Bagaimana untuk mengira koordinat vektor. Vektor untuk boneka

Akhirnya, saya mendapat topik yang luas dan lama ditunggu-tunggu geometri analisis. Pertama, sedikit tentang bahagian matematik tinggi ini…. Pasti anda kini mengingati kursus geometri sekolah dengan pelbagai teorem, bukti, lukisan, dsb. Perkara yang perlu disembunyikan, subjek yang tidak digemari dan sering dikaburkan untuk sebahagian besar pelajar. Geometri analitik, anehnya, mungkin kelihatan lebih menarik dan boleh diakses. Apakah maksud kata sifat "analitik"? Dua giliran matematik yang dicop serta-merta muncul di fikiran: "kaedah penyelesaian grafik" dan "kaedah penyelesaian analitik". Kaedah grafik, sudah tentu, dikaitkan dengan pembinaan graf, lukisan. Analitikal sama kaedah melibatkan penyelesaian masalah sebahagian besarnya melalui operasi algebra. Dalam hal ini, algoritma untuk menyelesaikan hampir semua masalah geometri analitik adalah mudah dan telus, selalunya cukup untuk menggunakan formula yang diperlukan dengan tepat - dan jawapannya sudah sedia! Tidak, sudah tentu, ia tidak akan dilakukan tanpa lukisan sama sekali, selain itu, untuk pemahaman yang lebih baik tentang bahan, saya akan cuba membawanya melebihi keperluan.

Kursus terbuka pelajaran dalam geometri tidak mendakwa sebagai kesempurnaan teori, ia memberi tumpuan kepada menyelesaikan masalah praktikal. Saya akan masukkan dalam kuliah saya hanya apa, dari sudut pandangan saya, yang penting dari segi praktikal. Jika anda memerlukan rujukan yang lebih lengkap tentang mana-mana subseksyen, saya mengesyorkan literatur yang agak mudah diakses berikut:

1) Perkara yang, bukan jenaka, biasa kepada beberapa generasi: Buku teks sekolah tentang geometri, penulis - L.S. Atanasyan dan Syarikat. Penyangkut bilik persalinan sekolah ini telah pun bertahan 20 (!) keluaran semula, yang sememangnya bukan hadnya.

2) Geometri dalam 2 jilid. Penulis L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ini adalah sastera untuk pendidikan tinggi, anda perlukan jilid pertama. Tugas yang jarang berlaku mungkin terkeluar dari bidang penglihatan saya, dan tutorial akan membantu yang tidak ternilai.

Kedua-dua buku adalah percuma untuk dimuat turun dalam talian. Di samping itu, anda boleh menggunakan arkib saya dengan penyelesaian siap sedia, yang boleh didapati di halaman Muat turun contoh matematik yang lebih tinggi.

Daripada alatan itu, saya sekali lagi menawarkan pembangunan saya sendiri - pakej perisian pada geometri analitik, yang akan memudahkan kehidupan dan menjimatkan banyak masa.

Diandaikan bahawa pembaca sudah biasa dengan konsep dan angka geometri asas: titik, garis, satah, segi tiga, segi empat selari, selari, kubus, dll. Adalah dinasihatkan untuk mengingati beberapa teorem, sekurang-kurangnya teorem Pythagoras, hello pengulang)

Dan sekarang kita akan mempertimbangkan secara berurutan: konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor. Selanjutnya saya mengesyorkan membaca artikel yang paling penting Hasil darab titik bagi vektor, serta Vektor dan hasil campuran vektor. Tugas tempatan tidak akan berlebihan - Pembahagian segmen dalam hal ini. Berdasarkan maklumat di atas, anda boleh persamaan garis lurus dalam satah Dengan contoh penyelesaian yang paling mudah, yang akan membolehkan belajar cara menyelesaikan masalah dalam geometri. Artikel berikut juga berguna: Persamaan satah di angkasa, Persamaan garis lurus dalam ruang, Masalah asas pada talian dan satah , bahagian lain geometri analitik. Sememangnya, tugas standard akan dipertimbangkan sepanjang perjalanan.

Konsep vektor. vektor percuma

Mula-mula, mari kita ulang definisi sekolah bagi vektor. vektor dipanggil diarahkan segmen yang mana permulaan dan penghujungnya ditunjukkan:

Dalam kes ini, permulaan segmen ialah titik , penghujung segmen ialah titik . Vektor itu sendiri dilambangkan dengan . Arah adalah penting, jika anda menyusun semula anak panah ke hujung segmen yang lain, anda mendapat vektor, dan ini sudah pun vektor yang berbeza sama sekali. Adalah mudah untuk mengenal pasti konsep vektor dengan pergerakan badan fizikal: anda mesti mengakui bahawa memasuki pintu institut atau meninggalkan pintu institut adalah perkara yang sama sekali berbeza.

Adalah mudah untuk mempertimbangkan titik individu satah, ruang seperti yang dipanggil vektor sifar. Vektor sedemikian mempunyai hujung dan permulaan yang sama.

!!! Catatan: Di sini dan di bawah, anda boleh menganggap bahawa vektor terletak pada satah yang sama atau anda boleh menganggap bahawa ia terletak di angkasa - intipati bahan yang dibentangkan adalah sah untuk kedua-dua satah dan ruang.

Jawatan: Ramai segera menarik perhatian kepada kayu tanpa anak panah dalam sebutan dan mengatakan bahawa mereka juga meletakkan anak panah di bahagian atas! Betul, anda boleh menulis dengan anak panah: , tetapi boleh diterima dan rekod yang akan saya gunakan nanti. kenapa? Nampaknya, tabiat seperti itu telah berkembang dari pertimbangan praktikal, penembak saya di sekolah dan universiti ternyata terlalu pelbagai dan berbulu. Dalam kesusasteraan pendidikan, kadangkala mereka tidak peduli dengan cuneiform sama sekali, tetapi menyerlahkan huruf dalam huruf tebal: , dengan itu membayangkan bahawa ini adalah vektor.

Itulah gayanya, dan sekarang tentang cara menulis vektor:

1) Vektor boleh ditulis dalam dua huruf Latin besar:
dan sebagainya. Manakala huruf pertama semestinya menandakan titik permulaan vektor, dan huruf kedua menandakan titik akhir vektor.

2) Vektor juga ditulis dalam huruf Latin kecil:
Khususnya, vektor kami boleh direka bentuk semula untuk ringkas dengan huruf Latin kecil .

Panjang atau modul vektor bukan sifar dipanggil panjang segmen. Panjang vektor nol ialah sifar. Secara logiknya.

Panjang vektor dilambangkan dengan tanda modulo: ,

Bagaimana untuk mencari panjang vektor, kita akan belajar (atau ulangi, untuk siapa bagaimana) sedikit kemudian.

Itu adalah maklumat asas tentang vektor, biasa kepada semua pelajar sekolah. Dalam geometri analitik, apa yang dipanggil vektor percuma.

Jika ia agak mudah - vektor boleh dilukis dari mana-mana titik:

Kami biasa memanggil vektor tersebut sama (takrif vektor yang sama akan diberikan di bawah), tetapi dari sudut pandangan matematik semata-mata, ini adalah VEKTOR SAMA atau vektor percuma. Kenapa percuma? Kerana semasa menyelesaikan masalah, anda boleh "melampirkan" satu atau satu lagi vektor "sekolah" ke MANA-MANA ​​titik pesawat atau ruang yang anda perlukan. Ini adalah harta yang sangat keren! Bayangkan segmen yang diarahkan dengan panjang dan arah yang sewenang-wenangnya - ia boleh "diklon" beberapa kali tidak terhingga dan pada mana-mana titik di angkasa, sebenarnya, ia wujud DI MANA-MANA. Pepatah pelajar begini: Setiap pensyarah dalam f ** u dalam vektor. Lagipun, ia bukan sekadar sajak lucu, semuanya hampir betul - segmen terarah boleh dilampirkan di sana juga. Tetapi jangan tergesa-gesa untuk bergembira, pelajar sendiri lebih kerap menderita =)

Jadi, vektor percuma- ini adalah banyak segmen arah yang sama. Takrif sekolah bagi vektor, diberikan pada permulaan perenggan: "Segmen terarah dipanggil vektor ...", membayangkan khusus segmen terarah yang diambil daripada set tertentu, yang dilekatkan pada titik tertentu dalam satah atau ruang.

Perlu diingatkan bahawa dari sudut pandangan fizik, konsep vektor bebas secara amnya tidak betul, dan titik aplikasi penting. Sesungguhnya, pukulan langsung dengan kekuatan yang sama pada hidung atau di dahi sudah cukup untuk membangunkan contoh bodoh saya memerlukan akibat yang berbeza. Walau bagaimanapun, bukan percuma vektor juga terdapat dalam perjalanan vyshmat (jangan pergi ke sana :)).

Tindakan dengan vektor. Kolineariti vektor

Dalam kursus geometri sekolah, beberapa tindakan dan peraturan dengan vektor dipertimbangkan: penambahan mengikut peraturan segi tiga, penambahan mengikut peraturan selari, peraturan perbezaan vektor, pendaraban vektor dengan nombor, hasil darab skalar vektor, dsb. Sebagai benih, kami mengulangi dua peraturan yang sangat relevan untuk menyelesaikan masalah geometri analitik.

Peraturan penambahan vektor mengikut peraturan segi tiga

Pertimbangkan dua vektor bukan sifar arbitrari dan :

Ia diperlukan untuk mencari jumlah vektor ini. Disebabkan fakta bahawa semua vektor dianggap percuma, kami menangguhkan vektor daripada tamat vektor :

Jumlah vektor ialah vektor . Untuk pemahaman yang lebih baik tentang peraturan, adalah dinasihatkan untuk meletakkan makna fizikal ke dalamnya: biarkan beberapa badan membuat laluan di sepanjang vektor , dan kemudian di sepanjang vektor . Kemudian jumlah vektor ialah vektor laluan yang terhasil bermula pada titik berlepas dan berakhir pada titik ketibaan. Peraturan serupa dirumuskan untuk jumlah sebarang bilangan vektor. Seperti yang mereka katakan, badan boleh bergerak secara zigzag, atau mungkin secara autopilot - sepanjang vektor jumlah yang terhasil.

Dengan cara ini, jika vektor ditangguhkan daripada mulakan vector , maka kita mendapat yang setara peraturan selari penambahan vektor.

Pertama, mengenai kolineariti vektor. Kedua-dua vektor itu dipanggil kolinear jika mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari. Secara kasarnya, kita bercakap tentang vektor selari. Tetapi berhubung dengan mereka, kata sifat "kolinear" selalu digunakan.

Bayangkan dua vektor kolinear. Jika anak panah vektor ini diarahkan ke arah yang sama, maka vektor tersebut dipanggil arah bersama. Jika anak panah melihat ke arah yang berbeza, maka vektor akan menjadi berlawanan arah.

Jawatan: kolineariti vektor ditulis dengan ikon selari biasa: , manakala perincian adalah mungkin: (vektor diarahkan bersama) atau (vektor diarahkan secara bertentangan).

kerja bagi vektor bukan sifar dengan nombor ialah vektor yang panjangnya sama dengan , dan vektor dan diarahkan bersama dan bertentangan dengan .

Peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor lebih mudah difahami dengan gambar:

Kami memahami dengan lebih terperinci:

1) Arah. Jika pengganda adalah negatif, maka vektor bertukar arah ke sebaliknya.

2) Panjang. Jika faktor terkandung dalam atau , maka panjang vektor berkurangan. Jadi, panjang vektor adalah dua kali kurang daripada panjang vektor. Jika pengganda modulo lebih besar daripada satu, maka panjang vektor bertambah dalam masa.

3) Sila ambil perhatian bahawa semua vektor adalah kolinear, manakala satu vektor dinyatakan melalui yang lain, sebagai contoh, . Begitu juga sebaliknya: jika satu vektor boleh dinyatakan dalam sebutan yang lain, maka vektor tersebut semestinya kolinear. Dengan cara ini: jika kita mendarab vektor dengan nombor, kita mendapat kolinear(berbanding dengan asal) vektor.

4) Vektor adalah kodirectional. Vektor dan juga kodirectional. Mana-mana vektor kumpulan pertama adalah bertentangan dengan mana-mana vektor kumpulan kedua.

Apakah vektor yang sama?

Dua vektor adalah sama jika ia adalah kodirectional dan mempunyai panjang yang sama. Ambil perhatian bahawa arahan bersama membayangkan bahawa vektor adalah kolinear. Takrifan akan menjadi tidak tepat (berlebihan) jika anda berkata: "Dua vektor adalah sama jika ia adalah kolinear, diarahkan bersama dan mempunyai panjang yang sama."

Dari sudut pandangan konsep vektor bebas, vektor yang sama adalah vektor yang sama, yang telah dibincangkan dalam perenggan sebelumnya.

Koordinat vektor pada satah dan di angkasa

Perkara pertama ialah mempertimbangkan vektor pada satah. Lukiskan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan dan ketepikan daripada asalan bujang vektor dan:

Vektor dan ortogon. Ortogonal = Serenjang. Saya mengesyorkan perlahan-lahan membiasakan diri dengan istilah: bukannya selari dan berserenjang, kami menggunakan perkataan masing-masing kolineariti dan ortogonal.

Jawatan: keortogonan vektor ditulis dengan tanda serenjang biasa, contohnya: .

Vektor yang dipertimbangkan dipanggil vektor koordinat atau orts. Vektor ini terbentuk asas di permukaan. Apakah asasnya, saya fikir, secara intuitif jelas kepada ramai, maklumat yang lebih terperinci boleh didapati dalam artikel Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor.Dalam perkataan mudah, asas dan asal usul koordinat menentukan keseluruhan sistem - ini adalah sejenis asas di mana kehidupan geometri yang penuh dan kaya mendidih.

Kadang-kadang asas yang dibina dipanggil ortonormal asas satah: "ortho" - kerana vektor koordinat adalah ortogon, kata sifat "dinormalkan" bermaksud unit, i.e. panjang vektor asas adalah sama dengan satu.

Jawatan: asasnya biasanya ditulis dalam kurungan, di dalamnya dalam susunan yang ketat vektor asas disenaraikan, contohnya: . vektor koordinat ia adalah dilarang bertukar tempat.

mana-mana vektor pesawat satu-satunya cara dinyatakan sebagai:
, di mana - nombor, yang dipanggil koordinat vektor dalam asas ini. Tetapi ungkapan itu sendiri dipanggil penguraian vektorasas .

Makan malam dihidangkan:

Mari kita mulakan dengan huruf pertama abjad: . Lukisan jelas menunjukkan bahawa apabila mengurai vektor dari segi asas, yang baru dipertimbangkan digunakan:
1) peraturan pendaraban vektor dengan nombor: dan ;
2) penambahan vektor mengikut peraturan segitiga: .

Sekarang secara mental ketepikan vektor dari mana-mana titik lain pada pesawat. Agak jelas bahawa rasuahnya akan "mengikutnya tanpa henti." Inilah dia, kebebasan vektor - vektor "membawa segala-galanya dengan anda." Sifat ini, sudah tentu, adalah benar untuk mana-mana vektor. Sungguh melucukan bahawa vektor asas (percuma) itu sendiri tidak perlu diketepikan daripada asal, satu boleh dilukis, sebagai contoh, di bahagian bawah kiri, dan yang lain di bahagian atas sebelah kanan, dan tiada apa yang akan berubah daripada ini! Benar, anda tidak perlu melakukan ini, kerana guru juga akan menunjukkan keaslian dan menarik anda "lulus" di tempat yang tidak dijangka.

Vektor , menggambarkan dengan tepat peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor, vektor diarahkan bersama dengan vektor asas, vektor diarahkan bertentangan dengan vektor asas. Untuk vektor ini, salah satu koordinat adalah sama dengan sifar, ia boleh ditulis dengan teliti seperti berikut:


Dan vektor asas, dengan cara ini, adalah seperti ini: (sebenarnya, ia dinyatakan melalui diri mereka sendiri).

Dan akhirnya: , . Ngomong-ngomong, apakah penolakan vektor, dan mengapa saya tidak memberitahu anda tentang peraturan penolakan? Di suatu tempat dalam algebra linear, saya tidak ingat di mana, saya perhatikan bahawa penolakan ialah kes penambahan khas. Jadi, pengembangan vektor "de" dan "e" ditulis dengan tenang sebagai jumlah: . Ikuti lukisan untuk melihat sejauh mana penambahan vektor lama yang baik mengikut peraturan segi tiga berfungsi dalam situasi ini.

Dianggap penguraian bentuk kadang-kadang dipanggil penguraian vektor dalam ort sistem(iaitu dalam sistem vektor unit). Tetapi ini bukan satu-satunya cara untuk menulis vektor, pilihan berikut adalah perkara biasa:

Atau dengan tanda yang sama:

Vektor asas itu sendiri ditulis seperti berikut: dan

Iaitu, koordinat vektor ditunjukkan dalam kurungan. Dalam tugas praktikal, ketiga-tiga pilihan rakaman digunakan.

Saya ragu-ragu sama ada untuk bercakap, tetapi saya tetap akan berkata: koordinat vektor tidak boleh disusun semula. Tegas di tempat pertama tuliskan koordinat yang sepadan dengan vektor unit, ketat di tempat kedua tuliskan koordinat yang sepadan dengan vektor unit . Sesungguhnya, dan adalah dua vektor yang berbeza.

Kami mengetahui koordinat di dalam pesawat. Sekarang pertimbangkan vektor dalam ruang tiga dimensi, semuanya hampir sama di sini! Hanya satu lagi koordinat akan ditambah. Sukar untuk melakukan lukisan tiga dimensi, jadi saya akan mengehadkan diri saya kepada satu vektor, yang untuk kesederhanaan saya akan menangguhkan dari asal:

mana-mana vektor ruang 3d satu-satunya cara berkembang secara ortonormal:
, di manakah koordinat bagi vektor (nombor) dalam asas yang diberikan.

Contoh dari gambar: . Mari lihat cara peraturan tindakan vektor berfungsi di sini. Pertama, mendarabkan vektor dengan nombor: (anak panah merah), (anak panah hijau) dan (anak panah magenta). Kedua, berikut ialah contoh menambah beberapa, dalam kes ini tiga, vektor: . Vektor jumlah bermula pada titik permulaan berlepas (permulaan vektor ) dan berakhir pada titik ketibaan akhir (penghujung vektor ).

Semua vektor ruang tiga dimensi, tentu saja, juga bebas, cuba menangguhkan vektor secara mental dari mana-mana titik lain, dan anda akan memahami bahawa pengembangannya "kekal bersamanya."

Begitu juga dengan kes kapal terbang, selain menulis versi dengan kurungan digunakan secara meluas: sama ada .

Jika satu (atau dua) vektor koordinat hilang dalam pengembangan, maka sifar diletakkan sebagai gantinya. Contoh:
vektor (dengan teliti ) - menulis ;
vektor (dengan teliti ) - menulis ;
vektor (dengan teliti ) - menulis .

Vektor asas ditulis seperti berikut:

Di sini, mungkin, adalah semua pengetahuan teoretikal minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah geometri analitik. Mungkin terdapat terlalu banyak istilah dan takrifan, jadi saya mengesyorkan dummies untuk membaca semula dan memahami maklumat ini sekali lagi. Dan ia akan berguna bagi mana-mana pembaca untuk merujuk kepada pelajaran asas dari semasa ke semasa untuk penyerapan bahan yang lebih baik. Kolineariti, ortogonal, asas ortonormal, penguraian vektor - ini dan konsep lain akan sering digunakan dalam perkara berikut. Saya perhatikan bahawa bahan tapak tidak mencukupi untuk lulus ujian teori, kolokium mengenai geometri, kerana saya berhati-hati menyandikan semua teorem (selain tanpa bukti) - menjejaskan gaya persembahan saintifik, tetapi tambah untuk pemahaman anda daripada subjek. Untuk maklumat teori yang terperinci, saya meminta anda untuk tunduk kepada Profesor Atanasyan.

Sekarang mari kita beralih ke bahagian praktikal:

Masalah paling mudah bagi geometri analitik.
Tindakan dengan vektor dalam koordinat

Tugas yang akan dipertimbangkan, adalah sangat wajar untuk mempelajari cara menyelesaikannya sepenuhnya secara automatik, dan formula hafal, jangan ingat dengan sengaja, mereka akan ingat sendiri =) Ini sangat penting, kerana masalah geometri analitik yang lain adalah berdasarkan contoh asas yang paling mudah, dan ia akan menjengkelkan untuk menghabiskan masa tambahan makan bidak. Anda tidak perlu mengikat butang atas pada baju anda, banyak perkara yang anda biasa dari sekolah.

Penyampaian bahan akan mengikuti kursus selari - baik untuk pesawat dan untuk ruang angkasa. Atas sebab semua formula ... anda akan lihat sendiri.

Bagaimana untuk mencari vektor yang diberi dua mata?

Jika dua titik satah dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut:

Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut:

Itu dia, daripada koordinat hujung vektor anda perlu menolak koordinat yang sepadan permulaan vektor.

Senaman: Untuk titik yang sama, tuliskan formula untuk mencari koordinat vektor. Formula pada akhir pelajaran.

Contoh 1

Diberi dua titik dalam satah dan . Cari koordinat vektor

Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:

Sebagai alternatif, notasi berikut boleh digunakan:

Aesthetes akan membuat keputusan seperti ini:

Secara peribadi, saya sudah biasa dengan versi pertama rekod.

Jawapan:

Mengikut syarat, ia tidak diperlukan untuk membina lukisan (yang tipikal untuk masalah geometri analitik), tetapi untuk menjelaskan beberapa perkara kepada dummies, saya tidak akan terlalu malas:

Mesti faham perbezaan antara koordinat titik dan koordinat vektor:

Koordinat titik ialah koordinat biasa dalam sistem koordinat segi empat tepat. Saya rasa semua orang tahu cara memplot mata pada satah koordinat sejak darjah 5-6. Setiap titik mempunyai tempat yang ketat di dalam pesawat, dan mereka tidak boleh dialihkan ke mana-mana.

Koordinat bagi vektor yang sama adalah pengembangannya berkenaan dengan asas, dalam kes ini. Mana-mana vektor adalah percuma, oleh itu, jika dikehendaki atau perlu, kita boleh menangguhkannya dengan mudah dari beberapa titik lain dalam pesawat. Menariknya, untuk vektor, anda tidak boleh membina paksi sama sekali, sistem koordinat segi empat tepat, anda hanya memerlukan asas, dalam kes ini, asas ortonormal pesawat.

Rekod koordinat titik dan koordinat vektor nampaknya serupa: , dan rasa koordinat secara mutlak berbeza, dan anda harus sedar tentang perbezaan ini. Perbezaan ini, tentu saja, juga berlaku untuk ruang.

Tuan-tuan dan puan-puan, kami mengisi tangan kami:

Contoh 2

a) Mata yang diberi dan . Cari vektor dan .
b) Mata diberi dan . Cari vektor dan .
c) Mata yang diberi dan . Cari vektor dan .
d) Mata diberi. Cari Vektor .

Mungkin cukup. Ini adalah contoh untuk keputusan bebas, cuba jangan mengabaikannya, ia akan membuahkan hasil ;-). Lukisan tidak diperlukan. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apakah yang penting dalam menyelesaikan masalah geometri analitik? Adalah penting untuk BERHATI-HATI untuk mengelakkan ralat "dua tambah dua sama dengan sifar" yang mahir. Saya minta maaf terlebih dahulu jika saya ada buat salah =)

Bagaimana untuk mencari panjang segmen?

Panjang, seperti yang telah dinyatakan, ditunjukkan oleh tanda modulus.

Jika dua titik satah dan diberi, maka panjang segmen boleh dikira dengan formula

Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka panjang segmen boleh dikira dengan formula

Catatan: Formula akan kekal betul jika koordinat yang sepadan ditukar: dan , tetapi pilihan pertama adalah lebih standard

Contoh 3

Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Untuk kejelasan, saya akan membuat lukisan

Segmen baris - ia bukan vektor, dan anda tidak boleh mengalihkannya ke mana-mana, sudah tentu. Di samping itu, jika anda melengkapkan lukisan mengikut skala: 1 unit. \u003d 1 cm (dua sel tetrad), maka jawapannya boleh disemak dengan pembaris biasa dengan mengukur panjang segmen secara langsung.

Ya, penyelesaiannya pendek, tetapi terdapat beberapa perkara penting di dalamnya yang ingin saya jelaskan:

Pertama, dalam jawapan kami menetapkan dimensi: "unit". Keadaan itu tidak menyatakan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh itu, rumusan umum akan menjadi penyelesaian yang cekap secara matematik: "unit" - disingkat sebagai "unit".

Kedua, mari kita ulangi bahan sekolah, yang berguna bukan sahaja untuk masalah yang dipertimbangkan:

Beri perhatian kepada helah teknikal yang penting – mengeluarkan pengganda dari bawah akar. Hasil daripada pengiraan, kami mendapat keputusan dan gaya matematik yang baik melibatkan mengambil pengganda keluar dari bawah punca (jika boleh). Prosesnya kelihatan seperti ini dengan lebih terperinci: . Sudah tentu, meninggalkan jawapan dalam borang tidak akan menjadi satu kesilapan - tetapi ia pastinya adalah satu kelemahan dan hujah yang berat untuk mencungkil di pihak guru.

Berikut adalah kes biasa yang lain:

Selalunya bilangan yang cukup besar diperolehi di bawah akar, sebagai contoh. Bagaimana untuk berada dalam kes sedemikian? Pada kalkulator, kami menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagikan dengan 4:. Ya, pisahkan sepenuhnya, jadi: . Atau mungkin nombor itu boleh dibahagikan dengan 4 lagi? . Dengan cara ini: . Digit terakhir nombor adalah ganjil, jadi membahagikan dengan 4 untuk kali ketiga jelas tidak mungkin. Cuba bahagi dengan sembilan: . Akibatnya:
sedia.

Kesimpulan: jika di bawah akar kita mendapat nombor yang tidak boleh diekstrak sepenuhnya, maka kita cuba mengeluarkan faktor dari bawah akar - pada kalkulator kita menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagikan dengan: 4, 9, 16, 25, 36, 49, dan lain-lain.

Dalam proses menyelesaikan pelbagai masalah, akar sering dijumpai, sentiasa cuba mengekstrak faktor dari bawah akar untuk mengelakkan skor yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dengan memuktamadkan penyelesaian anda mengikut teguran guru.

Mari ulangi kuasa dua akar dan kuasa lain pada masa yang sama:

Peraturan untuk tindakan dengan darjah dalam bentuk umum boleh didapati dalam buku teks sekolah tentang algebra, tetapi saya fikir semuanya atau hampir semuanya sudah jelas daripada contoh yang diberikan.

Tugas untuk penyelesaian bebas dengan segmen dalam ruang:

Contoh 4

Mata diberi dan . Cari panjang ruas itu.

Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Bagaimana untuk mencari panjang vektor?

Jika vektor satah diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula.

Jika vektor ruang diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula .

Pada paksi absis dan ordinat dipanggil koordinat vektor. Koordinat vektor biasanya ditunjukkan dalam bentuk (x, y), dan vektor itu sendiri sebagai: = (x, y).

Formula untuk menentukan koordinat vektor untuk masalah dua dimensi.

Dalam kes masalah dua dimensi, vektor dengan diketahui koordinat titik A(x 1; y 1) dan B(x 2 ; y 2 ) boleh dikira:

\u003d (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula untuk menentukan koordinat vektor untuk masalah spatial.

Dalam kes masalah spatial, vektor dengan diketahui koordinat titik A (x 1; y 1;z 1 ) dan B (x 2 ; y 2 ; z 2 ) boleh dikira menggunakan formula:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinat memberikan penerangan menyeluruh tentang vektor, kerana ia adalah mungkin untuk membina vektor itu sendiri daripada koordinat. Mengetahui koordinat, ia adalah mudah untuk mengira dan panjang vektor. (Hartanah 3 di bawah).

Sifat koordinat vektor.

1. Mana-mana vektor yang sama dalam satu sistem koordinat mempunyai koordinat yang sama.

2. Koordinat vektor kolinear berkadar. Dengan syarat tiada vektor sama dengan sifar.

3. Kuasa dua panjang mana-mana vektor adalah sama dengan hasil tambah kuasa duanya koordinat.

4.Apabila operasi pendaraban vektor pada nombor sebenar setiap koordinatnya didarab dengan nombor ini.

5. Semasa operasi penambahan vektor, kami mengira jumlah yang sepadan koordinat vektor.

6. Produk skalar daripada dua vektor adalah sama dengan hasil tambah koordinat masing-masing.

Mencari koordinat vektor adalah keadaan yang agak biasa untuk banyak masalah dalam matematik. Keupayaan untuk mencari koordinat vektor akan membantu anda dalam masalah lain yang lebih kompleks dengan topik yang serupa. Dalam artikel ini, kami akan mempertimbangkan formula untuk mencari koordinat vektor dan beberapa tugas.

Mencari koordinat vektor dalam satah

Apa itu kapal terbang? Satah ialah ruang dua dimensi, ruang dengan dua dimensi (dimensi x dan dimensi y). Sebagai contoh, kertas adalah rata. Permukaan meja rata. Mana-mana angka bukan volumometri (segi empat sama, segitiga, trapezium) juga merupakan satah. Oleh itu, jika dalam keadaan masalah adalah perlu untuk mencari koordinat vektor yang terletak pada satah, kita segera mengingati x dan y. Anda boleh mencari koordinat bagi vektor tersebut seperti berikut: Koordinat AB bagi vektor = (xB - xA; yB - xA). Ia boleh dilihat daripada rumus bahawa koordinat titik permulaan mesti ditolak daripada koordinat titik akhir.

Contoh:

• Vektor CD mempunyai koordinat mula (5; 6) dan tamat (7; 8).
• Cari koordinat bagi vektor itu sendiri.
• Menggunakan formula di atas, kita mendapat ungkapan berikut: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
• Oleh itu, koordinat vektor CD = (2; 2).
• Sehubungan itu, koordinat x adalah sama dengan dua, koordinat y juga adalah dua.

Mencari koordinat vektor dalam ruang

Apakah ruang? Ruang sudah menjadi dimensi tiga dimensi, di mana 3 koordinat diberikan: x, y, z. Jika anda perlu mencari vektor yang terletak di angkasa, formula praktikalnya tidak berubah. Hanya satu koordinat ditambah. Untuk mencari vektor, anda perlu menolak koordinat permulaan daripada koordinat akhir. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Contoh:

• Vektor DF mempunyai awal (2; 3; 1) dan akhir (1; 5; 2).
• Menggunakan formula di atas, kita dapat: Koordinat vektor DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
• Ingat, nilai koordinat boleh menjadi negatif, tidak ada masalah dengan itu.

Bagaimana untuk mencari koordinat vektor dalam talian?

Jika atas sebab tertentu anda tidak mahu mencari koordinat sendiri, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian. Pertama, pilih dimensi vektor. Dimensi vektor bertanggungjawab untuk dimensinya. Dimensi 3 bermakna vektor berada di angkasa, dimensi 2 bermakna ia berada di atas satah. Seterusnya, masukkan koordinat titik ke dalam medan yang sesuai dan program akan menentukan koordinat vektor itu sendiri. Semuanya sangat mudah.

Dengan mengklik pada butang, halaman akan secara automatik tatal ke bawah dan memberikan anda jawapan yang betul bersama-sama dengan langkah penyelesaian.

Adalah disyorkan untuk mengkaji topik ini dengan baik, kerana konsep vektor didapati bukan sahaja dalam matematik, tetapi juga dalam fizik. Pelajar Fakulti Teknologi Maklumat juga mempelajari topik vektor, tetapi pada tahap yang lebih kompleks.

Geometri analitik

		Minggu	Gred untuk modul dalam mata
		kawalan modul
			maksimum		Minimum
Semester 1
DZ №1, bahagian 1
DZ №1, bahagian 2
Kawalan modulo No. 1
mata ganjaran
Kawalan modulo No. 2
mata ganjaran

Kawalan aktiviti dan masa pelaksanaannya Modul 1

1. DZ No. 1 bahagian 1 "Algebra Vektor" Tarikh akhir keluaran 2 minggu, tarikh akhir - 7 minggu

2. DZ No. 1 bahagian 2 "Garisan dan satah"

Tempoh penghantaran 1 minggu, tempoh penghantaran - 9 minggu

3. Kawalan modulo No. 1 (RK No. 1) "Algebra vektor, garis dan satah." Tarikh akhir - 10 minggu

1. DZ No. 2 "Keluk dan permukaan Pesanan ke-2 "Tempoh pengeluaran 6 minggu, tempoh penghantaran - 13 minggu

5. Uji "Lengkung dan permukaan pesanan ke-2. Tarikh akhir - 14 minggu

6. Kawalan modulo No. 2 (RK No. 2) "Matriks dan sistem persamaan algebra linear"

Tarikh akhir - 16 minggu

Tugas biasa yang digunakan dalam pembentukan pilihan kawalan semasa

1. Kerja rumah nombor 1. "Algebra Vektor dan Geometri Analitik"

Diberi: mata A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			A(1;2;0); nombor a 30,				b1; sudut
1. Cari panjang vektor |		n | , jika			p aq ,	n bp q	dan p, q ialah unit

vektor, sudut antaranya adalah sama.

2. Cari koordinat bagi titik M yang membahagikan vektor AB berkenaan dengan a :1 .

3. Semak sama ada ia boleh dilakukan pada vektor AB dan AD membina segi empat selari. Jika ya, cari panjang sisi segi empat selari.

4. Cari sudut antara pepenjuru bagi segi empat selari ABCD.

5. Cari luas segi empat selari ABCD.

6. Pastikan vektor AB , AD , AA 1 anda boleh membina selari. Cari isipadu saluran selari ini dan panjang ketinggiannya.

7. Cari koordinat vektor AH , diarahkan sepanjang ketinggian ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 selari , dilukis dari titik A ke satah tapak A 1 B 1 C 1 D 1 ,

koordinat titik H dan koordinat vektor unit bertepatan dengan arah vektor AH.

8. Cari penguraian vektor AH oleh vektor AB , AD , AA 1 .

9. Cari unjuran vektor AH kepada vektor AA 1 .

10. Tulis persamaan satah: a) P melalui titik A, B, D;

b) P1 melalui titik A dan garis A1 B1 ;

c) P2 melalui titik A1 selari dengan satah P; d) P3 yang mengandungi baris AD dan AA1 ;

e) P4 melalui titik A dan C1 berserenjang dengan satah P.

11. Cari jarak antara garisan di mana tepi AB dan CC terletak satu ; tulis persamaan kanonik dan parametrik bagi serenjang sepunya dengannya.

12. Cari titik A 2, simetri kepada titik A1 berkenaan dengan satah tapak

13. Cari sudut di antara garis di mana pepenjuru A terletak 1 C, dan satah tapak ABCD.

14. Cari sudut lancip antara satah ABC 1 D (satah P) dan ABB1 A1 (satah P1 ).

2. Kerja rumah #2. "Lengkung dan permukaan tertib kedua"

Dalam Masalah 1–2, persamaan garis tertib kedua yang diberikan dikurangkan kepada bentuk kanonik dan lengkung dibina dalam sistem koordinat OXY.

AT tugasan 3, menggunakan data yang diberikan, cari persamaan lengkung dalam sistem koordinat OXY. Untuk tugasan 1–3 menunjukkan:

1) bentuk kanonik persamaan garis;

2) transformasi pemindahan selari yang membawa kepada bentuk kanonik;

3) dalam kes elips: separuh paksi, kesipian, pusat, bucu, fokus, jarak dari titik C ke fokus; dalam kes hiperbola: separuh paksi, kesipian, pusat, bucu, fokus, jarak dari titik C ke fokus, persamaan asimtot; dalam kes parabola: parameter, bucu, fokus, persamaan directrix, jarak dari titik C ke fokus dan directrix;

4) untuk titik C, semak sifat yang mencirikan jenis lengkung yang diberikan sebagai lokus titik.

AT Dalam masalah 4, nyatakan penjelmaan terjemahan selari yang mengurangkan persamaan permukaan yang diberikan kepada bentuk kanonik, bentuk kanonik persamaan permukaan, dan jenis permukaan. Bina permukaan dalam sistem koordinat kanonik OXYZ.

	5x 2 y 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4y 2 20x 8y 64 , C (12;14) .
		5) ;
	Parabola adalah simetri berkenaan dengan garis lurus y 1 0 , mempunyai fokus							; 1 ,
	melintasi paksi OX di titik C				; 0 , dan cabangnya terletak pada separuh satah	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

Kawalan modulo No. 1 “Algebra vektor. Geometri analitik"

1. Tiga kali ganda vektor kanan dan kiri. Definisi hasil silang vektor. Merumuskan sifat hasil darab vektor bagi vektor. Terbitkan formula untuk mengira hasil silang dua vektor yang diberikan oleh koordinatnya dalam asas ortonormal.

vektor

a m n ,

m n ,

1, m, n

Mungkin,

penguraian vektor

c 3 i

12j6k

vektor

3 j 2 k dan b 2 i 3 j 4 k .

Tulis persamaan untuk satah itu

melalui titik M 1 5, 1, 4 ,

M 2 2, 3.1 dan

berserenjang dengan satah

6x 5y 4z 1 0. Sediakan persamaan kanonik

garis lurus yang melalui titik M 0 0, 2,1 dan ortogon ke satah yang ditemui.

Uji "Lengkung dan permukaan tertib kedua"

1. Definisi elips sebagai lokus titik. Terbitan persamaan kanonik elips dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat. Parameter utama lengkung.

2. Persamaan permukaan x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 membawa kepada kanonik

fikiran. Buat lukisan dalam sistem koordinat kanonik. Nyatakan nama permukaan ini.

3. Tuliskan persamaan untuk hiperbola sama jika pusatnya O 1 1, 1 dan salah satu fokusnya F 1 3, 1 diketahui. Buat lukisan.

Kawalan modulo No. 2 “Lengkung dan permukaan tertib kedua. Matriks dan sistem persamaan algebra linear»

1. Sistem homogen persamaan algebra linear (SLAE). Bentuk penulisan SLAE homogen. Bukti Kriteria untuk Kewujudan Penyelesaian Bukan Sifar SLAE Homogen.

2. Selesaikan persamaan matriks AX B ,

Buat semakan.

3. a) Selesaikan SLAE. b) Cari sistem asas biasa bagi penyelesaian sistem homogen yang sepadan, penyelesaian tertentu bagi sistem tidak homogen; tulis melalui mereka penyelesaian umum sistem tidak homogen ini:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x1 3x2 3x4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

Soalan untuk menyediakan kawalan modul, ujian, ujian dan peperiksaan

1. vektor geometri. vektor percuma. Definisi vektor kolinear dan koplanar. Operasi linear pada vektor dan sifatnya.

2. Definisi pergantungan linear dan kebebasan linear bagi vektor. Bukti untuk syarat pergantungan linear 2 dan 3 vektor.

3. Definisi asas dalam ruang vektor V1, V2, V3. Bukti teorem tentang kewujudan dan keunikan pengembangan vektor dari segi asas. Operasi linear pada vektor yang diberikan oleh koordinatnya dalam asas.

4. Takrif hasil darab skalar vektor, kaitannya dengan unjuran ortogon bagi vektor pada paksi. Sifat produk skalar, buktinya. Terbitan formula untuk mengira hasil skalar vektor dalam asas ortonormal.

5. Definisi asas ortonormal. Hubungan antara koordinat vektor dalam asas ortonormal dan unjuran ortogonnya pada vektor asas ini. Terbitan formula untuk mengira panjang vektor, kosinus arahnya, sudut antara dua vektor dalam asas ortonormal.

6. Tiga kali ganda vektor kanan dan kiri. Takrif hasil silang vektor, makna mekanikal dan geometrinya. Sifat produk silang (tanpa doc-va). Terbitan formula untuk mengira hasil silang dalam asas ortonormal.

7. Definisi hasil campuran vektor. Isipadu parallelepiped dan isipadu piramid, dibina di atas vektor bukan koplanar. Syarat kesetaraan untuk tiga vektor. Sifat produk campuran. Terbitan formula untuk mengira hasil campuran dalam asas ortonormal.

8. Definisi sistem koordinat Cartesan segi empat tepat. Penyelesaian masalah termudah bagi geometri analitik.

9. Pelbagai jenis persamaan garis lurus pada satah: vektor, parametrik, kanonik. Vektor arah adalah lurus.

10. Terbitan persamaan garis lurus yang melalui dua titik tertentu.

11. Bukti teorem bahawa dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat pada satah, persamaan darjah pertama mentakrifkan garis lurus. Takrif vektor normal bagi garis lurus.

12. Persamaan dengan pekali cerun, persamaan garis lurus "dalam segmen". Makna geometri parameter termasuk dalam persamaan. Sudut antara dua garis. Keadaan keselarian dan keserenjangan dua garis yang diberikan oleh persamaan am atau kanoniknya.

13. Terbitan formula untuk jarak dari titik ke garis pada satah.

14. Bukti teorem bahawa dalam sistem koordinat Cartesan segi empat tepat di angkasa, persamaan darjah pertama mentakrifkan satah. Persamaan am satah. Takrif vektor normal satah. Terbitan persamaan satah yang melalui tiga titik tertentu. Persamaan satah "dalam segmen".

15. Sudut antara satah. Keadaan selari dan keserenjang dua satah.

16. Terbitan formula untuk jarak dari titik ke satah.

17. Persamaan am garis lurus dalam ruang. Terbitan vektor, persamaan kanonik dan parametrik bagi garis lurus dalam ruang.

18. Sudut antara dua garis lurus dalam ruang, keadaan selari dan serenjang dua garis lurus. Syarat untuk dua garisan tergolong dalam satah yang sama.

19. Sudut antara garis lurus dan satah, keadaan selari dan serenjang garis lurus dan satah. Keadaan kepunyaan garis lurus bagi satah tertentu.

20. Masalah mencari jarak antara garis bersilang atau selari.

21. Definisi elips sebagai lokus titik. Terbitan persamaan kanonik elips.

22. Definisi hiperbola sebagai lokus titik. Terbitan persamaan kanonik hiperbola.

23. Definisi parabola sebagai lokus titik. Terbitan persamaan parabola kanonik.

24. Definisi permukaan silinder. Persamaan kanonik bagi permukaan silinder pesanan ke-2.

25. Konsep permukaan revolusi. Persamaan kanonik bagi permukaan yang dibentuk oleh putaran elips, hiperbola dan parabola.

26. Persamaan kanonik bagi elipsoid dan kon. Penyiasatan bentuk permukaan ini dengan kaedah keratan.

27. Persamaan kanonik hiperboloid. Penyiasatan bentuk hiperboloid dengan kaedah keratan.

28. Persamaan kanonik paraboloid. Penyiasatan bentuk paraboloid dengan kaedah keratan.

29. Konsep matriks. Jenis-jenis matriks. Kesamaan matriks. Operasi linear pada matriks dan sifatnya. Transposisi matriks.

30. Pendaraban matriks. Sifat operasi pendaraban matriks.

31. Definisi matriks songsang. Bukti keunikan matriks songsang. Bukti teorem matriks songsang bagi hasil darab dua matriks boleh terbalik.

32. Kriteria bagi kewujudan matriks songsang. Konsep matriks yang berkaitan, kaitannya dengan matriks songsang.

33. Terbitan formula Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan matriks persegi tidak merosot.

34. Kebergantungan linear dan kebebasan linear bagi baris (lajur) matriks. Bukti kriteria untuk pergantungan linear baris (lajur).

35. Definisi matriks minor. Dasar bawah umur. Asas teorem kecil (tanpa doqua). Bukti akibatnya untuk matriks segi empat sama.

36. Kaedah Fringing bawah umur untuk mencari pangkat matriks.

37. Transformasi asas bagi baris (lajur) matriks. Mencari matriks songsang dengan kaedah penjelmaan asas.

38. Teorem invarian kedudukan matriks di bawah penjelmaan asas. Mencari pangkat matriks dengan kaedah penjelmaan asas.

39. Sistem persamaan algebra linear (SLAE). Pelbagai bentuk penulisan SLAE. SLAE sendi dan bukan sendi. Bukti kriteria Kronecker-Kapeli bagi keserasian SLAE.

40. Sistem homogen persamaan algebra linear (SLAE). Sifat penyelesaian mereka.

41. Takrif sistem asas penyelesaian (FSR) sistem homogen persamaan algebra linear (SLAE). Teorem mengenai struktur penyelesaian umum SLAE homogen. Pembinaan FSR.

42. Sistem tak homogen bagi persamaan algebra linear (SLAE). Bukti teorem mengenai struktur penyelesaian umum SLAE yang tidak homogen.

Kawalan acara	Bilangan tugas	Mata untuk tugasan
DZ №1, bahagian 1
Mata diperolehi
Kawalan acara	Bilangan tugas	Mata untuk tugasan
DZ №1, bahagian 2
Mata diperolehi

Kawalan acara				Bilangan tugas			Mata untuk tugasan
Kawalan modulo No. 1				1 teori dan 3 tugasan			teori - 0; 3; 6
							tugas - 0; satu; 2
			Mata diperolehi
Kawalan acara				Bilangan tugas			Mata untuk tugasan
	Mata diperolehi
Kawalan acara				Bilangan tugas			Mata untuk tugasan
				1 teori dan 3 tugasan			teori - 0; 3; 6
							tugas - 0; satu; 2
			Mata diperolehi
						01 teori dan 3 masalah			teori - 0; 3; 6
		tugas - 0; satu; 2
			Mata diperolehi

Peraturan pemarkahan jurnal

1. Mata untuk DZ. Mata untuk DZ ditetapkan pada minggu berikutnya selepas tarikh tamat tempoh, mengikut jadual yang sepadan. Pelajar mempunyai hak untuk menyerahkan tugasan individu untuk pengesahan sebelum tarikh akhir dan membetulkan kesilapan yang dinyatakan oleh guru, sambil menerima nasihat yang diperlukan. Jika pada tarikh akhir untuk menyerahkan DZ pelajar membawa penyelesaian kepada masalah kepada pilihan yang betul, maka markah maksimum diberikan kepadanya untuk tugas ini. Selepas tarikh akhir untuk menyerahkan DZ, pelajar yang belum mendapat markah minimum untuk DZ boleh terus membuat tugasan. Pada masa yang sama, dalam kes kerja yang berjaya, pelajar dianugerahkan markah minimum untuk DZ.

2. Mata untuk CR. Jika pelajar tidak mencapai markah minimum untuk CR tepat pada masanya, maka pada semester tersebut dia boleh menulis semula kerja ini dua kali. Dengan keputusan positif (satu set mata tidak kurang daripada minimum yang ditetapkan), pelajar diberi markah minimum untuk KR.

3. Mata untuk "kawalan modulo". Sebagai "kawalan modulo", kerja bertulis dicadangkan, yang terdiri daripada bahagian teori dan praktikal. Setiap bahagian modulo kawalan dinilai secara berasingan. Pelajar yang telah mendapat markah tidak lebih rendah daripada minimum dalam salah satu bahagian kawalan dianggap telah melepasi bahagian ini dan dilepaskan daripada pelaksanaannya pada masa hadapan. Atas budi bicara guru, temu bual boleh dijalankan pada bahagian teori tugasan. Sekiranya pelajar tidak mendapat markah minimum untuk setiap bahagian kerja, maka pada semester itu dia mempunyai dua percubaan untuk setiap bahagian untuk membetulkan keadaan. Dengan positif

Hasilnya (satu set mata tidak kurang daripada minimum yang ditetapkan), pelajar diberi markah minimum untuk "kawalan modul".

4. Gred setiap modul. Jika pelajar telah menyelesaikan semua aktiviti kawalan semasa modul (mendapat sekurang-kurangnya markah minimum yang ditetapkan),

maka penilaian untuk modul adalah jumlah mata untuk semua aktiviti kawalan modul (dalam kes ini, pelajar secara automatik mendapat sekurang-kurangnya ambang minimum). Mata akhir untuk modul dimasukkan ke dalam jurnal selepas selesai semua aktiviti kawalan.

5. Jumlah markah. Jumlah mata untuk dua modul.

6. Penilaian. Pensijilan akhir (peperiksaan, ujian dibezakan, ujian) dijalankan berdasarkan hasil kerja pada semester selepas pelajar menyelesaikan jumlah kerja pengajian yang dirancang dan menerima penilaian untuk setiap modul yang tidak lebih rendah daripada minimum yang ditetapkan. Skor maksimum untuk semua modul, termasuk markah untuk ketekunan, ialah 100, minimum ialah 60. Jumlah markah untuk semua modul membentuk skor penarafan untuk disiplin untuk semester tersebut. Pelajar yang telah melepasi semua langkah kawalan menerima gred akhir dalam disiplin untuk semester mengikut skala:

		gred peperiksaan,	Penilaian pada offset
		kedudukan berbeza
		dengan memuaskan
		kurang memuaskan

Anda boleh meningkatkan penarafan anda, dan, akibatnya, gred peperiksaan pada peperiksaan akhir (kerja bertulis mengenai bahan disiplin secara keseluruhan dijalankan semasa sesi peperiksaan), skor maksimum ialah 30, minimum ialah -16. Mata ini dirumuskan dengan mata yang diperoleh untuk semua modul dalam disiplin. Pada masa yang sama, untuk meningkatkan gred kepada "baik" untuk peperiksaan, pelajar mesti mendapat sekurang-kurangnya 21 mata, kepada "cemerlang" ─ sekurang-kurangnya 26 mata. Untuk kepakaran di mana kredit disediakan mengikut disiplin, rating tidak dinaikkan. Pelajar yang mempunyai penarafan dalam julat 0-59 pada permulaan sesi peperiksaan, memperoleh minimum yang diperlukan untuk menerima gred positif dalam disiplin, mengambil semula acara kawalan yang tidak dikreditkan lebih awal dalam modul berasingan. Pada masa yang sama, pelajar yang tidak mempunyai alasan yang munasabah akhirnya boleh (sehingga akhir sesi peperiksaan) menerima gred tidak lebih tinggi daripada "memuaskan".