Bagaimana untuk menyemak sama ada fungsi genap atau ganjil. Fungsi genap dan ganjil

Belakang Hadapan

Perhatian! Pratonton slaid adalah untuk tujuan maklumat sahaja dan mungkin tidak mewakili semua ciri pembentangan. Jika anda berminat dengan kerja ini, sila muat turun versi penuh.

Matlamat:

merumuskan konsep fungsi genap dan ganjil, ajar kebolehan untuk menentukan dan menggunakan sifat ini semasa mengkaji fungsi dan membina graf;
membangunkan aktiviti kreatif pelajar, pemikiran logik, keupayaan untuk membandingkan dan membuat generalisasi;
memupuk kerja keras dan budaya matematik; mengembangkan kemahiran komunikasi .

peralatan: pemasangan multimedia, papan putih interaktif, kertas edaran.

Bentuk kerja: hadapan dan kumpulan dengan unsur aktiviti pencarian dan penyelidikan.

Sumber maklumat:

1. Algebra kelas 9 A.G. Mordkovich. Buku teks.
2. Algebra gred 9 A.G. Mordkovich. Buku masalah.
3. Algebra darjah 9. Tugas untuk pembelajaran dan perkembangan pelajar. Belenkova E.Yu. Lebedinteva E.A.

KEMAJUAN PELAJARAN

1. Detik organisasi

Menetapkan matlamat dan objektif pelajaran.

2. Menyemak kerja rumah

No. 10.17 (buku masalah gred 9. A.G. Mordkovich).

A) di = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pada X ~ 0,4
4. f(X) >0 pada X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Fungsi bertambah dengan X € [– 2; + ∞)
6. Fungsi adalah terhad dari bawah.
7. di naim = – 3, di naib tidak wujud
8. Fungsi adalah berterusan.

(Adakah anda menggunakan algoritma penerokaan fungsi?) Slaid.

2. Mari semak jadual yang anda diminta daripada slaid.

Isi jadual
	Domain definisi	Fungsi sifar	Selang ketekalan tanda		Koordinat titik persilangan graf dengan Oy
	Domain definisi	Fungsi sifar			Koordinat titik persilangan graf dengan Oy
		x = –5, x = 2	x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ –5, x ≠ 2		x € (–5;3) U U(2;∞)	x € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ –5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Mengemas kini pengetahuan

- Fungsi diberikan.
– Tentukan skop definisi bagi setiap fungsi.
– Bandingkan nilai setiap fungsi untuk setiap pasangan nilai argumen: 1 dan – 1; 2 dan – 2.
– Untuk fungsi manakah dalam domain takrifan ini terdapat persamaan f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (masukkan data yang diperoleh ke dalam jadual) slaid

		f(1) dan f(– 1)	f(2) dan f(– 2)	graf	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = \| X \|
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		dan tidak ditakrifkan

4. Bahan baru

– Semasa melakukan kerja ini, kawan-kawan, kami mengenal pasti satu lagi sifat fungsi, yang anda tidak biasa, tetapi tidak kurang pentingnya daripada yang lain - ini ialah kesamarataan dan keganjilan fungsi tersebut. Tulis topik pelajaran: "Fungsi genap dan ganjil", tugas kami adalah untuk belajar menentukan kesamaan dan keganjilan fungsi, untuk mengetahui kepentingan sifat ini dalam kajian fungsi dan memplot graf.
Jadi, mari cari definisi dalam buku teks dan baca (ms 110) . slaid

Def. 1 Fungsi di = f (X), yang ditakrifkan pada set X dipanggil malah, jika untuk sebarang nilai XЄ X dilaksanakan kesamaan f(–x)= f(x). Beri contoh.

Def. 2 Fungsi y = f(x), ditakrifkan pada set X dipanggil ganjil, jika untuk sebarang nilai XЄ X kesamaan f(–х)= –f(х) dipegang. Beri contoh.

Di manakah kita bertemu dengan istilah "genap" dan "ganjil"?
Antara fungsi berikut, yang manakah akan menjadi genap, adakah anda fikir? kenapa? Mana yang ganjil? kenapa?
Untuk sebarang fungsi borang di= x n, Di mana n– integer, boleh dikatakan bahawa fungsi itu ganjil apabila n– ganjil dan fungsinya ialah genap apabila n– malah.
- Lihat fungsi di= dan di = 2X– 3 bukan genap mahupun ganjil, kerana persamaan tidak berpuas hati f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Kajian sama ada fungsi genap atau ganjil dipanggil kajian pariti fungsi. slaid

Dalam takrif 1 dan 2 kita bercakap tentang nilai fungsi pada x dan – x, dengan itu diandaikan bahawa fungsi itu juga ditakrifkan pada nilai X, dan pada – X.

Def 3. Jika set berangka, bersama setiap unsurnya x, juga mengandungi unsur bertentangan –x, maka set itu X dipanggil set simetri.

Contoh:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) ialah set simetri, dan , [–5;4] ialah tidak simetri.

– Adakah fungsi genap mempunyai domain definisi yang merupakan set simetri? Yang ganjil?
– Jika D( f) ialah set asimetri, maka apakah fungsinya?
– Oleh itu, jika fungsi di = f(X) – genap atau ganjil, maka domain definisinya ialah D( f) ialah set simetri. Adakah pernyataan sebaliknya benar: jika domain definisi fungsi ialah set simetri, maka adakah ia genap atau ganjil?
– Ini bermakna kehadiran set simetri domain definisi adalah syarat yang perlu, tetapi tidak mencukupi.
– Jadi bagaimana anda memeriksa fungsi untuk pariti? Mari cuba buat algoritma.

slaid

Algoritma untuk mengkaji fungsi untuk pariti

1. Tentukan sama ada domain takrifan fungsi adalah simetri. Jika tidak, maka fungsi itu bukan genap atau ganjil. Jika ya, pergi ke langkah 2 algoritma.

2. Tulis ungkapan untuk f(–X).

3. Bandingkan f(–X).Dan f(X):

Jika f(–X).= f(X), maka fungsinya adalah genap;
Jika f(–X).= – f(X), maka fungsinya adalah ganjil;
Jika f(–X) ≠ f(X) Dan f(–X) ≠ –f(X), maka fungsi itu bukan genap atau ganjil.

Contoh:

Periksa fungsi a) untuk pariti di= x 5 +; b) di= ; V) di= .

Penyelesaian.

a) h(x) = x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), set simetri.

2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),

3) h(– x) = – h (x) => fungsi h(x)= x 5 + ganjil.

b) y =,

di = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), set asimetri, yang bermaksud fungsi itu bukan genap atau ganjil.

V) f(X) = , y = f (x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Pilihan 2

1. Adakah set yang diberi simetri: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

A); b) y = x (5 – x 2). 2. Periksa fungsi untuk pariti:

a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =

3. Dalam Rajah. graf telah dibina di = f(X), untuk semua orang X, memenuhi syarat X? 0.
Graf Fungsi di = f(X), Jika di = f(X) ialah fungsi genap.

3. Dalam Rajah. graf telah dibina di = f(X), untuk semua x memuaskan syarat x? 0.
Graf Fungsi di = f(X), Jika di = f(X) ialah fungsi ganjil.

Semakan bersama dihidupkan slaid.

6. Kerja rumah: №11.11, 11.21,11.22;

Bukti makna geometri bagi sifat pariti.

***(Penugasan pilihan Peperiksaan Negeri Bersepadu).

1. Fungsi ganjil y = f(x) ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor. Untuk sebarang nilai bukan negatif pembolehubah x, nilai fungsi ini bertepatan dengan nilai fungsi g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Cari nilai fungsi h( X) = pada X = 3.

7. Merumuskan

Yang biasa kepada anda untuk satu tahap atau yang lain. Di sana juga dinyatakan bahawa stok sifat fungsi akan diisi semula secara beransur-ansur. Dua hartanah baharu akan dibincangkan dalam bahagian ini.

Definisi 1.

Fungsi y = f(x), x є X, dipanggil walaupun untuk sebarang nilai x daripada set X kesamaan f (-x) = f (x) dipegang.

Definisi 2.

Fungsi y = f(x), x є X, dipanggil ganjil jika bagi sebarang nilai x daripada set X kesamaan f (-x) = -f (x) dipegang.

Buktikan bahawa y = x 4 ialah fungsi genap.

Penyelesaian. Kami mempunyai: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Tetapi(-x) 4 = x 4. Ini bermakna bagi mana-mana x kesamaan f(-x) = f(x) dipegang, i.e. fungsinya adalah sekata.

Begitu juga, dapat dibuktikan bahawa fungsi y - x 2, y = x 6, y - x 8 adalah genap.

Buktikan bahawa y = x 3 ~ fungsi ganjil.

Penyelesaian. Kami mempunyai: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Tetapi (-x) 3 = -x 3. Ini bermakna bagi mana-mana x kesamaan f (-x) = -f (x) dipegang, i.e. fungsinya ganjil.

Begitu juga, dapat dibuktikan bahawa fungsi y = x, y = x 5, y = x 7 adalah ganjil.

Kita telah melihat lebih daripada sekali bahawa istilah baharu dalam matematik paling kerap mempunyai asal usul "bumi", i.e. mereka boleh dijelaskan entah bagaimana. Ini adalah kes dengan kedua-dua fungsi genap dan ganjil. Lihat: y - x 3, y = x 5, y = x 7 ialah fungsi ganjil, manakala y = x 2, y = x 4, y = x 6 ialah fungsi genap. Dan secara umum, untuk sebarang fungsi bentuk y = x" (di bawah kita akan mengkaji secara khusus fungsi-fungsi ini), di mana n - nombor asli, kita boleh membuat kesimpulan: jika n ialah nombor ganjil, maka fungsi y = x" adalah ganjil; jika n ialah nombor genap, maka fungsi y = xn ialah genap.

Terdapat juga fungsi yang tidak genap dan tidak ganjil. Seperti, sebagai contoh, adalah fungsi y = 2x + 3. Sesungguhnya, f(1) = 5, dan f (-1) = 1. Seperti yang anda boleh lihat, di sini, oleh itu, tiada identiti f(-x) = f ( x), mahupun identiti f(-x) = -f(x).

Jadi, fungsi boleh genap, ganjil, atau tidak.

Kajian sama ada fungsi yang diberikan adalah genap atau ganjil biasanya dipanggil kajian pariti.

Takrif 1 dan 2 merujuk kepada nilai fungsi pada titik x dan -x. Ini mengandaikan bahawa fungsi ditakrifkan pada kedua-dua titik x dan titik -x. Ini bermakna titik -x tergolong dalam domain takrifan fungsi serentak dengan titik x. Jika set berangka X, bersama setiap unsurnya x, juga mengandungi unsur berlawanan -x, maka X dipanggil set simetri. Katakan, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) ialah set simetri, manakala \).

Oleh kerana \(x^2\geqslant 0\) , maka bahagian kiri persamaan (*) adalah lebih besar daripada atau sama dengan \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) .

Oleh itu, kesamaan (*) hanya boleh dipenuhi apabila kedua-dua belah persamaan adalah sama dengan \(\mathrm(tg)^2\,1\) . Dan ini bermakna \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\] Oleh itu, nilai \(a=-\mathrm(tg)\,1\) sesuai dengan kita.

Jawapan:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

Tugasan 2 #3923

Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu

Cari semua nilai parameter \(a\) , bagi setiap satunya graf fungsi \

simetri tentang asal usul.

Jika graf fungsi adalah simetri tentang asalan, maka fungsi sedemikian adalah ganjil, iaitu, \(f(-x)=-f(x)\) memegang sebarang \(x\) daripada domain takrifan daripada fungsi tersebut. Oleh itu, ia diperlukan untuk mencari nilai parameter yang mana \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(aligned) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ mathrm(tg)\,\kiri(\dfrac(ax)5\kanan)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\kanan)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ sin \dfrac(8\pi a-3x)4\kanan) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(aligned)\]

Persamaan terakhir mesti dipenuhi untuk semua \(x\) dari domain \(f(x)\) , oleh itu, \(\sin(2\pi a)=0 \Anak panah kanan a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

Jawapan:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

Tugasan 3 #3069

Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu

Cari semua nilai parameter \(a\) , bagi setiap satu persamaan \ mempunyai 4 penyelesaian, di mana \(f\) ialah fungsi berkala genap dengan tempoh \(T=\dfrac(16)3\) ditakrifkan pada keseluruhan garis nombor , dan \(f(x)=ax^2\) untuk \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(Tugas daripada pelanggan)

Oleh kerana \(f(x)\) ialah fungsi genap, grafnya adalah simetri berkenaan dengan paksi ordinat, oleh itu, apabila \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . Justeru, apabila \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), dan ini ialah segmen panjang \(\dfrac(16)3\) , fungsi \(f(x)=ax^2\) .

1) Biarkan \(a>0\) . Kemudian graf fungsi \(f(x)\) akan kelihatan seperti ini:

Kemudian, untuk persamaan mempunyai 4 penyelesaian, graf \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) perlu melalui titik \(A\) :

Oleh itu, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(berkumpul)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(aligned)\end(berkumpul)\kanan. \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(berkumpul)\mulakan(disejajarkan) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( berkumpul)\kanan.\] Oleh kerana \(a>0\) , maka \(a=\dfrac(18)(23)\) adalah sesuai.

2) Biarkan \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:

Adalah perlu bahawa graf \(g(x)\) melalui titik \(B\) : \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(berkumpul)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end(berkumpul)\kanan.\] Sejak \(a<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) Kes apabila \(a=0\) tidak sesuai, sejak itu \(f(x)=0\) untuk semua \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) dan persamaan hanya akan mempunyai 1 punca.

Jawapan:

\(a\dalam \kiri\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\kanan\)\)

Tugasan 4 #3072

Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu

Cari semua nilai \(a\) , bagi setiap satunya persamaan \

mempunyai sekurang-kurangnya satu punca.

(Tugas daripada pelanggan)

Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk \ dan pertimbangkan dua fungsi: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) dan \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ).
Fungsi \(g(x)\) ialah genap dan mempunyai titik minimum \(x=0\) (dan \(g(0)=49\) ).
Fungsi \(f(x)\) untuk \(x>0\) semakin berkurangan, dan untuk \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
Sesungguhnya, apabila \(x>0\) modul kedua akan dibuka secara positif (\(|x|=x\) ), oleh itu, tidak kira bagaimana modul pertama akan dibuka, \(f(x)\) akan sama kepada \( kx+A\) , dengan \(A\) ialah ungkapan \(a\) dan \(k\) adalah sama dengan \(-9\) atau \(-3\) . Apabila \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
Mari cari nilai \(f\) pada titik maksimum: \

Agar persamaan mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian, adalah perlu bahawa graf bagi fungsi \(f\) dan \(g\) mempunyai sekurang-kurangnya satu titik persilangan. Oleh itu, anda memerlukan: \ \\]

Jawapan:

\(a\dalam \(-7\)\cawan\)

Tugasan 5 #3912

Tahap tugas: Sama dengan Peperiksaan Negeri Bersatu

Cari semua nilai parameter \(a\) , bagi setiap satu yang mempunyai persamaan \

mempunyai enam penyelesaian yang berbeza.

Mari buat penggantian \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) . Kemudian persamaan akan mengambil bentuk \ Kami akan menulis secara beransur-ansur keadaan di mana persamaan asal akan mempunyai enam penyelesaian.
Perhatikan bahawa persamaan kuadratik \((*)\) boleh mempunyai maksimum dua penyelesaian. Mana-mana persamaan padu \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) boleh mempunyai tidak lebih daripada tiga penyelesaian. Oleh itu, jika persamaan \((*)\) mempunyai dua penyelesaian yang berbeza (positif!, kerana \(t\) mestilah lebih besar daripada sifar) \(t_1\) dan \(t_2\) , maka, dengan membuat sebaliknya penggantian, kita dapat: \[\left[\begin(berkumpul)\begin(aligned) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(aligned)\end(berkumpul)\kanan.\] Oleh kerana sebarang nombor positif boleh diwakili sebagai \(\sqrt2\) sedikit sebanyak, sebagai contoh, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), maka persamaan pertama set akan ditulis semula dalam bentuk \ Seperti yang telah kita katakan, mana-mana persamaan padu tidak mempunyai lebih daripada tiga penyelesaian, oleh itu, setiap persamaan dalam set akan mempunyai tidak lebih daripada tiga penyelesaian. Ini bermakna keseluruhan set akan mempunyai tidak lebih daripada enam penyelesaian.
Ini bermakna bahawa untuk persamaan asal mempunyai enam penyelesaian, persamaan kuadratik \((*)\) mesti mempunyai dua penyelesaian yang berbeza, dan setiap persamaan padu yang terhasil (dari set) mesti mempunyai tiga penyelesaian yang berbeza (dan bukan penyelesaian tunggal satu persamaan harus bertepatan dengan mana-mana -dengan keputusan kedua!)
Jelas sekali, jika persamaan kuadratik \((*)\) mempunyai satu penyelesaian, maka kita tidak akan mendapat enam penyelesaian kepada persamaan asal.

Oleh itu, pelan penyelesaian menjadi jelas. Mari kita catatkan syarat-syarat yang mesti dipenuhi titik demi titik.

1) Untuk persamaan \((*)\) mempunyai dua penyelesaian yang berbeza, diskriminasinya mestilah positif: \

2) Ia juga perlu bahawa kedua-dua punca adalah positif (sejak \(t>0\) ). Jika hasil darab dua punca adalah positif dan hasil tambahnya adalah positif, maka akar-akar itu sendiri akan menjadi positif. Oleh itu, anda memerlukan: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

Oleh itu, kita telah menyediakan diri kita dengan dua punca positif yang berbeza \(t_1\) dan \(t_2\) .

3) Mari kita lihat persamaan ini \ Untuk apa \(t\) ia akan mempunyai tiga penyelesaian yang berbeza?
Pertimbangkan fungsi \(f(x)=x^3-3x^2+4\) .
Boleh difaktorkan: \ Oleh itu, sifarnya ialah: \(x=-1;2\) .
Jika kita mencari terbitan \(f"(x)=3x^2-6x\) , maka kita mendapat dua titik ekstrem \(x_(maks)=0, x_(min)=2\) .
Oleh itu, graf kelihatan seperti ini:

Kami melihat bahawa mana-mana garis mendatar \(y=k\) , di mana \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\) mempunyai tiga penyelesaian yang berbeza, adalah perlu bahawa \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
Oleh itu, anda memerlukan: \[\begin(kes) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] Mari juga segera ambil perhatian bahawa jika nombor \(t_1\) dan \(t_2\) adalah berbeza, maka nombor \(\log_(\sqrt2)t_1\) dan \(\log_(\sqrt2)t_2\) akan menjadi berbeza, yang bermaksud persamaan \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\) Dan \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\) akan mempunyai akar yang berbeza.
Sistem \((**)\) boleh ditulis semula seperti berikut: \[\mulakan(kes) 1

Oleh itu, kami telah menentukan bahawa kedua-dua punca persamaan \((*)\) mesti terletak dalam selang \((1;4)\) . Bagaimana untuk menulis syarat ini?
Kami tidak akan menulis akarnya secara eksplisit.
Pertimbangkan fungsi \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) . Grafnya ialah parabola dengan cawangan ke atas, yang mempunyai dua titik persilangan dengan paksi-x (kami menuliskan keadaan ini dalam perenggan 1)). Apakah rupa grafnya supaya titik persilangan dengan paksi-x berada dalam selang \((1;4)\)? Jadi:

Pertama, nilai \(g(1)\) dan \(g(4)\) bagi fungsi pada titik \(1\) dan \(4\) mestilah positif, dan kedua, puncak bagi parabola \(t_0\ ) mestilah juga dalam selang \((1;4)\) . Oleh itu, kita boleh menulis sistem: \[\mulakan(kes) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) sentiasa mempunyai sekurang-kurangnya satu punca \(x=0\) . Ini bermakna bahawa untuk memenuhi syarat masalah adalah perlu bahawa persamaan \

mempunyai empat punca berbeza, berbeza daripada sifar, mewakili, bersama-sama dengan \(x=0\), suatu janjang aritmetik.

Perhatikan bahawa fungsi \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) ialah genap, yang bermaksud jika \(x_0\) ialah punca persamaan \( (*)\ ) , maka \(-x_0\) juga akan menjadi puncanya. Maka adalah perlu bahawa punca-punca persamaan ini ialah nombor yang tersusun dalam tertib menaik: \(-2d, -d, d, 2d\) (kemudian \(d>0\)). Kemudian lima nombor ini akan membentuk janjang aritmetik (dengan perbezaan \(d\)).

Untuk punca-punca ini menjadi nombor \(-2d, -d, d, 2d\) , adalah perlu bahawa nombor \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) adalah punca bagi persamaan \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . Kemudian, menurut teorem Vieta:

Mari kita tulis semula persamaan dalam bentuk \ dan pertimbangkan dua fungsi: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) dan \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
Fungsi \(g(x)\) mempunyai titik maksimum \(x=0\) (dan \(g_(\text(atas))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). Terbitan sifar: \(x=0\) . Apabila \(x<0\) имеем: \(g">0\) , untuk \(x>0\) : \(g"<0\) .
Fungsi \(f(x)\) untuk \(x>0\) semakin meningkat, dan untuk \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
Sesungguhnya, apabila \(x>0\) modul pertama akan dibuka secara positif (\(|x|=x\)), oleh itu, tidak kira bagaimana modul kedua akan dibuka, \(f(x)\) akan sama kepada \( kx+A\) , dengan \(A\) ialah ungkapan \(a\) , dan \(k\) adalah sama dengan \(13-10=3\) atau \(13+10 =23\) . Apabila \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
Mari cari nilai \(f\) pada titik minimum: \

Jawapan:

\(a\dalam \(-2\)\cawan\)