Bagaimana untuk mencari y dalam fungsi. Sekatan tambahan pada skop fungsi

Dalam matematik set tak terhingga fungsi. Dan masing-masing mempunyai watak tersendiri.) Untuk bekerja dengan pelbagai fungsi yang anda perlukan bujang pendekatan. Jika tidak, apakah jenis matematik ini?!) Dan ada pendekatan sedemikian!

Apabila bekerja dengan mana-mana fungsi, kami membentangkannya dengan set soalan standard. Dan yang pertama, yang paling banyak soalan penting- Ini domain definisi fungsi. Kawasan ini kadangkala dipanggil set nilai yang boleh diterima hujah, kawasan spesifikasi fungsi, dsb.

Apakah domain fungsi? Bagaimana untuk mencarinya? Soalan-soalan ini selalunya kelihatan rumit dan tidak dapat difahami... Walaupun, sebenarnya, semuanya sangat mudah. Anda boleh lihat sendiri dengan membaca halaman ini. Jom pergi?)

Nah, apa yang boleh saya katakan... Hanya hormat.) Ya! Domain semula jadi bagi sesuatu fungsi (yang dibincangkan di sini) perlawanan dengan ODZ ungkapan yang disertakan dalam fungsi. Sehubungan itu, mereka dicari mengikut peraturan yang sama.

Sekarang mari kita lihat domain definisi yang tidak sepenuhnya semulajadi.)

Sekatan tambahan pada skop fungsi.

Di sini kita akan bercakap tentang sekatan yang dikenakan oleh tugas itu. Itu. Tugas itu mengandungi beberapa syarat tambahan yang disediakan oleh pengkompil. Atau sekatan muncul daripada kaedah menentukan fungsi.

Bagi sekatan dalam tugas, semuanya mudah. Selalunya tak perlu cari apa-apa, semua dah cakap dalam tugasan. Biar saya ingatkan anda bahawa sekatan yang ditulis oleh pengarang tugasan tidak membatalkan batasan asas matematik. Anda hanya perlu ingat untuk mengambil kira syarat tugas.

Sebagai contoh, tugas ini:

Cari domain fungsi:

pada set nombor positif.

Kami menemui domain semula jadi bagi definisi fungsi ini di atas. Kawasan ini:

D(f)=( -∞ ; -1) ∪ (-1; 2] ∪ ∪

Dalam kaedah lisan untuk menentukan fungsi, anda perlu membaca keadaan dengan teliti dan mencari sekatan pada Xs di sana. Kadang-kadang mata mencari formula, tetapi kata-kata bersiul melepasi kesedaran ya...) Contoh dari pelajaran lepas:

Fungsi ini ditentukan oleh syarat: setiap nilai argumen asli x dikaitkan dengan jumlah digit yang membentuk nilai x.

Perlu diingatkan di sini bahawa kita bercakap sahaja tentang nilai semula jadi X. Kemudian D(f) serta-merta direkodkan:

D(f): x ∈ N

Seperti yang anda lihat, domain fungsi bukanlah konsep yang rumit. Mencari rantau ini datang untuk memeriksa fungsi, menulis sistem ketaksamaan, dan menyelesaikan sistem ini. Sudah tentu, terdapat semua jenis sistem, mudah dan kompleks. Tetapi...

Saya akan membukanya rahsia kecil. Kadangkala fungsi yang anda perlukan untuk mencari domain definisi kelihatan menakutkan. Saya mahu menjadi pucat dan menangis.) Tetapi sebaik sahaja saya menulis sistem ketidaksamaan... Dan, tiba-tiba, sistem itu menjadi asas! Lebih-lebih lagi, selalunya, fungsi yang lebih dahsyat, lebih mudah sistem...

Moral: mata takut, kepala memutuskan!)

Fungsi ialah model. Mari kita takrifkan X sebagai satu set nilai pembolehubah bebas // bebas bermaksud sebarang.

Fungsi ialah peraturan dengan bantuan yang mana, bagi setiap nilai pembolehubah bebas daripada set X, seseorang boleh mencari nilai unik pembolehubah bersandar. // i.e. bagi setiap x terdapat satu y.

Daripada definisi itu, terdapat dua konsep - bebas pembolehubah (yang kita nyatakan sebagai x dan boleh mengambil sebarang nilai) dan pembolehubah bersandar (yang kita nyatakan sebagai y atau f(x) dan dikira daripada fungsi apabila kita menggantikan x).

CONTOHNYA y=5+x

1. Bebas ialah x, yang bermaksud kita mengambil sebarang nilai, biarkan x=3

2. Sekarang mari kita hitung y, yang bermaksud y=5+x=5+3=8. (y bergantung kepada x, kerana apa sahaja x yang kita gantikan, kita mendapat y yang sama)

Pembolehubah y dikatakan berfungsi bergantung kepada pembolehubah x dan dilambangkan seperti berikut: y = f (x).

CONTOHNYA.

1.y=1/x. (dipanggil hiperbola)

2. y=x^2. (dipanggil parabola)

3.y=3x+7. (dipanggil garis lurus)

4. y= √ x. (dipanggil cabang parabola)

Pembolehubah bebas (yang kita nyatakan dengan x) dipanggil argumen fungsi.

Domain Fungsi

Set semua nilai yang diambil oleh hujah fungsi dipanggil domain fungsi dan dilambangkan D(f) atau D(y).

Pertimbangkan D(y) untuk 1.,2.,3.,4.

1. D (у)= (∞; 0) dan (0;+∞) //keseluruhan set nombor nyata, kecuali sifar.

2. D (y)= (∞; +∞)//semua nombor nombor nyata

3. D (y)= (∞; +∞)//semua nombor nombor nyata

4. D (y) = .

Akhirnya, jika gabungan fungsi yang berbeza diberikan, maka domain definisi ialah persilangan domain definisi semua fungsi ini. Contohnya, y=sin(2*x)+x/√(x+2)+arcsin(x−6)+log(x−6). Pertama, cari domain takrifan semua istilah. Sin(2*x) ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor. Untuk fungsi x/√(x+2), selesaikan ketaksamaan x+2>0 dan domain takrifan ialah (-2; +∞). Domain takrifan fungsi arcsin(x−6) diberikan oleh ketaksamaan berganda-1≤x-6≤1, iaitu segmen yang terhasil ialah . Untuk logaritma, ketaksamaan x−6>0 berlaku, dan ini ialah selang (6; +∞). Oleh itu, domain takrifan fungsi ialah set (-∞; +∞)∩(-2; +∞)∩∩(6; +∞), iaitu (6; 7].

Video mengenai topik

Sumber:

• domain fungsi dengan logaritma

Fungsi ialah konsep yang mencerminkan hubungan antara unsur-unsur set, atau dalam erti kata lain, ia adalah "undang-undang" mengikut mana setiap elemen satu set (dipanggil domain definisi) dikaitkan dengan beberapa elemen set lain ( dipanggil domain nilai).

Mula-mula, mari belajar cara mencari domain takrifan jumlah fungsi. Adalah jelas bahawa fungsi sedemikian masuk akal untuk semua nilai pembolehubah yang mana semua fungsi yang membentuk jumlah itu masuk akal. Oleh itu, tidak ada keraguan tentang kesahihan pernyataan berikut:

Jika fungsi f ialah hasil tambah n fungsi f 1, f 2, …, f n, iaitu fungsi f diberikan oleh formula y=f 1 (x)+f 2 (x)+…+f n (x ), maka domain takrifan fungsi f ialah persilangan domain takrifan fungsi f 1, f 2, ..., f n. Mari kita tulis ini sebagai .

Mari kita bersetuju untuk terus menggunakan entri yang serupa dengan yang terakhir, yang kami maksudkan ditulis di dalam pendakap kerinting, atau pemenuhan serentak sebarang syarat. Ini mudah dan secara semula jadi bergema dengan maksud sistem.

Contoh.

Fungsi y=x 7 +x+5+tgx diberikan, dan kita perlu mencari domain definisinya.

Penyelesaian.

Fungsi f diwakili oleh jumlah empat fungsi: f 1 - fungsi kuasa dengan eksponen 7, f 2 - fungsi kuasa dengan eksponen 1, f 3 - fungsi malar dan f 4 - fungsi tangen.

Melihat jadual kawasan untuk menentukan utama fungsi asas, kita dapati bahawa D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) , D(f 3)=(−∞, +∞) , dan domain bagi takrif tangen ialah set semua nombor nyata kecuali nombor .

Domain takrifan fungsi f ialah persilangan domain takrifan fungsi f 1, f 2, f 3 dan f 4. Agak jelas bahawa ini adalah set semua nombor nyata, kecuali nombor .

Jawapan:

set semua nombor nyata kecuali .

Mari kita teruskan untuk mencari domain takrifan hasil darab fungsi. Untuk kes ini, peraturan yang sama digunakan:

Jika fungsi f ialah hasil darab n fungsi f 1, f 2, ..., f n, iaitu fungsi f diberikan oleh formula y=f 1 (x) f 2 (x)… f n (x), maka domain takrifan fungsi f ialah persilangan domain takrifan fungsi f 1, f 2, ..., f n. Jadi, .

Ini boleh difahami, dalam kawasan yang dinyatakan semua fungsi produk ditakrifkan, dan oleh itu fungsi f itu sendiri.

Contoh.

Y=3·arctgx·lnx .

Penyelesaian.

Struktur sebelah kanan formula yang mentakrifkan fungsi boleh dianggap sebagai f 1 (x) f 2 (x) f 3 (x), di mana f 1 ialah fungsi malar, f 2 ialah fungsi arctangent, dan f 3 ialah fungsi logaritma dengan asas e.

Kita tahu bahawa D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=(−∞, +∞) dan D(f 3)=(0, +∞) . Kemudian .

Jawapan:

Domain takrifan fungsi y=3·arctgx·lnx ialah set semua nombor positif nyata.

Marilah kita fokus secara berasingan pada mencari domain takrifan fungsi yang diberikan oleh formula y=C·f(x), dengan C ialah beberapa nombor nyata. Adalah mudah untuk menunjukkan bahawa domain takrifan fungsi ini dan domain takrifan fungsi f bertepatan. Sesungguhnya, fungsi y=C·f(x) ialah hasil darab fungsi malar dan fungsi f. Domain bagi fungsi malar ialah set semua nombor nyata, dan domain bagi fungsi f ialah D(f) . Maka domain takrifan bagi fungsi y=C f(x) ialah , itulah yang perlu ditunjukkan.

Jadi, domain takrifan fungsi y=f(x) dan y=C·f(x), dengan C ialah beberapa nombor nyata, bertepatan. Sebagai contoh, domain punca ialah , menjadi jelas bahawa D(f) ialah set semua x daripada domain fungsi f 2 yang mana f 2 (x) termasuk dalam domain fungsi f 1 .

Oleh itu, domain definisi fungsi kompleks y=f 1 (f 2 (x)) ialah persilangan dua set: set semua x yang x∈D(f 2) dan set semua x sedemikian yang f 2 (x)∈D(f 1) . Iaitu, dalam notasi yang telah kami pakai (ini pada asasnya adalah sistem ketidaksamaan).

Mari lihat beberapa contoh penyelesaian. Kami tidak akan menerangkan proses secara terperinci, kerana ini di luar skop artikel ini.

Contoh.

Cari domain takrifan bagi fungsi y=lnx 2 .

Penyelesaian.

Fungsi asal boleh diwakili sebagai y=f 1 (f 2 (x)), di mana f 1 ialah logaritma dengan asas e, dan f 2 ialah fungsi kuasa dengan penunjuk 2.

Berbalik kepada kawasan yang diketahui takrifan fungsi asas asas, kita mempunyai D(f 1)=(0, +∞) dan D(f 2)=(−∞, +∞) .

Kemudian

Jadi kami mendapati domain takrifan fungsi yang kami perlukan, ia adalah set semua nombor nyata kecuali sifar.

Jawapan:

(−∞, 0)∪(0, +∞) .

Contoh.

Apakah domain bagi sesuatu fungsi ?

Penyelesaian.

Fungsi ini kompleks, ia boleh dianggap sebagai y=f 1 (f 2 (x)), di mana f 1 ialah fungsi kuasa dengan eksponen, dan f 2 ialah fungsi arcsine, dan kita perlu mencari domain takrifannya.

Mari lihat apa yang kita tahu: D(f 1)=(0, +∞) dan D(f 2)=[−1, 1] . Ia kekal untuk mencari persilangan set nilai x supaya x∈D(f 2) dan f 2 (x)∈D(f 1) :

Untuk arcsinx>0, ingat sifat-sifat fungsi arcsine. Lengkok meningkat di seluruh domain definisi [−1, 1] dan pergi ke sifar pada x=0, oleh itu, arcsinx>0 untuk sebarang x dari selang (0, 1] .

Mari kembali ke sistem:

Oleh itu, domain takrifan yang diperlukan bagi fungsi ialah separuh selang (0, 1).

Jawapan:

(0, 1] .

Sekarang mari kita beralih kepada fungsi yang kompleks pandangan umum y=f 1 (f 2 (…f n (x)))) . Domain takrifan fungsi f dalam kes ini didapati sebagai .

Contoh.

Cari domain bagi sesuatu fungsi .

Penyelesaian.

Diberi fungsi kompleks boleh ditulis sebagai y=f 1 (f 2 (f 3 (x))), dengan f 1 – sin, f 2 – fungsi punca darjah empat, f 3 – log.

Kita tahu bahawa D(f 1)=(−∞, +∞) , D(f 2)=)