaedah pertama adalah baik hanya untuk matriks pesanan yang agak kecil: kedua (), ketiga (), keempat (). Untuk mencari matriks songsang bagi matriks tertib lebih tinggi, kaedah lain digunakan. Sebagai contoh, kaedah Gauss, yang dibincangkan dalam bahagian kedua.

Contoh #1

Cari songsang matriks kepada matriks $A=\left(\begin(array) (cccc) 5 & -4 &1 & 0 \\ 12 &-11 &4 & 0 \\ -5 & 58 &4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Oleh kerana semua elemen lajur keempat adalah sama dengan sifar, maka $\Delta A=0$ (iaitu matriks $A$ merosot). Oleh kerana $\Delta A=0$, tiada matriks songsang kepada $A$.

Contoh #2

Cari songsang matriks kepada matriks $A=\left(\begin(array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \end(array)\right)$.

Kami menggunakan kaedah matriks bersebelahan. Mula-mula, mari kita cari penentu bagi matriks yang diberi $A$:

$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(array)\right|=-5\cdot 8-7\cdot 9=-103. $$

Oleh kerana $\Delta A \neq 0$, maka matriks songsang wujud, jadi kami meneruskan penyelesaiannya. Mencari Pelengkap Algebra

\begin(aligned) & A_(11)=(-1)^2\cdot 8=8; \; A_(12)=(-1)^3\cdot 9=-9;\\ & A_(21)=(-1)^3\cdot 7=-7; \; A_(22)=(-1)^4\cdot (-5)=-5.\\ \end(diselaraskan)

Susun matriks pelengkap algebra: $A^(*)=\left(\begin(array) (cc) 8 & -9\\ -7 & -5 \end(array)\right)$.

Ubah matriks yang terhasil: $(A^(*))^T=\left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\right)$ (yang terhasil matriks sering dipanggil matriks bersebelahan atau kesatuan kepada matriks $A$). Menggunakan formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita ada:

$$ A^(-1)=\frac(1)(-103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \end(array)\kanan) =\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\kanan) $$

Jadi matriks songsang ditemui: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array) \kanan) $. Untuk menyemak kebenaran keputusan, sudah cukup untuk menyemak kebenaran salah satu kesamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita semak kesamaan $A^(-1)\cdot A=E$. Untuk mengurangkan penggunaan pecahan, kami akan menggantikan matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \ end(array)\kanan)$ tetapi sebagai $-\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(array) (cc) 8 & -7\\ -9 & -5 \ end(array )\kanan)$:

Jawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cc) -8/103 & 7/103\\ 9/103 & 5/103 \end(array)\kanan)$.

Contoh #3

Cari songsangan bagi matriks $A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \right)$.

Mari kita mulakan dengan mengira penentu matriks $A$. Jadi, penentu matriks $A$ ialah:

$$ \Delta A=\kiri| \begin(array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2\end(array) \kanan| = 18-36+56-12=26. $$

Oleh kerana $\Delta A\neq 0$, maka matriks songsang wujud, jadi kami meneruskan penyelesaiannya. Kami mencari pelengkap algebra bagi setiap elemen matriks yang diberikan:

Kami menyusun matriks penambahan algebra dan mengubahnya:

$$ A^*=\left(\begin(array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37\end(array) \right); \; (A^*)^T=\left(\begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right) $$

Menggunakan formula $A^(-1)=\frac(1)(\Delta A)\cdot (A^(*))^T$, kita dapat:

$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\mula(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \tamat(tatasusunan) \kanan) $$

Jadi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \tamat(tatasusunan) \kanan)$. Untuk menyemak kebenaran keputusan, sudah cukup untuk menyemak kebenaran salah satu kesamaan: $A^(-1)\cdot A=E$ atau $A\cdot A^(-1)=E$. Mari kita semak kesamaan $A\cdot A^(-1)=E$. Untuk mengurangkan penggunaan pecahan, kami akan menggantikan matriks $A^(-1)$ bukan dalam bentuk $\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \end(array) \right)$, tetapi sebagai $\frac(1)(26)\ cdot \left( \begin(array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(array) \right)$:

Cek telah berjaya diluluskan, matriks songsang $A^(-1)$ ditemui dengan betul.

Jawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 /13 & -3/26 & 37/26 \tamat(tatasusunan) \kanan)$.

Contoh #4

Cari songsang matriks bagi $A=\left(\begin(array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4\\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7\\ -4 & 8 & -8 & -3 \end(array) \right)$.

Untuk matriks tertib keempat, mencari matriks songsang menggunakan penambahan algebra agak sukar. Walau bagaimanapun, contoh sedemikian terdapat dalam kerja kawalan.

Untuk mencari matriks songsang, mula-mula anda perlu mengira penentu matriks $A$. Cara terbaik untuk melakukan ini dalam situasi ini ialah mengembangkan penentu dalam satu baris (lajur). Kami memilih mana-mana baris atau lajur dan mencari pelengkap algebra bagi setiap elemen baris atau lajur yang dipilih.

Kaedah mencari matriks songsang, . Pertimbangkan matriks segi empat sama

Nyatakan Δ = det A.

Matriks persegi A dipanggil tidak merosot, atau tidak istimewa jika penentunya bukan sifar, dan merosot, atau istimewa, jikaΔ = 0.

Matriks segi empat sama B wujud untuk matriks segi empat sama A dengan susunan yang sama jika hasil darabnya A B = B A = E, dengan E ialah matriks identiti susunan yang sama dengan matriks A dan B.

Teorem . Untuk membolehkan matriks A mempunyai matriks songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa penentunya adalah bukan sifar.

Matriks songsang kepada matriks A, dilambangkan dengan A- 1 jadi B = A - 1 dan dikira dengan formula

, (1)

di mana А i j - pelengkap algebra bagi unsur a i j bagi matriks A..

Mengira A -1 dengan formula (1) untuk matriks tertib tinggi adalah sangat sukar, jadi dalam praktiknya adalah mudah untuk mencari A -1 menggunakan kaedah penjelmaan asas (EP). Mana-mana matriks bukan tunggal A boleh dikurangkan dengan EP bagi lajur sahaja (atau baris sahaja) kepada matriks identiti E. Jika EP yang dilakukan pada matriks A digunakan dalam susunan yang sama kepada matriks identiti E, maka hasilnya ialah matriks songsang. Adalah mudah untuk melakukan EP pada matriks A dan E secara serentak, menulis kedua-dua matriks sebelah menyebelah melalui garisan. Kami perhatikan sekali lagi bahawa apabila mencari bentuk kanonik matriks, untuk mencarinya, seseorang boleh menggunakan transformasi baris dan lajur. Jika anda perlu mencari matriks songsang, anda harus menggunakan hanya baris atau lajur sahaja dalam proses transformasi.

Contoh 2.10. Untuk matriks cari A -1 .

Penyelesaian.Mula-mula kita cari penentu bagi matriks A
jadi matriks songsang wujud dan kita boleh mencarinya dengan formula: , dengan A i j (i,j=1,2,3) - pelengkap algebra bagi unsur a i j bagi matriks asal.

di mana .

Contoh 2.11. Dengan menggunakan kaedah penjelmaan asas, cari A -1 untuk matriks: A=.

Penyelesaian.Kami menetapkan matriks identiti dengan susunan yang sama kepada matriks asal di sebelah kanan: . Dengan bantuan transformasi lajur asas, kami mengurangkan "separuh" kiri kepada identiti satu, pada masa yang sama melakukan transformasi sedemikian pada matriks kanan.
Untuk melakukan ini, tukar lajur pertama dan kedua: ~ . Kami menambah yang pertama ke lajur ketiga, dan yang pertama didarab dengan -2 kepada yang kedua: . Dari lajur pertama kita tolak kedua dua kali ganda, dan dari yang ketiga - yang kedua didarab dengan 6; . Mari tambahkan lajur ketiga pada lajur pertama dan kedua: . Darab lajur terakhir dengan -1: . Matriks segi empat sama yang diperoleh di sebelah kanan bar menegak ialah matriks songsang kepada matriks A yang diberi. Jadi,
.

Pada bahagian pertama, kaedah mencari matriks songsang menggunakan penambahan algebra telah dipertimbangkan. Di sini kami menerangkan kaedah lain untuk mencari matriks songsang: menggunakan penjelmaan Gauss dan Gauss-Jordan. Selalunya kaedah mencari matriks songsang ini dipanggil kaedah transformasi asas.

Kaedah transformasi asas

Untuk menggunakan kaedah ini, matriks $A$ yang diberi dan matriks identiti $E$ ditulis ke dalam satu matriks, i.e. membentuk matriks dalam bentuk $(A|E)$ (matriks ini juga dipanggil matriks lanjutan). Selepas itu, dengan bantuan transformasi asas yang dilakukan dengan baris matriks yang dikembangkan, matriks di sebelah kiri garisan menjadi kesatuan, dan matriks yang dikembangkan mengambil bentuk $\left(E| A^(-1) \right )$. Transformasi asas dalam situasi ini termasuk tindakan berikut:

Menggantikan dua baris.
Mendarab semua elemen rentetan dengan beberapa nombor bukan sifar.
Menambah pada elemen satu baris elemen yang sepadan dengan baris lain, didarab dengan sebarang faktor.

Transformasi asas ini boleh digunakan dengan cara yang berbeza. Biasanya, kaedah Gauss atau kaedah Gauss-Jordan dipilih. Secara amnya, kaedah Gauss dan Gauss-Jordan bertujuan untuk menyelesaikan sistem persamaan algebra linear, dan bukan untuk mencari matriks songsang. Frasa "menggunakan kaedah Gauss untuk mencari songsangan matriks" harus difahami di sini sebagai "menggunakan operasi yang wujud dalam kaedah Gauss untuk mencari songsangan matriks."

Penomboran contoh diteruskan dari bahagian pertama. Dalam contoh dan penggunaan kaedah Gauss untuk mencari matriks songsang dipertimbangkan, dan dalam contoh dan penggunaan kaedah Gauss-Jordan dianalisis. Perlu diingatkan bahawa jika semasa penyelesaian semua elemen beberapa baris atau lajur matriks yang terletak sebelum garisan ditetapkan kepada sifar, maka matriks songsang tidak wujud.

Contoh #5

Cari matriks $A^(-1)$ jika $A=\left(\begin(array) (ccc) 7 & 4 & 6 \\ 2 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 \end( array )\kanan)$.

Dalam contoh ini, matriks songsang akan ditemui menggunakan kaedah Gaussian. Matriks tambahan, yang biasanya $(A|E)$, dalam contoh ini mengambil bentuk berikut: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & -4 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \end(array) \right)$.

Tujuan: menggunakan penjelmaan asas, bawa matriks tambahan kepada bentuk $\left(E|A^(-1) \right)$. Kami menggunakan operasi yang sama yang digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Gauss. Untuk menggunakan kaedah Gaussian, adalah mudah apabila elemen pertama baris pertama matriks dikembangkan adalah satu. Untuk mencapai matlamat ini, kami menukar baris pertama dan ketiga matriks yang dikembangkan, yang menjadi: $ \left(\begin(array) (ccc|ccc) 1 & -1 & 3 & 0 & 0 & 1 \\ 2 & 5 & - 4 & 0 & 1 & 0 \\ 7 & 4 & 6 & 1 & 0 & 0 \end(array) \kanan)$.

Sekarang mari kita dapatkan penyelesaiannya. Kaedah Gauss dibahagikan kepada dua peringkat: ke hadapan dan ke belakang (huraian terperinci kaedah ini untuk menyelesaikan sistem persamaan diberikan dalam contoh topik yang sepadan). Dua langkah yang sama akan digunakan dalam proses mencari matriks songsang.

lejang ke hadapan

Langkah pertama

Dengan bantuan baris pertama, kami menetapkan semula elemen lajur pertama yang terletak di bawah baris pertama:

Izinkan saya mengulas sedikit tentang apa yang saya lakukan. Notasi $II-2\cdot I$ bermaksud unsur-unsur yang sepadan bagi baris pertama, sebelum ini didarab dengan dua, telah ditolak daripada unsur-unsur baris kedua. Tindakan ini boleh ditulis secara berasingan seperti berikut:

Tindakan $III-7\cdot I$ dilakukan dengan cara yang sama. Jika terdapat kesukaran untuk melaksanakan operasi ini, ia boleh dilakukan secara berasingan (begitu juga dengan tindakan $II-2\cdot I$ yang ditunjukkan di atas), dan hasilnya kemudiannya dimasukkan ke dalam matriks yang diperluaskan.

Langkah kedua

Dengan bantuan baris kedua, kami menetapkan semula elemen lajur kedua, yang terletak di bawah baris kedua:

Bahagikan baris ketiga dengan 5:

Larian lurus sudah tamat. Semua elemen yang terletak di bawah pepenjuru utama matriks sehingga garisan telah ditetapkan semula kepada sifar.

terbalik

Langkah pertama

Dengan bantuan baris ketiga, kami menetapkan semula elemen lajur ketiga yang terletak di atas baris ketiga:

Sebelum beralih ke langkah seterusnya, bahagikan baris kedua sebanyak $7:

Langkah kedua

Dengan bantuan baris kedua, kami menetapkan semula elemen lajur kedua yang terletak di atas baris kedua:

Penjelmaan selesai, matriks songsang didapati dengan kaedah Gaussian: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \ \ 7/5 & -11/5 & -27/5 \end(array) \kanan)$. Semakan, jika perlu, boleh dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam contoh sebelumnya. Jika anda melangkau semua penjelasan, maka penyelesaiannya akan berbentuk:

Jawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) -11/5 & 18/5 & 46/5 \\ 2 & -3 & -8 \\ 7/5 & -11/ 5 & 27/5 \end(array) \right)$.

Contoh #6

Cari matriks $A^(-1)$ jika $A=\left(\begin(array) (cccc) -5 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 \\ 0 & 7 & - 4 & -3 \\ 1 & 4 & 0 & 6 \end(array) \right)$.

Untuk mencari matriks songsang dalam contoh ini, kita akan menggunakan operasi yang sama yang digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan kaedah Gauss. Penjelasan terperinci diberikan, tetapi di sini kami menghadkan diri kepada ulasan ringkas. Mari tulis matriks tambahan: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \end(array) \right)$. Tukar baris pertama dan keempat matriks ini: $\left(\begin(array) (cccc|cccc) 1 & 4 & 0 & 6 &0 &0 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & -2 & 1 &0 &1&0 &0 \ \ 0 & 7 & -4 & -3 &0 & 0 & 1 & 0\\ -5 & 4 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$.

lejang ke hadapan

Transformasi larian ke hadapan selesai. Semua elemen yang terletak di bawah pepenjuru utama matriks di sebelah kiri garisan ditetapkan kepada sifar.

terbalik

Songsang Gaussian ditemui, $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & - 117/ 16 & 49/16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \ akhir( tatasusunan)\kanan)$. Semakan, jika perlu, dijalankan dengan cara yang sama seperti dalam contoh No. 2 dan No. 3.

Jawab: $A^(-1)=\left(\begin(array) (cccc) -13/14 & -75/8 & 31/8 & 7/2 \\ -19/8 & -117/16 & 49 /16 & 11/4 \\ -23/4 & -141/8 & 57/8 & 13/2 \\ 17/8 & 103/6 & -43/16 & -9/4 \end(array) \ betul)$.

Contoh #7

Cari matriks $A^(-1)$ jika $A=\left(\begin(array) (ccc) 2 & 3 & 4 \\ 7 & 1 & 9 \\ -4 & 5 & -2 \end( array )\kanan)$.

Untuk mencari matriks songsang, kami menggunakan ciri operasi kaedah Gauss-Jordan. Perbezaan daripada kaedah Gaussian, dipertimbangkan dalam contoh sebelumnya dan , ialah penyelesaian dijalankan dalam satu peringkat. Izinkan saya mengingatkan anda bahawa kaedah Gauss dibahagikan kepada 2 peringkat: pergerakan ke hadapan ("kami membuat" sifar di bawah pepenjuru utama matriks ke bar) dan langkah terbalik (kami menetapkan semula elemen di atas pepenjuru utama matriks ke bar). Untuk mengira matriks songsang dengan kaedah Gauss-Jordan, dua peringkat penyelesaian tidak diperlukan. Mula-mula, mari kita buat matriks tambahan: $(A|E)$:

$$ (A|E)=\left(\begin(array) (ccc|ccc) 2 & 3 & 4 & 1 & 0 & 0\\ 7 & 1 & 9 & 0 & 1 & 0\\ -4 & 5 & 2 &0 & 0 & 1 \end(array) \right) $$

Langkah pertama

Tetapkan semua elemen lajur pertama kepada sifar kecuali satu. Dalam lajur pertama, semua elemen adalah bukan sifar, jadi kita boleh memilih mana-mana elemen. Ambil, sebagai contoh, $(-4)$:

Elemen yang dipilih $(-4)$ berada di baris ketiga, jadi kami menggunakan baris ketiga untuk menyifarkan elemen yang dipilih bagi lajur pertama:

Mari kita jadikan elemen pertama baris ketiga sama dengan satu. Untuk melakukan ini, kami membahagikan elemen baris ketiga matriks dikembangkan dengan $(-4)$:

Sekarang mari kita mulakan sifar elemen yang sepadan bagi lajur pertama:

Dalam langkah selanjutnya, baris ketiga tidak lagi boleh digunakan, kerana kami telah menggunakannya dalam langkah pertama.

Langkah kedua

Mari pilih beberapa elemen bukan sifar lajur kedua dan tetapkan semua elemen lain lajur kedua kepada sifar. Kita boleh memilih salah satu daripada dua elemen: $\frac(11)(2)$ atau $\frac(39)(4)$. Elemen $\left(-\frac(5)(4) \right)$ tidak boleh dipilih kerana ia terletak dalam baris ketiga, yang kami gunakan dalam langkah sebelumnya. Mari pilih elemen $\frac(11)(2)$, yang berada di baris pertama. Mari kita tukar $\frac(11)(2)$ kepada satu dalam baris pertama:

Sekarang mari kita tetapkan elemen sepadan lajur kedua kepada sifar:

Dalam penaakulan lanjut, baris pertama tidak boleh digunakan.

Langkah ketiga

Ia adalah perlu untuk menetapkan semula semua elemen lajur ketiga kecuali satu. Kita perlu memilih beberapa elemen bukan sifar lajur ketiga. Walau bagaimanapun, kami tidak boleh mengambil $\frac(6)(11)$ atau $\frac(13)(11)$ kerana elemen tersebut berada dalam baris pertama dan ketiga yang kami gunakan sebelum ini. Pilihannya adalah kecil: hanya elemen $\frac(2)(11)$ yang tinggal, iaitu dalam baris kedua. Bahagikan semua elemen baris kedua dengan $\frac(2)(11)$:

Sekarang mari kita tetapkan elemen sepadan lajur ketiga kepada sifar:

Transformasi oleh kaedah Gauss-Jordan telah selesai. Ia kekal hanya untuk menjadikan matriks sehingga garisan menjadi unit. Untuk melakukan ini, anda perlu menukar susunan baris. Pertama, tukar baris pertama dan ketiga:

$$ \kiri(\mulakan(susun) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & -5/2 \tamat(tatasusunan) \kanan) $$

Sekarang mari kita tukar baris kedua dan ketiga:

$$ \kiri(\mulakan(susun) (ccc|ccc) 1 & 0 & 0 & 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 0 & 1 & 0 & 11/2 & -3 & - 5/2 \\ 0 & 0 & 1 & -39/4 & 11/2 & 19/4 \tamat(tatasusunan) \kanan) $$

Jadi $A^(-1)=\left(\begin(array) (ccc) 47/4 & -13/2 & -23/4 \\ 11/2 & -3 & -5/2 \\ - 39 /4 & 11/2 & 19/4 \end(array) \right)$. Sememangnya, penyelesaian boleh dilakukan dengan cara yang berbeza, memilih unsur-unsur pada pepenjuru utama. Biasanya ini adalah apa yang mereka lakukan, kerana dalam kes ini, pada akhir penyelesaian, garisan tidak perlu ditukar. Saya memberikan penyelesaian sebelumnya untuk satu tujuan sahaja: untuk menunjukkan bahawa pilihan baris pada setiap langkah bukanlah asas. Jika kita memilih unsur pepenjuru pada setiap langkah, maka penyelesaiannya adalah seperti berikut.