Bagaimana untuk menentukan d daripada f. Fungsi trigonometri songsang

Banyak masalah membawa kita untuk mencari satu set nilai fungsi pada segmen tertentu atau di seluruh domain definisi. Tugas sedemikian termasuk pelbagai penilaian ekspresi dan menyelesaikan ketaksamaan.

Dalam artikel ini, kami akan mentakrifkan julat nilai sesuatu fungsi, mempertimbangkan kaedah untuk mencarinya, dan menganalisis secara terperinci penyelesaian contoh daripada mudah kepada lebih kompleks. Semua bahan akan disediakan dengan ilustrasi grafik untuk kejelasan. Jadi artikel ini adalah jawapan terperinci kepada persoalan bagaimana untuk mencari julat fungsi.

Definisi.

Set nilai fungsi y = f(x) pada selang X ialah set semua nilai fungsi yang diperlukan apabila melelaran ke atas semua .

Definisi.

Julat fungsi y = f(x) ialah set semua nilai fungsi yang diperlukan apabila melelaran ke atas semua x daripada domain definisi.

Julat fungsi dilambangkan sebagai E(f) .

Julat fungsi dan set nilai fungsi bukanlah perkara yang sama. Kami akan menganggap konsep ini setara jika selang X apabila mencari set nilai fungsi y = f(x) bertepatan dengan domain definisi fungsi.

Juga, jangan mengelirukan julat fungsi dengan pembolehubah x untuk ungkapan di sebelah kanan kesamaan y=f(x) . Julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x untuk ungkapan f(x) ialah domain takrifan fungsi y=f(x) .

Rajah menunjukkan beberapa contoh.

Graf fungsi ditunjukkan dengan garis biru tebal, garis merah nipis adalah asimtot, titik merah dan garis pada paksi Oy menunjukkan julat nilai fungsi yang sepadan.

Seperti yang anda boleh lihat, julat nilai fungsi diperoleh dengan menayangkan graf fungsi ke paksi-y. Dia boleh jadi orangnya tunggal(huruf pertama), satu set nombor (huruf kedua), segmen (huruf ketiga), selang (huruf keempat), sinar terbuka (huruf kelima), kesatuan (huruf keenam), dsb.

Jadi apa yang perlu anda lakukan untuk mencari julat nilai sesuatu fungsi?

Mari kita mulakan dari awal lagi kes mudah: kami akan menunjukkan kepada anda cara untuk menentukan set nilai fungsi berterusan y = f(x) pada ruas .

Adalah diketahui bahawa fungsi berterusan pada selang mencapai nilai maksimum dan minimum padanya. Oleh itu, set nilai fungsi asal pada segmen akan menjadi segmen . Oleh itu, tugas kami adalah untuk mencari nilai terbesar dan terkecil fungsi pada segmen.

Sebagai contoh, mari cari julat nilai fungsi arcsine.

Contoh.

Nyatakan julat bagi fungsi y = arcsinx .

Penyelesaian.

Kawasan definisi arcsine ialah segmen [-1; 1]. Mari cari yang terhebat dan nilai terkecil fungsi pada segmen ini.

Derivatif adalah positif untuk semua x dari selang (-1; 1), iaitu, fungsi arcsine meningkat ke atas keseluruhan domain definisi. Akibatnya, ia mengambil nilai terkecil pada x = -1, dan yang terbesar pada x = 1.

Kami telah memperoleh julat fungsi arcsine .

Contoh.

Cari set nilai fungsi pada segmen.

Penyelesaian.

Mari cari nilai terbesar dan terkecil bagi fungsi pada segmen tertentu.

Mari kita tentukan titik ekstrem kepunyaan segmen:

Kami mengira nilai fungsi asal di hujung segmen dan pada titik :

Oleh itu, set nilai fungsi pada selang ialah selang .

Sekarang kita akan menunjukkan bagaimana untuk mencari set nilai fungsi berterusan y = f(x) dalam selang (a; b), .

Pertama, kita menentukan titik ekstrem, ekstrem fungsi, selang peningkatan dan penurunan fungsi pada selang tertentu. Seterusnya, kita mengira pada hujung selang dan (atau) had pada infiniti (iaitu, kita mengkaji kelakuan fungsi pada sempadan selang atau pada infiniti). Maklumat ini cukup untuk mencari set nilai fungsi pada selang tersebut.

Contoh.

Tentukan set nilai fungsi pada selang (-2; 2) .

Penyelesaian.

Mari cari titik ekstrem bagi fungsi yang jatuh pada selang (-2; 2):

titik x = 0 ialah titik maksimum, kerana derivatif bertukar tanda daripada tambah kepada tolak apabila melaluinya, dan graf fungsi berubah daripada meningkat kepada menurun.

terdapat maksimum yang sepadan bagi fungsi tersebut.

Mari kita ketahui kelakuan fungsi kerana x cenderung kepada -2 di sebelah kanan dan kerana x cenderung kepada 2 di sebelah kiri, iaitu, kita dapati had sebelah:

Apa yang kami dapat: apabila argumen berubah dari -2 kepada sifar, nilai fungsi meningkat daripada tolak infiniti kepada tolak satu perempat (maksimum fungsi pada x = 0), apabila argumen berubah dari sifar kepada 2, nilai fungsi menurun kepada tolak infiniti. Oleh itu, set nilai fungsi pada selang (-2; 2) ialah .

Contoh.

Nyatakan set nilai fungsi tangen y = tgx pada selang.

Penyelesaian.

Terbitan bagi fungsi tangen pada selang adalah positif , yang menunjukkan peningkatan dalam fungsi. Mari kita kaji kelakuan fungsi pada sempadan selang:

Oleh itu, apabila hujah berubah daripada kepada, nilai fungsi meningkat daripada tolak infiniti kepada tambah infiniti, iaitu set nilai tangen pada selang ini ialah set semua nombor nyata.

Contoh.

Cari julat bagi suatu fungsi logaritma semula jadi y = lnx.

Penyelesaian.

Fungsi logaritma semula jadi ditakrifkan untuk nilai-nilai positif hujah . Pada selang ini derivatif adalah positif , ini menunjukkan peningkatan dalam fungsi padanya. Mari cari had satu sisi bagi fungsi kerana hujah cenderung kepada sifar di sebelah kanan, dan had kerana x cenderung kepada tambah infiniti:

Kami melihat bahawa apabila x berubah daripada sifar kepada tambah infiniti, nilai-nilai fungsi meningkat daripada tolak infiniti kepada tambah infiniti. Oleh itu, julat fungsi logaritma asli ialah keseluruhan set nombor nyata.

Contoh.

Penyelesaian.

Fungsi ini ditakrifkan untuk semua nilai sebenar x. Mari kita tentukan titik ekstrem, serta selang peningkatan dan penurunan fungsi.

Akibatnya, fungsi berkurangan pada , meningkat pada , x = 0 ialah titik maksimum, maksimum yang sepadan bagi fungsi tersebut.

Mari kita lihat kelakuan fungsi pada infiniti:

Oleh itu, pada infiniti nilai fungsi secara asimptotik menghampiri sifar.

Kami mendapati bahawa apabila argumen berubah daripada tolak infiniti kepada sifar (titik maksimum), nilai fungsi meningkat daripada sifar kepada sembilan (kepada maksimum fungsi), dan apabila x berubah daripada sifar kepada tambah infiniti, nilai fungsi menurun daripada sembilan kepada sifar.

Lihat lukisan skematik.

Kini jelas kelihatan bahawa julat nilai fungsi adalah .

Mencari set nilai fungsi y = f(x) pada selang memerlukan penyelidikan yang serupa. Kami tidak akan membincangkan kes-kes ini secara terperinci sekarang. Kami akan bertemu mereka sekali lagi dalam contoh di bawah.

Biarkan domain takrifan fungsi y = f(x) ialah gabungan beberapa selang. Apabila mencari julat nilai fungsi sedemikian, set nilai pada setiap selang ditentukan dan gabungannya diambil.

Contoh.

Cari julat fungsi.

Penyelesaian.

Penyebut fungsi kita tidak boleh pergi ke sifar, iaitu, .

Mula-mula, mari cari set nilai fungsi pada sinar terbuka.

Terbitan fungsi adalah negatif pada selang ini, iaitu, fungsi berkurangan padanya.

Kami mendapati bahawa sebagai hujah cenderung kepada tolak infiniti, nilai fungsi secara asymptotically mendekati perpaduan. Apabila x berubah daripada tolak infiniti kepada dua, nilai fungsi berkurangan daripada satu kepada tolak infiniti, iaitu, pada selang yang sedang dipertimbangkan, fungsi mengambil satu set nilai. Kami tidak memasukkan perpaduan, kerana nilai fungsi tidak mencapainya, tetapi hanya secara asimtotik cenderung kepadanya pada infiniti tolak.

Kami meneruskan yang sama untuk rasuk terbuka.

Pada selang ini fungsi juga berkurangan.

Set nilai fungsi pada selang ini ialah set .

Oleh itu, julat nilai fungsi yang dikehendaki ialah gabungan set dan .

Ilustrasi grafik.

Perhatian khusus harus diberikan kepada fungsi berkala. Julat nilai fungsi berkala bertepatan dengan set nilai pada selang yang sepadan dengan tempoh fungsi ini.

Contoh.

Cari julat bagi fungsi sinus y = sinx.

Penyelesaian.

Fungsi ini adalah berkala dengan tempoh dua pi. Mari kita ambil segmen dan tentukan set nilai padanya.

Segmen mengandungi dua titik ekstrem dan .

Kami mengira nilai fungsi pada titik ini dan pada sempadan segmen, pilih yang terkecil dan nilai tertinggi:

Oleh itu, .

Contoh.

Cari julat bagi suatu fungsi .

Penyelesaian.

Kita tahu bahawa julat arka kosinus ialah segmen dari sifar hingga pi, iaitu, atau dalam jawatan lain. Fungsi boleh diperolehi daripada arccosx dengan menganjak dan meregangkan sepanjang paksi absis. Transformasi sedemikian tidak menjejaskan julat nilai, oleh itu, . Fungsi diperoleh daripada meregang tiga kali sepanjang paksi Oy, iaitu, . Dan peringkat terakhir transformasi ialah anjakan empat unit ke bawah sepanjang ordinat. Ini membawa kita kepada ketaksamaan berganda

Oleh itu, julat nilai yang diperlukan ialah .

Mari kita berikan penyelesaian kepada contoh lain, tetapi tanpa penjelasan (ia tidak diperlukan, kerana ia sama sekali).

Contoh.

Tentukan Julat Fungsi .

Penyelesaian.

Mari kita tulis fungsi asal dalam borang . Julat nilai fungsi kuasa ialah selang. Iaitu, . Kemudian

Oleh itu, .

Untuk melengkapkan gambar, kita harus bercakap tentang mencari julat nilai fungsi yang tidak berterusan pada domain definisi. Dalam kes ini, kami membahagikan domain definisi kepada selang dengan titik putus, dan mencari set nilai pada setiap satu daripadanya. Dengan menggabungkan set nilai yang terhasil, kami memperoleh julat nilai fungsi asal. Kami mengesyorkan anda ingat

Kami mendapati bahawa ada X- satu set di mana formula yang mentakrifkan fungsi itu masuk akal. DALAM analisis matematik set ini selalunya dilambangkan sebagai D (domain sesuatu fungsi ). Sebaliknya, ramai Y dilambangkan sebagai E (julat fungsi ) dan pada masa yang sama D Dan E dipanggil subset R(set nombor nyata).

Jika fungsi ditakrifkan oleh formula, maka, jika tiada tempahan khas, domain definisinya dianggap sebagai set terbesar di mana formula ini masuk akal, iaitu, set nilai argumen terbesar yang membawa kepada nilai sebenar fungsi . Dengan kata lain, set nilai hujah di mana "fungsi berfungsi".

Untuk persefahaman bersama Contoh belum ada formula. Fungsi ditentukan sebagai pasangan hubungan:

{(2, 1), (4, 2), (6, -6), (5, -1), (7, 10)} .

Cari domain takrifan fungsi ini.

Jawab. Elemen pertama pasangan ialah pembolehubah x. Oleh kerana spesifikasi fungsi juga mengandungi elemen kedua pasangan - nilai pembolehubah y, maka fungsi itu masuk akal hanya untuk nilai x yang sepadan dengannya nilai tertentu permainan. Iaitu, kita mengambil semua X pasangan ini dalam tertib menaik dan mendapatkan daripada mereka domain takrifan fungsi:

{2, 4, 5, 6, 7} .

Logik yang sama berfungsi jika fungsi diberikan oleh formula. Hanya elemen kedua secara berpasangan (iaitu, nilai i) diperoleh dengan menggantikan nilai x tertentu ke dalam formula. Walau bagaimanapun, untuk mencari domain fungsi, kita tidak perlu melalui semua pasangan X dan Y.

Contoh 0. Bagaimana untuk mencari domain takrifan fungsi i adalah sama dengan punca kuasa dua x tolak lima (ungkapan radikal x tolak lima) ()? Anda hanya perlu menyelesaikan ketidaksamaan

x - 5 ≥ 0 ,

kerana untuk kita mendapatkan nilai sebenar permainan, ungkapan radikal mestilah lebih besar daripada atau sama dengan sifar. Kami mendapat penyelesaian: domain takrifan fungsi ialah semua nilai x lebih besar daripada atau sama dengan lima (atau x tergolong dalam selang dari lima inklusif hingga tambah infiniti).

Pada lukisan di atas adalah serpihan paksi nombor. Di atasnya, kawasan definisi fungsi yang dipertimbangkan dilorekkan, manakala dalam arah "tambah" penetasan berterusan selama-lamanya bersama dengan paksi itu sendiri.

Jika anda menggunakan program komputer, yang menghasilkan beberapa jenis jawapan berdasarkan data yang dimasukkan, anda mungkin dapati bahawa untuk beberapa nilai data yang dimasukkan program memaparkan mesej ralat, iaitu, dengan data sedemikian jawapannya tidak dapat dikira. Mesej ini disediakan oleh pengarang program jika ungkapan untuk mengira jawapan agak rumit atau melibatkan beberapa perkara sempit bidang subjek, atau disediakan oleh pengarang bahasa pengaturcaraan, jika ia melibatkan norma yang diterima umum, sebagai contoh, yang tidak boleh dibahagi dengan sifar.

Tetapi dalam kedua-dua kes, jawapan (nilai beberapa ungkapan) tidak boleh dikira atas sebab ungkapan itu tidak masuk akal untuk beberapa nilai data.

Contoh (belum lagi matematik): jika program memaparkan nama bulan berdasarkan nombor bulan dalam tahun tersebut, maka dengan memasukkan "15" anda akan menerima mesej ralat.

Selalunya, ungkapan yang dikira hanyalah fungsi. Oleh itu mereka tidak nilai yang sah data tidak disertakan domain sesuatu fungsi . Dan dalam pengiraan tangan, adalah sama pentingnya untuk mewakili domain sesuatu fungsi. Sebagai contoh, anda mengira parameter tertentu produk tertentu menggunakan formula yang merupakan fungsi. Untuk beberapa nilai hujah input, anda tidak akan mendapat apa-apa pada output.

Domain definisi pemalar

Malar (malar) ditakrifkan untuk sebarang nilai sebenar x R nombor nyata. Ini juga boleh ditulis seperti ini: domain definisi fungsi ini ialah keseluruhan garis nombor ]- ∞; + ∞[ .

Contoh 1. Cari domain fungsi y = 2 .

Penyelesaian. Domain takrifan fungsi tidak ditunjukkan, yang bermaksud bahawa berdasarkan takrifan di atas, domain semula jadi takrifan dimaksudkan. Ungkapan f(x) = 2 ditakrifkan untuk sebarang nilai sebenar x, oleh itu, fungsi ini ditakrifkan pada keseluruhan set R nombor nyata.

Oleh itu, dalam lukisan di atas, garis nombor dilorekkan sepanjang jalan dari tolak infiniti kepada tambah infiniti.

Kawasan definisi akar n ijazah ke

Dalam kes apabila fungsi diberikan oleh formula dan n- nombor asli:

Contoh 2. Cari domain bagi suatu fungsi .

Penyelesaian. Seperti berikut daripada takrifan, punca darjah genap masuk akal jika ungkapan radikal bukan negatif, iaitu, jika - 1 ≤ x≤ 1. Oleh itu, domain takrifan fungsi ini ialah [- 1; 1].

Kawasan berlorek garis nombor dalam lukisan di atas ialah domain takrifan fungsi ini.

Domain fungsi kuasa

Domain fungsi kuasa dengan eksponen integer

Jika a- positif, maka domain takrifan fungsi ialah set semua nombor nyata, iaitu ]- ∞; + ∞[ ;

Jika a- negatif, maka domain takrifan fungsi ialah set ]- ∞; 0[ ∪ ]0 ;+ ∞[ , iaitu keseluruhan garis nombor kecuali sifar.

Dalam lukisan yang sepadan di atas, keseluruhan garis nombor dilorekkan, dan titik yang sepadan dengan sifar ditebuk keluar (ia tidak termasuk dalam domain definisi fungsi).

Contoh 3. Cari domain bagi suatu fungsi .

Penyelesaian. Penggal pertama keseluruhan ijazah x sama dengan 3, dan darjah x dalam sebutan kedua boleh diwakili sebagai satu - juga integer. Akibatnya, domain takrifan fungsi ini ialah keseluruhan garis nombor, iaitu ]- ∞; + ∞[ .

Domain fungsi kuasa dengan eksponen pecahan

Dalam kes apabila fungsi diberikan oleh formula:

jika positif, maka domain takrifan fungsi ialah set 0; + ∞[ .

Contoh 4. Cari domain bagi suatu fungsi .

Penyelesaian. Kedua-dua istilah dalam ungkapan fungsi ialah fungsi kuasa dengan eksponen pecahan positif. Akibatnya, domain takrifan fungsi ini ialah set - ∞; + ∞[ .

Domain fungsi eksponen dan logaritma

Domain fungsi eksponen

Dalam kes apabila fungsi diberikan oleh formula, domain takrifan fungsi ialah keseluruhan garis nombor, iaitu ] - ∞; + ∞[ .

Domain bagi fungsi logaritma

Fungsi logaritma ditakrifkan dengan syarat hujahnya adalah positif, iaitu domain takrifannya ialah set ]0; + ∞[ .

Cari domain fungsi itu sendiri dan kemudian lihat penyelesaiannya

Domain fungsi trigonometri

Domain Fungsi y= cos( x) - juga banyak R nombor nyata.

Domain Fungsi y= tg( x) - ditetapkan R nombor nyata selain daripada nombor .

Domain Fungsi y= ctg( x) - ditetapkan R nombor nyata, kecuali nombor.

Contoh 8. Cari domain bagi suatu fungsi .

Penyelesaian. Fungsi luaran - logaritma perpuluhan dan domain takrifannya tertakluk kepada syarat domain takrifan fungsi logaritma sama sekali. Maksudnya, hujahnya mesti positif. Hujah di sini ialah sinus "x". Memusingkan kompas khayalan di sekeliling bulatan, kita melihat bahawa syarat itu berdosa x> 0 dilanggar apabila "x" sama dengan sifar, "pi", dua, didarab dengan "pi" dan secara umum sama dengan produk pi dan sebarang integer genap atau ganjil.

Oleh itu, domain definisi fungsi ini diberikan oleh ungkapan

,

di mana k- integer.

Domain takrifan fungsi trigonometri songsang

Domain Fungsi y= arcsin( x) - set [-1; 1].

Domain Fungsi y= arccos( x) - juga set [-1; 1].

Domain Fungsi y= arctan( x) - ditetapkan R nombor nyata.

Domain Fungsi y= arcctg( x) - juga banyak R nombor nyata.

Contoh 9. Cari domain bagi suatu fungsi .

Penyelesaian. Mari kita selesaikan ketidaksamaan:

Oleh itu, kami memperoleh domain takrifan fungsi ini - segmen [- 4; 4].

Contoh 10. Cari domain bagi suatu fungsi .

Penyelesaian. Mari kita selesaikan dua ketaksamaan:

Penyelesaian kepada ketidaksamaan pertama:

Penyelesaian kepada ketidaksamaan kedua:

Oleh itu, kami memperoleh domain takrifan fungsi ini - segmen.

Skop pecahan

Jika fungsi diberikan ungkapan pecahan, di mana pembolehubah berada dalam penyebut pecahan, maka domain definisi fungsi ialah set R nombor nyata, kecuali ini x, di mana penyebut pecahan menjadi sifar.

Contoh 11. Cari domain bagi suatu fungsi .

Penyelesaian. Dengan menyelesaikan kesamaan penyebut pecahan kepada sifar, kita dapati domain takrifan fungsi ini - set ]- ∞; - 2[ ∪ ]- 2 ;+ ∞[ .

Fungsi y=f(x) ialah kebergantungan pembolehubah y pada pembolehubah x, apabila setiap nilai sah pembolehubah x sepadan dengan nilai tunggal pembolehubah y.

Domain definisi fungsi D(f) ialah set semua nilai yang mungkin bagi pembolehubah x.

Julat Fungsi E(f) ialah set semua nilai yang boleh diterima bagi pembolehubah y.

Graf fungsi y=f(x) ialah set titik pada satah yang koordinatnya memenuhi pergantungan fungsi yang diberikan, iaitu titik dalam bentuk M (x; f(x)). Graf fungsi ialah garis pada satah.

Jika b=0 , maka fungsi akan mengambil bentuk y=kx dan akan dipanggil perkadaran langsung.

D(f) : x \dalam R;\ruang E(f) : y \dalam R

Graf fungsi linear ialah garis lurus.

Kecerunan k garis lurus y=kx+b dikira menggunakan formula berikut:

k= tan \alpha, dengan \alpha ialah sudut kecondongan garis lurus ke arah positif paksi Lembu.

1) Fungsi meningkat secara monotonik untuk k > 0.

Contohnya: y=x+1

2) Fungsi menurun secara monotoni sebagai k< 0 .

Contohnya: y=-x+1

3) Jika k=0, kemudian memberikan b nilai arbitrari, kita memperoleh keluarga garis lurus selari dengan paksi Lembu.

Contohnya: y=-1

Perkadaran songsang

Perkadaran songsang dipanggil fungsi bentuk y=\frac (k)(x), dengan k ialah nombor nyata bukan sifar

D(f): x \dalam \kiri \( R/x \neq 0 \kanan \); \: E(f) : y \dalam \kiri \(R/y \neq 0 \kanan \).

Graf fungsi y=\frac (k)(x) adalah hiperbola.

1) Jika k > 0, maka graf fungsi akan terletak pada suku pertama dan ketiga satah koordinat.

Contohnya: y=\frac(1)(x)

2) Jika k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Contohnya: y=-\frac(1)(x)

Fungsi kuasa

Fungsi kuasa ialah fungsi dalam bentuk y=x^n, dengan n ialah nombor nyata bukan sifar

1) Jika n=2, maka y=x^2. D(f): x \dalam R; \: E(f) : y \in; tempoh utama fungsi T=2 \pi

Setiap fungsi mempunyai dua pembolehubah - pembolehubah bebas dan pembolehubah bersandar, yang nilainya bergantung pada nilai pembolehubah bebas. Sebagai contoh, dalam fungsi y = f(x) = 2x + y Pembolehubah bebas ialah "x" dan pembolehubah bersandar ialah "y" (dengan kata lain, "y" ialah fungsi "x"). Nilai sah pembolehubah bebas "x" dipanggil domain fungsi, dan nilai sah pembolehubah bersandar "y" dipanggil domain fungsi.

Langkah

Bahagian 1

Mencari Domain Fungsi

Tentukan jenis fungsi yang diberikan kepada anda. Julat nilai fungsi adalah semua nilai "x" yang sah (diletakkan pada paksi mendatar), yang sepadan dengan nilai "y" yang sah. Fungsi boleh kuadratik atau mengandungi pecahan atau punca. Untuk mencari domain fungsi, anda perlu menentukan jenis fungsi tersebut terlebih dahulu.

1. Pilih entri yang sesuai untuk skop fungsi. Skop definisi ditulis dalam segi empat sama dan/atau kurungan. kurungan segi empat sama terpakai apabila nilai berada dalam skop fungsi; jika nilai tidak berada dalam skop definisi, kurungan digunakan. Jika fungsi mempunyai beberapa domain bukan bersebelahan, simbol "U" diletakkan di antaranya.

   • Sebagai contoh, skop [-2,10)U(10,2] termasuk nilai -2 dan 2, tetapi tidak termasuk nilai 10.

2. Plot graf fungsi kuadratik. Graf bagi fungsi sedemikian ialah parabola, cabang-cabangnya diarahkan sama ada ke atas atau ke bawah. Oleh kerana parabola bertambah atau berkurang di sepanjang keseluruhan paksi X, domain takrifan fungsi kuadratik ialah semua nombor nyata. Dalam erti kata lain, domain bagi fungsi sedemikian ialah set R (R bermaksud semua nombor nyata).

   • Untuk lebih memahami konsep fungsi, pilih mana-mana nilai "x", gantikannya ke dalam fungsi dan cari nilai "y". Pasangan nilai "x" dan "y" mewakili titik dengan koordinat (x,y) yang terletak pada graf fungsi.
   • Plot titik ini pada satah koordinat dan lakukan proses yang sama dengan nilai x yang berbeza.
   • Dengan memplot beberapa titik pada satah koordinat, anda mendapat idea umum tentang bentuk graf fungsi.

3. Jika fungsi mengandungi pecahan, tetapkan penyebutnya kepada sifar. Ingat bahawa anda tidak boleh membahagi dengan sifar. Oleh itu, dengan menetapkan penyebut kepada sifar, anda akan menemui nilai "x" yang tidak berada dalam domain fungsi tersebut.

   • Sebagai contoh, cari domain bagi fungsi f(x) = (x + 1) / (x - 1) .
   • Di sini penyebutnya ialah: (x - 1).
   • Samakan penyebut dengan sifar dan cari “x”: x - 1 = 0; x = 1.
   • Tuliskan domain takrifan fungsi tersebut. Domain definisi tidak termasuk 1, iaitu, ia merangkumi semua nombor nyata kecuali 1. Oleh itu, domain definisi fungsi ialah: (-∞,1) U (1,∞).
   • Notasi (-∞,1) U (1,∞) berbunyi seperti ini: set semua nombor nyata kecuali 1. Simbol infiniti ∞ bermaksud semua nombor nyata. Dalam contoh kami, semua nombor nyata yang lebih besar daripada 1 dan kurang daripada 1 disertakan dalam domain.

4. Jika fungsi mengandungi punca kuasa dua, maka ungkapan radikal mestilah lebih besar daripada atau sama dengan sifar. Ingat bahawa punca kuasa dua nombor negatif tidak boleh diambil. Oleh itu, sebarang nilai "x" di mana ungkapan radikal menjadi negatif mesti dikecualikan daripada domain definisi fungsi.

   • Sebagai contoh, cari domain bagi fungsi f(x) = √(x + 3).
   • Ungkapan radikal: (x + 3).
   • Ungkapan radikal mestilah lebih besar daripada atau sama dengan sifar: (x + 3) ≥ 0.
   • Cari "x": x ≥ -3.
   • Domain fungsi ini termasuk set semua nombor nyata yang lebih besar daripada atau sama dengan -3. Oleh itu, domain takrifan ialah [-3,∞).

   Bahagian 2

   Mencari julat bagi fungsi kuadratik

   1. Pastikan anda diberi fungsi kuadratik. Fungsi kuadratik mempunyai bentuk: ax 2 + bx + c: f(x) = 2x 2 + 3x + 4. Graf bagi fungsi tersebut ialah parabola, cabang-cabangnya diarahkan sama ada ke atas atau ke bawah. ada pelbagai kaedah mencari julat nilai fungsi kuadratik.

      • Cara paling mudah untuk mencari julat fungsi yang mengandungi punca atau pecahan ialah dengan membuat graf fungsi menggunakan kalkulator grafik.

   2. Cari koordinat x bagi bucu graf fungsi. Untuk fungsi kuadratik, cari koordinat x bagi bucu parabola itu. Ingat bahawa fungsi kuadratik ialah: ax 2 + bx + c. Untuk mengira koordinat x, gunakan persamaan berikut: x = -b/2a. Persamaan ini ialah terbitan bagi fungsi kuadratik asas dan menerangkan tangen, cerun yang sama dengan sifar (tangen kepada bucu parabola adalah selari dengan paksi X).

      • Sebagai contoh, cari julat bagi fungsi 3x 2 + 6x -2.
      • Hitung koordinat x bagi bucu parabola: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1

   3. Cari koordinat-y bagi bucu graf fungsi. Untuk melakukan ini, gantikan koordinat "x" yang ditemui ke dalam fungsi. Koordinat dicari"y" mewakili nilai had julat fungsi.

      • Kira koordinat y: y = 3x 2 + 6x – 2 = 3(-1) 2 + 6(-1) -2 = -5
      • Koordinat titik puncak parabola fungsi ini ialah: (-1,-5).

   4. Tentukan arah parabola dengan memasukkan sekurang-kurangnya satu nilai x ke dalam fungsi. Pilih mana-mana nilai x lain dan pasangkannya ke dalam fungsi untuk mengira nilai y yang sepadan. Jika nilai "y" yang ditemui adalah lebih besar daripada koordinat "y" bucu parabola, maka parabola diarahkan ke atas. Jika nilai "y" yang ditemui adalah kurang daripada koordinat "y" bucu parabola, maka parabola diarahkan ke bawah.

      • Gantikan ke dalam fungsi x = -2: y = 3x 2 + 6x – 2 = y = 3(-2) 2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
      • Koordinat titik yang terletak pada parabola: (-2,-2).
      • Koordinat yang ditemui menunjukkan bahawa cabang parabola diarahkan ke atas. Oleh itu, julat fungsi termasuk semua nilai "y" yang lebih besar daripada atau sama dengan -5.
      • Julat nilai fungsi ini: [-5, ∞)

   5. Domain fungsi ditulis sama dengan domain fungsi. Kurungan segi empat sama digunakan apabila nilai berada dalam julat fungsi; jika nilai tidak berada dalam julat, kurungan digunakan. Jika fungsi mempunyai beberapa julat bukan bersebelahan nilai, simbol "U" diletakkan di antaranya.

      • Sebagai contoh, julat [-2,10)U(10,2] termasuk nilai -2 dan 2, tetapi tidak termasuk nilai 10.
      • Dengan simbol infiniti ∞, kurungan sentiasa digunakan.

Dalam matematik terdapat bilangan yang agak kecil fungsi asas, yang skopnya terhad. Semua fungsi "kompleks" lain hanyalah gabungan dan gabungan daripadanya.

1. Fungsi pecahan - sekatan pada penyebut.

2. Akar darjah genap - sekatan pada ungkapan radikal.

3. Logaritma - sekatan pada asas logaritma dan ungkapan sublogaritma.

3. Trigonometri tg(x) dan ctg(x) - sekatan pada hujah.

Untuk tangen:

4. Fungsi trigonometri songsang.

arcsine	kosinus arka	Artangen, Artangen

Seterusnya, contoh berikut diselesaikan pada topik "Domain definisi fungsi".

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Contoh 4

Contoh 5

Contoh 6

Contoh 7

Contoh 8

Contoh 9

Contoh 10

Contoh 11

Contoh 12

Contoh 13

Contoh 14

Contoh 15

Contoh 16

Contoh mencari domain takrifan fungsi No. 1

Mencari domain takrifan mana-mana fungsi linear, i.e. fungsi ijazah pertama:

y = 2x + 3 - persamaan mentakrifkan garis lurus pada satah.

Mari kita lihat dengan teliti pada fungsi dan fikirkan apakah nilai berangka yang boleh kita gantikan ke dalam persamaan dan bukannya pembolehubah x?

Mari cuba gantikan nilai x=0

Oleh kerana y = 2 0 + 3 = 3 - kita dapat nilai angka, oleh itu fungsi wujud untuk nilai pembolehubah yang diberikan x=0.

Mari cuba gantikan nilai x=10

memandangkan y = 2·10 + 3 = 23 - fungsi wujud untuk nilai pembolehubah yang diberi x=10.

Mari cuba gantikan nilai x=-10

memandangkan y = 2·(-10) + 3 = -17 - fungsi wujud untuk nilai pembolehubah x = -10 yang diberi.

Persamaan mentakrifkan garis lurus pada satah, dan garis lurus tidak mempunyai permulaan atau penghujung, oleh itu ia wujud untuk sebarang nilai x.

Ambil perhatian bahawa tidak kira apa nilai berangka yang kita gantikan ke dalam fungsi tertentu dan bukannya x, kita akan sentiasa mendapat nilai berangka pembolehubah y.

Oleh itu, fungsi itu wujud untuk sebarang nilai x ∈ R, atau kita tulis seperti ini: D(f) = R

Bentuk penulisan jawapan: D(f)=R atau D(f)=(-∞:+∞)atau x∈R atau x∈(-∞:+∞)

Mari kita simpulkan:

Untuk sebarang fungsi bentuk y = ax + b, domain takrifan ialah set nombor nyata.

Contoh mencari domain takrifan fungsi No. 2

Fungsi borang:

y = 10/(x + 5) - persamaan hiperbola

Apabila berurusan dengan fungsi pecahan, ingat bahawa anda tidak boleh membahagi dengan sifar. Oleh itu fungsi akan wujud untuk semua nilai x yang tidak

tetapkan penyebut kepada sifar. Mari cuba menggantikan beberapa nilai arbitrari bagi x.

Pada x = 0 kita ada y = 10/(0 + 5) = 2 - fungsi itu wujud.

Untuk x = 10 kita ada y = 10/(10 + 5) = 10/15 = 2/3- fungsi itu wujud.

Pada x = -5 kita ada y = 10/(-5 + 5) = 10/0 - fungsi tidak wujud pada ketika ini.

Itu. Jika fungsi yang diberikan pecahan, maka adalah perlu untuk menyamakan penyebut kepada sifar dan mencari titik di mana fungsi itu tidak wujud.

Dalam kes kami:

x + 5 = 0 → x = -5 - pada ketika ini fungsi yang diberikan tidak wujud.

x + 5 ≠ 0 → x ≠ -5

Untuk kejelasan, mari kita gambarkannya secara grafik:

Pada graf kita juga melihat bahawa hiperbola datang sedekat mungkin dengan garis lurus x = -5, tetapi tidak mencapai nilai -5 itu sendiri.

Kita melihat bahawa fungsi yang diberikan wujud di semua titik paksi nyata, kecuali untuk titik x = -5

Borang rakaman respons: D(f)=R\(-5) atau D(f)=(-∞;-5) ∪ (-5;+∞) atau x ∈ R\(-5) atau x ∈ (-∞;-5) ∪ (-5;+∞)

Jika fungsi yang diberikan adalah pecahan, maka kehadiran penyebut mengenakan syarat penyebut tidak sama dengan sifar.

Contoh mencari domain takrifan fungsi No. 3

Mari kita pertimbangkan contoh mencari domain takrifan fungsi dengan punca darjah genap:

Oleh kerana kita hanya boleh mengekstrak punca kuasa dua daripada nombor bukan negatif, oleh itu, fungsi di bawah punca adalah bukan negatif.

2x - 8 ≥ 0

Mari kita selesaikan ketaksamaan mudah:

2x - 8 ≥ 0 → 2x ≥ 8 → x ≥ 4

Fungsi yang ditentukan hanya wujud untuk nilai x ≥ 4 atau yang ditemui D(f)=)