Bagaimana untuk menyelesaikan ijazah dengan eksponen sebenar. Ijazah dengan eksponen rasional dan nyata

Kuasa dengan eksponen rasional

Set nombor rasional termasuk nombor bulat dan pecahan.

Definisi 1

Kuasa nombor $a$ dengan eksponen integer $n$ ialah hasil darab nombor $a$ dengan sendirinya $n$ kali, dan: $a^n=a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a$, untuk $n>0$; $a^n=\frac(1)(a \cdot a \cdot a \cdot \ldots \cdot a)$, untuk $n

Definisi 2

Kuasa nombor $a$ dengan eksponen dalam bentuk pecahan $\frac(m)(n)$ dipanggil punca $n$th $a$ hingga darjah $m$: $a^\frac(m)(n)=\sqrt[n](a^m)$, dengan $a>0$, $ n$ ialah nombor asli, $m$ ialah integer.

Definisi 3

Kuasa sifar dengan eksponen sebagai pecahan $\frac(m)(n)$ ditakrifkan seperti berikut: $0^\frac(m)(n)=\sqrt[n](0^m)=0$, dengan $m$ ialah integer, $m>0$, $n$ ialah semula jadi nombor.

Terdapat satu lagi pendekatan untuk menentukan kuasa nombor dengan eksponen pecahan, yang menunjukkan kemungkinan wujudnya kuasa nombor negatif atau eksponen pecahan negatif.

Sebagai contoh, ungkapan $\sqrt((-3)^6)$, $\sqrt((-3)^3)$ atau $\sqrt((-7)^(-10))$ masuk akal, jadi dan ungkapan $(-3)^\frac(6)(7)$, $(-3)^\frac(3)(7)$ dan $(-7)^\frac(-10)(6) $ sepatutnya masuk akal, manakala, mengikut definisi, kuasa dengan eksponen dalam bentuk pecahan dengan asas negatif tidak wujud.

Mari kita berikan definisi lain:

Kuasa nombor $a$ dengan eksponen pecahan $\frac(m)(n)$ dipanggil $\sqrt[n](a^m)$ dalam kes berikut:

Untuk sebarang nombor nyata $a$, integer $m>0$ dan nombor asli ganjil $n$.

Contohnya, $13.4^\frac(7)(3)=\sqrt(13.4^7)$, $(-11)^\frac(8)(5)=\sqrt((-11)^8 )$.

Untuk sebarang nombor nyata bukan sifar $a$, integer negatif $m$ dan $n$ ganjil.

Contohnya, $13.4^\frac(-7)(3)=\sqrt(13.4^(-7))$, $(-11)^\frac(-8)(5)=\sqrt(( -11) ^(-8))$.

Untuk sebarang nombor bukan negatif $a$, integer positif $m$ dan genap $n$.

Contohnya, $13.4^\frac(7)(4)=\sqrt(13.4^7)$, $11^\frac(3)(16)=\sqrt(11^3)$.

Untuk sebarang $a$ positif, integer negatif $m$ dan juga $n$.

Contohnya, $13.4^\frac(-7)(4)=\sqrt(13.4^(-7))$, $11^\frac(-3)(8)=\sqrt(11^(-3 ))$ .

Di bawah keadaan lain, adalah mustahil untuk menentukan tahap dengan penunjuk pecahan.

Contohnya, $(-13.4)^\frac(10)(3)=\sqrt((-13.4)^(10))$, $(-11)^\frac(5)(4)= \sqrt( (-11)^5)$.

Di samping itu, apabila menggunakan takrifan ini, adalah penting bahawa eksponen pecahan $\frac(m)(n)$ ialah pecahan tidak boleh dikurangkan.

Kesungguhan kenyataan ini ialah kuasa nombor negatif dengan eksponen boleh dikurangkan pecahan, sebagai contoh, $\frac(10)(14)$ akan menjadi nombor positif dan kuasa nombor yang sama dengan eksponen yang telah dikurangkan. $\frac(5)(7)$ akan menjadi nombor negatif.

Contohnya, $(-1)^\frac(10)(14)=\sqrt((-1)^(10))=\sqrt(1^(10))=1$, dan $(-1) ^ \frac(5)(7)=\sqrt((-1)^5)=-1$.

Oleh itu, apabila mengurangkan pecahan $\frac(10)(14)=\frac(5)(7)$, kesamaan $(-1)^\frac(10)(14)=(-1)^\ frac (5)(7)$.

Nota 1

Perlu diingatkan bahawa takrifan pertama yang lebih mudah dan mudah bagi darjah dengan eksponen dalam bentuk pecahan sering digunakan.

Jika eksponen pecahan ditulis sebagai pecahan bercampur atau perpuluhan, adalah perlu untuk menukarkan eksponen kepada bentuk pecahan biasa.

Contohnya, $(2 \frac(3)(7))^(1 \frac(2)(7))=(2 \frac(3)(7))^\frac(9)(7)=\ sqrt ((2 \frac(3)(7))^9)$, $7^(3,6)=7^\frac(36)(10)=\sqrt(7^(36))$.

Ijazah dengan eksponen yang tidak rasional dan nyata

KEPADA sah nombor termasuk nombor rasional dan tidak rasional.

Marilah kita menganalisis konsep ijazah dengan eksponen yang tidak rasional, kerana ijazah dengan eksponen rasional yang kami pertimbangkan.

Pertimbangkan urutan penghampiran kepada nombor $\alpha$, yang merupakan nombor rasional. Itu. kita mempunyai jujukan nombor rasional $\alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, $\ldots$, yang mentakrifkan nombor $\alpha$ dengan sebarang tahap ketepatan. Jika kita mengira kuasa dengan eksponen ini $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots$, maka ternyata nombor ini adalah anggaran kepada beberapa nombor $ b$.

Definisi 4

Nombor darjah $a>0$ dengan eksponen tidak rasional $\alpha$ ialah ungkapan $a^\alpha$ yang mempunyai nilai yang sama dengan had jujukan $a^(\alpha_1)$, $a^(\alpha_2)$, $a^(\alpha_3)$, $\ldots $, dengan $ \alpha_1$, $\alpha_2$, $\alpha_3$, … ialah anggaran perpuluhan berturut-turut bagi nombor tak rasional $\alpha$.

Dalam artikel ini kita akan mengetahui apa itu kuasa suatu nombor. Di sini kami akan memberikan takrifan kuasa nombor, sementara kami akan mempertimbangkan secara terperinci semua eksponen yang mungkin, bermula dengan eksponen semula jadi dan berakhir dengan eksponen yang tidak rasional. Dalam bahan tersebut anda akan dapati banyak contoh darjah, meliputi semua kehalusan yang timbul.

Navigasi halaman.

Kuasa dengan eksponen asli, kuasa dua nombor, kubus nombor

Mari mulakan dengan . Memandang ke hadapan, katakan takrif kuasa nombor a dengan eksponen asli n diberikan untuk a, yang akan kita panggil asas ijazah, dan n, yang akan kita panggil eksponen. Kami juga ambil perhatian bahawa ijazah dengan eksponen semula jadi ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami bahan di bawah anda perlu mempunyai pemahaman tentang mendarab nombor.

Definisi.

Kuasa nombor dengan eksponen asli n ialah ungkapan bentuk a n, yang nilainya sama dengan hasil darab n faktor, setiap satunya adalah sama dengan a, iaitu, .
Khususnya, kuasa nombor a dengan eksponen 1 ialah nombor a itu sendiri, iaitu, a 1 =a.

Perlu disebut dengan segera tentang peraturan untuk membaca ijazah. Cara universal untuk membaca tatatanda a n ialah: “a kepada kuasa n”. Dalam sesetengah kes, pilihan berikut juga boleh diterima: "a kepada kuasa ke-n" dan "kekuasaan ke-n". Sebagai contoh, mari kita ambil kuasa 8 12, ini ialah "lapan kepada kuasa dua belas", atau "lapan kepada kuasa kedua belas", atau "kuasa kedua belas daripada lapan".

Kuasa kedua nombor, serta kuasa ketiga nombor, mempunyai nama mereka sendiri. Kuasa kedua nombor dipanggil kuasa dua nombor itu, sebagai contoh, 7 2 dibaca sebagai "tujuh kuasa dua" atau "kuasa dua bagi nombor tujuh." Kuasa ketiga nombor dipanggil nombor kubus, sebagai contoh, 5 3 boleh dibaca sebagai "lima kubus" atau anda boleh menyebut "kubus nombor 5".

Sudah tiba masanya untuk membawa contoh darjah dengan eksponen semula jadi. Mari kita mulakan dengan darjah 5 7, di sini 5 ialah asas darjah, dan 7 ialah eksponen. Mari kita berikan satu lagi contoh: 4.32 ialah asas, dan nombor asli 9 ialah eksponen (4.32) 9 .

Sila ambil perhatian bahawa dalam contoh terakhir, asas kuasa 4.32 ditulis dalam kurungan: untuk mengelakkan percanggahan, kami akan meletakkan dalam kurungan semua asas kuasa yang berbeza daripada nombor asli. Sebagai contoh, kami memberikan darjah berikut dengan eksponen semula jadi , asasnya bukan nombor asli, jadi ia ditulis dalam kurungan. Nah, untuk kejelasan sepenuhnya, pada ketika ini kami akan menunjukkan perbezaan yang terkandung dalam rekod bentuk (−2) 3 dan −2 3. Ungkapan (−2) 3 ialah kuasa −2 dengan eksponen semula jadi 3, dan ungkapan −2 3 (ia boleh ditulis sebagai −(2 3) ) sepadan dengan nombor, nilai kuasa 2 3 .

Perhatikan bahawa terdapat tatatanda bagi kuasa nombor a dengan eksponen n bentuk a^n. Selain itu, jika n ialah nombor asli berbilang nilai, maka eksponen diambil dalam kurungan. Sebagai contoh, 4^9 ialah tatatanda lain untuk kuasa 4 9 . Dan berikut ialah beberapa lagi contoh penulisan darjah menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Dalam perkara berikut, kami akan menggunakan tatatanda darjah bentuk a n .

Salah satu masalah songsang untuk menaikkan kepada kuasa dengan eksponen semula jadi ialah masalah mencari asas kuasa daripada nilai kuasa yang diketahui dan eksponen yang diketahui. Tugasan ini membawa kepada .

Adalah diketahui bahawa set nombor rasional terdiri daripada integer dan pecahan, dan setiap pecahan boleh diwakili sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mentakrifkan darjah dengan eksponen integer dalam perenggan sebelumnya, oleh itu, untuk melengkapkan definisi darjah dengan eksponen rasional, kami perlu memberi makna kepada kuasa nombor a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m ialah integer dan n ialah nombor asli. Jom buat ini.

Mari kita pertimbangkan ijazah dengan eksponen pecahan bentuk . Untuk harta kuasa kepada kuasa kekal sah, kesaksamaan mesti dipegang . Jika kita mengambil kira kesamaan yang terhasil dan bagaimana kita menentukan , maka adalah logik untuk menerimanya, dengan syarat diberikan m, n dan a, ungkapan itu masuk akal.

Adalah mudah untuk menyemak bahawa semua sifat ijazah dengan eksponen integer adalah sah (ini dilakukan dalam sifat bahagian ijazah dengan eksponen rasional).

Alasan di atas membolehkan kita membuat perkara berikut kesimpulan: jika diberi m, n dan a ungkapan itu masuk akal, maka kuasa a dengan eksponen pecahan m/n dipanggil punca ke-n a kepada kuasa m.

Pernyataan ini membawa kita hampir kepada definisi ijazah dengan eksponen pecahan. Apa yang tinggal adalah untuk menerangkan apa yang m, n dan a ungkapan itu masuk akal. Bergantung pada sekatan yang diletakkan pada m, n dan a, terdapat dua pendekatan utama.

Cara paling mudah ialah mengenakan kekangan pada a dengan mengambil a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (kerana untuk m≤0 darjah 0 m tidak ditakrifkan). Kemudian kita mendapat takrif berikut bagi ijazah dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Kuasa nombor positif a dengan eksponen pecahan m/n, di mana m ialah integer dan n ialah nombor asli, dipanggil punca ke-n bagi nombor a kepada kuasa m, iaitu,.

Kuasa pecahan sifar juga ditentukan dengan satu-satunya kaveat bahawa penunjuk mesti positif.

Definisi.

Kuasa sifar dengan eksponen positif pecahan m/n, dengan m ialah integer positif dan n ialah nombor asli, ditakrifkan sebagai .
Apabila darjah tidak ditentukan, iaitu darjah nombor sifar dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu diingat bahawa dengan takrifan darjah dengan eksponen pecahan ini, terdapat satu kaveat: untuk sesetengah a negatif dan beberapa m dan n, ungkapan itu masuk akal, dan kami membuang kes ini dengan memperkenalkan keadaan a≥0. Sebagai contoh, entri itu masuk akal atau , dan takrifan yang diberikan di atas memaksa kita untuk mengatakan bahawa kuasa dengan eksponen pecahan bentuk tidak masuk akal, kerana asasnya tidak boleh negatif.

Satu lagi pendekatan untuk menentukan darjah dengan eksponen pecahan m/n ialah mempertimbangkan secara berasingan eksponen genap dan ganjil punca. Pendekatan ini memerlukan syarat tambahan: kuasa nombor a, eksponennya ialah , dianggap sebagai kuasa nombor a, eksponennya ialah pecahan tak dapat dikurangkan yang sepadan (kami akan menerangkan kepentingan keadaan ini di bawah ). Iaitu, jika m/n ialah pecahan tidak boleh dikurangkan, maka bagi sebarang nombor asli k darjah digantikan dengan .

Untuk n genap dan m positif, ungkapan itu masuk akal untuk mana-mana bukan negatif a (akar genap bagi nombor negatif tidak masuk akal untuk m negatif, nombor a mesti masih berbeza daripada sifar (jika tidak akan ada pembahagian). dengan sifar). Dan bagi n ganjil dan m positif, nombor a boleh menjadi sebarang (akar darjah ganjil ditakrifkan untuk sebarang nombor nyata), dan untuk m negatif, nombor a mestilah bukan sifar (supaya tiada pembahagian dengan sifar).

Alasan di atas membawa kita kepada takrifan ijazah dengan eksponen pecahan ini.

Definisi.

Biarkan m/n ialah pecahan tak boleh dikurangkan, m integer, dan n nombor asli. Bagi mana-mana pecahan boleh dikurangkan, darjah digantikan dengan . Kuasa nombor dengan eksponen pecahan tidak boleh dikurangkan m/n adalah untuk



Mari kita terangkan mengapa ijazah dengan eksponen pecahan boleh dikurangkan mula-mula digantikan dengan darjah dengan eksponen tidak boleh dikurangkan. Jika kita hanya mentakrifkan darjah sebagai , dan tidak membuat tempahan tentang ketidakterurangan pecahan m/n, maka kita akan berhadapan dengan situasi yang serupa dengan yang berikut: kerana 6/10 = 3/5, maka kesamaan mesti dipegang , Tetapi , A .

Topik pelajaran: Ijazah dengan eksponen sebenar.

Tugasan:

• Pendidikan:
  • generalisasi konsep ijazah;
  • mengamalkan keupayaan untuk mencari nilai ijazah dengan eksponen sebenar;
  • menyatukan keupayaan untuk menggunakan sifat darjah apabila memudahkan ungkapan;
  • membangunkan kemahiran menggunakan sifat darjah dalam pengiraan.
• Perkembangan:
  • perkembangan intelek, emosi, peribadi pelajar;
  • membangunkan keupayaan untuk membuat generalisasi, sistematik berdasarkan perbandingan, dan membuat kesimpulan;
  • mempergiatkan aktiviti bebas;
  • mengembangkan minat kognitif.
• Pendidikan:
  • memupuk budaya komunikatif dan maklumat pelajar;
  • Pendidikan estetik dijalankan melalui pembentukan kebolehan merangka tugasan secara rasional dan tepat di papan tulis dan dalam buku nota.

Pelajar harus tahu: definisi dan sifat ijazah dengan eksponen sebenar.

Pelajar seharusnya dapat:

• tentukan sama ada ungkapan dengan ijazah masuk akal;
• gunakan sifat darjah dalam pengiraan dan penyederhanaan ungkapan;
• menyelesaikan contoh yang mengandungi darjah;
• membandingkan, mencari persamaan dan perbezaan.

Format pelajaran: seminar - bengkel, dengan elemen penyelidikan. Sokongan komputer.

Bentuk organisasi latihan: individu, kumpulan.

Jenis pelajaran: pelajaran penyelidikan dan kerja amali.

KEMAJUAN PELAJARAN

Detik organisasi

“Pada suatu hari raja memutuskan untuk memilih pembantu pertama daripada kalangan pembesarnya. Dia membawa semua orang ke istana yang besar. "Sesiapa yang membukanya dahulu akan menjadi pembantu pertama." Tiada sesiapa pun menyentuh kunci itu. Hanya seorang wazir yang datang dan menolak kunci, yang terbuka. Ia tidak dikunci.
Kemudian raja berkata: "Kamu akan menerima kedudukan ini kerana kamu tidak hanya bergantung pada apa yang kamu lihat dan dengar, tetapi bergantung pada kekuatanmu sendiri dan tidak takut untuk mencuba."
Dan hari ini kita akan cuba dan cuba untuk membuat keputusan yang betul.

1. Apakah konsep matematik yang dikaitkan dengan perkataan:

Pangkalan
Penunjuk (Ijazah)
Apakah perkataan yang boleh digunakan untuk menggabungkan perkataan:
Nombor rasional
Integer
Nombor asli
Nombor tak rasional (nombor sebenar)
Merumus tajuk pelajaran. (Ijazah dengan eksponen sebenar)

2. Apakah matlamat strategik kita? (GUNAKAN)
yang mana matlamat pelajaran kita?
– Mengitlak konsep ijazah.

Tugasan:

– ulang sifat darjah
– pertimbangkan penggunaan sifat darjah dalam pengiraan dan penyederhanaan ungkapan
– pembangunan kemahiran pengkomputeran.

3. Jadi, a p, dengan p ialah nombor nyata.
Berikan contoh (pilih daripada ungkapan 5 –2, 43, ) darjah

– dengan penunjuk semula jadi
– dengan penunjuk integer
– dengan penunjuk rasional
– dengan penunjuk yang tidak rasional

4. Pada nilai apa A ungkapan itu masuk akal

аn, di mana n (а – mana-mana)
аm, di mana m (а 0) Bagaimana untuk beralih dari ijazah dengan eksponen negatif kepada darjah dengan eksponen positif?
, di mana (a0)

5. Daripada ungkapan ini, pilih ungkapan yang tidak masuk akal:
(–3) 2 , , , 0 –3 , , (–3) –1 , .
6. Kira. Jawapan dalam setiap lajur mempunyai satu persamaan. Sila nyatakan jawapan tambahan (yang tidak mempunyai sifat ini)

2 = =
= 6 = (orang lain salah) = (tidak boleh menulis dec. yang lain)
= (pecahan) = =

7. Apakah operasi (operasi matematik) yang boleh dilakukan dengan darjah?

Padankan:

Seorang pelajar menulis formula (sifat) dalam bentuk umum.

8. Tambahkan darjah dari langkah 3 supaya sifat darjah boleh digunakan pada contoh yang terhasil.

(Seorang bekerja di papan, selebihnya dalam buku nota. Untuk menyemak, bertukar-tukar buku nota, dan seorang lagi melakukan tindakan di papan tulis)

9. Di papan tulis (pelajar bekerja):

Kira : =

Secara bebas (dengan menyemak pada helaian)

Jawapan yang manakah tidak boleh diperolehi dalam bahagian “B” Peperiksaan Negeri Bersepadu? Jika jawapannya ternyata , maka bagaimana untuk menulis jawapan sedemikian di bahagian "B"?

10. Penyelesaian tugas secara bebas (dengan menyemak di papan - beberapa orang)

Tugasan aneka pilihan

1
2	:
3	0,3
4

11. Tugasan jawapan ringkas (penyelesaian di papan tulis):

+ + (60)5 2 – 3–4 27 =

Lakukan sendiri dengan cek pada papan tersembunyi:

– – 322– 4 + (30)4 4 =

12 . Kurangkan pecahan (di papan tulis):

Pada masa ini, seorang membuat keputusan di papan secara bebas: = (semakan kelas)

13. Keputusan bebas (untuk pengesahan)

Pada tanda “3”: Ujian aneka pilihan:

1. Tentukan ungkapan yang sama dengan kuasa

1.

2.

3.

4.

2. Bentangkan produk sebagai kuasa: – Terima kasih atas pelajaran!

Untuk mana-mana sudut α sedemikian rupa sehingga α ≠ πk/2 (k tergolong dalam set Z), perkara berikut berlaku:

Untuk mana-mana sudut α persamaan adalah sah:

Untuk mana-mana sudut α sedemikian rupa sehingga α ≠ πk (k tergolong dalam set Z), perkara berikut berlaku:

Formula pengurangan

Jadual menyediakan formula pengurangan untuk fungsi trigonometri.

Fungsi (sudut dalam º)	90º - α	90º + α	180º - α	180º + α	270º - α	270º + α	360º - α	360º + α
dosa	cos α	cos α	sinα	-dosa α	-cos α	-cos α	-dosa α	sinα
cos	sinα	-dosa α	-cos α	-cos α	-dosa α	sinα	cos α	cos α
tg	ctg α	-ctg α	-tg α	tan α	ctg α	-ctg α	-tg α	tan α
ctg	tan α	-tg α	-ctg α	ctg α	tan α	-tg α	-ctg α	ctg α
Fungsi (sudut dalam rad.)	π/2 – α	π/2 + α	π – α	π + α	3π/2 – α	3π/2 + α	2π – α	2π + α

Pariti fungsi trigonometri.
Sudut φ dan -φ terbentuk apabila rasuk diputar dalam dua arah yang saling bertentangan (mengikut arah jam dan lawan jam). Oleh itu, bahagian hujung OA 1 dan OA 2 sudut ini adalah simetri tentang paksi absis. 1 , Koordinat vektor unit panjang OA 1 = ( X Oleh itu, bahagian hujung OA 1 dan OA 2 sudut ini adalah simetri tentang paksi absis. 2 , di 1) dan OA 2 = ( Oleh itu, bahagian hujung OA 1 dan OA 2 sudut ini adalah simetri tentang paksi absis. 2 = Oleh itu, bahagian hujung OA 1 dan OA 2 sudut ini adalah simetri tentang paksi absis. 1 di 2 = -Koordinat vektor unit panjang OA 1 = ( y 2) memenuhi hubungan berikut:
1 Oleh itu cos(-φ) = cosφ, sin (- φ) = -sin φ, Oleh itu,
sinus ialah fungsi ganjil dan kosinus ialah fungsi genap bagi suatu sudut. Seterusnya kita ada:

8)sebab tu tangen dan kotangen ialah fungsi ganjil bagi sudut.

§ Fungsi trigonometri songsang(simbol: arcsin)

§ kosinus arka(simbol: arccos)

§ arctangen(nama: arctg; dalam kesusasteraan asing arctan)

§ arccotangent(nama: arcctg; dalam kesusasteraan asing arccotan)

§ arcsecant(simbol: arcsec)

§ arccosecant(nama: arccosec; dalam kesusasteraan asing arccsc)

Nama fungsi trigonometri songsang dibentuk daripada nama fungsi trigonometri yang sepadan dengan menambah awalan "arka-" (dari Lat. arka- arka). Ini disebabkan oleh fakta bahawa secara geometri, nilai fungsi trigonometri songsang boleh dikaitkan dengan panjang lengkok bulatan unit (atau sudut yang menyamakan lengkok ini) sepadan dengan segmen tertentu. Kadangkala dalam kesusasteraan asing, tatatanda seperti sin −1 digunakan untuk arcsine, dsb.; ini dianggap tidak wajar, kerana mungkin terdapat kekeliruan dengan menaikkan fungsi kepada kuasa −1.

Sifat-sifat fungsi arcsin

(fungsinya ganjil). di .

di

di

Sifat fungsi arccos[

· (fungsi simetri berpusat berkenaan dengan titik) adalah acuh tak acuh.

·

·

·

Sifat fungsi arctg

·

· , untuk x > 0.

Sifat fungsi arcctg

· (graf fungsi adalah simetri berpusat berkenaan dengan titik

· untuk mana-mana

·

12) Kuasa nombor a > 0 dengan eksponen rasional ialah kuasa yang eksponennya boleh diwakili sebagai pecahan biasa x = m/n, di mana m ialah integer dan n ialah nombor asli, dan n > 1 ( x ialah eksponen).

Ijazah dengan eksponen sebenar

Biarkan nombor positif dan nombor nyata arbitrari diberikan. Nombor itu dipanggil kuasa, nombor adalah asas kuasa, dan nombor itu adalah eksponen.

Mengikut definisi mereka percaya:

Jika dan ialah nombor positif dan ialah sebarang nombor nyata, maka sifat berikut dipegang:

14)Logaritma nombor ke pangkalan(daripada bahasa Yunani λόγος - “perkataan”, “perkaitan” dan ἀριθμός - “nombor”) ditakrifkan sebagai penunjuk kuasa yang mana asas mesti dinaikkan untuk mendapatkan nombor. Jawatan: , dilafazkan: " logaritma asas".

Sifat logaritma:

1° ialah identiti logaritma asas.

Logaritma satu kepada sebarang asas positif selain daripada 1 ialah sifar. Ini mungkin kerana sebarang nombor nyata hanya boleh ditukar kepada 1 dengan menaikkannya kepada kuasa sifar.

4° ialah logaritma hasil darab.

Logaritma hasil darab adalah sama dengan jumlah logaritma faktor.

5° - logaritma hasil bagi.

Logaritma hasil bagi (pecahan) adalah sama dengan perbezaan antara logaritma faktor.

6° ialah logaritma darjah.

Logaritma kuasa adalah sama dengan hasil darab eksponen dan logaritma asasnya.

7°

8°

9° - peralihan kepada asas baru.

15) Nombor nyata - (nombor nyata), sebarang positif, nombor negatif atau sifar. Keputusan ukuran semua kuantiti fizik dinyatakan menggunakan nombor nyata. ;

16)Unit khayalan- biasanya nombor kompleks yang kuasa duanya sama dengan satu negatif. Walau bagaimanapun, pilihan lain juga mungkin: dalam pembinaan penggandaan mengikut Cayley-Dixon atau dalam rangka algebra menurut Clifford.

Nombor kompleks(nombor khayalan usang) - nombor dalam bentuk , di mana dan nombor nyata, - unit khayalan; iaitu . Set semua nombor kompleks biasanya dilambangkan daripada bahasa Latin. kompleks- berkait rapat.

Topik pelajaran: Ijazah dengan eksponen rasional dan sebenar.

Matlamat:

Pendidikan :

• generalisasi konsep ijazah;

  mengamalkan keupayaan untuk mencari nilai ijazah dengan eksponen sebenar;

  menyatukan keupayaan untuk menggunakan sifat darjah apabila memudahkan ungkapan;

  membangunkan kemahiran menggunakan sifat darjah dalam pengiraan.

Perkembangan :

• perkembangan intelek, emosi, peribadi pelajar;

  membangunkan keupayaan untuk membuat generalisasi, sistematik berdasarkan perbandingan, dan membuat kesimpulan;

  mempergiatkan aktiviti bebas;

  mengembangkan minat kognitif.

Pendidikan :

• memupuk budaya komunikatif dan maklumat pelajar;

  Pendidikan estetik dijalankan melalui pembentukan kebolehan merangka tugasan secara rasional dan tepat di papan tulis dan dalam buku nota.

Pelajar harus tahu: definisi dan sifat darjah dengan eksponen sebenar

Pelajar seharusnya dapat:

tentukan sama ada ungkapan dengan ijazah masuk akal;

gunakan sifat darjah dalam pengiraan dan penyederhanaan ungkapan;

menyelesaikan contoh yang mengandungi darjah;

membandingkan, mencari persamaan dan perbezaan.

Format pelajaran: seminar - bengkel, dengan elemen penyelidikan. Sokongan komputer.

Bentuk organisasi latihan: individu, kumpulan.

Teknologi pendidikan : pembelajaran berasaskan masalah, pembelajaran kolaboratif, pembelajaran berpusatkan pelajar, komunikatif.

Jenis pelajaran: pelajaran penyelidikan dan kerja amali.

Visual pelajaran dan edaran:

pembentangan

formula dan jadual (Lampiran 1.2)

tugasan untuk kerja bebas (Lampiran 3)

Rancangan Pengajaran

№

Peringkat pelajaran

Tujuan pentas

Masa, min.

Permulaan pelajaran

Melaporkan topik pelajaran, menetapkan matlamat pelajaran.

1-2 min

Kerja lisan

Ulang formula kuasa.

Sifat darjah.

4-5 min.

Penyelesaian hadapan

papan daripada buku teks No. 57 (1,3,5)

№58(1,3,5) dengan pematuhan terperinci kepada pelan penyelesaian.

Pembentukan kemahiran dan kebolehan

pelajar mengaplikasikan hartanah

darjah apabila mencari nilai ungkapan.

8-10 min.

Bekerja dalam kumpulan mikro.

Mengenal pasti jurang pengetahuan

pelajar, mewujudkan keadaan untuk

perkembangan individu murid

dalam kelas.

15-20 min.

Merumuskan kerja.

Jejaki kejayaan kerja

Pelajar, apabila menyelesaikan masalah secara bebas mengenai sesuatu topik, ketahui

sifat kesukaran, puncanya,

secara kolektif menunjukkan penyelesaian.

5-6 min.

Kerja rumah

Memperkenalkan pelajar dengan tugasan kerja rumah. Berikan penjelasan yang diperlukan.

1-2 min.

KEMAJUAN PELAJARAN

Detik organisasi

Hello kawan-kawan! Tulis tarikh dan topik pelajaran dalam buku nota anda.

Mereka mengatakan bahawa pencipta catur, sebagai ganjaran untuk ciptaannya, meminta Raja untuk beberapa nasi: pada petak pertama papan dia meminta untuk meletakkan satu butir, pada yang kedua - 2 kali lebih banyak, iaitu 2 butir, pada ketiga - 2 kali lebih banyak, iaitu 4 biji, dan lain-lain sehingga 64 sel.

Permintaannya kelihatan terlalu sederhana bagi rajah, tetapi tidak lama kemudian menjadi jelas bahawa ia adalah mustahil untuk dipenuhi. Bilangan bijirin yang perlu diberikan kepada pencipta catur sebagai ganjaran dinyatakan dengan jumlah

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

Jumlah ini sama dengan jumlah yang besar

18446744073709551615

Dan ia sangat besar sehingga jumlah bijirin ini boleh meliputi seluruh permukaan planet kita, termasuk lautan dunia, dengan lapisan 1 cm.

Kuasa digunakan semasa menulis nombor dan ungkapan, yang menjadikannya lebih padat dan mudah untuk melakukan tindakan.

Darjah sering digunakan untuk mengukur kuantiti fizikal, yang boleh menjadi "sangat besar" atau "sangat kecil."

Jisim Bumi 6000000000000000000000t ditulis sebagai hasil 6.10 21 T

Diameter molekul air 0.0000000003 m ditulis sebagai hasil darab

3.10 -10 m.

1. Apakah konsep matematik yang dikaitkan dengan perkataan:

Pangkalan
Penunjuk(Ijazah)

Apakah perkataan yang boleh digunakan untuk menggabungkan perkataan:
Nombor rasional
Integer
Nombor asli
Nombor tidak rasional(nombor sebenar)
Merumus tajuk pelajaran.(Ijazah dengan eksponen sebenar)

2. Jadi a x, Di manax ialah nombor nyata. Pilih daripada ungkapan

Dengan penunjuk semula jadi

Dengan penunjuk integer

Dengan eksponen yang rasional

Dengan penunjuk yang tidak rasional

3. Apakah matlamat kita?(GUNAKAN)
yang manamatlamat pelajaran kita ?
– Mengitlak konsep ijazah.

Tugasan:

– mengulangi sifat darjah
– pertimbangkan penggunaan sifat darjah dalam pengiraan dan penyederhanaan ungkapan
– pembangunan kemahiran pengkomputeran

4 . Kuasa dengan eksponen rasional

Pangkalan

ijazah

Ijazah dengan penunjukr, asas a (nN, mn

r= n

r= - n

r= 0

r= 0

r =0

a n= a. a. … . a

a -n=

a 0 =1

a n=a.a. ….a

a -n=

tidak wujud

tidak wujud

a 0 =1

a=0

0 n=0

tidak wujud

tidak wujud

tidak wujud

5 . Daripada ungkapan ini, pilih ungkapan yang tidak masuk akal:

6 . Definisi

Jika nomborr- semula jadi, kemudian a rada kerjarnombor, setiap satunya adalah sama dengan:

a r= a. a. … . a

Jika nomborr- pecahan dan positif, iaitu, di manamDann- semula jadi

nombor, kemudian

Jika penunjukradalah rasional dan negatif, kemudian ungkapana r

ditakrifkan sebagai timbal balik daripadaa - r

atau

Jika

7 . Contohnya

8 . Kuasa nombor positif mempunyai sifat asas berikut:

9 . Kira

10. Apakah operasi (operasi matematik) yang boleh dilakukan dengan darjah?

Padankan:

A) Apabila mendarab kuasa dengan asas yang sama

1) Asas didarab, tetapi penunjuk tetap sama

B) Apabila membahagikan kuasa dengan asas yang sama

2) Pangkalan dibahagikan, tetapi penunjuk tetap sama

B) Apabila menaikkan kuasa kepada kuasa

3) Asas tetap sama, tetapi penunjuk didarab

D) Apabila mendarab kuasa dengan eksponen yang sama

4) Asas tetap sama, tetapi penunjuk ditolak

D) Apabila membahagi darjah dengan eksponen yang sama

5) Asasnya tetap sama, tetapi penunjuk bertambah

11 . Dari buku teks (di papan hitam)

Untuk menyelesaikan dalam kelas:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . Berdasarkan bahan Peperiksaan Negeri Bersepadu

(kerja bebas) pada kepingan kertas

XIVabad.

Jawapan: Orezma. 13. Selain itu (secara individu) bagi mereka yang menyelesaikan tugasan dengan lebih cepat:

14. Kerja rumah

§ 5 (tahu definisi, formula)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

Pada akhir pelajaran:

"Matematik mesti diajar kemudian kerana ia mengatur minda"

– Demikian kata ahli matematik Rusia yang hebat Mikhail Lomonosov.

- Terima kasih untuk pelajaran!

Lampiran 1

1.Ijazah. Sifat asas

Penunjuk

a 1 =a

a n=a.a. ….a

a R n

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

Darjah dengan eksponen integer

a 0 =1,

di mana a

0 0 - tidak ditakrifkan.

Ijazah dengan rasional

Penunjuk

di manaa

m n

Darjah dengan eksponen tidak rasional

Jawapan: ==25.9...

1. a x. a y=a x+y

2.a x: a y==a x-y

3. .(a x) y=a x.y

4.(a.b) n=a n.b n

5. (=

6. (

Lampiran 2

2. Ijazah dengan eksponen rasional

Pangkalan

ijazah

Ijazah dengan penunjukr, asas a (nN, mn

r= n

r= - n

r= 0

r= 0

r =0

a n= a. a. … . a

a -n=

a 0 =1

a n=a.a. ….a

a -n=

tidak wujud

tidak wujud

a 0 =1

a=0

0 n=0

tidak wujud

tidak wujud

tidak wujud

Lampiran 3

3. Kerja bebas

Operasi ke atas kuasa pertama kali digunakan oleh seorang ahli matematik PerancisXIVabad.

Jelaskan nama saintis Perancis itu.