Bagaimana untuk menyelesaikan diskriminasi persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik

Diskriminasi, serta persamaan kuadratik, mula dipelajari dalam kursus algebra dalam gred 8. Anda boleh menyelesaikan persamaan kuadratik melalui diskriminasi dan menggunakan teorem Vieta. Metodologi untuk mengkaji persamaan kuadratik, serta formula diskriminasi, agak tidak berjaya diterapkan kepada pelajar sekolah, seperti banyak dalam pendidikan sebenar. Oleh itu, tahun sekolah berlalu, pendidikan di gred 9-11 menggantikan "pendidikan tinggi" dan semua orang lagi mencari - "Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik?", "Bagaimana untuk mencari punca persamaan?", "Bagaimana untuk mencari diskriminasi?" dan...

Formula Diskriminasi

Diskriminasi D bagi persamaan kuadratik a*x^2+bx+c=0 ialah D=b^2–4*a*c.
Punca-punca (penyelesaian) persamaan kuadratik bergantung pada tanda diskriminasi (D):
D>0 - persamaan mempunyai 2 punca nyata yang berbeza;
D=0 - persamaan mempunyai 1 punca (2 punca bertepatan):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula untuk mengira diskriminasi agak mudah, begitu banyak tapak menawarkan kalkulator diskriminasi dalam talian. Kami belum mengetahui skrip jenis ini, jadi siapa yang tahu cara melaksanakannya, sila tulis ke mel Alamat e-mel ini dilindungi daripada spambots. Anda mesti mendayakan JavaScript untuk melihat. .

Formula am untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik:

Punca-punca persamaan ditemui oleh formula
Jika pekali pembolehubah dalam segi empat sama berpasangan, maka adalah dinasihatkan untuk mengira bukan diskriminasi, tetapi bahagian keempatnya
Dalam kes sedemikian, punca-punca persamaan ditemui oleh formula

Cara kedua untuk mencari punca ialah Teorem Vieta.

Teorem ini dirumuskan bukan sahaja untuk persamaan kuadratik, tetapi juga untuk polinomial. Anda boleh membaca ini di Wikipedia atau sumber elektronik lain. Walau bagaimanapun, untuk memudahkan, pertimbangkan bahagian itu yang berkenaan dengan persamaan kuadratik terkurang, iaitu persamaan bentuk (a=1)
Intipati formula Vieta ialah jumlah punca persamaan adalah sama dengan pekali pembolehubah, diambil dengan tanda yang bertentangan. Hasil darab punca-punca persamaan adalah sama dengan sebutan bebas. Rumus teorem Vieta mempunyai tatatanda.
Derivasi formula Vieta agak mudah. Mari kita tulis persamaan kuadratik dari segi faktor perdana
Seperti yang anda lihat, segala-galanya yang bijak adalah mudah pada masa yang sama. Adalah berkesan untuk menggunakan formula Vieta apabila perbezaan dalam modulus akar atau perbezaan dalam modulus akar ialah 1, 2. Sebagai contoh, persamaan berikut, mengikut teorem Vieta, mempunyai punca.




Sehingga 4 analisis persamaan sepatutnya kelihatan seperti ini. Hasil darab punca persamaan ialah 6, jadi puncanya boleh menjadi nilai (1, 6) dan (2, 3) atau berpasangan dengan tanda yang berlawanan. Jumlah punca ialah 7 (pekali pembolehubah dengan tanda bertentangan). Dari sini kita membuat kesimpulan bahawa penyelesaian persamaan kuadratik adalah sama dengan x=2; x=3.
Lebih mudah untuk memilih punca persamaan di antara pembahagi istilah bebas, membetulkan tanda mereka untuk memenuhi formula Vieta. Pada mulanya, ini kelihatan sukar untuk dilakukan, tetapi dengan latihan pada beberapa persamaan kuadratik, teknik ini akan menjadi lebih cekap daripada mengira diskriminasi dan mencari punca persamaan kuadratik dengan cara klasik.
Seperti yang anda lihat, teori sekolah mengkaji diskriminasi dan cara untuk mencari penyelesaian kepada persamaan tidak mempunyai makna praktikal - "Mengapa pelajar sekolah memerlukan persamaan kuadratik?", "Apakah maksud fizikal diskriminasi?".

Mari cuba fikirkan apakah yang diterangkan oleh diskriminasi itu?

Dalam kursus algebra, mereka mengkaji fungsi, skema untuk mengkaji fungsi dan fungsi plot. Daripada semua fungsi, tempat penting diduduki oleh parabola, persamaan yang boleh ditulis dalam bentuk
Jadi makna fizik persamaan kuadratik ialah sifar parabola, iaitu titik persilangan graf fungsi dengan paksi absis Ox.
Saya meminta anda mengingati sifat-sifat parabola yang diterangkan di bawah. Masanya akan tiba untuk mengambil peperiksaan, ujian, atau peperiksaan kemasukan dan anda akan berterima kasih atas bahan rujukan. Tanda pembolehubah dalam segi empat sama sepadan dengan sama ada cabang parabola pada graf akan naik (a>0),

atau parabola dengan cabang ke bawah (a<0) .

Puncak parabola terletak di tengah-tengah antara akar

Maksud fizikal diskriminasi:

Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar (D>0), parabola mempunyai dua titik persilangan dengan paksi Lembu.
Jika diskriminasi adalah sama dengan sifar (D=0), maka parabola di bahagian atas menyentuh paksi-x.
Dan kes terakhir, apabila diskriminasi kurang daripada sifar (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Persamaan kuadratik dipelajari dalam gred 8, jadi tidak ada yang rumit di sini. Keupayaan untuk menyelesaikannya adalah penting.

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana pekali a , b dan c ialah nombor arbitrari, dan a ≠ 0.

Sebelum mengkaji kaedah penyelesaian khusus, kami perhatikan bahawa semua persamaan kuadratik boleh dibahagikan kepada tiga kelas:

1. Tidak mempunyai akar;
2. Mereka mempunyai tepat satu akar;
3. Mereka mempunyai dua akar yang berbeza.

Ini adalah perbezaan penting antara persamaan kuadratik dan linear, di mana punca sentiasa wujud dan unik. Bagaimana untuk menentukan berapa banyak punca persamaan? Terdapat perkara yang menarik untuk ini - diskriminasi.

Diskriminasi

Biarkan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 diberikan. Maka yang mendiskriminasi hanyalah nombor D = b 2 − 4ac .

Formula ini mesti diketahui dengan hati. Dari mana ia datang tidak penting sekarang. Perkara lain yang penting: dengan tanda diskriminasi, anda boleh menentukan berapa banyak punca persamaan kuadratik. Iaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, terdapat betul-betul satu punca;
3. Jika D > 0, akan ada dua punca.

Sila ambil perhatian: diskriminasi menunjukkan bilangan akar, dan bukan sama sekali tanda mereka, kerana atas sebab tertentu ramai orang berfikir. Lihat contoh dan anda akan memahami semuanya sendiri:

Satu tugas. Berapa banyak punca persamaan kuadratik mempunyai:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Kami menulis pekali untuk persamaan pertama dan mencari diskriminasi:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Jadi, diskriminasi adalah positif, jadi persamaan mempunyai dua punca yang berbeza. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminasi adalah negatif, tidak ada akar. Persamaan terakhir kekal:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminasi adalah sama dengan sifar - puncanya ialah satu.

Ambil perhatian bahawa pekali telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, ia panjang, ya, ia membosankan - tetapi anda tidak akan mencampur-adukkan kemungkinan dan tidak membuat kesilapan bodoh. Pilih sendiri: kelajuan atau kualiti.

Dengan cara ini, jika anda "mengisi tangan anda", selepas beberapa ketika anda tidak perlu lagi menulis semua pekali. Anda akan melakukan operasi sedemikian di kepala anda. Kebanyakan orang mula melakukan ini di suatu tempat selepas 50-70 persamaan telah diselesaikan - secara umum, tidak begitu banyak.

Punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita beralih kepada penyelesaian. Jika diskriminasi D > 0, akar boleh didapati menggunakan formula:

Formula asas bagi punca-punca persamaan kuadratik

Apabila D = 0, anda boleh menggunakan mana-mana formula ini - anda mendapat nombor yang sama, yang akan menjadi jawapannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Persamaan pertama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ persamaan mempunyai dua punca. Mari cari mereka:

Persamaan kedua:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ persamaan itu sekali lagi mempunyai dua punca. Jom cari mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Akhirnya, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ persamaan mempunyai satu punca. Apa-apa formula boleh digunakan. Sebagai contoh, yang pertama:

Seperti yang anda lihat dari contoh, semuanya sangat mudah. Jika anda tahu formula dan boleh mengira, tidak akan ada masalah. Selalunya, ralat berlaku apabila pekali negatif digantikan ke dalam formula. Di sini, sekali lagi, teknik yang diterangkan di atas akan membantu: lihat formula secara literal, cat setiap langkah - dan hapuskan kesilapan tidak lama lagi.

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Ia berlaku bahawa persamaan kuadratik agak berbeza daripada apa yang diberikan dalam definisi. Sebagai contoh:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Adalah mudah untuk melihat bahawa salah satu istilah hilang dalam persamaan ini. Persamaan kuadratik sedemikian adalah lebih mudah untuk diselesaikan daripada yang standard: mereka tidak perlu mengira diskriminasi. Jadi mari kita perkenalkan konsep baru:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, i.e. pekali pembolehubah x atau unsur bebas adalah sama dengan sifar.

Sudah tentu, kes yang sangat sukar adalah mungkin apabila kedua-dua pekali ini sama dengan sifar: b \u003d c \u003d 0. Dalam kes ini, persamaan mengambil bentuk ax 2 \u003d 0. Jelas sekali, persamaan sedemikian mempunyai satu akar: x \u003d 0.

Mari kita pertimbangkan kes lain. Biarkan b \u003d 0, maka kita mendapat persamaan kuadratik yang tidak lengkap dari bentuk ax 2 + c \u003d 0. Mari kita ubah sedikit:

Oleh kerana punca kuasa dua aritmetik hanya wujud daripada nombor bukan negatif, kesamaan terakhir hanya masuk akal apabila (−c / a ) ≥ 0. Kesimpulan:

1. Jika persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 + c = 0 memenuhi ketaksamaan (−c / a ) ≥ 0, akan ada dua punca. Formula diberikan di atas;
2. Jika (−c / a )< 0, корней нет.

Seperti yang anda lihat, diskriminasi tidak diperlukan - tiada pengiraan yang rumit sama sekali dalam persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Malah, adalah tidak perlu untuk mengingati ketaksamaan (−c / a ) ≥ 0. Ia cukup untuk menyatakan nilai x 2 dan melihat apa yang ada di sisi lain tanda sama. Jika terdapat nombor positif, akan ada dua punca. Jika negatif, tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita berurusan dengan persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, di mana unsur bebas adalah sama dengan sifar. Segala-galanya mudah di sini: akan sentiasa ada dua akar. Ia cukup untuk memfaktorkan polinomial:

Mengambil faktor sepunya daripada kurungan

Hasil darab adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Di sinilah asal usulnya. Sebagai kesimpulan, kami akan menganalisis beberapa persamaan ini:

Satu tugas. Selesaikan persamaan kuadratik:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Tiada akar, kerana segi empat sama tidak boleh sama dengan nombor negatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.

Sekolah menengah luar bandar Kopyevskaya

10 Cara Menyelesaikan Persamaan Kuadratik

Ketua: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

guru matematik

s.Kopyevo, 2007

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan kuadratik di Babylon purba

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadratik

1.3 Persamaan kuadratik di India

1.4 Persamaan kuadratik dalam al-Khawarizmi

1.5 Persamaan kuadratik di Eropah abad XIII - XVII

1.6 Mengenai teorem Vieta

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Kesimpulan

kesusasteraan

1. Sejarah perkembangan persamaan kuadratik

1.1 Persamaan kuadratik di Babylon purba

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan tanah dan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri. Persamaan kuadratik dapat menyelesaikan kira-kira 2000 SM. e. orang Babylon.

Menggunakan tatatanda algebra moden, kita boleh mengatakan bahawa dalam teks kuneiform mereka terdapat, sebagai tambahan kepada yang tidak lengkap, seperti, sebagai contoh, persamaan kuadratik lengkap:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon datang kepada peraturan ini. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang dinyatakan dalam bentuk resipi, tanpa petunjuk bagaimana ia ditemui.

Walaupun tahap perkembangan algebra yang tinggi di Babylon, teks kuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

1.2 Bagaimana Diophantus menyusun dan menyelesaikan persamaan kuadratik.

Aritmetik Diophantus tidak mengandungi eksposisi sistematik algebra, tetapi ia mengandungi siri masalah yang sistematik, disertai dengan penjelasan dan diselesaikan dengan merangka persamaan pelbagai darjah.

Apabila menyusun persamaan, Diophantus mahir memilih yang tidak diketahui untuk memudahkan penyelesaian.

Di sini, sebagai contoh, adalah salah satu tugasnya.

Tugasan 11."Cari dua nombor dengan mengetahui jumlah mereka ialah 20 dan hasil darabnya ialah 96"

Diophantus berhujah seperti berikut: ia mengikuti dari keadaan masalah bahawa nombor yang dikehendaki tidak sama, kerana jika mereka sama, maka hasil mereka tidak akan menjadi 96, tetapi 100. Oleh itu, salah seorang daripada mereka akan menjadi lebih daripada separuh daripada mereka. jumlah, iaitu. 10+x, yang lain lebih kecil, iaitu. 10-an. Perbezaan antara mereka 2x .

Oleh itu persamaan:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Dari sini x = 2. Salah satu nombor yang dikehendaki ialah 12 , lain-lain 8 . Penyelesaian x = -2 kerana Diophantus tidak wujud, kerana matematik Yunani hanya mengetahui nombor positif.

Jika kita menyelesaikan masalah ini dengan memilih salah satu nombor yang dikehendaki sebagai tidak diketahui, maka kita akan sampai kepada penyelesaian persamaan

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

Adalah jelas bahawa Diophantus memudahkan penyelesaian dengan memilih separuh perbezaan nombor yang dikehendaki sebagai tidak diketahui; dia berjaya mengurangkan masalah kepada menyelesaikan persamaan kuadratik (1) yang tidak lengkap.

1.3 Persamaan kuadratik di India

Masalah untuk persamaan kuadratik sudah ditemui dalam saluran astronomi "Aryabhattam", yang disusun pada 499 oleh ahli matematik dan astronomi India Aryabhatta. Seorang lagi saintis India, Brahmagupta (abad ke-7), menggariskan peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

ah 2+ b x = c, a > 0. (1)

Dalam persamaan (1), pekali, kecuali untuk a, juga boleh negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan pemerintahan kita.

Di India purba, pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa. Dalam salah satu buku lama India, berikut dikatakan tentang pertandingan sedemikian: "Sebagaimana matahari menyinari bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga orang yang terpelajar akan mengatasi kemuliaan orang lain dalam mesyuarat awam, mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra." Tugas selalunya berpakaian dalam bentuk puisi.

Berikut adalah salah satu masalah ahli matematik India yang terkenal pada abad XII. Bhaskara.

Tugasan 13.

"Sekawanan monyet yang lincah Dan dua belas dalam pokok anggur ...

Dah makan power, seronok. Mereka mula melompat, tergantung ...

Bahagian lapan daripada mereka dalam petak Berapa banyak monyet yang ada,

Berseronok di padang rumput. Anda beritahu saya, dalam kumpulan ini?

Penyelesaian Bhaskara menunjukkan bahawa dia tahu tentang nilai dua punca persamaan kuadratik (Rajah 3).

Persamaan yang sepadan dengan masalah 13 ialah:

( x /8) 2 + 12 = x

Bhaskara menulis dengan berselindung:

x 2 - 64x = -768

dan, untuk melengkapkan bahagian kiri persamaan ini kepada segi empat sama, dia menambah kepada kedua-dua belah 32 2 , mendapat kemudian:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Persamaan kuadratik dalam al-Khorezmi

Risalah algebra Al-Khorezmi memberikan klasifikasi persamaan linear dan kuadratik. Penulis menyenaraikan 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan akar", i.e. ax 2 + c = b X.

2) "Petak sama dengan nombor", i.e. ax 2 = s.

3) "Akar adalah sama dengan nombor", i.e. ah = s.

4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca", i.e. ax 2 + c = b X.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor", i.e. ah 2+ bx = s.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua", i.e. bx + c \u003d ax 2.

Bagi al-Khwarizmi, yang mengelak daripada menggunakan nombor negatif, istilah bagi setiap persamaan ini adalah tambah, bukan penolakan. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menggariskan kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini, menggunakan kaedah al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik tidak lengkap jenis pertama

al-Khorezmi, seperti semua ahli matematik sebelum abad ke-17, tidak mengambil kira penyelesaian sifar, mungkin kerana ia tidak penting dalam masalah praktikal tertentu. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, al-Khorezmi menetapkan peraturan untuk menyelesaikan, dan kemudian bukti geometri, menggunakan contoh berangka tertentu.

Tugasan 14.“Kuasa dua dan nombor 21 adalah sama dengan 10 punca. Cari akarnya" (dengan andaian punca persamaan x 2 + 21 = 10x).

Penyelesaian penulis adalah seperti ini: bahagikan bilangan punca kepada separuh, anda mendapat 5, darab 5 dengan sendirinya, tolak 21 daripada hasil darab, tinggal 4. Ambil punca 4, anda dapat 2. Tolak 2 daripada 5, anda dapatkan 3, ini akan menjadi akar yang dikehendaki. Atau tambah 2 hingga 5, yang akan memberikan 7, ini juga akar.

Risalah al - Khorezmi adalah buku pertama yang diturunkan kepada kita, di mana klasifikasi persamaan kuadratik dinyatakan secara sistematik dan formula untuk penyelesaiannya diberikan.

1.5 Persamaan kuadratik di Eropah XIII - XVII berabad-abad

Formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pada model al - Khorezmi di Eropah pertama kali dinyatakan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202 oleh ahli matematik Itali Leonardo Fibonacci. Karya besar ini, yang mencerminkan pengaruh matematik, kedua-dua negara Islam dan Yunani Purba, dibezakan oleh kedua-dua kesempurnaan dan kejelasan persembahan. Penulis secara bebas membangunkan beberapa contoh algebra baru penyelesaian masalah dan merupakan orang pertama di Eropah yang mendekati pengenalan nombor negatif. Bukunya menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak tugas dari "Book of the Abacus" diserahkan kepada hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-16 - ke-17. dan sebahagiannya XVIII.

Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

x 2+ bx = dengan,

untuk semua kemungkinan kombinasi tanda pekali b , Dengan telah dirumuskan di Eropah hanya pada tahun 1544 oleh M. Stiefel.

Vieta mempunyai terbitan umum formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, tetapi Vieta hanya mengiktiraf punca positif. Ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli adalah antara yang pertama pada abad ke-16. Ambil kira, sebagai tambahan kepada akar positif, dan negatif. Hanya pada abad XVII. Terima kasih kepada kerja Girard, Descartes, Newton dan saintis lain, cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil rupa moden.

1.6 Mengenai teorem Vieta

Teorem yang menyatakan hubungan antara pekali persamaan kuadratik dan punca-puncanya, dengan nama Vieta, telah dirumuskan oleh beliau buat kali pertama pada tahun 1591 seperti berikut: “Jika B + D di darab dengan A - A 2 , sama BD, kemudian A sama AT dan sama rata D ».

Untuk memahami Vieta, seseorang mesti ingat itu TAPI, seperti mana-mana vokal, dimaksudkan untuknya yang tidak diketahui (kami X), vokal AT, D- pekali untuk yang tidak diketahui. Dalam bahasa algebra moden, rumusan Vieta di atas bermaksud: jika

(a + b )x - x 2 = ab ,

x 2 - (a + b )x + a b = 0,

x 1 = a, x 2 = b .

Menyatakan hubungan antara punca dan pekali persamaan dengan formula am yang ditulis menggunakan simbol, Viet mewujudkan keseragaman dalam kaedah penyelesaian persamaan. Walau bagaimanapun, simbolisme Vieta masih jauh dari bentuk modennya. Dia tidak mengenali nombor negatif, dan oleh itu, apabila menyelesaikan persamaan, dia hanya mempertimbangkan kes di mana semua akar adalah positif.

2. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Persamaan kuadratik adalah asas di mana bangunan agung algebra terletak. Persamaan kuadratik digunakan secara meluas dalam menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan trigonometri, eksponen, logaritma, tidak rasional dan transendental. Kita semua tahu bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dari sekolah (darjah 8) sehingga tamat pengajian.

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk ax^2 + bx + c = 0, di mana pekali a, b dan c ialah nombor arbitrari, dan a ≠ 0 jika tidak, ia tidak lagi menjadi persamaan kuadratik. Persamaan kuadratik sama ada tidak mempunyai punca, atau mempunyai tepat satu punca, atau dua punca berbeza. Langkah pertama ialah mencari diskriminasi. Formula: D = b^2 − 4ac. 1. Jika D< 0, корней нет; 2. Если D = 0, есть ровно один корень; 3. Если D >0, akan ada dua punca. Pilihan pertama adalah jelas, tidak ada akar. Jika diskriminasi D > 0, punca boleh didapati seperti berikut: x12 = (-b +- √D) / 2a. Bagi pilihan kedua, apabila D = 0, formula atas boleh digunakan.

Persamaan kuadratik mula dipelajari dalam kurikulum sekolah dalam kursus matematik. Tetapi, malangnya, tidak semua orang memahami dan tahu cara menyelesaikan persamaan kuadratik dengan betul dan mengira puncanya. Pertama, mari kita fahami apa itu persamaan kuadratik.

Apakah persamaan kuadratik

Istilah persamaan kuadratik biasanya difahami sebagai persamaan algebra dalam bentuk umum. Persamaan ini mempunyai bentuk berikut: ax2 + bx + c = 0, manakala a, b dan c ialah beberapa nombor pasti, x tidak diketahui. Tiga nombor ini biasanya dipanggil pekali persamaan kuadratik:

• a - pekali pertama;
• b - pekali kedua;
• c ialah pekali ketiga.

Bagaimana untuk mencari punca-punca persamaan kuadratik

Untuk mengira apa punca persamaan kuadratik akan sama, adalah perlu untuk mencari diskriminasi persamaan. Diskriminasi bagi persamaan kuadratik ialah ungkapan yang sama dan dikira dengan formula b2 - 4ac. Jika diskriminasi lebih besar daripada sifar, punca dikira dengan formula: x \u003d -b + - punca diskriminasi dibahagikan dengan 2 a.

Pertimbangkan contoh persamaan 5x kuasa dua - 8x +3 = 0

Diskriminasi ialah lapan kuasa dua, tolak empat kali lima darab tiga, iaitu = 64 - 4*5*3 = 64-60 = 4

x1 \u003d 8 + - punca empat dibahagikan dengan dua kali lima \u003d 8 + 2/10 \u003d 1

x2 = 8-2/10 = 6/10 = 3/5 = 0.6

Sehubungan itu, punca-punca persamaan kuadratik ini ialah 1 dan 0.6.

Formula untuk punca-punca persamaan kuadratik. Kes punca sebenar, berbilang dan kompleks dipertimbangkan. Pemfaktoran trinomial segi empat sama. Tafsiran geometri. Contoh penentuan punca dan pemfaktoran.

Formula asas

Pertimbangkan persamaan kuadratik:
(1) .
Punca-punca persamaan kuadratik(1) ditentukan oleh formula:
; .
Formula ini boleh digabungkan seperti ini:
.
Apabila punca-punca persamaan kuadratik diketahui, maka polinomial darjah kedua boleh diwakili sebagai hasil darab faktor (difaktorkan):
.

Selanjutnya, kami menganggap itu adalah nombor nyata.
Pertimbangkan diskriminasi bagi persamaan kuadratik:
.
Jika diskriminasi adalah positif, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca nyata yang berbeza:
; .
Kemudian pemfaktoran trinomial segi empat sama mempunyai bentuk:
.
Jika diskriminasi adalah sifar, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca nyata berganda (sama):
.
Pemfaktoran:
.
Jika diskriminasi adalah negatif, maka persamaan kuadratik (1) mempunyai dua punca konjugat kompleks:
;
.
Berikut ialah unit khayalan, ;
dan merupakan bahagian akar yang sebenar dan khayalan:
; .
Kemudian

.

Tafsiran grafik

Jika kita graf fungsi
,
yang merupakan parabola, maka titik persilangan graf dengan paksi akan menjadi punca persamaan
.
Apabila , graf memotong paksi absis (paksi) pada dua titik.
Apabila , graf menyentuh paksi-x pada satu titik.
Apabila , graf tidak melintasi paksi-x.

Di bawah adalah contoh graf tersebut.

Formula Berguna Berkaitan Persamaan Kuadratik

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Terbitan rumus bagi punca-punca persamaan kuadratik

Kami melakukan transformasi dan menggunakan formula (f.1) dan (f.3):




,
di mana
; .

Jadi, kami mendapat formula untuk polinomial darjah kedua dalam bentuk:
.
Daripada ini dapat dilihat bahawa persamaan

dilakukan di
dan .
Iaitu, dan merupakan punca-punca persamaan kuadratik
.

Contoh penentuan punca-punca persamaan kuadratik

Contoh 1

(1.1) .

Penyelesaian

.
Membandingkan dengan persamaan kami (1.1), kami dapati nilai pekali:
.
Mencari diskriminasi:
.
Oleh kerana diskriminasi adalah positif, persamaan mempunyai dua punca sebenar:
;
;
.

Dari sini kita memperoleh penguraian trinomial persegi kepada faktor:

.

Graf bagi fungsi y = 2 x 2 + 7 x + 3 melintasi paksi-x pada dua titik.

Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia melintasi paksi-x (paksi) pada dua titik:
dan .
Titik-titik ini adalah punca-punca persamaan asal (1.1).

Jawab

;
;
.

Contoh 2

Cari punca-punca persamaan kuadratik:
(2.1) .

Penyelesaian

Kami menulis persamaan kuadratik dalam bentuk umum:
.
Membandingkan dengan persamaan asal (2.1), kita dapati nilai pekali:
.
Mencari diskriminasi:
.
Oleh kerana diskriminasi adalah sifar, persamaan mempunyai dua punca berbilang (sama):
;
.

Kemudian pemfaktoran trinomial mempunyai bentuk:
.

Graf fungsi y = x 2 - 4 x + 4 menyentuh paksi-x pada satu titik.

Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia menyentuh paksi-x (paksi) pada satu titik:
.
Titik ini adalah punca bagi persamaan asal (2.1). Oleh kerana akar ini difaktorkan dua kali:
,
maka akar sedemikian dipanggil gandaan. Iaitu, mereka menganggap bahawa terdapat dua punca yang sama:
.

Jawab

;
.

Contoh 3

Cari punca-punca persamaan kuadratik:
(3.1) .

Penyelesaian

Kami menulis persamaan kuadratik dalam bentuk umum:
(1) .
Mari kita tulis semula persamaan asal (3.1):
.
Membandingkan dengan (1), kita dapati nilai pekali:
.
Mencari diskriminasi:
.
Diskriminasi adalah negatif, . Oleh itu, tidak ada akar sebenar.

Anda boleh mencari akar kompleks:
;
;
.

Kemudian


.

Graf fungsi tidak melintasi paksi-x. Tiada akar sebenar.

Mari kita plot fungsi
.
Graf fungsi ini ialah parabola. Ia tidak melepasi absis (paksi). Oleh itu, tidak ada akar sebenar.

Jawab

Tiada akar sebenar. Akar kompleks:
;
;
.