Bagaimanakah penolakan vektor dalam fizik. Peraturan untuk menambah vektor kolinear

definisi piawai: "Vektor ialah segmen garis terarah." Ini biasanya adalah had pengetahuan graduan tentang vektor. Siapa yang memerlukan beberapa jenis "segmen terarah"?

Tetapi sebenarnya, apakah itu vektor dan mengapa ia?
Ramalan cuaca. "Angin barat laut, kelajuan 18 meter sesaat." Setuju, kedua-dua arah angin (dari mana ia bertiup) dan modul (iaitu, nilai mutlak) kelajuannya.

Kuantiti yang tidak mempunyai arah dipanggil skalar. berat badan, kerja, cas elektrik tidak dihantar ke mana-mana. Mereka dicirikan sahaja nilai berangka- "berapa kilogram" atau "berapa joule".

Kuantiti fizikal yang mempunyai bukan sahaja nilai mutlak, tetapi juga arah, dipanggil vektor.

Kelajuan, daya, pecutan - vektor. Bagi mereka, penting "berapa" dan penting "di mana". Contohnya, pecutan jatuh bebas diarahkan ke permukaan Bumi, dan nilainya ialah 9.8 m / s 2. momentum, ketegangan medan elektrik, induksi medan magnet juga merupakan kuantiti vektor.

Adakah anda ingat itu kuantiti fizik dilambangkan dengan huruf, Latin atau Yunani. Anak panah di atas huruf menunjukkan bahawa kuantiti ialah vektor:

Berikut adalah satu lagi contoh.
Kereta itu bergerak dari A ke B. Hasil akhirnya ialah pergerakannya dari titik A ke titik B, iaitu pergerakan oleh vektor.

Kini jelas mengapa vektor ialah segmen terarah. Beri perhatian, hujung vektor adalah tempat anak panah berada. Panjang vektor dipanggil panjang segmen ini. Ditetapkan: atau

Setakat ini, kami telah bekerja dengan kuantiti skalar, mengikut peraturan aritmetik dan algebra asas. Vektor adalah konsep baru. Ini adalah kelas yang berbeza objek matematik. Mereka mempunyai peraturan mereka sendiri.

Pada suatu masa dahulu, kita tidak tahu tentang nombor. Perkenalan dengan mereka bermula di gred rendah. Ternyata nombor boleh dibandingkan antara satu sama lain, ditambah, ditolak, didarab dan dibahagikan. Kami belajar bahawa terdapat nombor satu dan nombor sifar.
Sekarang kita mengenali vektor.

Konsep "lebih besar daripada" dan "kurang daripada" tidak wujud untuk vektor - lagipun, arahnya mungkin berbeza. Anda hanya boleh membandingkan panjang vektor.

Tetapi konsep kesamaan untuk vektor adalah.
sama dipanggil vektor yang mempunyai sama panjang dan arah yang sama. Ini bermakna bahawa vektor boleh dialihkan selari dengan dirinya ke mana-mana titik dalam satah.
bujang dipanggil vektor yang panjangnya ialah 1 . Sifar - vektor yang panjangnya sama dengan sifar, iaitu, permulaannya bertepatan dengan penghujungnya.

Ia adalah paling mudah untuk bekerja dengan vektor dalam sistem segi empat tepat koordinat - yang sama di mana kita melukis graf fungsi. Setiap titik dalam sistem koordinat sepadan dengan dua nombor - koordinat x dan ynya, absis dan koordinat.
Vektor juga diberikan oleh dua koordinat:

Di sini, koordinat vektor ditulis dalam kurungan - dalam x dan dalam y.
Mereka mudah dicari: koordinat penghujung vektor tolak koordinat permulaannya.

Jika koordinat vektor diberikan, panjangnya ditemui oleh formula

Penambahan vektor

Terdapat dua cara untuk menambah vektor.

satu. peraturan selari. Untuk menambah vektor dan , kami meletakkan asal kedua-duanya pada titik yang sama. Kami melengkapkan segi empat selari dan melukis pepenjuru segi empat selari dari titik yang sama. Ini akan menjadi jumlah vektor dan .

Ingat dongeng tentang angsa, kanser dan pike? Mereka cuba bersungguh-sungguh, tetapi mereka tidak pernah mengalihkan kereta itu. Lagipun, jumlah vektor daya yang digunakan oleh mereka pada kereta adalah sama dengan sifar.

2. Cara kedua untuk menambah vektor ialah peraturan segitiga. Mari kita ambil vektor yang sama dan . Kami menambah permulaan kedua hingga akhir vektor pertama. Sekarang mari kita sambungkan permulaan yang pertama dan penghujung yang kedua. Ini ialah hasil tambah bagi vektor dan .

Dengan peraturan yang sama, anda boleh menambah beberapa vektor. Kami melampirkannya satu demi satu, dan kemudian menyambungkan permulaan yang pertama ke penghujung yang terakhir.

Bayangkan anda pergi dari titik A ke titik B, dari B ke C, dari C ke D, kemudian ke E dan kemudian ke F. Hasil akhir daripada tindakan ini ialah perpindahan dari A ke F.

Apabila menambah vektor dan kami mendapat:

Penolakan vektor

Vektor diarahkan bertentangan dengan vektor . Panjang vektor dan adalah sama.

Sekarang sudah jelas apa itu penolakan vektor. Perbezaan bagi vektor dan ialah hasil tambah bagi vektor dan vektor .

Darab vektor dengan nombor

Mendarab vektor dengan nombor k menghasilkan vektor yang panjangnya k kali berbeza daripada panjang . Ia adalah kodirectional dengan vektor jika k Di atas sifar, dan diarahkan bertentangan jika k kurang daripada sifar.

Hasil darab titik bagi vektor

Vektor boleh didarab bukan sahaja dengan nombor, tetapi juga dengan satu sama lain.

Hasil darab skalar bagi vektor ialah hasil darab panjang vektor dan kosinus sudut di antaranya.

Beri perhatian - kami mendarabkan dua vektor, dan kami mendapat skalar, iaitu nombor. Sebagai contoh, dalam fizik kerja mekanikal adalah sama dengan hasil skalar dua vektor - daya dan sesaran:

Jika vektor adalah serenjang, hasil darab titiknya ialah sifar.
Dan ini adalah bagaimana hasil kali skalar dinyatakan dari segi koordinat vektor dan:

Daripada formula untuk produk titik anda boleh mencari sudut antara vektor:

Formula ini amat sesuai dalam stereometri. Sebagai contoh, dalam masalah 14 peperiksaan profil dalam matematik, anda perlu mencari sudut antara garis bersilang atau antara garis dan satah. Masalah 14 selalunya diselesaikan beberapa kali lebih cepat dengan kaedah vektor berbanding dengan kaedah klasik.

AT kurikulum sekolah dalam matematik, hanya hasil darab skalar bagi vektor dikaji.
Ternyata, sebagai tambahan kepada skalar, terdapat juga produk vektor, apabila vektor diperoleh hasil daripada pendaraban dua vektor. Siapa yang lulus peperiksaan dalam fizik, tahu apa itu daya Lorentz dan daya Ampère. Formula untuk mencari daya ini termasuk tepat produk vektor.

Vektor adalah alat matematik yang sangat berguna. Anda akan yakin tentang ini dalam kursus pertama.

Definisi

Penambahan vektor dan dijalankan mengikut peraturan segi tiga.

jumlah dua vektor dan vektor ketiga seperti itu dipanggil, permulaannya bertepatan dengan permulaan, dan penghujungnya dengan penghujung, dengan syarat penghujung vektor dan permulaan vektor bertepatan (Rajah 1).

Untuk tambahan vektor Peraturan segi empat selari juga terpakai.

Definisi

peraturan selari- jika dua vektor bukan kolinear u membawa kepada asal yang sama, maka vektor itu bertepatan dengan pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor u (Rajah 2). Selain itu, permulaan vektor bertepatan dengan permulaan vektor yang diberikan.

Definisi

Vektor dipanggil vektor bertentangan kepada vektor jika ia kolinear vektor , sama dengan panjangnya, tetapi diarahkan ke arah yang bertentangan dengan vektor.

Operasi penambahan vektor mempunyai sifat berikut:

Definisi

beza vektor dan vektor dipanggil sedemikian supaya keadaan dipenuhi: (Rajah 3).

Darab vektor dengan nombor

Definisi

kerja vektor setiap nombor dipanggil vektor yang memenuhi syarat:

Sifat pendaraban vektor dengan nombor:

Di sini u ialah vektor arbitrari dan nombor arbitrari.

Ruang Euclidean(juga Ruang Euclidean) - dalam erti kata asal, ruang yang sifatnya diterangkan aksiom geometri euclidean. Dalam kes ini, diandaikan bahawa ruang mempunyai dimensi sama dengan 3.

Dalam erti kata moden, dalam erti kata yang lebih umum, ia boleh menunjukkan salah satu objek yang serupa dan berkait rapat: dimensi terhingga sebenar ruang vektor dengan pasti positif produk skalar, atau ruang metrik sepadan dengan ruang vektor tersebut. Dalam artikel ini, definisi pertama akan diambil sebagai definisi awal.

Ruang Euclidean dimensi juga sering digunakan (jika jelas dari konteks bahawa ruang itu mempunyai struktur Euclidean).

Untuk menentukan ruang Euclidean, ia adalah yang paling mudah untuk diambil sebagai konsep utama produk titik. Ruang vektor Euclidean ditakrifkan sebagai dimensi terhingga ruang vektor di atas padang nombor nyata, pada vektor siapa fungsi bernilai sebenar dengan tiga sifat berikut:

ruang affine, sepadan dengan ruang vektor sedemikian, dipanggil ruang afin Euclidean, atau ringkasnya ruang Euclidean .

Contoh ruang Euclidean ialah ruang koordinat yang terdiri daripada semua yang mungkin n-ok nombor nyata hasil darab skalar yang ditentukan oleh formula

Koordinat asas dan vektor

Asas (Yunani lainβασις, asas) - set sedemikian vektor dalam ruang vektor bahawa mana-mana vektor ruang ini boleh diwakili secara unik sebagai gabungan linear vektor dari set ini - vektor asas.

Dalam kes apabila asasnya tidak terhingga, konsep "gabungan linear" perlu dijelaskan. Ini membawa kepada dua jenis definisi utama:

Asas Hamel, yang definisinya hanya menganggap gabungan linear terhingga. Asas Hamel digunakan terutamanya dalam algebra abstrak (khususnya, dalam algebra linear).

Dasar Schauder, yang definisinya juga mempertimbangkan kombinasi linear tak terhingga, iaitu, pengembangan dalam pangkat. Takrifan ini digunakan terutamanya dalam analisis fungsian, khususnya untuk ruang Hilbert,

Dalam ruang dimensi terhingga, kedua-dua jenis asas bertepatan.

Koordinat vektor adalah pekali satu-satunya yang mungkin gabungan linear asas vektor dalam yang dipilih sistem koordinat sama dengan vektor yang diberikan.

di manakah koordinat bagi vektor.

Produk skalar.

operasi pada dua vektor, yang terhasil ialah nombor[apabila vektor dipertimbangkan, nombor sering dipanggil skalar], yang tidak bergantung pada sistem koordinat dan mencirikan panjang vektor faktor dan sudut antara mereka. Operasi ini sepadan dengan pendaraban panjang vektor x pada unjuran vektor y setiap vektor x. Operasi ini biasanya dianggap sebagai komutatif dan linear bagi setiap faktor.

Produk skalar dua vektor adalah sama dengan hasil tambah koordinat masing-masing:

produk vektor

ini adalah pseudovector, berserenjang satah yang dibina oleh dua faktor, iaitu hasil daripada operasi binari"pendaraban vektor" berakhir vektor dalam 3D ruang euclidean. Produk vektor tidak mempunyai sifat komutatif dan pergaulan(ialah antikomutatif) dan, berbeza dengan hasil darab titik bagi vektor, ialah vektor. Digunakan secara meluas dalam banyak aplikasi teknikal dan fizikal. Sebagai contoh, momentum sudut dan Kuasa Lorentz ditulis secara matematik sebagai produk vektor. Hasil silang berguna untuk "mengukur" keserenjangan vektor - modulus hasil silang dua vektor adalah sama dengan hasil darab modulinya jika ia berserenjang, dan berkurangan kepada sifar jika vektor selari atau anti-selari.

produk vektor dua vektor boleh dikira menggunakan penentu matriks

produk campuran

Produk campuran vektor -produk skalar vektor pada produk vektor vektor dan:

Kadang-kadang ia dipanggil produk skalar tiga kali ganda vektor, nampaknya disebabkan oleh fakta bahawa hasilnya adalah skalar(lebih tepat - pseudoscalar).

deria geometri: Modulus hasil campuran adalah secara berangka sama dengan isipadu parallelepiped berpendidikan vektor .produk campuran tiga vektor boleh didapati melalui penentu

Pesawat di angkasa

kapal terbang - permukaan algebra pesanan pertama: dalam Sistem koordinat kartesian kapal terbang boleh ditetapkan persamaan ijazah pertama.

Beberapa sifat ciri satah

kapal terbang - permukaan, mengandungi setiap satu langsung, menghubungkan mana-mana mata;

Dua satah sama ada selari atau bersilang dalam garis lurus.

Garis itu sama ada selari dengan satah, atau bersilang pada satu titik, atau berada di atas satah.

Dua garis berserenjang dengan satah yang sama adalah selari antara satu sama lain.

Dua satah berserenjang dengan garis yang sama adalah selari antara satu sama lain.

Begitu juga segmen dan selang waktu, satah yang tidak termasuk titik ekstrem boleh dipanggil satah selang, atau satah terbuka.

Persamaan am (lengkap) satah

di mana dan adalah pemalar, dan pada masa yang sama ia tidak sama dengan sifar; dalam vektor borang:

di manakah vektor jejari titik, vektor berserenjang dengan satah (vektor normal). Pemandukosinus vektor :

Vektor \(\overrightarrow(AB)\) boleh dilihat sebagai menggerakkan titik dari kedudukan \(A\) (permulaan pergerakan) ke kedudukan \(B\) (akhir pergerakan). Maksudnya, trajektori pergerakan dalam kes ini tidak penting, hanya permulaan dan akhir yang penting!

\(\blacktriangleright\) Dua vektor adalah kolinear jika ia terletak pada garis yang sama atau pada dua garis selari.
Jika tidak, vektor dipanggil bukan kolinear.

\(\blacktriangleright\) Dua vektor kolinear dikatakan kodirectional jika arahnya adalah sama.
Jika arah mereka bertentangan, maka mereka dipanggil arah bertentangan.

Peraturan tambahan vektor kolinear:

arah bersama tamat pertama. Kemudian jumlahnya ialah vektor, permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor pertama, dan penghujungnya bertepatan dengan penghujung vektor kedua (Rajah 1).

\(\blacktriangleright\) Untuk menambah dua arah bertentangan vektor, anda boleh menangguhkan vektor kedua daripada mulakan pertama. Kemudian jumlah mereka adalah vektor, permulaannya bertepatan dengan permulaan kedua-dua vektor, panjangnya adalah sama dengan perbezaan dalam panjang vektor, arahnya bertepatan dengan arah vektor yang lebih panjang (Rajah 2).

Peraturan untuk menambah vektor bukan kolinear \(\overrightarrow (a)\) dan \(\overrightarrow(b)\) :

\(\blacktriangleright\) Peraturan segi tiga (Gamb. 3).

Ia adalah perlu untuk menangguhkan vektor \(\overrightarrow (b)\) dari hujung vektor \(\overrightarrow (a)\) . Kemudian jumlahnya ialah vektor yang permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor \(\overrightarrow (a)\) , dan penghujungnya bertepatan dengan penghujung vektor \(\overrightarrow (b)\) .

\(\blacktriangleright\) Peraturan selari (Rajah 4).

Adalah perlu untuk menangguhkan vektor \(\overrightarrow (b)\) dari permulaan vektor \(\overrightarrow (a)\) . Kemudian jumlahnya \(\overrightarrow (a)+\overrightarrow (b)\) ialah vektor yang bertepatan dengan pepenjuru segiempat selari yang dibina pada vektor \(\overrightarrow (a)\) dan \(\overrightarrow (b)\) (permulaan yang bertepatan dengan permulaan kedua-dua vektor).

\(\blacktriangleright\) Untuk mencari beza dua vektor \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)\), anda perlu mencari jumlah vektor \(\overrightarrow (a)\) dan \(-\overrightarrow(b)\) : \(\overrightarrow(a)-\overrightarrow(b)=\overrightarrow(a)+(-\overrightarrow(b))\)(Gamb. 5).

Tugasan 1 #2638

Tahap tugas: Lebih sukar daripada peperiksaan

Diberi segitiga tegak \(ABC\) dengan sudut tegak \(A\) , titik \(O\) ialah pusat bulatan dikelilingi segitiga yang diberi. Koordinat vektor \(\overrightarrow(AB)=\(1;1\)\), \(\overrightarrow(AC)=\(-1;1\)\). Cari jumlah koordinat vektor \(\overrightarrow(OC)\) .

Kerana segi tiga \(ABC\) adalah bersudut tegak, maka pusat bulatan yang dihadkan terletak di tengah hipotenus, i.e. \(O\) ialah pertengahan \(BC\) .

perasan, itu \(\overrightarrow(BC)=\overrightarrow(AC)-\overrightarrow(AB)\), Akibatnya, \(\overrightarrow(SM)=\(-1-1;1-1\)=\(-2;0\)\).

Kerana \(\overrightarrow(OC)=\dfrac12 \overrightarrow(BC)\), kemudian \(\overrightarrow(OC)=\(-1;0\)\).

Oleh itu, jumlah koordinat vektor \(\overrightarrow(OC)\) adalah sama dengan \(-1+0=-1\) .

Jawapan: -1

Tugasan 2 #674

Tahap tugas: Lebih sukar daripada peperiksaan

\(ABCD\) ialah segiempat yang sisinya mengandungi vektor \(\overrightarrow(AB)\) , \(\overrightarrow(BC)\) , \(\overrightarrow(CD)\) , \(\overrightarrow(DA) \) . Cari panjang vektor \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)\).

\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AC)\), \(\overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) = \overrightarrow(AD)\), kemudian
\(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA)= \overrightarrow(AD) + \overrightarrow(DA) = \overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AD) = \vec(0)\).
Vektor null mempunyai panjang sama dengan \(0\) .

Vektor boleh dianggap sebagai anjakan, kemudian \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC)\)- beralih dari \(A\) ke \(B\) , dan kemudian dari \(B\) ke \(C\) - pada akhirnya ia adalah pergerakan dari \(A\) ke \(C\) .

Dengan tafsiran ini, menjadi jelas bahawa \(\overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD) + \overrightarrow(DA) = \vec(0)\), kerana hasilnya, di sini kita bergerak dari titik \(A\) ke titik \(A\) , iaitu, panjang pergerakan sedemikian adalah sama dengan \(0\) , yang bermaksud bahawa vektor bagi pergerakan sedemikian itu sendiri ialah \(\vec(0)\) .

Jawapan: 0

Tugasan 3 #1805

Tahap tugas: Lebih sukar daripada peperiksaan

Diberi segiempat selari \(ABCD\) . Diagonal \(AC\) dan \(BD\) bersilang pada titik \(O\) . Biarlah \(\overrightarrow(OA) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(OA) = \frac(1)(2)\overrightarrow(CA) = \frac(1)(2)(\overrightarrow(CB) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)( 2)(\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(BA)) = \frac(1)(2)(-\vec(b) - \vec(a)) = - \frac(1)(2)\vec (a) - \frac(1)(2)\vec(b)\]\(\Rightarrow\) \(x = - \frac(1)(2)\) , \(y = - \frac(1)(2)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = - satu\).

Jawapan: -1

Tugasan 4 #1806

Tahap tugas: Lebih sukar daripada peperiksaan

Diberi segiempat selari \(ABCD\) . Titik \(K\) dan \(L\) terletak pada sisi \(BC\) dan \(CD\), masing-masing, dan \(BK:KC = 3:1\) , dan \(L\) ialah titik tengah \ (CD\) . biarlah \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), kemudian \(\overrightarrow(KL) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), dengan \(x\) dan \(y\) ialah beberapa nombor. Cari nombor yang sama dengan \(x + y\) .

\[\overrightarrow(KL) = \overrightarrow(KC) + \overrightarrow(CL) = \frac(1)(4)\overrightarrow(BC) + \frac(1)(2)\overrightarrow(CD) = \frac (1)(4)\anak panah kanan(AD) + \frac(1)(2)\anak panah kanan(BA) = \frac(1)(4)\vec(b) - \frac(1)(2)\vec (a)\]\(\Rightarrow\) \(x = -\frac(1)(2)\) , \(y = \frac(1)(4)\) \(\Rightarrow\) \(x + y = -0 ,25\).

Jawapan: -0.25

Tugasan 5 #1807

Tahap tugas: Lebih sukar daripada peperiksaan

Diberi segiempat selari \(ABCD\) . Titik \(M\) dan \(N\) terletak pada sisi \(AD\) dan \(BC\) masing-masing, di mana \(AM:MD = 2:3\) dan \(BN:NC = 3 ): satu\) . biarlah \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), kemudian \(\overrightarrow(MN) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\)

\[\overrightarrow(MN) = \overrightarrow(MA) + \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BN) = \frac(2)(5)\overrightarrow(DA) + \overrightarrow(AB) + \frac(3 )(4)\overrightarrow(BC) = - \frac(2)(5)\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(AB) + \frac(3)(4)\overrightarrow(BC) = -\frac(2 )(5)\vec(b) + \vec(a) + \frac(3)(4)\vec(b) = \vec(a) + \frac(7)(20)\vec(b)\ ]\(\Anak panah kanan\) \(x = 1\) , \(y = \frac(7)(20)\) \(\Anak panah kanan\) \(x\cdot y = 0.35\) .

Jawapan: 0.35

Tugasan 6 #1808

Tahap tugas: Lebih sukar daripada peperiksaan

Diberi segiempat selari \(ABCD\) . Titik \(P\) terletak pada pepenjuru \(BD\) , titik \(Q\) terletak pada sisi \(CD\) , di mana \(BP:PD = 4:1\) , dan \( CQ:QD = 1:9 \) . biarlah \(\overrightarrow(AB) = \vec(a)\), \(\overrightarrow(AD) = \vec(b)\), kemudian \(\overrightarrow(PQ) = x\cdot\vec(a) + y\cdot\vec(b)\), dengan \(x\) dan \(y\) ialah beberapa nombor. Cari nombor yang sama dengan \(x\cdot y\) .

\[\begin(berkumpul) \overrightarrow(PQ) = \overrightarrow(PD) + \overrightarrow(DQ) = \frac(1)(5)\overrightarrow(BD) + \frac(9)(10)\overrightarrow( DC) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(BC) + \overrightarrow(CD)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) =\\ = \frac(1)(5) (\overrightarrow(AD) + \overrightarrow(BA)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)(\overrightarrow(AD) - \overrightarrow(AB)) + \frac(9)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5)\overrightarrow(AD) + \frac(7)(10)\overrightarrow(AB) = \frac(1)(5) \vec(b) + \frac(7)(10)\vec(a)\end(berkumpul)\]

\(\Rightarrow\) \(x = \frac(7)(10)\) , \(y = \frac(1)(5)\) \(\Rightarrow\) \(x\cdot y = 0, empat belas\) . dan \(ABCO\) ialah segiempat selari; \(AF \selari BE\) dan \(ABOF\) – selari \(\Rightarrow\) \[\overrightarrow(BC) = \overrightarrow(AO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(BO) = \overrightarrow(AB) + \overrightarrow(AF) = \vec(a) + \vec(b)\ ]\(\Anak panah kanan\) \(x = 1\) , \(y = 1\) \(\Anak panah kanan\) \(x + y = 2\) .

Jawapan: 2

Pelajar sekolah menengah membuat persediaan untuk lulus peperiksaan dalam matematik dan pada masa yang sama mengharapkan untuk menerima mata yang baik, mereka mesti mengulangi topik "Peraturan untuk menambah dan menolak beberapa vektor". Seperti yang dapat dilihat dari amalan bertahun-tahun, tugas sedemikian dimasukkan dalam ujian pensijilan setiap tahun. Jika graduan menghadapi masalah dengan tugas dari bahagian "Geometri di Atas Satah", sebagai contoh, di mana ia dikehendaki menggunakan peraturan penambahan dan penolakan vektor, dia pastinya harus mengulangi atau memahami semula bahan tersebut untuk berjaya. lulus peperiksaan.

Projek pendidikan "Shkolkovo" menawarkan pendekatan baru sebagai persediaan untuk ujian pensijilan. Sumber kami dibina dengan cara yang membolehkan pelajar mengenal pasti bahagian yang paling sukar untuk diri mereka sendiri dan mengisi jurang pengetahuan. Pakar Shkolkovo telah menyediakan dan menyusun semua bahan yang diperlukan untuk menyediakan ujian pensijilan.

Kepada GUNAKAN tugas, di mana ia adalah perlu untuk menggunakan peraturan penambahan dan penolakan dua vektor, tidak menyebabkan kesukaran, kami mengesyorkan anda mula-mula menyegarkan ingatan anda konsep asas. Pelajar boleh mencari bahan ini di bahagian "Rujukan Teori".

Jika anda telah mengingati peraturan penolakan vektor dan takrifan asas mengenai topik ini, kami mencadangkan agar anda menyatukan pengetahuan anda dengan melengkapkan latihan yang sesuai yang dipilih oleh pakar portal pendidikan"Shkolkovo". Untuk setiap masalah, laman web ini membentangkan algoritma penyelesaian dan memberikan jawapan yang betul. Topik "Peraturan penambahan vektor" dibentangkan pelbagai latihan; selepas menyelesaikan dua atau tiga tugasan yang agak mudah, pelajar boleh berturut-turut beralih kepada yang lebih sukar.

Untuk mengasah kemahiran mereka sendiri dalam tugas sedemikian, sebagai contoh, sebagai pelajar sekolah mempunyai peluang dalam talian, berada di Moscow atau mana-mana bandar lain di Rusia. Jika perlu, tugas itu boleh disimpan dalam bahagian "Kegemaran". Terima kasih kepada ini, anda boleh mencari contoh minat dengan cepat dan membincangkan algoritma untuk mencari jawapan yang betul dengan guru.

Dalam matematik dan fizik, pelajar dan pelajar sekolah sering menjumpai tugasan untuk kuantiti vektor dan untuk melaksanakan pelbagai operasi ke atasnya. Apakah perbezaan antara kuantiti vektor dan kuantiti skalar yang biasa kepada kita, satu-satunya ciri yang merupakan nilai berangka? Kerana mereka mempunyai hala tuju.

Penggunaan kuantiti vektor paling jelas dijelaskan dalam fizik. paling banyak contoh mudah adalah daya (daya geseran, daya kenyal, berat), halaju dan pecutan, kerana selain nilai berangka mereka juga mempunyai arah tindakan. Sebagai perbandingan, mari kita ambil contoh skalar : ini boleh menjadi jarak antara dua titik atau jisim badan. Mengapakah perlu melakukan operasi pada kuantiti vektor seperti penambahan atau penolakan? Ini adalah perlu untuk dapat menentukan keputusan tindakan sistem vektor yang terdiri daripada 2 atau lebih elemen.

Definisi matematik vektor

Mari kita perkenalkan definisi utama yang digunakan dalam pelaksanaan operasi talian.

Vektor ialah segmen terarah (mempunyai titik mula dan titik akhir).
Panjang (modulus) ialah panjang segmen yang diarahkan.
Vektor kolinear ialah dua vektor yang sama ada selari dengan garis yang sama atau terletak serentak di atasnya.
Vektor terarah bertentangan dipanggil kolinear dan, pada masa yang sama, diarahkan masuk sisi yang berbeza. Jika hala tuju mereka bertepatan, maka mereka adalah arah bersama.
Vektor adalah sama apabila ia adalah kodirectional dan mempunyai nilai mutlak yang sama.
Hasil tambah dua vektor a dan b adalah vektor sedemikian c, permulaannya bertepatan dengan permulaan yang pertama, dan penghujungnya - dengan penghujung yang kedua, dengan syarat b bermula pada titik yang sama ia berakhir a.
Perbezaan vektor a dan b panggil jumlah a dan ( - b ), di mana ( - b ) - bertentangan dengan vektor b. Juga, takrif perbezaan dua vektor boleh diberikan seperti berikut: dengan perbezaan c vektor pasangan a dan b panggil ini c, yang, apabila ditambahkan pada subtrahend b membentuk berkurangan a.

Kaedah Analisis

Kaedah analisis melibatkan mendapatkan koordinat perbezaan mengikut formula tanpa pembinaan. Anda boleh mengira untuk rata (2D), isipadu (3D), atau ruang n-dimensi.

Untuk ruang dua dimensi dan kuantiti vektor a {a₁;a₂) dan b {b₁;b₂} pengiraan akan pandangan seterusnya: c {c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂}.

Dalam kes menambah koordinat ketiga, pengiraan akan dijalankan dengan cara yang sama, dan untuk a {a₁;a₂; a₃) dan b {b₁;b₂; b₃) koordinat perbezaan juga akan diperoleh dengan penolakan berpasangan: c {c₁; c₂; c₃} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂; a₃–b₃}.

Mengira perbezaan secara grafik

Untuk membina perbezaan secara grafik, gunakan peraturan segi tiga. Untuk melakukan ini, anda mesti melakukan urutan tindakan berikut:

Oleh koordinat yang diberikan bina vektor yang anda perlukan untuk mencari perbezaannya.
Gabungkan hujungnya (iaitu, bina dua segmen terarah sama dengan yang diberikan, yang akan berakhir pada titik yang sama).
Sambungkan permulaan kedua-dua segmen yang diarahkan dan nyatakan arah; yang terhasil akan bermula pada titik yang sama di mana vektor yang menjadi minuend bermula dan berakhir pada titik permulaan vektor yang ditolak.

Keputusan operasi tolak ditunjukkan dalam rajah di bawah..

Terdapat juga kaedah untuk membina perbezaan, sedikit berbeza daripada yang sebelumnya. Intipatinya terletak pada penggunaan teorem pada perbezaan vektor, yang dirumuskan seperti berikut: untuk mencari perbezaan sepasang segmen terarah, cukup untuk mencari jumlah yang pertama dengan segmen yang bertentangan. kepada yang kedua. Algoritma pembinaan akan kelihatan seperti ini:

Bina segmen terarah awal.
Yang subtrahend mesti dicerminkan, iaitu, membina segmen yang berlawanan arah dan sama; kemudian gabungkan permulaannya dengan yang dikurangkan.
Bina jumlah: sambungkan permulaan segmen pertama dengan penghujung segmen kedua.

Keputusan keputusan ini ditunjukkan dalam rajah:

Penyelesaian masalah

Untuk menyatukan kemahiran, kami akan menganalisis beberapa tugas di mana ia diperlukan untuk mengira perbezaan secara analitik atau grafik.

Tugasan 1. Terdapat 4 mata pada satah: A (1; -3), B (0; 4), C (5; 8), D (-3; 2). Tentukan koordinat bagi vektor q = AB - CD, dan juga hitung panjangnya.

Penyelesaian. Mula-mula anda perlu mencari koordinat AB dan CD. Untuk melakukan ini, tolak koordinat titik awal daripada koordinat titik akhir. Untuk AB permulaannya ialah A(1; -3), dan penghujungnya - B(0; 4). Kira koordinat segmen yang diarahkan:

AB {0 - 1; 4 - (- 3)} = {- 1; 7}

Pengiraan yang serupa dilakukan untuk CD:

CD {- 3 - 5; 2 - 8} = {- 8; - 6}

Sekarang, mengetahui koordinat, anda boleh mencari perbezaan vektor. Formula untuk penyelesaian analisis tugasan rata telah dibincangkan sebelum ini: c = a- b koordinat kelihatan seperti ( c₁; c₂} = {a₁ – b₁; a₂ – b₂). Untuk kes tertentu, anda boleh menulis:

q = {- 1 - 8; 7 - (- 6)} = { - 9; - 1}

Untuk mencari panjangnya q, kami menggunakan formula | q| = √(q₁² + q₂²) = √((- 9)² + (- 1)²) = √(81 + 1) = √82 ≈ 9.06.

Tugasan 2. Rajah menunjukkan vektor m, n dan p.

Adalah perlu untuk membina perbezaan untuk mereka: p- n; m- n; m-n- hlm. Ketahui yang mana satu mempunyai modulus terkecil.

Penyelesaian. Tugas itu memerlukan tiga pembinaan. Mari kita lihat setiap bahagian tugas dengan lebih terperinci.

Bahagian 1. Untuk menggambarkan hlm-n, Mari kita gunakan peraturan segitiga. Untuk melakukan ini, menggunakan terjemahan selari, kami menyambungkan segmen supaya titik akhirnya bertepatan. Sekarang mari kita sambungkan titik permulaan dan tentukan arahnya. Dalam kes kami, vektor perbezaan bermula di tempat yang sama dengan yang ditolak. n.

Bahagian 2. Mari kita gambarkan m-n. Sekarang untuk penyelesaian kita menggunakan teorem pada perbezaan vektor. Untuk melakukan ini, bina vektor bertentangan n, dan kemudian cari jumlahnya dengan m. Hasilnya akan kelihatan seperti ini:

Bahagian 3 Untuk mencari perbezaan m-n-p, bahagikan ungkapan kepada dua langkah. Kerana dalam algebra vektor terdapat undang-undang yang serupa dengan undang-undang aritmetik, maka pilihan berikut adalah mungkin:

m-(n+p): dalam kes ini, jumlah itu dibina terlebih dahulu n+p, yang kemudiannya ditolak daripada m;
(m-n)-p: di sini dahulu anda perlu mencari m-n, dan kemudian tolak daripada perbezaan ini hlm;
(m-p)-n: tindakan pertama ditentukan m-p, selepas itu daripada hasilnya anda perlu tolak n.

Oleh kerana dalam bahagian sebelumnya masalah kami telah menemui perbezaannya m-n, kita hanya boleh menolaknya hlm. Mari kita bina beza dua vektor yang diberi menggunakan teorem beza. Jawapannya ditunjukkan dalam imej di bawah (warna merah menunjukkan keputusan pertengahan, dan hijau - akhir).

Ia kekal untuk menentukan segmen mana yang mempunyai modulus terkecil. Ingat bahawa konsep panjang dan modulus dalam matematik vektor adalah sama. Anggarkan secara visual panjangnya hlm- n, m-n dan m-n-hlm. Jelas sekali, jawapan di bahagian terakhir masalah adalah yang terpendek dan mempunyai modulus terkecil, iaitu m-n-hlm.

Jumlah vektor. Panjang vektor. rakan-rakan yang dikasihi, terdapat sekumpulan tugasan dengan vektor dalam jenis peperiksaan belakang. Pelbagai tugasan yang agak luas (penting untuk diketahui asas teori). Kebanyakannya diselesaikan secara lisan. Soalan berkaitan dengan mencari panjang vektor, jumlah (perbezaan) vektor, hasil skalar. Terdapat juga banyak tugas, dalam penyelesaian yang perlu untuk menjalankan tindakan dengan koordinat vektor.

Teori di sebalik vektor adalah mudah dan harus difahami dengan baik. Dalam artikel ini, kami akan menganalisis tugas yang berkaitan dengan mencari panjang vektor, serta jumlah (perbezaan) vektor. Beberapa perkara teori:

Konsep vektor

Vektor ialah segmen garis terarah.

Semua vektor yang mempunyai arah yang sama dan panjang yang sama adalah sama.

*Keempat-empat vektor di atas adalah sama!

Iaitu, jika kita menggunakan terjemahan selari untuk memindahkan vektor yang diberikan kepada kita, kita akan sentiasa mendapat vektor yang sama dengan yang asal. Oleh itu, boleh terdapat bilangan vektor yang sama yang tidak terhingga.

Notasi vektor

Vektor boleh dilambangkan dengan latin huruf besar, sebagai contoh:

Dengan bentuk tatatanda ini, huruf yang menunjukkan permulaan vektor terlebih dahulu ditulis, kemudian huruf yang menandakan akhir vektor.

Vektor lain dilambangkan dengan satu huruf abjad Latin(huruf besar):

Penamaan tanpa anak panah juga mungkin:

Hasil tambah dua vektor AB dan BC akan menjadi vektor AC.
Ia ditulis sebagai AB + BC \u003d AC.

Peraturan ini dipanggil - peraturan segi tiga.

Iaitu, jika kita mempunyai dua vektor - mari kita panggil mereka secara bersyarat (1) dan (2), dan penghujung vektor (1) bertepatan dengan permulaan vektor (2), maka jumlah vektor ini akan menjadi vektor yang permulaannya bertepatan dengan permulaan vektor (1) , dan penghujungnya bertepatan dengan penghujung vektor (2).

Kesimpulan: jika kita mempunyai dua vektor pada pesawat, kita sentiasa boleh mencari jumlahnya. Menggunakan terjemahan selari, anda boleh mengalihkan mana-mana vektor ini dan menyambungkan permulaannya ke penghujung yang lain. Sebagai contoh:

Mari kita alihkan vektor b, atau dengan cara lain - kami akan membina sama dengannya:

Bagaimanakah jumlah beberapa vektor ditemui? Dengan prinsip yang sama:

* * *

peraturan selari

Peraturan ini adalah akibat daripada perkara di atas.

Untuk vektor dengan permulaan biasa jumlah mereka diwakili oleh pepenjuru segi empat selari yang dibina pada vektor ini.

Mari bina vektor sama dengan vektor b supaya permulaannya bertepatan dengan penghujung vektor a, dan kita boleh membina vektor yang akan menjadi jumlahnya:

Sedikit lagi maklumat penting diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

Vektor yang sama panjang dengan yang asal, tetapi berlawanan arah, juga dilambangkan tetapi mempunyai tanda yang bertentangan:

Maklumat ini amat berguna untuk menyelesaikan masalah di mana terdapat persoalan mencari perbezaan vektor. Seperti yang anda lihat, perbezaan vektor adalah jumlah yang sama dalam bentuk yang diubah suai.

Biarkan dua vektor diberikan, cari perbezaannya:

Kami membina vektor bertentangan dengan vektor b, dan mendapati perbezaannya.

Koordinat vektor

Untuk mencari koordinat vektor, anda perlu menolak koordinat permulaan yang sepadan daripada koordinat akhir:

Iaitu, koordinat vektor ialah sepasang nombor.

Sekiranya

Dan koordinat vektor kelihatan seperti:

Kemudian c 1 \u003d a 1 + b 1 c 2 \u003d a 2 + b 2

Sekiranya

Kemudian c 1 \u003d a 1 - b 1 c 2 \u003d a 2 - b 2

Modulus vektor

Modul vektor ialah panjangnya, ditentukan oleh formula:

Formula untuk menentukan panjang vektor jika koordinat permulaan dan penghujungnya diketahui:

Pertimbangkan tugas:

Kedua-dua sisi segi empat tepat ABCD ialah 6 dan 8. pepenjuru bersilang pada titik O. Cari panjang beza antara vektor AO dan BO.

Mari cari vektor yang akan menjadi hasil AO - VO:

AO -VO \u003d AO + (-VO) \u003d AB

Iaitu, perbezaan antara vektor AO dan VO akan menjadi vektor AB. Dan panjangnya ialah lapan.

pepenjuru belah ketupat ABCD ialah 12 dan 16. Cari panjang vektor AB +AD.

Mari kita cari vektor yang akan menjadi jumlah vektor AD dan AB BC sama dengan vektor AD. Jadi AB+AD=AB+BC=AC

AC ialah panjang pepenjuru rombus AC, ia bersamaan dengan 16.

Diagonal bagi rombus ABCD bersilang pada satu titik O dan bersamaan dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AO + BO.

Mari kita cari vektor yang akan menjadi jumlah vektor AO dan BO BO adalah sama dengan vektor OD,

AD ialah panjang sisi rombus. Masalahnya ialah untuk mencari hipotenus dalam segi tiga tepat AOD. Mari kita mengira kaki:

Mengikut teorem Pythagoras:

Diagonal bagi rombus ABCD bersilang pada titik O dan bersamaan dengan 12 dan 16. Cari panjang vektor AO –BO.

Mari cari vektor yang akan menjadi hasil AO - VO:

AB ialah panjang sisi rombus. Masalahnya dikurangkan kepada mencari hipotenus AB dalam segi tiga tegak AOB. hitung kaki:

Mengikut teorem Pythagoras:

parti segi tiga tepat ABC ialah 3.

Cari panjang vektor AB -AC.

Mari kita cari hasil perbezaan vektor:

CB adalah sama dengan tiga, kerana keadaan mengatakan bahawa segi tiga adalah sama sisi dan sisinya adalah sama dengan 3.

27663. Cari panjang vektor a (6; 8).

27664. Cari segi empat sama panjang vektor AB.