Bagaimana untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa. Formula Kebarangkalian Peristiwa

"Randomness is not accidental"... Bunyinya seperti kata seorang ahli falsafah, tetapi sebenarnya, kajian tentang kemalangan adalah takdir ilmu matematik yang hebat. Dalam matematik, peluang adalah teori kebarangkalian. Formula dan contoh tugas, serta definisi utama sains ini akan dibentangkan dalam artikel.

Apakah Teori Kebarangkalian?

Teori kebarangkalian adalah salah satu disiplin matematik yang mengkaji peristiwa rawak.

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita berikan contoh kecil: jika anda melambungkan syiling ke atas, ia boleh jatuh kepala atau ekor. Selagi syiling berada di udara, kedua-dua kemungkinan ini adalah mungkin. Iaitu, kebarangkalian akibat yang mungkin berkorelasi 1:1. Jika seseorang diambil dari dek dengan 36 kad, maka kebarangkalian akan ditunjukkan sebagai 1:36. Nampaknya tiada apa yang perlu diterokai dan diramalkan, terutamanya dengan bantuan formula matematik. Walau bagaimanapun, jika anda mengulangi tindakan tertentu berkali-kali, maka anda boleh mengenal pasti corak tertentu dan, berdasarkannya, meramalkan hasil peristiwa dalam keadaan lain.

Untuk meringkaskan semua perkara di atas, teori kebarangkalian dalam pengertian klasik mengkaji kemungkinan berlakunya salah satu peristiwa yang mungkin dalam pengertian berangka.

Dari lembaran sejarah

Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas pertama muncul pada Zaman Pertengahan yang jauh, apabila percubaan untuk meramalkan hasil permainan kad pertama kali timbul.

Pada mulanya, teori kebarangkalian tidak ada kaitan dengan matematik. Ia dibenarkan oleh fakta atau sifat empirikal sesuatu peristiwa yang boleh diterbitkan semula dalam amalan. Karya pertama dalam bidang ini sebagai disiplin matematik muncul pada abad ke-17. Pengasasnya ialah Blaise Pascal dan Pierre Fermat. Untuk masa yang lama mereka belajar perjudian dan melihat corak tertentu, yang mereka memutuskan untuk memberitahu orang ramai.

Teknik yang sama telah dicipta oleh Christian Huygens, walaupun dia tidak biasa dengan hasil penyelidikan Pascal dan Fermat. Konsep "teori kebarangkalian", formula dan contoh, yang dianggap pertama dalam sejarah disiplin, diperkenalkan oleh beliau.

Tidak penting ialah karya Jacob Bernoulli, teorem Laplace dan Poisson. Mereka menjadikan teori kebarangkalian lebih seperti disiplin matematik. Teori kebarangkalian, formula dan contoh tugas asas mendapat bentuknya sekarang berkat aksiom Kolmogorov. Hasil daripada semua perubahan, teori kebarangkalian telah menjadi salah satu cabang matematik.

Konsep asas teori kebarangkalian. Perkembangan

Konsep utama disiplin ini ialah "event". Acara terdiri daripada tiga jenis:

Boleh dipercayai. Perkara yang akan berlaku juga (syiling akan jatuh).
Mustahil. Peristiwa yang tidak akan berlaku dalam mana-mana senario (syiling akan kekal tergantung di udara).
rawak. Perkara yang akan atau tidak akan berlaku. Mereka boleh dipengaruhi oleh pelbagai faktor yang sangat sukar untuk diramalkan. Jika kita bercakap tentang duit syiling, maka faktor rawak yang boleh menjejaskan hasilnya: ciri fizikal duit syiling, bentuknya, kedudukan awal, daya lemparan, dll.

Semua peristiwa dalam contoh dilambangkan dengan huruf Latin besar, kecuali R, yang mempunyai peranan yang berbeza. Sebagai contoh:

A = "pelajar datang ke kuliah."
Ā = "pelajar tidak datang ke kuliah".

Dalam tugas praktikal, peristiwa biasanya direkodkan dalam perkataan.

Salah satu ciri acara yang paling penting ialah kemungkinan yang sama. Iaitu, jika anda melambungkan syiling, semua varian kejatuhan awal adalah mungkin sehingga ia jatuh. Tetapi peristiwa juga tidak sama mungkin. Ini berlaku apabila seseorang dengan sengaja mempengaruhi hasilnya. Contohnya, "ditanda" bermain kad atau dadu, di mana pusat graviti dialihkan.

Acara juga serasi dan tidak serasi. Acara yang serasi tidak mengecualikan kejadian antara satu sama lain. Sebagai contoh:

A = "pelajar itu datang ke kuliah."
B = "pelajar itu datang ke kuliah."

Peristiwa ini bebas antara satu sama lain, dan penampilan salah satu daripadanya tidak menjejaskan penampilan yang lain. Peristiwa yang tidak serasi ditakrifkan oleh fakta bahawa kejadian satu menghalang kejadian yang lain. Jika kita bercakap tentang duit syiling yang sama, maka kehilangan "ekor" menjadikannya mustahil untuk penampilan "kepala" dalam eksperimen yang sama.

Tindakan pada peristiwa

Peristiwa boleh didarab dan ditambah, masing-masing, penghubung logik "DAN" dan "ATAU" diperkenalkan dalam disiplin.

Jumlah ditentukan oleh fakta bahawa sama ada peristiwa A, atau B, atau kedua-duanya boleh berlaku pada masa yang sama. Dalam kes apabila ia tidak serasi, pilihan terakhir adalah mustahil, sama ada A atau B akan tercicir.

Pendaraban peristiwa terdiri daripada rupa A dan B pada masa yang sama.

Kini anda boleh memberikan beberapa contoh untuk lebih mengingati asas, teori kebarangkalian dan formula. Contoh penyelesaian masalah di bawah.

Latihan 1: Firma itu membida kontrak untuk tiga jenis kerja. Peristiwa yang mungkin berlaku:

A = "firma akan menerima kontrak pertama."
A 1 = "firma tidak akan menerima kontrak pertama."
B = "firma akan menerima kontrak kedua."
B 1 = "firma tidak akan menerima kontrak kedua"
C = "firma akan menerima kontrak ketiga."
C 1 = "firma tidak akan menerima kontrak ketiga."

Mari cuba nyatakan situasi berikut menggunakan tindakan pada peristiwa:

K = "firma akan menerima semua kontrak."

Dalam bentuk matematik, persamaan akan kelihatan seperti ini: K = ABC.

M = "firma tidak akan menerima satu kontrak."

M \u003d A 1 B 1 C 1.

Kami merumitkan tugas: H = "firma akan menerima satu kontrak." Oleh kerana tidak diketahui kontrak mana yang akan diterima oleh firma (yang pertama, kedua atau ketiga), adalah perlu untuk merekodkan keseluruhan julat peristiwa yang mungkin:

H \u003d A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Dan 1 BC 1 adalah satu siri peristiwa di mana firma itu tidak menerima kontrak pertama dan ketiga, tetapi menerima kontrak kedua. Peristiwa lain yang mungkin juga direkodkan dengan kaedah yang sepadan. Simbol υ dalam disiplin menunjukkan sekumpulan "ATAU". Jika kita menterjemah contoh di atas ke dalam bahasa manusia, maka syarikat akan menerima sama ada kontrak ketiga, atau kedua, atau yang pertama. Begitu juga, anda boleh menulis syarat lain dalam disiplin "Teori Kebarangkalian". Formula dan contoh penyelesaian masalah yang dibentangkan di atas akan membantu anda melakukannya sendiri.

Sebenarnya, kebarangkalian

Mungkin, dalam disiplin matematik ini, kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah konsep utama. Terdapat 3 definisi kebarangkalian:

klasik;
statistik;
geometri.

Masing-masing mempunyai tempatnya dalam kajian kebarangkalian. Teori kebarangkalian, formula dan contoh (Gred 9) kebanyakannya menggunakan definisi klasik, yang berbunyi seperti ini:

Kebarangkalian situasi A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang memihak kepada kejadiannya kepada bilangan semua hasil yang mungkin.

Formula kelihatan seperti ini: P (A) \u003d m / n.

Dan, sebenarnya, satu peristiwa. Jika kebalikan A berlaku, ia boleh ditulis sebagai Ā atau A 1 .

m ialah bilangan kes yang mungkin menguntungkan.

n - semua peristiwa yang boleh berlaku.

Contohnya, A \u003d "tarik keluar kad saman hati." Terdapat 36 kad dalam dek standard, 9 daripadanya adalah hati. Oleh itu, formula untuk menyelesaikan masalah akan kelihatan seperti:

P(A)=9/36=0.25.

Akibatnya, kebarangkalian bahawa kad yang sesuai dengan hati akan diambil dari dek ialah 0.25.

kepada matematik yang lebih tinggi

Kini telah diketahui sedikit apa itu teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian tugasan yang terdapat dalam kurikulum sekolah. Walau bagaimanapun, teori kebarangkalian juga terdapat dalam matematik yang lebih tinggi, yang diajar di universiti. Selalunya, mereka beroperasi dengan definisi geometri dan statistik bagi teori dan formula kompleks.

Teori kebarangkalian sangat menarik. Formula dan contoh (matematik yang lebih tinggi) adalah lebih baik untuk mula belajar dari yang kecil - dari definisi statistik (atau kekerapan) kebarangkalian.

Pendekatan statistik tidak bercanggah dengan pendekatan klasik, tetapi sedikit mengembangkannya. Jika dalam kes pertama adalah perlu untuk menentukan dengan tahap kebarangkalian sesuatu peristiwa akan berlaku, maka dalam kaedah ini adalah perlu untuk menunjukkan berapa kerap ia akan berlaku. Di sini konsep baru "kekerapan relatif" diperkenalkan, yang boleh dilambangkan dengan W n (A). Formulanya tidak berbeza dengan klasik:

Jika formula klasik dikira untuk peramalan, maka formula statistik dikira mengikut keputusan eksperimen. Ambil, sebagai contoh, tugas kecil.

Jabatan kawalan teknologi menyemak produk untuk kualiti. Di antara 100 produk, 3 didapati tidak berkualiti. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian kekerapan produk berkualiti?

A = "penampilan produk berkualiti."

W n (A)=97/100=0.97

Oleh itu, kekerapan produk berkualiti ialah 0.97. Dari mana anda dapat 97? Daripada 100 produk yang diperiksa, 3 ternyata tidak berkualiti. Kita tolak 3 daripada 100, kita dapat 97, ini adalah kuantiti produk yang berkualiti.

Sedikit mengenai kombinatorik

Satu lagi kaedah teori kebarangkalian dipanggil kombinatorik. Prinsip asasnya ialah jika pilihan A tertentu boleh dibuat dalam m cara yang berbeza, dan pilihan B dalam n cara yang berbeza, maka pilihan A dan B boleh dibuat dengan mendarab.

Sebagai contoh, terdapat 5 jalan dari bandar A ke bandar B. Terdapat 4 laluan dari bandar B ke bandar C. Terdapat berapa banyak cara untuk pergi dari bandar A ke bandar C?

Ia mudah: 5x4 = 20, iaitu, terdapat dua puluh cara berbeza untuk pergi dari titik A ke titik C.

Mari kita membuat tugas lebih sukar. Berapa banyak cara yang ada untuk bermain kad dalam solitaire? Dalam dek 36 kad, ini adalah titik permulaan. Untuk mengetahui bilangan cara, anda perlu "tolak" satu kad dari titik permulaan dan darab.

Iaitu, 36x35x34x33x32…x2x1= hasilnya tidak muat pada skrin kalkulator, jadi ia boleh ditandakan sebagai 36!. Tandakan "!" di sebelah nombor menunjukkan bahawa keseluruhan siri nombor didarab antara mereka sendiri.

Dalam kombinatorik, terdapat konsep seperti pilih atur, penempatan dan gabungan. Setiap daripada mereka mempunyai formula sendiri.

Set tertib elemen set dipanggil susun atur. Peletakan boleh berulang, bermakna satu elemen boleh digunakan beberapa kali. Dan tanpa pengulangan, apabila unsur-unsur tidak diulang. n ialah semua elemen, m ialah elemen yang mengambil bahagian dalam penempatan. Formula untuk penempatan tanpa ulangan akan kelihatan seperti:

A n m =n!/(n-m)!

Sambungan bagi n elemen yang berbeza hanya mengikut susunan peletakan dipanggil pilih atur. Dalam matematik, ini kelihatan seperti: P n = n!

Gabungan n unsur oleh m ialah sebatian yang mana penting unsur-unsur tersebut dan jumlah bilangannya. Formula akan kelihatan seperti:

A n m =n!/m!(n-m)!

Formula Bernoulli

Dalam teori kebarangkalian, dan juga dalam setiap disiplin, terdapat karya penyelidik yang cemerlang dalam bidang mereka yang telah membawanya ke tahap yang baru. Salah satu karya ini ialah formula Bernoulli, yang membolehkan anda menentukan kebarangkalian kejadian tertentu berlaku di bawah keadaan bebas. Ini menunjukkan bahawa kemunculan A dalam eksperimen tidak bergantung pada kemunculan atau tidak berlakunya peristiwa yang sama dalam ujian sebelumnya atau ujian berikutnya.

Persamaan Bernoulli:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m .

Kebarangkalian (p) berlakunya peristiwa (A) tidak berubah bagi setiap percubaan. Kebarangkalian bahawa keadaan akan berlaku tepat m kali dalam n bilangan eksperimen akan dikira dengan formula yang dibentangkan di atas. Sehubungan itu, timbul persoalan bagaimana untuk mengetahui nombor q.

Jika peristiwa A berlaku p beberapa kali, sewajarnya, ia mungkin tidak berlaku. Unit ialah nombor yang digunakan untuk menetapkan semua hasil sesuatu situasi dalam sesuatu disiplin. Oleh itu, q ialah nombor yang menunjukkan kemungkinan kejadian tidak berlaku.

Sekarang anda tahu formula Bernoulli (teori kebarangkalian). Contoh penyelesaian masalah (peringkat pertama) akan dipertimbangkan di bawah.

Tugasan 2: Pelawat kedai akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2. 6 pelawat memasuki kedai secara bebas. Apakah kebarangkalian bahawa pelawat akan membuat pembelian?

Penyelesaian: Memandangkan tidak diketahui berapa ramai pelawat harus membuat pembelian, satu atau kesemua enam, adalah perlu untuk mengira semua kebarangkalian yang mungkin menggunakan formula Bernoulli.

A = "pelawat akan membuat pembelian."

Dalam kes ini: p = 0.2 (seperti yang ditunjukkan dalam tugasan). Sehubungan itu, q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (kerana terdapat 6 pelanggan di kedai). Nombor m akan berubah daripada 0 (tiada pelanggan akan membuat pembelian) kepada 6 (semua pengunjung kedai akan membeli sesuatu). Akibatnya, kami mendapat penyelesaian:

P 6 (0) \u003d C 0 6 × p 0 × q 6 \u003d q 6 \u003d (0.8) 6 \u003d 0.2621.

Tiada pembeli akan membuat pembelian dengan kebarangkalian 0.2621.

Bagaimana lagi formula Bernoulli (teori kebarangkalian) digunakan? Contoh penyelesaian masalah (tahap kedua) di bawah.

Selepas contoh di atas, persoalan timbul tentang ke mana C dan p telah pergi. Berkenaan dengan p, nombor dengan kuasa 0 akan sama dengan satu. Bagi C, ia boleh didapati dengan formula:

C n m = n! /m!(n-m)!

Oleh kerana dalam contoh pertama m = 0, masing-masing, C=1, yang pada dasarnya tidak menjejaskan keputusan. Dengan menggunakan formula baharu, mari kita cuba ketahui apakah kebarangkalian untuk membeli barang oleh dua pengunjung.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2× ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Teori kebarangkalian tidak begitu rumit. Formula Bernoulli, contoh yang dibentangkan di atas, adalah bukti langsung tentang ini.

Formula Poisson

Persamaan Poisson digunakan untuk mengira situasi rawak yang tidak mungkin.

Formula asas:

P n (m)=λ m /m! × e (-λ) .

Dalam kes ini, λ = n x p. Berikut adalah formula Poisson yang begitu mudah (teori kebarangkalian). Contoh penyelesaian masalah akan dipertimbangkan di bawah.

Tugasan 3 A: Kilang mengeluarkan 100,000 bahagian. Kemunculan bahagian yang rosak = 0.0001. Apakah kebarangkalian terdapat 5 bahagian yang rosak dalam satu kelompok?

Seperti yang anda lihat, perkahwinan adalah peristiwa yang tidak mungkin, dan oleh itu formula Poisson (teori kebarangkalian) digunakan untuk pengiraan. Contoh penyelesaian masalah seperti ini tidak berbeza dengan tugas disiplin lain, kami menggantikan data yang diperlukan ke dalam formula di atas:

A = "bahagian yang dipilih secara rawak akan rosak."

p = 0.0001 (mengikut syarat tugasan).

n = 100000 (bilangan bahagian).

m = 5 (bahagian yang rosak). Kami menggantikan data dalam formula dan mendapatkan:

R 100000 (5) = 10 5 / 5! X e -10 = 0.0375.

Sama seperti formula Bernoulli (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian yang menggunakan yang ditulis di atas, persamaan Poisson mempunyai e yang tidak diketahui. Pada dasarnya, ia boleh didapati dengan formula:

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Walau bagaimanapun, terdapat jadual khas yang mengandungi hampir semua nilai e.

Teorem De Moivre-Laplace

Jika dalam skema Bernoulli bilangan percubaan adalah cukup besar, dan kebarangkalian kejadian A dalam semua skema adalah sama, maka kebarangkalian kejadian A beberapa kali dalam satu siri percubaan boleh ditemui oleh formula Laplace:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

Xm = m-np/√npq.

Untuk lebih mengingati formula Laplace (teori kebarangkalian), contoh tugasan untuk membantu di bawah.

Mula-mula kita dapati X m , kita gantikan data (semuanya ditunjukkan di atas) ke dalam formula dan dapatkan 0.025. Menggunakan jadual, kita dapati nombor ϕ (0.025), yang nilainya ialah 0.3988. Sekarang anda boleh menggantikan semua data dalam formula:

P 800 (267) \u003d 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 \u003d 3/40 x 0.3988 \u003d 0.03.

Jadi kebarangkalian bahawa risalah itu akan memukul tepat 267 kali ialah 0.03.

Formula Bayes

Formula Bayes (teori kebarangkalian), contoh penyelesaian tugas dengan bantuan yang akan diberikan di bawah, adalah persamaan yang menerangkan kebarangkalian sesuatu peristiwa, berdasarkan keadaan yang boleh dikaitkan dengannya. Formula utama adalah seperti berikut:

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

A dan B ialah peristiwa yang pasti.

P(A|B) - kebarangkalian bersyarat, iaitu peristiwa A boleh berlaku, dengan syarat peristiwa B adalah benar.

Р (В|А) - kebarangkalian bersyarat kejadian В.

Jadi, bahagian akhir kursus pendek "Teori Kebarangkalian" ialah formula Bayes, contoh penyelesaian masalah yang ada di bawah.

Tugasan 5: Telefon daripada tiga syarikat dibawa ke gudang. Pada masa yang sama, sebahagian daripada telefon yang dihasilkan di kilang pertama ialah 25%, pada kedua - 60%, pada ketiga - 15%. Ia juga diketahui bahawa peratusan purata produk yang rosak di kilang pertama ialah 2%, pada kedua - 4%, dan pada ketiga - 1%. Ia adalah perlu untuk mencari kebarangkalian bahawa telefon yang dipilih secara rawak akan rosak.

A = "telefon yang diambil secara rawak."

B 1 - telefon yang dibuat oleh kilang pertama. Sehubungan itu, pengenalan B 2 dan B 3 akan muncul (untuk kilang kedua dan ketiga).

Hasilnya, kami mendapat:

P (B 1) \u003d 25% / 100% \u003d 0.25; P (B 2) \u003d 0.6; P (B 3) \u003d 0.15 - jadi kami mendapati kebarangkalian setiap pilihan.

Sekarang anda perlu mencari kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa yang diingini, iaitu, kebarangkalian produk yang rosak dalam firma:

P (A / B 1) \u003d 2% / 100% \u003d 0.02;

P (A / B 2) \u003d 0.04;

P (A / B 3) \u003d 0.01.

Sekarang kita menggantikan data ke dalam formula Bayes dan dapatkan:

P (A) \u003d 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 \u003d 0.0305.

Artikel itu membentangkan teori kebarangkalian, formula dan contoh penyelesaian masalah, tetapi ini hanyalah puncak gunung ais disiplin yang luas. Dan selepas semua yang telah ditulis, adalah logik untuk bertanya soalan sama ada teori kebarangkalian diperlukan dalam kehidupan. Sukar untuk orang yang mudah menjawab, lebih baik bertanya kepada seseorang yang telah mencapai jackpot lebih daripada sekali dengan bantuannya.

Kebarangkalian - tahap (ukuran relatif, penilaian kuantitatif) kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa. Apabila sebab beberapa kemungkinan kejadian sebenarnya berlaku melebihi sebab yang bertentangan, maka peristiwa ini dipanggil berkemungkinan, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin. Keutamaan asas positif berbanding yang negatif, dan sebaliknya, boleh menjadi pada tahap yang berbeza-beza, akibatnya kebarangkalian (dan kemustahilan) adalah lebih besar atau lebih kecil. Oleh itu, kebarangkalian sering dianggarkan pada tahap kualitatif, terutamanya dalam kes di mana penilaian kuantitatif yang lebih atau kurang tepat adalah mustahil atau amat sukar. Pelbagai penggredan "tahap" kebarangkalian adalah mungkin.
Kajian kebarangkalian dari sudut matematik adalah satu disiplin khas - teori kebarangkalian. Dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik, konsep kebarangkalian diformalkan sebagai ciri berangka sesuatu peristiwa - ukuran kebarangkalian (atau nilainya) - ukuran pada set peristiwa (subset set peristiwa asas), mengambil nilai daripada
(\gaya paparan 0)
(\gaya paparan 1)
Maknanya
(\gaya paparan 1)
Sepadan dengan peristiwa yang sah. Peristiwa mustahil mempunyai kebarangkalian 0 (sebaliknya biasanya tidak selalu benar). Jika kebarangkalian sesuatu kejadian itu berlaku ialah
(\gaya paparan p)
Maka kebarangkalian tidak berlakunya adalah sama dengan
(\gaya paparan 1-p)
Khususnya, kebarangkalian
(\displaystyle 1/2)
Bermaksud kebarangkalian yang sama berlaku dan tidak berlakunya peristiwa itu.
Takrifan klasik kebarangkalian adalah berdasarkan konsep kebarangkalian sama hasil. Kebarangkalian ialah nisbah bilangan hasil yang memihak kepada peristiwa tertentu kepada jumlah bilangan hasil yang berkemungkinan sama. Sebagai contoh, kebarangkalian mendapat kepala atau ekor pada lambungan syiling rawak ialah 1/2 jika hanya kedua-dua kemungkinan ini diandaikan berlaku dan kemungkinannya sama. "Takrifan" klasik kebarangkalian ini boleh digeneralisasikan kepada kes bilangan nilai yang mungkin tidak terhingga - contohnya, jika peristiwa boleh berlaku dengan kebarangkalian yang sama pada mana-mana titik (bilangan mata adalah tidak terhingga) bagi beberapa kawasan terhad ruang (satah), maka kebarangkalian bahawa ia akan berlaku di beberapa bahagian kawasan yang boleh diterima ini adalah sama dengan nisbah isipadu (luas) bahagian ini kepada isipadu (luas) kawasan semua titik yang mungkin. .
"Takrifan" empirikal kebarangkalian adalah berkaitan dengan kekerapan kejadian sesuatu peristiwa, berdasarkan fakta bahawa dengan bilangan percubaan yang cukup besar, kekerapan harus cenderung kepada tahap objektif kemungkinan kejadian ini. Dalam pembentangan moden teori kebarangkalian, kebarangkalian ditakrifkan secara aksiomatik, sebagai kes khas teori abstrak ukuran set. Namun begitu, kaitan antara ukuran abstrak dan kebarangkalian, yang menyatakan tahap kemungkinan sesuatu kejadian, adalah tepat kekerapan pemerhatiannya.
Penerangan kemungkinan fenomena tertentu telah meluas dalam sains moden, khususnya dalam ekonometrik, fizik statistik sistem makroskopik (termodinamik), di mana walaupun dalam kes penerangan deterministik klasik tentang gerakan zarah, penerangan deterministik keseluruhan sistem zarah tidak boleh dan sesuai. Dalam fizik kuantum, proses yang diterangkan itu sendiri adalah bersifat probabilistik.

Adakah anda ingin tahu apakah peluang matematik pertaruhan anda berjaya? Kemudian kami mempunyai dua berita baik untuk anda. Pertama: untuk mengira patensi, anda tidak perlu melakukan pengiraan yang rumit dan menghabiskan banyak masa. Ia cukup untuk menggunakan formula mudah, yang akan mengambil masa beberapa minit untuk digunakan. Kedua, selepas membaca artikel ini, anda dengan mudah akan dapat mengira kebarangkalian untuk lulus mana-mana dagangan anda.

Untuk menentukan patensi dengan betul, anda perlu mengambil tiga langkah:

Kira peratusan kebarangkalian hasil sesuatu acara mengikut pejabat pembuat taruhan;
Kira kebarangkalian daripada data statistik sendiri;
Ketahui nilai pertaruhan dengan kedua-dua kebarangkalian.

Mari kita pertimbangkan secara terperinci setiap langkah, menggunakan bukan sahaja formula, tetapi juga contoh.

Laluan pantas

Pengiraan kebarangkalian yang tertanam dalam kemungkinan pertaruhan

Langkah pertama adalah untuk mengetahui dengan kebarangkalian yang pembuat taruhan menilai peluang hasil tertentu. Lagipun, adalah jelas bahawa pembuat taruhan tidak mempertaruhkan kemungkinan begitu sahaja. Untuk ini kami menggunakan formula berikut:

PB=(1/K)*100%,

di mana P B ialah kebarangkalian keputusan mengikut pejabat pembuat taruhan;

K - peluang penaruh taruhan untuk hasilnya.

Katakan kemungkinannya ialah 4 untuk kemenangan Arsenal London dalam pertarungan menentang Bayern. Ini bermakna kebarangkalian kemenangannya oleh BC dianggap sebagai (1/4) * 100% = 25%. Atau Djokovic bermain menentang Selatan. Pengganda untuk kemenangan Novak ialah 1.2, peluangnya adalah sama dengan (1/1.2)*100%=83%.

Beginilah cara pembuat taruhan sendiri menilai peluang kejayaan bagi setiap pemain dan pasukan. Setelah menyelesaikan langkah pertama, kita beralih ke langkah kedua.

Pengiraan kebarangkalian sesuatu acara oleh pemain

Perkara kedua rancangan kami ialah penilaian kami sendiri tentang kebarangkalian kejadian itu. Oleh kerana kami tidak boleh mengambil kira parameter seperti motivasi, nada permainan secara matematik, kami akan menggunakan model yang dipermudahkan dan hanya menggunakan statistik mesyuarat sebelumnya. Untuk mengira kebarangkalian statistik sesuatu hasil, kami menggunakan formula:

PDan\u003d (UM / M) * 100%,

di manaPDan- kebarangkalian acara mengikut pemain;

UM - bilangan perlawanan yang berjaya di mana acara sedemikian berlaku;

M ialah jumlah bilangan perlawanan.

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari kita berikan contoh. Andy Murray dan Rafael Nadal telah bermain 14 perlawanan. Dalam 6 daripadanya, jumlah permainan di bawah 21 telah direkodkan, dalam 8 - jumlah tamat. Adalah perlu untuk mengetahui kebarangkalian bahawa perlawanan seterusnya akan dimainkan dengan jumlah melebihi: (8/14)*100=57%. Valencia bermain 74 perlawanan di Mestalla menentang Atlético, di mana mereka menjaringkan 29 kemenangan. Kebarangkalian Valencia menang: (29/74)*100%=39%.

Dan kita semua tahu ini hanya terima kasih kepada statistik permainan sebelumnya! Sememangnya, kebarangkalian sedemikian tidak boleh dikira untuk beberapa pasukan atau pemain baru, jadi strategi pertaruhan ini hanya sesuai untuk perlawanan di mana lawan bertemu bukan untuk kali pertama. Sekarang kita tahu bagaimana untuk menentukan pertaruhan dan kebarangkalian sendiri hasil, dan kita mempunyai semua pengetahuan untuk pergi ke langkah terakhir.

Menentukan nilai pertaruhan

Nilai (kebolehnilaian) pertaruhan dan kebolehlaluan adalah berkaitan secara langsung: semakin tinggi penilaian, semakin tinggi peluang untuk lulus. Nilai dikira seperti berikut:

V=PDan*K-100%,

dengan V ialah nilai;

P I - kebarangkalian hasil mengikut lebih baik;

K - peluang penaruh taruhan untuk hasilnya.

Katakan kami ingin bertaruh pada Milan untuk memenangi perlawanan menentang Roma dan kami mengira bahawa kebarangkalian untuk menang Merah-Hitam ialah 45%. Pembuat taruhan menawarkan kita pekali 2.5 untuk hasil ini. Adakah pertaruhan sedemikian bernilai? Kami menjalankan pengiraan: V \u003d 45% * 2.5-100% \u003d 12.5%. Hebat, kami mempunyai pertaruhan yang berharga dengan peluang yang baik untuk lulus.

Mari kita ambil satu lagi kes. Maria Sharapova menentang Petra Kvitova. Kami mahu membuat perjanjian untuk Maria menang, yang, mengikut pengiraan kami, mempunyai kebarangkalian 60%. Penerima taruhan menawarkan pengganda 1.5 untuk hasil ini. Tentukan nilai: V=60%*1.5-100=-10%. Seperti yang anda lihat, pertaruhan ini tidak bernilai dan harus dielakkan.

Malah, formula (1) dan (2) adalah rekod pendek kebarangkalian bersyarat berdasarkan jadual kontingensi ciri. Mari kembali kepada contoh yang dipertimbangkan (Rajah 1). Katakan kita tahu bahawa keluarga tertentu akan membeli TV skrin lebar. Apakah kebarangkalian keluarga ini benar-benar akan membeli TV sedemikian?

nasi. 1. Gelagat Pembeli TV Skrin Lebar

Dalam kes ini, kita perlu mengira kebarangkalian bersyarat P (pembelian telah dibuat | pembelian telah dirancang). Memandangkan kita tahu bahawa sebuah keluarga merancang untuk membeli, ruang sampel tidak terdiri daripada semua 1,000 keluarga, tetapi hanya mereka yang merancang untuk membeli TV skrin lebar. Daripada 250 keluarga sedemikian, 200 sebenarnya membeli TV ini. Oleh itu, kebarangkalian bahawa sebuah keluarga benar-benar akan membeli TV skrin lebar, jika mereka merancang untuk berbuat demikian, boleh dikira menggunakan formula berikut:

P (pembelian dibuat | pembelian dirancang) = bilangan keluarga yang merancang dan membeli TV skrin lebar / bilangan keluarga yang merancang untuk membeli TV skrin lebar = 200 / 250 = 0.8

Keputusan yang sama diberikan oleh formula (2):

di mana acaranya TAPI ialah keluarga bercadang untuk membeli TV skrin lebar, dan acara itu AT- bahawa dia sebenarnya akan membelinya. Menggantikan data sebenar ke dalam formula, kami mendapat:

pokok keputusan

Pada rajah. 1 keluarga dibahagikan kepada empat kategori: mereka yang merancang untuk membeli TV skrin lebar dan mereka yang tidak, dan mereka yang membeli TV sedemikian dan mereka yang tidak. Pengelasan serupa boleh dilakukan menggunakan pepohon keputusan (Rajah 2). Pokok yang ditunjukkan dalam rajah. 2 mempunyai dua cawangan, sepadan dengan keluarga yang merancang untuk membeli TV skrin lebar dan keluarga yang tidak. Setiap cawangan ini dibahagikan kepada dua cawangan tambahan, sepadan dengan keluarga yang membeli dan tidak membeli TV skrin lebar. Kebarangkalian yang ditulis di hujung dua cabang utama ialah kebarangkalian kejadian tanpa syarat. TAPI dan TAPI'. Kebarangkalian yang ditulis di hujung empat cabang tambahan ialah kebarangkalian bersyarat bagi setiap gabungan peristiwa TAPI dan AT. Kebarangkalian bersyarat dikira dengan membahagikan kebarangkalian bersama peristiwa dengan kebarangkalian tidak bersyarat yang sepadan bagi setiap satu daripadanya.

nasi. 2. Pokok keputusan

Sebagai contoh, untuk mengira kebarangkalian bahawa sebuah keluarga akan membeli TV skrin lebar, jika mereka merancang untuk berbuat demikian, seseorang harus menentukan kebarangkalian kejadian itu. pembelian dirancang dan siap, dan kemudian bahagikannya dengan kebarangkalian peristiwa itu pembelian yang dirancang. Bergerak di sepanjang pokok keputusan yang ditunjukkan dalam Rajah. 2, kami mendapat jawapan berikut (serupa dengan yang sebelumnya):

Kemerdekaan statistik

Dalam contoh membeli TV skrin lebar, kebarangkalian bahawa keluarga yang dipilih secara rawak membeli TV skrin lebar memandangkan mereka merancang untuk berbuat demikian ialah 200/250 = 0.8. Ingat bahawa kebarangkalian tanpa syarat bahawa keluarga yang dipilih secara rawak membeli TV skrin lebar ialah 300/1000 = 0.3. Kesimpulan yang sangat penting berikutan daripada ini. Maklumat apriori bahawa keluarga itu merancang pembelian mempengaruhi kebarangkalian pembelian itu sendiri. Dengan kata lain, kedua-dua peristiwa ini bergantung antara satu sama lain. Berbeza dengan contoh ini, terdapat peristiwa bebas statistik yang kebarangkaliannya tidak bergantung antara satu sama lain. Kebebasan statistik dinyatakan dengan identiti: P(A|B) = P(A), di mana P(A|B)- kebarangkalian peristiwa TAPI dengan mengandaikan sesuatu kejadian telah berlaku AT, P(A) ialah kebarangkalian tanpa syarat bagi peristiwa A.

Sila ambil perhatian bahawa peristiwa TAPI dan AT P(A|B) = P(A). Jika dalam jadual kontingensi ciri, yang mempunyai saiz 2 × 2, syarat ini dipenuhi untuk sekurang-kurangnya satu kombinasi peristiwa TAPI dan AT, ia akan sah untuk sebarang kombinasi lain. Dalam contoh kita, peristiwa pembelian yang dirancang dan pembelian selesai tidak bebas dari segi statistik kerana maklumat tentang satu peristiwa mempengaruhi kebarangkalian yang lain.

Mari kita lihat contoh yang menunjukkan cara menguji kebebasan statistik dua peristiwa. Mari kita tanya 300 keluarga yang membeli TV skrin lebar sama ada mereka berpuas hati dengan pembelian mereka (Gamb. 3). Tentukan sama ada tahap kepuasan terhadap pembelian dan jenis TV adalah berkaitan.

nasi. 3. Data Kepuasan Pelanggan untuk TV Skrin Lebar

Menurut data ini,

Dalam masa yang sama,

P (pelanggan berpuas hati) = 240 / 300 = 0.80

Oleh itu, kebarangkalian bahawa pelanggan berpuas hati dengan pembelian dan bahawa keluarga telah membeli HDTV adalah sama, dan peristiwa ini adalah bebas dari segi statistik, kerana ia tidak berkaitan antara satu sama lain.

Peraturan pendaraban kebarangkalian

Formula untuk mengira kebarangkalian bersyarat membolehkan anda menentukan kebarangkalian kejadian bersama A dan B. Formula penyelesaian (1)

berkenaan dengan kebarangkalian bersama P(A dan B), kita memperoleh peraturan am untuk pendaraban kebarangkalian. Kebarangkalian Peristiwa A dan B adalah sama dengan kebarangkalian kejadian TAPI dengan syarat bahawa acara itu AT AT:

(3) P(A dan B) = P(A|B) * P(B)

Pertimbangkan, sebagai contoh, 80 isi rumah yang membeli HDTV skrin lebar (Rajah 3). Jadual menunjukkan bahawa 64 keluarga berpuas hati dengan pembelian dan 16 tidak. Katakan bahawa dua keluarga dipilih secara rawak di kalangan mereka. Tentukan kebarangkalian bahawa kedua-dua pembeli akan berpuas hati. Dengan menggunakan formula (3), kami memperoleh:

P(A dan B) = P(A|B) * P(B)

di mana acaranya TAPI ialah keluarga kedua berpuas hati dengan pembelian mereka, dan acara itu AT- bahawa keluarga pertama berpuas hati dengan pembelian mereka. Kebarangkalian bahawa keluarga pertama berpuas hati dengan pembelian mereka ialah 64/80. Bagaimanapun, kebarangkalian keluarga kedua juga berpuas hati dengan pembelian mereka bergantung kepada sambutan keluarga pertama. Jika keluarga pertama tidak dikembalikan kepada sampel selepas tinjauan (pilihan tanpa pemulangan), bilangan responden menurun kepada 79. Jika keluarga pertama berpuas hati dengan pembelian mereka, kebarangkalian keluarga kedua juga akan berpuas hati ialah 63/ 79, kerana hanya 63 kekal dalam keluarga sampel yang berpuas hati dengan pembelian mereka. Oleh itu, menggantikan data khusus ke dalam formula (3), kita mendapat jawapan berikut:

P(A dan B) = (63/79)(64/80) = 0.638.

Oleh itu, kebarangkalian bahawa kedua-dua keluarga berpuas hati dengan pembelian mereka ialah 63.8%.

Katakan bahawa selepas tinjauan, keluarga pertama dikembalikan kepada sampel. Tentukan kebarangkalian bahawa kedua-dua keluarga akan berpuas hati dengan pembelian mereka. Dalam kes ini, kebarangkalian bahawa kedua-dua keluarga berpuas hati dengan pembelian mereka adalah sama, dan sama dengan 64/80. Oleh itu, P(A dan B) = (64/80)(64/80) = 0.64. Oleh itu, kebarangkalian bahawa kedua-dua keluarga berpuas hati dengan pembelian mereka ialah 64.0%. Contoh ini menunjukkan bahawa pilihan keluarga kedua tidak bergantung kepada pilihan yang pertama. Oleh itu, menggantikan dalam formula (3) kebarangkalian bersyarat P(A|B) kebarangkalian P(A), kita memperoleh formula untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas.

Peraturan untuk mendarab kebarangkalian peristiwa bebas. Jika peristiwa TAPI dan AT adalah bebas dari segi statistik, kebarangkalian sesuatu peristiwa A dan B adalah sama dengan kebarangkalian kejadian TAPI didarab dengan kebarangkalian kejadian itu AT.

(4) P(A dan B) = P(A)P(B)

Jika peraturan ini benar untuk acara TAPI dan AT, yang bermaksud mereka bebas dari segi statistik. Oleh itu, terdapat dua cara untuk menentukan kebebasan statistik dua peristiwa:

Perkembangan TAPI dan AT adalah bebas secara statistik antara satu sama lain jika dan hanya jika P(A|B) = P(A).
Perkembangan TAPI dan B adalah bebas secara statistik antara satu sama lain jika dan hanya jika P(A dan B) = P(A)P(B).

Jika dalam jadual kontingensi ciri, yang mempunyai saiz 2 × 2, salah satu syarat ini dipenuhi untuk sekurang-kurangnya satu gabungan peristiwa TAPI dan B, ia akan sah untuk sebarang kombinasi lain.

Kebarangkalian tanpa syarat bagi peristiwa asas

(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)

di mana peristiwa B 1 , B 2 , … B k adalah saling eksklusif dan menyeluruh.

Kami menggambarkan aplikasi formula ini pada contoh Rajah.1. Dengan menggunakan formula (5), kami memperoleh:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

di mana P(A)- kebarangkalian pembelian itu dirancang, P(B 1)- kebarangkalian pembelian dibuat, P(B 2)- kebarangkalian bahawa pembelian tidak dibuat.

TEOREM BAYES

Kebarangkalian bersyarat sesuatu peristiwa mengambil kira maklumat bahawa beberapa peristiwa lain telah berlaku. Pendekatan ini boleh digunakan untuk memperhalusi kebarangkalian, mengambil kira maklumat yang baru diterima, dan untuk mengira kebarangkalian bahawa kesan yang diperhatikan adalah hasil daripada sebab tertentu. Prosedur untuk menapis kebarangkalian ini dipanggil teorem Bayes. Ia pertama kali dibangunkan oleh Thomas Bayes pada abad ke-18.

Katakan syarikat yang disebutkan di atas sedang menyelidik pasaran untuk model TV baharu. Pada masa lalu, 40% daripada TV yang dicipta oleh syarikat itu berjaya, dan 60% daripada model tidak diiktiraf. Sebelum mengumumkan keluaran model baharu, pemasar meneliti pasaran dengan teliti dan menangkap permintaan. Pada masa lalu, kejayaan 80% model yang mendapat pengiktirafan telah diramalkan lebih awal, manakala 30% ramalan yang menggalakkan ternyata salah. Untuk model baharu, jabatan pemasaran memberikan ramalan yang menggalakkan. Apakah kemungkinan model TV baharu akan mendapat permintaan?

Teorem Bayes boleh diperoleh daripada takrifan kebarangkalian bersyarat (1) dan (2). Untuk mengira kebarangkalian Р(В|А), kami mengambil formula (2):

dan gantikan daripada P(A dan B) nilai daripada formula (3):

P(A dan B) = P(A|B) * P(B)

Menggantikan formula (5) dan bukannya P(A), kita memperoleh teorem Bayes:

di mana peristiwa B 1 , B 2 , ... B k adalah saling eksklusif dan menyeluruh.

Mari kita perkenalkan tatatanda berikut: peristiwa S - TV mendapat permintaan, acara S' - TV tidak mendapat permintaan, acara F - prognosis yang menggalakkan, acara F' - prognosis yang buruk. Katakan P(S) = 0.4, P(S') = 0.6, P(F|S) = 0.8, P(F|S') = 0.3. Menggunakan teorem Bayes, kita dapat:

Kebarangkalian permintaan untuk model TV baharu, tertakluk kepada ramalan yang menggalakkan, ialah 0.64. Oleh itu, kebarangkalian kekurangan permintaan di bawah keadaan ramalan yang menggalakkan ialah 1–0.64=0.36. Proses pengiraan ditunjukkan dalam rajah. empat.

nasi. 4. (a) Pengiraan Bayesian untuk menganggarkan kebarangkalian permintaan TV; (b) Pohon keputusan untuk menyelidik permintaan untuk model TV baharu

Mari kita pertimbangkan contoh aplikasi teorem Bayes untuk diagnostik perubatan. Kebarangkalian seseorang itu menghidap penyakit tertentu ialah 0.03. Ujian perubatan membolehkan anda menyemak sama ada ini benar. Jika seseorang itu benar-benar sakit, kebarangkalian diagnosis yang tepat (menyatakan bahawa seseorang itu sakit apabila dia benar-benar sakit) ialah 0.9. Jika seseorang itu sihat, kebarangkalian diagnosis positif palsu (menyatakan bahawa seseorang itu sakit apabila mereka sihat) ialah 0.02. Katakan ujian perubatan kembali positif. Apakah kebarangkalian bahawa orang itu sebenarnya sakit? Apakah kemungkinan diagnosis yang tepat?

Mari kita perkenalkan notasi berikut: peristiwa D - lelaki sedang sakit, acara D' - orang itu sihat, acara T - diagnosis positif, acara T' - diagnosis adalah negatif. Ia berikutan daripada keadaan masalah bahawa Р(D) = 0.03, P(D’) = 0.97, Р(T|D) = 0.90, P(T|D’) = 0.02. Menggunakan formula (6), kami memperoleh:

Kebarangkalian bahawa seseorang yang mempunyai diagnosis positif benar-benar sakit ialah 0.582 (lihat juga Rajah 5). Ambil perhatian bahawa penyebut formula Bayes adalah sama dengan kebarangkalian diagnosis positif, i.e. 0.0464.

Teori ringkas

Untuk perbandingan kuantitatif peristiwa mengikut tahap kemungkinan kejadiannya, ukuran berangka diperkenalkan, yang dipanggil kebarangkalian kejadian. Kebarangkalian kejadian rawak nombor dipanggil, yang merupakan ungkapan ukuran kemungkinan objektif berlakunya peristiwa.

Nilai yang menentukan betapa pentingnya alasan objektif untuk mengira kejadian sesuatu peristiwa dicirikan oleh kebarangkalian peristiwa itu. Perlu ditekankan bahawa kebarangkalian ialah kuantiti objektif yang wujud secara bebas daripada pengecam dan dikondisikan oleh keseluruhan keadaan yang menyumbang kepada kejadian sesuatu peristiwa.

Penjelasan yang telah kami berikan kepada konsep kebarangkalian bukanlah definisi matematik, kerana mereka tidak mentakrifkan konsep ini secara kuantitatif. Terdapat beberapa takrifan kebarangkalian kejadian rawak, yang digunakan secara meluas dalam menyelesaikan masalah tertentu (klasik, aksiomatik, statistik, dll.).

Takrif klasik bagi kebarangkalian sesuatu peristiwa mengurangkan konsep ini kepada konsep yang lebih asas tentang kejadian yang sama kemungkinan, yang tidak lagi tertakluk kepada definisi dan diandaikan jelas secara intuitif. Sebagai contoh, jika dadu ialah kubus homogen, maka kejatuhan mana-mana muka kubus ini akan menjadi peristiwa yang berkemungkinan sama.

Biarkan peristiwa tertentu dibahagikan kepada kes yang sama kemungkinan, jumlahnya memberikan peristiwa itu. Iaitu, kes dari , ke mana ia berpecah, dipanggil sesuai untuk acara itu, kerana kemunculan salah satu daripadanya memastikan serangan.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa akan dilambangkan dengan simbol .

Kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dengan nisbah bilangan kes yang menguntungkannya, daripada jumlah bilangan kes unik, sama mungkin dan tidak serasi, kepada bilangan, i.e.

Ini ialah takrifan klasik bagi kebarangkalian. Oleh itu, untuk mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa, adalah perlu, selepas mempertimbangkan pelbagai hasil ujian, untuk mencari satu set satu-satunya kes yang mungkin, sama mungkin dan tidak serasi, hitung jumlah bilangannya n, bilangan kes m yang pilih acara ini, dan kemudian lakukan pengiraan mengikut formula di atas.

Kebarangkalian kejadian yang sama dengan nisbah bilangan hasil pengalaman yang menguntungkan kepada peristiwa itu kepada jumlah bilangan hasil pengalaman dipanggil kebarangkalian klasik peristiwa rawak.

Sifat-sifat kebarangkalian berikut mengikut definisi:

Harta 1. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu.

Sifat 2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sifat 3. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu.

Harta 4. Kebarangkalian berlakunya peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap adalah sama dengan satu.

Sifat 5. Kebarangkalian berlakunya peristiwa bertentangan ditakrifkan dengan cara yang sama seperti kebarangkalian kejadian A.

Bilangan kejadian yang memihak kepada kejadian yang bertentangan. Oleh itu, kebarangkalian kejadian berlawanan berlaku adalah sama dengan perbezaan antara perpaduan dan kebarangkalian kejadian A berlaku:

Kelebihan penting definisi klasik tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah dengan bantuannya kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh ditentukan tanpa menggunakan pengalaman, tetapi berdasarkan penaakulan logik.

Apabila satu set syarat dipenuhi, sesuatu peristiwa pasti akan berlaku, dan yang mustahil pasti tidak akan berlaku. Antara peristiwa yang, apabila keadaan kompleks dicipta, mungkin atau mungkin tidak berlaku, kemunculan sesetengah boleh dikira dengan lebih banyak sebab, pada kemunculan orang lain dengan alasan yang kurang. Jika, sebagai contoh, terdapat lebih banyak bola putih di dalam tempayan daripada yang hitam, maka terdapat lebih banyak sebab untuk mengharapkan kemunculan bola putih apabila dikeluarkan secara rawak daripada kemunculan bola hitam.

Contoh penyelesaian masalah

Contoh 1

Sebuah kotak mengandungi 8 bola putih, 4 bola hitam dan 7 bola merah. 3 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: - sekurang-kurangnya 1 bola merah ditarik, - terdapat sekurang-kurangnya 2 bola warna yang sama, - terdapat sekurang-kurangnya 1 bola merah dan 1 bola putih.

Penyelesaian masalah

Kami mencari jumlah bilangan hasil ujian sebagai bilangan gabungan 19 (8 + 4 + 7) elemen bagi 3 setiap satu:

Cari kebarangkalian sesuatu peristiwa– ditarik sekurang-kurangnya 1 bola merah (1,2 atau 3 bola merah)

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu- terdapat sekurang-kurangnya 2 bola dengan warna yang sama (2 atau 3 bola putih, 2 atau 3 bola hitam dan 2 atau 3 bola merah)

Bilangan hasil yang memihak kepada acara:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu– terdapat sekurang-kurangnya satu bola merah dan satu bola putih

(1 merah, 1 putih, 1 hitam atau 1 merah, 2 putih atau 2 merah, 1 putih)

Bilangan hasil yang memihak kepada acara:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Jawapan: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Contoh 2

Dua dadu dilempar. Cari kebarangkalian bahawa jumlah mata adalah sekurang-kurangnya 5.

Penyelesaian

Biarkan peristiwa itu menjadi jumlah mata tidak kurang daripada 5

Mari kita gunakan definisi klasik kebarangkalian:

Jumlah bilangan hasil percubaan yang mungkin

Bilangan percubaan yang memihak kepada acara yang menarik minat kami

Pada muka yang dijatuhkan daripada dadu pertama, satu mata, dua mata ..., enam mata boleh muncul. begitu juga, enam hasil adalah mungkin pada gulungan die kedua. Setiap hasil daripada mati pertama boleh digabungkan dengan setiap keputusan yang kedua. Oleh itu, jumlah bilangan kemungkinan hasil asas ujian adalah sama dengan bilangan peletakan dengan ulangan (pilihan dengan peletakan 2 elemen daripada set volum 6):

Cari kebarangkalian kejadian bertentangan - jumlah mata adalah kurang daripada 5

Gabungan mata yang digugurkan berikut akan memihak kepada acara tersebut:

№

tulang pertama

tulang ke-2

Takrif geometri kebarangkalian dibentangkan dan penyelesaian masalah pertemuan yang terkenal diberikan.