Istilah ini mempunyai makna lain, lihat makna purata.

Purata(dalam matematik dan statistik) set nombor - jumlah semua nombor dibahagikan dengan nombornya. Ia adalah salah satu ukuran kecenderungan memusat yang paling biasa.

Ia telah dicadangkan (bersama-sama dengan min geometri dan min harmonik) oleh Pythagoreans.

Kes khas bagi min aritmetik ialah min (daripada populasi umum) dan min sampel (bagi sampel).

pengenalan

Nyatakan set data X = (x 1 , x 2 , …, x n), maka min sampel biasanya dilambangkan dengan bar mendatar di atas pembolehubah (x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) , disebut " x dengan sengkang").

Huruf Yunani μ digunakan untuk menunjukkan min aritmetik bagi keseluruhan populasi. Untuk pembolehubah rawak yang mana nilai min ditakrifkan, μ ialah min kebarangkalian atau jangkaan matematik pembolehubah rawak. Jika set X ialah koleksi nombor rawak dengan min kebarangkalian μ, kemudian untuk sebarang sampel x i daripada koleksi ini μ = E( x i) adalah jangkaan sampel ini.

Dalam amalan, perbezaan antara μ dan x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) ialah μ ialah pembolehubah biasa kerana anda boleh melihat sampel dan bukannya keseluruhan populasi. Oleh itu, jika sampel diwakili secara rawak (dari segi teori kebarangkalian), maka x ¯ (\displaystyle (\bar (x))) (tetapi bukan μ) boleh dianggap sebagai pembolehubah rawak yang mempunyai taburan kebarangkalian pada sampel ( taburan kebarangkalian bagi min).

Kedua-dua kuantiti ini dikira dengan cara yang sama:

X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+\cdots +x_(n)).)

Sekiranya X ialah pembolehubah rawak, maka jangkaan matematik X boleh dianggap sebagai min aritmetik bagi nilai dalam pengukuran kuantiti berulang X. Ini adalah manifestasi hukum bilangan besar. Oleh itu, min sampel digunakan untuk menganggar jangkaan matematik yang tidak diketahui.

Dalam algebra asas, dibuktikan bahawa min n+ 1 nombor melebihi purata n nombor jika dan hanya jika nombor baru lebih besar daripada purata lama, kurang jika dan hanya jika nombor baru kurang daripada purata, dan tidak berubah jika dan hanya jika nombor baru sama dengan purata. Lebih banyak n, semakin kecil perbezaan antara purata baharu dan lama.

Ambil perhatian bahawa terdapat beberapa "cara" lain yang tersedia, termasuk min undang-undang kuasa, min Kolmogorov, min harmonik, min aritmetik-geometrik dan pelbagai min berwajaran (cth., min berwajaran aritmetik, min berwajaran geometri, min berwajaran harmonik) .

Contoh

• Untuk tiga nombor, anda perlu menambahnya dan membahagikannya dengan 3:

x 1 + x 2 + x 3 3 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3))(3)).)

• Untuk empat nombor, anda perlu menambahnya dan membahagi dengan 4:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . (\displaystyle (\frac (x_(1)+x_(2)+x_(3)+x_(4))(4)).)

Atau lebih mudah 5+5=10, 10:2. Kerana kita menambah 2 nombor, bermakna berapa banyak nombor yang kita tambah, kita bahagi dengan sebanyak itu.

Pembolehubah rawak berterusan

Untuk nilai teragih berterusan f (x) (\displaystyle f(x)) min aritmetik pada selang [ a ; b ] (\displaystyle ) ditakrifkan melalui kamiran pasti:

F (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b) f(x)dx)

Beberapa masalah menggunakan purata

Kurang keteguhan

Rencana utama: Kekukuhan dalam statistik

Walaupun min aritmetik sering digunakan sebagai cara atau trend pusat, konsep ini tidak terpakai pada statistik teguh, yang bermaksud bahawa min aritmetik banyak dipengaruhi oleh "sisihan besar". Perlu diperhatikan bahawa untuk taburan dengan kecondongan yang besar, min aritmetik mungkin tidak sepadan dengan konsep "purata", dan nilai min daripada statistik teguh (contohnya, median) mungkin menggambarkan arah aliran pusat dengan lebih baik.

Contoh klasik ialah pengiraan pendapatan purata. Min aritmetik boleh disalahtafsirkan sebagai median, yang boleh membawa kepada kesimpulan bahawa terdapat lebih ramai orang yang mempunyai pendapatan lebih daripada yang sebenarnya. Pendapatan "min" ditafsirkan sedemikian rupa sehingga pendapatan kebanyakan orang hampir dengan jumlah ini. Pendapatan "purata" (dalam erti kata purata aritmetik) ini lebih tinggi daripada pendapatan kebanyakan orang, kerana pendapatan yang tinggi dengan sisihan besar daripada purata menjadikan min aritmetik sangat condong (sebaliknya, pendapatan median "menentang" seperti condong). Walau bagaimanapun, pendapatan "purata" ini tidak menyatakan apa-apa tentang bilangan orang berhampiran pendapatan median (dan tidak mengatakan apa-apa tentang bilangan orang berhampiran pendapatan modal). Walau bagaimanapun, jika konsep "purata" dan "majoriti" dipandang ringan, maka seseorang boleh membuat kesimpulan yang salah bahawa kebanyakan orang mempunyai pendapatan yang lebih tinggi daripada yang sebenarnya. Sebagai contoh, laporan mengenai pendapatan bersih "purata" di Madinah, Washington, yang dikira sebagai purata aritmetik bagi semua pendapatan bersih tahunan pemastautin, akan memberikan angka yang sangat tinggi disebabkan oleh Bill Gates. Pertimbangkan sampel (1, 2, 2, 2, 3, 9). Min aritmetik ialah 3.17, tetapi lima daripada enam nilai berada di bawah min ini.

Faedah kompaun

Rencana utama: ROI

Jika nombor membiak, tetapi tidak lipat, anda perlu menggunakan min geometri, bukan min aritmetik. Selalunya, kejadian ini berlaku semasa mengira pulangan pelaburan dalam kewangan.

Sebagai contoh, jika saham jatuh 10% pada tahun pertama dan naik 30% pada tahun kedua, maka adalah tidak betul untuk mengira kenaikan "purata" sepanjang dua tahun ini sebagai min aritmetik (-10% + 30%) / 2 = 10%; purata yang betul dalam kes ini diberikan oleh kadar pertumbuhan tahunan kompaun, dari mana pertumbuhan tahunan hanya kira-kira 8.16653826392% ≈ 8.2%.

Sebabnya ialah peratusan mempunyai titik permulaan baharu setiap kali: 30% ialah 30% daripada nombor yang kurang daripada harga pada awal tahun pertama: jika saham bermula pada $30 dan jatuh 10%, ia bernilai $27 pada permulaan tahun kedua. Jika stok naik 30%, ia bernilai $35.1 pada akhir tahun kedua. Purata aritmetik pertumbuhan ini ialah 10%, tetapi memandangkan stok hanya berkembang sebanyak $5.1 dalam 2 tahun, peningkatan purata sebanyak 8.2% memberikan hasil akhir sebanyak $35.1:

[$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Jika kita menggunakan min aritmetik 10% dengan cara yang sama, kita tidak akan mendapat nilai sebenar: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

Faedah kompaun pada akhir tahun 2: 90% * 130% = 117% , iaitu jumlah peningkatan sebanyak 17%, dan purata faedah kompaun tahunan ialah 117% ≈ 108.2% (\displaystyle (\sqrt (117\%)) \lebih kurang 108.2\%) , iaitu purata peningkatan tahunan sebanyak 8.2%.

Arah

Rencana utama: Statistik destinasi

Apabila mengira min aritmetik bagi beberapa pembolehubah yang berubah secara kitaran (contohnya, fasa atau sudut), penjagaan khusus harus diambil. Sebagai contoh, purata 1° dan 359° ialah 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180°. Nombor ini tidak betul kerana dua sebab.

• Pertama, ukuran sudut hanya ditakrifkan untuk julat dari 0° hingga 360° (atau dari 0 hingga 2π apabila diukur dalam radian). Oleh itu, pasangan nombor yang sama boleh ditulis sebagai (1° dan −1°) atau sebagai (1° dan 719°). Purata setiap pasangan adalah berbeza: 1 ∘ + (− 1 ∘) 2 = 0 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+(-1^(\circ )))(2))= 0 ^(\circling )), 1 ∘ + 719 ∘ 2 = 360 ∘ (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+719^(\circ ))(2))=360^(\circ )) .
• Kedua, dalam kes ini, nilai 0° (bersamaan dengan 360°) akan menjadi min terbaik dari segi geometri, kerana nombor menyimpang kurang daripada 0° berbanding mana-mana nilai lain (nilai 0° mempunyai varians terkecil). Bandingkan:
  • nombor 1° menyimpang dari 0° dengan hanya 1°;
  • nombor 1° menyimpang daripada purata pengiraan 180° sebanyak 179°.

Nilai purata untuk pembolehubah kitaran, yang dikira mengikut formula di atas, akan dianjakkan secara buatan berbanding purata sebenar ke tengah julat berangka. Disebabkan ini, purata dikira dengan cara yang berbeza, iaitu, nombor dengan varians terkecil (titik tengah) dipilih sebagai nilai purata. Selain itu, bukannya menolak, jarak modulo (iaitu, jarak lilitan) digunakan. Sebagai contoh, jarak modular antara 1° dan 359° ialah 2°, bukan 358° (pada bulatan antara 359° dan 360°==0° - satu darjah, antara 0° dan 1° - juga 1°, secara keseluruhannya - 2 °).

4.3. Nilai purata. Intipati dan maksud purata

Nilai purata dalam statistik, penunjuk generalisasi dipanggil, mencirikan tahap tipikal fenomena dalam keadaan tempat dan masa tertentu, mencerminkan magnitud atribut yang berbeza-beza bagi setiap unit populasi homogen secara kualitatif. Dalam amalan ekonomi, pelbagai penunjuk digunakan, dikira sebagai purata.

Sebagai contoh, penunjuk umum pendapatan pekerja dalam syarikat saham bersama (JSC) ialah purata pendapatan seorang pekerja, ditentukan oleh nisbah dana gaji dan bayaran sosial untuk tempoh dalam tinjauan (tahun, suku, bulan). ) kepada bilangan pekerja di JSC.

Mengira purata ialah satu teknik generalisasi biasa; penunjuk purata mencerminkan umum yang tipikal (tipikal) untuk semua unit populasi yang dikaji, sementara pada masa yang sama ia mengabaikan perbezaan antara unit individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya terdapat gabungan peluang dan perlukan. Apabila mengira purata, disebabkan oleh operasi undang-undang nombor besar, rawak membatalkan satu sama lain, mengimbangi, oleh itu adalah mungkin untuk mengabstrak daripada ciri-ciri fenomena yang tidak penting, dari nilai kuantitatif atribut dalam setiap spesifik. kes. Dalam keupayaan untuk mengabstraksi daripada rawak nilai individu, turun naik terletak nilai saintifik purata sebagai meringkaskan ciri agregat.

Di mana terdapat keperluan untuk generalisasi, pengiraan ciri sedemikian membawa kepada penggantian banyak nilai individu yang berbeza bagi atribut sederhana penunjuk yang mencirikan keseluruhan fenomena, yang memungkinkan untuk mengenal pasti corak yang wujud dalam fenomena sosial massa, tidak dapat dilihat dalam fenomena tunggal.

Purata mencerminkan ciri, tipikal, tahap sebenar fenomena yang dikaji, mencirikan tahap ini dan perubahannya dalam masa dan ruang.

Purata ialah ciri ringkasan keteraturan proses di bawah keadaan di mana ia diteruskan.

4.4. Jenis purata dan kaedah untuk mengiranya

Pilihan jenis purata ditentukan oleh kandungan ekonomi penunjuk tertentu dan data awal. Dalam setiap kes, satu daripada nilai purata digunakan: aritmetik, garmonik, geometri, kuadratik, kubik dan lain-lain. Purata yang disenaraikan tergolong dalam kelas kuasa sederhana.

Sebagai tambahan kepada purata undang-undang kuasa, dalam amalan statistik, purata struktur digunakan, yang dianggap sebagai mod dan median.

Marilah kita membincangkan dengan lebih terperinci tentang cara kuasa.

Min aritmetik

Jenis purata yang paling biasa ialah purata aritmetik. Ia digunakan dalam kes di mana volum atribut pembolehubah untuk keseluruhan populasi adalah jumlah nilai atribut unit individunya. Fenomena sosial dicirikan oleh aditiviti (penjumlahan) volum atribut yang berbeza-beza, ini menentukan skop min aritmetik dan menerangkan kelazimannya sebagai penunjuk umum, contohnya: jumlah dana upah ialah jumlah gaji semua pekerja , tuaian kasar ialah jumlah keluaran daripada keseluruhan kawasan menyemai.

Untuk mengira min aritmetik, anda perlu membahagikan jumlah semua nilai ciri dengan nombornya.

Min aritmetik digunakan dalam bentuk purata mudah dan purata wajaran. Purata ringkas berfungsi sebagai bentuk awal yang menentukan.

min aritmetik mudah adalah sama dengan jumlah mudah nilai individu bagi ciri purata, dibahagikan dengan jumlah bilangan nilai ini (ia digunakan dalam kes di mana terdapat nilai individu yang tidak dikumpulkan bagi ciri tersebut):

di mana
- nilai individu pembolehubah (pilihan); m - bilangan unit penduduk.

Had penjumlahan lanjut dalam formula tidak akan ditunjukkan. Sebagai contoh, perlu mencari purata keluaran seorang pekerja (tukang kunci), jika diketahui berapa bahagian setiap 15 pekerja yang dihasilkan, i.e. diberi beberapa nilai individu sifat, pcs.:

21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

Min aritmetik mudah dikira dengan formula (4.1), 1 pc.:

Purata pilihan yang diulang beberapa kali berbeza, atau dikatakan mempunyai berat yang berbeza, dipanggil berwajaran. Pemberat ialah bilangan unit dalam kumpulan populasi yang berbeza (kumpulan itu menggabungkan pilihan yang sama).

Purata wajaran aritmetik- nilai kumpulan purata, - dikira dengan formula:

, (4.2)

di mana
- berat (kekerapan pengulangan ciri yang sama);

- jumlah hasil darab magnitud ciri mengikut frekuensinya;

- jumlah bilangan unit penduduk.

Kami akan menggambarkan teknik untuk mengira purata wajaran aritmetik menggunakan contoh yang dibincangkan di atas. Untuk melakukan ini, kami mengumpulkan data awal dan meletakkannya dalam jadual. 4.1.

Jadual 4.1

Pengagihan pekerja untuk pembangunan bahagian

Menurut formula (4.2), purata wajaran aritmetik adalah sama, kepingan:

Dalam sesetengah kes, pemberat boleh diwakili bukan oleh nilai mutlak, tetapi oleh nilai relatif (dalam peratusan atau pecahan unit). Kemudian formula untuk purata wajaran aritmetik akan kelihatan seperti:

di mana
- khususnya, i.e. bahagian setiap kekerapan dalam jumlah keseluruhan semua

Jika frekuensi dikira dalam pecahan (pekali), maka
= 1, dan formula untuk purata wajaran aritmetik ialah:

Pengiraan purata wajaran aritmetik daripada purata kumpulan dijalankan mengikut formula:

,

di mana f-bilangan unit dalam setiap kumpulan.

Keputusan pengiraan min aritmetik bagi min kumpulan dibentangkan dalam Jadual. 4.2.

Jadual 4.2

Pengagihan pekerja mengikut purata tempoh perkhidmatan

Dalam contoh ini, pilihan bukanlah data individu mengenai tempoh perkhidmatan pekerja individu, tetapi purata untuk setiap bengkel. penimbang f ialah bilangan pekerja di kedai. Oleh itu, purata pengalaman kerja pekerja di seluruh perusahaan adalah, tahun:

.

Pengiraan min aritmetik dalam siri taburan

Jika nilai atribut purata diberikan sebagai selang ("dari - hingga"), i.e. siri taburan selang, kemudian apabila mengira nilai min aritmetik, titik tengah selang ini diambil sebagai nilai ciri dalam kumpulan, akibatnya siri diskret terbentuk. Pertimbangkan contoh berikut (Jadual 4.3).

Mari kita beralih daripada siri selang kepada siri diskret dengan menggantikan nilai selang dengan nilai puratanya / (purata mudah

Jadual 4.3

Pengagihan pekerja AO mengikut tahap gaji bulanan

Kumpulan pekerja untuk	Bilangan pekerja	Tengah selang
upah, gosok.	pers., f	gosok., X
900 dan lebih

nilai selang terbuka (pertama dan terakhir) secara bersyarat disamakan dengan selang yang bersebelahan dengannya (kedua dan terakhir).

Dengan pengiraan purata sedemikian, beberapa ketidaktepatan dibenarkan, kerana andaian dibuat tentang pengagihan seragam unit atribut dalam kumpulan. Walau bagaimanapun, ralat akan menjadi lebih kecil, lebih sempit selang dan lebih banyak unit dalam selang.

Selepas titik tengah selang ditemui, pengiraan dilakukan dengan cara yang sama seperti dalam siri diskret - pilihan didarab dengan frekuensi (berat) dan jumlah hasil dibahagikan dengan jumlah frekuensi (berat) , ribu rubel:

.

Jadi, tahap purata imbuhan pekerja di JSC ialah 729 rubel. sebulan.

Pengiraan min aritmetik sering dikaitkan dengan perbelanjaan masa dan buruh yang besar. Walau bagaimanapun, dalam beberapa kes, prosedur untuk mengira purata boleh dipermudahkan dan dipermudahkan dengan menggunakan sifatnya. Marilah kita membentangkan (tanpa bukti) beberapa sifat asas bagi min aritmetik.

Harta 1. Jika semua nilai ciri individu (iaitu. semua pilihan) menurun atau meningkat dalam ikali, kemudian nilai purata ciri baharu akan berkurangan atau meningkat dengan sewajarnya dalam isekali.

Harta 2. Jika semua varian ciri purata dikurangkanmenjahit atau menambah dengan nombor A, maka min aritmetikberkurangan atau meningkat dengan ketara dengan nombor A yang sama.

Hartanah 3. Jika berat semua pilihan purata dikurangkan atau meningkat kepada kepada kali, min aritmetik tidak akan berubah.

Sebagai purata wajaran, bukannya penunjuk mutlak, anda boleh menggunakan wajaran khusus dalam jumlah keseluruhan (saham atau peratusan). Ini memudahkan pengiraan purata.

Untuk memudahkan pengiraan purata, mereka mengikuti laluan mengurangkan nilai pilihan dan frekuensi. Penyederhanaan terbesar dicapai apabila TAPI nilai salah satu pilihan pusat dengan frekuensi tertinggi dipilih sebagai / - nilai selang (untuk baris dengan selang yang sama). Nilai L dipanggil asal, jadi kaedah pengiraan purata ini dipanggil "kaedah mengira dari sifar bersyarat" atau "kaedah detik".

Mari kita anggap bahawa semua pilihan X mula-mula dikurangkan dengan nombor yang sama A, dan kemudian dikurangkan dalam i sekali. Kami mendapat siri pengedaran variasi baharu varian baharu .

Kemudian pilihan baharu akan diungkapkan:

,

dan min aritmetik baharu mereka , -detik pesanan pertama- formula:

.

Ia sama dengan purata pilihan asal, mula-mula dikurangkan dengan TAPI, dan kemudian masuk i sekali.

Untuk mendapatkan purata sebenar, anda memerlukan seketika pesanan pertama m 1 , darab dengan i dan tambah TETAPI:

.

Kaedah pengiraan min aritmetik daripada siri variasi dipanggil "kaedah detik". Kaedah ini digunakan dalam baris dengan selang yang sama.

Pengiraan min aritmetik dengan kaedah momen digambarkan oleh data dalam Jadual. 4.4.

Jadual 4.4

Pengagihan perusahaan kecil di rantau ini mengikut nilai aset pengeluaran tetap (OPF) pada tahun 2000

Kumpulan perusahaan mengikut kos OPF, ribu rubel	Bilangan perusahaan f	selang pertengahan, x
14-16 16-18 18-20 20-22 22-24

Mencari detik pesanan pertama

.

Kemudian, andaikan A = 19 dan mengetahuinya i= 2, kira X, ribu rubel.:

Jenis nilai purata dan kaedah untuk pengiraannya

Pada peringkat pemprosesan statistik, pelbagai tugas penyelidikan boleh ditetapkan, untuk penyelesaiannya perlu memilih purata yang sesuai. Dalam kes ini, perlu dipandu oleh peraturan berikut: nilai-nilai yang mewakili pengangka dan penyebut purata mestilah berkaitan secara logik antara satu sama lain.

• purata kuasa;
• purata struktur.

Mari kita perkenalkan notasi berikut:

Nilai yang dikira purata;

Purata, di mana garis di atas menunjukkan bahawa purata nilai individu berlaku;

Kekerapan (kebolehulangan nilai sifat individu).

Pelbagai cara diperoleh daripada formula min kuasa am:

(5.1)

untuk k = 1 - min aritmetik; k = -1 - min harmonik; k = 0 - min geometri; k = -2 - punca min kuasa dua.

Purata sama ada mudah atau wajaran. purata wajaran dipanggil kuantiti yang mengambil kira bahawa beberapa varian nilai atribut mungkin mempunyai nombor yang berbeza, dan oleh itu setiap varian perlu didarab dengan nombor ini. Dalam erti kata lain, "berat" ialah bilangan unit populasi dalam kumpulan yang berbeza, i.e. setiap pilihan "ditimbang" mengikut kekerapannya. Frekuensi f dipanggil berat statistik atau purata berat.

Min aritmetik- jenis medium yang paling biasa. Ia digunakan apabila pengiraan dijalankan pada data statistik tidak terkumpul, di mana anda ingin mendapatkan summan purata. Min aritmetik ialah nilai purata bagi sesuatu ciri, apabila menerimanya, jumlah isipadu ciri dalam populasi kekal tidak berubah.

Rumus min aritmetik ( ringkas) mempunyai bentuk

di mana n ialah saiz populasi.

Sebagai contoh, purata gaji pekerja sesebuah perusahaan dikira sebagai purata aritmetik:

Penunjuk penentu di sini ialah gaji setiap pekerja dan bilangan pekerja perusahaan. Apabila mengira purata, jumlah gaji tetap sama, tetapi diagihkan, seolah-olah, sama rata di kalangan semua pekerja. Sebagai contoh, adalah perlu untuk mengira purata gaji pekerja sebuah syarikat kecil di mana 8 orang bekerja:

Apabila mengira purata, nilai individu bagi atribut yang dipuratakan boleh diulang, jadi purata dikira menggunakan data terkumpul. Dalam kes ini, kita bercakap tentang menggunakan aritmetik min wajaran, yang kelihatan seperti

(5.3)

Jadi, kita perlu mengira purata harga saham syarikat saham bersama di bursa saham. Adalah diketahui bahawa urus niaga telah dijalankan dalam tempoh 5 hari (5 urus niaga), jumlah saham yang dijual pada kadar jualan diagihkan seperti berikut:

1 - 800 ac. - 1010 rubel

2 - 650 ac. - 990 gosok.

3 - 700 ak. - 1015 rubel.

4 - 550 ac. - 900 gosok.

5 - 850 ak. - 1150 rubel.

Nisbah awal untuk menentukan harga saham purata ialah nisbah jumlah urus niaga (OSS) kepada bilangan saham yang dijual (KPA).

Jenis purata yang paling biasa ialah purata aritmetik.

min aritmetik mudah

Purata aritmetik mudah ialah sebutan purata, dalam menentukan jumlah isipadu atribut tertentu dalam data diagihkan sama rata antara semua unit yang termasuk dalam populasi ini. Oleh itu, purata keluaran pengeluaran tahunan bagi setiap pekerja ialah nilai volum pengeluaran yang akan jatuh ke atas setiap pekerja jika keseluruhan volum keluaran diagihkan sama rata di kalangan semua pekerja organisasi. Nilai aritmetik min mudah dikira dengan formula:

min aritmetik mudah— Sama dengan nisbah jumlah nilai individu sesuatu ciri kepada bilangan ciri dalam agregat

Contoh 1 . Satu pasukan 6 pekerja menerima 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 ribu rubel sebulan.

Cari gaji purata
Penyelesaian: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 ribu rubel.

Purata wajaran aritmetik

Jika isipadu set data adalah besar dan mewakili siri taburan, maka min aritmetik berwajaran dikira. Beginilah cara harga purata wajaran seunit pengeluaran ditentukan: jumlah kos pengeluaran (jumlah produk kuantitinya dan harga seunit pengeluaran) dibahagikan dengan jumlah kuantiti pengeluaran.

Kami mewakili ini dalam bentuk formula berikut:

Min aritmetik berwajaran- adalah sama dengan nisbah (jumlah produk nilai atribut kepada kekerapan pengulangan atribut ini) kepada (jumlah frekuensi semua atribut). Ia digunakan apabila varian populasi yang dikaji berlaku tidak sama rata Beberapa kali.

Contoh 2 . Cari purata gaji pekerja kedai sebulan

Gaji purata boleh diperoleh dengan membahagikan jumlah gaji dengan jumlah pekerja:

Jawapan: 3.35 ribu rubel.

Min aritmetik untuk siri selang

Apabila mengira min aritmetik untuk siri variasi selang, purata bagi setiap selang pertama kali ditentukan sebagai jumlah separuh daripada had atas dan bawah, dan kemudian purata keseluruhan siri. Dalam kes selang terbuka, nilai selang bawah atau atas ditentukan oleh nilai selang yang bersebelahan dengannya.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran.

Contoh 3. Tentukan purata umur pelajar di jabatan petang.

Purata yang dikira daripada siri selang adalah anggaran. Tahap penghampiran mereka bergantung pada sejauh mana taburan sebenar unit populasi dalam selang itu menghampiri seragam.

Apabila mengira purata, bukan sahaja nilai mutlak, tetapi juga nilai relatif (frekuensi) boleh digunakan sebagai pemberat:

Purata aritmetik mempunyai beberapa sifat yang lebih mendedahkan intipatinya dan memudahkan pengiraan:

1. Hasil darab purata dan hasil tambah frekuensi sentiasa sama dengan hasil tambah bagi varian dan frekuensi, i.e.

2. Purata aritmetik bagi hasil tambah nilai yang berbeza-beza adalah sama dengan hasil tambah cara aritmetik bagi nilai-nilai ini:

3. Jumlah algebra bagi sisihan nilai individu atribut daripada purata ialah sifar:

4. Jumlah sisihan kuasa dua pilihan daripada min adalah kurang daripada jumlah sisihan kuasa dua daripada sebarang nilai arbitrari lain, i.e.

Untuk mencari nilai purata dalam Excel (sama ada nilai berangka, teks, peratusan atau nilai lain), terdapat banyak fungsi. Dan setiap daripada mereka mempunyai ciri dan kelebihan tersendiri. Lagipun, syarat tertentu boleh ditetapkan dalam tugas ini.

Sebagai contoh, nilai purata siri nombor dalam Excel dikira menggunakan fungsi statistik. Anda juga boleh memasukkan formula anda sendiri secara manual. Mari kita pertimbangkan pelbagai pilihan.

Bagaimana untuk mencari min aritmetik nombor?

Untuk mencari min aritmetik, anda menambah semua nombor dalam set dan membahagikan jumlah dengan nombor. Sebagai contoh, gred pelajar dalam sains komputer: 3, 4, 3, 5, 5. Apa yang berlaku untuk suku: 4. Kami mendapati min aritmetik menggunakan formula: \u003d (3 + 4 + 3 + 5 + 5) / 5.

Bagaimana untuk melakukannya dengan cepat menggunakan fungsi Excel? Ambil contoh siri nombor rawak dalam rentetan:

Atau: jadikan sel aktif dan hanya masukkan formula secara manual: =AVERAGE(A1:A8).

Sekarang mari kita lihat apa lagi fungsi AVERAGE boleh lakukan.

Cari min aritmetik bagi dua nombor pertama dan tiga nombor terakhir. Formula: =PURATA(A1:B1;F1:H1). Keputusan:



Purata mengikut keadaan

Syarat untuk mencari min aritmetik boleh menjadi kriteria berangka atau satu teks. Kami akan menggunakan fungsi: =AVERAGEIF().

Cari min aritmetik bagi nombor yang lebih besar daripada atau sama dengan 10.

Fungsi: =AVERAGEIF(A1:A8,">=10")

Hasil penggunaan fungsi AVERAGEIF pada syarat ">=10":

Argumen ketiga - "Julat purata" - ditinggalkan. Pertama, ia tidak diperlukan. Kedua, julat yang dihuraikan oleh program mengandungi HANYA nilai angka. Dalam sel yang dinyatakan dalam hujah pertama, carian akan dilakukan mengikut keadaan yang dinyatakan dalam hujah kedua.

Perhatian! Kriteria carian boleh ditentukan dalam sel. Dan dalam formula untuk membuat rujukan kepadanya.

Mari cari nilai purata nombor mengikut kriteria teks. Sebagai contoh, purata jualan produk "jadual".

Fungsi akan kelihatan seperti ini: =AVERAGEIF($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Julat - lajur dengan nama produk. Kriteria carian ialah pautan ke sel dengan perkataan "jadual" (anda boleh memasukkan perkataan "jadual" dan bukannya pautan A7). Julat purata - sel dari mana data akan diambil untuk mengira nilai purata.

Hasil daripada pengiraan fungsi, kami memperoleh nilai berikut:

Perhatian! Untuk kriteria teks (syarat), julat purata mesti ditentukan.

Bagaimana untuk mengira harga purata wajaran dalam Excel?

Bagaimanakah kita mengetahui harga purata wajaran?

Formula: =SUMPRODUCT(C2:C12,B2:B12)/SUM(C2:C12).

Menggunakan formula SUMPRODUCT, kami mengetahui jumlah hasil selepas penjualan keseluruhan kuantiti barang. Dan fungsi SUM - menjumlahkan kuantiti barang. Dengan membahagikan jumlah hasil daripada jualan barangan dengan jumlah unit barang, kami mendapati harga purata wajaran. Penunjuk ini mengambil kira "berat" setiap harga. Bahagiannya dalam jumlah jisim nilai.

Sisihan piawai: formula dalam Excel

Bezakan antara sisihan piawai untuk populasi umum dan untuk sampel. Dalam kes pertama, ini adalah punca varians umum. Dalam kedua, daripada varians sampel.

Untuk mengira penunjuk statistik ini, formula penyebaran disusun. Akarnya diambil daripadanya. Tetapi dalam Excel terdapat fungsi sedia untuk mencari sisihan piawai.

Sisihan piawai dikaitkan dengan skala data sumber. Ini tidak mencukupi untuk perwakilan kiasan variasi julat yang dianalisis. Untuk mendapatkan tahap serakan relatif dalam data, pekali variasi dikira:

sisihan piawai / min aritmetik

Formula dalam Excel kelihatan seperti ini:

STDEV (julat nilai) / AVERAGE (julat nilai).

Pekali variasi dikira sebagai peratusan. Oleh itu, kami menetapkan format peratusan dalam sel.

5.1. Konsep purata

Nilai purata - ini ialah penunjuk generalisasi yang mencirikan tahap tipikal fenomena. Ia menyatakan nilai atribut, berkaitan dengan unit populasi.

Purata sentiasa menyamaratakan variasi kuantitatif sifat, i.e. dalam nilai purata, perbezaan individu dalam unit populasi disebabkan oleh keadaan rawak dibatalkan. Berbeza dengan purata, nilai mutlak yang mencirikan tahap ciri bagi unit individu populasi tidak membenarkan membandingkan nilai ciri untuk unit kepunyaan populasi yang berbeza. Jadi, jika anda perlu membandingkan tahap imbuhan pekerja di dua perusahaan, maka anda tidak boleh membandingkan dua pekerja dari perusahaan yang berbeza atas dasar ini. Upah pekerja yang dipilih untuk perbandingan mungkin tidak tipikal untuk perusahaan ini. Jika kita membandingkan saiz dana gaji di perusahaan yang sedang dipertimbangkan, maka bilangan pekerja tidak diambil kira dan, oleh itu, adalah mustahil untuk menentukan di mana tahap gaji lebih tinggi. Akhirnya, hanya purata boleh dibandingkan, i.e. Berapakah purata pendapatan seorang pekerja dalam setiap syarikat? Oleh itu, terdapat keperluan untuk mengira nilai purata sebagai ciri umum populasi.

Mengira purata ialah satu teknik generalisasi biasa; penunjuk purata menafikan umum yang tipikal (tipikal) untuk semua unit populasi yang dikaji, pada masa yang sama ia mengabaikan perbezaan antara unit individu. Dalam setiap fenomena dan perkembangannya terdapat gabungan peluang dan keperluan. Apabila mengira purata, disebabkan oleh operasi undang-undang nombor besar, rawak membatalkan satu sama lain, mengimbangi, oleh itu adalah mungkin untuk mengabstrak daripada ciri-ciri fenomena yang tidak penting, dari nilai kuantitatif atribut dalam setiap spesifik. kes. Dalam keupayaan untuk mengabstraksi daripada rawak nilai individu, turun naik, terletak nilai saintifik purata sebagai ciri umum agregat.

Agar purata benar-benar menaip, ia mesti dikira dengan mengambil kira prinsip tertentu.

Marilah kita memikirkan beberapa prinsip umum untuk penggunaan purata.
1. Purata harus ditentukan untuk populasi yang terdiri daripada unit homogen secara kualitatif.
2. Purata perlu dikira untuk populasi yang terdiri daripada bilangan unit yang cukup besar.
3. Purata harus dikira untuk populasi, unit yang berada dalam keadaan normal, semula jadi.
4. Purata perlu dikira dengan mengambil kira kandungan ekonomi penunjuk yang dikaji.

5.2. Jenis purata dan kaedah untuk mengiranya

Sekarang mari kita pertimbangkan jenis purata, ciri pengiraannya dan kawasan penggunaannya. Nilai purata dibahagikan kepada dua kelas besar: purata kuasa, purata struktur.

Kepada kuasa bermakna termasuk jenis yang paling terkenal dan biasa digunakan seperti min geometri, min aritmetik dan min kuasa dua.

Sebagai purata struktur mod dan median dipertimbangkan.

Marilah kita memikirkan purata kuasa. Purata kuasa, bergantung pada pembentangan data awal, boleh menjadi mudah dan berwajaran. purata sederhana dikira daripada data tidak terkumpul dan mempunyai bentuk umum berikut:

di mana X i ialah varian (nilai) ciri purata;

n ialah bilangan pilihan.

Purata berwajaran dikira oleh data berkumpulan dan mempunyai bentuk umum

,

di mana X i ialah varian (nilai) ciri purata atau nilai tengah selang di mana varian diukur;
m ialah eksponen bagi min;
f i - kekerapan menunjukkan berapa kali nilai i-e bagi ciri purata berlaku.

Mari kita berikan sebagai contoh pengiraan purata umur pelajar dalam kumpulan 20 orang:

Kami mengira purata umur menggunakan formula purata mudah:

Mari kumpulkan data sumber. Kami mendapat siri pengedaran berikut:

Hasil daripada pengumpulan, kami mendapat penunjuk baharu - kekerapan, menunjukkan bilangan pelajar berumur X tahun. Oleh itu, purata umur pelajar dalam kumpulan akan dikira menggunakan formula purata wajaran:

Formula am untuk mengira purata eksponen mempunyai eksponen (m). Bergantung pada nilai yang diperlukan, jenis purata kuasa berikut dibezakan:
min harmonik jika m = -1;
min geometri jika m -> 0;
min aritmetik jika m = 1;
punca purata kuasa dua jika m = 2;
min padu jika m = 3.

Rumus min kuasa diberikan dalam Jadual. 4.4.

Jika kita mengira semua jenis purata untuk data awal yang sama, maka nilainya tidak akan sama. Di sini peraturan majoriti purata digunakan: dengan peningkatan dalam eksponen m, nilai purata yang sepadan juga meningkat:

Dalam amalan statistik, lebih kerap daripada jenis purata wajaran lain, purata wajaran aritmetik dan harmonik digunakan.

Jadual 5.1

Jenis-jenis Cara Kuasa

Jenis kuasa tengah	Indeks darjah (m)	Formula pengiraan
		Mudah	berwajaran
harmonik	-1
Geometrik	0
Aritmetik	1
kuadratik	2
padu	3

Min harmonik mempunyai struktur yang lebih kompleks daripada min aritmetik. Min harmonik digunakan untuk pengiraan apabila pemberat bukan unit populasi - pembawa sifat, tetapi hasil darab unit ini dan nilai sifat (iaitu m = Xf). Purata masa henti harmonik harus digunakan dalam kes menentukan, sebagai contoh, kos purata buruh, masa, bahan seunit pengeluaran, setiap bahagian untuk dua (tiga, empat, dsb.) perusahaan, pekerja yang terlibat dalam pembuatan jenis produk yang sama, bahagian yang sama, produk.

Keperluan utama untuk formula pengiraan nilai purata ialah semua peringkat pengiraan mempunyai justifikasi bermakna yang sebenar; nilai purata yang terhasil harus menggantikan nilai individu atribut untuk setiap objek tanpa memutuskan hubungan antara penunjuk individu dan ringkasan. Dalam erti kata lain, nilai purata harus dikira sedemikian rupa sehingga apabila setiap nilai individu penunjuk purata digantikan dengan nilai puratanya, beberapa penunjuk ringkasan akhir, disambungkan dalam satu cara atau yang lain dengan penunjuk purata, kekal tidak berubah. Keputusan ini dipanggil menentukan kerana sifat hubungannya dengan nilai individu menentukan formula khusus untuk mengira nilai purata. Mari tunjukkan peraturan ini pada contoh min geometri.

Rumus min geometri

paling kerap digunakan apabila mengira nilai purata nilai relatif individu dinamik.

Purata geometri digunakan jika urutan nilai relatif rantaian dinamik diberikan, menunjukkan, sebagai contoh, peningkatan dalam pengeluaran berbanding tahap tahun sebelumnya: i 1 , i 2 , i 3 ,... , i n . Jelas sekali, jumlah pengeluaran pada tahun lepas ditentukan oleh tahap awalnya (q 0) dan pertumbuhan seterusnya selama beberapa tahun:

q n =q 0 × i 1 × i 2 ×...×i n .

Mengambil q n sebagai penunjuk penentu dan menggantikan nilai individu penunjuk dinamik dengan nilai purata, kita sampai pada hubungan

Dari sini

5.3. Purata struktur

Jenis nilai purata khas - purata struktur - digunakan untuk mengkaji struktur dalaman siri pengedaran nilai atribut, serta untuk menganggarkan nilai purata (jenis kuasa), jika, mengikut data statistik yang tersedia, pengiraannya tidak dapat dilakukan (contohnya, jika tiada data dalam contoh yang dipertimbangkan) dan pada jumlah pengeluaran, dan pada jumlah kos oleh kumpulan perusahaan).

Penunjuk paling kerap digunakan sebagai purata struktur. fesyen - nilai ciri yang paling kerap diulang - dan median - nilai ciri yang membahagikan urutan tertib nilainya kepada dua bahagian yang sama bilangannya. Akibatnya, dalam separuh daripada unit populasi, nilai atribut tidak melebihi tahap median, dan pada separuh lagi ia tidak kurang daripadanya.

Jika ciri yang dikaji mempunyai nilai diskret, maka tiada kesukaran tertentu dalam mengira mod dan median. Jika data pada nilai atribut X dibentangkan dalam bentuk selang tertib perubahannya (siri selang), pengiraan mod dan median menjadi agak rumit. Oleh kerana nilai median membahagikan keseluruhan populasi kepada dua bahagian yang sama bilangannya, ia berakhir dalam salah satu selang ciri X. Dengan menggunakan interpolasi, nilai median ditemui dalam selang median ini:

,

di mana X Me ialah had bawah selang median;
h Saya adalah nilainya;
(Jumlah m) / 2 - separuh daripada jumlah pemerhatian atau separuh daripada isipadu penunjuk yang digunakan sebagai pemberat dalam formula untuk mengira nilai purata (dalam istilah mutlak atau relatif);
S Me-1 ialah jumlah cerapan (atau isipadu ciri pemberat) terkumpul sebelum permulaan selang median;
m Me ialah bilangan cerapan atau isipadu ciri pemberat dalam selang median (juga dalam istilah mutlak atau relatif).

Dalam contoh kami, walaupun tiga nilai median boleh diperolehi - berdasarkan tanda-tanda bilangan perusahaan, jumlah pengeluaran dan jumlah kos pengeluaran:

Oleh itu, bagi separuh daripada perusahaan, kos seunit pengeluaran melebihi 125.19 ribu rubel, separuh daripada jumlah keseluruhan pengeluaran dihasilkan dengan tahap kos setiap produk lebih daripada 124.79 ribu rubel. dan 50% daripada jumlah kos terbentuk pada tahap kos satu produk melebihi 125.07 ribu rubel. Kami juga perhatikan bahawa terdapat aliran menaik tertentu dalam kos, kerana Me 2 = 124.79 ribu rubel, dan tahap purata ialah 123.15 ribu rubel.

Apabila mengira nilai modal ciri mengikut data siri selang, adalah perlu untuk memberi perhatian kepada fakta bahawa selang adalah sama, kerana penunjuk kekerapan nilai ciri X bergantung pada ini. Untuk siri selang dengan selang yang sama, nilai mod ditentukan sebagai

dengan X Mo ialah nilai yang lebih rendah bagi selang modal;
m Mo ialah bilangan cerapan atau isipadu ciri pemberat dalam selang modal (dalam istilah mutlak atau relatif);
m Mo -1 - sama untuk selang sebelum modal;
m Mo+1 - sama untuk selang selepas modal;
h ialah nilai selang perubahan sifat dalam kumpulan.

Sebagai contoh kami, tiga nilai modal boleh dikira berdasarkan tanda-tanda bilangan perusahaan, jumlah pengeluaran dan jumlah kos. Dalam ketiga-tiga kes, selang modal adalah sama, kerana untuk selang yang sama kedua-dua bilangan perusahaan, jumlah pengeluaran, dan jumlah kos pengeluaran menjadi yang terbesar:

Oleh itu, perusahaan dengan tahap kos 126.75 ribu rubel paling kerap ditemui, produk dengan tahap kos 126.69 ribu rubel paling kerap dihasilkan, dan paling kerap kos pengeluaran dijelaskan oleh tahap kos 123.73 ribu rubel.

5.4. Penunjuk variasi

Keadaan khusus di mana setiap objek yang dikaji terletak, serta ciri pembangunan mereka sendiri (sosial, ekonomi, dll.) Dinyatakan oleh tahap berangka yang sepadan penunjuk statistik. Dengan cara ini, variasi, mereka. percanggahan antara tahap penunjuk yang sama dalam objek yang berbeza adalah objektif dan membantu memahami intipati fenomena yang dikaji.

Terdapat beberapa cara untuk mengukur variasi dalam statistik.

Yang paling mudah ialah pengiraan penunjuk variasi rentang H sebagai perbezaan antara nilai maksimum (X max) dan minimum (X min) yang diperhatikan bagi sifat:

H=X maks - X min .

Walau bagaimanapun, julat variasi hanya menunjukkan nilai ekstrem sifat tersebut. Kebolehulangan nilai perantaraan tidak diambil kira di sini.

Ciri yang lebih ketat ialah penunjuk turun naik berbanding dengan tahap purata atribut. Penunjuk paling mudah jenis ini ialah min sisihan linear L sebagai min aritmetik bagi sisihan mutlak sesuatu sifat daripada aras puratanya:

Dengan pengulangan nilai individu X, formula min aritmetik berwajaran digunakan:

(Ingat bahawa jumlah algebra sisihan daripada tahap min ialah sifar.)

Penunjuk sisihan linear purata telah menemui aplikasi yang luas dalam amalan. Dengan bantuannya, sebagai contoh, komposisi pekerja, irama pengeluaran, keseragaman bekalan bahan dianalisis, dan sistem insentif bahan dibangunkan. Tetapi, malangnya, penunjuk ini merumitkan pengiraan jenis probabilistik, menjadikannya sukar untuk menggunakan kaedah statistik matematik. Oleh itu, dalam penyelidikan saintifik statistik, penunjuk paling kerap digunakan untuk mengukur variasi. penyebaran.

Varians ciri (s 2) ditentukan berdasarkan min kuasa kuadratik:

.

Eksponen s sama dengan dipanggil sisihan piawai.

Dalam teori umum statistik, penunjuk serakan ialah anggaran penunjuk teori kebarangkalian dengan nama yang sama dan (sebagai jumlah sisihan kuasa dua) anggaran serakan dalam statistik matematik, yang membolehkan penggunaan peruntukan disiplin teori ini untuk menganalisis proses sosio-ekonomi.

Jika variasi dianggarkan daripada sebilangan kecil pemerhatian yang diambil daripada populasi umum tanpa had, maka nilai purata ciri ditentukan dengan beberapa ralat. Nilai pengiraan serakan nampaknya dianjak ke bawah. Untuk mendapatkan anggaran tidak berat sebelah, varians sampel yang diperoleh daripada formula di atas mesti didarab dengan n / (n - 1). Akibatnya, dengan sebilangan kecil pemerhatian (< 30) дисперсию признака рекомендуется вычислять по формуле

Biasanya sudah pada n > (15÷20) percanggahan antara anggaran berat sebelah dan tidak berat sebelah menjadi tidak ketara. Atas sebab yang sama, bias biasanya tidak diambil kira dalam formula untuk menambah varians.

Jika beberapa sampel diambil daripada populasi umum dan setiap kali nilai purata atribut ditentukan, maka masalah menganggar kebolehubahan purata timbul. Anggarkan varians nilai purata juga boleh berdasarkan hanya satu sampel pemerhatian mengikut formula

,

di mana n ialah saiz sampel; s 2 ialah varians ciri yang dikira daripada data sampel.

Nilai dipanggil ralat pensampelan min dan merupakan ciri sisihan nilai min sampel ciri X daripada nilai min sebenar. Penunjuk ralat purata digunakan dalam menilai kebolehpercayaan hasil pemerhatian sampel.

Penunjuk serakan relatif. Untuk mencirikan ukuran turun naik sifat yang dikaji, penunjuk turun naik dikira dalam istilah relatif. Mereka membolehkan anda membandingkan sifat serakan dalam taburan yang berbeza (unit pemerhatian yang berbeza bagi sifat yang sama dalam dua set, dengan nilai cara yang berbeza, apabila membandingkan set yang berbeza). Pengiraan penunjuk ukuran serakan relatif dijalankan sebagai nisbah indeks serakan mutlak kepada min aritmetik, didarab dengan 100%.

1. Pekali ayunan mencerminkan turun naik relatif nilai ekstrem sifat sekitar purata

.

2. Penutupan linear relatif mencirikan bahagian nilai purata tanda sisihan mutlak daripada nilai purata

.

3. Pekali variasi:

ialah ukuran varians yang paling biasa digunakan untuk menilai tipikal purata.

Dalam statistik, populasi dengan pekali variasi lebih besar daripada 30-35% dianggap sebagai heterogen.

Kaedah menganggar variasi ini juga mempunyai kelemahan yang ketara. Malah, katakan, sebagai contoh, populasi awal pekerja dengan purata tempoh perkhidmatan selama 15 tahun, dengan sisihan piawai s = 10 tahun, "berumur" dengan 15 tahun lagi. Sekarang = 30 tahun, dan sisihan piawai masih 10. Populasi heterogen sebelum ini (10/15 × 100 = 66.7%), oleh itu ternyata agak homogen dari masa ke masa (10/30 × 100 = 33.3%).

Boyarsky A.Ya. Penyelidikan teori tentang statistik: Sat. saintifik Prosiding - M .: Statistik, 1974. ms 19–57.

Sebelumnya

Untuk menganalisis dan mendapatkan kesimpulan statistik mengenai hasil ringkasan dan pengelompokan, penunjuk generalisasi dikira - nilai purata dan relatif.

Masalah purata - untuk mencirikan semua unit populasi statistik dengan satu nilai atribut.

Nilai purata mencirikan penunjuk kualitatif aktiviti keusahawanan: kos pengedaran, keuntungan, keuntungan, dll.

nilai purata- ini adalah ciri umum unit populasi mengikut beberapa atribut yang berbeza-beza.

Nilai purata membolehkan anda membandingkan tahap sifat yang sama dalam populasi yang berbeza dan mencari sebab percanggahan ini.

Dalam analisis fenomena yang dikaji, peranan nilai purata adalah sangat besar. Ahli ekonomi Inggeris W. Petty (1623-1687) menggunakan purata secara meluas. V. Petty ingin menggunakan nilai purata sebagai ukuran kos perbelanjaan pada purata sara hidup harian seorang pekerja. Kestabilan nilai purata adalah gambaran corak proses yang dikaji. Beliau percaya bahawa maklumat boleh diubah walaupun tidak ada data awal yang mencukupi.

Saintis Inggeris G. King (1648-1712) menggunakan nilai purata dan relatif semasa menganalisis data mengenai populasi England.

Perkembangan teori ahli statistik Belgium A. Quetelet (1796-1874) adalah berdasarkan ketidakkonsistenan sifat fenomena sosial - sangat stabil dalam jisim, tetapi semata-mata individu.

Menurut A. Quetelet, punca kekal bertindak dengan cara yang sama pada setiap fenomena yang dikaji dan menjadikan fenomena ini serupa antara satu sama lain, mewujudkan corak yang sama kepada kesemuanya.

Akibat daripada ajaran A. Quetelet adalah peruntukan nilai purata sebagai kaedah utama analisis statistik. Beliau berkata bahawa purata statistik bukanlah kategori realiti objektif.

A. Quetelet menyatakan pandangannya tentang purata dalam teorinya tentang orang biasa. Orang biasa ialah orang yang mempunyai semua kualiti dalam saiz purata (purata kadar kematian atau kelahiran, purata ketinggian dan berat, purata kelajuan larian, purata kecenderungan untuk berkahwin dan membunuh diri, untuk perbuatan baik, dsb.). Bagi A. Quetelet, orang biasa adalah ideal seseorang. Ketidakkonsistenan teori A. Quetelet tentang manusia biasa telah dibuktikan dalam kesusasteraan statistik Rusia pada akhir abad ke-19-20.

Ahli statistik Rusia yang terkenal Yu. E. Yanson (1835-1893) menulis bahawa A. Quetelet menganggap kewujudan dalam sifat jenis orang biasa sebagai sesuatu yang diberikan, dari mana kehidupan telah menolak orang biasa dalam masyarakat tertentu dan masa tertentu, dan ini membawanya kepada pandangan mekanikal sepenuhnya tentang undang-undang pergerakan kehidupan sosial: gerakan adalah peningkatan beransur-ansur dalam sifat purata seseorang, pemulihan beransur-ansur jenis; akibatnya, seperti meratakan semua manifestasi kehidupan badan sosial, di mana sebarang pergerakan ke hadapan terhenti.

Intipati teori ini telah menemui perkembangan selanjutnya dalam karya beberapa ahli teori statistik sebagai teori nilai sebenar. A. Quetelet mempunyai pengikut - ahli ekonomi dan statistik Jerman W. Lexis (1837-1914), yang memindahkan teori nilai sebenar kepada fenomena ekonomi kehidupan sosial. Teori beliau dikenali sebagai teori kestabilan. Satu lagi versi teori purata idealistik adalah berdasarkan falsafah

Pengasasnya ialah ahli statistik Inggeris A. Bowley (1869–1957), salah seorang ahli teori yang paling menonjol pada zaman moden dalam bidang teori purata. Konsep purata beliau digariskan dalam buku "Elemen Statistik".

A. Bowley menganggap purata hanya dari segi kuantitatif, dengan itu memisahkan kuantiti daripada kualiti. Menentukan makna nilai purata (atau "fungsi mereka"), A. Bowley mengemukakan prinsip pemikiran Machist. A. Bowley menulis bahawa fungsi purata harus menyatakan kumpulan kompleks

dengan beberapa nombor perdana. Data statistik harus dipermudahkan, dikumpulkan dan dipuratakan. Pandangan ini dikongsi oleh R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892), dan lain-lain.

Dalam 30-an. abad ke-20 dan tahun-tahun berikutnya, nilai purata dianggap sebagai ciri penting dari segi sosial, kandungan maklumat yang bergantung pada kehomogenan data.

Wakil yang paling menonjol dari sekolah Itali R. Benini (1862-1956) dan C. Gini (1884-1965), menganggap statistik sebagai cabang logik, memperluaskan skop induksi statistik, tetapi mereka mengaitkan prinsip kognitif logik dan statistik dengan sifat fenomena yang dikaji, mengikut tradisi tafsiran sosiologi statistik.

Dalam karya K. Marx dan V. I. Lenin, peranan khas diberikan kepada nilai purata.

K. Marx berhujah bahawa sisihan individu dari tahap umum dibatalkan dalam nilai purata dan tahap purata menjadi ciri umum fenomena jisim. Nilai purata menjadi ciri fenomena jisim hanya jika sejumlah besar unit diambil. dan unit-unit ini adalah homogen secara kualitatif. Marx menulis bahawa nilai purata yang ditemui ialah purata "... banyak nilai individu yang berbeza dari jenis yang sama."

Nilai purata memperoleh kepentingan istimewa dalam ekonomi pasaran. Ia membantu untuk menentukan perlu dan umum, trend undang-undang pembangunan ekonomi secara langsung melalui individu dan rawak.

Nilai purata adalah penunjuk generalisasi di mana tindakan keadaan umum, keteraturan fenomena yang dikaji dinyatakan.

Purata statistik dikira berdasarkan data jisim pemerhatian jisim tersusun dengan betul secara statistik. Jika purata statistik dikira daripada data jisim untuk populasi homogen secara kualitatif (fenomena jisim), maka ia akan menjadi objektif.

Nilai purata adalah abstrak, kerana ia mencirikan nilai unit abstrak.

Purata disarikan daripada kepelbagaian ciri dalam objek individu. Abstraksi adalah peringkat penyelidikan saintifik. Kesatuan dialektik individu dan umum direalisasikan dalam nilai purata.

Nilai purata hendaklah digunakan berdasarkan pemahaman dialektik bagi kategori individu dan umum, individu dan jisim.

Bahagian tengah mencerminkan sesuatu yang sama yang dijumlahkan dalam objek tunggal tertentu.

Untuk mengenal pasti corak dalam proses sosial massa, nilai purata adalah sangat penting.

Penyimpangan individu daripada umum adalah manifestasi proses pembangunan.

Nilai purata mencerminkan ciri, tipikal, tahap sebenar fenomena yang dikaji. Tujuan purata adalah untuk mencirikan tahap ini dan perubahannya dalam masa dan ruang.

Penunjuk purata adalah nilai biasa, kerana ia terbentuk dalam keadaan normal, semula jadi, umum untuk kewujudan fenomena jisim tertentu, dianggap sebagai keseluruhan.

Sifat objektif proses atau fenomena statistik mencerminkan nilai purata.

Nilai individu ciri statistik yang dikaji adalah berbeza untuk setiap unit populasi. Nilai purata nilai individu bagi satu jenis adalah produk keperluan, yang merupakan hasil daripada tindakan kumulatif semua unit populasi, yang ditunjukkan dalam banyak kemalangan berulang.

Sesetengah fenomena individu mempunyai tanda-tanda yang wujud dalam semua fenomena, tetapi dalam kuantiti yang berbeza - ini adalah ketinggian atau umur seseorang. Tanda-tanda lain bagi fenomena individu secara kualitatif berbeza dalam fenomena yang berbeza, iaitu, mereka hadir dalam beberapa dan tidak diperhatikan pada orang lain (seorang lelaki tidak akan menjadi seorang wanita). Nilai purata dikira untuk tanda yang secara kualitatif homogen dan berbeza hanya secara kuantitatif, yang wujud dalam semua fenomena dalam set tertentu.

Nilai purata adalah cerminan nilai sifat yang sedang dikaji dan diukur dalam dimensi yang sama dengan sifat ini.

Teori materialisme dialektik mengajar bahawa segala sesuatu di dunia berubah dan berkembang. Dan juga tanda-tanda yang dicirikan oleh nilai purata berubah, dan, dengan itu, purata itu sendiri.

Kehidupan adalah proses berterusan untuk mencipta sesuatu yang baru. Pembawa kualiti baru adalah objek tunggal, maka bilangan objek ini meningkat, dan yang baru menjadi jisim, tipikal.

Nilai purata mencirikan populasi yang dikaji hanya pada satu asas. Untuk pembentangan lengkap dan komprehensif populasi yang dikaji untuk beberapa ciri khusus, adalah perlu untuk mempunyai sistem nilai purata yang boleh menggambarkan fenomena dari sudut yang berbeza.

2. Jenis-jenis purata

Dalam pemprosesan statistik bahan, pelbagai masalah timbul yang perlu diselesaikan, dan oleh itu pelbagai nilai purata digunakan dalam amalan statistik. Statistik matematik menggunakan pelbagai purata, seperti: purata aritmetik; min geometri; harmonik purata; punca purata kuasa dua.

Untuk menerapkan salah satu jenis purata di atas, adalah perlu untuk menganalisis populasi yang dikaji, menentukan kandungan material fenomena yang dikaji, semua ini dilakukan berdasarkan kesimpulan yang diperoleh daripada prinsip kebermaknaan hasil. semasa menimbang atau menjumlahkan.

Dalam kajian purata, penunjuk dan tatatanda berikut digunakan.

Kriteria di mana purata ditemui dipanggil ciri purata dan dilambangkan dengan x; nilai ciri purata bagi mana-mana unit populasi statistik dipanggil makna individunya atau pilihan, dan dilambangkan sebagai x 1 , X 2 , x 3 ,… X P ; kekerapan ialah kebolehulangan nilai individu bagi sesuatu sifat, yang dilambangkan dengan huruf f.

Min aritmetik

Salah satu jenis medium yang paling biasa min aritmetik, yang dikira apabila isipadu atribut purata dibentuk sebagai jumlah nilainya untuk unit individu populasi statistik yang dikaji.

Untuk mengira min aritmetik, jumlah semua peringkat ciri dibahagikan dengan nombornya.

Jika beberapa pilihan berlaku beberapa kali, maka jumlah peringkat atribut boleh diperolehi dengan mendarab setiap peringkat dengan bilangan unit populasi yang sepadan, diikuti dengan penambahan produk yang terhasil, min aritmetik yang dikira dengan cara ini dipanggil aritmetik berwajaran bermakna.

Formula bagi min aritmetik berwajaran adalah seperti berikut:

di mana x i adalah pilihan,

f i - frekuensi atau berat.

Purata wajaran harus digunakan dalam semua kes di mana varian mempunyai kelimpahan yang berbeza.

Purata aritmetik, seolah-olah, mengagihkan sama rata di antara objek individu jumlah nilai atribut, yang sebenarnya berbeza untuk setiap satu daripadanya.

Pengiraan nilai purata dijalankan mengikut data yang dikumpulkan dalam bentuk siri taburan selang, apabila varian ciri dari mana purata dikira dibentangkan dalam bentuk selang (dari - hingga).

Sifat aritmetik min:

1) min aritmetik hasil tambah nilai yang berbeza-beza adalah sama dengan hasil tambah bermakna aritmetik: Jika x i = y i + z i , maka

Sifat ini menunjukkan dalam kes yang mana adalah mungkin untuk meringkaskan nilai purata.

2) jumlah algebra bagi sisihan nilai individu bagi ciri pembolehubah dari min adalah sama dengan sifar, kerana jumlah sisihan dalam satu arah diimbangi oleh jumlah sisihan ke arah yang lain:

Peraturan ini menunjukkan bahawa min ialah paduan.

3) jika semua varian siri ditambah atau dikurangkan dengan nombor yang sama?, maka purata akan meningkat atau berkurangan dengan nombor yang sama?:

4) jika semua varian siri itu dinaikkan atau dikurangkan sebanyak A kali, maka purata juga akan meningkat atau menurun sebanyak A kali:

5) sifat kelima purata menunjukkan kepada kita bahawa ia tidak bergantung pada saiz berat, tetapi bergantung pada nisbah antara mereka. Sebagai pemberat, bukan sahaja relatif, tetapi juga nilai mutlak boleh diambil.

Jika semua frekuensi siri dibahagikan atau didarab dengan nombor yang sama d, maka purata tidak akan berubah.

Purata harmonik. Untuk menentukan min aritmetik, adalah perlu untuk mempunyai beberapa pilihan dan frekuensi, iaitu, nilai X dan f.

Katakan kita tahu nilai individu ciri tersebut X dan berfungsi X/, dan frekuensi f tidak diketahui, maka, untuk mengira purata, kami menandakan hasil = X/; di mana:

Purata dalam bentuk ini dipanggil purata wajaran harmonik dan dilambangkan x membahayakan. vzvv.

Sehubungan itu, min harmonik adalah sama dengan min aritmetik. Ia terpakai apabila berat sebenar tidak diketahui. f, dan produk diketahui fx = z

Apabila kerja-kerja fx sama atau sama dengan satu (m = 1), min ringkas harmonik digunakan, dikira dengan formula:

di mana X- pilihan berasingan;

n- nombor.

Purata geometri

Jika terdapat n faktor pertumbuhan, maka formula bagi pekali purata ialah:

Ini ialah formula min geometri.

Purata geometri adalah sama dengan punca darjah n daripada produk pekali pertumbuhan yang mencirikan nisbah nilai setiap tempoh berikutnya kepada nilai yang sebelumnya.

Jika nilai yang dinyatakan sebagai fungsi segi empat sama tertakluk kepada purata, punca purata kuasa dua digunakan. Sebagai contoh, menggunakan kuasa dua min akar, anda boleh menentukan diameter paip, roda, dsb.

Purata kuasa dua ringkas ditentukan dengan mengambil punca kuasa dua hasil bagi daripada membahagikan jumlah kuasa dua nilai ciri individu dengan nombornya.

Purata berwajaran min kuasa dua ialah:

3. Purata struktur. Mod dan median

Untuk mencirikan struktur populasi statistik, penunjuk digunakan yang dipanggil purata struktur. Ini termasuk mod dan median.

Fesyen (M kira-kira ) - pilihan yang paling biasa. Fesyen nilai ciri dipanggil, yang sepadan dengan titik maksimum keluk taburan teori.

Mod mewakili nilai yang paling kerap berlaku atau biasa.

Fesyen digunakan dalam amalan komersial untuk mengkaji permintaan pengguna dan merekodkan harga.

Dalam siri diskret, mod ialah varian dengan frekuensi tertinggi. Dalam siri variasi selang, varian tengah selang, yang mempunyai frekuensi tertinggi (kekhususan), dianggap sebagai mod.

Dalam selang waktu, adalah perlu untuk mencari nilai atribut, iaitu mod.

di mana X kira-kira ialah had bawah selang modal;

h ialah nilai selang modal;

fm ialah kekerapan selang modal;

f t-1 - kekerapan selang sebelum modal;

fm+1 ialah kekerapan selang berikutan modal.

Mod bergantung pada saiz kumpulan, pada kedudukan tepat sempadan kumpulan.

Fesyen- nombor yang paling kerap berlaku (adalah nilai tertentu), dalam praktiknya ia mempunyai aplikasi terluas (jenis pembeli yang paling biasa).

Median (M e- ini ialah nilai yang membahagikan bilangan siri variasi tertib kepada dua bahagian yang sama: satu bahagian mempunyai nilai ciri yang berbeza-beza yang lebih kecil daripada varian purata, dan satu lagi adalah besar.

Median ialah unsur yang lebih besar daripada atau sama dengan dan pada masa yang sama kurang daripada atau sama dengan separuh daripada unsur-unsur yang tinggal dalam siri taburan.

Sifat median ialah jumlah sisihan mutlak nilai sifat daripada median adalah kurang daripada nilai lain.

Menggunakan median membolehkan anda mendapatkan hasil yang lebih tepat daripada menggunakan bentuk purata lain.

Urutan mencari median dalam siri variasi selang adalah seperti berikut: kami menyusun nilai individu atribut mengikut pangkat; tentukan frekuensi terkumpul untuk siri kedudukan ini; mengikut frekuensi terkumpul, kita dapati selang median:

di mana x saya ialah had bawah selang median;

i saya ialah nilai selang median;

f/2 ialah jumlah separuh daripada frekuensi siri itu;

S saya-1 ialah jumlah kekerapan terkumpul sebelum selang median;

f saya ialah kekerapan selang median.

Median membahagikan bilangan baris kepada separuh, oleh itu, di mana kekerapan terkumpul adalah separuh atau lebih daripada separuh daripada jumlah bilangan frekuensi, dan kekerapan sebelumnya (kumulatif) adalah kurang daripada separuh populasi.