Cara membalikkan tanda dalam kurungan. Mengembangkan kurungan - Pasar Raya Besar Pengetahuan

Peluasan kurungan ialah sejenis transformasi ungkapan. Dalam bahagian ini, kami akan menerangkan peraturan untuk mengembangkan kurungan, serta mempertimbangkan contoh tugas yang paling biasa.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apakah pengembangan kurungan?

Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan susunan tindakan dilakukan dalam ungkapan angka dan abjad, serta dalam ungkapan dengan pembolehubah. Adalah mudah untuk beralih daripada ungkapan dengan kurungan kepada ungkapan yang sama tanpa kurungan. Sebagai contoh, gantikan ungkapan 2 (3 + 4) dengan ungkapan seperti 2 3 + 2 4 tanpa kurungan. Teknik ini dipanggil pembukaan kurungan.

Definisi 1

Di bawah pembukaan kurungan, kami maksudkan kaedah menghilangkan kurungan dan biasanya dipertimbangkan berkaitan dengan ungkapan yang mungkin mengandungi:

• tanda "+" atau "-" di hadapan kurungan yang mengandungi jumlah atau perbezaan;
• hasil darab nombor, huruf, atau beberapa huruf, dan jumlah atau perbezaan, yang diletakkan dalam kurungan.

Ini adalah bagaimana kami pernah mempertimbangkan proses membuka kurungan dalam perjalanan kurikulum sekolah. Walau bagaimanapun, tiada siapa yang menghalang kami daripada melihat tindakan ini dengan lebih meluas. Kita boleh memanggil pengembangan kurungan sebagai peralihan daripada ungkapan yang mengandungi nombor negatif dalam kurungan kepada ungkapan yang tidak mempunyai kurungan. Sebagai contoh, kita boleh pergi dari 5 + (− 3) − (− 7) kepada 5 − 3 + 7 . Malah, ini juga pengembangan kurungan.

Dengan cara yang sama, kita boleh menggantikan hasil darab ungkapan dalam kurungan bentuk (a + b) · (c + d) dengan hasil tambah a · c + a · d + b · c + b · d . Teknik ini juga tidak bercanggah dengan maksud pengembangan kurungan.

Berikut adalah satu lagi contoh. Kita boleh menganggap bahawa dalam ungkapan, bukannya nombor dan pembolehubah, sebarang ungkapan boleh digunakan. Sebagai contoh, ungkapan x 2 1 a - x + sin (b) akan sepadan dengan ungkapan tanpa tanda kurung dalam bentuk x 2 1 a - x 2 x + x 2 sin (b) .

Satu lagi perkara patut diberi perhatian khusus, yang berkenaan dengan keanehan penyelesaian penulisan apabila membuka kurungan. Kita boleh menulis ungkapan awal dengan kurungan dan hasil yang diperoleh selepas membuka kurungan sebagai kesamaan. Sebagai contoh, selepas membuka kurungan, bukannya ungkapan 3 − (5 − 7) kita dapat ungkapan 3 − 5 + 7 . Kita boleh menulis kedua-dua ungkapan ini sebagai kesamaan 3 − (5 − 7) = 3 − 5 + 7 .

Menjalankan tindakan dengan ekspresi yang menyusahkan mungkin memerlukan rakaman hasil perantaraan. Kemudian penyelesaiannya akan mempunyai bentuk rantai kesamaan. Sebagai contoh, 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − (3 − 2 + 1) = 5 − 3 + 2 − 1 atau 5 − (3 − (2 − 1)) = 5 − 3 + (2 − 1) = 5 − 3 + 2 − 1 .

Peraturan untuk membuka kurungan, contoh

Mari kita mulakan dengan peraturan untuk membuka kurungan.

Nombor tunggal dalam kurungan

Nombor negatif dalam kurungan sering muncul dalam ungkapan. Contohnya, (− 4) dan 3 + (− 4) . Nombor positif dalam kurungan juga berlaku.

Mari kita rumuskan peraturan untuk membuka kurungan yang mengandungi nombor positif tunggal. Katakan a ialah sebarang nombor positif. Kemudian kita boleh menggantikan (a) dengan a, + (a) dengan + a, - (a) dengan - a. Jika bukannya a kita mengambil nombor tertentu, maka mengikut peraturan: nombor (5) akan ditulis sebagai 5 , ungkapan 3 + (5) tanpa kurungan akan berbentuk 3 + 5 , kerana + (5) digantikan dengan + 5 , dan ungkapan 3 + (− 5) adalah bersamaan dengan ungkapan itu 3 − 5 , kerana + (− 5) digantikan dengan − 5 .

Nombor positif biasanya ditulis tanpa menggunakan kurungan, kerana kurungan adalah berlebihan dalam kes ini.

Sekarang pertimbangkan peraturan untuk membuka kurungan yang mengandungi nombor negatif tunggal. + (−a) kita ganti dengan − a, − (− a) digantikan dengan + a . Jika ungkapan bermula dengan nombor negatif (-a), yang ditulis dalam kurungan, maka kurungan ditinggalkan dan bukannya (-a) tinggal − a.

Berikut adalah beberapa contoh: (− 5) boleh ditulis sebagai − 5 , (− 3) + 0 , 5 menjadi − 3 + 0 , 5 , 4 + (− 3) menjadi 4 − 3 , dan − (− 4) − (− 3) selepas membuka kurungan mengambil bentuk 4 + 3 , kerana − (− 4) dan − (− 3) digantikan dengan + 4 dan + 3 .

Perlu difahami bahawa ungkapan 3 · (− 5) tidak boleh ditulis sebagai 3 · − 5. Ini akan dibincangkan dalam perenggan berikut.

Mari lihat peraturan pengembangan kurungan berdasarkan apa.

Mengikut peraturan, beza a − b adalah sama dengan a + (− b) . Berdasarkan sifat tindakan dengan nombor, kita boleh membuat rantaian kesamaan (a + (− b)) + b = a + ((− b) + b) = a + 0 = a yang akan berlaku adil. Rantaian kesamaan ini, berdasarkan makna penolakan, membuktikan bahawa ungkapan a + (− b) ialah perbezaan a-b.

Berdasarkan sifat nombor berlawanan dan peraturan untuk menolak nombor negatif, kita boleh menegaskan bahawa − (− a) = a , a − (− b) = a + b .

Terdapat ungkapan yang terdiri daripada nombor, tanda tolak dan beberapa pasang kurungan. Menggunakan peraturan di atas membolehkan anda membuang kurungan secara berurutan, bergerak dari kurungan dalam ke kurungan luar atau sebaliknya. Contoh ungkapan sedemikian ialah − (− ((− (5)))) . Mari buka kurungan, bergerak dari dalam ke luar: − (− ((− (5)))) = − (− ((− 5))) = − (− (− 5)) = − (5) = − 5 . Contoh ini juga boleh dihuraikan secara terbalik: − (− ((− (5)))) = ((− (5))) = (− (5)) = − (5) = − 5 .

Di bawah a dan b boleh difahami bukan sahaja sebagai nombor, tetapi juga sebagai ungkapan angka atau literal arbitrari dengan "+" di hadapan yang bukan jumlah atau perbezaan. Dalam semua kes ini, anda boleh menggunakan peraturan dengan cara yang sama seperti yang kami lakukan dengan nombor tunggal dalam kurungan.

Sebagai contoh, selepas membuka kurungan, ungkapan − (− 2 x) − (x 2) + (− 1 x) − (2 x y 2: z) mengambil bentuk 2 x − x 2 − 1 x − 2 x y 2: z . Bagaimana kami melakukannya? Kita tahu bahawa − (− 2 x) ialah + 2 x , dan kerana ungkapan ini didahulukan, maka + 2 x boleh ditulis sebagai 2 x , - (x 2) = - x 2, + (− 1 x) = − 1 x dan − (2 x y 2: z) = − 2 x y 2: z.

Dalam hasil darab dua nombor

Mari kita mulakan dengan peraturan untuk mengembangkan kurungan dalam hasil darab dua nombor.

Mari kita berpura-pura itu a dan b ialah dua nombor positif. Dalam kes ini, hasil darab dua nombor negatif − a dan − b dalam bentuk (− a) (− b) boleh digantikan dengan (a b) , dan hasil darab dua nombor dengan tanda bertentangan bagi bentuk (− a) b dan a (− b) boleh digantikan dengan (− a b). Mendarab tolak dengan tolak memberikan tambah, dan mendarab tolak dengan tambah, seperti mendarab tambah dengan tolak, memberikan tolak.

Ketepatan bahagian pertama peraturan bertulis disahkan oleh peraturan untuk mendarab nombor negatif. Untuk mengesahkan bahagian kedua peraturan, kita boleh menggunakan peraturan pendaraban untuk nombor dengan tanda yang berbeza.

Mari lihat beberapa contoh.

Contoh 1

Pertimbangkan algoritma untuk membuka kurungan dalam hasil darab dua nombor negatif - 4 3 5 dan - 2 , dalam bentuk (- 2) · - 4 3 5 . Untuk melakukan ini, kami menggantikan ungkapan asal dengan 2 · 4 3 5 . Mari kembangkan kurungan dan dapatkan 2 · 4 3 5 .

Dan jika kita mengambil hasil bagi nombor negatif (− 4) : (− 2) , maka rekod selepas membuka kurungan akan kelihatan seperti 4: 2

Daripada nombor negatif − a dan − b boleh menjadi sebarang ungkapan dengan tanda tolak di hadapan yang bukan jumlah atau perbezaan. Contohnya, ini boleh menjadi hasil darab, separa, pecahan, kuasa, punca, logaritma, fungsi trigonometri, dsb.

Mari kita buka kurungan dalam ungkapan - 3 · x x 2 + 1 · x · (- ln 5) . Mengikut peraturan, kita boleh membuat penjelmaan berikut: - 3 x x 2 + 1 x (- ln 5) = - 3 x x 2 + 1 x ln 5 = 3 x x 2 + 1 x ln 5 .

Ungkapan (− 3) 2 boleh ditukar kepada ungkapan (− 3 2) . Selepas itu, anda boleh membuka kurungan: − 3 2.

2 3 - 4 5 = - 2 3 4 5 = - 2 3 4 5

Membahagi nombor dengan tanda yang berbeza juga mungkin memerlukan pengembangan awal kurungan: (− 5) : 2 = (− 5: 2) = − 5: 2 dan 2 3 4: (- 3 , 5) = - 2 3 4: 3 , 5 = - 2 3 4: 3 , 5 .

Peraturan boleh digunakan untuk melakukan pendaraban dan pembahagian ungkapan dengan tanda yang berbeza. Mari kita berikan dua contoh.

1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3 = - 1 x + 1: x - 3

sin (x) (- x 2) \u003d (- sin (x) x 2) \u003d - sin (x) x 2

Dalam hasil darab tiga atau lebih nombor

Mari kita beralih kepada produk dan hasil bagi, yang mengandungi bilangan nombor yang lebih besar. Untuk mengembangkan kurungan, peraturan berikut akan digunakan di sini. Dengan bilangan nombor negatif genap, anda boleh meninggalkan kurungan, menggantikan nombor dengan lawannya. Selepas itu, anda perlu melampirkan ungkapan yang terhasil dalam kurungan baharu. Untuk nombor ganjil nombor negatif, tanpa tanda kurung, gantikan nombor dengan lawannya. Selepas itu, ungkapan yang terhasil mesti diambil dalam kurungan baharu dan meletakkan tanda tolak di hadapannya.

Contoh 2

Sebagai contoh, mari kita ambil ungkapan 5 · (− 3) · (− 2) , iaitu hasil darab tiga nombor. Terdapat dua nombor negatif, jadi kita boleh menulis ungkapan sebagai (5 3 2) dan kemudian akhirnya buka kurungan, mendapatkan ungkapan 5 3 2 .

Dalam hasil darab (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) lima nombor adalah negatif. jadi (− 2 , 5) (− 3) : (− 2) 4: (− 1 , 25) : (− 1) = (− 2 . 5 3: 2 4: 1 , 25: 1) . Akhirnya membuka kurungan, kita dapat −2.5 3:2 4:1.25:1.

Peraturan di atas boleh dibenarkan seperti berikut. Pertama, kita boleh menulis semula ungkapan tersebut sebagai hasil darab, menggantikan pembahagian dengan pendaraban dengan salingan. Kami mewakili setiap nombor negatif sebagai hasil darab dan menggantikan - 1 atau - 1 dengan (− 1) a.

Menggunakan sifat komutatif pendaraban, kita menukar faktor dan memindahkan semua faktor sama dengan − 1 , ke permulaan ungkapan. Hasil darab nombor genap tolak sama dengan 1, dan nombor ganjil sama dengan − 1 , yang membolehkan kita menggunakan tanda tolak.

Jika kita tidak menggunakan peraturan, maka rantai tindakan untuk membuka kurungan dalam ungkapan - 2 3: (- 2) 4: - 6 7 akan kelihatan seperti ini:

2 3: (- 2) 4: - 6 7 = - 2 3 - 1 2 4 - 7 6 = = (- 1) 2 3 (- 1) 1 2 4 (- 1 ) 7 6 = = (- 1) (- 1) (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = (- 1) 2 3 1 2 4 7 6 = = - 2 3 1 2 4 7 6

Peraturan di atas boleh digunakan apabila mengembangkan kurungan dalam ungkapan yang merupakan produk dan hasil bahagi dengan tanda tolak yang bukan jumlah atau perbezaan. Ambil contoh ungkapan

x 2 (- x): (- 1 x) x - 3: 2 .

Ia boleh dikurangkan kepada ungkapan tanpa kurungan x 2 · x: 1 x · x - 3: 2 .

Tanda kurung pembuka didahului dengan tanda +

Pertimbangkan peraturan yang boleh digunakan untuk mengembangkan kurungan yang didahului dengan tanda tambah dan "kandungan" kurungan ini tidak didarab atau dibahagikan dengan sebarang nombor atau ungkapan.

Mengikut peraturan, kurungan bersama dengan tanda di hadapannya ditinggalkan, manakala tanda semua istilah dalam kurungan dipelihara. Jika tiada tanda di hadapan istilah pertama dalam kurungan, maka anda perlu meletakkan tanda tambah.

Contoh 3

Sebagai contoh, kita memberikan ungkapan (12 − 3 , 5) − 7 . Dengan mengenepikan kurungan, kami menyimpan tanda syarat dalam kurungan dan meletakkan tanda tambah di hadapan penggal pertama. Entri akan kelihatan seperti (12 − ​​​​3 , 5) − 7 = + 12 − 3 , 5 − 7 . Dalam contoh di atas, tidak perlu meletakkan tanda di hadapan sebutan pertama, kerana + 12 - 3, 5 - 7 = 12 - 3, 5 - 7.

Contoh 4

Mari kita pertimbangkan satu lagi contoh. Ambil ungkapan x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x dan lakukan tindakan dengannya x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x = = x + 2 a - 3 x 2 + 1 - x 2 - 4 + 1 x

Berikut ialah satu lagi contoh kurungan mengembangkan:

Contoh 5

2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 + (- 1 + x - x 2) = = 2 + x 2 + 1 x - x y z + 2 x - 1 - 1 + x + x2

Cara mengembangkan kurungan didahului dengan tanda tolak

Pertimbangkan kes di mana terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, dan yang tidak didarab (atau dibahagikan) dengan sebarang nombor atau ungkapan. Mengikut peraturan untuk membuka kurungan didahului dengan tanda "-", kurungan dengan tanda "-" ditinggalkan, manakala tanda semua istilah di dalam kurungan diterbalikkan.

Contoh 6

Sebagai contoh:

1 2 \u003d 1 2, - 1 x + 1 \u003d - 1 x + 1, - (- x 2) \u003d x 2

Ungkapan pembolehubah boleh ditukar menggunakan peraturan yang sama:

X + x 3 - 3 - - 2 x 2 + 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2,

kita dapat x - x 3 - 3 + 2 x 2 - 3 x 3 x + 1 x - 1 - x + 2 .

Membuka kurungan apabila mendarab nombor dengan kurungan, ungkapan dengan kurungan

Di sini kita akan mempertimbangkan kes apabila perlu membuka kurungan yang didarab atau dibahagikan dengan sebarang nombor atau ungkapan. Di sini formula bentuk (a 1 ± a 2 ± ... ± a n) b = (a 1 b ± a 2 b ± ... ± a n b) atau b (a 1 ± a 2 ± … ± a n) = (b a 1 ± b a 2 ± … ± b a n), di mana a 1 , a 2 , … , a n dan b ialah beberapa nombor atau ungkapan.

Contoh 7

Sebagai contoh, mari kita kembangkan kurungan dalam ungkapan (3 − 7) 2. Mengikut peraturan, kita boleh membuat penjelmaan berikut: (3 − 7) 2 = (3 2 − 7 2) . Kami mendapat 3 · 2 − 7 · 2 .

Mengembangkan kurungan dalam ungkapan 3 x 2 1 - x + 1 x + 2, kita mendapat 3 x 2 1 - 3 x 2 x + 3 x 2 1 x + 2.

Darab kurungan dengan kurungan

Pertimbangkan hasil darab dua kurungan bentuk (a 1 + a 2) · (b 1 + b 2) . Ini akan membantu kami mendapatkan peraturan untuk mengembangkan kurungan apabila mendarab kurungan dengan kurungan.

Untuk menyelesaikan contoh di atas, kami menandakan ungkapan (b 1 + b 2) seperti b. Ini akan membolehkan kami menggunakan peraturan pendaraban ungkapan kurungan. Kita dapat (a 1 + a 2) (b 1 + b 2) = (a 1 + a 2) b = (a 1 b + a 2 b) = a 1 b + a 2 b . Dengan melakukan penggantian terbalik b pada (b 1 + b 2), sekali lagi gunakan peraturan untuk mendarab ungkapan dengan kurungan: a 1 b + a 2 b = = a 1 (b 1 + b 2) + a 2 (b 1 + b 2) = = (a 1 b 1 + a 1 b 2) + (a 2 b 1 + a 2 b 2) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + a 2 b 1 + a 2 b 2

Terima kasih kepada beberapa helah mudah, kita boleh sampai kepada jumlah produk bagi setiap istilah dari kurungan pertama dan setiap istilah dari kurungan kedua. Peraturan boleh dilanjutkan kepada sebarang bilangan istilah di dalam kurungan.

Mari kita rumuskan peraturan untuk mendarab kurungan dengan kurungan: untuk mendarab dua jumlah di antara mereka sendiri, adalah perlu untuk mendarabkan setiap sebutan jumlah pertama dengan setiap sebutan jumlah kedua dan menambah hasilnya.

Formula akan kelihatan seperti:

(a 1 + a 2 + . . . + a m) (b 1 + b 2 + . . . + b n) = = a 1 b 1 + a 1 b 2 + . . . + a 1 b n + + a 2 b 1 + a 2 b 2 + . . . + a 2 b n + + . . . + + a m b 1 + a m b 1 + . . . a m b n

Mari kembangkan kurungan dalam ungkapan (1 + x) · (x 2 + x + 6) Ia ialah hasil darab dua jumlah. Mari tulis penyelesaiannya: (1 + x) (x 2 + x + 6) = = (1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6) = = 1 x 2 + 1 x + 1 6 + x x 2 + x x + x 6

Secara berasingan, adalah wajar mengingati kes tersebut apabila terdapat tanda tolak dalam kurungan bersama dengan tanda tambah. Sebagai contoh, mari kita ambil ungkapan (1 − x) · (3 · x · y − 2 · x · y 3) .

Pertama, kami mewakili ungkapan dalam kurungan sebagai jumlah: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)). Sekarang kita boleh menggunakan peraturan: (1 + (− x)) (3 x y + (− 2 x y 3)) = = (1 3 x y + 1 (− 2 x y 3) + (− x) 3 x y + ( − x) (− 2 x y 3))

Mari kembangkan kurungan: 1 3 x y − 1 2 x y 3 − x 3 x y + x 2 x y 3 .

Peluasan kurungan dalam produk beberapa kurungan dan ungkapan

Jika terdapat tiga atau lebih ungkapan dalam kurungan dalam ungkapan, kurungan perlu dikembangkan secara berurutan. Ia adalah perlu untuk memulakan transformasi dengan fakta bahawa dua faktor pertama diambil dalam kurungan. Di dalam kurungan ini, kita boleh melakukan transformasi mengikut peraturan yang dibincangkan di atas. Contohnya, kurungan dalam ungkapan (2 + 4) 3 (5 + 7 8) .

Ungkapan itu mengandungi tiga faktor sekaligus (2 + 4) , 3 dan (5 + 7 8) . Kami akan mengembangkan kurungan secara berurutan. Kami melampirkan dua faktor pertama dalam satu lagi kurungan, yang akan kami jadikan merah untuk kejelasan: (2 + 4) 3 (5 + 7 8) = ((2 + 4) 3) (5 + 7 8).

Selaras dengan peraturan mendarab kurungan dengan nombor, kita boleh melakukan tindakan berikut: ((2 + 4) 3) (5 + 7 8) = (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) .

Darab kurungan dengan kurungan: (2 3 + 4 3) (5 + 7 8) = 2 3 5 + 2 3 7 8 + 4 3 5 + 4 3 7 8 .

Kurungan dalam bentuk

Darjah, asasnya adalah beberapa ungkapan yang ditulis dalam kurungan, dengan penunjuk semula jadi boleh dianggap sebagai hasil daripada beberapa kurungan. Selain itu, mengikut peraturan dari dua perenggan sebelumnya, mereka boleh ditulis tanpa kurungan ini.

Pertimbangkan proses mengubah ungkapan (a + b + c) 2 . Ia boleh ditulis sebagai hasil darab dua kurungan (a + b + c) (a + b + c). Kami mendarabkan kurungan dengan kurungan dan mendapat a a + a b + a c + b a + b b + b c + c a + c b + c c .

Mari kita ambil contoh lain:

Contoh 8

1 x + 2 3 = 1 x + 2 1 x + 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x + 1 x 2 + 2 1 x + 2 2 1 x + 2 = = 1 x 1 x 1 x + 1 x 2 1 x + 2 1 x 1 x + 2 2 1 x + 1 x 1 x 2 + + 1 x 2 2 + 2 1 x 2 + 2 2 2

Membahagi kurungan dengan nombor dan kurungan dengan kurungan

Membahagikan kurungan dengan nombor menunjukkan bahawa anda mesti membahagikan dengan nombor semua istilah yang disertakan dalam kurungan. Contohnya, (x 2 - x) : 4 = x 2: 4 - x: 4 .

Pembahagian boleh digantikan dengan pendaraban sebelum ini, selepas itu anda boleh menggunakan peraturan yang sesuai untuk membuka kurungan dalam produk. Peraturan yang sama digunakan apabila membahagikan kurungan dengan kurungan.

Sebagai contoh, kita perlu membuka kurungan dalam ungkapan (x + 2) : 2 3 . Untuk melakukan ini, mula-mula gantikan pembahagian dengan mendarab dengan kebalikan dari (x + 2) : 2 3 = (x + 2) · 2 3 . Darabkan kurungan dengan nombor (x + 2) 2 3 = x 2 3 + 2 2 3 .

Berikut adalah satu lagi contoh pembahagian kurungan:

Contoh 9

1 x + x + 1: (x + 2) .

Mari kita gantikan pembahagian dengan pendaraban: 1 x + x + 1 1 x + 2 .

Mari kita lakukan pendaraban: 1 x + x + 1 1 x + 2 = 1 x 1 x + 2 + x 1 x + 2 + 1 1 x + 2 .

Perintah pengembangan kurungan

Sekarang mari kita pertimbangkan susunan penggunaan peraturan yang dibincangkan di atas dalam ungkapan umum, i.e. dalam ungkapan yang mengandungi jumlah dengan perbezaan, produk dengan hasil bagi, kurungan dalam jenis.

Urutan tindakan:

• langkah pertama adalah untuk meningkatkan kurungan kepada kuasa semula jadi;
• pada peringkat kedua, kurungan dibuka dalam kerja dan persendirian;
• langkah terakhir ialah membuka kurungan dalam jumlah dan perbezaan.

Mari kita pertimbangkan susunan tindakan menggunakan contoh ungkapan (− 5) + 3 · (− 2) : (− 4) − 6 · (− 7) . Mari kita ubah daripada ungkapan 3 (− 2) : (− 4) dan 6 (− 7) , yang sepatutnya dalam bentuk (3 2:4) dan (− 6 7) . Menggantikan hasil yang diperoleh ke dalam ungkapan asal, kita memperoleh: (− 5) + 3 (− 2) : (− 4) − 6 (− 7) = (− 5) + (3 2: 4) − (− 6 7 ). Kembangkan kurungan: − 5 + 3 2: 4 + 6 7 .

Apabila berurusan dengan ungkapan yang mengandungi kurungan dalam kurungan, adalah mudah untuk melakukan transformasi dari dalam ke luar.

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Tanda kurung digunakan untuk menunjukkan susunan tindakan dilakukan dalam ungkapan angka dan abjad, serta dalam ungkapan dengan pembolehubah. Adalah mudah untuk beralih daripada ungkapan dengan kurungan kepada ungkapan yang sama tanpa kurungan. Teknik ini dipanggil pembukaan kurungan.

Untuk mengembangkan kurungan bermakna menghilangkan ungkapan kurungan ini.

Satu lagi perkara patut diberi perhatian khusus, yang berkenaan dengan keanehan penyelesaian penulisan apabila membuka kurungan. Kita boleh menulis ungkapan awal dengan kurungan dan hasil yang diperoleh selepas membuka kurungan sebagai kesamaan. Sebagai contoh, selepas membuka kurungan, bukannya ungkapan
3−(5−7) kita mendapat ungkapan 3−5+7. Kita boleh menulis kedua-dua ungkapan ini sebagai kesamaan 3−(5−7)=3−5+7.

Dan satu lagi perkara penting. Dalam matematik, untuk mengurangkan entri, adalah kebiasaan untuk tidak menulis tanda tambah jika ia adalah yang pertama dalam ungkapan atau dalam kurungan. Sebagai contoh, jika kita menambah dua nombor positif, sebagai contoh, tujuh dan tiga, maka kita tidak menulis +7 + 3, tetapi hanya 7 + 3, walaupun pada hakikatnya tujuh juga nombor positif. Begitu juga, jika anda melihat, sebagai contoh, ungkapan (5 + x) - ketahui bahawa terdapat tambah di hadapan kurungan, yang tidak ditulis, dan terdapat tambah + (+5 + x) di hadapan lima.

Peraturan pengembangan kurungan untuk penambahan

Apabila membuka kurungan, jika terdapat tambah sebelum kurungan, maka tambah ini ditinggalkan bersama dengan kurungan.

Contoh. Buka kurungan dalam ungkapan 2 + (7 + 3) Sebelum kurungan tambah, maka aksara di hadapan nombor dalam kurungan tidak berubah.

2 + (7 + 3) = 2 + 7 + 3

Peraturan untuk mengembangkan kurungan semasa menolak

Jika terdapat tolak sebelum kurungan, maka tolak ini ditinggalkan bersama kurungan, tetapi istilah yang ada dalam kurungan menukar tandanya kepada sebaliknya. Ketiadaan tanda sebelum sebutan pertama dalam kurungan membayangkan tanda +.

Contoh. Tanda kurung terbuka dalam ungkapan 2 − (7 + 3)

Terdapat tolak sebelum kurungan, jadi anda perlu menukar tanda sebelum nombor dari kurungan. Tiada tanda dalam kurungan sebelum nombor 7, bermakna tujuh itu positif, ia dianggap tanda + di hadapannya.

2 − (7 + 3) = 2 − (+ 7 + 3)

Apabila membuka kurungan, kami mengeluarkan tolak daripada contoh, yang berada di hadapan kurungan, dan kurungan itu sendiri 2 − (+ 7 + 3), dan menukar tanda yang ada dalam kurungan kepada yang bertentangan.

2 − (+ 7 + 3) = 2 − 7 − 3

Mengembangkan tanda kurung apabila mendarab

Jika terdapat tanda pendaraban di hadapan kurungan, maka setiap nombor di dalam kurungan didarab dengan faktor di hadapan kurungan. Pada masa yang sama, mendarabkan tolak dengan tolak memberikan tambah, dan mendarab tolak dengan tambah, seperti mendarab tambah dengan tolak, memberikan tolak.

Oleh itu, kurungan dalam produk dikembangkan mengikut sifat taburan pendaraban.

Contoh. 2 (9 - 7) = 2 9 - 2 7

Apabila mendarab kurungan dengan kurungan, setiap sebutan kurungan pertama didarabkan dengan setiap sebutan kurungan kedua.

(2 + 3) (4 + 5) = 2 4 + 2 5 + 3 4 + 3 5

Malah, tidak perlu mengingati semua peraturan, cukup untuk mengingati satu sahaja, yang ini: c(a−b)=ca−cb. kenapa? Kerana jika kita menggantikan satu daripada c, kita mendapat peraturan (a−b)=a−b. Dan jika kita menggantikan tolak satu, kita mendapat peraturan −(a−b)=−a+b. Nah, jika anda menggantikan kurungan lain dan bukannya c, anda boleh mendapatkan peraturan terakhir.

Kembangkan kurungan apabila membahagi

Sekiranya terdapat tanda pembahagian selepas kurungan, maka setiap nombor di dalam kurungan boleh dibahagi oleh pembahagi selepas kurungan, dan begitu juga sebaliknya.

Contoh. (9 + 6): 3=9: 3 + 6: 3

Cara mengembangkan kurungan bersarang

Jika ungkapan mengandungi kurungan bersarang, maka ia dikembangkan mengikut tertib, bermula dengan luaran atau dalaman.

Pada masa yang sama, apabila membuka salah satu kurungan, adalah penting untuk tidak menyentuh kurungan lain, hanya menulis semula mereka sebagaimana adanya.

Contoh. 12 - (a + (6 - b) - 3) = 12 - a - (6 - b) + 3 = 12 - a - 6 + b + 3 = 9 - a + b

Sekarang kita hanya akan beralih kepada membuka kurungan dalam ungkapan di mana ungkapan dalam kurungan didarab dengan nombor atau ungkapan. Mari kita rumuskan peraturan untuk membuka kurungan yang didahului dengan tanda tolak: tanda kurung bersama dengan tanda tolak ditinggalkan, dan tanda semua istilah dalam kurungan digantikan dengan tanda bertentangan.

Satu jenis penjelmaan ungkapan ialah pengembangan kurungan. Ungkapan angka, literal dan pembolehubah digubah menggunakan kurungan, yang boleh menunjukkan susunan tindakan yang dilakukan, mengandungi nombor negatif, dsb. Mari kita anggap bahawa dalam ungkapan yang diterangkan di atas, bukannya nombor dan pembolehubah, boleh terdapat sebarang ungkapan.

Dan mari kita perhatikan satu lagi perkara mengenai keanehan menulis penyelesaian apabila membuka kurungan. Dalam perenggan sebelumnya, kami membincangkan apa yang dipanggil pengembangan kurungan. Untuk melakukan ini, terdapat peraturan untuk membuka kurungan, yang kini kami semak. Peraturan ini ditentukan oleh fakta bahawa adalah kebiasaan untuk menulis nombor positif tanpa kurungan, kurungan dalam kes ini tidak diperlukan. Ungkapan (−3.7)−(−2)+4+(−9) boleh ditulis tanpa tanda kurung sebagai −3.7+2+4−9.

Akhir sekali, bahagian ketiga peraturan hanya disebabkan oleh keanehan menulis nombor negatif di sebelah kiri dalam ungkapan (yang kami nyatakan dalam bahagian kurungan untuk menulis nombor negatif). Anda mungkin menghadapi ungkapan yang terdiri daripada nombor, tanda tolak dan berbilang pasangan kurungan. Jika anda mengembangkan kurungan, bergerak dari dalam ke luar, maka penyelesaiannya ialah: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5)) =−( 5)=−5.

Bagaimana untuk membuka kurungan?

Berikut ialah penjelasan: −(−2 x) ialah +2 x, dan oleh kerana ungkapan ini didahulukan, maka +2 x boleh ditulis sebagai 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)= −1/x dan −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Bahagian pertama peraturan bertulis untuk membuka kurungan mengikuti secara langsung daripada peraturan untuk mendarab nombor negatif. Bahagian kedua adalah akibat daripada peraturan untuk mendarab nombor dengan tanda yang berbeza. Mari kita beralih kepada contoh kurungan mengembangkan dalam produk dan hasil bagi dua nombor dengan tanda yang berbeza.

Pembukaan kurungan: peraturan, contoh, penyelesaian.

Peraturan di atas mengambil kira keseluruhan rantaian tindakan ini dan mempercepatkan proses membuka kurungan. Peraturan yang sama membolehkan anda membuka kurungan dalam ungkapan yang merupakan produk dan ungkapan peribadi dengan tanda tolak yang bukan jumlah dan perbezaan.

Pertimbangkan contoh penggunaan peraturan ini. Kami memberikan peraturan yang sepadan. Di atas, kita telah pun menemui ungkapan bentuk −(a) dan −(−a), yang tanpa kurungan ditulis sebagai −a dan a, masing-masing. Contohnya, −(3)=3, dan. Ini adalah kes khas peraturan yang dinyatakan. Sekarang pertimbangkan contoh kurungan pembukaan apabila jumlah atau perbezaan disertakan di dalamnya. Kami akan menunjukkan contoh penggunaan peraturan ini. Nyatakan ungkapan (b1+b2) sebagai b, selepas itu kita menggunakan peraturan untuk mendarab kurungan dengan ungkapan daripada perenggan sebelumnya, kita mempunyai (a1+a2) (b1+b2)=(a1+a2) b=( a1 b+a2 b)=a1 b+a2 b.

Secara induksi, pernyataan ini boleh dilanjutkan kepada bilangan sebutan sewenang-wenangnya dalam setiap kurungan. Ia kekal untuk membuka kurungan dalam ungkapan yang terhasil, menggunakan peraturan dari perenggan sebelumnya, sebagai hasilnya, kita mendapat 1 3 x y−1 2 x y3−x 3 x y+x 2 x y3.

Peraturan dalam matematik ialah pembukaan kurungan jika terdapat (+) dan (-) di hadapan kurungan, peraturan yang sangat diperlukan

Ungkapan ini ialah hasil darab tiga faktor (2+4), 3 dan (5+7 8). Tanda kurung mesti dibuka secara berurutan. Sekarang kita menggunakan peraturan untuk mendarab kurungan dengan nombor, kita mempunyai ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8). Darjah, asasnya adalah beberapa ungkapan yang ditulis dalam kurungan, dengan penunjuk semula jadi boleh dianggap sebagai hasil daripada beberapa kurungan.

Sebagai contoh, mari kita ubah ungkapan (a+b+c)2. Mula-mula, kita menulisnya sebagai hasil darab dua kurungan (a + b + c) (a + b + c), kini kita darabkan kurungan itu dengan kurungan, kita dapat a a + a b + a c + b a + b b+b c+ c a+c b+c c.

Kami juga mengatakan bahawa untuk menaikkan jumlah dan perbezaan dua nombor kepada kuasa semula jadi, adalah dinasihatkan untuk menggunakan formula binomial Newton. Contohnya, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Tidak kurang senang untuk menggantikan pembahagian dengan pendaraban, dan kemudian gunakan peraturan yang sesuai untuk membuka kurungan dalam produk.

Ia kekal untuk memikirkan susunan kurungan pembukaan menggunakan contoh. Ambil ungkapan (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7). Gantikan hasil ini dalam ungkapan asal: (−5)+3 (−2):(−4)−6 (−7)=(−5)+(3 2:4)−(−6 7) . Ia kekal hanya untuk melengkapkan pembukaan kurungan, akibatnya kita mempunyai −5+3 2:4+6 7. Ini bermakna apabila melepasi dari sebelah kiri kesamaan ke sebelah kanan, kurungan dibuka.

Ambil perhatian bahawa dalam ketiga-tiga contoh, kami hanya mengalih keluar kurungan. Pertama, tambah 445 kepada 889. Tindakan mental ini boleh dilakukan, tetapi ia tidak begitu mudah. Mari buka kurungan dan lihat bahawa susunan operasi yang diubah akan memudahkan pengiraan.

Bagaimana untuk membuka kurungan dalam darjah yang berbeza

Contoh ilustrasi dan peraturan. Pertimbangkan contoh: . Anda boleh mencari nilai ungkapan dengan menambah 2 dan 5, dan kemudian mengambil nombor yang terhasil dengan tanda yang bertentangan. Peraturan tidak berubah jika tidak ada dua, tetapi tiga atau lebih istilah dalam kurungan. Komen. Tanda-tanda diterbalikkan hanya di hadapan syarat. Untuk membuka kurungan, dalam kes ini, kita perlu memanggil semula sifat pengedaran.

Nombor tunggal dalam kurungan

Kesilapan anda bukan pada tanda, tetapi dalam kerja yang salah dengan pecahan? Dalam darjah 6 kami berkenalan dengan nombor positif dan negatif. Bagaimanakah kita akan menyelesaikan contoh dan persamaan?

Berapa banyak dalam kurungan? Apa yang boleh dikatakan tentang ungkapan ini? Sudah tentu, hasil daripada contoh pertama dan kedua adalah sama, jadi anda boleh meletakkan tanda sama di antara mereka: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Jadi apa yang kita lakukan dengan kurungan?

Demonstrasi slaid 6 dengan peraturan untuk membuka kurungan. Oleh itu, peraturan untuk membuka kurungan akan membantu kami menyelesaikan contoh, memudahkan ungkapan. Seterusnya, pelajar dijemput untuk bekerja secara berpasangan: adalah perlu untuk menyambungkan ungkapan yang mengandungi kurungan dengan ungkapan yang sepadan tanpa kurungan dengan anak panah.

Slaid 11 Sebaik sahaja di Bandar Cerah, Znayka dan Dunno berhujah siapa di antara mereka yang menyelesaikan persamaan dengan betul. Seterusnya, pelajar menyelesaikan persamaan secara bebas, menggunakan peraturan untuk membuka kurungan. Menyelesaikan persamaan ”Objektif pelajaran: pendidikan (membetulkan ZUN pada topik:“ Kurungan pembuka.

Topik pelajaran: “Kurungan pembukaan. Dalam kes ini, anda perlu mendarab setiap sebutan daripada kurungan pertama dengan setiap sebutan daripada kurungan kedua dan kemudian tambahkan hasilnya. Pertama, dua faktor pertama diambil, disertakan dalam satu lagi kurungan, dan di dalam kurungan ini, kurungan dibuka mengikut salah satu peraturan yang telah diketahui.

rawalan.freezeet.ru

Pembukaan kurungan: peraturan dan contoh (Gred 7)

Fungsi utama kurungan adalah untuk menukar susunan tindakan semasa mengira nilai ungkapan angka . Sebagai contoh, dalam ungkapan berangka \(5 3+7\) pendaraban akan dikira dahulu, dan kemudian penambahan: \(5 3+7 =15+7=22\). Tetapi dalam ungkapan \(5·(3+7)\), penambahan dalam kurungan akan dikira terlebih dahulu, dan kemudian pendaraban: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Namun, jika kita berurusan dengan ungkapan algebra mengandungi pembolehubah- sebagai contoh, seperti ini: \ (2 (x-3) \) - maka adalah mustahil untuk mengira nilai dalam kurungan, pembolehubah mengganggu. Oleh itu, dalam kes ini, kurungan "dibuka", menggunakan peraturan yang sesuai untuk ini.

Peraturan pengembangan kurungan

Sekiranya terdapat tanda tambah sebelum kurungan, maka kurungan dialih keluar, ungkapan di dalamnya tetap tidak berubah. Dalam kata lain:

Di sini adalah perlu untuk menjelaskan bahawa dalam matematik, untuk mengurangkan entri, adalah kebiasaan untuk tidak menulis tanda tambah jika ia adalah yang pertama dalam ungkapan. Sebagai contoh, jika kita menambah dua nombor positif, sebagai contoh, tujuh dan tiga, maka kita tidak menulis \(+7+3\), tetapi hanya \(7+3\), walaupun pada hakikatnya tujuh juga merupakan nombor positif . Begitu juga, jika anda melihat, sebagai contoh, ungkapan \((5+x)\) - ketahuilah itu terdapat tambah di hadapan kurungan, yang tidak ditulis.

Contoh . Buka kurungan dan berikan istilah seperti: \((x-11)+(2+3x)\).
Penyelesaian : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Jika terdapat tanda tolak di hadapan kurungan, maka apabila kurungan dialihkan, setiap ahli ungkapan di dalamnya menukar tanda kepada sebaliknya:

Di sini adalah perlu untuk menjelaskan bahawa a, semasa ia berada dalam kurungan, mempunyai tanda tambah (mereka hanya tidak menulisnya), dan selepas menanggalkan kurungan, tambah ini berubah menjadi tolak.

Contoh : Permudahkan ungkapan \(2x-(-7+x)\).
Penyelesaian : terdapat dua sebutan di dalam kurungan: \(-7\) dan \(x\), dan terdapat tolak sebelum kurungan. Ini bermakna bahawa tanda-tanda akan berubah - dan tujuh kini akan dengan tambah, dan x dengan tolak. buka kurungan dan membawa seperti syarat .

Contoh. Kembangkan kurungan dan berikan sebutan seperti \(5-(3x+2)+(2+3x)\).
Penyelesaian : \(5-(3x+2)+(2+3x)=5-3x-2+2+3x=5\).

Jika terdapat faktor di hadapan kurungan, maka setiap ahli kurungan didarab dengannya, iaitu:

Contoh. Kembangkan kurungan \(5(3-x)\).
Penyelesaian : Kami mempunyai \(3\) dan \(-x\) dalam kurungan, dan lima di hadapan kurungan. Ini bermakna setiap ahli kurungan didarab dengan \ (5 \) - Saya mengingatkan anda bahawa tanda darab antara nombor dan kurungan dalam matematik tidak ditulis untuk mengurangkan saiz rekod.

Contoh. Kembangkan tanda kurung \(-2(-3x+5)\).
Penyelesaian : Seperti dalam contoh sebelumnya, kurungan \(-3x\) dan \(5\) didarab dengan \(-2\).

Ia kekal untuk mempertimbangkan keadaan terakhir.

Apabila mendarab kurungan dengan kurungan, setiap sebutan kurungan pertama didarabkan dengan setiap sebutan kedua:

Contoh. Kembangkan kurungan \((2-x)(3x-1)\).
Penyelesaian : Kami mempunyai produk kurungan dan ia boleh dibuka serta-merta menggunakan formula di atas. Tetapi untuk tidak keliru, mari lakukan semuanya langkah demi langkah.
Langkah 1. Kami mengeluarkan kurungan pertama - setiap ahlinya didarab dengan kurungan kedua:

Langkah 2. Kembangkan produk pendakap mengikut faktor seperti yang diterangkan di atas:
- yang pertama dahulu...

Langkah 3. Sekarang kita darab dan membawa istilah seperti:

Ia tidak perlu untuk melukis semua transformasi secara terperinci, anda boleh segera membiak. Tetapi jika anda baru belajar membuka kurungan - tulis secara terperinci, peluang untuk membuat kesilapan akan berkurangan.

Nota kepada keseluruhan bahagian. Sebenarnya, anda tidak perlu mengingati keempat-empat peraturan, anda hanya perlu mengingati satu, yang ini: \(c(a-b)=ca-cb\) . kenapa? Kerana jika kita menggantikan satu daripada c, kita mendapat peraturan \((a-b)=a-b\) . Dan jika kita menggantikan tolak satu, kita mendapat peraturan \(-(a-b)=-a+b\) . Nah, jika anda menggantikan kurungan lain dan bukannya c, anda boleh mendapatkan peraturan terakhir.

kurungan dalam kurungan

Kadang-kadang dalam amalan terdapat masalah dengan kurungan bersarang di dalam kurungan lain. Berikut ialah contoh tugas sedemikian: untuk memudahkan ungkapan \(7x+2(5-(3x+y))\).

Untuk berjaya dalam tugasan ini, anda perlu:
- memahami dengan teliti sarang kurungan - yang mana satu;
- buka kurungan secara berurutan, bermula, sebagai contoh, dengan yang paling dalam.

Ia penting apabila membuka salah satu kurungan jangan sentuh seluruh ungkapan, hanya menulis semula seperti sedia ada.
Mari kita ambil tugas di atas sebagai contoh.

Contoh. Buka kurungan dan berikan istilah seperti \(7x+2(5-(3x+y))\).
Penyelesaian:

Mari kita mulakan tugas dengan membuka kurungan dalam (yang di dalam). Membukanya, kami hanya berurusan dengan fakta bahawa ia berkaitan secara langsung dengannya - ini adalah kurungan itu sendiri dan tolak di hadapannya (diserlahkan dalam warna hijau). Semua yang lain (tidak dipilih) ditulis semula seperti sedia ada.

Menyelesaikan masalah dalam matematik dalam talian

Kalkulator dalam talian.
Penyederhanaan polinomial.
Pendaraban polinomial.

Dengan program matematik ini, anda boleh memudahkan polinomial.
Semasa program berjalan:
- mendarab polinomial
- menjumlahkan monomials (memberi seperti yang)
- membuka kurungan
- Menaikkan polinomial kepada kuasa

Program penyederhanaan polinomial tidak hanya memberikan jawapan kepada masalah, ia memberikan penyelesaian terperinci dengan penjelasan, i.e. memaparkan proses penyelesaian supaya anda boleh menyemak pengetahuan anda tentang matematik dan/atau algebra.

Program ini boleh berguna untuk pelajar sekolah pendidikan am dalam persediaan untuk ujian dan peperiksaan, semasa menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baru? Atau adakah anda hanya mahu menyiapkan kerja rumah matematik atau algebra anda secepat mungkin? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini, anda boleh menjalankan latihan anda sendiri dan/atau latihan adik-adik lelaki atau perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang tugas yang perlu diselesaikan ditingkatkan.

Kerana Terdapat ramai orang yang ingin menyelesaikan masalah, permintaan anda beratur.
Selepas beberapa saat, penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sebentar.

Sedikit teori.

Hasil darab monomial dan polinomial. Konsep polinomial

Di antara pelbagai ungkapan yang dipertimbangkan dalam algebra, jumlah monomial menduduki tempat yang penting. Berikut adalah contoh ungkapan tersebut:

Jumlah monomial dipanggil polinomial. Istilah dalam polinomial dipanggil ahli polinomial. Mononomial juga dirujuk sebagai polinomial, menganggap monomial sebagai polinomial yang terdiri daripada satu ahli.

Kami mewakili semua istilah sebagai monomial dalam bentuk standard:

Kami memberikan istilah yang sama dalam polinomial yang terhasil:

Hasilnya ialah polinomial, semua ahlinya adalah monomial dalam bentuk piawai, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial sedemikian dipanggil polinomial bentuk piawai.

Per darjah polinomial bentuk piawai mengambil kuasa terbesar ahli-ahlinya. Jadi, binomial mempunyai darjah ketiga, dan trinomial mempunyai darjah kedua.

Biasanya, istilah polinomial bentuk piawai yang mengandungi satu pembolehubah disusun dalam susunan menurun bagi eksponennya. Sebagai contoh:

Jumlah beberapa polinomial boleh ditukar (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai.

Kadangkala ahli polinomial perlu dibahagikan kepada kumpulan, melampirkan setiap kumpulan dalam kurungan. Oleh kerana kurungan adalah bertentangan dengan kurungan, ia mudah untuk dirumuskan peraturan pembukaan kurungan:

Jika tanda + diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di hadapan kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan.

Transformasi (pemudahan) hasil darab monomial dan polinomial

Dengan menggunakan sifat taburan pendaraban, seseorang boleh mengubah (memudahkan) hasil darab monomial dan polinomial kepada polinomial. Sebagai contoh:

Hasil darab monomial dan polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab monomial ini dan setiap sebutan polinomial.

Keputusan ini biasanya dirumuskan sebagai peraturan.

Untuk mendarab monomial dengan polinomial, seseorang mesti mendarab monomial ini dengan setiap sebutan polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan peraturan ini untuk mendarab dengan jumlah.

Hasil darab polinomial. Penjelmaan (pemudahan) hasil darab dua polinomial

Secara amnya, hasil darab dua polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap sebutan satu polinomial dan setiap sebutan yang lain.

Biasanya gunakan peraturan berikut.

Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan yang lain dan menambah hasil darab.

Formula pendaraban yang disingkatkan. Kuasa Dua Jumlah, Perbezaan dan Perbezaan

Beberapa ungkapan dalam penjelmaan algebra perlu ditangani lebih kerap daripada yang lain. Mungkin ungkapan yang paling biasa ialah dan, iaitu, kuasa dua jumlah, kuasa dua perbezaan, dan perbezaan kuasa dua. Anda telah perasan bahawa nama-nama ungkapan ini nampaknya tidak lengkap, jadi, sebagai contoh, - ini, sudah tentu, bukan hanya kuasa dua jumlah, tetapi kuasa dua jumlah a dan b. Walau bagaimanapun, kuasa dua jumlah a dan b tidak begitu biasa, sebagai peraturan, bukannya huruf a dan b, ia mengandungi pelbagai, kadang-kadang agak kompleks ungkapan.

Ungkapan adalah mudah untuk menukar (mempermudahkan) ke dalam polinomial bentuk standard, sebenarnya, anda telah menemui tugas sedemikian apabila mendarab polinomial:

Identiti yang terhasil berguna untuk diingat dan digunakan tanpa pengiraan perantaraan. Rumusan lisan pendek membantu ini.

- kuasa dua hasil tambah adalah sama dengan jumlah kuasa dua dan dua kali ganda hasil darab.

- kuasa dua beza adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua tanpa hasil darab.

- perbezaan segi empat sama adalah sama dengan hasil beza dengan hasil tambah.

Ketiga-tiga identiti ini membolehkan dalam transformasi untuk menggantikan bahagian kiri mereka dengan yang kanan dan sebaliknya - bahagian kanan dengan yang kiri. Perkara yang paling sukar dalam kes ini adalah untuk melihat ungkapan yang sepadan dan memahami apa pembolehubah a dan b digantikan di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan.

Buku (buku teks) Abstrak Peperiksaan Negeri Bersepadu dan ujian OGE dalam talian Permainan, teka-teki Grafik fungsi Kamus ejaan bahasa Rusia Kamus slanga belia Katalog sekolah Rusia Katalog sekolah menengah di Rusia Katalog universiti Rusia pecahan berangka Menyelesaikan masalah untuk peratusan Nombor kompleks: jumlah, beza, hasil darab dan hasil bagi Sistem 2 persamaan linear dengan dua pembolehubah Menyelesaikan persamaan kuadratik Mengisih kuasa dua binomial dan memfaktorkan trinomial kuasa dua Menyelesaikan ketaksamaan Menyelesaikan sistem ketaksamaan Membina graf fungsi kuadratik Membina graf bagi fungsi linear pecahan Menyelesaikan janjang aritmetik dan geometri Menyelesaikan persamaan trigonometri, eksponen, logaritma Mengira had, terbitan, tangen Kamiran, antiterbitan Menyelesaikan segi tiga Mengira tindakan dengan vektor tindakan dengan garisan dan satah Luas bentuk geometri Perimeter bentuk geometri Isipadu jasad geometri Luas permukaan jasad geometri
Pembina situasi lalu lintas
Cuaca - berita - horoskop

www.mathsolution.ru

Pengembangan kurungan

Kami terus belajar asas algebra. Dalam pelajaran ini, kita akan belajar cara membuka kurungan dalam ungkapan. Untuk mengembangkan kurungan bermakna menghilangkan ungkapan kurungan ini.

Untuk membuka kurungan, anda perlu belajar dengan teliti hanya dua peraturan. Dengan latihan biasa, anda boleh membuka kurungan dengan mata tertutup, dan peraturan yang perlu dihafal dengan hati boleh dilupakan dengan selamat.

Peraturan pertama pengembangan kurungan

Pertimbangkan ungkapan berikut:

Nilai ungkapan ini ialah 2 . Mari kita buka kurungan dalam ungkapan ini. Untuk mengembangkan kurungan bermaksud menyingkirkannya tanpa menjejaskan makna ungkapan. Iaitu, selepas menghilangkan kurungan, nilai ungkapan 8+(−9+3) sepatutnya masih sama dengan dua.

Peraturan pengembangan kurungan pertama kelihatan seperti ini:

Apabila membuka kurungan, jika terdapat tambah sebelum kurungan, maka tambah ini ditinggalkan bersama dengan kurungan.

Jadi kita lihat dalam ungkapan itu 8+(−9+3) ada tambah di hadapan kurungan. Tambah ini mesti ditinggalkan bersama-sama dengan kurungan. Dalam erti kata lain, kurungan akan hilang bersama-sama dengan tambah yang berdiri di hadapan mereka. Dan apa yang ada dalam kurungan akan ditulis tidak berubah:

8−9+3 . Ungkapan ini sama dengan 2 , seperti ungkapan dalam kurungan sebelumnya adalah sama dengan 2 .

8+(−9+3) dan 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Contoh 2 Kembangkan kurungan dalam ungkapan 3 + (−1 − 4)

Terdapat tambah di hadapan kurungan, jadi tambah ini ditinggalkan bersama dengan kurungan. Apa yang ada dalam kurungan akan kekal tidak berubah:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Contoh 3 Kembangkan kurungan dalam ungkapan 2 + (−1)

Dalam contoh ini, pengembangan kurungan telah menjadi sejenis operasi songsang menggantikan penolakan dengan penambahan. Apakah maksudnya?

Dalam ungkapan 2−1 penolakan berlaku, tetapi ia boleh digantikan dengan penambahan. Kemudian anda mendapat ungkapan 2+(−1) . Tetapi jika dalam ungkapan 2+(−1) buka kurungan, anda mendapat yang asal 2−1 .

Oleh itu, peraturan pengembangan kurungan pertama boleh digunakan untuk memudahkan ungkapan selepas beberapa transformasi. Iaitu, hapuskan kurungan dan permudahkan.

Sebagai contoh, mari kita permudahkan ungkapan 2a+a−5b+b .

Untuk memudahkan ungkapan ini, kita boleh menambah istilah seperti. Ingat bahawa untuk mengurangkan sebutan serupa, anda perlu menambah pekali sebutan serupa dan darab hasilnya dengan bahagian huruf biasa:

Mendapat ekspresi 3a+(−4b). Dalam ungkapan ini, buka kurungan. Terdapat tambah sebelum kurungan, jadi kami menggunakan peraturan pertama untuk membuka kurungan, iaitu, kami meninggalkan kurungan bersama-sama dengan tambah yang datang sebelum kurungan ini:

Jadi ungkapan 2a+a−5b+b dipermudahkan kepada 3a−4b .

Setelah membuka satu kurungan, yang lain mungkin bertemu di sepanjang jalan. Kami menggunakan peraturan yang sama kepada mereka seperti yang pertama. Sebagai contoh, mari kita kembangkan kurungan dalam ungkapan berikut:

Terdapat dua tempat di mana anda perlu mengembangkan kurungan. Dalam kes ini, peraturan pertama untuk mengembangkan kurungan terpakai, iaitu, meninggalkan kurungan bersama-sama dengan tambah yang terdapat sebelum kurungan ini:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Contoh 3 Kembangkan kurungan dalam ungkapan 6+(−3)+(−2)

Di kedua-dua tempat yang terdapat kurungan, ia didahului dengan tanda tambah. Di sini sekali lagi, peraturan pengembangan kurungan pertama digunakan:

Kadangkala istilah pertama dalam kurungan ditulis tanpa tanda. Sebagai contoh, dalam ungkapan 1+(2+3−4) sebutan pertama dalam kurungan 2 ditulis tanpa tanda. Timbul persoalan, apakah tanda yang akan datang sebelum deuce selepas kurungan dan tanda tambah di hadapan kurungan ditiadakan? Jawapannya mencadangkan sendiri - akan ada tambah di hadapan deuce.

Malah, walaupun dalam kurungan, terdapat tambahan di hadapan deuce, tetapi kita tidak melihatnya kerana ia tidak ditulis. Kami telah mengatakan bahawa notasi penuh nombor positif kelihatan seperti +1, +2, +3. Tetapi tambahnya tidak ditulis secara tradisional, itulah sebabnya kita melihat nombor positif yang biasa kepada kita. 1, 2, 3 .

Oleh itu, untuk membuka kurungan dalam ungkapan 1+(2+3−4) , anda perlu meninggalkan kurungan seperti biasa bersama-sama dengan tambah di hadapan kurungan ini, tetapi tulis istilah pertama yang berada dalam kurungan dengan tanda tambah:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Contoh 4 Kembangkan kurungan dalam ungkapan −5 + (2 − 3)

Terdapat tambah di hadapan kurungan, jadi kami menggunakan peraturan pertama untuk membuka kurungan, iaitu, kami meninggalkan kurungan bersama dengan tambah yang datang sebelum kurungan ini. Tetapi istilah pertama, yang ditulis dalam kurungan dengan tanda tambah:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Contoh 5 Kembangkan kurungan dalam ungkapan (−5)

Terdapat tambah sebelum kurungan, tetapi ia tidak ditulis kerana fakta bahawa tidak ada nombor atau ungkapan lain sebelum itu. Tugas kami adalah untuk mengeluarkan kurungan dengan menggunakan peraturan pertama untuk mengembangkan kurungan, iaitu, menghilangkan kurungan bersama-sama tambah ini (walaupun ia tidak kelihatan)

Contoh 6 Kembangkan kurungan dalam ungkapan 2a + (−6a + b)

Terdapat tambah di hadapan kurungan, jadi tambah ini ditinggalkan bersama dengan kurungan. Apa yang ada dalam kurungan akan ditulis tidak berubah:

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Contoh 7 Kembangkan kurungan dalam ungkapan 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Dalam ungkapan ini, terdapat dua tempat di mana anda perlu membuka kurungan. Dalam kedua-dua bahagian, terdapat tambah di hadapan kurungan, yang bermaksud tambah ini ditinggalkan bersama dengan kurungan. Apa yang ada dalam kurungan akan ditulis tidak berubah:

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Peraturan kedua untuk membuka kurungan

Sekarang mari kita lihat peraturan pengembangan kurungan kedua. Ia digunakan apabila terdapat tolak sebelum tanda kurungan.

Jika terdapat tolak sebelum kurungan, maka tolak ini ditinggalkan bersama kurungan, tetapi istilah yang ada dalam kurungan menukar tandanya kepada sebaliknya.

Sebagai contoh, mari kita kembangkan kurungan dalam ungkapan berikut

Kami melihat bahawa terdapat tolak sebelum kurungan. Oleh itu, anda perlu menggunakan peraturan pengembangan kedua, iaitu, tinggalkan kurungan bersama-sama dengan tolak di hadapan kurungan ini. Dalam kes ini, istilah yang terdapat dalam kurungan akan menukar tandanya kepada sebaliknya:

Kami mendapat ungkapan tanpa kurungan 5+2+3 . Ungkapan ini bersamaan dengan 10, sama seperti ungkapan sebelumnya dengan kurungan adalah sama dengan 10.

Oleh itu, antara ungkapan 5−(−2−3) dan 5+2+3 anda boleh meletakkan tanda yang sama, kerana ia adalah sama dengan nilai yang sama:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Contoh 2 Kembangkan kurungan dalam ungkapan 6 − (−2 − 5)

Terdapat tolak sebelum kurungan, jadi kami menggunakan peraturan kedua untuk membuka kurungan, iaitu, kami meninggalkan kurungan bersama-sama dengan tolak yang datang sebelum kurungan ini. Dalam kes ini, istilah yang berada dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan:

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Contoh 3 Kembangkan kurungan dalam ungkapan 2 − (7 + 3)

Terdapat tolak sebelum kurungan, jadi kami menggunakan peraturan kedua untuk membuka kurungan:

Contoh 4 Kembangkan kurungan dalam ungkapan −(−3 + 4)

Contoh 5 Kembangkan kurungan dalam ungkapan −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Terdapat dua tempat di mana anda perlu mengembangkan kurungan. Dalam kes pertama, anda perlu menggunakan peraturan kedua untuk membuka kurungan, dan apabila giliran datang ke ungkapan +(−9−2) anda perlu menggunakan peraturan pertama:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Contoh 6 Kembangkan kurungan dalam ungkapan −(−a−1)

Contoh 7 Kembangkan kurungan dalam ungkapan −(4a + 3)

Contoh 8 Kembangkan kurungan dalam ungkapan a −(4b + 3) + 15

Contoh 9 Kembangkan kurungan dalam ungkapan 2a + (3b − b) − (3c + 5)

Terdapat dua tempat di mana anda perlu mengembangkan kurungan. Dalam kes pertama, anda perlu menggunakan peraturan pertama untuk mengembangkan kurungan, dan apabila giliran datang ke ungkapan −(3c+5) anda perlu menggunakan peraturan kedua:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Contoh 10 Kembangkan kurungan dalam ungkapan -a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Terdapat tiga tempat di mana anda perlu mengembangkan kurungan. Mula-mula anda perlu menggunakan peraturan kedua untuk mengembangkan kurungan, kemudian yang pertama, dan kemudian sekali lagi yang kedua:

-a - (-4a) + (-6b) - (-8c + 15) = −a + 4a - 6b + 8c - 15

Mekanisme pengembangan kurungan

Peraturan untuk membuka kurungan, yang kini telah kami pertimbangkan, adalah berdasarkan hukum taburan pendaraban:

Sebenarnya kurungan pembukaan panggil prosedur apabila faktor sepunya didarab dengan setiap sebutan dalam kurungan. Hasil daripada pendaraban sedemikian, kurungan hilang. Sebagai contoh, mari kita kembangkan kurungan dalam ungkapan 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Oleh itu, jika anda perlu mendarab nombor dengan ungkapan dalam kurungan (atau mendarab ungkapan dalam kurungan dengan nombor), anda perlu menyebut buka kurungan.

Tetapi bagaimanakah hukum pengagihan pendaraban berkaitan dengan peraturan untuk membuka kurungan yang kita pertimbangkan sebelum ini?

Hakikatnya ialah sebelum mana-mana kurungan terdapat faktor yang sama. Dalam contoh 3×(4+5) faktor biasa ialah 3 . Dan dalam contoh a(b+c) faktor sepunya ialah pembolehubah a.

Jika tiada nombor atau pembolehubah sebelum kurungan, maka faktor sepunya ialah 1 atau −1 , bergantung pada watak yang datang sebelum kurungan. Sekiranya terdapat tambah di hadapan kurungan, maka faktor sepunya ialah 1 . Sekiranya terdapat tolak sebelum kurungan, maka faktor sepunya ialah −1 .

Sebagai contoh, mari kita kembangkan kurungan dalam ungkapan −(3b−1). Terdapat tolak sebelum kurungan, jadi anda perlu menggunakan peraturan kedua untuk membuka kurungan, iaitu, tinggalkan kurungan bersama dengan tolak sebelum kurungan. Dan ungkapan yang terdapat dalam kurungan, tulis dengan tanda yang bertentangan:

Kami mengembangkan kurungan menggunakan peraturan pengembangan kurungan. Tetapi kurungan yang sama ini boleh dibuka menggunakan hukum taburan pendaraban. Untuk melakukan ini, kita mula-mula menulis faktor sepunya 1 di hadapan kurungan, yang tidak ditulis:

Tolak yang digunakan untuk berdiri di hadapan kurungan merujuk kepada unit ini. Kini anda boleh membuka kurungan dengan menggunakan hukum taburan pendaraban. Untuk ini, faktor biasa −1 anda perlu mendarab dengan setiap sebutan dalam kurungan dan menambah hasilnya.

Untuk kemudahan, kami menggantikan perbezaan dalam kurungan dengan jumlah:

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

Seperti kali terakhir, kami mendapat ungkapan itu −3b+1. Semua orang akan bersetuju bahawa kali ini lebih banyak masa dihabiskan untuk menyelesaikan contoh mudah itu. Oleh itu, adalah lebih munasabah untuk menggunakan peraturan siap sedia untuk membuka kurungan, yang kami pertimbangkan dalam pelajaran ini:

Tetapi tidak salah untuk mengetahui cara peraturan ini berfungsi.

Dalam pelajaran ini, kami mempelajari satu lagi transformasi yang serupa. Bersama-sama dengan membuka kurungan, meletakkan umum keluar dari kurungan dan membawa istilah yang sama, adalah mungkin untuk mengembangkan sedikit julat tugas yang perlu diselesaikan. Sebagai contoh:

Di sini anda perlu melakukan dua tindakan - mula-mula buka kurungan, dan kemudian bawa istilah serupa. Jadi, mengikut urutan:

1) Kembangkan kurungan:

2) Kami memberikan istilah seperti:

Dalam ungkapan yang terhasil −10b+(−1) anda boleh membuka kurungan:

Contoh 2 Buka kurungan dan tambah istilah seperti dalam ungkapan berikut:

1) Kembangkan kurungan:

2) Kami membentangkan istilah yang serupa. Kali ini, untuk menjimatkan masa dan ruang, kami tidak akan menulis bagaimana pekali didarab dengan bahagian huruf biasa

Contoh 3 Permudahkan Ungkapan 8m+3m dan cari nilainya di m=−4

1) Kita mudahkan ungkapan dahulu. Untuk memudahkan ungkapan 8m+3m, anda boleh mengambil faktor sepunya di dalamnya m untuk kurungan:

2) Cari nilai ungkapan m(8+3) di m=−4. Untuk ini, dalam ungkapan m(8+3) bukannya pembolehubah m menggantikan nombor −4

m(8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan secara terperinci peraturan asas untuk topik penting dalam kursus matematik sebagai kurungan pembukaan. Anda perlu mengetahui peraturan untuk membuka kurungan untuk menyelesaikan persamaan di mana ia digunakan dengan betul.

Cara membuka kurungan dengan betul semasa menambah

Kembangkan kurungan yang didahului oleh tanda "+".

Ini adalah kes paling mudah, kerana jika terdapat tanda tambahan di hadapan kurungan, apabila kurungan dibuka, tanda di dalamnya tidak berubah. Contoh:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Cara membuka kurungan didahului dengan tanda "-".

Dalam kes ini, anda perlu menulis semula semua istilah tanpa kurungan, tetapi pada masa yang sama menukar semua tanda di dalamnya kepada yang bertentangan. Tanda-tanda berubah hanya untuk istilah daripada kurungan yang didahului oleh tanda "-". Contoh:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Cara membuka kurungan apabila mendarab

Tanda kurung didahului dengan pengganda

Dalam kes ini, anda perlu mendarab setiap sebutan dengan faktor dan membuka kurungan tanpa mengubah tanda. Jika pengganda mempunyai tanda "-", maka apabila mendarab, tanda-tanda istilah diterbalikkan. Contoh:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Cara membuka dua kurungan dengan tanda darab di antaranya

Dalam kes ini, anda perlu mendarab setiap sebutan daripada kurungan pertama dengan setiap sebutan daripada kurungan kedua dan kemudian tambahkan hasilnya. Contoh:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Bagaimana untuk membuka kurungan dalam segi empat sama

Jika jumlah atau perbezaan dua sebutan adalah kuasa dua, kurungan hendaklah dibesarkan mengikut formula berikut:

(x + y)^2 = x^2 + 2*x*y + y^2.

Dalam kes tolak di dalam kurungan, formula tidak berubah. Contoh:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Bagaimana untuk membuka kurungan dalam darjah yang berbeza

Jika jumlah atau perbezaan istilah dinaikkan, sebagai contoh, kepada kuasa ke-3 atau ke-4, maka anda hanya perlu memecahkan tahap kurungan menjadi "petak". Kuasa faktor yang sama ditambah, dan apabila membahagi, darjah pembahagi ditolak daripada darjah dividen. Contoh:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

Bagaimana untuk membuka 3 kurungan

Terdapat persamaan di mana 3 kurungan didarab sekaligus. Dalam kes ini, anda mesti terlebih dahulu mendarab sebutan dua kurungan pertama di antara mereka sendiri, dan kemudian mendarabkan jumlah pendaraban ini dengan sebutan kurungan ketiga. Contoh:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Peraturan pembukaan kurungan ini digunakan sama rata untuk kedua-dua persamaan linear dan trigonometri.

Di antara pelbagai ungkapan yang dipertimbangkan dalam algebra, jumlah monomial menduduki tempat yang penting. Berikut adalah contoh ungkapan tersebut:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8 \)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)

Jumlah monomial dipanggil polinomial. Istilah dalam polinomial dipanggil ahli polinomial. Mononomial juga dirujuk sebagai polinomial, menganggap monomial sebagai polinomial yang terdiri daripada satu ahli.

Contohnya, polinomial
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
boleh dipermudahkan.

Kami mewakili semua istilah sebagai monomial dalam bentuk standard:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Kami memberikan istilah yang sama dalam polinomial yang terhasil:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Hasilnya ialah polinomial, semua ahlinya adalah monomial dalam bentuk piawai, dan di antara mereka tidak ada yang serupa. Polinomial sedemikian dipanggil polinomial bentuk piawai.

Per darjah polinomial bentuk piawai mengambil kuasa terbesar ahli-ahlinya. Jadi, binomial \(12a^2b - 7b \) mempunyai darjah ketiga, dan trinomial \(2b^2 -7b + 6 \) mempunyai darjah kedua.

Biasanya, istilah polinomial bentuk piawai yang mengandungi satu pembolehubah disusun dalam susunan menurun bagi eksponennya. Sebagai contoh:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)

Jumlah beberapa polinomial boleh ditukar (dipermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai.

Kadangkala ahli polinomial perlu dibahagikan kepada kumpulan, melampirkan setiap kumpulan dalam kurungan. Oleh kerana kurungan adalah bertentangan dengan kurungan, ia mudah untuk dirumuskan peraturan pembukaan kurungan:

Jika tanda + diletakkan sebelum kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang sama.

Jika tanda "-" diletakkan di hadapan kurungan, maka istilah yang disertakan dalam kurungan ditulis dengan tanda yang bertentangan.

Transformasi (pemudahan) hasil darab monomial dan polinomial

Dengan menggunakan sifat taburan pendaraban, seseorang boleh mengubah (memudahkan) hasil darab monomial dan polinomial kepada polinomial. Sebagai contoh:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Hasil darab monomial dan polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab monomial ini dan setiap sebutan polinomial.

Keputusan ini biasanya dirumuskan sebagai peraturan.

Untuk mendarab monomial dengan polinomial, seseorang mesti mendarab monomial ini dengan setiap sebutan polinomial.

Kami telah berulang kali menggunakan peraturan ini untuk mendarab dengan jumlah.

Hasil darab polinomial. Penjelmaan (pemudahan) hasil darab dua polinomial

Secara amnya, hasil darab dua polinomial adalah sama dengan jumlah hasil darab setiap sebutan satu polinomial dan setiap sebutan yang lain.

Biasanya gunakan peraturan berikut.

Untuk mendarab polinomial dengan polinomial, anda perlu mendarab setiap sebutan satu polinomial dengan setiap sebutan yang lain dan menambah hasil darab.

Formula pendaraban yang disingkatkan. Kuasa Dua Jumlah, Perbezaan dan Perbezaan

Beberapa ungkapan dalam penjelmaan algebra perlu ditangani lebih kerap daripada yang lain. Mungkin ungkapan yang paling biasa ialah \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) dan \(a^2 - b^2 \), iaitu kuasa dua hasil tambah, kuasa dua selisih, dan selisih kuasa dua. Anda telah perasan bahawa nama-nama ungkapan ini nampaknya tidak lengkap, jadi, sebagai contoh, \((a + b)^2 \) adalah, sudah tentu, bukan hanya kuasa dua jumlah, tetapi kuasa dua jumlah a dan b. Walau bagaimanapun, kuasa dua jumlah a dan b tidak begitu biasa, sebagai peraturan, bukannya huruf a dan b, ia mengandungi pelbagai, kadang-kadang agak kompleks ungkapan.

Ungkapan \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) adalah mudah untuk menukar (mempermudahkan) kepada polinomial bentuk piawai, sebenarnya, anda telah pun menghadapi tugas sedemikian apabila mendarab polinomial :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Identiti yang terhasil berguna untuk diingat dan digunakan tanpa pengiraan perantaraan. Rumusan lisan pendek membantu ini.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - kuasa dua hasil tambah adalah sama dengan hasil tambah kuasa dua dan hasil darab.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - kuasa dua beza ialah hasil tambah kuasa dua tanpa menggandakan hasil darab.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - perbezaan segi empat sama adalah sama dengan hasil darab beza dan hasil tambah.

Ketiga-tiga identiti ini membolehkan dalam transformasi untuk menggantikan bahagian kiri mereka dengan yang kanan dan sebaliknya - bahagian kanan dengan yang kiri. Perkara yang paling sukar dalam kes ini adalah untuk melihat ungkapan yang sepadan dan memahami apa pembolehubah a dan b digantikan di dalamnya. Mari kita lihat beberapa contoh menggunakan formula pendaraban yang disingkatkan.