Bagaimana untuk mencari ketinggian trapezoid menggunakan pepenjuru. Bagaimana untuk mencari kawasan trapezoid: formula dan contoh

Amalan USE dan GIA tahun lepas menunjukkan bahawa masalah geometri menimbulkan kesukaran kepada ramai pelajar. Anda boleh mengatasinya dengan mudah jika anda menghafal semua formula yang diperlukan dan berlatih menyelesaikan masalah.

Dalam artikel ini, anda akan melihat formula untuk mencari luas trapezoid, serta contoh masalah dengan penyelesaian. Orang yang sama boleh menemui anda dalam KIM semasa peperiksaan pensijilan atau di olimpiade. Oleh itu, rawat mereka dengan berhati-hati.

Apa yang anda perlu tahu tentang trapezoid?

Sebagai permulaan, mari kita ingat itu trapeze segiempat dipanggil, di mana dua sisi bertentangan, mereka juga dipanggil tapak, adalah selari, dan dua sisi yang lain tidak.

Dalam trapezoid, ketinggian (berserenjang dengan tapak) juga boleh diabaikan. Garis tengah dilukis - ini adalah garis lurus yang selari dengan tapak dan sama dengan separuh daripada jumlahnya. Serta pepenjuru yang boleh bersilang, membentuk sudut akut dan tumpul. Atau, dalam beberapa kes, pada sudut yang betul. Di samping itu, jika trapezoid adalah isosceles, bulatan boleh ditulis di dalamnya. Dan terangkan bulatan di sekelilingnya.

Formula kawasan trapezium

Pertama, pertimbangkan formula standard untuk mencari luas trapezoid. Cara mengira luas isosceles dan curvilinear trapezoid akan dipertimbangkan di bawah.

Jadi, bayangkan bahawa anda mempunyai trapezoid dengan tapak a dan b, di mana ketinggian h diturunkan ke tapak yang lebih besar. Mengira luas angka dalam kes ini adalah mudah. Anda hanya perlu membahagikan dengan dua jumlah panjang tapak dan darabkan apa yang berlaku dengan ketinggian: S = 1/2(a + b)*h.

Mari kita ambil satu lagi kes: katakan bahawa sebagai tambahan kepada ketinggian, trapezoid mempunyai garis median m. Kita tahu formula untuk mencari panjang garis tengah: m = 1/2(a + b). Oleh itu, kita boleh menyederhanakan formula untuk luas trapezoid kepada bentuk berikut: S = m * h. Dalam erti kata lain, untuk mencari luas trapezoid, anda perlu mendarab garis tengah dengan ketinggian.

Mari kita pertimbangkan satu lagi pilihan: pepenjuru d 1 dan d 2 dilukis dalam trapezoid, yang tidak bersilang pada sudut tepat α. Untuk mengira luas trapezoid sedemikian, anda perlu membahagikan separuh hasil pepenjuru dan mendarabkan apa yang anda dapat dengan dosa sudut di antara mereka: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.

Sekarang pertimbangkan formula untuk mencari luas trapezoid jika tiada apa yang diketahui mengenainya kecuali panjang semua sisinya: a, b, c dan d. Ini adalah formula yang menyusahkan dan rumit, tetapi ia akan berguna untuk anda mengingatinya sekiranya: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Ngomong-ngomong, contoh di atas juga benar untuk kes apabila anda memerlukan formula untuk luas trapezoid segi empat tepat. Ini adalah trapezoid, sisi yang bersebelahan tapak pada sudut tepat.

Trapezium sama kaki

Trapezoid yang sisinya sama dipanggil isosceles. Kami akan mempertimbangkan beberapa varian formula untuk kawasan trapezoid isosceles.

Pilihan pertama: untuk kes apabila bulatan dengan jejari r ditulis di dalam trapezoid isosceles, dan sisi sisi dan tapak yang lebih besar membentuk sudut akut α. Sebuah bulatan boleh ditulis dalam trapezium dengan syarat jumlah panjang tapaknya adalah sama dengan jumlah panjang sisi.

Luas trapezoid isosceles dikira seperti berikut: darabkan kuasa dua jejari bulatan tersurat dengan empat dan bahagikan semuanya dengan sinα: S = 4r 2 /sinα. Formula luas lain ialah kes khas untuk pilihan apabila sudut antara tapak besar dan sisi ialah 30 0: S = 8r2.

Pilihan kedua: kali ini kita mengambil trapezoid isosceles, di mana, sebagai tambahan, pepenjuru d 1 dan d 2 dilukis, serta ketinggian h. Jika pepenjuru trapezium saling berserenjang, tingginya ialah separuh daripada hasil tambah tapak: h = 1/2(a + b). Mengetahui perkara ini, adalah mudah untuk menukar formula kawasan trapezoid yang sudah biasa kepada anda ke dalam bentuk ini: S = h2.

Formula untuk luas trapezoid melengkung

Mari kita mulakan dengan memahami: apakah trapezoid curvilinear. Bayangkan paksi koordinat dan graf bagi fungsi selanjar dan bukan negatif f yang tidak berubah tanda dalam segmen tertentu pada paksi-x. Trapezoid melengkung dibentuk oleh graf fungsi y \u003d f (x) - di bahagian atas, paksi x - di bahagian bawah (segmen), dan di sisi - garis lurus yang dilukis antara titik a dan b dan graf daripada fungsi tersebut.

Tidak mustahil untuk mengira kawasan angka bukan standard sedemikian menggunakan kaedah di atas. Di sini anda perlu menggunakan analisis matematik dan menggunakan kamiran. Iaitu, formula Newton-Leibniz - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Dalam formula ini, F ialah antiterbitan fungsi kami pada selang yang dipilih. Dan luas trapezoid melengkung sepadan dengan kenaikan antiderivatif pada segmen tertentu.

Contoh tugas

Untuk menjadikan semua formula ini lebih baik di kepala anda, berikut adalah beberapa contoh masalah untuk mencari luas trapezoid. Adalah lebih baik jika anda mula-mula cuba menyelesaikan masalah itu sendiri, dan kemudian semak jawapan yang anda terima dengan penyelesaian siap sedia.

Tugasan #1: Diberi trapezoid. Tapaknya yang lebih besar ialah 11 cm, yang lebih kecil ialah 4 cm. Trapezium mempunyai pepenjuru, satu 12 cm panjang, satu lagi 9 cm panjang.

Penyelesaian: Bina AMRS trapezoid. Lukis garis RX melalui bucu P supaya ia selari dengan pepenjuru MC dan memotong garis AC di titik X. Anda mendapat segi tiga APX.

Kami akan mempertimbangkan dua angka yang diperoleh hasil daripada manipulasi ini: segi tiga APX dan segi empat selari CMPX.

Terima kasih kepada segi empat selari, kita mengetahui bahawa PX = MC = 12 cm dan CX = MP = 4 cm. Di mana kita boleh mengira sisi AX segi tiga ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Kita juga boleh membuktikan bahawa segitiga ARCH adalah bersudut tegak (untuk melakukan ini, gunakan teorem Pythagoras - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). Dan hitung luasnya: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Seterusnya, anda perlu membuktikan bahawa segi tiga AMP dan PCX adalah sama luas. Asasnya ialah kesamarataan pihak MP dan CX (sudah terbukti di atas). Dan juga ketinggian yang anda turunkan pada sisi ini - mereka sama dengan ketinggian trapezoid AMRS.

Semua ini akan membolehkan anda menegaskan bahawa S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Tugasan #2: Diberi KRMS trapezoid. Titik O dan E terletak pada sisi sisinya, manakala OE dan KS adalah selari. Juga diketahui bahawa luas trapezoid ORME dan OXE adalah dalam nisbah 1:5. PM = a dan KS = b. Anda perlu mencari OE.

Penyelesaian: Lukis garis melalui titik M selari dengan RK, dan tentukan titik persilangannya dengan OE sebagai T. A ialah titik persilangan garis yang dilukis melalui titik E selari dengan RK dengan tapak KS.

Mari kita perkenalkan satu lagi tatatanda - OE = x. Serta ketinggian h 1 untuk segi tiga TME dan ketinggian h 2 untuk segi tiga AEC (anda boleh membuktikan secara bebas persamaan segi tiga ini).

Kami akan menganggap bahawa b > a. Kawasan trapezoid ORME dan OXE dikaitkan sebagai 1:5, yang memberi kita hak untuk membuat persamaan berikut: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Mari kita ubah dan dapatkan: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Oleh kerana segi tiga TME dan AEC adalah serupa, kita mempunyai h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Gabungkan kedua-dua entri dan dapatkan: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Oleh itu, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Kesimpulan

Geometri bukanlah sains yang paling mudah, tetapi anda pasti akan dapat mengatasi tugas peperiksaan. Cuma perlu sedikit kesabaran dalam penyediaan. Dan, tentu saja, ingat semua formula yang diperlukan.

Kami cuba mengumpulkan di satu tempat semua formula untuk mengira luas trapezoid supaya anda boleh menggunakannya apabila anda bersedia untuk peperiksaan dan mengulangi bahan tersebut.

Pastikan anda berkongsi artikel ini dengan rakan sekelas dan rakan anda di rangkaian sosial. Semoga lebih banyak gred yang baik untuk Peperiksaan Negeri Bersepadu dan GIA!

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

Kepada soalan mudah "Bagaimana untuk mencari ketinggian trapezoid?" terdapat pelbagai jawapan, semuanya kerana input yang berbeza boleh diberikan. Oleh itu, formula akan berbeza.

Formula ini boleh dihafal, tetapi ia tidak sukar diperoleh. Ia hanya perlu menggunakan teorem yang telah dikaji sebelum ini.

Notasi yang digunakan dalam formula

Dalam semua notasi matematik di bawah, bacaan huruf ini adalah betul.

Dalam data asal: semua pihak

Untuk mencari ketinggian trapezoid dalam kes umum, anda perlu menggunakan formula berikut:

n \u003d √ (s 2 - (((a - c) 2 + c 2 - d 2) / (2 (a - c))) 2). Nombor 1.

Bukan yang terpendek, tetapi ia juga agak jarang dalam tugas. Anda biasanya boleh menggunakan data lain.

Formula yang memberitahu anda cara mencari ketinggian trapezoid sama kaki dalam situasi yang sama adalah lebih pendek:

n \u003d √ (s 2 - (a - c) 2 / 4). Nombor 2.

Masalahnya diberikan: sisi dan sudut di pangkalan bawah

Diandaikan bahawa sudut α adalah bersebelahan dengan sisi dengan sebutan "c", masing-masing, sudut β ke sisi d. Kemudian formula untuk mencari ketinggian trapezoid, secara umum, ialah:

n \u003d c * sin α \u003d d * sin β. Nombor 3.

Jika angka itu adalah sama kaki, maka anda boleh menggunakan pilihan ini:

n \u003d c * sin α \u003d ((a - c) / 2) * tg α. Nombor 4.

Terkenal kerana: pepenjuru dan sudut di antara mereka

Biasanya kuantiti yang diketahui ditambah pada data ini. Contohnya, pangkal atau garis tengah. Sekiranya alasan diberikan, maka untuk menjawab persoalan bagaimana mencari ketinggian trapezoid, formula berikut berguna:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / (a ​​​​+ c) atau n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / (a ​​​​+ c). Nombor 5.

Ini adalah untuk penampilan umum angka tersebut. Jika isosceles diberikan, maka rekod akan diubah seperti berikut:

n \u003d (d 1 2 * sin γ) / (a ​​​​+ c) atau n \u003d (d 1 2 * sin δ) / (a ​​​​+ c). Nombor 6.

Apabila tugas berkenaan dengan garis tengah trapezoid, maka formula untuk mencari ketinggiannya menjadi seperti berikut:

n \u003d (d 1 * d 2 * sin γ) / 2m atau n \u003d (d 1 * d 2 * sin δ) / 2m. Nombor 5a.

n = (d 1 2 * sin γ) / 2m atau n = (d 1 2 * sin δ) / 2m. Nombor 6a.

Antara kuantiti yang diketahui: kawasan dengan tapak atau garis tengah

Ini mungkin formula terpendek dan paling mudah untuk mencari ketinggian trapezoid. Untuk angka sewenang-wenangnya, ia akan menjadi seperti ini:

n \u003d 2S / (a ​​+ c). Nombor 7.

Ia adalah sama, tetapi dengan garis tengah yang terkenal:

n = S / m. Nombor 7a.

Cukup aneh, tetapi untuk trapezoid sama kaki, formulanya akan kelihatan sama.

Tugasan

No 1. Untuk menentukan sudut pada tapak bawah trapezoid.

keadaan. Trapezoid sama kaki diberikan, sisinya ialah 5 cm. Tapaknya ialah 6 dan 12 cm. Ia diperlukan untuk mencari sinus bagi sudut lancip.

Penyelesaian. Untuk kemudahan, notasi harus diperkenalkan. Biarkan bucu kiri bawah ialah A, semua selebihnya mengikut arah jam: B, C, D. Oleh itu, tapak bawah akan ditetapkan AD, bahagian atas BC.

Ia adalah perlu untuk melukis ketinggian dari bucu B dan C. Titik yang menunjukkan hujung ketinggian akan ditetapkan H 1 dan H 2, masing-masing. Oleh kerana dalam rajah BCH 1 H 2 semua sudut adalah betul, ia adalah segi empat tepat. Ini bermakna segmen H 1 H 2 ialah 6 cm.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan dua segi tiga. Mereka adalah sama kerana mereka adalah segi empat tepat dengan hipotenus dan kaki menegak yang sama. Ia berikutan daripada ini bahawa kaki mereka yang lebih kecil juga sama. Oleh itu, mereka boleh ditakrifkan sebagai hasil bagi perbezaan. Yang terakhir diperoleh dengan menolak bahagian atas dari pangkalan bawah. Ia akan dibahagikan dengan 2. Iaitu, 12 - 6 mesti dibahagikan dengan 2. AN 1 \u003d H 2 D \u003d 3 (cm).

Sekarang, daripada teorem Pythagoras, anda perlu mencari ketinggian trapezoid. Ia adalah perlu untuk mencari sinus sudut. VN 1 \u003d √ (5 2 - 3 2) \u003d 4 (cm).

Menggunakan pengetahuan tentang bagaimana sinus sudut akut terletak dalam segitiga dengan sudut tepat, kita boleh menulis ungkapan berikut: sin α \u003d BH 1 / AB \u003d 0.8.

Jawab. Sinus yang dikehendaki ialah 0.8.

No 2. Untuk mencari ketinggian trapezoid daripada tangen yang diketahui.

keadaan. Untuk trapezoid isosceles, anda perlu mengira ketinggian. Diketahui tapaknya ialah 15 dan 28 cm.Tangen bagi sudut akut diberi: 11/13.

Penyelesaian. Penetapan bucu adalah sama seperti dalam masalah sebelumnya. Sekali lagi, anda perlu melukis dua ketinggian dari sudut atas. Dengan analogi dengan penyelesaian masalah pertama, anda perlu mencari AH 1 = H 2 D, yang ditakrifkan sebagai perbezaan antara 28 dan 15, dibahagikan dengan dua. Selepas pengiraan, ternyata: 6.5 cm.

Oleh kerana tangen ialah nisbah dua kaki, kita boleh menulis kesamaan berikut: tg α \u003d AN 1 / VN 1. Selain itu, nisbah ini adalah sama dengan 11/13 (mengikut syarat). Oleh kerana AH 1 diketahui, ketinggian boleh dikira: HH 1 \u003d (11 * 6.5) / 13. Pengiraan mudah memberikan hasil 5.5 cm.

Jawab. Ketinggian yang dikehendaki ialah 5.5 cm.

Nombor 3. Untuk mengira ketinggian daripada pepenjuru yang diketahui.

keadaan. Telah diketahui tentang trapezium bahawa pepenjurunya ialah 13 dan 3 cm Anda perlu mengetahui ketinggiannya jika jumlah tapaknya ialah 14 cm.

Penyelesaian. Biarkan sebutan rajah itu sama seperti sebelumnya. Katakan AC ialah pepenjuru yang lebih kecil. Dari bucu C, anda perlu melukis ketinggian yang dikehendaki dan menetapkannya sebagai CH.

Sekarang kita perlu melakukan binaan tambahan. Dari sudut C, anda perlu melukis garis lurus selari dengan pepenjuru yang lebih besar dan cari titik persilangannya dengan kesinambungan sisi AD. Ia akan menjadi D 1 . Ternyata trapezoid baru, di dalamnya dilukis segitiga ASD 1. Ia adalah apa yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini.

Ketinggian yang dikehendaki juga akan sama dalam segi tiga. Oleh itu, anda boleh menggunakan formula yang dipelajari dalam topik lain. Ketinggian segitiga ditakrifkan sebagai hasil darab nombor 2 dan luas, dibahagikan dengan sisi yang dilukis. Dan sisi ternyata sama dengan jumlah tapak trapezoid asal. Ini datang daripada peraturan yang mana pembinaan tambahan dilakukan.

Dalam segi tiga yang sedang dipertimbangkan, semua sisi diketahui. Untuk kemudahan, kami memperkenalkan tatatanda x = 3 cm, y = 13 cm, z = 14 cm.

Kini anda boleh mengira luas menggunakan teorem Heron. Separa perimeter akan sama dengan p \u003d (x + y + z) / 2 \u003d (3 + 13 + 14) / 2 \u003d 15 (cm). Kemudian formula untuk kawasan selepas menggantikan nilai akan kelihatan seperti ini: S \u003d √ (15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) \u003d 6 √10 (cm 2 ).

Jawab. Ketinggian ialah 6√10 / 7 cm.

No 4. Untuk mencari ketinggian di sisi.

keadaan. Diberi trapezoid, tiga sisi daripadanya ialah 10 cm, dan yang keempat ialah 24 cm. Anda perlu mengetahui ketinggiannya.

Penyelesaian. Oleh kerana angka itu adalah sama kaki, formula nombor 2 diperlukan. Anda hanya perlu menggantikan semua nilai ke dalamnya dan mengira. Ia akan kelihatan seperti ini:

n \u003d √ (10 2 - (10 - 24) 2 / 4) \u003d √51 (cm).

Jawab. h = √51 cm.

Trapezoid bermuka banyak... Ia boleh sewenang-wenangnya, sama kaki atau segi empat tepat. Dan dalam setiap kes, anda perlu tahu cara mencari kawasan trapezoid. Sudah tentu, cara paling mudah untuk mengingati formula asas. Tetapi kadang-kadang lebih mudah untuk menggunakan yang diperoleh dengan mengambil kira semua ciri angka geometri tertentu.

Beberapa perkataan tentang trapezoid dan unsur-unsurnya

Mana-mana segiempat dengan dua sisi selari boleh dipanggil trapezoid. Secara umum, mereka tidak sama dan dipanggil asas. Yang lebih besar daripada mereka adalah lebih rendah, dan satu lagi adalah atas.

Dua sisi yang lain adalah sisi. Dalam trapezoid sewenang-wenangnya, mereka mempunyai panjang yang berbeza. Jika mereka sama, maka angka itu menjadi sama kaki.

Jika tiba-tiba sudut antara mana-mana sisi dan tapak adalah sama dengan 90 darjah, maka trapezoid adalah segi empat tepat.

Semua ciri ini boleh membantu dalam menyelesaikan masalah bagaimana mencari luas trapezoid.

Di antara unsur-unsur angka, yang mungkin sangat diperlukan dalam menyelesaikan masalah, kita dapat membezakan yang berikut:

• ketinggian, iaitu, segmen berserenjang dengan kedua-dua tapak;
• garis tengah, yang mempunyai di hujungnya bahagian tengah sisi.

Apakah formula untuk mengira luas jika tapak dan ketinggian diketahui?

Ungkapan ini diberikan sebagai yang utama kerana paling kerap mungkin untuk mengetahui kuantiti ini walaupun ia tidak diberikan secara eksplisit. Jadi, untuk memahami cara mencari luas trapezoid, anda perlu menambah kedua-dua tapak dan membahagikannya dengan dua. Nilai yang terhasil kemudiannya didarabkan lagi dengan nilai ketinggian.

Jika kita menetapkan pangkalan dengan huruf a 1 dan a 2, ketinggian - n, maka formula untuk kawasan itu akan kelihatan seperti ini:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * n.

Formula untuk mengira kawasan, memandangkan ketinggian dan garis tengahnya

Jika anda melihat dengan teliti formula sebelumnya, mudah untuk melihat bahawa ia mengandungi nilai garis tengah dengan jelas. Iaitu, jumlah asas dibahagikan dengan dua. Biarkan garis tengah dilambangkan dengan huruf l, maka formula untuk kawasan itu akan menjadi:

S \u003d l * n.

Keupayaan untuk mencari kawasan dengan pepenjuru

Kaedah ini akan membantu jika sudut yang dibentuk oleh mereka diketahui. Katakan pepenjuru ditandakan dengan huruf d 1 dan d 2, dan sudut di antaranya ialah α dan β. Kemudian formula untuk mencari luas trapezoid akan ditulis seperti berikut:

S \u003d ((d 1 * d 2) / 2) * dosa α.

Dalam ungkapan ini, seseorang boleh dengan mudah menggantikan α dengan β. Hasilnya tidak akan berubah.

Bagaimana untuk mengetahui kawasan jika semua sisi rajah itu diketahui?

Terdapat juga situasi apabila betul-betul sisi diketahui dalam angka ini. Formula ini menyusahkan dan sukar diingat. Tetapi mungkin. Biarkan sisi mempunyai sebutan: dalam 1 dan dalam 2, tapak a 1 lebih besar daripada 2. Kemudian formula kawasan mengambil bentuk berikut:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (dalam 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + dalam 1 2 - dalam 2 2) / (2 * (a 1 - a 2) ) ] 2 ).

Kaedah untuk mengira luas trapezoid isosceles

Yang pertama adalah berkaitan dengan fakta bahawa bulatan boleh ditulis di dalamnya. Dan, mengetahui jejarinya (ia dilambangkan dengan huruf r), serta sudut di pangkalan - γ, anda boleh menggunakan formula berikut:

S \u003d (4 * r 2) / dosa γ.

Formula umum terakhir, yang berdasarkan mengetahui semua sisi angka, sangat dipermudahkan kerana fakta bahawa sisi mempunyai nilai yang sama:

S \u003d ((a 1 + a 2) / 2) * √ (dalam 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Kaedah untuk mengira luas trapezoid segi empat tepat

Adalah jelas bahawa mana-mana di atas sesuai untuk angka sewenang-wenangnya. Tetapi kadangkala adalah berguna untuk mengetahui tentang satu ciri trapezoid sedemikian. Ia terletak pada hakikat bahawa perbezaan segi empat sama panjang pepenjuru adalah sama dengan perbezaan yang terdiri daripada segi empat sama tapak.

Selalunya formula untuk trapezoid dilupakan, manakala ungkapan untuk kawasan segi empat tepat dan segi tiga diingati. Kemudian anda boleh menggunakan kaedah yang mudah. Bahagikan trapezoid kepada dua angka jika ia adalah segi empat tepat, atau tiga. Satu pasti akan menjadi segi empat tepat, dan yang kedua, atau baki dua, akan menjadi segi tiga. Selepas mengira kawasan angka ini, ia kekal hanya untuk menambahnya.

Ini adalah cara yang agak mudah untuk mencari luas trapezoid segi empat tepat.

Bagaimana jika koordinat bucu trapezium itu diketahui?

Dalam kes ini, anda perlu menggunakan ungkapan yang membolehkan anda menentukan jarak antara titik. Ia boleh digunakan tiga kali: untuk mengetahui kedua-dua tapak dan satu ketinggian. Dan kemudian hanya gunakan formula pertama, yang diterangkan sedikit lebih tinggi.

Satu contoh boleh diberikan untuk menggambarkan kaedah ini. Bucu dengan koordinat A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) diberi. Kita perlu mengetahui luas angka itu.

Sebelum anda mencari luas trapezoid, anda perlu mengira panjang tapak dari koordinat. Anda memerlukan formula ini:

panjang segmen = √((perbezaan koordinat pertama titik) 2 + (perbezaan koordinat kedua titik) 2 ).

Tapak atas ditetapkan AB, yang bermaksud panjangnya akan sama dengan √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3. Yang lebih rendah ialah CD = √ ((10-1) ) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.

Sekarang anda perlu melukis ketinggian dari atas ke bawah. Biarkan permulaannya di titik A. Penghujung segmen akan berada di pangkalan bawah pada titik dengan koordinat (5; 1), biarkan ia titik H. Panjang segmen AN akan sama dengan √ ((5) -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Ia kekal hanya untuk menggantikan nilai yang terhasil dalam formula untuk kawasan trapezoid:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Masalahnya diselesaikan tanpa unit ukuran, kerana skala grid koordinat tidak ditentukan. Ia boleh sama ada milimeter atau meter.

Contoh tugas

No 1. Syarat. Sudut antara pepenjuru trapezoid sewenang-wenangnya diketahui, ia sama dengan 30 darjah. Diagonal yang lebih kecil mempunyai nilai 3 dm, dan yang kedua adalah 2 kali lebih besar daripadanya. Anda perlu mengira luas trapezoid.

Penyelesaian. Mula-mula anda perlu mengetahui panjang pepenjuru kedua, kerana tanpa ini tidak mungkin untuk mengira jawapannya. Mengiranya adalah mudah, 3 * 2 = 6 (dm).

Sekarang anda perlu menggunakan formula yang sesuai untuk kawasan tersebut:

S \u003d ((3 * 6) / 2) * dosa 30º \u003d 18/2 * ½ \u003d 4.5 (dm 2). Masalah selesai.

Jawapan: luas trapezoid ialah 4.5 dm 2 .

No 2. Syarat. Dalam trapezoid ABCD, tapaknya ialah segmen AD dan BC. Titik E ialah titik tengah SD sisi. Serenjang dengan garis lurus AB dilukis daripadanya, hujung segmen ini ditunjukkan oleh huruf H. Diketahui bahawa panjang AB dan EH masing-masing ialah 5 dan 4 cm. Perlu dikira luas trapezoid itu.

Penyelesaian. Mula-mula anda perlu membuat lukisan. Oleh kerana nilai serenjang adalah kurang daripada sisi yang dilukis, trapezoid akan dilanjutkan sedikit ke atas. Jadi EH akan berada di dalam angka itu.

Untuk melihat dengan jelas kemajuan menyelesaikan masalah, anda perlu melakukan pembinaan tambahan. Iaitu, lukis satu garisan yang akan selari dengan sisi AB. Titik persilangan garis ini dengan AD - P, dan dengan kesinambungan BC - X. Angka yang terhasil VKhRA ialah segiempat selari. Lebih-lebih lagi, kawasannya adalah sama dengan yang diperlukan. Ini disebabkan oleh fakta bahawa segi tiga yang diperoleh semasa pembinaan tambahan adalah sama. Ini berikutan dari kesamaan sisi dan dua sudut yang bersebelahan dengannya, satu menegak, satu lagi terletak bersilang.

Anda boleh mencari luas segi empat selari menggunakan formula yang mengandungi hasil darab sisi dan ketinggian diturunkan ke atasnya.

Oleh itu, luas trapezoid ialah 5 * 4 = 20 cm 2.

Jawapan: S \u003d 20 cm 2.

No 3. Syarat. Unsur-unsur trapezoid isosceles mempunyai makna berikut: tapak bawah ialah 14 cm, tapak atas ialah 4 cm, sudut akut ialah 45º. Kita perlu mengira luasnya.

Penyelesaian. Biarkan tapak yang lebih kecil dilambangkan BC. Ketinggian yang dilukis dari titik B akan dipanggil BH. Oleh kerana sudutnya ialah 45º, maka segitiga ABH akan bertukar menjadi bersudut tegak dan sama kaki. Jadi AH=BH. Dan AN sangat mudah dicari. Ia sama dengan separuh perbezaan asas. Iaitu, (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Pangkalan diketahui, ketinggian dikira. Anda boleh menggunakan formula pertama, yang telah dipertimbangkan di sini untuk trapezoid sewenang-wenangnya.

S \u003d ((14 + 4) / 2) * 5 \u003d 18/2 * 5 \u003d 9 * 5 \u003d 45 (cm 2).

Jawapan: Luas yang dikehendaki ialah 45 cm 2.

No 4. Syarat. Terdapat trapezoid ABCD yang sewenang-wenangnya. Titik O dan E diambil pada sisinya, supaya OE selari dengan tapak AD. Kawasan trapezoid AOED adalah lima kali lebih besar daripada CFE. Kira nilai OE jika panjang tapak diketahui.

Penyelesaian. Ia perlu untuk melukis dua garis lurus selari dengan AB: yang pertama melalui titik C, persilangannya dengan OE - titik T; yang kedua melalui E dan titik persilangan dengan AD ialah M.

Biarkan OE=x yang tidak diketahui. Ketinggian trapezoid OVSE yang lebih kecil ialah n 1, AOED yang lebih besar ialah n 2.

Oleh kerana luas kedua-dua trapezoid ini berkaitan sebagai 1 hingga 5, kita boleh menulis kesamaan berikut:

(x + a 2) * n 1 \u003d 1/5 (x + a 1) * n 2

n 1 / n 2 \u003d (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Ketinggian dan sisi segi tiga adalah berkadar dalam pembinaan. Oleh itu, kita boleh menulis satu lagi persamaan:

n 1 / n 2 \u003d (x - a 2) / (a ​​1 - x).

Dalam dua entri terakhir di sebelah kiri terdapat nilai yang sama, yang bermaksud bahawa kita boleh menulis bahawa (x + a 1) / (5 (x + a 2)) adalah sama dengan (x - a 2) / (a ​​​1 - x).

Di sini beberapa transformasi diperlukan. Darab silang dahulu. Tanda kurung akan muncul yang menunjukkan perbezaan petak, selepas menggunakan formula ini anda mendapat persamaan pendek.

Di dalamnya, anda perlu membuka kurungan dan memindahkan semua istilah dengan "x" yang tidak diketahui ke kiri, dan kemudian ekstrak punca kuasa dua.

Jawab: x \u003d √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

(S) sebuah trapezoid, mula mengira ketinggian (h) dengan mencari separuh hasil tambah panjang sisi selari: (a+b)/2. Kemudian bahagikan kawasan dengan nilai yang diperoleh - hasilnya akan menjadi nilai yang dikehendaki: h = S / ((a + b) / 2) = 2 * S / (a ​​​​+ b).

Mengetahui panjang garis tengah (m) dan luas (S) kita boleh memudahkan formula dari langkah sebelumnya. Mengikut takrifan, garis tengah trapezium ialah separuh daripada jumlah tapaknya, jadi untuk mengira ketinggian (h) sesuatu bentuk, cukup bahagikan luas dengan panjang garis tengah: h = S/m.

Anda boleh menentukan ketinggian (h) ini walaupun hanya panjang salah satu sisi (c) dan sudut (α) yang dibentuk olehnya dan tapak panjang diberikan. Dalam kes ini, seseorang harus mempertimbangkan, dibentuk oleh sisi ini, ketinggian dan segmen pendek pangkalan, yang memotong ketinggian yang diturunkan di atasnya. Segitiga ini akan bersudut tegak, sisi yang diketahui akan menjadi hipotenus di dalamnya, dan ketinggian akan menjadi kaki. Nisbah panjang dan hipotenus adalah sama dengan sudut yang bertentangan dengan kaki, oleh itu, untuk mengira ketinggian trapezoid, darabkan panjang sisi yang diketahui dengan sinus sudut yang diketahui: h \u003d c * sin (α ).

Segitiga yang sama perlu dipertimbangkan jika panjang sisi sisi (c) dan sudut (β) di antaranya dan tapak (pendek) yang lain diberi. Dalam kes ini, sudut antara sisi (hipotenus) dan ketinggian (kaki) akan 90° kurang daripada sudut yang diketahui daripada keadaan: β-90°. Oleh kerana nisbah panjang kaki dan hipotenus adalah sama dengan kosinus sudut di antara mereka, maka hitung ketinggian trapezoid dengan mendarab kosinus sudut yang dikurangkan sebanyak 90 ° dengan panjang sisi: h \ u003d c * cos (β-90 °).

Jika bulatan berjejari (r) yang diketahui ditulis, pengiraan ketinggian (h) akan menjadi sangat mudah dan tidak memerlukan sebarang parameter lain. Bulatan sedemikian, mengikut definisi, mesti setiap tapak mempunyai satu titik sahaja, dan titik ini akan terletak pada garis yang sama dengan pusat. Ini bermakna jarak di antara mereka akan sama dengan diameter (dua kali jejari) yang dilukis berserenjang dengan tapak, iaitu, bertepatan dengan ketinggian trapezoid: h=2*r.

Trapezoid ialah segiempat di mana dua sisi adalah selari dan dua sisi yang lain tidak. Ketinggian trapezoid ialah segmen yang dilukis secara berserenjang antara dua garis selari. Bergantung pada data sumber, ia boleh dikira dengan cara yang berbeza.

Anda perlu

• Pengetahuan tentang sisi, tapak, garis tengah trapezoid, dan secara pilihan luas dan/atau perimeternya.

Arahan

Katakan terdapat trapezoid dengan data yang sama seperti dalam Rajah 1. Mari kita lukis 2 ketinggian, kita dapat, yang mempunyai 2 sisi yang lebih kecil dengan kaki segi tiga tepat. Mari kita nyatakan gulungan yang lebih kecil sebagai x. Dia di dalam

Trapeze dipanggil segi empat hanya dua sisi adalah selari antara satu sama lain.

Mereka dipanggil asas angka, selebihnya - sisi. Jajaran selari dianggap sebagai kes khas bagi rajah. Terdapat juga trapezoid melengkung, yang termasuk graf fungsi. Formula untuk kawasan trapezoid merangkumi hampir semua elemennya, dan penyelesaian terbaik dipilih bergantung pada nilai yang diberikan.
Peranan utama dalam trapezoid diberikan kepada ketinggian dan garis tengah. garisan tengah- ini ialah garis yang menghubungkan titik tengah sisi. Ketinggian trapezoid dilukis pada sudut tepat dari sudut atas ke tapak.
Luas trapezoid melalui ketinggian adalah sama dengan hasil daripada separuh jumlah panjang tapak, didarab dengan ketinggian:

Jika garis median diketahui mengikut syarat, maka formula ini sangat dipermudahkan, kerana ia sama dengan separuh jumlah panjang tapak:

Jika, mengikut syarat, panjang semua sisi diberikan, maka kita boleh mempertimbangkan contoh pengiraan luas trapezoid melalui data ini:

Katakan sebuah trapezoid diberikan dengan tapak a = 3 cm, b = 7 cm dan sisi c = 5 cm, d = 4 cm. Cari luas rajah itu:

Luas trapezoid sama kaki

Kes berasingan ialah isosceles atau, seperti yang dipanggil, isosceles trapezoid.
Kes khas juga mencari luas trapezium isosceles (isosceles). Formula diperolehi dalam pelbagai cara - melalui pepenjuru, melalui sudut bersebelahan dengan tapak dan jejari bulatan bertulis.
Jika panjang pepenjuru ditentukan oleh syarat dan sudut di antaranya diketahui, anda boleh menggunakan formula berikut:

Ingat bahawa pepenjuru bagi trapezoid sama kaki adalah sama antara satu sama lain!

Iaitu, mengetahui salah satu tapak, sisi dan sudutnya, anda boleh mengira kawasan dengan mudah.

Luas trapezium melengkung

Kes berasingan ialah trapezoid melengkung. Ia terletak pada paksi koordinat dan terhad kepada graf fungsi positif berterusan.

Pangkalannya terletak pada paksi X dan terhad kepada dua titik:
Kamiran membantu mengira luas trapezoid melengkung.
Formula ditulis seperti ini:

Pertimbangkan contoh pengiraan luas trapezium melengkung. Formula memerlukan pengetahuan tertentu untuk berfungsi dengan kamiran tertentu. Pertama, mari kita analisa nilai kamiran pasti:

Di sini F(a) ialah nilai fungsi antiterbitan f(x) pada titik a , F(b) ialah nilai fungsi yang sama f(x) pada titik b .

Sekarang mari kita selesaikan masalah. Rajah menunjukkan sebuah trapezium melengkung yang dibatasi oleh suatu fungsi. Fungsi
Kita perlu mencari luas rajah yang dipilih, iaitu trapezoid melengkung yang dibatasi di atas oleh graf, di sebelah kanan ialah garis lurus x = (-8), di sebelah kiri ialah garis lurus x = (- 10) dan paksi OX berada di bawah.
Kami akan mengira kawasan angka ini menggunakan formula:

Kami diberi fungsi oleh keadaan masalah. Menggunakannya, kami akan mencari nilai antiderivatif pada setiap titik kami:


Sekarang
Jawapan: luas trapezium melengkung tertentu ialah 4.

Tidak ada yang sukar untuk mengira nilai ini. Hanya berhati-hati dalam pengiraan yang penting.