Bagaimana untuk mencari jarak antara titik dan garis. Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris? Persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu

Dalam geometri analitikal, lokasi set titik kepunyaan garis lurus dalam ruang diterangkan oleh persamaan. Untuk mana-mana titik dalam tangen ruang kepada garis ini, adalah mungkin untuk menentukan parameter, apa yang dipanggil sisihan. Jika ia sama dengan sifar, maka titik itu terletak pada garisan, dan sebarang nilai sisihan lain, yang diambil modulo, menentukan jarak terpendek antara garis lurus dan titik. Anda boleh mengiranya jika anda mengetahui persamaan garis dan koordinat titik.

Arahan

1. Untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk umum, tetapkan koordinat titik sebagai A?(X?;Y?;Z?), koordinat titik yang paling hampir dengannya pada garis yang dipertimbangkan sebagai A?(X?;Y ?;Z?), dan tuliskan persamaan garis dalam bentuk ini: a*X + b*Y + c*Z – d = 0. Anda perlu menentukan panjang segmen A?A?, satu yang terletak pada garis berserenjang dengan yang diterangkan oleh persamaan. Vektor arah berserenjang ("tipikal")? = (a;b;c) akan membantu mencipta persamaan kanonik yang melalui titik A? dan A? garis lurus: (X-X?)/a=(Y-Y?)/b=(Z-Z?)/c.

2. Tulis persamaan kanonik dalam bentuk parametrik (X = a*t+X?, Y = b*t+Y? dan Z = c*t+Z?) dan cari nilai parameter t? garis bersilang. Untuk melakukan ini, gantikan ungkapan parametrik ke dalam persamaan garis lurus awal: a*(a*t?+X?) + b*(b*t?+Y?) + c*(c*t?+Z? ) – d = 0. Selepas ini, nyatakan parameter t daripada kesamaan: t? = (d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?).

3. Gantikan nilai t yang diperolehi dalam langkah sebelumnya? kepada koordinat yang menentukan titik A? persamaan parametrik: X? = a*t?+X? = a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + X?, Y? = b*t?+Y? = b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y? dan Z? = c*t?+Z? = c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?. Sekarang anda mempunyai koordinat 2 mata, yang tinggal hanyalah mengira jarak yang mereka tentukan (L).

4. Untuk memperoleh nilai berangka jarak antara titik dengan koordinat yang diketahui dan garis lurus yang diberikan oleh persamaan terkenal, hitung nilai berangka koordinat titik A?(X?;Y?;Z?) menggunakan formula dari langkah sebelumnya dan gantikan nilai ke dalam formula ini:L = (a *(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / ( a? + b? + c?) Jika keputusan perlu diperolehi dalam bentuk umum, ia akan diterangkan dengan persamaan yang agak besar. Gantikan nilai unjuran titik A? ke tiga paksi koordinat menggunakan kesamaan daripada langkah sebelumnya dan ringkaskan kesamaan yang terhasil sejauh mungkin: L = (a*(X? – X?) + b*(Y? – Y?) + c*(Z? – Z?)) / ( a? + b? + c?) = (a*(X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b ? + c?)) + X?) + b*(Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Y?) + c *(Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + Z?)) / (a? + b? + c?) = (a*(2*X? – a*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c ?))) + b *(2*Y? – b*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) + c* (2*Z? – c*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)))) / (a? + b? + c ?) = (2* a*X? – a?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*b* Y – b?* ((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?)) + 2*c*Z? – c?*((d – a*X? – b*Y? – c*Z?)/(a? + b? + c?))) / (a? + b? + c?)

5. Jika hanya keputusan berangka yang penting, dan kemajuan penyelesaian masalah tidak penting, gunakan kalkulator dalam talian, yang direka khusus untuk mengira jarak antara titik dan garis dalam sistem koordinat ortogon ruang tiga dimensi - http ://ru.onlinemschool.com/math/ assistance/cartesian_coordinate/p_line. Di sini anda boleh meletakkan koordinat titik dalam medan yang sesuai, masukkan persamaan garis dalam bentuk parametrik atau kanonik, dan kemudian dapatkan hasilnya dengan mengklik butang "Kesan jarak dari titik ke garisan".

Video mengenai topik

Oh-oh-oh-oh-oh... baik, sukar, seolah-olah dia membaca ayat untuk dirinya sendiri =) Namun, kelonggaran akan membantu kemudian, terutamanya sejak hari ini saya membeli aksesori yang sesuai. Oleh itu, mari kita teruskan ke bahagian pertama, saya berharap pada akhir artikel saya akan mengekalkan mood yang ceria.

Kedudukan relatif dua garis lurus

Ini berlaku apabila penonton menyanyi bersama dalam korus. Dua garis lurus boleh:

1) perlawanan;

2) selari: ;

3) atau bersilang pada satu titik: .

Bantuan untuk dummies : tolong ingat tanda matematik persimpangan, ia akan berlaku sangat kerap. Notasi bermaksud garis bersilang dengan garis pada titik .

Bagaimana untuk menentukan kedudukan relatif dua baris?

Mari kita mulakan dengan kes pertama:

Dua garis bertepatan jika dan hanya jika pekali sepadannya adalah berkadar, iaitu, terdapat nombor "lambda" supaya kesamaan itu dipenuhi

Mari kita pertimbangkan garis lurus dan cipta tiga persamaan daripada pekali yang sepadan: . Daripada setiap persamaan ia mengikuti bahawa, oleh itu, garis-garis ini bertepatan.

Sesungguhnya, jika semua pekali persamaan darab dengan –1 (tanda perubahan), dan semua pekali persamaan dipotong dengan 2, anda mendapat persamaan yang sama: .

Kes kedua, apabila garis selari:

Dua garis adalah selari jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya adalah berkadar: , Tetapi.

Sebagai contoh, pertimbangkan dua garis lurus. Kami menyemak perkadaran pekali yang sepadan untuk pembolehubah:

Walau bagaimanapun, ia agak jelas.

Dan kes ketiga, apabila garis bersilang:

Dua garis bersilang jika dan hanya jika pekali pembolehubahnya TIDAK berkadar, iaitu, TIADA nilai "lambda" sedemikian sehingga kesamaan itu dipenuhi

Jadi, untuk garis lurus kami akan mencipta sistem:

Daripada persamaan pertama ia mengikuti bahawa , dan daripada persamaan kedua: , yang bermaksud sistem tidak konsisten(tiada penyelesaian). Oleh itu, pekali pembolehubah adalah tidak berkadar.

Kesimpulan: garis bersilang

Dalam masalah praktikal, anda boleh menggunakan skema penyelesaian yang baru dibincangkan. Ngomong-ngomong, ia sangat mengingatkan algoritma untuk menyemak vektor untuk keselarasan, yang kami lihat di dalam kelas Konsep kebergantungan linear (dalam) vektor. Asas vektor. Tetapi terdapat pembungkusan yang lebih bertamadun:

Contoh 1

Cari tahu kedudukan relatif langsung:

Penyelesaian berdasarkan kajian arah vektor garis lurus:

a) Daripada persamaan kita dapati vektor arah garis: .

, yang bermaksud bahawa vektor bukan kolinear dan garisan bersilang.

Untuk berjaga-jaga, saya akan meletakkan batu dengan tanda di persimpangan jalan:

Selebihnya melompat ke atas batu dan mengikuti lebih jauh, terus ke Kashchei the Immortal =)

b) Cari vektor arah garis:

Garisan mempunyai vektor arah yang sama, yang bermaksud sama ada selari atau bertepatan. Tidak perlu mengira penentu di sini.

Jelas sekali bahawa pekali bagi yang tidak diketahui adalah berkadar, dan .

Mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar:

Oleh itu,

c) Cari vektor arah garis:

Mari kita hitung penentu yang terdiri daripada koordinat vektor ini:
, oleh itu, vektor arah adalah kolinear. Garis sama ada selari atau bertepatan.

Pekali perkadaran "lambda" mudah dilihat secara langsung daripada nisbah vektor arah kolinear. Walau bagaimanapun, ia juga boleh didapati melalui pekali persamaan itu sendiri: .

Sekarang mari kita ketahui sama ada persamaan itu benar. Kedua-dua syarat percuma adalah sifar, jadi:

Nilai yang terhasil memuaskan persamaan ini(sebarang nombor biasanya memenuhinya).

Oleh itu, garisan bertepatan.

Jawab:

Tidak lama lagi anda akan belajar (atau sudah pun belajar) untuk menyelesaikan masalah yang dibincangkan secara lisan secara literal dalam masa beberapa saat. Dalam hal ini, saya tidak melihat ada gunanya menawarkan apa-apa untuknya keputusan bebas, adalah lebih baik untuk meletakkan satu lagi bata penting dalam asas geometri:

Bagaimana untuk membina garis selari dengan yang diberikan?

Atas kejahilan ini tugas paling mudah Nightingale the Perompak menghukum dengan keras.

Contoh 2

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan untuk garis selari yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Mari kita nyatakan baris yang tidak diketahui dengan huruf . Apa yang dikatakan keadaan tentang dia? Garis lurus melalui titik itu. Dan jika garisan selari, maka jelas bahawa vektor arah garis lurus "tse" juga sesuai untuk membina garis lurus "de".

Kami mengambil vektor arah daripada persamaan:

Jawab:

Contoh geometri kelihatan mudah:

Ujian analitik terdiri daripada langkah-langkah berikut:

1) Kami menyemak bahawa garisan mempunyai vektor arah yang sama (jika persamaan garis tidak dipermudahkan dengan betul, maka vektor akan menjadi kolinear).

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil.

Dalam kebanyakan kes, ujian analitik boleh dilakukan secara lisan dengan mudah. Lihatlah dua persamaan, dan ramai di antara anda akan dengan cepat menentukan keselarian garisan tanpa sebarang lukisan.

Contoh untuk penyelesaian bebas hari ini akan menjadi kreatif. Kerana anda masih perlu bersaing dengan Baba Yaga, dan dia, anda tahu, adalah pencinta pelbagai teka-teki.

Contoh 3

Tulis persamaan untuk garis yang melalui titik selari dengan garis jika

Terdapat cara yang rasional dan tidak begitu rasional untuk menyelesaikannya. Cara terpendek ialah pada akhir pelajaran.

Kami bekerja sedikit dengan garis selari dan akan kembali kepada mereka kemudian. Kes garisan bertepatan adalah kurang menarik, jadi mari kita pertimbangkan masalah yang biasa anda ketahui kurikulum sekolah:

Bagaimana untuk mencari titik persilangan dua garis?

Jika lurus bersilang pada titik , maka koordinatnya ialah penyelesaiannya sistem persamaan linear

Bagaimana untuk mencari titik persilangan garis? Selesaikan sistem.

Di sini anda pergi makna geometri sistem dua persamaan linear dengan dua yang tidak diketahui- ini adalah dua garis bersilang (paling kerap) pada satah.

Contoh 4

Cari titik persilangan garis

Penyelesaian: Terdapat dua cara untuk menyelesaikan - grafik dan analitik.

Kaedah grafik adalah dengan hanya melukis garisan yang diberikan dan mengetahui titik persilangan terus dari lukisan:

Inilah point kami: . Untuk menyemak, anda harus menggantikan koordinatnya ke dalam setiap persamaan garis itu; Dengan kata lain, koordinat titik adalah penyelesaian kepada sistem. Pada asasnya, kami melihat penyelesaian grafik sistem persamaan linear dengan dua persamaan, dua tidak diketahui.

Kaedah grafik, tentu saja, tidak buruk, tetapi terdapat kelemahan yang ketara. Tidak, maksudnya bukanlah bahawa pelajar gred tujuh membuat keputusan dengan cara ini, perkara utama ialah ia akan mengambil masa untuk mencipta lukisan yang betul dan TEPAT. Di samping itu, beberapa garis lurus tidak begitu mudah untuk dibina, dan titik persilangan itu sendiri mungkin terletak di suatu tempat dalam kerajaan ketiga puluh di luar helaian buku nota.

Oleh itu, adalah lebih sesuai untuk mencari titik persilangan menggunakan kaedah analisis. Mari selesaikan sistem:

Untuk menyelesaikan sistem, kaedah penambahan sebutan demi sebutan bagi persamaan telah digunakan. Untuk mengembangkan kemahiran yang relevan, ambil pelajaran Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan?

Jawab:

Semakan adalah remeh - koordinat titik persilangan mesti memenuhi setiap persamaan sistem.

Contoh 5

Cari titik persilangan garis jika ia bersilang.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Adalah mudah untuk membahagikan tugas kepada beberapa peringkat. Analisis keadaan menunjukkan bahawa perlu:
1) Tuliskan persamaan garis lurus.
2) Tuliskan persamaan garis lurus.
3) Ketahui kedudukan relatif garisan tersebut.
4) Jika garis bersilang, maka cari titik persilangan.

Pembangunan algoritma tindakan adalah tipikal bagi kebanyakan orang masalah geometri, dan saya akan berulang kali menumpukan pada perkara ini.

Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran:

Tidak ada sepasang kasut pun yang haus sebelum kami sampai ke bahagian kedua pelajaran:

Garis serenjang. Jarak dari titik ke garis.
Sudut antara garis lurus

Mari kita mulakan dengan tipikal dan sangat tugas penting. Pada bahagian pertama, kami belajar cara membina garis lurus selari dengan yang ini, dan kini pondok di kaki ayam akan bertukar 90 darjah:

Bagaimana untuk membina garis berserenjang dengan yang diberikan?

Contoh 6

Garis lurus diberikan oleh persamaan. Tulis persamaan berserenjang dengan garis yang melalui titik itu.

Penyelesaian: Dengan syarat diketahui bahawa . Alangkah baiknya untuk mencari vektor pengarah baris. Oleh kerana garisan adalah serenjang, silap mata adalah mudah:

Daripada persamaan kita "mengeluarkan" vektor normal: , yang akan menjadi vektor arah garis lurus.

Mari kita susun persamaan garis lurus menggunakan titik dan vektor arah:

Jawab:

Mari kembangkan lakaran geometri:

Hmmm... Langit oren, laut oren, unta oren.

Pemeriksaan analitikal penyelesaian:

1) Kami mengeluarkan vektor arah daripada persamaan dan dengan bantuan hasil darab skalar bagi vektor kita sampai pada kesimpulan bahawa garis-garis itu memang berserenjang: .

Dengan cara ini, anda boleh menggunakan vektor biasa, ia lebih mudah.

2) Periksa sama ada titik itu memenuhi persamaan yang terhasil .

Ujian itu, sekali lagi, mudah dilakukan secara lisan.

Contoh 7

Cari titik persilangan garis serenjang jika persamaan diketahui dan tempoh.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Terdapat beberapa tindakan dalam masalah, jadi mudah untuk merumuskan penyelesaian titik demi titik.

kami perjalanan yang mengujakan berterusan:

Jarak dari titik ke garisan

Kami mempunyai jalur sungai yang lurus di hadapan kami dan tugas kami adalah untuk pergi ke sana dengan laluan terpendek. Tiada halangan, dan laluan yang paling optimum adalah untuk bergerak di sepanjang serenjang. Iaitu, jarak dari titik ke garis ialah panjang segmen serenjang.

Jarak dalam geometri secara tradisinya dilambangkan dengan huruf Yunani “rho”, contohnya: – jarak dari titik “em” ke garis lurus “de”.

Jarak dari titik ke garisan dinyatakan oleh formula

Contoh 8

Cari jarak dari satu titik ke garis

Penyelesaian: apa yang anda perlu lakukan ialah dengan berhati-hati menggantikan nombor ke dalam formula dan menjalankan pengiraan:

Jawab:

Mari buat lukisan:

Jarak yang ditemui dari titik ke garisan adalah betul-betul panjang ruas merah. Jika anda melukis lukisan di atas kertas berkotak-kotak pada skala 1 unit. = 1 cm (2 sel), maka jarak boleh diukur dengan pembaris biasa.

Mari kita pertimbangkan tugas lain berdasarkan lukisan yang sama:

Tugasnya adalah untuk mencari koordinat titik yang simetri kepada titik berbanding dengan garis lurus . Saya cadangkan anda melakukan langkah-langkah itu sendiri, tetapi saya akan menggariskan algoritma penyelesaian dengan keputusan pertengahan:

1) Cari garis yang berserenjang dengan garis.

2) Cari titik persilangan garis: .

Kedua-dua tindakan dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran ini.

3) Titik ialah titik tengah segmen. Kami tahu koordinat tengah dan salah satu hujung. Oleh formula untuk koordinat titik tengah segmen kita dapati.

Adalah idea yang baik untuk menyemak bahawa jaraknya juga 2.2 unit.

Kesukaran mungkin timbul dalam pengiraan di sini, tetapi mikrokalkulator adalah bantuan besar dalam menara, membolehkan anda mengira pecahan sepunya. Saya telah menasihati anda berkali-kali dan akan mengesyorkan anda sekali lagi.

Bagaimana untuk mencari jarak antara dua garis selari?

Contoh 9

Cari jarak antara dua garis selari

Ini adalah satu lagi contoh untuk anda membuat keputusan sendiri. Saya akan memberi anda sedikit petunjuk: terdapat banyak cara untuk menyelesaikannya. Memberi taklimat pada akhir pelajaran, tetapi lebih baik anda cuba meneka sendiri, saya rasa kepintaran anda telah berkembang dengan baik.

Sudut antara dua garis lurus

Setiap sudut adalah jamb:


Dalam geometri, sudut antara dua garis lurus diambil sebagai sudut yang LEBIH KECIL, dari mana ia secara automatik mengikuti bahawa ia tidak boleh menjadi tumpul. Dalam rajah, sudut yang ditunjukkan oleh lengkok merah tidak dianggap sebagai sudut antara garis bersilang. Dan jirannya "hijau" atau berorientasikan bertentangan sudut "raspberi".

Jika garisan itu berserenjang, maka mana-mana daripada 4 sudut itu boleh diambil sebagai sudut di antaranya.

Bagaimanakah sudut berbeza? Orientasi. Pertama, arah sudut "menatal" pada asasnya penting. Kedua, sudut berorientasikan negatif ditulis dengan tanda tolak, contohnya jika .

Mengapa saya memberitahu anda ini? Nampaknya kita boleh bertahan dengan konsep sudut yang biasa. Hakikatnya ialah dalam formula yang mana kita akan mencari sudut, ia boleh dengan mudah berubah keputusan negatif, dan ia tidak sepatutnya mengejutkan anda. Sudut dengan tanda tolak tidak lebih buruk, dan mempunyai makna geometri yang sangat spesifik. Pada lukisan untuk sudut negatif Pastikan anda menunjukkan orientasinya dengan anak panah (mengikut arah jam).

Bagaimana untuk mencari sudut antara dua garis lurus? Terdapat dua formula kerja:

Contoh 10

Cari sudut antara garis

Penyelesaian Dan Kaedah satu

Mari kita pertimbangkan dua garis lurus yang ditakrifkan oleh persamaan dalam bentuk umum:

Jika lurus tidak berserenjang, Itu berorientasikan Sudut di antara mereka boleh dikira menggunakan formula:

yang paling banyak perhatian rapat mari kita balikkan kepada penyebut - ini betul-betul produk titik mengarah vektor garis lurus:

Jika , maka penyebut formula menjadi sifar, dan vektor akan menjadi ortogon dan garis akan berserenjang. Itulah sebabnya tempahan dibuat tentang ketidakserenjangan garis lurus dalam formulasi.

Berdasarkan perkara di atas, adalah mudah untuk memformalkan penyelesaian dalam dua langkah:

1) Mari kita hitung hasil kali skalar bagi vektor arah garis:
, yang bermaksud garisan tidak berserenjang.

2) Cari sudut antara garis lurus menggunakan formula:

Dengan menggunakan fungsi songsang Mudah untuk mencari sudut itu sendiri. Dalam kes ini, kami menggunakan keganjilan arctangent (lihat. Graf dan sifat fungsi asas):

Jawab:

Dalam jawapan kami menunjukkan nilai yang tepat, serta nilai anggaran (sebaik-baiknya dalam kedua-dua darjah dan radian), dikira menggunakan kalkulator.

Nah, tolak, tolak, bukan masalah besar. Berikut ialah ilustrasi geometri:

Tidak menghairankan bahawa sudut itu ternyata berorientasikan negatif, kerana dalam penyataan masalah nombor pertama adalah garis lurus dan "membuka skru" sudut bermula tepat dengannya.

Jika anda benar-benar ingin mendapatkan sudut positif, anda perlu menukar garisan, iaitu, ambil pekali dari persamaan kedua , dan ambil pekali daripada persamaan pertama. Pendek kata, anda perlu bermula dengan langsung .

Jarak dari titik ke garis ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik ke garis. DALAM geometri deskriptif ia ditentukan secara grafik mengikut algoritma di bawah.

Algoritma

1. Garis lurus digerakkan ke kedudukan di mana ia akan selari dengan mana-mana satah unjuran. Untuk tujuan ini, kaedah mengubah unjuran ortogon digunakan.
2. Dari satu titik serenjang dilukis ke garisan. Pada intinya pembinaan ini terletak teorem pada unjuran sudut tegak.
3. Panjang serenjang ditentukan dengan mengubah unjurannya atau menggunakan kaedah segi tiga tepat.

Rajah berikut menunjukkan lukisan kompleks titik M dan garis lurus b, diberikan oleh segmen CD. Anda perlu mencari jarak antara mereka.

Menurut algoritma kami, perkara pertama yang perlu dilakukan ialah mengalihkan garis lurus ke kedudukan selari dengan kapal terbang unjuran. Adalah penting untuk memahami bahawa selepas transformasi telah dijalankan, jarak sebenar antara titik dan garis tidak sepatutnya berubah. Itulah sebabnya adalah mudah di sini untuk menggunakan kaedah penggantian pesawat, yang tidak melibatkan angka bergerak di angkasa.

Keputusan peringkat pertama pembinaan ditunjukkan di bawah. Rajah menunjukkan bagaimana satah hadapan tambahan P 4 diperkenalkan selari dengan b. DALAM sistem baru(P 1, P 4) titik C"" 1, D"" 1, M"" 1 berada pada jarak yang sama dari paksi X 1 dengan C"", D"", M"" dari paksi X.

Menjalankan bahagian kedua algoritma, dari M"" 1 kita menurunkan serenjang M"" 1 N"" 1 ke garis lurus b"" 1, kerana sudut tepat MND antara b dan MN diunjurkan ke satah P 4 dalam saiz penuh. Menggunakan talian komunikasi, kami menentukan kedudukan titik N" dan menjalankan unjuran M"N" segmen MN.

hidup peringkat akhir anda perlu menentukan saiz segmen MN daripada unjurannya M"N" dan M"" 1 N"" 1. Untuk ini kami sedang membina segi tiga tepat M"" 1 N"" 1 N 0, yang kakinya N"" 1 N 0 adalah sama dengan beza (Y M 1 – Y N 1) jarak titik M" dan N" dari paksi X 1. Panjang hipotenus M"" 1 N 0 segitiga M"" 1 N"" 1 N 0 sepadan dengan jarak yang dikehendaki dari M ke b.

Penyelesaian kedua

• Selari dengan CD, kami memperkenalkan pesawat hadapan P 4 yang baharu. Ia bersilang P 1 sepanjang paksi X 1, dan X 1 ∥C"D". Selaras dengan kaedah menggantikan satah, kami menentukan unjuran titik C"" 1, D"" 1 dan M"" 1, seperti yang ditunjukkan dalam rajah.
• Serenjang dengan C"" 1 D"" 1 kita membina tambahan satah mendatar P 5 ke atas garis lurus b diunjurkan ke titik C" 2 = b" 2.
• Jarak antara titik M dan garis b ditentukan oleh panjang segmen M" 2 C" 2, ditunjukkan dengan warna merah.

Tugasan serupa:

Mengekalkan privasi anda adalah penting bagi kami. Atas sebab ini, kami telah membangunkan Dasar Privasi yang menerangkan cara kami menggunakan dan menyimpan maklumat anda. Sila semak amalan privasi kami dan beritahu kami jika anda mempunyai sebarang soalan.

Pengumpulan dan penggunaan maklumat peribadi

Maklumat peribadi merujuk kepada data yang boleh digunakan untuk mengenal pasti atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan maklumat peribadi anda pada bila-bila masa apabila anda menghubungi kami.

Di bawah ialah beberapa contoh jenis maklumat peribadi yang mungkin kami kumpulkan dan cara kami boleh menggunakan maklumat tersebut.

Apakah maklumat peribadi yang kami kumpulkan:

• Apabila anda menghantar permohonan di tapak, kami mungkin mengumpul pelbagai maklumat, termasuk nama, nombor telefon, alamat anda emel dll.

Cara kami menggunakan maklumat peribadi anda:

• Dikumpul oleh kami maklumat peribadi membolehkan kami menghubungi anda dan memaklumkan anda tentang tawaran unik, promosi dan acara lain serta acara akan datang.
• Dari semasa ke semasa, kami mungkin menggunakan maklumat peribadi anda untuk menghantar notis dan komunikasi penting.
• Kami juga mungkin menggunakan maklumat peribadi untuk tujuan dalaman, seperti menjalankan audit, analisis data dan pelbagai penyelidikan untuk menambah baik perkhidmatan yang kami sediakan dan memberikan anda cadangan mengenai perkhidmatan kami.
• Jika anda menyertai cabutan hadiah, peraduan atau promosi yang serupa, kami mungkin menggunakan maklumat yang anda berikan untuk mentadbir program tersebut.

Pendedahan maklumat kepada pihak ketiga

Kami tidak mendedahkan maklumat yang diterima daripada anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu, mengikut undang-undang, prosedur kehakiman, dalam prosiding undang-undang, dan/atau berdasarkan pertanyaan awam atau permintaan daripada agensi kerajaan di wilayah Persekutuan Rusia - mendedahkan maklumat peribadi anda. Kami juga mungkin mendedahkan maklumat tentang anda jika kami menentukan bahawa pendedahan tersebut perlu atau sesuai untuk keselamatan, penguatkuasaan undang-undang atau tujuan kepentingan awam yang lain.
• Sekiranya berlaku penyusunan semula, penggabungan atau penjualan, kami mungkin memindahkan maklumat peribadi yang kami kumpulkan kepada pihak ketiga pengganti yang berkenaan.

Perlindungan maklumat peribadi

Kami mengambil langkah berjaga-jaga - termasuk pentadbiran, teknikal dan fizikal - untuk melindungi maklumat peribadi anda daripada kehilangan, kecurian dan penyalahgunaan, serta akses, pendedahan, pengubahan dan pemusnahan tanpa kebenaran.

Menghormati privasi anda di peringkat syarikat

Untuk memastikan maklumat peribadi anda selamat, kami menyampaikan piawaian privasi dan keselamatan kepada pekerja kami dan menguatkuasakan amalan privasi dengan ketat.

Artikel ini membincangkan topik tersebut « jarak dari satu titik ke garis », Membincangkan takrifan jarak dari titik ke garisan dengan contoh bergambar menggunakan kaedah koordinat. Setiap blok teori pada akhir telah menunjukkan contoh penyelesaian masalah yang serupa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Jarak dari titik ke garisan didapati dengan menentukan jarak dari titik ke titik. Mari kita lihat lebih dekat.

Biarkan ada garis a dan titik M 1 yang tidak termasuk dalam garisan yang diberi. Melaluinya kita lukis garis lurus b, terletak berserenjang dengan garis lurus a. Mari kita ambil titik persilangan garis sebagai H 1. Kami memperoleh bahawa M 1 H 1 ialah serenjang yang diturunkan dari titik M 1 ke garis lurus a.

Definisi 1

Jarak dari titik M 1 ke garis lurus a dipanggil jarak antara titik M 1 dan H 1.

Terdapat definisi yang merangkumi panjang serenjang.

Definisi 2

Jarak dari titik ke garisan ialah panjang serenjang yang dilukis dari titik tertentu ke garis tertentu.

Takrifan adalah setara. Pertimbangkan rajah di bawah.

Adalah diketahui bahawa jarak dari titik ke garis adalah yang terkecil dari semua yang mungkin. Mari kita lihat ini dengan contoh.

Jika kita mengambil titik Q terletak pada garis lurus a, yang tidak bertepatan dengan titik M 1, maka kita memperoleh bahawa segmen M 1 Q dipanggil segmen condong, diturunkan dari M 1 ke garis lurus a. Adalah perlu untuk menunjukkan bahawa serenjang dari titik M 1 adalah kurang daripada mana-mana garis condong lain yang dilukis dari titik ke garis lurus.

Untuk membuktikannya, pertimbangkan segi tiga M 1 Q 1 H 1, di mana M 1 Q 1 ialah hipotenus. Adalah diketahui bahawa panjangnya sentiasa lebih besar daripada panjang mana-mana kaki. Ini bermakna kita mempunyai M 1 H 1< M 1 Q . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Data awal untuk mencari dari titik ke garis membolehkan anda menggunakan beberapa kaedah penyelesaian: melalui teorem Pythagoras, penentuan sinus, kosinus, tangen sudut dan lain-lain. Kebanyakan tugasan jenis ini diselesaikan di sekolah semasa pelajaran geometri.

Apabila, apabila mencari jarak dari titik ke garis, adalah mungkin untuk memperkenalkan sistem koordinat segi empat tepat, maka kaedah koordinat digunakan. DALAM pada ketika ini Mari kita pertimbangkan dua kaedah utama untuk mencari jarak yang diperlukan dari titik tertentu.

Kaedah pertama melibatkan pencarian jarak sebagai serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis lurus a. Kaedah kedua menggunakan persamaan biasa garis lurus a untuk mencari jarak yang diperlukan.

Jika terdapat satu titik pada satah dengan koordinat M 1 (x 1, y 1), terletak di sistem segi empat tepat koordinat, garis lurus a, dan perlu mencari jarak M 1 H 1, pengiraan boleh dibuat dalam dua cara. Mari lihat mereka.

Cara pertama

Jika terdapat koordinat titik H 1 bersamaan dengan x 2, y 2, maka jarak dari titik ke garis dikira menggunakan koordinat dari formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2). - y 1) 2.

Sekarang mari kita teruskan untuk mencari koordinat titik H 1.

Adalah diketahui bahawa garis lurus dalam O x y sepadan dengan persamaan garis lurus pada satah. Mari kita ambil kaedah mentakrifkan garis lurus a dengan menulis persamaan am garis lurus atau persamaan dengan pekali sudut. Kami menyusun persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berserenjang dengan garis lurus a. Mari kita nyatakan garis lurus dengan huruf b. H 1 ialah titik persilangan garis a dan b, yang bermaksud untuk menentukan koordinat yang anda perlukan untuk menggunakan artikel di mana kita bercakap tentang tentang koordinat titik persilangan dua garis.

Dapat dilihat bahawa algoritma untuk mencari jarak dari titik tertentu M 1 (x 1, y 1) ke garis lurus a dijalankan mengikut titik:

Definisi 3

• mencari persamaan am bagi garis lurus a, mempunyai bentuk A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, atau persamaan dengan pekali sudut, mempunyai bentuk y = k 1 x + b 1;
• mendapatkan persamaan am bagi garis b, mempunyai bentuk A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau persamaan dengan pekali sudut y = k 2 x + b 2, jika garis b bersilang dengan titik M 1 dan berserenjang dengan baris yang diberi a;
• penentuan koordinat x 2, y 2 bagi titik H 1, iaitu titik persilangan a dan b, untuk tujuan ini sistem persamaan linear diselesaikan A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0 atau y = k 1 x + b 1 y = k 2 x + b 2 ;
• mengira jarak yang diperlukan dari titik ke garis menggunakan formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

Cara kedua

Teorem boleh membantu menjawab soalan mencari jarak dari titik tertentu ke garis lurus tertentu pada satah.

Teorem

Sistem koordinat segi empat tepat mempunyai O x y mempunyai titik M 1 (x 1, y 1), dari mana garis lurus dilukis ke satah, diberikan oleh persamaan normal satah, mempunyai bentuk cos α x + cos β y - p = 0, sama dengan Nilai mutlak yang diperoleh di sebelah kiri persamaan normal garis, dikira pada x = x 1, y = y 1, bermakna M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - hlm.

Bukti

Garis a sepadan dengan persamaan normal satah, yang mempunyai bentuk cos α x + cos β y - p = 0, maka n → = (cos α, cos β) dianggap vektor biasa garis a pada jarak dari asal ke garis a dengan unit p. Ia adalah perlu untuk memaparkan semua data dalam rajah, tambah satu titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1), di mana vektor jejari titik M 1 - O M 1 → = (x 1, y 1). Ia adalah perlu untuk melukis garis lurus dari satu titik ke garis lurus, yang kita nyatakan sebagai M 1 H 1 . Adalah perlu untuk menunjukkan unjuran M 2 dan H 2 bagi titik M 1 dan H 2 ke atas garis lurus yang melalui titik O dengan vektor arah dalam bentuk n → = (cos α, cos β), dan menandakan unjuran berangka vektor sebagai O M 1 → = (x 1, y 1) ke arah n → = (cos α , cos β) sebagai n p n → O M 1 → .

Variasi bergantung pada lokasi titik M1 itu sendiri. Mari lihat rajah di bawah.

Kami menetapkan keputusan menggunakan formula M 1 H 1 = n p n → O M → 1 - p. Kemudian kita bawa kesamaan kepada bentuk ini M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p untuk mendapatkan n p n → O M → 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 .

Produk dot vektor menghasilkan formula berubah bentuk n → , O M → 1 = n → · n p n → O M 1 → = 1 · n p n → O M 1 → = n p n → O M 1 → , yang merupakan hasil darab dalam bentuk koordinat bentuk n → , O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ini bermakna kita mendapat bahawa n p n → O M 1 → = cos α · x 1 + cos β · y 1 . Ia berikutan bahawa M 1 H 1 = n p n → O M 1 → - p = cos α · x 1 + cos β · y 1 - p. Teorem terbukti.

Kami mendapati bahawa untuk mencari jarak dari titik M 1 (x 1, y 1) ke garis lurus a pada satah, anda perlu melakukan beberapa tindakan:

Definisi 4

• mendapatkan persamaan normal garis lurus a cos α · x + cos β · y - p = 0, dengan syarat ia tidak berada dalam tugas;
• pengiraan ungkapan cos α · x 1 + cos β · y 1 - p, di mana nilai yang terhasil mengambil M 1 H 1.

Mari gunakan kaedah ini untuk menyelesaikan masalah dengan mencari jarak dari titik ke satah.

Contoh 1

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 1, 2) ke garis lurus 4 x - 3 y + 35 = 0.

Penyelesaian

Mari gunakan kaedah pertama untuk menyelesaikannya.

Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk mencari persamaan umum garis b, yang melalui titik tertentu M 1 (- 1, 2), berserenjang dengan garis 4 x - 3 y + 35 = 0. Daripada keadaan itu jelas bahawa garis b adalah berserenjang dengan garis a, maka vektor arahnya mempunyai koordinat sama dengan (4, - 3). Oleh itu, kita mempunyai peluang untuk menuliskan persamaan kanonik garis b pada satah, kerana terdapat koordinat titik M 1, yang tergolong dalam garis b. Mari tentukan koordinat bagi vektor arah bagi garis lurus b. Kami mendapat bahawa x - (- 1) 4 = y - 2 - 3 ⇔ x + 1 4 = y - 2 - 3. Persamaan kanonik yang terhasil mesti ditukar kepada persamaan umum. Kemudian kita mendapat itu

x + 1 4 = y - 2 - 3 ⇔ - 3 · (x + 1) = 4 · (y - 2) ⇔ 3 x + 4 y - 5 = 0

Mari kita cari koordinat titik persilangan garis, yang akan kita ambil sebagai sebutan H 1. Transformasi kelihatan seperti ini:

4 x - 3 y + 35 = 0 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 x + 4 y - 5 = 0 ⇔ x = 3 4 y - 35 4 3 3 4 y - 35 4 + 4 y - 5 = 0 ⇔ ⇔ x = 3 4 y - 35 4 y = 5 ⇔ x = 3 4 5 - 35 4 y = 5 ⇔ x = - 5 y = 5

Daripada apa yang ditulis di atas, kita mempunyai bahawa koordinat titik H 1 adalah sama dengan (- 5; 5).

Ia adalah perlu untuk mengira jarak dari titik M 1 ke garis lurus a. Kami mempunyai koordinat titik M 1 (- 1, 2) dan H 1 (- 5, 5), kemudian kami menggantikannya ke dalam formula untuk mencari jarak dan mendapatkannya

M 1 H 1 = (- 5 - (- 1) 2 + (5 - 2) 2 = 25 = 5

Penyelesaian kedua.

Untuk menyelesaikan dengan cara lain, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis. Kami mengira nilai faktor penormalan dan darab kedua-dua belah persamaan 4 x - 3 y + 35 = 0. Dari sini kita dapati bahawa faktor penormalan adalah sama dengan - 1 4 2 + (- 3) 2 = - 1 5, dan persamaan normalnya ialah dalam bentuk - 1 5 4 x - 3 y + 35 = - 1 5 0 ⇔ - 4 5 x + 3 5 y - 7 = 0 .

Menurut algoritma pengiraan, adalah perlu untuk mendapatkan persamaan normal garis dan mengiranya dengan nilai x = - 1, y = 2. Kemudian kita mendapat itu

4 5 · - 1 + 3 5 · 2 - 7 = - 5

Daripada ini kita perolehi bahawa jarak dari titik M 1 (- 1, 2) ke garis lurus yang diberi 4 x - 3 y + 35 = 0 mempunyai nilai - 5 = 5.

Jawapan: 5 .

Jelas bahawa dalam kaedah ini Adalah penting untuk menggunakan persamaan normal garis, kerana kaedah ini adalah yang paling pendek. Tetapi kaedah pertama adalah mudah kerana ia konsisten dan logik, walaupun ia mempunyai lebih banyak titik pengiraan.

Contoh 2

Pada satah itu terdapat sistem koordinat segi empat tepat O x y dengan titik M 1 (8, 0) dan garis lurus y = 1 2 x + 1. Cari jarak dari titik tertentu ke garis lurus.

Penyelesaian

Penyelesaian pertama melibatkan pemutus persamaan yang diberikan dengan kecerunan kepada persamaan pandangan umum. Untuk memudahkan perkara, anda boleh melakukannya secara berbeza.

Jika hasil darab pekali sudut garis lurus berserenjang mempunyai nilai - 1, maka cerun garis berserenjang dengan yang diberi y = 1 2 x + 1 mempunyai nilai 2. Sekarang kita mendapat persamaan garis yang melalui titik dengan koordinat M 1 (8, 0). Kami mempunyai y - 0 = - 2 · (x - 8) ⇔ y = - 2 x + 16 .

Kami meneruskan untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan y = - 2 x + 16 dan y = 1 2 x + 1. Kami menyusun sistem persamaan dan mendapatkan:

y = 1 2 x + 1 y = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 1 2 x + 1 = - 2 x + 16 ⇔ y = 1 2 x + 1 x = 6 ⇔ ⇔ y = 1 2 · 6 + 1 x = 6 = y = 4 x = 6 ⇒ H 1 (6, 4)

Ia berikutan bahawa jarak dari titik dengan koordinat M 1 (8, 0) ke garis lurus y = 1 2 x + 1 adalah sama dengan jarak dari titik mula dan titik akhir dengan koordinat M 1 (8, 0) dan H 1 (6, 4) . Mari kita mengira dan mendapati bahawa M 1 H 1 = 6 - 8 2 + (4 - 0) 2 20 = 2 5.

Penyelesaian dalam cara kedua ialah bergerak dari persamaan dengan pekali ke bentuk normalnya. Iaitu, kita mendapat y = 1 2 x + 1 ⇔ 1 2 x - y + 1 = 0, maka nilai faktor penormalan ialah - 1 1 2 2 + (- 1) 2 = - 2 5. Ia berikutan bahawa persamaan normal garis itu mengambil bentuk - 2 5 1 2 x - y + 1 = - 2 5 0 ⇔ - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Mari kita jalankan pengiraan dari titik M 1 8, 0 ke garis lurus bentuk - 1 5 x + 2 5 y - 2 5 = 0. Kami mendapat:

M 1 H 1 = - 1 5 8 + 2 5 0 - 2 5 = - 10 5 = 2 5

Jawapan: 2 5 .

Contoh 3

Adalah perlu untuk mengira jarak dari titik dengan koordinat M 1 (- 2, 4) ke garisan 2 x - 3 = 0 dan y + 1 = 0.

Penyelesaian

Kami memperoleh persamaan bentuk normal garis lurus 2 x - 3 = 0:

2 x - 3 = 0 ⇔ 1 2 2 x - 3 = 1 2 0 ⇔ x - 3 2 = 0

Kemudian kita meneruskan pengiraan jarak dari titik M 1 - 2, 4 ke garis lurus x - 3 2 = 0. Kami mendapat:

M 1 H 1 = - 2 - 3 2 = 3 1 2

Persamaan garis lurus y + 1 = 0 mempunyai faktor penormalan dengan nilai sama dengan -1. Ini bermakna persamaan akan mengambil bentuk - y - 1 = 0. Kami meneruskan pengiraan jarak dari titik M 1 (- 2, 4) ke garis lurus - y - 1 = 0. Kami mendapati bahawa ia adalah sama dengan - 4 - 1 = 5.

Jawapan: 3 1 2 dan 5.

Mari kita lihat lebih dekat mencari jarak dari titik tertentu pada pesawat ke paksi koordinat O x dan O y.

Dalam sistem koordinat segi empat tepat, paksi O y mempunyai persamaan garis lurus, yang tidak lengkap dan mempunyai bentuk x = 0, dan O x - y = 0. Persamaan adalah normal untuk paksi koordinat, maka perlu mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 x 1, y 1 ke garisan. Ini dilakukan berdasarkan formula M 1 H 1 = x 1 dan M 1 H 1 = y 1. Mari lihat rajah di bawah.

Contoh 4

Cari jarak dari titik M 1 (6, - 7) ke garis koordinat yang terletak dalam satah O x y.

Penyelesaian

Oleh kerana persamaan y = 0 berkaitan dengan garis O x, kita boleh mencari jarak dari M 1 s koordinat yang diberikan, ke garis lurus ini menggunakan formula. Kami mendapat bahawa 6 = 6.

Oleh kerana persamaan x = 0 merujuk kepada garis lurus O y, anda boleh mencari jarak dari M 1 ke garis lurus ini menggunakan formula. Kemudian kita mendapat bahawa - 7 = 7.

Jawapan: jarak dari M 1 ke O x mempunyai nilai 6, dan dari M 1 ke O y mempunyai nilai 7.

Apabila masuk ruang tiga dimensi kita mempunyai titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1), adalah perlu untuk mencari jarak dari titik A ke garis lurus a.

Mari kita pertimbangkan dua kaedah yang membolehkan anda mengira jarak dari satu titik ke garis lurus yang terletak di angkasa. Kes pertama mempertimbangkan jarak dari titik M 1 ke garis, di mana titik pada garis dipanggil H 1 dan merupakan tapak serenjang yang dilukis dari titik M 1 ke garis a. Kes kedua menunjukkan bahawa titik satah ini mesti dicari sebagai ketinggian segi empat selari.

Cara pertama

Daripada takrifan kita mempunyai bahawa jarak dari titik M 1 yang terletak pada garis lurus a ialah panjang serenjang M 1 H 1 , maka kita memperolehnya dengan koordinat titik H 1 yang ditemui, maka kita dapati jarak antara M 1 ( x 1 , y 1 , z 1 ) dan H 1 (x 1 , y 1 , z 1) , berdasarkan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Kami dapati bahawa keseluruhan penyelesaian menuju ke arah mencari koordinat tapak serenjang yang dilukis dari M 1 ke garis lurus a. Ini dilakukan seperti berikut: H 1 ialah titik di mana garis lurus a bersilang dengan satah yang melalui titik yang diberikan.

Ini bermakna bahawa algoritma untuk menentukan jarak dari titik M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garisan a dalam ruang membayangkan beberapa titik:

Definisi 5

• merangka persamaan satah χ sebagai persamaan satah yang melalui titik tertentu yang terletak berserenjang dengan garis;
• penentuan koordinat (x 2, y 2, z 2) kepunyaan titik H 1, iaitu titik persilangan garis lurus a dan satah χ;
• mengira jarak dari titik ke garis menggunakan formula M 1 H 1 = x 2 - x 1 2 + y 2 - y 1 2 + z 2 - z 1 2.

Cara kedua

Daripada keadaan kita mempunyai garis lurus a, maka kita boleh menentukan vektor arah a → = a x, a y, a z dengan koordinat x 3, y 3, z 3 dan titik tertentu M 3 kepunyaan baris a. Jika anda mempunyai koordinat titik M 1 (x 1, y 1) dan M 3 x 3, y 3, z 3, anda boleh mengira M 3 M 1 →:

M 3 M 1 → = (x 1 - x 3, y 1 - y 3, z 1 - z 3)

Kita harus mengetepikan vektor a → = a x , a y , a z dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 daripada titik M 3 , sambungkannya dan dapatkan segiempat selari angka. M 1 H 1 ialah ketinggian segiempat selari.

Mari lihat rajah di bawah.

Kami mempunyai ketinggian M 1 H 1 adalah jarak yang diperlukan, maka perlu mencarinya menggunakan formula. Iaitu, kami sedang mencari M 1 H 1.

Mari kita nyatakan luas segi empat selari dengan huruf S, didapati dengan formula menggunakan vektor a → = (a x, a y, a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3. y 1 - y 3, z 1 - z 3. Formula luas ialah S = a → × M 3 M 1 → . Juga, luas rajah adalah sama dengan hasil darab panjang sisi dan ketinggiannya, kita memperolehi bahawa S = a → · M 1 H 1 dengan a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , yang mana ialah panjang vektor a → = (a x , a y , a z) , being sisi yang sama segi empat selari. Ini bermakna M 1 H 1 ialah jarak dari titik ke garisan. Ia didapati menggunakan formula M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Untuk mencari jarak dari titik dengan koordinat M 1 (x 1, y 1, z 1) ke garis lurus a dalam ruang, anda perlu melakukan beberapa langkah algoritma:

Definisi 6

• penentuan vektor arah garis lurus a - a → = (a x, a y, a z);
• mengira panjang vektor arah a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 ;
• mendapatkan koordinat x 3 , y 3 , z 3 kepunyaan titik M 3 yang terletak pada garis lurus a;
• mengira koordinat bagi vektor M 3 M 1 → ;
• mencari hasil darab vektor bagi vektor a → (a x , a y , a z) dan M 3 M 1 → = x 1 - x 3 , y 1 - y 3 , z 1 - z 3 sebagai a → × M 3 M 1 → = i → j → k → a x a y a z x 1 - x 3 y 1 - y 3 z 1 - z 3 untuk mendapatkan panjang menggunakan formula a → × M 3 M 1 → ;
• mengira jarak dari satu titik ke garis M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → .

Menyelesaikan masalah mencari jarak dari titik tertentu ke garis tertentu dalam ruang

Contoh 5

Cari jarak dari titik dengan koordinat M 1 2, - 4, - 1 ke garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5.

Penyelesaian

Kaedah pertama bermula dengan menulis persamaan satah χ melalui M 1 dan berserenjang dengan titik tertentu. Kami mendapat ungkapan seperti:

2 (x - 2) - 1 (y - (- 4)) + 5 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Ia adalah perlu untuk mencari koordinat titik H 1, iaitu titik persilangan dengan satah χ kepada garis yang ditentukan oleh keadaan. Anda harus beralih dari pandangan kanonik kepada yang bersilang. Kemudian kita memperoleh sistem persamaan bentuk:

x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 ⇔ - 1 · (x + 1) = 2 · y 5 · (x + 1) = 2 · (z + 5) 5 · y = - 1 · (z + 5) ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Adalah perlu untuk mengira sistem x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = - 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3 dengan kaedah Cramer, maka kita dapati bahawa:

∆ = 1 2 0 5 0 - 2 2 - 1 5 = - 60 ∆ x = - 1 2 0 5 0 - 2 3 - 1 5 = - 60 ⇔ x = ∆ x ∆ = - 60 - 60 = 1 ∆ y = 1 - 1 0 5 5 2 2 3 5 = 60 ⇒ y = ∆ y ∆ = 60 - 60 = - 1 ∆ z = 1 2 - 1 5 0 5 2 - 1 3 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ 60 = 0

Dari sini kita mempunyai H 1 (1, - 1, 0).

M 1 H 1 = 1 - 2 2 + - 1 - - 4 2 + 0 - - 1 2 = 11

Kaedah kedua ialah bermula dengan mencari koordinat dalam persamaan kanonik. Untuk melakukan ini, anda perlu memberi perhatian kepada penyebut pecahan. Maka a → = 2, - 1, 5 ialah vektor arah bagi garis x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5. Ia adalah perlu untuk mengira panjang menggunakan formula a → = 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 30.

Jelas bahawa garis lurus x + 1 2 = y - 1 = z + 5 5 bersilang dengan titik M 3 (- 1 , 0 , - 5), maka kita mempunyai bahawa vektor dengan asalan M 3 (- 1 , 0 , - 5) dan hujungnya pada titik M 1 2, - 4, - 1 ialah M 3 M 1 → = 3, - 4, 4. Cari hasil darab vektor a → = (2, - 1, 5) dan M 3 M 1 → = (3, - 4, 4).

Kami mendapat ungkapan bentuk a → × M 3 M 1 → = i → j → k → 2 - 1 5 3 - 4 4 = - 4 i → + 15 j → - 8 k → + 20 i → - 8 · j → = 16 · i → + 7 · j → - 5 · k →

kita dapati bahawa panjang hasil darab vektor adalah sama dengan a → × M 3 M 1 → = 16 2 + 7 2 + - 5 2 = 330.

Kami mempunyai semua data untuk menggunakan formula untuk mengira jarak dari titik untuk garis lurus, jadi mari kita gunakannya dan dapatkan:

M 1 H 1 = a → × M 3 M 1 → a → = 330 30 = 11

Jawapan: 11 .

Jika anda melihat ralat dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter