Purata dalam matematik nilai aritmetik nombor (atau hanya purata) ialah jumlah semua nombor dalam set ini dibahagikan dengan bilangan mereka. Ini adalah konsep yang paling umum dan meluas. saiz sederhana. Seperti yang telah anda fahami, untuk mencari anda perlu merumuskan semua nombor yang diberikan kepada anda, dan membahagikan hasilnya dengan bilangan istilah.

Apakah maksud aritmetik?

Mari kita lihat satu contoh.

Contoh 1. Nombor diberikan: 6, 7, 11. Anda perlu mencari nilai puratanya.

Penyelesaian.

Pertama, mari kita cari jumlah semua nombor yang diberikan.

Sekarang kita membahagikan jumlah yang terhasil dengan bilangan istilah. Oleh kerana kita mempunyai tiga penggal, masing-masing, kita akan bahagikan dengan tiga.

Oleh itu, purata bagi 6, 7, dan 11 ialah 8. Mengapa 8? Ya, kerana jumlah 6, 7 dan 11 akan sama dengan tiga lapan. Ini jelas dilihat dalam ilustrasi.

Nilai purata agak mengingatkan "penjajaran" siri nombor. Seperti yang anda lihat, longgokan pensel telah menjadi satu tahap.

Pertimbangkan contoh lain untuk menyatukan pengetahuan yang diperoleh.

Contoh 2 Nombor diberikan: 3, 7, 5, 13, 20, 23, 39, 23, 40, 23, 14, 12, 56, 23, 29. Anda perlu mencari min aritmetiknya.

Penyelesaian.

Kami dapati jumlahnya.

3 + 7 + 5 + 13 + 20 + 23 + 39 + 23 + 40 + 23 + 14 + 12 + 56 + 23 + 29 = 330

Bahagikan dengan bilangan istilah (dalam kes ini, 15).

Oleh itu, nilai purata bagi siri nombor ini ialah 22.

Sekarang pertimbangkan nombor negatif. Mari kita ingat bagaimana untuk merumuskannya. Sebagai contoh, anda mempunyai dua nombor 1 dan -4. Mari cari jumlah mereka.

1 + (-4) = 1 - 4 = -3

Mengetahui ini, pertimbangkan contoh lain.

Contoh 3 Cari nilai purata bagi satu siri nombor: 3, -7, 5, 13, -2.

Penyelesaian.

Mencari hasil tambah nombor.

3 + (-7) + 5 + 13 + (-2) = 12

Oleh kerana terdapat 5 sebutan, kita bahagikan jumlah yang terhasil dengan 5.

Oleh itu, min aritmetik bagi nombor 3, -7, 5, 13, -2 ialah 2.4.

Dalam masa kemajuan teknologi kita, ia adalah lebih mudah untuk digunakan untuk mencari nilai purata program komputer. Microsoft Office Excel adalah salah satu daripadanya. Mencari purata dalam Excel adalah cepat dan mudah. Selain itu, program ini disertakan dalam pakej perisian dari Microsoft Office. Pertimbangkan arahan ringkas, nilai menggunakan program ini.

Untuk mengira nilai purata bagi satu siri nombor, anda mesti menggunakan fungsi AVERAGE. Sintaks untuk fungsi ini ialah:
=Purata(hujah1, hujah2, ... hujah255)
di mana argument1, argument2, ... argument255 ialah sama ada nombor atau rujukan sel (sel bermakna julat dan tatasusunan).

Untuk lebih jelas, mari kita uji ilmu yang diperoleh.

1. Masukkan nombor 11, 12, 13, 14, 15, 16 dalam sel C1 - C6.
2. Pilih sel C7 dengan mengklik padanya. Dalam sel ini, kami akan memaparkan nilai purata.
3. Klik pada tab "Formula".
4. Pilih Lagi Fungsi > Statistik untuk dibuka
5. Pilih PURATA. Selepas itu, kotak dialog akan dibuka.
6. Pilih dan seret sel C1-C6 ke sana untuk menetapkan julat dalam kotak dialog.
7. Sahkan tindakan anda dengan butang "OK".
8. Jika anda melakukan semuanya dengan betul, dalam sel C7 anda sepatutnya mempunyai jawapan - 13.7. Apabila anda mengklik pada sel C7, fungsi (=Purata(C1:C6)) akan dipaparkan dalam bar formula.

Ia amat berguna untuk menggunakan fungsi ini untuk perakaunan, invois atau apabila anda hanya perlu mencari purata julat nombor yang sangat panjang. Oleh itu, ia sering digunakan di pejabat dan syarikat besar. Ini membolehkan anda menyimpan rekod dengan teratur dan memungkinkan untuk mengira sesuatu dengan cepat (contohnya, purata pendapatan sebulan). Juga dengan menggunakan Excel anda boleh mencari nilai min bagi fungsi tersebut.

Bagaimana untuk mengira purata nombor dalam Excel

Cari min nombor aritmetik dalam Excel, anda boleh menggunakan .

Sintaks PURATA

=PURATA(nombor1,[nombor2],…) - Versi Rusia

Hujah AVERAGE

• nombor 1- nombor pertama atau julat nombor, untuk mengira min aritmetik;
• nombor2(Pilihan) – nombor kedua atau julat nombor untuk mengira min aritmetik. Jumlah maksimum hujah fungsi - 255.

Untuk mengira, lakukan langkah berikut:

• Pilih mana-mana sel;
• Tulis formula di dalamnya =PURATA(
• Pilih julat sel yang anda ingin buat pengiraan;
• Tekan kekunci "Enter" pada papan kekunci

Fungsi ini akan mengira nilai purata dalam julat yang ditentukan antara sel yang mengandungi nombor.

Bagaimana untuk mencari nilai purata teks yang diberikan

Jika terdapat baris atau teks kosong dalam julat data, maka fungsi itu menganggapnya sebagai "sifar". Jika data mengandungi ungkapan boolean FALSE atau TRUE, maka fungsi tersebut menganggap FALSE sebagai “sifar” dan TRUE sebagai “1”.

Bagaimana untuk mencari min aritmetik mengikut keadaan

Fungsi ini digunakan untuk mengira purata mengikut keadaan atau kriteria. Sebagai contoh, katakan kami mempunyai data jualan produk:

Tugas kami ialah mengira purata jualan pen. Untuk melakukan ini, kami akan mengambil langkah berikut:

• Dalam sel A13 tulis nama produk "Pens";
• Dalam sel B13 mari kita masukkan formula:

=PURATA(A2:A10,A13,B2:B10)

Julat sel " A2:A10” menunjuk pada senarai produk yang akan kami cari perkataan “Pens”. Hujah A13 ini ialah pautan ke sel dengan teks yang akan kami cari di antara keseluruhan senarai produk. Julat sel " B2:B10” ialah julat dengan data jualan produk, antaranya fungsi akan mencari “Pen” dan mengira nilai purata.

Nilai purata ialah penunjuk generalisasi yang mencirikan tahap tipikal fenomena. Ia menyatakan nilai atribut, yang berkaitan dengan unit populasi.

Nilai purata ialah:

1) nilai paling tipikal atribut untuk populasi;

2) jumlah tanda penduduk, diagihkan sama rata di antara unit penduduk.

Ciri yang mana nilai purata dikira dipanggil "purata" dalam statistik.

Purata sentiasa menyamaratakan variasi kuantitatif sifat, i.e. dibayar balik dalam jumlah purata perbezaan individu unit populasi disebabkan oleh keadaan rawak. Tidak seperti rata-rata nilai mutlak, yang mencirikan tahap atribut unit berasingan populasi, tidak membenarkan membandingkan nilai atribut untuk unit kepunyaan populasi yang berbeza. Jadi, jika anda perlu membandingkan tahap imbuhan pekerja di dua perusahaan, maka anda tidak boleh membandingkan dua pekerja dari perusahaan yang berbeza atas dasar ini. Upah pekerja yang dipilih untuk perbandingan mungkin tidak tipikal untuk perusahaan ini. Jika kita membandingkan saiz dana gaji di perusahaan yang sedang dipertimbangkan, maka bilangan pekerja tidak diambil kira dan, oleh itu, adalah mustahil untuk menentukan di mana tahap gaji lebih tinggi. Akhirnya, hanya purata boleh dibandingkan, i.e. Berapakah purata pendapatan seorang pekerja dalam setiap syarikat? Oleh itu, terdapat keperluan untuk mengira nilai purata sebagai ciri umum populasi.

Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam proses purata, nilai agregat tahap atribut atau nilai akhirnya (dalam kes mengira tahap purata dalam siri masa) mesti kekal tidak berubah. Dalam erti kata lain, apabila mengira nilai purata, isipadu sifat yang dikaji tidak seharusnya diherotkan, dan ungkapan yang dibuat semasa mengira purata mesti semestinya masuk akal.

Mengira purata ialah satu teknik generalisasi biasa; purata menafikan perkara biasa (tipikal) untuk semua unit populasi yang dikaji, pada masa yang sama, dia mengabaikan perbezaan antara unit individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya terdapat gabungan peluang dan keperluan. Apabila mengira purata berdasarkan kuasa undang-undang nombor besar kemalangan saling dibatalkan, seimbang, oleh itu adalah mungkin untuk mengabstrak daripada ciri-ciri fenomena yang tidak penting, daripada nilai kuantitatif ciri dalam setiap kes tertentu. Dalam keupayaan untuk mengabstraksi dari rawak nilai individu, turun naik dan pembohongan nilai saintifik purata sebagai ciri umum populasi.

Agar purata benar-benar menaip, ia mesti dikira dengan mengambil kira prinsip tertentu.

Mari kita fikirkan beberapa perkara prinsip umum penggunaan purata.

1. Purata harus ditentukan untuk populasi yang terdiri daripada unit homogen secara kualitatif.

2. Purata perlu dikira untuk populasi yang terdiri daripada bilangan unit yang cukup besar.

3. Purata harus dikira untuk populasi, unit yang berada dalam keadaan normal, semula jadi.

4. Purata perlu dikira dengan mengambil kira kandungan ekonomi penunjuk yang dikaji.

5.2. Jenis purata dan kaedah untuk mengiranya

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis purata, ciri pengiraannya dan kawasan penggunaannya. Nilai purata dibahagikan kepada dua kelas besar: purata kuasa, purata struktur.

Purata undang-undang kuasa termasuk jenis yang paling terkenal dan biasa digunakan, seperti min geometri, min aritmetik dan min kuasa dua.

Mod dan median dianggap sebagai purata struktur.

Marilah kita memikirkan purata kuasa. Purata kuasa, bergantung pada pembentangan data awal, boleh menjadi mudah dan berwajaran. purata sederhana dikira daripada data tidak terkumpul dan mempunyai bentuk umum berikut:

,

di mana X i ialah varian (nilai) ciri purata;

n ialah bilangan pilihan.

Purata berwajaran dikira oleh data berkumpulan dan mempunyai bentuk umum

,

di mana X i ialah varian (nilai) ciri purata atau nilai tengah selang di mana varian diukur;

m ialah eksponen bagi min;

f i - kekerapan menunjukkan berapa kali ia berlaku nilai ke-i tanda purata.

Jika kita mengira semua jenis purata untuk data awal yang sama, maka nilainya tidak akan sama. Di sini peraturan majoriti purata digunakan: dengan peningkatan dalam eksponen m, nilai purata yang sepadan juga meningkat:

Dalam amalan statistik, lebih kerap daripada jenis purata wajaran lain, purata wajaran aritmetik dan harmonik digunakan.

Jenis-jenis Cara Kuasa

Jenis kuasa tengah	Indeks darjah (m)	Formula pengiraan
		Mudah	berwajaran
harmonik
Geometrik
Aritmetik
kuadratik
padu

Min harmonik mempunyai struktur yang lebih kompleks daripada min aritmetik. Min harmonik digunakan untuk pengiraan apabila pemberat bukan unit populasi - pembawa sifat, tetapi hasil darab unit ini dan nilai sifat (iaitu m = Xf). Purata masa henti harmonik harus digunakan dalam kes menentukan, sebagai contoh, purata kos buruh, masa, bahan seunit pengeluaran, setiap bahagian untuk dua (tiga, empat, dsb.) perusahaan, pekerja yang terlibat dalam pembuatan jenis produk yang sama, bahagian yang sama, produk.

Keperluan utama untuk formula pengiraan nilai purata ialah semua peringkat pengiraan mempunyai justifikasi bermakna yang sebenar; purata yang terhasil harus menggantikan nilai individu tanda untuk setiap objek tanpa memutuskan hubungan antara penunjuk individu dan ringkasan. Dalam erti kata lain, nilai purata perlu dikira supaya apabila setiap nilai individu penunjuk purata digantikan dengan nilai puratanya, beberapa penunjuk ringkasan akhir kekal tidak berubah, berkaitan atau dengan cara lain dengan purata. Keputusan ini dipanggil menentukan kerana sifat hubungannya dengan nilai individu menentukan formula khusus untuk mengira nilai purata. Mari tunjukkan peraturan ini pada contoh min geometri.

Rumus min geometri

paling kerap digunakan apabila mengira nilai purata nilai relatif individu dinamik.

Purata geometri digunakan jika jujukan nilai relatif rantaian dinamik diberikan, menunjukkan, sebagai contoh, peningkatan dalam output berbanding dengan tahap tahun sebelumnya: i 1 , i 2 , i 3 ,…, i n . Ia adalah jelas bahawa jumlah pengeluaran tahun lepas ditentukan oleh tahap awalnya (q 0) dan pertumbuhan seterusnya sepanjang tahun:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×…×i n .

Mengambil q n sebagai penunjuk penentu dan menggantikan nilai individu penunjuk dinamik dengan nilai purata, kita sampai pada hubungan

Dari sini

Jenis purata khas - purata struktur - digunakan untuk mengkaji struktur dalaman siri pengedaran nilai ciri, serta untuk menganggar nilai purata (jenis undang-undang kuasa), jika, mengikut data statistik yang tersedia, pengiraannya tidak dapat dilakukan (contohnya, jika dalam contoh yang dipertimbangkan tiada data pada kedua-duanya jumlah pengeluaran dan jumlah kos oleh kumpulan perusahaan) .

Penunjuk paling kerap digunakan sebagai purata struktur. fesyen - nilai ciri yang paling kerap diulang - dan median - nilai ciri yang membahagikan urutan tertib nilainya kepada dua bahagian yang sama bilangannya. Akibatnya, dalam separuh daripada unit populasi, nilai atribut tidak melebihi tahap median, dan pada separuh lagi ia tidak kurang daripadanya.

Jika sifat yang dikaji mempunyai nilai diskret, maka tiada kesukaran tertentu dalam mengira mod dan median. Jika data pada nilai atribut X dibentangkan dalam bentuk selang tertib perubahannya (siri selang), pengiraan mod dan median menjadi agak rumit. Kerana ia nilai median membahagikan seluruh populasi kepada dua bahagian yang sama bilangannya, ternyata berada dalam salah satu selang tanda X. Dengan menggunakan interpolasi, nilai median ditemui dalam selang median ini:

,

di mana X Me ialah had bawah selang median;

h Saya adalah nilainya;

(Jumlah m) / 2 - separuh daripada jumlah pemerhatian atau separuh daripada isipadu penunjuk yang digunakan sebagai pemberat dalam formula untuk mengira nilai purata (dalam istilah mutlak atau relatif);

S Me-1 ialah jumlah cerapan (atau isipadu ciri pemberat) terkumpul sebelum permulaan selang median;

m Me ialah bilangan cerapan atau isipadu ciri pemberat dalam selang median (juga dalam istilah mutlak atau relatif).

Apabila mengira nilai modal ciri mengikut data siri selang adalah perlu untuk memberi perhatian kepada fakta bahawa selang adalah sama, kerana penunjuk kekerapan nilai atribut X bergantung pada ini. Untuk siri selang dengan pada selang waktu yang sama nilai mod ditakrifkan sebagai

,

dengan X Mo ialah nilai yang lebih rendah bagi selang modal;

m Mo ialah bilangan cerapan atau isipadu ciri pemberat dalam selang modal (dalam istilah mutlak atau relatif);

m Mo-1 - sama untuk selang sebelum modal;

m Mo+1 - sama untuk selang selepas modal;

h ialah nilai selang perubahan sifat dalam kumpulan.

TUGASAN 1

Kumpulan itu mempunyai data berikut perusahaan industri untuk tahun pelaporan

№ perusahaan	Jumlah pengeluaran, juta rubel		Purata bilangan pekerja, per.	Keuntungan, ribuan rubel
	197,7	10,0		13,5
		22,8	1500	136,2
	465,5	18,4	1412	97,6
	296,2	12,6	1200	44,4
	584,1	22,0	1485	146,0
	480,0	119,0	1420	110,4
	57805	21,6	1390	138,7
	204,7			30,6
	466,8	19,4	1375	111,8
	292,2	113,6	1200	49,6
	423,1	17,6	1365	105,8
	192,6			30,7
	360,5	14,0	1290	64,8
	280,3	10,2		33,3

Ia dikehendaki melaksanakan kumpulan perusahaan untuk pertukaran produk, mengambil selang masa berikut:

sehingga 200 juta rubel


dari 200 hingga 400 juta rubel


1. dari 400 hingga 600 juta rubel
   

   Untuk setiap kumpulan dan untuk semua bersama-sama, tentukan bilangan perusahaan, jumlah pengeluaran, purata bilangan pekerja, purata keluaran bagi setiap pekerja. Keputusan kumpulan hendaklah dibentangkan dalam bentuk jadual statistik. Buat kesimpulan.
   

   PENYELESAIAN
   

   Mari kita buat kumpulan perusahaan untuk pertukaran produk, pengiraan bilangan perusahaan, jumlah pengeluaran, purata bilangan pekerja mengikut formula purata mudah. Keputusan kumpulan dan pengiraan diringkaskan dalam jadual.
   

   Kumpulan mengikut volum pengeluaran	№ perusahaan	Jumlah pengeluaran, juta rubel	Kos tahunan purata aset tetap, juta rubel	tidur purata juicy bilangan pekerja, pers.	Keuntungan, ribuan rubel	Purata output bagi setiap pekerja
   1 kumpulan sehingga 200 juta rubel	1,8,12	197,7 204,7 192,6	10,0 9,4 8,8	900 817	13,5 30,6 30,7
   			28,2	2567	74,8	0,23
   Tahap purata		198,3			24,9
   2 kumpulan dari 200 hingga 400 juta rubel	4,10,13,14	196,2 292,2 360,5 280,3	12,6 113,6 14,0 10,2	1200 1200 1290	44,4 49,6 64,8 33,3
   		1129,2	150,4	4590	192,1	0,25
   Tahap purata		282,3	37,6	1530	64,0
   3 kumpulan dari 400 hingga 600 juta	2,3,5,6,7,9,11	592 465,5 584,1 480,0 578,5 466,8 423,1	22,8 18,4 22,0 119,0 21,6 19,4 17,6	1500 1412 1485 1420 1390 1375 1365	136,2 97,6 146,0 110,4 138,7 111,8 105,8
   		3590	240,8	9974	846,5	0,36
   Tahap purata		512,9	34,4	1421	120,9
   Jumlah secara agregat		5314,2	419,4	17131	1113,4	0,31
   Purata agregat		379,6	59,9	1223,6	79,5

   Kesimpulan. Oleh itu, dalam agregat yang dipertimbangkan, bilangan terbesar perusahaan dari segi pengeluaran jatuh ke dalam kumpulan ketiga - tujuh, atau separuh daripada perusahaan. Nilai purata nilai tahunan aset tetap juga dalam kumpulan ini, serta nilai besar purata bilangan pekerja - 9974 orang, perusahaan kumpulan pertama adalah yang paling kurang menguntungkan.
   

   TUGASAN 2
   

   Kami mempunyai data berikut mengenai perusahaan syarikat
   

   Bilangan perusahaan milik syarikat	saya suku		suku II
   	Output, ribuan rubel		Bekerja dengan hari-hari bekerja	Purata keluaran setiap pekerja sehari, gosok.
   	59390,13

Topik 5. Purata sebagai penunjuk statistik

Konsep purata. Skop nilai purata dalam kajian statistik

Nilai purata digunakan pada peringkat pemprosesan dan meringkaskan data statistik utama yang diperolehi. Keperluan untuk menentukan nilai purata adalah disebabkan oleh fakta bahawa untuk unit yang berbeza dari populasi yang dikaji, nilai individu sifat yang sama, sebagai peraturan, tidak sama.

Nilai purata memanggil penunjuk yang mencirikan nilai umum ciri atau kumpulan ciri dalam populasi kajian.

Jika kita mengkaji satu set dengan secara kualitatif ciri homogen, maka nilai purata muncul di sini sebagai purata biasa. Sebagai contoh, bagi kumpulan pekerja dalam industri tertentu dengan tahap pendapatan tetap, purata perbelanjaan biasa untuk keperluan asas ditentukan, i.e. purata tipikal menyamaratakan nilai kualitatif homogen sifat dalam populasi tertentu, yang merupakan bahagian perbelanjaan pekerja dalam kumpulan ini ke atas barangan keperluan.

Dalam kajian populasi dengan ciri-ciri heterogen secara kualitatif, penunjuk purata atipikal mungkin diketengahkan. Ini, sebagai contoh, adalah penunjuk purata pendapatan negara per kapita yang dihasilkan (pelbagai kumpulan umur), purata hasil tanaman bijirin di seluruh Rusia (kawasan zon iklim berbeza dan tanaman bijirin berbeza), kadar kelahiran purata penduduk di semua wilayah negara, suhu purata melebihi tempoh tertentu dan lain-lain. Di sini, nilai purata menyamaratakan nilai heterogen secara kualitatif bagi ciri atau agregat spatial sistemik (komuniti antarabangsa, benua, negeri, wilayah, daerah, dll.) atau agregat dinamik yang dilanjutkan dalam masa (abad, dekad, tahun, musim, dsb. ). Purata ini dipanggil purata sistem.

Oleh itu, makna nilai purata terdiri daripada fungsi generalisasi mereka. Rata-rata menggantikan nombor besar nilai individu sifat, mendedahkan sifat umum, wujud dalam semua unit populasi. Ini, seterusnya, membolehkan anda mengelakkan punca rawak dan mengenal pasti corak umum disebabkan oleh sebab biasa.

Jenis nilai purata dan kaedah untuk pengiraannya

Di pentas pemprosesan statistik Pelbagai masalah penyelidikan boleh ditetapkan, untuk penyelesaiannya adalah perlu untuk memilih purata yang sesuai. Dalam kes ini, perlu dipandu oleh peraturan berikut: nilai-nilai yang mewakili pengangka dan penyebut purata mesti berkaitan secara logik antara satu sama lain.

purata kuasa;

purata struktur.

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

Nilai yang dikira purata;

Purata, di mana garis di atas menunjukkan bahawa purata nilai individu berlaku;

Kekerapan (kebolehulangan nilai sifat individu).

Pelbagai purata diperoleh daripada formula am kuasa bermakna:

(5.1)

untuk k = 1 - min aritmetik; k = -1 - min harmonik; k = 0 - min geometri; k = -2 - punca min kuasa dua.

Purata sama ada mudah atau wajaran. purata wajaran dipanggil kuantiti yang mengambil kira bahawa beberapa varian nilai atribut mungkin mempunyai nombor yang berbeza, dan oleh itu setiap varian perlu didarab dengan nombor ini. Dengan kata lain, "berat" ialah bilangan unit populasi dalam kumpulan yang berbeza, i.e. setiap pilihan "ditimbang" mengikut kekerapannya. Frekuensi f dipanggil berat statistik atau purata berat.

Min aritmetik- jenis medium yang paling biasa. Ia digunakan apabila pengiraan dijalankan pada data statistik tidak terkumpul, di mana anda ingin mendapatkan summan purata. Min aritmetik ialah nilai purata bagi sesuatu ciri, apabila menerimanya, jumlah isipadu ciri dalam populasi kekal tidak berubah.

Rumus min aritmetik (mudah) mempunyai bentuk

di mana n ialah saiz populasi.

Sebagai contoh, purata gaji pekerja sesebuah perusahaan dikira sebagai purata aritmetik:

Penunjuk penentu di sini ialah gaji setiap pekerja dan bilangan pekerja perusahaan. Apabila mengira purata, jumlah gaji tetap sama, tetapi diagihkan, seolah-olah, sama rata di kalangan semua pekerja. Sebagai contoh, adalah perlu untuk mengira purata gaji pekerja sebuah syarikat kecil di mana 8 orang bekerja:

Apabila mengira nilai purata nilai individu ciri yang dipuratakan boleh diulang, jadi pengiraan nilai purata dibuat berdasarkan data terkumpul. Dalam kes ini kita bercakap tentang menggunakan aritmetik min wajaran, yang kelihatan seperti

(5.3)

Jadi, kita perlu mengira purata harga saham syarikat saham bersama di bursa saham. Adalah diketahui bahawa urus niaga telah dijalankan dalam tempoh 5 hari (5 urus niaga), jumlah saham yang dijual pada kadar jualan diagihkan seperti berikut:

1 - 800 ac. - 1010 rubel

2 - 650 ac. - 990 gosok.

3 - 700 ak. - 1015 rubel.

4 - 550 ac. - 900 gosok.

5 - 850 ak. - 1150 rubel.

Nisbah awal untuk menentukan harga saham purata ialah nisbah jumlah keseluruhan urus niaga (OSS) kepada bilangan saham yang dijual (KPA):

OSS = 1010 800+990 650+1015 700+900 550+1150 850= 3 634 500;

CPA = 800+650+700+550+850=3550.

Dalam kes ini, harga saham purata adalah sama dengan

Adalah perlu untuk mengetahui sifat-sifat min aritmetik, yang sangat penting untuk kegunaannya dan untuk pengiraannya. Tiga boleh dibezakan sifat asas, yang kebanyakannya membawa kepada penggunaan min aritmetik secara meluas dalam pengiraan statistik dan ekonomi.

Harta satu (sifar): jumlah sisihan positif nilai individu ciri daripada nilai min adalah sama dengan jumlah sisihan negatif. Ini adalah sifat yang sangat penting, kerana ia menunjukkan bahawa sebarang penyelewengan (kedua-duanya dengan + dan dengan -) disebabkan oleh sebab rawak akan dibatalkan bersama.

Bukti:

Sifat kedua (minimum): jumlah sisihan kuasa dua nilai individu atribut daripada min aritmetik adalah kurang daripada mana-mana nombor lain (a), i.e. ialah nombor minimum.

Bukti.

Susun jumlah sisihan kuasa dua daripada pembolehubah a:

(5.4)

Untuk mencari ekstrem fungsi ini, adalah perlu untuk menyamakan terbitannya berkenaan dengan a kepada sifar:

Dari sini kita dapat:

(5.5)

Oleh itu, keterlaluan jumlah sisihan kuasa dua dicapai pada . Ekstrem ini adalah minimum, kerana fungsi tidak boleh mempunyai maksimum.

Sifat tiga: min aritmetik nilai tetap adalah sama dengan pemalar ini: untuk a = const.

Sebagai tambahan kepada ketiga-tiga ini sifat yang paling penting aritmetik min, ada yang dipanggil sifat reka bentuk, yang secara beransur-ansur kehilangan kepentingannya disebabkan oleh penggunaan komputer elektronik:

jika nilai individu atribut setiap unit didarab atau dibahagikan dengan nombor tetap, maka min aritmetik akan bertambah atau berkurang dengan jumlah yang sama;

min aritmetik tidak akan berubah jika berat (kekerapan) setiap nilai ciri dibahagikan dengan nombor tetap;

jika nilai individu atribut setiap unit dikurangkan atau ditambah dengan jumlah yang sama, maka min aritmetik akan berkurangan atau meningkat dengan jumlah yang sama.

Purata harmonik. Purata ini dipanggil purata aritmetik salingan, kerana nilai ini digunakan apabila k = -1.

Min harmonik mudah digunakan apabila berat nilai ciri adalah sama. Formulanya boleh diperolehi daripada formula asas, menggantikan k = -1:

Sebagai contoh, kita perlu mengira kelajuan purata dua kereta yang telah melalui laluan yang sama, tetapi pada kelajuan yang berbeza: yang pertama - pada kelajuan 100 km / j, yang kedua - 90 km / j. Menggunakan kaedah min harmonik, kami mengira kelajuan purata:

Dalam amalan statistik, wajaran harmonik lebih kerap digunakan, formula yang mempunyai bentuk

Formula ini digunakan dalam kes di mana pemberat (atau isipadu fenomena) untuk setiap atribut tidak sama. Dalam nisbah asal, pengangka diketahui mengira purata, tetapi penyebutnya tidak diketahui.

Min aritmetik mudah ialah sebutan purata, dalam menentukan di mana jumlah isipadu atribut yang diberikan agregat data diagihkan sama rata antara semua unit yang disertakan dalam set ini. Jadi, purata keluaran tahunan bagi setiap pekerja ialah jumlah keluaran yang akan jatuh ke atas setiap pekerja jika keseluruhan volum keluaran diagihkan sama rata di kalangan semua pekerja organisasi. Nilai aritmetik min mudah dikira dengan formula:

min aritmetik mudah- Sama dengan nisbah jumlah nilai individu atribut kepada bilangan atribut dalam agregat

Contoh 1. Sepasukan 6 pekerja menerima 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 ribu rubel sebulan.

Cari gaji purata Penyelesaian: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 ribu rubel.

Purata wajaran aritmetik

Jika isipadu set data adalah besar dan mewakili siri taburan, maka min aritmetik berwajaran dikira. Beginilah cara harga purata wajaran seunit pengeluaran ditentukan: jumlah kos pengeluaran (jumlah produk kuantitinya dan harga seunit pengeluaran) dibahagikan dengan jumlah kuantiti pengeluaran.

Kami mewakili ini dalam bentuk formula berikut:

Min aritmetik berwajaran- adalah sama dengan nisbah (jumlah produk nilai atribut kepada kekerapan pengulangan atribut ini) kepada (jumlah frekuensi semua atribut). Ia digunakan apabila varian populasi yang dikaji berlaku tidak sama rata Beberapa kali.

Contoh 2. Cari purata gaji pekerja kedai sebulan

Gaji seorang pekerja seribu rubel; X	Bilangan pekerja F

Gaji purata boleh diperoleh dengan membahagikan jumlah gaji dengan jumlah nombor pekerja:

Jawapan: 3.35 ribu rubel.

Min aritmetik untuk siri selang

Apabila mengira min aritmetik untuk siri variasi selang, mula-mula tentukan purata bagi setiap selang sebagai separuh jumlah sempadan atas dan bawah, dan kemudian purata keseluruhan siri. Dalam kes selang terbuka, nilai selang bawah atau atas ditentukan oleh nilai selang yang bersebelahan dengannya.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran.

Contoh 3. takrifkan purata umur pelajar petang.

Umur dalam tahun!!x??	Bilangan pelajar	Min selang	Hasil darab pertengahan selang (umur) dan bilangan pelajar
		(18 + 20) / 2 \u003d 19 18 in kes ini had selang yang lebih rendah. Dikira sebagai 20 - (22-20)
		(20 + 22) / 2 = 21
		(22 + 26) / 2 = 24
		(26 + 30) / 2 = 28
30 atau lebih		(30 + 34) / 2 = 32

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran. Tahap penghampiran mereka bergantung pada sejauh mana taburan sebenar unit populasi dalam selang itu menghampiri seragam.

Apabila mengira purata, bukan sahaja mutlak, tetapi juga nilai relatif(kekerapan).