Bagaimana untuk mengira eksponen negatif. Menaikkan nombor kepada kuasa negatif

Salah satu ciri utama dalam algebra, dan sememangnya dalam semua matematik, adalah ijazah. Sudah tentu, pada abad ke-21, semua pengiraan boleh dilakukan pada kalkulator dalam talian, tetapi lebih baik untuk belajar bagaimana melakukannya sendiri untuk perkembangan otak.

Dalam artikel ini, kita akan melihat yang paling banyak soalan penting berkenaan definisi ini. Iaitu, kita akan memahami apa itu secara umum dan apakah fungsi utamanya, apakah sifat yang wujud dalam matematik.

Mari lihat contoh bagaimana pengiraan, apakah formula asas. Kami akan menganalisis jenis kuantiti utama dan bagaimana ia berbeza daripada fungsi lain.

Kami akan memahami cara menyelesaikan pelbagai masalah menggunakan nilai ini. Kami akan menunjukkan dengan contoh bagaimana untuk meningkatkan kepada tahap sifar, tidak rasional, negatif, dsb.

Kalkulator eksponen dalam talian

Apakah darjah suatu nombor

Apakah yang dimaksudkan dengan ungkapan "menaikkan nombor kepada kuasa"?

Darjah n nombor a ialah hasil darab faktor magnitud a n kali berturut-turut.

Secara matematik ia kelihatan seperti ini:

a n = a * a * a * …a n .

Sebagai contoh:

2 3 = 2 dalam langkah ketiga. = 2 * 2 * 2 = 8;
4 2 = 4 dalam langkah. dua = 4 * 4 = 16;
5 4 = 5 dalam langkah. empat = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
10 5 \u003d 10 dalam 5 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
10 4 \u003d 10 dalam 4 langkah. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Di bawah ialah jadual segi empat sama dan kubus dari 1 hingga 10.

Jadual darjah dari 1 hingga 10

Di bawah ialah keputusan menaikkan nombor semula jadi kepada kuasa positif - "dari 1 hingga 100".

Ch-lo	darjah 2	darjah 3
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Sifat ijazah

Apa yang tipikal untuk sedemikian fungsi matematik? Mari lihat sifat asas.

Para saintis telah menetapkan perkara berikut tanda ciri semua darjah:

a n * a m = (a) (n+m) ;
a n: a m = (a) (n-m);
(a b) m =(a) (b*m) .

Mari kita semak dengan contoh:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Sebaliknya 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Begitu juga: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Jika tidak 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Bagaimana jika ia berbeza? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Seperti yang anda lihat, peraturan berfungsi.

Tetapi bagaimana untuk menjadi dengan penambahan dan penolakan? Semuanya mudah. Eksponen pertama dilakukan, dan hanya kemudian penambahan dan penolakan.

Mari lihat contoh:

3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Tetapi dalam kes ini, anda mesti terlebih dahulu mengira penambahan, kerana terdapat tindakan dalam kurungan: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

Bagaimana untuk menghasilkan pengkomputeran dalam lebih kes yang sukar ? Perintahnya adalah sama:

jika terdapat kurungan, anda perlu bermula dengannya;
kemudian eksponen;
kemudian lakukan operasi darab, bahagi;
selepas tambah, tolak.

Terdapat sifat khusus yang bukan ciri semua darjah:

Punca darjah ke-n dari nombor a hingga darjah m akan ditulis sebagai: a m / n .
Apabila menaikkan pecahan kepada kuasa: kedua-dua pengangka dan penyebutnya tertakluk kepada prosedur ini.
Apabila membina karya nombor yang berbeza kepada kuasa, ungkapan akan sepadan dengan hasil darab nombor ini dengan kuasa yang diberikan. Iaitu: (a * b) n = a n * b n .
Apabila menaikkan nombor kepada kuasa negatif, anda perlu membahagikan 1 dengan nombor dalam langkah yang sama, tetapi dengan tanda "+".
Jika penyebut pecahan berada dalam kuasa negatif, maka ungkapan ini akan sama dengan hasil darab pengangka dan penyebut dalam kuasa positif.
Sebarang nombor dengan kuasa 0 = 1, dan ke langkah. 1 = kepada dirinya sendiri.

Peraturan ini penting dalam kes individu, kami akan mempertimbangkannya dengan lebih terperinci di bawah.

Ijazah dengan eksponen negatif

Apa yang perlu dilakukan dengan tahap negatif, iaitu, apabila penunjuk negatif?

Berdasarkan sifat 4 dan 5(lihat titik di atas) Kesudahannya:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Dan begitu juga sebaliknya:

1 / A (- n) \u003d A n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Bagaimana jika ia adalah pecahan?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Ijazah dengan penunjuk semula jadi

Ia difahami sebagai darjah dengan eksponen sama dengan integer.

Perkara yang perlu diingat:

A 0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3.15 0 = 1; (-4) 0 = 1…dsb.

A 1 = A, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…dsb.

Juga, jika (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2…maka hasilnya akan mempunyai tanda “+”. Jika nombor negatif dinaikkan kepada tidak walaupun ijazah, kemudian sebaliknya.

Sifat am, dan semua ciri khusus yang diterangkan di atas, juga merupakan ciri bagi mereka.

Ijazah pecahan

Pandangan ini boleh ditulis sebagai skema: A m / n. Ia dibaca sebagai: punca darjah ke-n bagi nombor A kepada kuasa m.

Dengan penunjuk pecahan, anda boleh melakukan apa sahaja: mengurangkan, mengurai menjadi bahagian, meningkatkan ke tahap yang lain, dsb.

Darjah dengan eksponen tidak rasional

Biarkan α ialah nombor tak rasional dan А ˃ 0.

Untuk memahami intipati ijazah dengan penunjuk sedemikian, Mari lihat pelbagai kes yang mungkin:

A \u003d 1. Hasilnya akan sama dengan 1. Oleh kerana terdapat aksiom - 1 sama dengan satu dalam semua kuasa;

A r 1 ˂ A α ˂ A r 2 , r 1 ˂ r 2 – nombor rasional;

0˂А˂1.

Dalam kes ini, sebaliknya: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1 di bawah keadaan yang sama seperti dalam perenggan kedua.

Contohnya, eksponen ialah nombor π. Ia adalah rasional.

r 1 - dalam kes ini ia sama dengan 3;

r 2 - akan sama dengan 4.

Kemudian, untuk A = 1, 1 π = 1.

A = 2, maka 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, kemudian (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Darjah sedemikian dicirikan oleh semua operasi matematik dan sifat khusus yang diterangkan di atas.

Kesimpulan

Mari kita ringkaskan - untuk apa nilai ini, apakah kelebihan fungsi sedemikian? Sudah tentu, pertama sekali, mereka memudahkan kehidupan ahli matematik dan pengaturcara apabila menyelesaikan contoh, kerana mereka membenarkan meminimumkan pengiraan, mengurangkan algoritma, mensistemkan data, dan banyak lagi.

Di mana lagi ilmu ini boleh berguna? Dalam mana-mana kepakaran kerja: perubatan, farmakologi, pergigian, pembinaan, teknologi, kejuruteraan, reka bentuk, dsb.

Dalam rangka bahan ini, kami akan menganalisis apa itu kuasa nombor. Sebagai tambahan kepada definisi asas, kami akan merumuskan apakah darjah dengan eksponen semula jadi, integer, rasional dan tidak rasional. Seperti biasa, semua konsep akan diilustrasikan dengan contoh tugasan.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Mula-mula kita rumuskan definisi asas ijazah dengan penunjuk semula jadi. Untuk melakukan ini, kita perlu mengingati peraturan asas pendaraban. Mari kita jelaskan terlebih dahulu bahawa sebagai asas yang akan kita ambil buat masa ini nombor sebenar(dilambangkan dengan huruf a), dan sebagai penunjuk - semula jadi (dilambangkan dengan huruf n).

Definisi 1

Kuasa a dengan eksponen semula jadi n ialah hasil darab nombor ke-n faktor, setiap satunya adalah sama dengan nombor a. Ijazah ditulis seperti ini: a n, dan dalam bentuk formula, komposisinya boleh diwakili seperti berikut:

Sebagai contoh, jika eksponen ialah 1 dan asas ialah a, maka kuasa pertama a ditulis sebagai a 1. Memandangkan a ialah nilai faktor dan 1 ialah bilangan faktor, kita boleh membuat kesimpulan bahawa a 1 = a.

Secara umum, kita boleh mengatakan bahawa ijazah adalah notasi yang mudah sebilangan besar pengganda yang sama. Jadi, rekod borang 8 8 8 8 boleh dikurangkan kepada 8 4 . Dengan cara yang sama, kerja membantu kita mengelak daripada menulis sebilangan besar sebutan (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; kami telah menganalisis ini dalam artikel yang dikhaskan untuk pendaraban nombor asli.

Bagaimana cara membaca rekod ijazah dengan betul? Pilihan yang diterima umum ialah "a kepada kuasa n". Atau anda boleh menyebut "kuasa ke-n" atau "kuasa ke-n". Jika, katakan, dalam contoh ada entri 8 12 , kita boleh membaca "8 kepada kuasa ke-12", "8 kepada kuasa 12" atau "kuasa ke-12 daripada 8".

Darjah kedua dan ketiga nombor mempunyai nama mereka sendiri yang mantap: segi empat sama dan kubus. Jika kita melihat kuasa kedua, sebagai contoh, nombor 7 (7 2), maka kita boleh mengatakan "7 kuasa dua" atau "persegi bagi nombor 7". Begitu juga, ijazah ketiga dibaca seperti ini: 5 3 ialah "kubus nombor 5" atau "5 kubus". Walau bagaimanapun, ia juga mungkin untuk menggunakan kata-kata standard "dalam darjah kedua / ketiga", ini tidak akan menjadi kesilapan.

Contoh 1

Mari kita lihat contoh ijazah dengan penunjuk semula jadi: untuk 5 7 lima akan menjadi asas, dan tujuh akan menjadi penunjuk.

Pangkalan tidak perlu menjadi integer: untuk ijazah (4 , 32) 9 asasnya ialah pecahan 4, 32, dan eksponennya ialah sembilan. Beri perhatian kepada kurungan: notasi sedemikian dibuat untuk semua darjah, asasnya berbeza daripada nombor semula jadi.

Contohnya: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Untuk apa kurungan itu? Mereka membantu mengelakkan kesilapan dalam pengiraan. Katakan kita mempunyai dua entri: (− 2) 3 dan − 2 3 . Yang pertama bermakna nombor negatif tolak dua, dinaikkan kepada kuasa dengan eksponen semula jadi tiga; yang kedua ialah nombor yang sepadan dengan makna yang berlawanan ijazah 2 3 .

Kadang-kadang dalam buku anda boleh menemui ejaan yang sedikit berbeza bagi darjah nombor - a^n(di mana a ialah asas dan n ialah eksponen). Jadi 4^9 adalah sama dengan 4 9 . Dalam kes n ialah nombor berbilang digit, ia diambil dalam kurungan. Contohnya, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Tetapi kami akan menggunakan notasi a n sebagai lebih biasa.

Cara mengira nilai darjah dengan eksponen semula jadi adalah mudah untuk meneka dari definisinya: anda hanya perlu mendarabkan bilangan ke-n. Kami menulis lebih lanjut mengenai ini dalam artikel lain.

Konsep ijazah adalah bertentangan dengan yang lain konsep matematik- punca nombor. Jika kita tahu nilai eksponen dan eksponen, kita boleh mengira asasnya. Ijazah mempunyai beberapa sifat khusus yang berguna untuk menyelesaikan masalah yang telah kami analisis dalam bahan yang berasingan.

Eksponen boleh mengandungi bukan sahaja nombor asli, tetapi juga sebarang nilai integer secara umum, termasuk yang negatif dan sifar, kerana ia juga tergolong dalam set integer.

Definisi 2

Darjah nombor dengan eksponen integer positif boleh dipaparkan sebagai formula: .

Selain itu, n ialah sebarang integer positif.

Mari kita berurusan dengan konsep sifar darjah. Untuk melakukan ini, kami menggunakan pendekatan yang mengambil kira harta hasil bagi kuasa dengan alasan yang sama rata. Ia dirumuskan seperti ini:

Definisi 3

Kesaksamaan a m: a n = a m − n akan menjadi benar dalam keadaan berikut: m dan n ialah nombor asli, m< n , a ≠ 0 .

Syarat terakhir adalah penting kerana ia mengelakkan pembahagian dengan sifar. Jika nilai m dan n adalah sama, maka kita akan mendapat hasil berikut: a n: a n = a n − n = a 0

Tetapi pada masa yang sama a n: a n = 1 - hasil bagi nombor yang sama a n dan a. Ternyata darjah sifar mana-mana nombor bukan sifar adalah sama dengan satu.

Walau bagaimanapun, bukti sedemikian tidak sesuai untuk sifar kepada sifar kuasa. Untuk melakukan ini, kita memerlukan satu lagi harta kuasa - harta produk kuasa dengan asas yang sama. Ia kelihatan seperti ini: a m a n = a m + n .

Jika n ialah 0, maka a m a 0 = a m(persamaan ini juga membuktikan kepada kita bahawa a 0 = 1). Tetapi jika dan juga sama dengan sifar, kesamarataan kita wujud 0 m 0 0 = 0 m, Ia akan benar untuk sebarang nilai semula jadi n, dan tidak kira apa sebenarnya nilai darjah itu 0 0 , iaitu, ia boleh sama dengan sebarang nombor, dan ini tidak akan menjejaskan kesahihan kesaksamaan. Oleh itu, rekod borang 0 0 tidak mempunyai makna tersendiri, dan kami tidak akan mengaitkannya dengannya.

Sekiranya dikehendaki, mudah untuk menyemaknya a 0 = 1 bertumpu dengan harta darjah (a m) n = a m n dengan syarat asas darjah tidak sama dengan sifar. Oleh itu, darjah sebarang nombor bukan sifar dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu.

Contoh 2

Mari kita ambil contoh dengan nombor tertentu: Jadi, 5 0 - unit, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 , dan nilainya 0 0 tidak ditentukan.

Selepas darjah sifar, kita tinggal untuk memikirkan apa itu darjah negatif. Untuk melakukan ini, kita memerlukan harta yang sama hasil darab kuasa dengan asas yang sama, yang telah kita gunakan di atas: a m · a n = a m + n.

Kami memperkenalkan keadaan: m = − n , maka a tidak boleh sama dengan sifar. Ia mengikuti itu a − n a n = a − n + n = a 0 = 1. Ternyata a n dan a-n kita mempunyai nombor yang saling bersaling.

Akibatnya, a kepada kuasa integer negatif hanyalah pecahan 1 a n .

Rumusan ini mengesahkan bahawa untuk ijazah dengan integer penunjuk negatif semua sifat yang sama yang dimiliki oleh darjah dengan eksponen semula jadi (dengan syarat asasnya tidak sama dengan sifar) adalah sah.

Contoh 3

Kuasa a dengan integer negatif n boleh diwakili sebagai pecahan 1 a n . Oleh itu, a - n = 1 a n di bawah keadaan a ≠ 0 dan n ialah sebarang nombor asli.

Mari kita gambarkan idea kita dengan contoh khusus:

Contoh 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Di bahagian terakhir perenggan, kami akan cuba menggambarkan semua yang telah dikatakan dengan jelas dalam satu formula:

Definisi 4

Kuasa a dengan eksponen asli z ialah: a z = a z , e c dan z ialah integer positif 1 , z = 0 dan a ≠ 0 , (jika z = 0 dan a = 0 kita dapat 0 0 , nilai-nilai ungkapan 0 0 tidak ditentukan) 1 a z , jika z ialah integer negatif dan a ≠ 0 ( jika z ialah integer negatif dan a = 0 kita dapat 0 z , ia adalah a n d e n t i o n )

Apakah darjah dengan eksponen rasional

Kami telah menganalisis kes apabila eksponen ialah integer. Walau bagaimanapun, anda juga boleh menaikkan nombor kepada kuasa apabila eksponennya ialah nombor pecahan. Ini dipanggil ijazah penunjuk rasional. Dalam subseksyen ini kita akan membuktikan bahawa ia mempunyai sifat yang sama dengan kuasa-kuasa lain.

Apakah nombor rasional? Set mereka termasuk kedua-dua integer dan nombor pecahan, manakala nombor pecahan boleh diwakili sebagai pecahan biasa (kedua-dua positif dan negatif). Kami merumuskan takrif darjah nombor a dengan eksponen pecahan m / n, di mana n ialah nombor asli, dan m ialah integer.

Kami mempunyai beberapa darjah dengan eksponen pecahan a m n . Untuk membolehkan harta kuasa dipegang dalam satu darjah, kesamaan a m n n = a m n · n = a m mestilah benar.

Memandangkan takrifan punca ke-n dan a m n n = a m , kita boleh menerima syarat a m n = a m n jika a m n masuk akal untuk nilai yang diberikan m , n dan a .

Sifat di atas bagi darjah dengan eksponen integer adalah benar di bawah keadaan a m n = a m n .

Kesimpulan utama dari penaakulan kami adalah seperti berikut: darjah beberapa nombor a dengan eksponen pecahan m / n ialah punca darjah ke-n dari nombor a kepada kuasa m. Ini benar jika, untuk nilai tertentu m, n, dan a, ungkapan a m n masuk akal.

1. Kita boleh mengehadkan nilai asas darjah: ambil a, yang untuk nilai positif m akan lebih besar daripada atau sama dengan 0, dan untuk nilai negatif ia akan menjadi kurang (kerana untuk m ≤ 0 kita dapat 0 m, tetapi ijazah ini tidak ditakrifkan). Dalam kes ini, takrifan darjah dengan eksponen pecahan akan kelihatan seperti ini:

Eksponen pecahan m/n untuk beberapa nombor positif a ialah punca ke-n bagi suatu yang dinaikkan kepada kuasa m. Dalam bentuk formula, ini boleh diwakili seperti berikut:

Untuk ijazah dengan asas sifar, peruntukan ini juga sesuai, tetapi hanya jika eksponennya ialah nombor positif.

Kuasa dengan asas sifar dan eksponen pecahan positif m/n boleh dinyatakan sebagai

0 m n = 0 m n = 0 di bawah keadaan integer positif m dan n asli .

Dengan nisbah negatif m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Mari kita perhatikan satu perkara. Oleh kerana kami telah memperkenalkan syarat bahawa a lebih besar daripada atau sama dengan sifar, kami telah membuang beberapa kes.

Ungkapan a m n kadangkala masih masuk akal untuk beberapa nilai negatif a dan beberapa nilai negatif m . Jadi, entri adalah betul (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 , di mana asasnya adalah negatif.

2. Pendekatan kedua ialah mempertimbangkan secara berasingan punca a m n dengan eksponen genap dan ganjil. Kemudian kita perlu memperkenalkan satu lagi syarat: darjah a, dalam eksponen yang terdapat pecahan biasa boleh dikurangkan, dianggap sebagai darjah a, dalam eksponen yang terdapat pecahan tak dapat dikurangkan sepadan. Kemudian kami akan menerangkan mengapa kami memerlukan syarat ini dan mengapa ia sangat penting. Oleh itu, jika kita mempunyai rekod a m · k n · k , maka kita boleh mengurangkannya kepada a m n dan memudahkan pengiraan.

Jika n ialah nombor ganjil dan m adalah positif dan a ialah sebarang nombor bukan negatif, maka a m n masuk akal. Syarat untuk a bukan negatif adalah perlu, kerana punca darjah genap tidak diekstrak daripada nombor negatif. Jika nilai m adalah positif, maka a boleh menjadi negatif dan sifar, kerana Punca ganjil boleh diambil daripada sebarang nombor nyata.

Mari gabungkan semua data di atas definisi dalam satu entri:

Di sini m/n bermaksud pecahan tidak boleh dikurangkan, m ialah sebarang integer, dan n ialah sebarang nombor asli.

Definisi 5

Bagi mana-mana pecahan terkurang biasa m · k n · k, darjah boleh digantikan dengan a m n .

Kuasa a dengan eksponen pecahan tidak boleh dikurangkan m / n - boleh dinyatakan sebagai m n dalam kes-kes berikut:- untuk sebarang real a , integer nilai positif m dan integer positif ganjil n . Contoh: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Untuk mana-mana bukan sifar nyata a , nilai integer negatif m dan nilai ganjil n , contohnya, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Untuk mana-mana bukan negatif a , nilai integer positif bagi m dan genap n , contohnya, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18 .

Untuk sebarang positif a , integer negatif m dan genap n , contohnya, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Dalam kes nilai lain, darjah dengan eksponen pecahan tidak ditentukan. Contoh kuasa tersebut: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Sekarang mari kita terangkan kepentingan keadaan yang dinyatakan di atas: mengapa menggantikan pecahan dengan eksponen boleh dikurangkan untuk pecahan dengan yang tidak boleh dikurangkan. Jika kita tidak melakukan ini, maka situasi seperti itu akan berlaku, katakan, 6/10 = 3/5. Kemudian (- 1) 6 10 = - 1 3 5 sepatutnya benar, tetapi - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 , dan (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

Takrifan darjah dengan eksponen pecahan, yang kami berikan dahulu, lebih mudah digunakan dalam amalan daripada yang kedua, jadi kami akan terus menggunakannya.

Definisi 6

Oleh itu, kuasa nombor positif a dengan eksponen pecahan m / n ditakrifkan sebagai 0 m n = 0 m n = 0 . Dalam kes negatif a notasi a m n tidak masuk akal. Darjah Sifar untuk Eksponen Pecahan Positif m/n ditakrifkan sebagai 0 m n = 0 m n = 0 , untuk eksponen pecahan negatif kita tidak mentakrifkan darjah sifar.

Dalam kesimpulan, kami perhatikan bahawa sebarang penunjuk pecahan boleh ditulis seperti dalam bentuk nombor bercampur, dan dalam bentuk pecahan perpuluhan: 5 1 , 7 , 3 2 5 - 2 3 7 .

Apabila mengira, lebih baik menggantikan eksponen pecahan sepunya dan kemudian gunakan takrif darjah dengan eksponen pecahan. Untuk contoh di atas, kita dapat:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

Apakah darjah dengan eksponen tidak rasional dan nyata

Apakah nombor sebenar? Mereka termasuk kedua-dua rasional dan nombor tidak rasional. Oleh itu, untuk memahami apa ijazah dengan penunjuk sebenar, kita perlu mentakrifkan darjah dengan eksponen rasional dan tidak rasional. Mengenai rasional yang telah kami sebutkan di atas. Mari kita berurusan dengan penunjuk tidak rasional langkah demi langkah.

Contoh 5

Katakan kita mempunyai nombor tak rasional a dan urutan penghampiran perpuluhannya a 0 , a 1 , a 2 , . . . . Sebagai contoh, mari kita ambil nilai a = 1 , 67175331 . . . , kemudian

a 0 = 1 , 6 , a 1 = 1 , 67 , a 2 = 1 , 671 , . . . , a 0 = 1 , 67 , a 1 = 1 , 6717 , a 2 = 1 , 671753 , . . .

Kita boleh mengaitkan jujukan penghampiran dengan jujukan kuasa a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . . Jika kita ingat kembali apa yang kita bincangkan sebelum ini tentang menaikkan nombor ke darjah rasional, maka kita boleh mengira nilai kuasa ini sendiri.

Ambil contoh a = 3, maka a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . dan lain-lain.

Urutan darjah boleh dikurangkan kepada nombor, yang akan menjadi nilai darjah dengan asas a dan eksponen tidak rasional a. Hasilnya: ijazah dengan eksponen tidak rasional dalam bentuk 3 1 , 67175331 . . boleh dikurangkan kepada nombor 6, 27.

Definisi 7

Kuasa nombor positif a dengan eksponen tak rasional a ditulis sebagai a . Nilainya ialah had bagi jujukan a a 0 , a a 1 , a a 2 , . . . , di mana a 0 , a 1 , a 2 , . . . ialah penghampiran perpuluhan berturut-turut bagi nombor tak rasional a. Darjah dengan asas sifar juga boleh ditakrifkan untuk eksponen tidak rasional positif, manakala 0 a \u003d 0 Jadi, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Dan untuk yang negatif, ini tidak boleh dilakukan, kerana, sebagai contoh, nilai 0 - 5, 0 - 2 π tidak ditakrifkan. Unit dinaikkan kepada mana-mana darjah tidak rasional, kekal satu, sebagai contoh, dan 1 2 , 1 5 menjadi 2 dan 1 - 5 akan sama dengan 1 .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Formula kuasa digunakan dalam proses pengurangan dan penyederhanaan ungkapan yang kompleks, dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan.

Nombor c ialah n-kuasa ke- bagi suatu nombor a bila:

Operasi dengan ijazah.

1. Mendarab darjah dengan asas yang sama, penunjuknya menambah:

a ma n = a m + n .

2. Dalam pembahagian darjah dengan asas yang sama, penunjuk mereka ditolak:

3. Darjah hasil darab 2 atau lebih faktor adalah sama dengan hasil kuasa faktor-faktor ini:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Darjah pecahan adalah sama dengan nisbah darjah dividen dan pembahagi:

(a/b) n = a n / b n .

5. Meningkatkan kuasa kepada kuasa, eksponen didarabkan:

(am) n = a m n .

Setiap formula di atas adalah betul dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Sebagai contoh. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Punca hasil darab beberapa faktor adalah sama dengan hasil darab punca faktor ini:

2. Punca nisbah adalah sama dengan nisbah dividen dan pembahagi punca:

3. Apabila menaikkan akar kepada kuasa, cukup untuk menaikkan nombor akar kepada kuasa ini:

4. Jika kita meningkatkan darjah akar dalam n sekali dan pada masa yang sama naikkan kepada n kuasa ke adalah nombor akar, maka nilai akar tidak akan berubah:

5. Jika kita menurunkan darjah akar dalam n akar pada masa yang sama n darjah ke- dari nombor radikal, maka nilai akar tidak akan berubah:

Ijazah dengan eksponen negatif. Darjah beberapa nombor dengan eksponen bukan positif (integer) ditakrifkan sebagai satu dibahagikan dengan darjah nombor yang sama dengan eksponen sama dengan nilai mutlak penunjuk tidak positif:

Formula a m:a n = a m - n boleh digunakan bukan sahaja untuk m> n, tetapi juga pada m< n.

Sebagai contoh. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Kepada formula a m:a n = a m - n menjadi adil pada m=n, anda memerlukan kehadiran darjah sifar.

Darjah dengan eksponen sifar. Kuasa mana-mana nombor bukan sifar dengan eksponen sifar adalah sama dengan satu.

Sebagai contoh. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Darjah dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan nombor nyata a ke tahap m/n, anda perlu mengekstrak akarnya n darjah ke- m kuasa ke nombor ini a.

Seperti yang anda ketahui, dalam matematik bukan sahaja terdapat nombor positif, tetapi juga nombor negatif. Jika kenalan dengan darjah positif bermula dengan menentukan luas segi empat, maka dengan yang negatif semuanya agak rumit.

Ini harus diketahui:

Menaikkan nombor kepada ijazah semula jadi pendaraban nombor dipanggil (konsep nombor dan angka dalam artikel akan dianggap setara) dengan sendirinya dalam jumlah seperti eksponen (dalam apa yang berikut kita akan gunakan secara selari dan hanya penunjuk perkataan). 6^3 = 6*6*6 = 36*6 =216. AT Pandangan umum ia kelihatan seperti ini: m^n = m*m*m*…*m (n kali).
Perlu diingat bahawa apabila nombor negatif dinaikkan kepada kuasa semula jadi, ia akan menjadi positif jika eksponen adalah genap.
Menaikkan nombor kepada eksponen 0 memberikan satu unit, dengan syarat ia tidak sama dengan sifar. Sifar kepada kuasa sifar dianggap tidak ditentukan. 17^0 = 1.
Mengeluarkan punca darjah tertentu daripada nombor dipanggil mencari nombor yang, apabila dinaikkan kepada penunjuk yang sesuai, akan memberikan nilai yang dikehendaki. Jadi punca kuasa tiga bagi 125 ialah 5 kerana 5^3 = 125.
Jika anda ingin menaikkan nombor kepada pecahan darjah positif, maka adalah perlu untuk menaikkan nombor kepada penyebut dan mengeluarkan punca pengangka daripadanya. 6^5/7 = punca ke-7 daripada 6*6*6*6*6.
Jika anda ingin menaikkan nombor kepada eksponen negatif, maka anda perlu mencari timbal balik yang ini. x^-3 = 1/x^3. 8^-4 = 1/8^4 = 1/8*8*8*8 = 1/4096.

Menaikkan nombor kepada modulo kuasa negatif daripada sifar kepada satu

Pertama, kita mesti ingat apa itu modul. Ini ialah jarak pada garis koordinat daripada nilai yang telah kita pilih ke asal (sifar garis koordinat). Mengikut definisi, ia tidak boleh menjadi negatif.

Nilai lebih besar daripada sifar

Dengan nilai digit dalam julat dari sifar hingga satu, penunjuk negatif memberikan peningkatan dalam digit itu sendiri. Ini berlaku kerana penyebut berkurangan, sambil kekal positif.

Mari lihat contoh:

1/7^-3 = 1/(1/7^3) = 1/(1/343) = 343;
0,2^-5 = 1/0,2^5 = 1/0,2*0,2*0,2*0,2*0,2 = 1/0,00032 = 3125.

Lebih-lebih lagi, semakin besar modul penunjuk, semakin aktif angka itu berkembang. Oleh kerana penyebutnya cenderung kepada sifar, pecahan itu sendiri cenderung kepada tambah infiniti.

Nilai kurang daripada sifar

Sekarang mari kita lihat bagaimana untuk membina kuasa negatif jika bilangannya kurang daripada sifar. Prinsipnya adalah sama seperti di bahagian sebelumnya, tetapi tanda eksponen penting di sini.

Mari kita lihat contoh sekali lagi:

-19 / 21^-4 = 1/(-19/21)^4 = 1/(-19)^4/21^4 = 21^4/(-19)^4 = 21*21*21*21/(-19)*(-19)*(-19)*(-19) = 194481/130321 = 1,4923228;
-29/40^-5 = 1/(-29/40)^5 = 1/(-29)^5/40^5 = 40^5/(-29)^5 = 40*40*40*40*40/(-29)*(-29)*(-29)*(-29)*(-29) = 102400000/(-20511149) = -4,9924.

AT kes ini, kita lihat itu modul terus berkembang, tetapi tanda bergantung pada sama ada eksponen genap atau ganjil.

Perlu diingatkan bahawa jika kita membina unit, ia akan sentiasa kekal dengan sendirinya. Jika anda perlu menaikkan nombor tolak satu, maka bila malah eksponen darjah, ia akan bertukar menjadi satu, dengan yang ganjil ia akan kekal tolak satu.

Menaikkan kepada kuasa integer negatif jika modulus lebih besar daripada satu

Untuk digit yang modulusnya lebih besar daripada satu, mempunyai ciri-ciri tindakan mereka sendiri. Pertama sekali, anda perlu menukar keseluruhan bahagian pecahan kepada pengangka, iaitu, tukar kepada pecahan tak wajar. Jika kita ada perpuluhan, maka ia mesti ditukar kepada normal. Ini dilakukan seperti berikut:

6 integer 7/17 = 109/17;
2,54 = 254/100.

Sekarang pertimbangkan cara untuk menaikkan nombor kepada kuasa negatif di bawah keadaan ini. Sudah dari yang di atas, kita boleh mengandaikan apa yang kita patut jangkakan daripada hasil pengiraan. Oleh kerana pecahan berganda diterbalikkan semasa penyederhanaan, modulus digit akan berkurangan lebih cepat, lebih besar modulus penunjuk.

Pertama, pertimbangkan keadaan di mana nombor yang diberi adalah positif.

Pertama sekali, menjadi jelas bahawa hasil akhirnya akan menjadi Di atas sifar, kerana membahagikan dua positif sentiasa memberikan positif. Sekali lagi, mari kita lihat contoh cara ini dilakukan:

6 integer 1/20 hingga tolak kuasa kelima = 121/20^-5 = 1/(121/20)^5 = 1/121^5/20^5 = 20^5/121^5 = 3200000/25937424601 = 0 .0001234;
2,25^-6 = (225/100)^-6 = 1/(225/100)^6 = 1/225^6/100^6 = 100^6/225^6 = 100*100*100*100*100*100/225*225*225*225*225*225 = 0,007413.

Seperti yang anda lihat, tindakan itu tidak menyebabkan sebarang kesulitan tertentu, dan semua andaian awal kami ternyata benar.

Sekarang kita beralih kepada kes digit negatif.

Sebagai permulaan, kita boleh menganggap bahawa jika penunjuk genap, maka hasilnya akan positif, jika penunjuk ganjil, maka hasilnya akan negatif. Semua pengiraan kami sebelum ini dalam bahagian ini akan dianggap sah sekarang. Mari kita lihat contoh sekali lagi:

-3 integer 1/2 hingga tolak kuasa keenam = (-7/2)^-6 = 1/(-7/2)^6 = 1/(-7)^6/2^6 = 2*2* 2 *2*2*2/(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7)*(-7) = 64/117649 = 0.000544;
-1,25^-5 = (-125/100)^-5 = 1/(-125/100)^5 = 1/(-125)^5/100^5 = 100^5/(-125)^5 = 100*100*100*100*100/(-125)*(-125)*(-125)*(-125)*(-125) = 10000000000/(-30517578125) = -0.32768.

Oleh itu, semua alasan kami ternyata betul.

Menaikkan dalam kes eksponen pecahan negatif

Di sini anda perlu ingat bahawa ereksi sedemikian wujud mengekstrak punca darjah penyebut daripada nombor dalam darjah pengangka. Semua alasan kami sebelum ini tetap benar kali ini juga. Mari jelaskan tindakan kita dengan contoh:

4^-3/2 = 1/4^3/2 = 1/rad(4^3) = 1/rad64 = 1/8.

Dalam kes ini, anda perlu ingat bahawa mengekstrak akar tahap tinggi hanya mungkin dalam bentuk yang dipilih khas dan, kemungkinan besar, untuk menghilangkan tanda radikal (akar kuasa dua, akar padu, dan sebagainya) apabila pengiraan yang tepat anda tidak akan berjaya.

Walau bagaimanapun, setelah mempelajari bab-bab sebelumnya secara terperinci, seseorang tidak seharusnya mengharapkan kesukaran dalam pengiraan sekolah.

Perlu diingatkan bahawa huraian bab ini juga termasuk ereksi dengan eksponen yang sengaja tidak rasional, sebagai contoh, jika penunjuk tolak PI. Anda perlu bertindak mengikut prinsip yang diterangkan di atas. Walau bagaimanapun, pengiraan dalam kes sedemikian menjadi sangat rumit sehingga hanya komputer elektronik yang berkuasa boleh melakukannya.

Kesimpulan

Tindakan yang kami kaji adalah antara yang paling banyak tugas yang paling sukar dalam matematik(terutamanya dalam kes nilai pecahan rasional atau tidak rasional). Walau bagaimanapun, setelah mempelajari arahan ini secara terperinci dan langkah demi langkah, anda boleh belajar cara melakukannya secara automatik sepenuhnya tanpa sebarang masalah.

Tahap pertama

Ijazah dan sifatnya. Panduan yang komprehensif (2019)

Mengapakah ijazah diperlukan? Di manakah anda memerlukan mereka? Mengapa anda perlu meluangkan masa untuk mempelajarinya?

Untuk mempelajari semua tentang ijazah, kegunaannya, cara menggunakan pengetahuan anda Kehidupan seharian baca artikel ini.

Dan, sudah tentu, mengetahui ijazah akan membawa anda lebih dekat kepada seorang yang berjaya melepasi OGE atau Peperiksaan Negeri Bersepadu dan untuk memasuki universiti impian anda.

Jom... (Jom!)

Nota PENTING! Jika bukannya formula yang anda lihat omong kosong, kosongkan cache anda. Untuk melakukan ini, tekan CTRL+F5 (pada Windows) atau Cmd+R (pada Mac).

PERINGKAT PERTAMA

Eksponen adalah sama operasi matematik seperti penambahan, penolakan, pendaraban atau pembahagian.

Sekarang saya akan menerangkan semuanya bahasa manusia sangat contoh mudah. Berhati-hati. Contohnya adalah asas, tetapi menerangkan perkara penting.

Mari kita mulakan dengan penambahan.

Tiada apa yang perlu dijelaskan di sini. Anda sudah tahu segala-galanya: terdapat lapan daripada kami. Setiap satu ada dua botol cola. Berapa banyak cola? Betul - 16 botol.

Sekarang pendaraban.

Contoh yang sama dengan cola boleh ditulis dengan cara yang berbeza: . Ahli matematik adalah orang yang licik dan pemalas. Mereka mula-mula melihat beberapa corak, dan kemudian menghasilkan cara untuk "mengira" mereka dengan lebih cepat. Dalam kes kami, mereka menyedari bahawa setiap lapan orang mempunyai bilangan botol kola yang sama dan menghasilkan teknik yang dipanggil pendaraban. Setuju, ia dianggap lebih mudah dan lebih cepat daripada.

Jadi, untuk mengira lebih cepat, lebih mudah dan tanpa ralat, anda hanya perlu ingat jadual darab. Sudah tentu, anda boleh melakukan segala-galanya dengan lebih perlahan, lebih sukar dan dengan kesilapan! Tetapi…

Berikut ialah jadual pendaraban. ulang.

Dan satu lagi, lebih cantik:

Dan apakah helah pengiraan rumit lain yang dibuat oleh ahli matematik yang malas? Betul - menaikkan nombor kepada kuasa.

Menaikkan nombor kepada kuasa

Sekiranya anda perlu mendarab nombor dengan sendirinya lima kali, maka ahli matematik mengatakan bahawa anda perlu menaikkan nombor ini kepada kuasa kelima. Sebagai contoh, . Ahli matematik ingat bahawa kuasa dua hingga kelima adalah. Dan mereka menyelesaikan masalah sedemikian dalam fikiran mereka - lebih cepat, lebih mudah dan tanpa kesilapan.

Untuk melakukan ini, anda hanya perlu ingat apa yang diserlahkan dalam warna dalam jadual kuasa nombor. Percayalah, ia akan menjadikan hidup anda lebih mudah.

By the way, kenapa gelaran kedua dipanggil segi empat sama nombor, dan yang ketiga kiub? Apakah maksudnya? sangat soalan yang baik. Sekarang anda akan mempunyai kedua-dua segi empat sama dan kiub.

Contoh kehidupan sebenar #1

Mari kita mulakan dengan segi empat sama atau kuasa kedua nombor.

Bayangkan kolam persegi berukuran meter demi meter. Kolam itu terletak di halaman rumah anda. Panas dan saya sangat ingin berenang. Tetapi ... kolam tanpa dasar! Ia adalah perlu untuk menutup bahagian bawah kolam dengan jubin. Berapa banyak jubin yang anda perlukan? Untuk menentukan ini, anda perlu mengetahui kawasan dasar kolam.

Anda hanya boleh mengira dengan menusuk jari anda bahawa bahagian bawah kolam terdiri daripada kiub meter demi meter. Jika jubin anda adalah meter demi meter, anda memerlukan kepingan. Mudah sahaja... Tetapi di manakah anda melihat jubin sedemikian? Jubin akan agak menjadi cm dengan cm. Dan kemudian anda akan diseksa dengan "mengira dengan jari anda". Kemudian anda perlu membiak. Jadi, di satu sisi bahagian bawah kolam, kami akan memuatkan jubin (kepingan) dan di sisi lain juga, jubin. Mendarab dengan, anda mendapat jubin ().

Adakah anda perasan bahawa kami mendarabkan nombor yang sama dengan sendirinya untuk menentukan luas dasar kolam? Apakah maksudnya? Oleh kerana nombor yang sama didarab, kita boleh menggunakan teknik eksponen. (Sudah tentu, apabila anda hanya mempunyai dua nombor, anda masih perlu mendarabkannya atau menaikkannya kepada kuasa. Tetapi jika anda mempunyai banyak nombor, maka menaikkan kepada kuasa adalah lebih mudah dan terdapat juga ralat yang lebih sedikit dalam pengiraan Untuk peperiksaan, ini sangat penting).
Jadi, tiga puluh hingga darjah kedua akan menjadi (). Atau anda boleh mengatakan bahawa tiga puluh kuasa dua akan menjadi. Dalam erti kata lain, kuasa kedua nombor sentiasa boleh diwakili sebagai segi empat sama. Dan sebaliknya, jika anda melihat segi empat sama, ia SENTIASA kuasa kedua bagi beberapa nombor. Segi empat sama ialah imej kuasa kedua bagi suatu nombor.

Contoh kehidupan sebenar #2

Berikut adalah tugas untuk anda, kira berapa banyak petak pada papan catur menggunakan petak nombor itu ... Di satu sisi sel dan di sebelah yang lain juga. Untuk mengira bilangan mereka, anda perlu mendarab lapan dengan lapan, atau ... jika anda perasan bahawa papan catur ialah segi empat sama dengan sisi, maka anda boleh kuasa dua lapan. Dapatkan sel. () Jadi?

Contoh kehidupan sebenar #3

Kini kubus atau kuasa ketiga nombor. Kolam yang sama. Tetapi sekarang anda perlu mengetahui berapa banyak air yang perlu dituangkan ke dalam kolam ini. Anda perlu mengira isipadu. (Jumlah dan cecair, dengan cara ini, diukur dalam meter padu. Tak sangka, kan?) Lukiskan kolam: saiz bawah satu meter dan dalam satu meter dan cuba kira jumlah kubus meter demi meter yang akan memasuki kolam anda.

Hanya tuding jari anda dan mengira! Satu, dua, tiga, empat...dua puluh dua, dua puluh tiga... Berapa banyak yang berlaku? tak sesat ke? Adakah sukar untuk mengira dengan jari anda? Jadi itu! Ambil contoh daripada ahli matematik. Mereka malas, jadi mereka perasan bahawa untuk mengira isipadu kolam, anda perlu mendarabkan panjang, lebar dan ketinggiannya dengan satu sama lain. Dalam kes kami, isipadu kolam akan sama dengan kiub ... Lebih mudah, bukan?

Sekarang bayangkan betapa malas dan licik ahli matematik jika mereka membuatnya terlalu mudah. Mengurangkan segala-galanya kepada satu tindakan. Mereka perasan bahawa panjang, lebar dan tinggi adalah sama dan nombor yang sama didarab dengan sendirinya ... Dan apakah maksudnya? Ini bermakna anda boleh menggunakan ijazah. Jadi, apa yang pernah anda hitung dengan jari, mereka lakukan dalam satu tindakan: tiga dalam kubus adalah sama. Ia ditulis seperti ini:

Kekal sahaja menghafal jadual darjah. Kecuali, sudah tentu, anda malas dan licik seperti ahli matematik. Jika anda suka bekerja keras dan melakukan kesilapan, anda boleh terus mengira dengan jari anda.

Nah, untuk akhirnya meyakinkan anda bahawa ijazah telah dicipta oleh kasut dan orang yang licik untuk menyelesaikan masalah mereka. masalah hidup, dan bukan untuk menimbulkan masalah untuk anda, berikut adalah beberapa lagi contoh kehidupan.

Contoh kehidupan sebenar #4

Anda mempunyai satu juta rubel. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh satu juta lagi untuk setiap juta. Iaitu, setiap juta anda pada awal setiap tahun berganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam beberapa tahun? Jika anda kini duduk dan "mengira dengan jari", maka anda adalah seorang yang sangat rajin dan .. bodoh. Tetapi kemungkinan besar anda akan memberikan jawapan dalam beberapa saat, kerana anda bijak! Jadi, pada tahun pertama - dua kali dua ... pada tahun kedua - apa yang berlaku, dengan dua lagi, pada tahun ketiga ... Berhenti! Anda perasan bahawa nombor itu didarab dengan sendirinya sekali. Jadi dua hingga kuasa kelima adalah sejuta! Sekarang bayangkan anda mempunyai pertandingan dan orang yang mengira lebih cepat akan mendapat berjuta-juta ini ... Adakah patut mengingati darjah nombor, apa pendapat anda?

Contoh kehidupan sebenar #5

Anda mempunyai satu juta. Pada awal setiap tahun, anda memperoleh dua lagi untuk setiap juta. Ia hebat bukan? Setiap juta adalah tiga kali ganda. Berapa banyak wang yang anda akan ada dalam setahun? Jom kira. Tahun pertama - darab dengan, kemudian hasilnya dengan yang lain ... Ia sudah membosankan, kerana anda sudah memahami segala-galanya: tiga didarab dengan sendirinya kali. Jadi kuasa keempat ialah sejuta. Anda hanya perlu ingat bahawa kuasa tiga hingga keempat ialah atau.

Sekarang anda tahu bahawa dengan menaikkan nombor kepada kuasa, anda akan menjadikan hidup anda lebih mudah. Mari kita lihat lebih lanjut tentang perkara yang boleh anda lakukan dengan ijazah dan perkara yang perlu anda ketahui tentangnya.

Terma dan konsep...supaya tidak terkeliru

Jadi, pertama, mari kita tentukan konsep. Apa pendapat kamu, apa itu eksponen? Ia sangat mudah - ini ialah nombor yang "di bahagian atas" kuasa nombor itu. Tidak saintifik, tetapi jelas dan mudah diingat...

Nah, pada masa yang sama, apa asas ijazah? Lebih mudah lagi ialah nombor yang berada di bahagian bawah, di pangkal.

Ini gambar untuk anda pasti.

Nah, secara umum, untuk membuat generalisasi dan mengingati dengan lebih baik ... Ijazah dengan asas "" dan penunjuk "" dibaca sebagai "dalam darjah" dan ditulis seperti berikut:

Kuasa nombor dengan eksponen semula jadi

Anda mungkin sudah meneka: kerana eksponen ialah nombor asli. Ya, tetapi apa nombor asli? peringkat rendah! Nombor asli ialah nombor yang digunakan dalam mengira apabila menyenaraikan item: satu, dua, tiga ... Apabila kita mengira item, kita tidak mengatakan: "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh". Kami tidak menyebut "satu pertiga" atau "sifar koma lima persepuluh" sama ada. Ini bukan nombor semula jadi. Pada pendapat anda, apakah nombor ini?

Nombor seperti "tolak lima", "tolak enam", "tolak tujuh" merujuk kepada nombor bulat. Secara umum, integer merangkumi semua nombor asli, nombor bertentangan dengan nombor asli (iaitu, diambil dengan tanda tolak), dan nombor. Sifar mudah difahami - ini adalah apabila tiada apa-apa. Dan apakah maksud nombor negatif ("tolak")? Tetapi ia dicipta terutamanya untuk menandakan hutang: jika anda mempunyai baki pada telefon anda dalam rubel, ini bermakna anda berhutang dengan rubel pengendali.

Semua pecahan ialah nombor rasional. Bagaimana mereka muncul, adakah anda fikir? Sangat ringkas. Beberapa ribu tahun yang lalu, nenek moyang kita mendapati bahawa mereka tidak mempunyai nombor semula jadi yang mencukupi untuk mengukur panjang, berat, luas, dll. Dan mereka datang dengan nombor rasional… Menarik, bukan?

Terdapat juga nombor tidak rasional. Apakah nombor ini? Ringkasnya, pecahan perpuluhan tak terhingga. Sebagai contoh, jika anda membahagikan lilitan bulatan dengan diameternya, maka anda mendapat nombor tidak rasional.

Ringkasan:

Mari kita tentukan konsep darjah, eksponennya ialah nombor asli (iaitu, integer dan positif).

Sebarang nombor kepada kuasa pertama adalah sama dengan dirinya sendiri:
Untuk kuasa dua nombor adalah untuk mendarabnya dengan sendiri:
Untuk menduakan nombor adalah dengan mendarabnya dengan sendirinya tiga kali:

Definisi. Untuk menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi adalah dengan mendarab nombor itu dengan sendirinya:
.

Sifat ijazah

Dari mana datangnya hartanah ini? Saya akan tunjukkan sekarang.

Mari lihat apa yang ada dan ?

Mengikut definisi:

Berapakah jumlah pengganda yang ada?

Ia sangat mudah: kami menambah faktor kepada faktor, dan hasilnya adalah faktor.

Tetapi mengikut takrifan, ini ialah darjah nombor dengan eksponen, iaitu: , yang diperlukan untuk dibuktikan.

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian:

Contoh: Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian: Adalah penting untuk diperhatikan bahawa dalam peraturan kami semestinya mesti alasan yang sama!
Oleh itu, kami menggabungkan darjah dengan asas, tetapi kekal sebagai faktor yang berasingan:

hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun anda tidak boleh menulis itu.

2. iaitu -kuasa ke- bagi suatu nombor

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Ternyata ungkapan itu didarabkan dengan sendirinya sekali, iaitu, mengikut definisi, ini adalah kuasa ke nombor:

Malah, ini boleh dipanggil "merapatkan penunjuk". Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:

Mari kita ingat semula formula untuk pendaraban singkatan: berapa kali kita mahu menulis?

Tetapi itu tidak benar, sebenarnya.

Ijazah dengan asas negatif

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya menjadi eksponen.

Tetapi apa yang harus dijadikan asas?

Dalam darjah dari penunjuk semula jadi asasnya mungkin sebarang nombor. Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada ia positif, negatif, atau genap.

Mari kita fikirkan apakah tanda ("" atau "") akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? TAPI? ? Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipun, kita masih ingat peraturan mudah dari gred ke-6: "tolak kali tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan, ternyata.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Adakah anda berjaya?

Berikut adalah jawapannya: Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen, dan menggunakan peraturan yang sesuai.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam contoh 5), segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: tidak kira apa asasnya sama - darjahnya adalah sama, yang bermaksud bahawa hasilnya akan sentiasa positif.

Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah!

6 contoh amalan

Analisis penyelesaian 6 contoh

Jika kita tidak memberi perhatian kepada darjah kelapan, apakah yang kita lihat di sini? Jom kita tengok program darjah 7. Jadi, ingat? Ini adalah rumus pendaraban yang disingkatkan, iaitu perbezaan kuasa dua! Kita mendapatkan:

Kami dengan teliti melihat penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Tersalah susunan istilah. Jika mereka ditukar, peraturan itu boleh digunakan.

Tetapi bagaimana untuk melakukannya? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Istilah telah bertukar tempat secara ajaib. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan secara bebas.

Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

keseluruhan kami menamakan nombor asli, bertentangan mereka (iaitu, diambil dengan tanda "") dan nombor.

integer positif, dan ia tidak berbeza dengan semula jadi, maka semuanya kelihatan sama seperti dalam bahagian sebelumnya.

Sekarang mari kita lihat kes baru. Mari kita mulakan dengan penunjuk sama dengan.

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu:

Seperti biasa, kita bertanya kepada diri sendiri: kenapa jadi begini?

Pertimbangkan beberapa kuasa dengan asas. Ambil, sebagai contoh, dan darab dengan:

Jadi, kami mendarabkan nombor dengan, dan mendapat sama seperti -. Apakah nombor yang mesti didarabkan supaya tiada perubahan? Betul, pada. Bermakna.

Kita boleh melakukan perkara yang sama dengan nombor sewenang-wenangnya:

Mari kita ulangi peraturan:

Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu.

Tetapi terdapat pengecualian kepada banyak peraturan. Dan di sini ia juga ada - ini adalah nombor (sebagai asas).

Di satu pihak, ia mesti sama dengan mana-mana darjah - tidak kira berapa banyak anda mendarab sifar dengan sendirinya, anda masih mendapat sifar, ini jelas. Tetapi sebaliknya, seperti mana-mana nombor hingga darjah sifar, ia mestilah sama. Jadi apakah kebenaran ini? Ahli matematik memutuskan untuk tidak terlibat dan enggan menaikkan sifar kepada kuasa sifar. Iaitu, sekarang kita bukan sahaja boleh membahagi dengan sifar, tetapi juga menaikkannya kepada kuasa sifar.

Mari pergi lebih jauh. Selain nombor asli dan nombor, integer termasuk nombor negatif. Untuk memahami apa itu eksponen negatif, mari kita lakukan seperti dalam kali terakhir: darab beberapa nombor normal dengan yang sama dalam darjah negatif:

Dari sini sudah mudah untuk menyatakan yang dikehendaki:

Sekarang kita melanjutkan peraturan yang terhasil ke tahap sewenang-wenangnya:

Jadi, mari kita rumuskan peraturan:

Nombor kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif. Tetapi pada masa yang sama asas tidak boleh nol:(kerana mustahil untuk dibahagi).

Mari kita ringkaskan:

I. Ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes. Jika, maka.

II. Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama dengan satu: .

III. Nombor yang tidak sama dengan sifar kepada kuasa negatif ialah songsangan bagi nombor yang sama kepada kuasa positif: .

Tugas untuk penyelesaian bebas:

Nah, seperti biasa, contoh untuk penyelesaian bebas:

Analisis tugas untuk penyelesaian bebas:

Saya tahu, saya tahu, nombor itu menakutkan, tetapi pada peperiksaan anda perlu bersedia untuk apa sahaja! Selesaikan contoh ini atau analisis penyelesaiannya jika anda tidak dapat menyelesaikannya dan anda akan belajar cara menanganinya dengan mudah dalam peperiksaan!

Mari kita terus mengembangkan julat nombor "sesuai" sebagai eksponen.

Sekarang pertimbangkan nombor rasional. Apakah nombor yang dipanggil rasional?

Jawapan: semua yang boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer, lebih-lebih lagi.

Untuk memahami apa itu "ijazah pecahan" Mari kita pertimbangkan pecahan:

Mari kita tingkatkan kedua-dua belah persamaan kepada kuasa:

Sekarang ingat peraturan "ijazah ke ijazah":

Apakah nombor yang mesti dinaikkan kepada kuasa untuk mendapatkan?

Rumusan ini ialah takrifan punca darjah ke.

Biar saya ingatkan anda: punca kuasa ke bagi nombor () ialah nombor yang, apabila dinaikkan kepada kuasa, adalah sama.

Iaitu, punca darjah ke ialah operasi songsang bagi eksponen: .

Ternyata begitu. Jelas sekali ini kes istimewa boleh dipanjangkan: .

Sekarang tambah pengangka: apakah itu? Jawapannya mudah diperolehi dengan peraturan kuasa-ke-kuasa:

Tetapi bolehkah asasnya menjadi sebarang nombor? Lagipun, akar tidak boleh diekstrak dari semua nombor.

tiada!

Ingat peraturan: sebarang nombor yang dinaikkan kepada kuasa genap ialah nombor positif. Iaitu, mustahil untuk mengekstrak akar darjah genap daripada nombor negatif!

Dan ini bermakna bahawa nombor sedemikian tidak boleh dinaikkan kepada darjah pecahan dengan penyebut genap, iaitu ungkapan tidak masuk akal.

Bagaimana pula dengan ekspresi?

Tetapi di sini masalah timbul.

Nombor itu boleh diwakili sebagai pecahan terkecil yang lain, contohnya, atau.

Dan ternyata ia wujud, tetapi tidak wujud, dan ini hanyalah dua rekod berbeza dengan nombor yang sama.

Atau contoh lain: sekali, kemudian anda boleh menulisnya. Tetapi sebaik sahaja kami menulis penunjuk dengan cara yang berbeza, kami sekali lagi mendapat masalah: (iaitu, kami mendapat hasil yang sama sekali berbeza!).

Untuk mengelakkan paradoks sedemikian, pertimbangkan hanya eksponen asas positif dengan eksponen pecahan.

Jadi kalau:

- nombor asli;
ialah integer;

Contoh:

Kuasa dengan eksponen rasional sangat berguna untuk mengubah ungkapan dengan akar, contohnya:

5 contoh amalan

Analisis 5 contoh untuk latihan

Nah, sekarang - yang paling sukar. Sekarang kita akan menganalisis darjah dengan eksponen yang tidak rasional.

Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti darjah dengan eksponen rasional, kecuali

Sesungguhnya, mengikut takrifan, nombor tak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu, nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan penunjuk semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami membuat "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa.

Sebagai contoh, eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali;

...kuasa sifar- ini adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, ia belum mula didarab, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu hasilnya hanya "nombor kosong" tertentu , iaitu bilangan;

...eksponen integer negatif- seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah berlaku, iaitu, bilangannya tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

By the way, sains sering menggunakan ijazah dengan eksponen kompleks, iaitu, eksponen bukan nombor nyata.

Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

DI MANA KAMI PASTI ANDA AKAN PERGI! (jika anda belajar bagaimana untuk menyelesaikan contoh sedemikian :))

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

Analisis penyelesaian:

1. Mari kita mulakan dengan peraturan biasa untuk menaikkan ijazah ke ijazah:

Sekarang lihat markah. Adakah dia mengingatkan anda tentang apa-apa? Kami ingat formula untuk pendaraban singkatan bagi perbezaan kuasa dua:

Dalam kes ini,

Ternyata:

Jawapan: .

2. Kami memberikan pecahan dalam eksponen bagi k jenis yang sama: Sama ada kedua-dua perpuluhan atau kedua-duanya normal. Kami mendapat, sebagai contoh:

Jawapan: 16

3. Tiada apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

TAHAP MAJU

Definisi ijazah

Ijazah ialah ungkapan bentuk: , di mana:

— asas ijazah;
- eksponen.

Darjah dengan eksponen semula jadi (n = 1, 2, 3,...)

Menaikkan nombor kepada kuasa semula jadi n bermakna mendarabkan nombor itu dengan sendirinya:

Kuasa dengan eksponen integer (0, ±1, ±2,...)

Jika eksponen ialah integer positif nombor:

ereksi kepada kuasa sifar:

Ungkapan itu tidak tentu, kerana, di satu pihak, pada tahap mana pun adalah ini, dan sebaliknya, sebarang nombor hingga darjah ke adalah ini.

Jika eksponen ialah integer negatif nombor:

(kerana mustahil untuk dibahagi).

Sekali lagi tentang nulls: ungkapan tidak ditakrifkan dalam kes itu. Jika, maka.

Contoh:

Ijazah dengan eksponen rasional

- nombor asli;
ialah integer;

Contoh:

Sifat ijazah

Untuk memudahkan menyelesaikan masalah, mari cuba fahami: dari manakah sifat ini berasal? Mari kita buktikan mereka.

Mari lihat: apakah dan?

Mengikut definisi:

Jadi, di sebelah kanan ungkapan ini, produk berikut diperoleh:

Tetapi mengikut definisi, ini ialah kuasa nombor dengan eksponen, iaitu:

Q.E.D.

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : .

Contoh : Permudahkan ungkapan.

Penyelesaian : Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa dalam peraturan kami semestinya mesti mempunyai asas yang sama. Oleh itu, kami menggabungkan darjah dengan asas, tetapi kekal sebagai faktor yang berasingan:

Satu lagi Nota PENTING: peraturan ini ialah - hanya untuk produk kuasa!

Dalam keadaan apa pun saya tidak patut menulis itu.

Sama seperti harta sebelumnya, mari kita beralih kepada definisi ijazah:

Mari kita susun semula seperti ini:

Ternyata ungkapan itu didarab dengan sendirinya sekali, iaitu, mengikut takrifan, ini adalah kuasa ke-- nombor:

Malah, ini boleh dipanggil "merapatkan penunjuk". Tetapi anda tidak boleh melakukan ini secara keseluruhan:!

Mari kita ingat semula formula untuk pendaraban singkatan: berapa kali kita mahu menulis? Tetapi itu tidak benar, sebenarnya.

Kuasa dengan asas negatif.

Setakat ini, kami hanya membincangkan apa yang sepatutnya indeks ijazah. Tetapi apa yang harus dijadikan asas? Dalam darjah dari semula jadi penunjuk asasnya mungkin sebarang nombor .

Sesungguhnya, kita boleh mendarab sebarang nombor dengan satu sama lain, sama ada ia positif, negatif, atau genap. Mari kita fikirkan apakah tanda (" " atau "") akan mempunyai darjah nombor positif dan negatif?

Sebagai contoh, adakah nombor itu positif atau negatif? TAPI? ?

Dengan yang pertama, semuanya jelas: tidak kira berapa banyak nombor positif yang kita darab antara satu sama lain, hasilnya akan positif.

Tetapi yang negatif sedikit lebih menarik. Lagipun, kita masih ingat peraturan mudah dari gred ke-6: "tolak kali tolak memberikan tambah." Iaitu, atau. Tetapi jika kita darab dengan (), kita mendapat -.

Dan seterusnya ad infinitum: dengan setiap pendaraban berikutnya, tanda akan berubah. Ia adalah mungkin untuk merumuskan sedemikian peraturan mudah:

malah ijazah, - nombor positif.
Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
nombor positif kepada sebarang kuasa ialah nombor positif.
Sifar kepada mana-mana kuasa adalah sama dengan sifar.

Tentukan sendiri tanda yang akan ada pada ungkapan berikut:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Adakah anda berjaya? Berikut adalah jawapannya:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Dalam empat contoh pertama, saya harap semuanya jelas? Kami hanya melihat asas dan eksponen, dan menggunakan peraturan yang sesuai.

Dalam contoh 5), segala-galanya juga tidak menakutkan seperti yang kelihatan: tidak kira apa asasnya sama - darjahnya adalah sama, yang bermaksud bahawa hasilnya akan sentiasa positif. Nah, kecuali apabila asasnya adalah sifar. Asasnya tidak sama, bukan? Jelas sekali tidak, sejak (kerana).

Contoh 6) tidak lagi begitu mudah. Di sini anda perlu mengetahui yang mana kurang: atau? Jika anda ingat itu, ia menjadi jelas bahawa, yang bermaksud bahawa asas adalah kurang daripada sifar. Iaitu, kami menggunakan peraturan 2: hasilnya akan negatif.

Dan sekali lagi kita menggunakan definisi ijazah:

Semuanya seperti biasa - kami menulis definisi darjah dan membahagikannya kepada satu sama lain, membahagikannya kepada pasangan dan dapatkan:

Sebelum dibongkar peraturan terakhir Mari kita lihat beberapa contoh.

Kira nilai ungkapan:

Penyelesaian :

Kita mendapatkan:

Kami dengan teliti melihat penyebutnya. Ia kelihatan seperti salah satu faktor pengangka, tetapi apa yang salah? Tersalah susunan istilah. Jika ia diterbalikkan, peraturan 3 boleh digunakan. Tetapi bagaimana untuk melakukannya? Ternyata ia sangat mudah: tahap penyebut sekata membantu kami di sini.

Jika didarabkan, tiada apa yang berubah, bukan? Tetapi sekarang ia kelihatan seperti ini:

Istilah telah bertukar tempat secara ajaib. "Fenomena" ini terpakai pada sebarang ungkapan pada tahap yang sama: kita boleh menukar tanda dalam kurungan secara bebas. Tetapi penting untuk diingat: semua tanda berubah pada masa yang sama! Ia tidak boleh digantikan dengan menukar hanya satu tolak yang tidak menyenangkan kepada kami!

Mari kita kembali kepada contoh:

Dan sekali lagi formula:

Jadi sekarang peraturan terakhir:

Bagaimana kita hendak membuktikannya? Sudah tentu, seperti biasa: mari kita kembangkan konsep ijazah dan mudahkan:

Nah, sekarang mari kita buka kurungan. Berapa banyak huruf yang akan ada? kali dengan pengganda - apakah rupanya? Ini tidak lain hanyalah takrifan operasi pendaraban: jumlah ternyata menjadi pengganda. Iaitu, mengikut takrifan, kuasa nombor dengan eksponen:

Contoh:

Darjah dengan eksponen tidak rasional

Sebagai tambahan kepada maklumat tentang darjah untuk tahap purata, kami akan menganalisis darjah dengan penunjuk yang tidak rasional. Semua peraturan dan sifat darjah di sini adalah sama seperti ijazah dengan eksponen rasional, dengan pengecualian - lagipun, mengikut takrifan, nombor tidak rasional ialah nombor yang tidak boleh diwakili sebagai pecahan, di mana dan adalah integer (iaitu , nombor tak rasional adalah semua nombor nyata kecuali nombor rasional).

Apabila mempelajari ijazah dengan penunjuk semula jadi, integer dan rasional, setiap kali kami membuat "imej", "analogi" atau perihalan tertentu dalam istilah yang lebih biasa. Sebagai contoh, eksponen semula jadi ialah nombor yang didarab dengan sendiri beberapa kali; nombor hingga darjah sifar adalah, seolah-olah, nombor yang didarab dengan dirinya sekali, iaitu, ia belum mula didarab, yang bermaksud bahawa nombor itu sendiri belum muncul lagi - oleh itu, hasilnya hanya "penyediaan nombor" tertentu, iaitu nombor; darjah dengan penunjuk negatif integer - seolah-olah "proses terbalik" tertentu telah berlaku, iaitu, nombor itu tidak didarab dengan sendirinya, tetapi dibahagikan.

Amat sukar untuk membayangkan ijazah dengan eksponen yang tidak rasional (sama seperti sukar untuk membayangkan ruang 4 dimensi). Sebaliknya, ia adalah objek matematik semata-mata yang telah dicipta oleh ahli matematik untuk memperluaskan konsep darjah ke seluruh ruang nombor.

By the way, sains sering menggunakan ijazah dengan eksponen kompleks, iaitu, eksponen bukan nombor nyata. Tetapi di sekolah, kami tidak memikirkan kesukaran seperti itu; anda akan mempunyai peluang untuk memahami konsep baharu ini di institut.

Jadi apa yang kita lakukan jika kita melihat penunjuk tidak rasional darjah? Kami cuba yang terbaik untuk menyingkirkannya! :)

Sebagai contoh:

Tentukan sendiri:

Jawapan:

Ingat rumus perbezaan kuasa dua. Jawapan: .
Kami membawa pecahan kepada bentuk yang sama: sama ada kedua-dua perpuluhan, atau kedua-dua perpuluhan biasa. Kita dapat, contohnya: .
Tiada apa-apa yang istimewa, kami menggunakan sifat biasa darjah:

RINGKASAN BAHAGIAN DAN FORMULA ASAS

Ijazah dipanggil ungkapan bentuk: , di mana:

Darjah dengan eksponen integer

darjah, eksponennya ialah nombor asli (iaitu integer dan positif).

Ijazah dengan eksponen rasional

darjah, penunjuknya ialah nombor negatif dan pecahan.

Darjah dengan eksponen tidak rasional

eksponen yang eksponennya ialah pecahan perpuluhan tak terhingga atau punca.

Sifat ijazah

Ciri-ciri darjah.

Nombor negatif dinaikkan kepada malah ijazah, - nombor positif.
Nombor negatif dinaikkan kepada ganjil ijazah, - nombor negatif.
Nombor positif kepada sebarang kuasa ialah nombor positif.
Sifar adalah sama dengan mana-mana kuasa.
Sebarang nombor kepada kuasa sifar adalah sama.

SEKARANG ANDA ADA PERKATAAN...

Bagaimana anda suka artikel itu? Beritahu saya dalam komen di bawah jika anda suka atau tidak.

Beritahu kami tentang pengalaman anda dengan sifat kuasa.

Mungkin anda mempunyai soalan. Atau cadangan.

Tulis dalam komen.

Dan semoga berjaya dengan peperiksaan anda!