Bagaimana untuk mencari terbitan fungsi kepada kuasa. Terbitan bagi fungsi logaritma

Bukti dan terbitan formula bagi terbitan eksponen (e kepada kuasa x) dan fungsi eksponen(a kepada kuasa x). Contoh pengiraan derivatif bagi e^2x, e^3x dan e^nx. Formula untuk terbitan tertib lebih tinggi.

Terbitan bagi eksponen adalah sama dengan eksponen itu sendiri (terbitan e kepada kuasa x adalah sama dengan e kepada kuasa x):
(1) (e x )′ = e x.

Terbitan bagi fungsi eksponen dengan asas darjah a adalah sama dengan fungsi itu sendiri didarab dengan logaritma semula jadi daripada a:
(2) .

Terbitan formula untuk terbitan eksponen, e kepada kuasa x

Eksponen ialah fungsi eksponen yang asasnya sama dengan nombor e, iaitu had berikut:
.
Di sini ia boleh menjadi semula jadi dan nombor sebenar. Seterusnya, kami memperoleh formula (1) untuk terbitan eksponen.

Terbitan formula terbitan eksponen

Pertimbangkan eksponen, e kepada kuasa x:
y = e x .
Fungsi ini ditakrifkan untuk semua orang.
(3) .

Mari kita cari terbitannya berkenaan dengan pembolehubah x. Mengikut definisi, terbitan ialah had berikut: Mari kita ubah ungkapan ini untuk mengurangkannya kepada yang diketahui
sifat matematik dan peraturan. Untuk melakukan ini, kami memerlukan fakta berikut:
(4) ;
A) Sifat eksponen:
(5) ;
B) Sifat logaritma:
(6) .
DALAM)
Kesinambungan logaritma dan sifat had untuk fungsi selanjar: Berikut adalah fungsi yang mempunyai had dan had ini adalah positif.
(7) .

G)
;
.

Maksud had kedua yang luar biasa:
Mari kita gunakan fakta ini pada had kita (3). Kami menggunakan harta (4):
.
Mari buat penggantian.
.

Kemudian ; .
.

Oleh kerana kesinambungan eksponen,
Oleh itu, apabila , .
.

Hasilnya kami mendapat:
.
Mari buat penggantian. lepas tu . Pada , . Dan kami mempunyai: Mari gunakan sifat logaritma (5):
.

.

Kemudian

Mari kita memohon harta (6). Oleh kerana terdapat had positif dan logaritma adalah berterusan, maka:
(8)
Di sini kami juga menggunakan yang kedua

had yang luar biasa (7). Kemudian Oleh itu, kami memperoleh formula (1) untuk terbitan eksponen.
;
.
Terbitan formula untuk terbitan bagi fungsi eksponen
.

Sekarang kita memperoleh formula (2) untuk terbitan fungsi eksponen dengan asas darjah a.

Sekarang mari kita cari derivatif pesanan yang lebih tinggi. Mari kita lihat eksponen dahulu:
(14) .
(1) .

Kita melihat bahawa terbitan fungsi (14) adalah sama dengan fungsi (14) itu sendiri. Membezakan (1), kita memperoleh derivatif bagi susunan kedua dan ketiga:
;
.

Ini menunjukkan bahawa derivatif tertib ke-n juga sama dengan fungsi asal:
.

Derivatif tertib tinggi bagi fungsi eksponen

Sekarang pertimbangkan fungsi eksponen dengan asas darjah a:
.
Kami menemui terbitan tertib pertamanya:
(15) .

Membezakan (15), kita memperoleh derivatif bagi tertib kedua dan ketiga:
;
.

Kami melihat bahawa setiap pembezaan membawa kepada pendaraban fungsi asal dengan .
.

Oleh itu, derivatif tertib ke-n mempunyai bentuk berikut:

Definisi fungsi eksponen kuasa. Menghasilkan formula untuk mengira terbitannya. Contoh pengiraan derivatif bagi fungsi eksponen kuasa dianalisis secara terperinci. Fungsi eksponen kuasa adalah fungsi yang kelihatan seperti
fungsi kuasa
y = u v ,
di mana asas u dan eksponen v ialah beberapa fungsi pembolehubah x: u = u(x) u = u.
; v = v Fungsi ini juga dipanggil

eksponen
.
atau . Ambil perhatian bahawa fungsi eksponen kuasa boleh diwakili dalam bentuk eksponen:.

Oleh itu ia juga dipanggil

fungsi eksponen yang kompleks
(2) ,
Pengiraan menggunakan terbitan logaritma
Mari kita cari terbitan bagi fungsi eksponen kuasa
.
di mana dan adalah fungsi pembolehubah.
(3) .
Untuk melakukan ini, kita persamaan logaritma (2), menggunakan sifat logaritma: Bezakan berkenaan dengan pembolehubah x: Kami memohon
;
.

peraturan untuk membezakan fungsi kompleks
.
dan berfungsi:
.

Kami menggantikan dalam (3):
(1) .
Dari sini
.
Jadi, kami mendapati derivatif fungsi eksponen kuasa:
.
Jika eksponen adalah malar, maka .

Maka terbitan adalah sama dengan terbitan fungsi kuasa kompleks:

Jika asas darjah adalah tetap, maka .
(2) ,
Maka terbitan adalah sama dengan terbitan bagi fungsi eksponen kompleks:
(4) .

Apabila dan ialah fungsi bagi x, maka terbitan bagi fungsi eksponen kuasa adalah sama dengan hasil tambah derivatif kuasa kompleks dan fungsi eksponen.
.
Pengiraan terbitan melalui pengurangan kepada fungsi eksponen kompleks Sekarang mari kita cari derivatif bagi fungsi eksponen kuasa:

.
membentangkannya sebagai fungsi eksponen yang kompleks:

Jom bezakan produk:

Gunakan peraturan untuk mencari terbitan
.

fungsi kompleks

Dan kami sekali lagi mendapat formula (1).
Contoh 1 .

Cari terbitan bagi fungsi berikut:
;
.
Penyelesaian
.
Kami membezakan (A1.1):
.
Kerana
,
Itu
.

Jawab

Contoh 2

Cari terbitan bagi fungsi itu
.

fungsi kompleks

Mari kita logaritma fungsi asal:
(A2.1) .

Operasi mencari derivatif dipanggil pembezaan.

Hasil daripada menyelesaikan masalah mencari derivatif bagi fungsi termudah (dan tidak terlalu mudah) dengan mentakrifkan derivatif sebagai had nisbah kenaikan kepada kenaikan hujah, jadual terbitan dan peraturan pembezaan yang ditakrifkan dengan tepat muncul. . Yang pertama bekerja dalam bidang mencari derivatif ialah Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Oleh itu, pada zaman kita, untuk mencari derivatif mana-mana fungsi, anda tidak perlu mengira had yang disebutkan di atas nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, tetapi anda hanya perlu menggunakan jadual derivatif dan peraturan pembezaan. Algoritma berikut sesuai untuk mencari derivatif.

Untuk mencari terbitan, anda memerlukan ungkapan di bawah tanda perdana memecahkan fungsi mudah kepada komponen dan tentukan apa tindakan (hasil, jumlah, hasil bagi) fungsi ini berkaitan. Derivatif selanjutnya fungsi asas kita dapati dalam jadual derivatif, dan formula untuk derivatif hasil, hasil tambah dan hasil adalah dalam peraturan pembezaan. Jadual terbitan dan peraturan pembezaan diberikan selepas dua contoh pertama.

Contoh 1. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Daripada peraturan pembezaan kita dapati bahawa terbitan bagi jumlah fungsi ialah hasil tambah derivatif fungsi, i.e.

Daripada jadual derivatif kita dapati bahawa terbitan "X" adalah sama dengan satu, dan terbitan sinus adalah sama dengan kosinus. Kami menggantikan nilai-nilai ini ke dalam jumlah derivatif dan mencari derivatif yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 2. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami membezakan sebagai terbitan jumlah di mana sebutan kedua mempunyai faktor tetap; ia boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Jika soalan masih timbul tentang dari mana sesuatu datang, ia biasanya diselesaikan selepas membiasakan diri dengan jadual derivatif dan peraturan pembezaan yang paling mudah. Kami beralih kepada mereka sekarang.

Jadual terbitan bagi fungsi mudah

1. Terbitan pemalar (nombor). Mana-mana nombor (1, 2, 5, 200...) yang terdapat dalam ungkapan fungsi. Sentiasa sama dengan sifar. Ini sangat penting untuk diingat, kerana ia diperlukan dengan kerap
2. Terbitan pembolehubah bebas. Selalunya "X". Sentiasa sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingati untuk masa yang lama
3. Terbitan darjah. Apabila menyelesaikan masalah, anda perlu menukar punca bukan kuasa dua kepada kuasa.
4. Terbitan pembolehubah kepada kuasa -1
5. Terbitan punca kuasa dua
6. Terbitan sinus
7. Terbitan kosinus
8. Terbitan tangen
9. Terbitan kotangen
10. Terbitan arcsine
11. Terbitan arccosine
12. Terbitan arkatangen
13. Terbitan arka cotangen
14. Terbitan logaritma asli
15. Terbitan bagi fungsi logaritma
16. Terbitan bagi eksponen
17. Terbitan bagi fungsi eksponen

Peraturan pembezaan

1. Terbitan daripada jumlah atau perbezaan
2. Terbitan produk
2a. Terbitan ungkapan didarab dengan faktor malar
3. Terbitan hasil bagi
4. Terbitan bagi fungsi kompleks

Peraturan 1.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu titik, maka fungsi boleh dibezakan pada titik yang sama

dan

mereka. terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan jumlah algebra derivatif fungsi ini.

Akibat. Jika dua fungsi boleh dibezakan berbeza dengan sebutan tetap, maka terbitan mereka adalah sama, iaitu

Peraturan 2.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika, maka produk mereka boleh dibezakan pada titik yang sama

dan

mereka. Terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan hasil tambah bagi setiap fungsi ini dan terbitan satu lagi.

Akibat 1. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan:

Akibat 2. Terbitan hasil darab beberapa fungsi boleh dibezakan adalah sama dengan hasil tambah hasil terbitan setiap faktor dan semua yang lain.

Sebagai contoh, untuk tiga pengganda:

Peraturan 3.Jika fungsi

boleh dibezakan pada satu ketika Dan , maka pada ketika ini hasil bagi mereka juga boleh dibezakanu/v , dan

mereka. terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan penyebut, dan penyebutnya ialah kuasa dua bekas pengangka.

Di mana untuk mencari perkara di halaman lain

Apabila mencari terbitan produk dan hasil bagi dalam masalah sebenar Ia sentiasa perlu untuk menggunakan beberapa peraturan pembezaan sekaligus, jadi terdapat lebih banyak contoh tentang derivatif ini dalam artikel"Terbitan hasil dan hasil bagi fungsi".

Komen. Anda tidak seharusnya mengelirukan pemalar (iaitu, nombor) sebagai sebutan dalam jumlah dan sebagai faktor pemalar! Dalam kes istilah, terbitannya adalah sama dengan sifar, dan dalam kes faktor malar, ia dikeluarkan daripada tanda terbitan. ini kesilapan tipikal, yang berlaku pada peringkat awal mempelajari derivatif, tetapi apabila mereka menyelesaikan beberapa contoh satu dan dua bahagian, rata-rata pelajar tidak lagi melakukan kesilapan ini.

Dan jika, apabila membezakan produk atau hasil bagi, anda mempunyai istilah u"v, di mana u- nombor, sebagai contoh, 2 atau 5, iaitu pemalar, maka terbitan nombor ini akan sama dengan sifar dan, oleh itu, keseluruhan istilah akan sama dengan sifar (kes ini dibincangkan dalam contoh 10).

Satu lagi kesilapan biasa ialah secara mekanikal menyelesaikan terbitan fungsi kompleks sebagai terbitan fungsi mudah. sebab tu terbitan bagi fungsi kompleks artikel berasingan dikhaskan. Tetapi pertama-tama kita akan belajar untuk mencari derivatif fungsi mudah.

Sepanjang perjalanan, anda tidak boleh melakukan tanpa mengubah ekspresi. Untuk melakukan ini, anda mungkin perlu membuka manual dalam tetingkap baharu. Tindakan dengan kuasa dan akar Dan Operasi dengan pecahan .

Jika anda sedang mencari penyelesaian kepada terbitan pecahan dengan kuasa dan punca, iaitu apabila fungsi itu kelihatan seperti , kemudian ikuti pelajaran "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca."

Jika anda mempunyai tugas seperti , maka anda akan mengambil pelajaran "Terbitan fungsi trigonometri mudah".

Contoh langkah demi langkah - cara mencari derivatif

Contoh 3. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami mentakrifkan bahagian ungkapan fungsi: keseluruhan ungkapan mewakili produk, dan faktornya ialah jumlah, di mana satu daripada istilah itu mengandungi faktor malar. Kami menggunakan peraturan pembezaan produk: terbitan hasil darab dua fungsi adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap fungsi ini dengan terbitan satu lagi:

Seterusnya, kita menggunakan peraturan pembezaan hasil tambah: terbitan hasil tambah algebra bagi fungsi adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi terbitan fungsi ini. Dalam kes kami, dalam setiap jumlah, sebutan kedua mempunyai tanda tolak. Dalam setiap jumlah kita melihat kedua-dua pembolehubah bebas, terbitan yang sama dengan satu, dan pemalar (nombor), terbitan yang sama dengan sifar. Jadi, "X" bertukar menjadi satu, dan tolak 5 bertukar menjadi sifar. Dalam ungkapan kedua, "x" didarab dengan 2, jadi kita darab dua dengan unit yang sama dengan terbitan "x". Kami dapat nilai berikut derivatif:

Kami menggantikan derivatif yang ditemui ke dalam jumlah produk dan mendapatkan derivatif keseluruhan fungsi yang diperlukan oleh keadaan masalah:

Contoh 4. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Kami dikehendaki mencari terbitan hasil bagi. Kami menggunakan formula untuk membezakan hasil bagi: terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, pengangkanya ialah perbezaan antara hasil darab penyebut dan terbitan pengangka dan pengangka serta terbitan bagi penyebut, dan penyebut adalah kuasa dua bekas pengangka. Kami mendapat:

Kami telah menemui terbitan faktor dalam pengangka dalam contoh 2. Janganlah kita juga lupa bahawa produk, yang merupakan faktor kedua dalam pengangka dalam contoh semasa, diambil dengan tanda tolak:

Jika anda mencari penyelesaian kepada masalah yang anda perlukan untuk mencari terbitan fungsi, di mana terdapat longgokan akar dan kuasa yang berterusan, seperti, sebagai contoh, , kemudian selamat datang ke kelas "Terbitan hasil tambah pecahan dengan kuasa dan punca" .

Jika anda perlu mengetahui lebih lanjut tentang terbitan sinus, kosinus, tangen dan lain-lain fungsi trigonometri, iaitu, apabila fungsi kelihatan seperti , maka pengajaran untuk anda "Terbitan fungsi trigonometri mudah" .

Contoh 5. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat produk, salah satu faktornya ialah punca kuasa dua pembolehubah tidak bersandar, terbitan yang kita kenali dalam jadual derivatif. Mengikut peraturan pembezaan produk dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua yang kita dapat:

Contoh 6. Cari terbitan bagi suatu fungsi

Penyelesaian. Dalam fungsi ini kita melihat hasil bagi yang dividennya ialah punca kuasa dua pembolehubah bebas. Dengan menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi, yang kami ulangi dan gunakan dalam contoh 4, dan nilai jadual terbitan punca kuasa dua, kami memperoleh:

Untuk menyingkirkan pecahan dalam pengangka, darabkan pengangka dan penyebut dengan .

Di mana kami menganalisis derivatif paling mudah, dan juga berkenalan dengan peraturan pembezaan dan beberapa kaedah teknikal mencari derivatif. Oleh itu, jika anda tidak begitu mahir dengan derivatif fungsi atau beberapa perkara dalam artikel ini tidak sepenuhnya jelas, maka baca terlebih dahulu pelajaran di atas. Sila dapatkan suasana yang serius - bahannya tidak mudah, tetapi saya masih akan cuba membentangkannya secara ringkas dan jelas.

Dalam amalan, anda perlu berurusan dengan terbitan fungsi kompleks dengan kerap, malah saya akan katakan, hampir selalu, apabila anda diberi tugas untuk mencari derivatif.

Kami melihat jadual pada peraturan (No. 5) untuk membezakan fungsi kompleks:

Mari kita fikirkan. Pertama sekali, mari kita perhatikan entri tersebut. Di sini kita mempunyai dua fungsi - dan , dan fungsi, secara kiasan, bersarang dalam fungsi . Fungsi jenis ini (apabila satu fungsi bersarang dalam yang lain) dipanggil fungsi kompleks.

Saya akan memanggil fungsi itu fungsi luaran, dan fungsi – fungsi dalaman (atau bersarang)..

! Takrifan ini bukan teori dan tidak sepatutnya muncul dalam reka bentuk akhir tugasan. Saya menggunakan ungkapan tidak formal "fungsi luaran", fungsi "dalaman" sahaja untuk memudahkan anda memahami bahan tersebut.

Untuk menjelaskan keadaan, pertimbangkan:

Contoh 1

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Di bawah sinus kita mempunyai bukan sahaja huruf "X", tetapi keseluruhan ungkapan, jadi mencari terbitan terus dari jadual tidak akan berfungsi. Kami juga mendapati bahawa adalah mustahil untuk menggunakan empat peraturan pertama di sini, nampaknya terdapat perbezaan, tetapi hakikatnya adalah bahawa sinus tidak boleh "koyak menjadi kepingan":

DALAM dalam contoh ini Ia sudah jelas secara intuitif daripada penjelasan saya bahawa fungsi ialah fungsi yang kompleks, dan polinomial ialah fungsi dalaman (pembenaman), dan fungsi luaran.

Langkah pertama perkara yang perlu anda lakukan apabila mencari terbitan bagi fungsi kompleks ialah faham mana fungsi dalaman dan luaran.

Dalam kes contoh mudah Nampak jelas bahawa polinomial tertanam di bawah sinus. Tetapi bagaimana jika semuanya tidak jelas? Bagaimana untuk menentukan dengan tepat fungsi mana yang luaran dan yang mana dalaman? Untuk melakukan ini, saya cadangkan menggunakan teknik berikut, yang boleh dilakukan secara mental atau dalam draf.

Mari kita bayangkan bahawa kita perlu menggunakan kalkulator untuk mengira nilai ungkapan di (bukannya satu boleh ada sebarang nombor).

Apa yang akan kita kira dahulu? Pertama sekali anda perlu melakukan tindakan berikut: , oleh itu polinomial akan menjadi fungsi dalaman:

Kedua perlu dicari, jadi sinus – akan menjadi fungsi luaran:

Selepas kita HABIS dengan fungsi dalaman dan luaran, sudah tiba masanya untuk menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks .

Mari kita mula membuat keputusan. Daripada pelajaran Bagaimana untuk mencari derivatif? kami ingat bahawa reka bentuk penyelesaian kepada mana-mana derivatif sentiasa bermula seperti ini - kami melampirkan ungkapan dalam kurungan dan meletakkan pukulan di bahagian atas sebelah kanan:

Pada mulanya kita dapati terbitan bagi fungsi luaran (sinus), lihat jadual terbitan bagi fungsi asas dan perhatikan bahawa . Semua formula jadual juga boleh digunakan jika "x" digantikan dengan ungkapan kompleks, V dalam kes ini:

Sila ambil perhatian bahawa fungsi dalaman tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.

Nah, itu agak jelas

Hasil penggunaan formula dalam bentuk akhir ia kelihatan seperti ini:

Faktor malar biasanya diletakkan pada permulaan ungkapan:

Jika terdapat sebarang salah faham, tulis penyelesaiannya di atas kertas dan baca penjelasannya sekali lagi.

Contoh 2

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Contoh 3

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Seperti biasa, kami menulis:

Mari kita fikirkan di mana kita mempunyai fungsi luaran dan di mana kita mempunyai fungsi dalaman. Untuk melakukan ini, kami cuba (secara mental atau dalam draf) untuk mengira nilai ungkapan pada . Apa yang perlu anda lakukan dahulu? Pertama sekali, anda perlu mengira apa asasnya sama dengan: oleh itu, polinomial ialah fungsi dalaman:

Dan, barulah eksponenisasi dilakukan, oleh itu, fungsi kuasa ialah fungsi luaran:

Mengikut formula , pertama anda perlu mencari terbitan fungsi luaran, dalam kes ini, darjah. Mencari dalam meja formula yang diperlukan: . Kami ulang lagi: sebarang formula jadual adalah sah bukan sahaja untuk "X", tetapi juga untuk ungkapan yang kompleks. Oleh itu, hasil penggunaan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks seterusnya:

Saya menekankan sekali lagi bahawa apabila kita mengambil terbitan fungsi luar, fungsi dalaman kita tidak berubah:

Sekarang yang tinggal hanyalah untuk mencari derivatif yang sangat mudah bagi fungsi dalaman dan mengubah hasilnya sedikit:

Contoh 4

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas(jawab di akhir pelajaran).

Untuk menyatukan pemahaman anda tentang derivatif fungsi kompleks, saya akan memberikan contoh tanpa ulasan, cuba fikirkan sendiri, sebab di mana luaran dan di mana fungsi dalaman, mengapa tugas diselesaikan dengan cara ini?

Contoh 5

a) Cari terbitan bagi fungsi itu

b) Cari terbitan bagi fungsi itu

Contoh 6

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Di sini kita mempunyai akar, dan untuk membezakan akar, ia mesti diwakili sebagai kuasa. Oleh itu, pertama kita membawa fungsi ke dalam bentuk yang sesuai untuk pembezaan:

Menganalisis fungsi, kita sampai pada kesimpulan bahawa jumlah tiga istilah adalah fungsi dalaman, dan menaikkan kepada kuasa adalah fungsi luaran. Kami menggunakan peraturan pembezaan fungsi kompleks :

Kami sekali lagi mewakili darjah sebagai radikal (akar), dan untuk derivatif fungsi dalaman kami menggunakan peraturan mudah untuk membezakan jumlah:

sedia. Anda juga boleh memberikan ungkapan dalam kurungan kepada penyebut biasa dan tuliskan semuanya sebagai satu pecahan. Ia cantik, sudah tentu, tetapi apabila anda mendapat derivatif panjang yang menyusahkan, adalah lebih baik untuk tidak melakukan ini (mudah untuk keliru, membuat kesilapan yang tidak perlu, dan ia akan menyusahkan guru untuk menyemak).

Contoh 7

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri (jawab di akhir pelajaran).

Adalah menarik untuk diperhatikan bahawa kadangkala bukannya peraturan untuk membezakan fungsi kompleks, anda boleh menggunakan peraturan untuk membezakan hasil bagi. , tetapi penyelesaian sedemikian akan kelihatan seperti penyelewengan yang luar biasa. Berikut ialah contoh biasa:

Contoh 8

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Di sini anda boleh menggunakan peraturan pembezaan hasil bagi , tetapi adalah lebih menguntungkan untuk mencari derivatif melalui peraturan pembezaan fungsi kompleks:

Kami menyediakan fungsi untuk pembezaan - kami memindahkan tolak keluar dari tanda terbitan, dan menaikkan kosinus ke dalam pengangka:

Kosinus ialah fungsi dalaman, eksponensial ialah fungsi luaran.
Mari kita gunakan peraturan kita :

Kami mencari terbitan fungsi dalaman dan menetapkan semula kosinus ke bawah:

sedia. Dalam contoh yang dipertimbangkan, adalah penting untuk tidak keliru dalam tanda-tanda. Dengan cara ini, cuba selesaikan menggunakan peraturan , jawapan mesti sepadan.

Contoh 9

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri (jawab di akhir pelajaran).

Setakat ini kami telah melihat kes di mana kami hanya mempunyai satu sarang dalam fungsi yang kompleks. Dalam tugas praktikal, anda selalunya boleh mencari derivatif, di mana, seperti anak patung bersarang, satu di dalam yang lain, 3 atau bahkan 4-5 fungsi bersarang sekaligus.

Contoh 10

Cari terbitan bagi suatu fungsi

Mari kita fahami lampiran fungsi ini. Mari cuba mengira ungkapan menggunakan nilai eksperimen. Bagaimanakah kita akan bergantung pada kalkulator?

Mula-mula anda perlu mencari , yang bermaksud arcsine ialah benam paling dalam:

Lengkok satu ini kemudiannya hendaklah diduakan:

Dan akhirnya, kami meningkatkan tujuh kepada satu kuasa:

Iaitu, dalam contoh ini kita mempunyai tiga fungsi yang berbeza dan dua benam, dengan fungsi paling dalam ialah arcsine dan fungsi paling luar ialah fungsi eksponen.

Mari kita mula membuat keputusan

Mengikut peraturan Mula-mula anda perlu mengambil terbitan fungsi luar. Kami melihat jadual derivatif dan mencari derivatif bagi fungsi eksponen: Satu-satunya perbezaan ialah bukannya "x" kami mempunyai ungkapan kompleks, yang tidak menafikan kesahihan formula ini. Jadi, hasil daripada menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks seterusnya.

Terbitan formula untuk terbitan fungsi kuasa (x kepada kuasa a). Terbitan daripada punca x dipertimbangkan. Formula untuk terbitan fungsi kuasa perintah yang lebih tinggi. Contoh pengiraan derivatif.

Terbitan x kepada kuasa a adalah sama dengan kali x dengan kuasa tolak satu:
(1) .

Terbitan punca ke-n bagi x kepada kuasa ke-m ialah:
(2) .

Terbitan formula untuk terbitan fungsi kuasa

Kes x > 0

Pertimbangkan fungsi kuasa pembolehubah x dengan eksponen a:
(3) .
Di sini a ialah nombor nyata arbitrari. Mari kita pertimbangkan dahulu kes itu.

Untuk mencari terbitan fungsi (3), kita menggunakan sifat fungsi kuasa dan mengubahnya kepada bentuk berikut:
.

Sekarang kita mencari derivatif menggunakan:
;
.
Di sini.

Formula (1) telah terbukti.

Terbitan formula bagi terbitan punca darjah n x kepada darjah m

Sekarang pertimbangkan fungsi yang merupakan punca bentuk berikut:
(4) .

Untuk mencari derivatif, kami menukar punca kepada fungsi kuasa:
.
Membandingkan dengan formula (3) kita melihatnya
.
Kemudian
.

Menggunakan formula (1) kita dapati derivatif:
(1) ;
;
(2) .

Dalam praktiknya, tidak perlu menghafal formula (2). Adalah lebih mudah untuk mula-mula mengubah akar kepada fungsi kuasa, dan kemudian mencari derivatifnya menggunakan formula (1) (lihat contoh di penghujung halaman).

Kes x = 0

Jika , maka fungsi kuasa ditakrifkan untuk nilai pembolehubah x = 0 . 0 Mari kita cari terbitan bagi fungsi (3) pada x =
.

. 0 :
.
Untuk melakukan ini, kami menggunakan definisi derivatif:

Mari kita gantikan x =
.
Dalam kes ini, dengan terbitan yang kami maksudkan adalah had sebelah kanan yang .
Jadi kami mendapati:
Jadi kami mendapati:
Daripada ini jelas bahawa untuk , .
(1) .
Pada , . 0 .

Keputusan ini juga diperoleh daripada formula (1):< 0

Oleh itu, formula (1) juga sah untuk x =
(3) .
Kes x Pertimbangkan fungsi (3) sekali lagi: Untuk nilai tertentu pemalar a, ia juga ditakrifkan untuk nilai negatif pembolehubah x.
,
Iaitu, biarlah nombor rasional.

. Kemudian ia boleh diwakili sebagai pecahan tidak boleh dikurangkan: 3 di mana m dan n ialah integer tanpa 1 pembahagi biasa Jika n adalah ganjil, maka fungsi kuasa juga ditakrifkan untuk nilai negatif pembolehubah x. Sebagai contoh, apabila n =
.
dan m =

kita ada
.
akar kubus
.
daripada x:

.
Ia juga ditakrifkan untuk nilai negatif pembolehubah x.
.
Mari kita cari terbitan bagi fungsi kuasa (3) untuk dan bagi nilai rasional pemalar a yang mana ia ditakrifkan. Untuk melakukan ini, bayangkan x dalam bentuk berikut:
.
Kemudian
.
Kemudian,
(1) .

Kami mencari terbitan dengan meletakkan pemalar di luar tanda terbitan dan menggunakan peraturan untuk membezakan fungsi kompleks:

Di sini. Tetapi
(3) .
Sejak itu
.

Iaitu, formula (1) juga sah untuk:
.
Derivatif pesanan lebih tinggi
;

.

Sekarang mari kita cari derivatif tertib tinggi bagi fungsi kuasa Kami telah menemui derivatif pesanan pertama: Dengan mengambil pemalar a di luar tanda terbitan, kita dapati terbitan tertib kedua:
.

Begitu juga, kita dapati derivatif bagi susunan ketiga dan keempat: Daripada ini jelas bahawa terbitan urutan ke-n sewenang-wenangnya mempunyai bentuk berikut:
.
Perhatikan bahawa
,
jika a ialah

nombor asli

, maka terbitan ke-n adalah tetap:

Maka semua derivatif berikutnya adalah sama dengan sifar:
.

fungsi kompleks

di .
;
.
Contoh pengiraan derivatif
.

Contoh
;
.
Cari terbitan bagi fungsi:
.