Bagaimana untuk menyelesaikan contoh kaedah Cramer. Contoh penyelesaian sistem persamaan algebra linear dengan kaedah Cramer

Kaedah Cramer adalah berdasarkan penggunaan penentu dalam sistem penyelesaian persamaan linear. Ini sangat mempercepatkan proses penyelesaian.

Kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear sebanyak mana yang tidak diketahui dalam setiap persamaan. Jika penentu sistem tidak sama dengan sifar, maka kaedah Cramer boleh digunakan dalam penyelesaian; jika ia sama dengan sifar, maka ia tidak boleh. Selain itu, kaedah Cramer boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear yang mempunyai penyelesaian unik.

Definisi. Penentu, yang terdiri daripada pekali yang tidak diketahui, dipanggil penentu sistem dan dilambangkan dengan (delta).

Penentu

diperoleh dengan menggantikan pekali pada yang tidak diketahui yang sepadan dengan istilah bebas:

;

.

Teorem Cramer. Jika penentu sistem adalah bukan sifar, maka sistem persamaan linear mempunyai satu penyelesaian tunggal, dan yang tidak diketahui adalah sama dengan nisbah penentu. Penyebut ialah penentu sistem, dan pengangka ialah penentu yang diperoleh daripada penentu sistem dengan menggantikan pekali dengan yang tidak diketahui dengan sebutan bebas. Teorem ini berlaku untuk sistem persamaan linear bagi sebarang susunan.

Contoh 1 Selesaikan sistem persamaan linear:

mengikut Teorem Cramer kami ada:

Jadi, penyelesaian sistem (2):

kalkulator dalam talian, kaedah yang menentukan Kramer.

Tiga kes dalam menyelesaikan sistem persamaan linear

Seperti yang kelihatan dari Teorem Cramer, apabila menyelesaikan sistem persamaan linear, tiga kes mungkin berlaku:

Kes pertama: sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian yang unik

(sistem adalah konsisten dan pasti)

Kes kedua: sistem persamaan linear mempunyai tak terkira keputusan

(sistem adalah konsisten dan tidak tentu)

** ,

mereka. pekali bagi yang tidak diketahui dan sebutan bebas adalah berkadar.

Kes ketiga: sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistem m persamaan linear dengan n pembolehubah dipanggil tidak serasi jika ia tidak mempunyai penyelesaian, dan sendi jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian. sistem sendi persamaan yang hanya mempunyai satu penyelesaian dipanggil pasti, dan lebih daripada satu tidak pasti.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer

Biarkan sistem

.

Berdasarkan teorem Cramer

………….
,

di mana
-

pengecam sistem. Penentu selebihnya diperoleh dengan menggantikan lajur dengan pekali pembolehubah yang sepadan (tidak diketahui) dengan ahli bebas:

Contoh 2

.

Oleh itu, sistem itu pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu

Dengan formula Cramer kita dapati:

Jadi, (1; 0; -1) ialah satu-satunya penyelesaian kepada sistem.

Untuk menyemak penyelesaian sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian, kaedah penyelesaian Cramer.

Jika tiada pembolehubah dalam sistem persamaan linear dalam satu atau lebih persamaan, maka dalam penentu unsur-unsur yang sepadan dengannya adalah sama dengan sifar! Ini adalah contoh seterusnya.

Contoh 3 Selesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer:

.

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Lihat dengan teliti pada sistem persamaan dan pada penentu sistem dan ulangi jawapan kepada soalan di mana satu atau lebih elemen penentu adalah sama dengan sifar. Jadi, penentu tidak sama dengan sifar, oleh itu, sistem adalah pasti. Untuk mencari penyelesaiannya, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui

Dengan formula Cramer kita dapati:

Jadi, penyelesaian sistem ialah (2; -1; 1).

Untuk menyemak penyelesaian sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian, kaedah penyelesaian Cramer.

Bahagian atas halaman

Kami terus menyelesaikan sistem menggunakan kaedah Cramer bersama-sama

Seperti yang telah disebutkan, jika penentu sistem adalah sama dengan sifar, dan penentu untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan sifar, sistem itu tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 6 Selesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer:

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Penentu sistem adalah sama dengan sifar, oleh itu, sistem persamaan linear adalah sama ada tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian. Untuk menjelaskan, kami mengira penentu untuk yang tidak diketahui

Penentu untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan sifar, oleh itu, sistem tidak konsisten, iaitu, ia tidak mempunyai penyelesaian.

Untuk menyemak penyelesaian sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, anda boleh menggunakan kalkulator dalam talian, kaedah penyelesaian Cramer.

Dalam masalah pada sistem persamaan linear, terdapat juga yang, sebagai tambahan kepada huruf yang menunjukkan pembolehubah, terdapat juga huruf lain. Huruf ini bermaksud beberapa nombor, selalunya nombor nyata. Dalam amalan, persamaan dan sistem persamaan tersebut membawa kepada masalah carian sifat biasa sebarang fenomena atau objek. Iaitu, adakah anda mencipta apa-apa bahan baru atau peranti, dan untuk menerangkan sifatnya, yang biasa tanpa mengira saiz atau bilangan salinan, adalah perlu untuk menyelesaikan sistem persamaan linear, di mana bukannya beberapa pekali untuk pembolehubah terdapat huruf. Anda tidak perlu melihat jauh untuk contoh.

Contoh seterusnya adalah untuk masalah yang sama, hanya bilangan persamaan, pembolehubah, dan huruf yang menunjukkan beberapa nombor nyata meningkat.

Contoh 8 Selesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer:

Penyelesaian. Kami mencari penentu sistem:

Mencari penentu untuk yang tidak diketahui

Kaedah Cramer atau yang dipanggil peraturan Cramer ialah satu cara untuk mencari kuantiti yang tidak diketahui daripada sistem persamaan. Ia boleh digunakan hanya jika bilangan nilai yang diperlukan bersamaan dengan bilangan persamaan algebra dalam sistem, iaitu, matriks utama yang terbentuk daripada sistem mestilah segi empat sama dan tidak mengandungi baris sifar, dan juga jika penentunya mesti bukan sifar.

Teorem 1

Teorem Cramer Jika penentu utama $D$ matriks utama, disusun berdasarkan pekali persamaan, tidak sama dengan sifar, maka sistem persamaan adalah konsisten, dan ia mempunyai penyelesaian yang unik. Penyelesaian sistem sedemikian dikira menggunakan formula Cramer yang dipanggil untuk menyelesaikan sistem persamaan linear: $x_i = \frac(D_i)(D)$

Apakah kaedah Cramer

Intipati kaedah Cramer adalah seperti berikut:

1. Untuk mencari penyelesaian kepada sistem dengan kaedah Cramer, pertama sekali, kita mengira penentu utama matriks $D$. Apabila penentu yang dikira bagi matriks utama, apabila dikira dengan kaedah Cramer, ternyata sama dengan sifar, maka sistem itu tidak mempunyai penyelesaian tunggal atau mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Dalam kes ini, untuk mencari jawapan umum atau beberapa jawapan asas untuk sistem, adalah disyorkan untuk menggunakan kaedah Gaussian.
2. Kemudian anda perlu menggantikan lajur terakhir matriks utama dengan lajur ahli percuma dan mengira penentu $D_1$.
3. Ulang perkara yang sama untuk semua lajur, dapatkan penentu daripada $D_1$ hingga $D_n$, dengan $n$ ialah nombor lajur paling kanan.
4. Selepas semua penentu $D_1$...$D_n$ ditemui, pembolehubah yang tidak diketahui boleh dikira menggunakan formula $x_i = \frac(D_i)(D)$.

Teknik untuk mengira penentu matriks

Untuk mengira penentu matriks dengan dimensi lebih besar daripada 2 dengan 2, beberapa kaedah boleh digunakan:

• Peraturan segi tiga, atau peraturan Sarrus, menyerupai peraturan yang sama. Intipati kaedah segitiga ialah apabila mengira penentu hasil darab semua nombor yang disambungkan dalam rajah dengan garis merah di sebelah kanan, ia ditulis dengan tanda tambah, dan semua nombor disambungkan dengan cara yang sama dalam rajah pada kiri - dengan tanda tolak. Kedua-dua peraturan sesuai untuk matriks 3 x 3. Dalam kes peraturan Sarrus, matriks itu sendiri ditulis semula terlebih dahulu, dan di sebelahnya, lajur pertama dan kedua ditulis semula semula. Diagonal dilukis melalui matriks dan lajur tambahan ini, ahli matriks yang terletak pada pepenjuru utama atau selari dengannya ditulis dengan tanda tambah, dan elemen yang terletak pada pepenjuru sekunder atau selari dengannya ditulis dengan tanda tolak.

Rajah 1. Peraturan segi tiga untuk mengira penentu bagi kaedah Cramer

• Dengan kaedah yang dikenali sebagai kaedah Gaussian, kaedah ini juga kadangkala dirujuk sebagai pengurangan penentu. Dalam kes ini, matriks diubah dan dikurangkan kepada segi tiga, dan kemudian darab semua nombor pada pepenjuru utama. Harus diingat bahawa dalam pencarian penentu sedemikian, seseorang tidak boleh mendarab atau membahagi baris atau lajur dengan nombor tanpa mengambilnya sebagai faktor atau pembahagi. Dalam kes mencari penentu, hanya mungkin untuk menolak dan menambah baris dan lajur antara satu sama lain, setelah sebelumnya mendarabkan baris yang ditolak dengan faktor bukan sifar. Juga, dengan setiap pilih atur baris atau lajur matriks, seseorang harus ingat keperluan untuk menukar tanda akhir matriks.
• Apabila menyelesaikan SLAE Cramer dengan 4 yang tidak diketahui, sebaiknya gunakan kaedah Gaussian untuk mencari dan mencari penentu atau menentukan penentu melalui carian untuk kanak-kanak bawah umur.

Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah Cramer

Kami menggunakan kaedah Cramer untuk sistem 2 persamaan dan dua kuantiti yang diperlukan:

$\mulakan(kes) a_1x_1 + a_2x_2 = b_1 \\ a_3x_1 + a_4x_2 = b_2 \\ \end(kes)$

Mari kita paparkannya dalam bentuk yang diperluaskan untuk kemudahan:

$A = \begin(array)(cc|c) a_1 & a_2 & b_1 \\ a_3 & a_4 & b_1 \\ \end(array)$

Cari penentu matriks utama, juga dipanggil penentu utama sistem:

$D = \begin(array)(|cc|) a_1 & a_2 \\ a_3 & a_4 \\ \end(array) = a_1 \cdot a_4 – a_3 \cdot a_2$

Jika penentu utama tidak sama dengan sifar, maka untuk menyelesaikan slough dengan kaedah Cramer, adalah perlu untuk mengira beberapa lagi penentu daripada dua matriks dengan lajur matriks utama digantikan dengan baris ahli bebas:

$D_1 = \begin(array)(|cc|) b_1 & a_2 \\ b_2 & a_4 \\ \end(array) = b_1 \cdot a_4 – b_2 \cdot a_4$

$D_2 = \begin(array)(|cc|) a_1 & b_1 \\ a_3 & b_2 \\ \end(array) = a_1 \cdot b_2 – a_3 \cdot b_1$

Sekarang mari kita cari yang tidak diketahui $x_1$ dan $x_2$:

$x_1 = \frac (D_1)(D)$

$x_2 = \frac (D_2)(D)$

Contoh 1

Kaedah Cramer untuk menyelesaikan SLAE dengan susunan ke-3 (3 x 3) matriks utama dan tiga yang dikehendaki.

Selesaikan sistem persamaan:

$\mulakan(kes) 3x_1 - 2x_2 + 4x_3 = 21 \\ 3x_1 +4x_2 + 2x_3 = 9\\ 2x_1 - x_2 - x_3 = 10 \\ \end(kes)$

Kami mengira penentu utama matriks menggunakan peraturan di atas di bawah perenggan nombor 1:

$D = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 4 \\3 & 4 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot ( -1) + 2 \cdot (-2) \cdot 2 + 4 \cdot 3 \cdot (-1) - 4 \cdot 4 \cdot 2 - 3 \cdot (-2) \cdot (-1) - (- 1) \cdot 2 \cdot 3 = - 12 - 8 -12 -32 - 6 + 6 = - $64

Dan kini tiga penentu lain:

$D_1 = \begin(array)(|ccc|) 21 & 2 & 4 \\ 9 & 4 & 2 \\ 10 & 1 & 1 \\ \end(array) = 21 \cdot 4 \cdot 1 + (- 2) \cdot 2 \cdot 10 + 9 \cdot (-1) \cdot 4 - 4 \cdot 4 \cdot 10 - 9 \cdot (-2) \cdot (-1) - (-1) \cdot 2 \ cdot 21 = - 84 - 40 - 36 - 160 - 18 + 42 = - $296

$D_2 = \begin(array)(|ccc|) 3 & 21 & 4 \\3 & 9 & 2 \\ 2 & 10 & 1 \\ \end(array) = 3 \cdot 9 \cdot (- 1) + 3 \cdot 10 \cdot 4 + 21 \cdot 2 \cdot 2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 10 \cdot 3 = - 27 + 120 + 84 – 72 + 63 – 60 = $108

$D_3 = \begin(array)(|ccc|) 3 & -2 & 21 \\ 3 & 4 & 9 \\ 2 & 1 & 10 \\ \end(array) = 3 \cdot 4 \cdot 10 + 3 \cdot (-1) \cdot 21 + (-2) \cdot 9 \cdot 2 - 21 \cdot 4 \cdot 2 - (-2) \cdot 3 \cdot 10 - (-1) \cdot 9 \cdot 3 \u003d 120 - 63 - 36 - 168 + 60 + 27 \u003d - $ 60

Mari cari nilai yang diperlukan:

$x_1 = \frac(D_1) (D) = \frac(- 296)(-64) = 4 \frac(5)(8)$

$x_2 = \frac(D_1) (D) = \frac(108) (-64) = - 1 \frac (11) (16)$

$x_3 = \frac(D_1) (D) = \frac(-60) (-64) = \frac (15) (16)$

Biarkan sistem persamaan linear mengandungi seberapa banyak persamaan sebagai bilangan pembolehubah bebas, i.e. mempunyai bentuk

Sistem persamaan linear sedemikian dipanggil kuadratik. Penentu terdiri daripada pekali pada tak bersandar pembolehubah sistem(1.5) dipanggil penentu utama sistem. Kami akan menandakannya dengan huruf Yunani D. Oleh itu,

. (1.6)

Jika dalam penentu utama arbitrari ( j ke) lajur, gantikan dengan lajur ahli percuma sistem (1.5), maka kita boleh mendapatkan lebih banyak lagi n penentu tambahan:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Peraturan Cramer menyelesaikan sistem kuadratik persamaan linear adalah seperti berikut. Jika penentu utama D bagi sistem (1.5) ialah bukan sifar, maka sistem itu mempunyai penyelesaian unik, yang boleh didapati dengan formula:

(1.8)

Contoh 1.5. Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer

.

Mari kita hitung penentu utama sistem:

Sejak D¹0, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati menggunakan formula (1.8):

Dengan cara ini,

Tindakan Matriks

1. Pendaraban matriks dengan nombor. Operasi mendarab matriks dengan nombor ditakrifkan seperti berikut.

2. Untuk mendarab matriks dengan nombor, anda perlu mendarab semua elemennya dengan nombor ini. Itu dia

. (1.9)

Contoh 1.6. .

Penambahan matriks.

Operasi ini diperkenalkan hanya untuk matriks dengan susunan yang sama.

Untuk menambah dua matriks, adalah perlu untuk menambah unsur-unsur sepadan matriks lain kepada unsur-unsur satu matriks:

(1.10)
Operasi penambahan matriks mempunyai sifat asosiativiti dan komutatif.

Contoh 1.7. .

Pendaraban matriks.

Jika bilangan lajur matriks TAPI sepadan dengan bilangan baris matriks AT, maka untuk matriks sedemikian operasi pendaraban diperkenalkan:

2

Oleh itu, apabila mendarab matriks TAPI dimensi m´ n kepada matriks AT dimensi n´ k kita dapat matriks DARI dimensi m´ k. Dalam kes ini, unsur-unsur matriks DARI dikira mengikut formula berikut:

Masalah 1.8. Cari, jika boleh, hasil darab matriks AB dan BA:

Penyelesaian. 1) Untuk mencari kerja AB, anda memerlukan baris matriks A darab dengan lajur matriks B:

2) Karya seni BA tidak wujud, kerana bilangan lajur matriks B tidak sepadan dengan bilangan baris matriks A.

Matriks songsang. Menyelesaikan sistem persamaan linear dalam cara matriks

Matriks A- 1 dipanggil songsang bagi matriks segi empat sama TAPI jika persamaan itu berlaku:

melalui mana saya dilambangkan matriks identiti susunan yang sama dengan matriks TAPI:

.

Untuk matriks segi empat sama mempunyai songsang, adalah perlu dan mencukupi bahawa penentunya adalah bukan sifar. Matriks songsang ditemui dengan formula:

, (1.13)

di mana A ij- penambahan algebra kepada unsur aij matriks TAPI(perhatikan bahawa penambahan algebra pada baris matriks TAPI disusun dalam matriks songsang dalam bentuk lajur yang sepadan).

Contoh 1.9. Cari matriks songsang A- 1 kepada matriks

.

Kami mencari matriks songsang dengan formula (1.13), yang bagi kes itu n= 3 kelihatan seperti:

.

Jom cari det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Oleh kerana penentu matriks asal adalah berbeza daripada sifar, maka matriks songsang wujud.

1) Cari penambahan algebra A ij:

Untuk kemudahan mencari matriks songsang, kami meletakkan penambahan algebra pada baris matriks asal dalam lajur yang sepadan.

Daripada diterima penambahan algebra susun matriks baharu dan bahagikannya dengan det penentu A. Oleh itu, kita akan mendapat matriks songsang:

Sistem kuadratik persamaan linear dengan penentu utama bukan sifar boleh diselesaikan menggunakan matriks songsang. Untuk ini, sistem (1.5) ditulis dalam bentuk matriks:

di mana

Mendarab kedua-dua belah kesamaan (1.14) di sebelah kiri dengan A- 1, kami mendapat penyelesaian sistem:

, di mana

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada sistem segi empat sama, anda perlu mencari matriks songsang kepada matriks utama sistem dan darab di sebelah kanan dengan matriks lajur sebutan bebas.

Masalah 1.10. Menyelesaikan sistem persamaan linear

menggunakan matriks songsang.

Penyelesaian. Kami menulis sistem dalam bentuk matriks: ,

di mana ialah matriks utama sistem, ialah lajur tak diketahui, dan lajur sebutan bebas. Sejak penentu utama sistem , maka matriks utama sistem TAPI mempunyai matriks songsang TAPI-satu. Untuk mencari matriks songsang TAPI-1 , hitung pelengkap algebra kepada semua unsur matriks TAPI:

Daripada nombor yang diperolehi kita menyusun matriks (selain itu, penambahan algebra pada baris matriks TAPI tulis dalam lajur yang sesuai) dan bahagikannya dengan penentu D. Oleh itu, kami telah menemui matriks songsang:

Penyelesaian sistem didapati dengan formula (1.15):

Dengan cara ini,

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear oleh Pengecualian Jordan Biasa

Biarkan sistem persamaan linear arbitrari (tidak semestinya segi empat sama) diberikan:

(1.16)

Ia diperlukan untuk mencari penyelesaian kepada sistem, i.e. satu set pembolehubah yang memenuhi semua kesamaan sistem (1.16). AT kes am sistem (1.16) boleh mempunyai bukan sahaja satu penyelesaian, tetapi juga bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. Ia juga mungkin tidak mempunyai penyelesaian sama sekali.

Dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang terkenal kursus sekolah kaedah penghapusan yang tidak diketahui, yang juga dipanggil kaedah penghapusan Jordan biasa. Intipati kaedah ini terletak pada fakta bahawa dalam salah satu persamaan sistem (1.16) salah satu pembolehubah dinyatakan dalam sebutan pembolehubah lain. Kemudian pembolehubah ini digantikan ke dalam persamaan sistem yang lain. Hasilnya ialah sistem yang mengandungi satu persamaan dan satu pembolehubah kurang daripada sistem asal. Persamaan dari mana pembolehubah itu dinyatakan diingati.

Proses ini diulang sehingga satu persamaan terakhir kekal dalam sistem. Dalam proses menghapuskan yang tidak diketahui, beberapa persamaan boleh bertukar menjadi identiti sebenar, contohnya. Persamaan sedemikian dikecualikan daripada sistem, kerana ia sah untuk sebarang nilai pembolehubah dan, oleh itu, tidak menjejaskan penyelesaian sistem. Jika, dalam proses menghapuskan yang tidak diketahui, sekurang-kurangnya satu persamaan menjadi kesamaan yang tidak dapat dipenuhi untuk sebarang nilai pembolehubah (contohnya, ), maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Jika dalam proses menyelesaikan persamaan yang tidak konsisten tidak timbul, maka salah satu pembolehubah yang tinggal di dalamnya ditemui dari persamaan terakhir. Jika hanya satu pembolehubah kekal dalam persamaan terakhir, maka ia dinyatakan sebagai nombor. Jika pembolehubah lain kekal dalam persamaan terakhir, maka ia dianggap parameter, dan pembolehubah yang dinyatakan melaluinya akan menjadi fungsi parameter ini. Kemudian yang dipanggil lejang terbalik". Pembolehubah yang ditemui digantikan ke dalam persamaan hafalan terakhir dan pembolehubah kedua ditemui. Kemudian kedua-dua pembolehubah yang ditemui digantikan ke dalam persamaan hafalan kedua dan pembolehubah ketiga ditemui, dan seterusnya, sehingga persamaan hafalan pertama.

Akibatnya, kami mendapat penyelesaian sistem. Penyelesaian ini akan menjadi unik jika pembolehubah yang ditemui ialah nombor. Jika pembolehubah pertama dijumpai, dan kemudian semua yang lain bergantung pada parameter, maka sistem akan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga (setiap set parameter sepadan dengan penyelesaian baharu). Formula yang membenarkan mencari penyelesaian kepada sistem bergantung pada set parameter tertentu dipanggil penyelesaian umum sistem.

Contoh 1.11.

x

Selepas menghafal persamaan pertama dan membawa istilah yang sama dalam persamaan kedua dan ketiga, kita tiba di sistem:

Ekspres y daripada persamaan kedua dan gantikannya ke dalam persamaan pertama:

Ingat persamaan kedua, dan dari yang pertama kita dapati z:

Membuat langkah terbalik, kami dapati secara berturut-turut y dan z. Untuk melakukan ini, kita mula-mula menggantikan ke dalam persamaan hafalan terakhir, yang daripadanya kita dapati y:

.

Kemudian kita gantikan dan ke dalam persamaan yang pertama dihafal dari mana kita jumpa x:

Masalah 1.12. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghapuskan yang tidak diketahui:

. (1.17)

Penyelesaian. Mari kita nyatakan pembolehubah daripada persamaan pertama x dan gantikannya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

.

Ingat persamaan pertama

Dalam sistem ini, persamaan pertama dan kedua bercanggah antara satu sama lain. Memang meluahkan y , kita mendapat bahawa 14 = 17. Kesamaan ini tidak berpuas hati, untuk sebarang nilai pembolehubah x, y, dan z. Akibatnya, sistem (1.17) tidak konsisten, iaitu, tiada penyelesaian.

Pembaca dijemput untuk mengesahkan secara bebas bahawa penentu utama sistem asal (1.17) adalah sama dengan sifar.

Pertimbangkan sistem yang berbeza daripada sistem (1.17) dengan hanya satu istilah bebas.

Masalah 1.13. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghapuskan yang tidak diketahui:

. (1.18)

Penyelesaian. Seperti sebelum ini, kami menyatakan pembolehubah dari persamaan pertama x dan gantikannya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

.

Ingat persamaan pertama dan kami membentangkan sebutan yang serupa dalam persamaan kedua dan ketiga. Kami tiba di sistem:

meluahkan y daripada persamaan pertama dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua , kita mendapat identiti 14 = 14, yang tidak menjejaskan penyelesaian sistem, dan, oleh itu, ia boleh dikecualikan daripada sistem.

Dalam kesamaan hafalan terakhir, pembolehubah z akan dianggap sebagai parameter. Kami percaya . Kemudian

Pengganti y dan z ke dalam kesaksamaan yang pertama dihafal dan mencari x:

.

Oleh itu, sistem (1.18) mempunyai set penyelesaian tak terhingga, dan sebarang penyelesaian boleh didapati daripada formula (1.19) dengan memilih nilai arbitrari parameter t:

(1.19)
Oleh itu, penyelesaian sistem, sebagai contoh, ialah set pembolehubah (1; 2; 0), (2; 26; 14), dsb. Formula (1.19) menyatakan penyelesaian umum (mana-mana) sistem (1.18). ).

Dalam kes apabila sistem asal (1.16) mempunyai cukup sejumlah besar persamaan dan tidak diketahui, kaedah penyingkiran Jordan biasa yang dinyatakan kelihatan menyusahkan. Walau bagaimanapun, ia tidak. Ia cukup untuk mendapatkan algoritma untuk mengira semula pekali sistem pada satu langkah masuk Pandangan umum dan memformalkan penyelesaian masalah dalam bentuk jadual khas Jordan.

Biarkan sistem bentuk linear (persamaan) diberikan:

, (1.20)
di mana xj- pembolehubah bebas (diingini), aij- pekali malar
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Bahagian kanan sistem y i (i = 1, 2,…, m) boleh menjadi kedua-dua pembolehubah (bergantung) dan pemalar. Ia diperlukan untuk mencari penyelesaian kepada sistem ini dengan menghapuskan yang tidak diketahui.

Mari kita pertimbangkan operasi berikut, selepas ini dirujuk sebagai "satu langkah pengecualian Jordan biasa". Daripada sewenang-wenangnya ( r kesamaan, kami menyatakan pembolehubah arbitrari ( x s) dan gantikan kepada semua persamaan lain. Sudah tentu, ini hanya mungkin jika a rs¹ 0. Pekali a rs dipanggil elemen penyelesaian (kadang-kadang membimbing atau utama).

Kami akan dapat sistem seterusnya:

. (1.21)

daripada s kesamaan sistem (1.21), kita kemudiannya akan mencari pembolehubah x s(selepas pembolehubah lain ditemui). S Baris ke-1 diingati dan kemudiannya dikecualikan daripada sistem. Sistem selebihnya akan mengandungi satu persamaan dan satu pembolehubah tidak bersandar kurang daripada sistem asal.

Mari kita hitung pekali sistem yang terhasil (1.21) dari segi pekali sistem asal (1.20). Mari kita mulakan dengan r persamaan ke, yang, selepas menyatakan pembolehubah x s melalui pembolehubah yang lain akan kelihatan seperti ini:

Oleh itu, pekali baru r persamaan dikira dengan formula berikut:

(1.23)
Mari kita sekarang mengira pekali baru b ij(i¹ r) persamaan sewenang-wenangnya. Untuk melakukan ini, kami menggantikan pembolehubah yang dinyatakan dalam (1.22) x s dalam i persamaan sistem (1.20):

Selepas membawa istilah seperti, kami mendapat:

(1.24)
Daripada kesamaan (1.24) kita memperoleh formula yang menggunakan pekali baki sistem (1.21) dikira (dengan pengecualian r persamaan ke):

(1.25)
Transformasi sistem persamaan linear dengan kaedah penyingkiran Jordan biasa dibentangkan dalam bentuk jadual (matriks). Jadual ini dipanggil "Jordan tables".

Oleh itu, masalah (1.20) dikaitkan dengan jadual Jordan berikut:

Jadual 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a ialah		a dalam
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		sebuah rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		seorang mj		seorang ms		amn

Jadual Jordan 1.1 mengandungi lajur kepala kiri, di mana bahagian kanan sistem (1.20) ditulis, dan baris kepala atas, di mana pembolehubah bebas ditulis.

Unsur-unsur selebihnya jadual membentuk matriks utama pekali sistem (1.20). Jika kita darabkan matriks TAPI kepada matriks yang terdiri daripada unsur-unsur baris pengepala atas, maka kita mendapat matriks yang terdiri daripada unsur-unsur lajur pengepala kiri. Iaitu, pada dasarnya, jadual Jordan ialah bentuk matriks untuk menulis sistem persamaan linear: . Dalam kes ini, jadual Jordan berikut sepadan dengan sistem (1.21):

Jadual 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b ialah		b dalam
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Unsur permisif a rs kami akan ketengahkan dalam huruf tebal. Ingat bahawa untuk melaksanakan satu langkah pengecualian Jordan, elemen penyelesaian mestilah bukan sifar. Baris jadual yang mengandungi elemen permisif dipanggil baris permisif. Lajur yang mengandungi elemen dayakan dipanggil lajur dayakan. Apabila berpindah dari jadual tertentu ke jadual seterusnya, satu pembolehubah ( x s) dari baris pengepala atas jadual dialihkan ke lajur pengepala kiri dan, sebaliknya, salah satu ahli bebas sistem ( y r) dialihkan dari lajur pengepala kiri jadual ke baris pengepala atas.

Mari kita terangkan algoritma untuk mengira semula pekali dalam hantaran dari jadual Jordan (1.1) ke jadual (1.2), yang mengikuti daripada formula (1.23) dan (1.25).

1. Elemen pemboleh digantikan dengan nombor songsang:

2. Elemen selebihnya bagi garis permisif dibahagikan dengan elemen permisif dan tanda tukar kepada sebaliknya:

3. Elemen baki lajur pemboleh dibahagikan kepada elemen pemboleh:

4. Elemen yang tidak termasuk dalam baris penyelesaian dan lajur penyelesaian dikira semula mengikut formula:

Formula terakhir mudah diingat jika anda perasan bahawa unsur-unsur yang membentuk pecahan , berada di persimpangan i-oh dan r-baris ke- dan j ke dan s lajur -th (menyelesaikan baris, menyelesaikan lajur dan baris dan lajur di persimpangan yang mana elemen yang akan dikira semula terletak). Lebih tepat lagi, apabila menghafal formula anda boleh menggunakan carta berikut:

-21 -26 -13 -37

Melakukan langkah pertama pengecualian Jordan, mana-mana elemen Jadual 1.3 yang terdapat dalam lajur x 1 ,…, x 5 (semua elemen yang dinyatakan tidak sama dengan sifar). Anda bukan sahaja harus memilih elemen pemboleh dalam lajur terakhir, kerana perlu mencari pembolehubah bebas x 1 ,…, x 5 . Kami memilih, sebagai contoh, pekali 1 dengan pembolehubah x 3 dalam baris ketiga jadual 1.3 (elemen pemboleh ditunjukkan dalam huruf tebal). Apabila beralih ke jadual 1.4, pembolehubah x 3 daripada baris pengepala atas ditukar dengan pemalar 0 lajur pengepala kiri (baris ketiga). Pada masa yang sama, pembolehubah x 3 dinyatakan dalam sebutan pembolehubah yang tinggal.

tali x 3 (Jadual 1.4) boleh, setelah diingati, dikecualikan daripada Jadual 1.4. Jadual 1.4 juga tidak termasuk lajur ketiga dengan sifar dalam baris pengepala atas. Intinya ialah tanpa mengira pekali lajur ini b i 3 semua sebutan yang sepadan dengannya bagi setiap persamaan 0 b i 3 sistem akan sama dengan sifar. Oleh itu, pekali ini tidak boleh dikira. Menghapuskan satu pembolehubah x 3 dan mengingati salah satu persamaan, kita tiba di sistem yang sepadan dengan Jadual 1.4 (dengan garis yang dicoret x 3). Memilih dalam jadual 1.4 sebagai elemen penyelesaian b 14 = -5, pergi ke jadual 1.5. Dalam jadual 1.5, kami mengingati baris pertama dan mengecualikannya daripada jadual bersama-sama dengan lajur keempat (dengan sifar di bahagian atas).

Jadual 1.5 Jadual 1.6

daripada meja terakhir 1.7 kita dapati: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Menggantikan pembolehubah yang telah ditemui secara berurutan ke dalam baris yang dihafal, kita dapati pembolehubah yang tinggal:

Oleh itu, sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. pembolehubah x 5 , anda boleh menetapkan nilai sewenang-wenangnya. Pembolehubah ini bertindak sebagai parameter x 5 = t. Kami membuktikan keserasian sistem dan mendapatinya keputusan bersama:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Memberi parameter t pelbagai maksud, kita mendapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga kepada sistem asal. Jadi, sebagai contoh, penyelesaian sistem ialah set pembolehubah berikut (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Pada bahagian pertama, kami melihat beberapa bahan teori, kaedah penggantian, dan kaedah penambahan sebutan demi sebutan bagi persamaan sistem. Kepada semua orang yang datang ke tapak melalui halaman ini, saya mengesyorkan anda membaca bahagian pertama. Mungkin sesetengah pelawat akan mendapati bahan itu terlalu mudah, tetapi semasa menyelesaikan sistem persamaan linear, saya membuat satu siri yang sangat Nota PENTING dan kesimpulan mengenai keputusan tersebut masalah matematik secara amnya.

Dan sekarang kita akan menganalisis peraturan Cramer, serta penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang (kaedah matriks). Semua bahan dibentangkan secara ringkas, terperinci dan jelas, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem menggunakan kaedah di atas.

Kami mula-mula mempertimbangkan peraturan Cramer secara terperinci untuk sistem dua persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? - Lagipun sistem yang paling mudah boleh diselesaikan dengan kaedah sekolah, dengan penambahan istilah!

Hakikatnya ialah walaupun kadang-kadang, tetapi terdapat tugas sedemikian - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui menggunakan formula Cramer. Kedua, contoh yang lebih mudah akan membantu anda memahami cara menggunakan peraturan Cramer kepada lebih banyak lagi kes susah– sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Di samping itu, terdapat sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah, yang dinasihatkan untuk diselesaikan dengan tepat mengikut peraturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kita mengira penentu , ia dipanggil penentu utama sistem.

Kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca, kita mesti mengira dua lagi penentu:
dan

Dalam amalan, penentu di atas juga boleh ditandakan huruf latin.

Punca-punca persamaan ditemui dengan rumus:
,

Contoh 7

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Penyelesaian: Kami melihat bahawa pekali persamaan agak besar, di sebelah kanan terdapat perpuluhan dengan koma. Koma adalah tetamu yang agak jarang masuk tugas amali dalam matematik, saya mengambil sistem ini daripada masalah ekonometrik.

Bagaimana untuk menyelesaikan sistem sedemikian? Anda boleh cuba untuk menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain, tetapi dalam kes ini anda pasti akan mendapat pecahan mewah yang dahsyat, yang sangat menyusahkan untuk digunakan, dan reka bentuk penyelesaian akan kelihatan sangat mengerikan. Anda boleh mendarab persamaan kedua dengan 6 dan menolak sebutan dengan sebutan, tetapi pecahan yang sama akan muncul di sini.

Apa nak buat? Dalam kes sedemikian, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

;

Jawab: ,

Kedua-dua akar mempunyai ekor yang tidak terhingga dan didapati kira-kira, yang agak boleh diterima (dan juga biasa) untuk masalah ekonometrik.

Komen tidak diperlukan di sini, kerana tugas itu diselesaikan mengikut formula siap sedia, bagaimanapun, terdapat satu kaveat. Apabila digunakan kaedah ini, wajib Serpihan tugasan ialah serpihan berikut: "jadi sistem mempunyai penyelesaian yang unik". Jika tidak, penyemak boleh menghukum anda kerana tidak menghormati teorem Cramer.

Ia tidak akan berlebihan untuk menyemak, yang mudah dilakukan pada kalkulator: kami menggantikan nilai anggaran di sebelah kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan ralat kecil, nombor yang berada di sebelah kanan harus diperolehi.

Contoh 8

Nyatakan jawapan anda secara biasa pecahan tak wajar. Buat semakan.

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas(contoh penamat dan jawab pada akhir pelajaran).

Kami beralih kepada pertimbangan peraturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

Kami mencari penentu utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian). Dalam kes ini, peraturan Cramer tidak akan membantu, anda perlu menggunakan kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca, kita mesti mengira tiga lagi penentu:
, ,

Dan akhirnya, jawapannya dikira oleh formula:

Seperti yang anda lihat, kes "tiga dengan tiga" pada asasnya tidak berbeza daripada kes "dua dua", lajur istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang lajur penentu utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Penyelesaian: Mari kita selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

, jadi sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Jawab: .

Sebenarnya, tiada apa yang istimewa untuk diulas di sini lagi, memandangkan keputusan dibuat mengikut formula sedia. Tetapi terdapat beberapa nota.

Ia berlaku bahawa sebagai hasil pengiraan, pecahan tidak dapat dikurangkan "buruk" diperoleh, sebagai contoh: .
Saya mengesyorkan algoritma "rawatan" berikut. Jika tiada komputer di tangan, kami melakukan ini:

1) Mungkin terdapat kesilapan dalam pengiraan. Sebaik sahaja anda menghadapi pukulan "buruk", anda mesti segera menyemak sama ada adakah keadaan itu ditulis semula dengan betul. Jika keadaan itu ditulis semula tanpa ralat, maka anda perlu mengira semula penentu menggunakan pengembangan dalam baris lain (lajur).

2) Sekiranya tiada ralat ditemui akibat semakan, kemungkinan besar kesilapan menaip telah dibuat dalam keadaan tugasan. Dalam kes ini, dengan tenang dan BERHATI-HATI selesaikan tugas hingga akhir, dan kemudian pastikan untuk menyemak dan lukiskannya pada salinan bersih selepas keputusan itu. Sudah tentu, menyemak jawapan pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi ia akan menjadi hujah yang melucutkan senjata untuk guru, yang, baik, sangat suka meletakkan tolak untuk apa-apa perkara buruk seperti. Cara menangani pecahan diperincikan dalam jawapan untuk Contoh 8.

Jika anda mempunyai komputer di tangan, kemudian gunakan program automatik untuk menyemaknya, yang boleh dimuat turun secara percuma pada awal pelajaran. Ngomong-ngomong, adalah paling berfaedah untuk menggunakan program dengan segera (walaupun sebelum memulakan penyelesaian), anda akan segera melihat langkah perantaraan di mana anda membuat kesilapan! Kalkulator yang sama mengira penyelesaian sistem secara automatik kaedah matriks.

Teguran kedua. Dari semasa ke semasa terdapat sistem dalam persamaan yang mana beberapa pembolehubah hilang, contohnya:

Di sini dalam persamaan pertama tidak ada pembolehubah, dalam kedua tidak ada pembolehubah. Dalam kes sedemikian, adalah sangat penting untuk menulis penentu utama dengan betul dan TELITI:
– sifar diletakkan di tempat pembolehubah yang hilang.
Dengan cara ini, adalah rasional untuk membuka penentu dengan sifar dalam baris (lajur) di mana sifar terletak, kerana pengiraan yang ketara adalah lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian kendiri (sampel penamat dan jawapan pada akhir pelajaran).

Untuk kes sistem 4 persamaan dengan 4 tidak diketahui, formula Cramer ditulis mengikut prinsip yang serupa. Anda boleh melihat contoh langsung dalam pelajaran Sifat Penentu. Mengurangkan susunan penentu - lima penentu tertib ke-4 agak boleh diselesaikan. Walaupun tugas itu sudah sangat mengingatkan kasut profesor di dada pelajar bertuah.

Penyelesaian sistem menggunakan matriks songsang

Kaedah matriks songsang pada asasnya kes istimewa persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 pelajaran yang ditentukan).

Untuk mengkaji bahagian ini, anda perlu dapat mengembangkan penentu, mencari matriks songsang dan melakukan pendaraban matriks. Pautan yang berkaitan akan diberikan semasa penjelasan berlangsung.

Contoh 11

Selesaikan sistem dengan kaedah matriks

Penyelesaian: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks:
, di mana

Sila lihat sistem persamaan dan matriks. Dengan prinsip apa kita menulis unsur ke dalam matriks, saya rasa semua orang faham. Satu-satunya ulasan: jika beberapa pembolehubah hilang dalam persamaan, maka sifar perlu diletakkan di tempat yang sepadan dalam matriks.

Kami mencari matriks songsang dengan formula:
, di manakah matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan.

Pertama, mari kita berurusan dengan penentu:

Di sini penentu dikembangkan oleh baris pertama.

Perhatian! Jika , maka matriks songsang tidak wujud, dan adalah mustahil untuk menyelesaikan sistem dengan kaedah matriks. Dalam kes ini, sistem diselesaikan dengan penghapusan yang tidak diketahui (kaedah Gauss).

Sekarang anda perlu mengira 9 kanak-kanak dan menulisnya ke dalam matriks kanak-kanak di bawah umur

Rujukan: Adalah berguna untuk mengetahui maksud subskrip berganda dalam algebra linear. Digit pertama ialah nombor baris di mana unsur itu terletak. Digit kedua ialah nombor lajur di mana unsur itu terletak:

Iaitu, subskrip berganda menunjukkan bahawa elemen berada dalam baris pertama, lajur ketiga, manakala, sebagai contoh, elemen berada dalam baris ke-3, lajur ke-2.

Pertimbangkan sistem 3 persamaan dengan tiga tidak diketahui

Menggunakan penentu tertib ketiga, penyelesaian sistem sedemikian boleh ditulis dalam bentuk yang sama seperti untuk sistem dua persamaan, i.e.

(2.4)

jika 0. Di sini

Ia adalah Peraturan Cramer menyelesaikan sistem tiga persamaan linear dalam tiga tidak diketahui.

Contoh 2.3. Selesaikan sistem persamaan linear menggunakan peraturan Cramer:

Penyelesaian . Mencari penentu matriks utama sistem

Oleh kerana 0, maka untuk mencari penyelesaian kepada sistem, anda boleh menggunakan peraturan Cramer, tetapi mula-mula mengira tiga lagi penentu:

Peperiksaan:

Oleh itu, penyelesaiannya didapati dengan betul. 

Peraturan Cramer diperolehi untuk sistem linear Urutan ke-2 dan ke-3, mencadangkan bahawa peraturan yang sama boleh dirumuskan untuk sistem linear bagi sebarang susunan. Benar-benar berlaku

Teorem Cramer. Sistem kuadratik persamaan linear dengan penentu bukan sifar bagi matriks utama sistem (0) mempunyai satu dan hanya satu penyelesaian, dan penyelesaian ini dikira oleh formula

(2.5)

di mana  – penentu matriks utama,  i – penentu matriks, berasal daripada utama, penggantianilajur ke lajur ahli percuma.

Ambil perhatian bahawa jika =0, maka peraturan Cramer tidak terpakai. Ini bermakna sistem sama ada tidak mempunyai penyelesaian sama sekali, atau mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga.

Setelah merumuskan teorem Cramer, persoalan semula jadi timbul untuk mengira penentu peringkat tinggi.

2.4. penentu urutan ke-n

Tambahan bawah umur M ij unsur a ij dipanggil penentu yang diperoleh daripada yang diberikan dengan memadam i-baris ke- dan j-lajur ke. Penambahan algebra A ij unsur a ij dipanggil minor unsur ini, diambil dengan tanda (–1) i + j, iaitu A ij = (–1) i + j M ij .

Sebagai contoh, mari kita cari minor dan pelengkap algebra bagi unsur a 23 dan a 31 penentu

Kita mendapatkan



Dengan menggunakan konsep pelengkap algebra, kita boleh merumus teorem pengembangan penentun-urutan ke-mengikut baris atau lajur.

Teorem 2.1. Penentu matriksAadalah sama dengan jumlah hasil darab semua elemen bagi beberapa baris (atau lajur) dan pelengkap algebranya:

(2.6)

Teorem ini mendasari salah satu kaedah utama untuk mengira penentu, yang dipanggil. kaedah pengurangan pesanan. Akibat pengembangan penentu n tertib ke dalam mana-mana baris atau lajur, kita mendapat n penentu ( n–1)-perintah ke-. Untuk mempunyai lebih sedikit penentu sedemikian, adalah dinasihatkan untuk memilih baris atau lajur yang mempunyai paling banyak sifar. Dalam amalan, formula pengembangan untuk penentu biasanya ditulis sebagai:

mereka. penambahan algebra ditulis secara eksplisit dari segi minor.

Contoh 2.4. Kira penentu dengan terlebih dahulu mengembangkannya dalam mana-mana baris atau lajur. Biasanya dalam kes sedemikian, pilih lajur atau baris yang mempunyai paling banyak sifar. Baris atau lajur yang dipilih akan ditandakan dengan anak panah.



2.5. Sifat asas penentu

Mengembangkan penentu dalam mana-mana baris atau lajur, kita mendapat n penentu ( n–1)-perintah ke-. Kemudian setiap penentu ini ( n–1)-tertib ke- juga boleh diuraikan kepada jumlah penentu ( n-perintah ke-2. Meneruskan proses ini, seseorang boleh mencapai penentu urutan pertama, i.e. kepada unsur-unsur matriks yang penentunya sedang dikira. Jadi, untuk mengira penentu tertib ke-2, anda perlu mengira jumlah dua sebutan, untuk penentu tertib ke-3 - jumlah 6 sebutan, untuk penentu tertib ke-4 - 24 sebutan. Bilangan istilah akan meningkat secara mendadak apabila susunan penentu bertambah. Ini bermakna pengiraan penentu pesanan yang sangat tinggi menjadi tugas yang agak sukar, di luar kuasa komputer sekalipun. Walau bagaimanapun, penentu boleh dikira dengan cara lain, menggunakan sifat penentu.

Harta 1 . Penentu tidak akan berubah jika baris dan lajur ditukar di dalamnya, i.e. apabila memindahkan matriks:

.

Sifat ini menunjukkan kesamaan baris dan lajur penentu. Dalam erti kata lain, sebarang pernyataan tentang lajur penentu adalah benar untuk barisnya, dan sebaliknya.

Harta 2 . Tanda penentu bertukar apabila dua baris (lajur) ditukar.

Akibat . Jika penentu mempunyai dua baris (lajur) yang sama, maka ia sama dengan sifar.

Hartanah 3 . Faktor sepunya semua elemen dalam mana-mana baris (lajur) boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.

Sebagai contoh,

Akibat . Jika semua elemen beberapa baris (lajur) penentu adalah sama dengan sifar, maka penentu itu sendiri adalah sama dengan sifar.

Harta benda 4 . Penentu tidak akan berubah jika unsur-unsur satu baris (lajur) ditambah kepada unsur-unsur baris lain (lajur) didarab dengan beberapa nombor.

Sebagai contoh,

Harta 5 . Penentu hasil darab matriks adalah sama dengan hasil darab penentu matriks: