Bagaimana untuk menyelesaikan makna geometri bagi terbitan. Derivatif

Jenis pekerjaan: 7

keadaan

Garis y=3x+2 adalah tangen kepada graf fungsi y=-12x^2+bx-10. Cari b , memandangkan absis titik sentuh adalah kurang daripada sifar.

Tunjukkan Penyelesaian

Penyelesaian

Biarkan x_0 ialah absis bagi titik pada graf fungsi y=-12x^2+bx-10 yang melalui tangen kepada graf ini.

Nilai terbitan pada titik x_0 adalah sama dengan kecerunan tangen, iaitu y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sebaliknya, titik tangen tergolong dalam kedua-dua graf fungsi dan tangen, iaitu -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Kami mendapat sistem persamaan \mulakan(kes) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(kes)

Menyelesaikan sistem ini, kita mendapat x_0^2=1, yang bermaksud sama ada x_0=-1 atau x_0=1. Mengikut keadaan absis, titik sentuhan adalah kurang daripada sifar, oleh itu x_0=-1, kemudian b=3+24x_0=-21.

Jawab

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometri bagi terbitan. Graf tangen kepada fungsi

keadaan

Garis y=-3x+4 adalah selari dengan tangen kepada graf fungsi y=-x^2+5x-7. Cari absis bagi titik sentuhan.

Tunjukkan Penyelesaian

Penyelesaian

Kecerunan garis kepada graf fungsi y=-x^2+5x-7 pada titik arbitrari x_0 ialah y"(x_0). Tetapi y"=-2x+5, jadi y"(x_0)=- 2x_0+5. Bersudut pekali garis y=-3x+4 yang dinyatakan dalam keadaan ialah -3.Garis selari mempunyai kecerunan yang sama.Oleh itu, kita dapati nilai x_0 yang =-2x_0 +5=-3.

Kami dapat: x_0 = 4.

Jawab

Sumber: "Matematik. Persediaan untuk peperiksaan-2017. tahap profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometri bagi terbitan. Graf tangen kepada fungsi

keadaan

Tunjukkan Penyelesaian

Penyelesaian

Daripada rajah, kita tentukan bahawa tangen melalui titik A(-6; 2) dan B(-1; 1). Nyatakan dengan C(-6; 1) titik persilangan garis x=-6 dan y=1, dan dengan \alpha sudut ABC (ia boleh dilihat dalam rajah bahawa ia adalah tajam). Kemudian garis AB membentuk sudut tumpul \pi -\alpha dengan arah positif paksi Lembu.

Seperti yang anda ketahui, tg(\pi -\alpha) akan menjadi nilai terbitan bagi fungsi f(x) pada titik x_0. perasan, itu tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Dari sini, dengan formula pengurangan, kami memperoleh: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0.2.

Jawab

Sumber: "Matematik. Persediaan untuk peperiksaan-2017. tahap profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometri bagi terbitan. Graf tangen kepada fungsi

keadaan

Garis y=-2x-4 adalah tangen kepada graf fungsi y=16x^2+bx+12. Cari b , memandangkan absis titik sentuh adalah lebih besar daripada sifar.

Tunjukkan Penyelesaian

Penyelesaian

Biarkan x_0 ialah absis titik pada graf fungsi y=16x^2+bx+12 yang melaluinya

adalah tangen kepada graf ini.

Nilai terbitan pada titik x_0 adalah sama dengan kecerunan tangen, iaitu, y "(x_0)=32x_0+b=-2. Sebaliknya, titik tangen tergolong dalam kedua-dua graf fungsi dan tangen, iaitu, 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Kami mendapat sistem persamaan \mulakan(kes) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(kes)

Menyelesaikan sistem, kita mendapat x_0^2=1, yang bermaksud sama ada x_0=-1 atau x_0=1. Mengikut keadaan absis, titik sentuhan adalah lebih besar daripada sifar, oleh itu x_0=1, maka b=-2-32x_0=-34.

Jawab

Sumber: "Matematik. Persediaan untuk peperiksaan-2017. tahap profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometri bagi terbitan. Graf tangen kepada fungsi

keadaan

Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y=f(x) yang ditakrifkan pada selang (-2; 8). Tentukan bilangan titik di mana tangen kepada graf fungsi itu selari dengan garis lurus y=6.

Tunjukkan Penyelesaian

Penyelesaian

Garis y=6 adalah selari dengan paksi Lembu. Oleh itu, kita dapati titik-titik di mana tangen kepada graf fungsi adalah selari dengan paksi Lembu. Pada carta ini, mata sedemikian ialah mata ekstrem (mata maksimum atau minimum). Seperti yang anda lihat, terdapat 4 titik ekstrem.

Jawab

Sumber: "Matematik. Persediaan untuk peperiksaan-2017. tahap profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometri bagi terbitan. Graf tangen kepada fungsi

keadaan

Garis y=4x-6 adalah selari dengan tangen kepada graf fungsi y=x^2-4x+9. Cari absis bagi titik sentuhan.

Tunjukkan Penyelesaian

Penyelesaian

Kecerunan tangen kepada graf fungsi y \u003d x ^ 2-4x + 9 pada titik arbitrari x_0 ialah y "(x_0). Tetapi y" \u003d 2x-4, yang bermaksud y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Cerun tangen y \u003d 4x-7 yang dinyatakan dalam keadaan adalah sama dengan 4. Garis selari mempunyai cerun yang sama. Oleh itu, kita dapati nilai x_0 sedemikian sehingga 2x_0-4 \u003d 4. Kita dapat : x_0 \u003d 4.

Jawab

Sumber: "Matematik. Persediaan untuk peperiksaan-2017. tahap profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometri bagi terbitan. Graf tangen kepada fungsi

keadaan

Rajah menunjukkan graf bagi fungsi y=f(x) dan tangen kepadanya pada titik dengan absis x_0. Cari nilai terbitan bagi fungsi f(x) pada titik x_0.

Tunjukkan Penyelesaian

Penyelesaian

Daripada rajah, kita tentukan bahawa tangen melalui titik A(1; 1) dan B(5; 4). Nyatakan dengan C(5; 1) titik persilangan garis x=5 dan y=1, dan dengan \alpha sudut BAC (ia boleh dilihat dalam rajah bahawa ia adalah tajam). Kemudian garis AB membentuk sudut \alfa dengan arah positif paksi Lembu.

Makna geometri bagi terbitan. Tugasan peperiksaan yang berkaitan dengan topik ini menyebabkan beberapa kesukaran kepada graduan. Kebanyakannya sebenarnya sangat mudah.Dalam artikel ini, kami akan menganalisis tugas di mana ia diperlukan untuk mencari terbitan untuk graf fungsi tertentu dan tangen kepada graf pada titik tertentu

*Selain itu, dalam tugasan ini, lakaran jelas menunjukkan sekurang-kurangnya dua titik di mana tangen ini dilalui. Apa yang anda perlu tahu untuk menyelesaikannya?

Mari kita bina graf arbitrari bagi fungsi tertentu y = f (x) pada satah koordinat, bina tangen pada titik x o, nyatakan sudut antara garis tentang paksi lembu sebagai α (alfa)

Daripada kursus algebra, diketahui bahawa persamaan garis lurus mempunyai bentuk:

Iaitu, terbitan fungsiy = f(x) pada titik x 0 sama dengan kecerunan tangen:

Dan cerun, pada gilirannya, adalah sama dengan tangen sudut α (alfa), iaitu:

Sudut α (alfa) boleh kurang daripada, lebih besar daripada 90 darjah, atau sifar.

Mari kita gambarkan dua kes:

1. Sudut tangen lebih besar daripada 90 darjah (sudut tumpul).

2. Sudut kecondongan tangen ialah sifar darjah (tangen selari dengan paksi oh).

Iaitu, tugas di mana graf fungsi diberikan yang bertangen kepada graf ini pada titik tertentu, dan ia diperlukan untuk mencari terbitan pada titik tangen, dikurangkan kepada mencari cerun tangen (atau tangen bagi kecerunan tangen, yang sama).

Di bawah ini kita mempertimbangkan penyelesaian masalah tersebut dengan mencari tangen sudut antara tangen dan paksi absis (paksioh), kami akan mempertimbangkan satu lagi cara penyelesaian (mencari terbitan dari segi pekali sudut) dalam masa terdekat. Kami juga akan mempertimbangkan tugasan di mana pengetahuan tentang sifat terbitan diperlukan untuk membaca graf fungsi. Jangan lepaskan!

Sila ambil perhatian bahawa dua titik yang melalui tangen ditandakan pada satah koordinat - ini adalah titik yang sangat penting (boleh dikatakan kunci dalam tugas-tugas ini).

Apa lagi yang diperlukanialah pengetahuan bagi tangen bagi sudut tumpul.

y = f(x) x 0 y = f(x) pada titik x 0 .

Nilai terbitan pada titik sentuhan adalah sama dengan kecerunan tangen, yang seterusnya adalah sama dengan tangen sudut kecondongan tangen yang diberikan kepada paksi-x. Untuk mencari tangen sudut ini, kita membina segi tiga tepat, di mana segmen yang dibatasi oleh dua titik pada graf akan menjadi hipotenus, dan kakinya selari dengan paksi. Dalam masalah ini, ini adalah mata (–5; –4), (1; 5).

Biar saya ingatkan anda: tangen sudut akut dalam segi tiga tegak ialah nisbah kaki bertentangan dengan kaki bersebelahan.

Kaki ditentukan oleh bilangan sel.

Sudut kecondongan tangen kepada paksi-x adalah sama dengan sudut BAC , oh. Bermakna

Jawapan: 1.5

y = f(x) x 0 y = f(x) pada titik x 0 .

Tugasan adalah serupa dengan yang sebelumnya. Kami juga membina segi tiga tepat, di mana segmen yang dibatasi oleh dua titik pada graf akan menjadi hipotenus. Dalam masalah ini, ini adalah mata (–5; –7), (3; 3).

Kaki juga ditentukan oleh bilangan sel.

Sudut kecondongan tangen kepada paksi-x adalah sama dengan sudut BAC , kerana kaki AC adalah selari dengan paksi oh. Bermakna

Jawapan: 1.25

Rajah menunjukkan graf bagi fungsi tersebuty = f(x) dan tangen kepadanya pada satu titik dengan absisx 0 . Cari nilai terbitan bagi suatu fungsiy = f(x) pada titik x 0 .

Kami membina segi tiga tepat, di mana segmen yang dibatasi oleh dua titik pada graf akan menjadi hipotenus. Dalam masalah ini, ini adalah mata (–3; 3) dan (5; 11). Dari titik (5; 11) kita membina kesinambungan kaki supaya kita mendapat sudut luaran.

Oleh kerana CD adalah selari dengan paksi-x, sudut ABD adalah sama dengan sudut kecondongan tangen kepada paksi-x. Oleh itu, kita akan mengira tangen sudut ABD. Ambil perhatian bahawa ia adalah lebih daripada 90 darjah, jadi di sini anda perlu menggunakan formula pengurangan untuk tangen:

Bermakna

* Panjang kaki dikira dengan bilangan sel.

Jawapan: -1.75

Rajah menunjukkan graf bagi fungsi tersebut y = f(x) dan tangen kepadanya pada satu titik dengan absis x 0 . Cari nilai terbitan bagi suatu fungsi y = f(x) pada titik x 0 . x 0

Itu sahaja! Semoga berjaya!

Yang ikhlas, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika anda memberitahu tentang laman web dalam rangkaian sosial.

Derivatif fungsi.

1. Definisi terbitan, makna geometrinya.

2. Terbitan bagi fungsi kompleks.

3. Terbitan bagi fungsi songsang.

4. Terbitan pesanan yang lebih tinggi.

5. Fungsi yang ditakrifkan secara parametrik dan secara tersirat.

6. Pembezaan fungsi yang diberi secara parametrik dan tersirat.

pengenalan.

Sumber kalkulus pembezaan ialah dua persoalan yang dibangkitkan oleh tuntutan sains dan teknologi pada abad ke-17.

1) Persoalan pengiraan kelajuan bagi undang-undang gerakan yang diberikan sewenang-wenangnya.

2) Persoalan mencari (dengan bantuan pengiraan) tangen kepada lengkung yang diberikan sewenang-wenangnya.

Masalah melukis tangen pada beberapa lengkung telah diselesaikan oleh saintis Yunani kuno Archimedes (287-212 SM), menggunakan kaedah lukisan.

Tetapi hanya pada abad ke-17 dan ke-18, berkaitan dengan kemajuan sains dan teknologi semula jadi, isu-isu ini telah dibangunkan dengan betul.

Salah satu persoalan penting dalam kajian mana-mana fenomena fizikal biasanya persoalan kelajuan, kelajuan fenomena yang berlaku.

Kelajuan pesawat atau kereta bergerak sentiasa menjadi penunjuk paling penting prestasinya. Kadar pertumbuhan penduduk sesebuah negeri adalah salah satu ciri utama pembangunan sosialnya.

Idea asal kelajuan jelas kepada semua orang. Walau bagaimanapun, idea umum ini tidak mencukupi untuk menyelesaikan kebanyakan masalah praktikal. Ia adalah perlu untuk mempunyai definisi kuantitatif kuantiti ini, yang kita panggil kelajuan. Keperluan untuk definisi kuantitatif yang tepat dari segi sejarah berfungsi sebagai salah satu motif utama untuk penciptaan analisis matematik. Seluruh bahagian analisis matematik ditumpukan kepada penyelesaian masalah asas ini dan kesimpulan daripada penyelesaian ini. Sekarang kita beralih kepada kajian bahagian ini.

Takrif terbitan, makna geometrinya.

Biarkan fungsi yang ditakrifkan dalam beberapa selang diberikan (a, c) dan berterusan di dalamnya.

1. Mari kita berikan hujah X increment , maka fungsi akan mendapat

kenaikan:

2. Menyusun perhubungan .

3. Melepasi kepada had pada dan, dengan mengandaikan bahawa had

wujud, kita mendapat nilai , yang dipanggil

terbitan fungsi berkenaan dengan hujah X.

Definisi. Terbitan fungsi pada satu titik ialah had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah apabila →0.

Nilai derivatif jelas bergantung pada titik X, di mana ia ditemui, jadi terbitan fungsi itu pula, beberapa fungsi bagi X. Ditetapkan .

Mengikut definisi, kita ada

atau (3)

Contoh. Cari terbitan bagi fungsi tersebut.

1. ;

Dalam satah koordinat hoy pertimbangkan graf fungsi tersebut y=f(x). Betulkan satu perkara M (x 0; f (x 0)). Mari kita berikan absis x 0 kenaikan Δх. Kami akan mendapat absis baru x 0 +Δx. Ini adalah abscissa titik N, dan ordinatnya ialah f (х 0 +Δх). Perubahan dalam abscissa memerlukan perubahan dalam ordinat. Perubahan ini dipanggil kenaikan fungsi dan dilambangkan Δy.

Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). melalui titik M dan N lukiskan secan MN, yang membentuk sudut φ dengan arah paksi positif Oh. Tentukan tangen bagi sudut itu φ daripada segi tiga tepat MPN.

biarlah Δх cenderung kepada sifar. Kemudian bahagian MN akan cenderung mengambil kedudukan tangen MT, dan sudut φ akan menjadi sudut α . Jadi tangen sudut α ialah nilai had tangen sudut φ :

Had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, apabila yang terakhir cenderung kepada sifar, dipanggil derivatif fungsi pada titik tertentu:

Makna geometri bagi terbitan terletak pada fakta bahawa terbitan berangka bagi fungsi pada titik tertentu adalah sama dengan tangen sudut yang dibentuk oleh tangen yang dilukis melalui titik ini ke lengkung yang diberikan dan arah positif paksi Oh:

Contoh.

1. Cari kenaikan hujah dan kenaikan fungsi y= x2 jika nilai awal hujah ialah 4 , dan yang baharu 4,01 .

Penyelesaian.

Nilai hujah baharu x \u003d x 0 + Δx. Gantikan data: 4.01=4+Δx, maka pertambahan hujah Δх=4.01-4=0.01. Kenaikan fungsi, mengikut definisi, adalah sama dengan perbezaan antara nilai baharu dan sebelumnya bagi fungsi tersebut, i.e. Δy \u003d f (x 0 + Δx) - f (x 0). Memandangkan kita mempunyai fungsi y=x2, kemudian Δу\u003d (x 0 + Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · ∆x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Jawapan: pertambahan hujah Δх=0.01; kenaikan fungsi Δу=0,0801.

Ia adalah mungkin untuk mencari kenaikan fungsi dengan cara lain: Δy\u003d y (x 0 + Δx) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0.0801.

2. Cari sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi y=f(x) pada titik x 0, jika f "(x 0) \u003d 1.

Penyelesaian.

Nilai terbitan pada titik sentuhan x 0 dan ialah nilai tangen cerun tangen (makna geometri terbitan). Kami ada: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → α \u003d 45 °, kerana tg45°=1.

Jawapan: tangen kepada graf fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif paksi Lembu, sama dengan 45°.

3. Terbitkan formula untuk terbitan bagi suatu fungsi y=xn.

Pembezaan ialah tindakan mencari terbitan bagi suatu fungsi.

Apabila mencari derivatif, formula digunakan yang diterbitkan berdasarkan takrifan derivatif, dengan cara yang sama seperti kami memperoleh formula untuk darjah derivatif: (x n)" = nx n-1.

Berikut adalah formulanya.

Jadual terbitan ia akan lebih mudah untuk menghafal dengan menyebut rumusan lisan:

1. Terbitan bagi nilai malar ialah sifar.

2. Lejang X adalah sama dengan satu.

3. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan.

4. Terbitan darjah adalah sama dengan hasil darab pangkat ini dengan darjah dengan asas yang sama, tetapi eksponennya kurang satu.

5. Terbitan punca adalah sama dengan satu dibahagikan dengan dua punca yang sama.

6. Terbitan perpaduan dibahagikan dengan x ialah tolak satu dibahagikan dengan x kuasa dua.

7. Terbitan sinus adalah sama dengan kosinus.

8. Terbitan kosinus adalah sama dengan tolak sinus.

9. Terbitan tangen adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus.

10. Terbitan bagi kotangen ialah tolak satu dibahagikan dengan kuasa dua sinus.

Kami mengajar peraturan pembezaan.

1. Terbitan bagi hasil tambah algebra adalah sama dengan hasil tambah algebra bagi sebutan terbitan.

2. Terbitan hasil darab adalah sama dengan hasil darab derivatif faktor pertama dengan yang kedua ditambah hasil darab faktor pertama dengan terbitan kedua.

3. Terbitan "y" dibahagikan dengan "ve" adalah sama dengan pecahan, dalam pengangkanya "y ialah lejang didarab dengan "ve" tolak "y, didarab dengan lejang", dan dalam penyebut - "ve kuasa dua. ”.

4. Kes khas formula 3.