Cara memplot fungsi y 1 2. Fungsi dan Graf

"Logaritma semula jadi" - 0.1. logaritma semula jadi. 4. "Dart logaritma". 0.04. 7.121.

"Fungsi kuasa gred 9" - U. Parabola kubik. Y = x3. Guru darjah 9 Ladoshkina I.A. Y = x2. Hiperbola. 0. Y \u003d xn, y \u003d x-n dengan n ialah yang diberikan nombor asli. X. Eksponen ialah nombor asli genap (2n).

"Fungsi Kuadratik" - 1 Definisi fungsi kuadratik 2 Sifat fungsi 3 Graf fungsi 4 Ketaksamaan kuadratik 5 Kesimpulan. Sifat: Ketaksamaan: Disediakan oleh Andrey Gerlitz, pelajar gred 8A. Pelan: Graf: -Selang kemonotonan pada a > 0 pada a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

"Fungsi kuadratik dan grafnya" - Keputusan. y \u003d 4x A (0.5: 1) 1 \u003d 1 A-milik. Apabila a=1, formula y=ax mengambil bentuk.

"Fungsi kuadratik Kelas 8" - 1) Bina bahagian atas parabola. Memplot fungsi kuadratik. x. -7. Plot fungsi. Guru Algebra Darjah 8 496 sekolah Bovina TV -1. Pelan pembinaan. 2) Bina paksi simetri x=-1. y.

Jom pilih dalam kapal terbang sistem segi empat tepat koordinat dan kami akan plot pada paksi-x nilai-nilai hujah X, dan pada paksi-y - nilai fungsi y = f(x).

Graf Fungsi y = f(x) set semua titik dipanggil, yang mana abscissas tergolong dalam domain fungsi, dan ordinat adalah sama dengan nilai fungsi yang sepadan.

Dalam erti kata lain, graf fungsi y \u003d f (x) ialah set semua titik dalam satah, koordinat X, di yang memuaskan perhubungan y = f(x).

Pada rajah. 45 dan 46 ialah graf fungsi y = 2x + 1 dan y \u003d x 2 - 2x.

Tegasnya, seseorang harus membezakan antara graf fungsi (tepat definisi matematik yang diberikan di atas) dan lengkung yang dilukis, yang sentiasa memberikan hanya lakaran graf yang lebih atau kurang tepat (dan walaupun begitu, sebagai peraturan, bukan keseluruhan graf, tetapi hanya bahagiannya yang terletak di bahagian akhir satah) . Walau bagaimanapun, dalam perkara berikut, kami biasanya merujuk kepada "carta" dan bukannya "lakaran carta".

Menggunakan graf, anda boleh mencari nilai fungsi pada satu titik. Iaitu, jika titik x = a tergolong dalam skop fungsi y = f(x), kemudian untuk mencari nombor f(a)(iaitu nilai fungsi pada titik x = a) harus berbuat demikian. Perlu melalui titik dengan absis x = a lukis garis lurus selari dengan paksi-y; garisan ini akan bersilang dengan graf fungsi tersebut y = f(x) pada satu ketika; ordinat titik ini adalah, berdasarkan takrifan graf, sama dengan f(a)(Gamb. 47).

Sebagai contoh, untuk fungsi f(x) = x 2 - 2x menggunakan graf (Rajah 46) kita dapati f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, dsb.

Graf fungsi secara visual menggambarkan tingkah laku dan sifat sesuatu fungsi. Sebagai contoh, daripada pertimbangan Rajah. 46 jelas bahawa fungsi y \u003d x 2 - 2x menerima nilai positif di X< 0 dan pada x > 2, negatif - pada 0< x < 2; nilai terkecil fungsi y \u003d x 2 - 2x menerima di x = 1.

Untuk merancang fungsi f(x) anda perlu mencari semua titik satah, koordinat X,di yang memenuhi persamaan y = f(x). Dalam kebanyakan kes, ini adalah mustahil, kerana terdapat banyak perkara sedemikian. Oleh itu, graf fungsi digambarkan lebih kurang - dengan ketepatan yang lebih besar atau lebih kecil. Yang paling mudah ialah kaedah plot berbilang titik. Ia terdiri daripada fakta bahawa hujah X lampirkan nombor terhingga nilai - katakan, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k dan buat jadual yang merangkumi nilai fungsi yang dipilih.

Jadual kelihatan seperti ini:

Setelah menyusun jadual sedemikian, kita boleh menggariskan beberapa titik pada graf fungsi y = f(x). Kemudian, menyambungkan titik-titik ini dengan garis licin, kita mendapat pandangan anggaran graf fungsi y = f(x).

Walau bagaimanapun, perlu diingatkan bahawa kaedah plot berbilang titik adalah sangat tidak boleh dipercayai. Malah, kelakuan graf antara titik yang ditanda dan kelakuannya di luar segmen antara titik melampau yang diambil masih tidak diketahui.

Contoh 1. Untuk merancang fungsi y = f(x) seseorang menyusun jadual hujah dan nilai fungsi:

Lima mata yang sepadan ditunjukkan dalam Rajah. 48.

Berdasarkan lokasi titik-titik ini, beliau membuat kesimpulan bahawa graf fungsi ialah garis lurus (ditunjukkan dalam Rajah 48 oleh garis putus-putus). Adakah kesimpulan ini boleh dianggap boleh dipercayai? Melainkan terdapat pertimbangan tambahan untuk menyokong kesimpulan ini, ia hampir tidak boleh dianggap boleh dipercayai. boleh dipercayai.

Untuk mengesahkan dakwaan kami, pertimbangkan fungsinya

.

Pengiraan menunjukkan bahawa nilai fungsi ini pada titik -2, -1, 0, 1, 2 hanya diterangkan oleh jadual di atas. Walau bagaimanapun, graf fungsi ini sama sekali bukan garis lurus (ia ditunjukkan dalam Rajah 49). Contoh lain ialah fungsi y = x + l + sinx; maknanya juga diterangkan dalam jadual di atas.

Contoh-contoh ini menunjukkan bahawa dalam bentuk "tulen", kaedah plot berbilang titik tidak boleh dipercayai. Oleh itu, untuk merancang fungsi tertentu, sebagai peraturan, teruskan seperti berikut. Pertama, sifat fungsi ini dikaji, dengan bantuan yang mungkin untuk membina lakaran graf. Kemudian, dengan mengira nilai fungsi pada beberapa titik (pilihan yang bergantung pada sifat set fungsi), titik graf yang sepadan ditemui. Dan, akhirnya, lengkung dilukis melalui titik yang dibina menggunakan sifat fungsi ini.

Kami akan mempertimbangkan beberapa (yang paling mudah dan paling kerap digunakan) sifat fungsi yang digunakan untuk mencari lakaran graf kemudian, dan kini kami akan menganalisis beberapa kaedah yang biasa digunakan untuk memplot graf.

Graf fungsi y = |f(x)|.

Selalunya perlu untuk merancang fungsi y = |f(x)|, di mana f(x) - belakang fungsi yang diberikan. Ingat bagaimana ini dilakukan. A-priory nilai mutlak nombor boleh ditulis

Ini bermakna graf fungsi y=|f(x)| boleh didapati daripada graf, fungsi y = f(x) seperti berikut: semua titik graf fungsi y = f(x), yang ordinatnya bukan negatif, hendaklah dibiarkan tidak berubah; selanjutnya, bukannya titik graf fungsi y = f(x), mempunyai koordinat negatif, seseorang itu harus membina titik sepadan graf fungsi itu y = -f(x)(iaitu sebahagian daripada graf fungsi
y = f(x), yang terletak di bawah paksi X, hendaklah dipantulkan secara simetri tentang paksi X).

Contoh 2 Plot fungsi y = |x|.

Kami mengambil graf fungsi y = x(Gamb. 50, a) dan sebahagian daripada graf ini apabila X< 0 (berbaring di bawah paksi X) dipantulkan secara simetri tentang paksi X. Hasilnya, kita mendapat graf fungsi y = |x|(Gamb. 50, b).

Contoh 3. Plot fungsi y = |x 2 - 2x|.

Mula-mula kita merancang fungsi y = x 2 - 2x. Graf fungsi ini ialah parabola, cawangannya diarahkan ke atas, puncak parabola mempunyai koordinat (1; -1), grafnya memotong paksi absis pada titik 0 dan 2. Pada selang (0; 2). ), fungsi mengambil nilai negatif, oleh itu, bahagian graf inilah yang akan dipantulkan secara simetri tentang paksi-x. Rajah 51 menunjukkan graf bagi fungsi tersebut y \u003d |x 2 -2x |, berdasarkan graf fungsi y = x 2 - 2x

Graf fungsi y = f(x) + g(x)

Pertimbangkan masalah merancang fungsi y = f(x) + g(x). jika graf fungsi diberikan y = f(x) dan y = g(x).

Ambil perhatian bahawa domain bagi fungsi y = |f(x) + g(x)| ialah set semua nilai x yang mana kedua-dua fungsi y = f(x) dan y = g(x) ditakrifkan, iaitu domain takrifan ini ialah persilangan domain takrifan, fungsi f(x). ) dan g(x).

Biarkan mata (x 0, y 1) dan (x 0, y 2) masing-masing tergolong dalam graf fungsi y = f(x) dan y = g(x), iaitu y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Maka titik (x0;. y1 + y2) tergolong dalam graf fungsi tersebut y = f(x) + g(x)(untuk f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. dan mana-mana titik graf fungsi itu y = f(x) + g(x) boleh diperolehi dengan cara ini. Oleh itu, graf fungsi y = f(x) + g(x) boleh didapati daripada graf fungsi y = f(x). dan y = g(x) dengan menggantikan setiap titik ( x n, y 1) grafik fungsi y = f(x) titik (x n, y 1 + y 2), di mana y 2 = g(x n), iaitu, dengan menganjak setiap titik ( x n, y 1) graf fungsi y = f(x) sepanjang paksi di mengikut jumlah y 1 \u003d g (x n). Dalam kes ini, hanya mata sedemikian dipertimbangkan. X n yang mana kedua-dua fungsi ditakrifkan y = f(x) dan y = g(x).

Kaedah memplot graf fungsi ini y = f(x) + g(x) dipanggil penambahan graf fungsi y = f(x) dan y = g(x)

Contoh 4. Dalam rajah, dengan kaedah menambah graf, graf bagi fungsi itu dibina
y = x + sinx.

Semasa merancang fungsi y = x + sinx kami mengandaikan bahawa f(x) = x, a g(x) = sinx. Untuk membina graf fungsi, kami memilih titik dengan abscissas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Nilai f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx kami akan mengira pada titik yang dipilih dan meletakkan keputusan dalam jadual.

Pembinaan graf fungsi yang mengandungi modul biasanya menyebabkan kesukaran yang besar kepada pelajar sekolah. Walau bagaimanapun, semuanya tidak begitu buruk. Ia cukup untuk mengingati beberapa algoritma untuk menyelesaikan masalah sedemikian, dan anda boleh membina graf dengan mudah walaupun untuk yang paling kelihatan. fungsi kompleks. Mari lihat apakah algoritma ini.

1. Memplot fungsi y = |f(x)|

Ambil perhatian bahawa set nilai fungsi y = |f(x)| : y ≥ 0. Oleh itu, graf bagi fungsi tersebut sentiasa terletak sepenuhnya pada separuh satah atas.

Memplot fungsi y = |f(x)| terdiri daripada empat langkah mudah berikut.

1) Bina dengan teliti dan teliti graf bagi fungsi y = f(x).

2) Biarkan tidak berubah semua titik graf yang berada di atas atau pada paksi 0x.

3) Bahagian graf yang terletak di bawah paksi 0x, paparkan secara simetri tentang paksi 0x.

Contoh 1. Lukiskan graf bagi fungsi y = |x 2 - 4x + 3|

1) Kami membina graf fungsi y \u003d x 2 - 4x + 3. Jelas sekali bahawa graf fungsi ini ialah parabola. Mari cari koordinat semua titik persilangan parabola dengan paksi koordinat dan koordinat bucu parabola.

x 2 - 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Oleh itu, parabola memotong paksi 0x pada titik (3, 0) dan (1, 0).

y \u003d 0 2 - 4 0 + 3 \u003d 3.

Oleh itu, parabola memotong paksi 0y pada titik (0, 3).

Koordinat puncak parabola:

x dalam \u003d - (-4/2) \u003d 2, y dalam \u003d 2 2 - 4 2 + 3 \u003d -1.

Oleh itu, titik (2, -1) ialah bucu parabola ini.

Lukis parabola menggunakan data yang diterima (Rajah 1)

2) Bahagian graf yang terletak di bawah paksi 0x dipaparkan secara simetri berkenaan dengan paksi 0x.

3) Kami mendapat graf fungsi asal ( nasi. 2, ditunjukkan dengan garis putus-putus).

2. Memplot fungsi y = f(|x|)

Perhatikan bahawa fungsi bentuk y = f(|x|) adalah genap:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Ini bermakna graf bagi fungsi tersebut adalah simetri tentang paksi 0y.

Memplotkan fungsi y = f(|x|) terdiri daripada rantaian tindakan mudah berikut.

1) Plotkan fungsi y = f(x).

2) Biarkan bahagian graf yang x ≥ 0, iaitu bahagian graf yang terletak di separuh satah kanan.

3) Paparkan bahagian graf yang dinyatakan dalam perenggan (2) secara simetri kepada paksi 0y.

4) Sebagai graf akhir, pilih gabungan lengkung yang diperoleh dalam perenggan (2) dan (3).

Contoh 2. Lukiskan graf bagi fungsi y = x 2 – 4 · |x| + 3

Sejak x 2 = |x| 2 , maka fungsi asal boleh ditulis semula sebagai borang berikut: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Dan kini kita boleh menggunakan algoritma yang dicadangkan di atas.

1) Kami membina dengan teliti dan teliti graf fungsi y \u003d x 2 - 4 x + 3 (lihat juga nasi. satu).

2) Kami meninggalkan bahagian graf yang x ≥ 0, iaitu bahagian graf yang terletak di separuh satah kanan.

3) Paparan sebelah kanan grafik simetri kepada paksi 0y.

(Gamb. 3).

Contoh 3. Lukiskan graf bagi fungsi y = log 2 |x|

Kami menggunakan skim yang diberikan di atas.

1) Kami memplot fungsi y = log 2 x (Gamb. 4).

3. Memplot fungsi y = |f(|x|)|

Perhatikan bahawa fungsi bentuk y = |f(|x|)| adalah juga sekata. Sesungguhnya, y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), dan oleh itu, graf mereka adalah simetri tentang paksi 0y. Set nilai fungsi tersebut: y ≥ 0. Oleh itu, graf bagi fungsi tersebut terletak sepenuhnya pada separuh satah atas.

Untuk memplot fungsi y = |f(|x|)|, anda perlu:

1) Bina satu graf yang kemas bagi fungsi y = f(|x|).

2) Biarkan bahagian graf di atas atau pada paksi 0x tidak berubah.

3) Bahagian graf yang terletak di bawah paksi 0x hendaklah dipaparkan secara simetri berkenaan dengan paksi 0x.

4) Sebagai graf akhir, pilih gabungan lengkung yang diperoleh dalam perenggan (2) dan (3).

Contoh 4. Lukiskan graf bagi fungsi y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Ambil perhatian bahawa x 2 = |x| 2. Oleh itu, bukannya fungsi asal y = -x 2 + 2|x| - satu

anda boleh menggunakan fungsi y = -|x| 2 + 2|x| – 1, kerana graf mereka adalah sama.

Kami membina graf y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Untuk ini, kami menggunakan algoritma 2.

a) Kami merancang fungsi y \u003d -x 2 + 2x - 1 (Gamb. 6).

b) Kami meninggalkan bahagian graf itu, yang terletak di separuh satah kanan.

c) Paparkan bahagian graf yang terhasil secara simetri kepada paksi 0y.

d) Graf yang terhasil ditunjukkan dalam rajah dengan garis putus-putus (Gamb. 7).

2) Tiada titik di atas paksi 0x, kami biarkan mata pada paksi 0x tidak berubah.

3) Bahagian graf yang terletak di bawah paksi 0x dipaparkan secara simetri berkenaan dengan 0x.

4) Graf yang terhasil ditunjukkan dalam rajah dengan garis putus-putus (Gamb. 8).

Contoh 5. Plotkan fungsi y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)|

1) Mula-mula anda perlu memplot fungsi y = (2|x| – 4) / (|x| + 3). Untuk melakukan ini, kami kembali ke algoritma 2.

a) Plot dengan teliti fungsi y = (2x – 4) / (x + 3) (Gamb. 9).

Perhatikan bahawa fungsi ini ialah pecahan-linear dan grafnya ialah hiperbola. Untuk membina lengkung, anda perlu mencari asimtot graf terlebih dahulu. Mendatar - y \u003d 2/1 (nisbah pekali pada x dalam pengangka dan penyebut pecahan), menegak - x \u003d -3.

2) Bahagian carta yang berada di atas atau pada paksi 0x akan dibiarkan tidak berubah.

3) Bahagian carta yang terletak di bawah paksi 0x akan dipaparkan secara simetri berkenaan dengan 0x.

4) Graf akhir ditunjukkan dalam rajah (Gamb. 11).

tapak, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.