Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan menggunakan kaedah Cramer. Kaedah Cramer: Selesaikan Sistem Persamaan Algebra Linear (Slau)

2. Menyelesaikan sistem persamaan dengan kaedah matriks (menggunakan matriks songsang).
3. Kaedah Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan.

kaedah Cramer.

Kaedah Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem linear persamaan algebra (SLAU).

Formula pada contoh sistem dua persamaan dengan dua pembolehubah.
Diberi: Selesaikan sistem dengan kaedah Cramer

Berkenaan Pembolehubah X Dan di.
Penyelesaian:
Cari penentu bagi matriks, terdiri daripada pekali sistem Pengiraan penentu. :

Mari gunakan formula Cramer dan cari nilai pembolehubah:
Dan .
Contoh 1:
Selesaikan sistem persamaan:

berkenaan pembolehubah X Dan di.
Penyelesaian:


Mari gantikan lajur pertama dalam penentu ini dengan lajur pekali dari sebelah kanan sistem dan cari nilainya:

Mari kita lakukan tindakan yang sama, menggantikan lajur kedua dalam penentu pertama:

Berkenaan Formula Cramer dan cari nilai pembolehubah:
Dan .
Jawapan:
Ulasan: Kaedah ini boleh digunakan untuk menyelesaikan sistem dimensi yang lebih tinggi.

Ulasan: Jika ternyata , dan adalah mustahil untuk membahagikan dengan sifar, maka mereka mengatakan bahawa sistem itu tidak mempunyai penyelesaian yang unik. Dalam kes ini, sistem mempunyai sama ada banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tiada penyelesaian langsung.

Contoh 2(bilangan penyelesaian yang tidak terhingga):

Selesaikan sistem persamaan:

berkenaan pembolehubah X Dan di.
Penyelesaian:
Cari penentu bagi matriks, yang terdiri daripada pekali sistem:

Menyelesaikan sistem dengan kaedah penggantian.

Persamaan pertama sistem ialah kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah (kerana 4 sentiasa sama dengan 4). Jadi hanya tinggal satu persamaan. Ini adalah persamaan hubungan antara pembolehubah.
Kami mendapat bahawa penyelesaian sistem adalah sebarang pasangan nilai pembolehubah yang berkaitan dengan kesamaan.
Penyelesaian umum ditulis seperti ini:
Penyelesaian tertentu boleh ditentukan dengan memilih nilai arbitrari y dan mengira x daripada persamaan hubungan ini.

dan lain-lain.
Terdapat banyak penyelesaian sedemikian.
Jawapan: keputusan bersama
Penyelesaian Peribadi:

Contoh 3(tiada penyelesaian, sistem tidak konsisten):

Selesaikan sistem persamaan:

Penyelesaian:
Cari penentu bagi matriks, yang terdiri daripada pekali sistem:

Anda tidak boleh menggunakan formula Cramer. Mari kita selesaikan sistem ini dengan kaedah penggantian

Persamaan kedua sistem ialah kesamaan yang tidak sah untuk sebarang nilai pembolehubah (sudah tentu, kerana -15 tidak sama dengan 2). Jika salah satu persamaan sistem tidak benar untuk sebarang nilai pembolehubah, maka keseluruhan sistem tidak mempunyai penyelesaian.
Jawapan: tiada penyelesaian

Pada bahagian pertama, kami melihat beberapa bahan teori, kaedah penggantian, dan kaedah penambahan sebutan demi sebutan bagi persamaan sistem. Kepada semua orang yang datang ke tapak melalui halaman ini, saya mengesyorkan anda membaca bahagian pertama. Mungkin sesetengah pelawat akan mendapati bahan itu terlalu mudah, tetapi dalam proses menyelesaikan sistem persamaan linear saya buat banyak Nota PENTING dan kesimpulan mengenai keputusan tersebut masalah matematik secara amnya.

Dan sekarang kita akan menganalisis peraturan Cramer, serta penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang(kaedah matriks). Semua bahan dibentangkan secara ringkas, terperinci dan jelas, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem menggunakan kaedah di atas.

Kami mula-mula mempertimbangkan peraturan Cramer secara terperinci untuk sistem dua persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? - Lagipun sistem yang paling mudah boleh diselesaikan kaedah sekolah, penambahan sebutan demi sebutan!

Hakikatnya ialah walaupun kadang-kadang, tetapi terdapat tugas sedemikian - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui menggunakan formula Cramer. Kedua, contoh yang lebih mudah akan membantu anda memahami cara menggunakan peraturan Cramer kepada lebih banyak lagi kes susah– sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Di samping itu, terdapat sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah, yang dinasihatkan untuk diselesaikan dengan tepat mengikut peraturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kita mengira penentu , ia dipanggil penentu utama sistem.

Kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca, kita mesti mengira dua lagi penentu:
Dan

Dalam amalan, penentu di atas juga boleh ditandakan huruf latin.

Punca-punca persamaan ditemui dengan rumus:
,

Contoh 7

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Penyelesaian: Kami melihat bahawa pekali persamaan agak besar, di sebelah kanan terdapat perpuluhan dengan koma. Koma adalah tetamu yang agak jarang masuk tugas amali dalam matematik, saya mengambil sistem ini daripada masalah ekonometrik.

Bagaimana untuk menyelesaikan sistem sedemikian? Anda boleh cuba untuk menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain, tetapi dalam kes ini anda pasti akan mendapat pecahan mewah yang dahsyat, yang sangat menyusahkan untuk digunakan, dan reka bentuk penyelesaian akan kelihatan sangat mengerikan. Anda boleh mendarab persamaan kedua dengan 6 dan menolak sebutan dengan sebutan, tetapi pecahan yang sama akan muncul di sini.

Apa nak buat? Dalam kes sedemikian, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

;

Jawab: ,

Kedua-dua akar mempunyai ekor yang tidak terhingga dan didapati kira-kira, yang agak boleh diterima (dan juga biasa) untuk masalah ekonometrik.

Komen tidak diperlukan di sini, kerana tugas itu diselesaikan mengikut formula siap sedia, bagaimanapun, terdapat satu kaveat. Apabila menggunakan kaedah ini, wajib Serpihan tugasan ialah serpihan berikut: "jadi sistem mempunyai penyelesaian yang unik". Jika tidak, penyemak boleh menghukum anda kerana tidak menghormati teorem Cramer.

Ia tidak akan berlebihan untuk menyemak, yang mudah dilakukan pada kalkulator: kami menggantikan nilai anggaran di sebelah kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan ralat kecil, nombor yang berada di sebelah kanan harus diperolehi.

Contoh 8

Nyatakan jawapan anda secara biasa pecahan tak wajar. Buat semakan.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas(contoh penamat dan jawab pada akhir pelajaran).

Kami beralih kepada pertimbangan peraturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

Kami mencari penentu utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian). Dalam kes ini, peraturan Cramer tidak akan membantu, anda perlu menggunakan kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca, kita mesti mengira tiga lagi penentu:
, ,

Dan akhirnya, jawapannya dikira oleh formula:

Seperti yang anda lihat, kes "tiga dengan tiga" pada asasnya tidak berbeza daripada kes "dua dua", lajur istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang lajur penentu utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Penyelesaian: Mari kita selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

, jadi sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Jawab: .

Sebenarnya, tiada apa yang istimewa untuk diulas di sini lagi, memandangkan keputusan dibuat mengikut formula sedia. Tetapi terdapat beberapa nota.

Ia berlaku bahawa sebagai hasil pengiraan, pecahan tidak dapat dikurangkan "buruk" diperoleh, sebagai contoh: .
Saya mengesyorkan algoritma "rawatan" berikut. Jika tiada komputer di tangan, kami melakukan ini:

1) Mungkin terdapat kesilapan dalam pengiraan. Sebaik sahaja anda menghadapi pukulan "buruk", anda mesti segera menyemak sama ada adakah keadaan itu ditulis semula dengan betul. Jika keadaan itu ditulis semula tanpa ralat, maka anda perlu mengira semula penentu menggunakan pengembangan dalam baris lain (lajur).

2) Sekiranya tiada ralat ditemui akibat semakan, kemungkinan besar kesilapan menaip telah dibuat dalam keadaan tugasan. Dalam kes ini, dengan tenang dan BERHATI-HATI selesaikan tugas hingga akhir, dan kemudian pastikan untuk menyemak dan lukiskannya pada salinan bersih selepas keputusan itu. Sudah tentu, menyemak jawapan pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi ia akan menjadi hujah yang melucutkan senjata untuk guru, yang, baik, sangat suka meletakkan tolak untuk apa-apa perkara buruk seperti. Cara menangani pecahan diperincikan dalam jawapan untuk Contoh 8.

Jika anda mempunyai komputer di tangan, kemudian gunakan program automatik untuk menyemaknya, yang boleh dimuat turun secara percuma pada awal pelajaran. Ngomong-ngomong, adalah paling berfaedah untuk menggunakan program dengan segera (walaupun sebelum memulakan penyelesaian), anda akan segera melihat langkah perantaraan di mana anda membuat kesilapan! Kalkulator yang sama mengira penyelesaian sistem secara automatik kaedah matriks.

Teguran kedua. Dari semasa ke semasa terdapat sistem dalam persamaan yang mana beberapa pembolehubah hilang, contohnya:

Di sini dalam persamaan pertama tidak ada pembolehubah, dalam kedua tidak ada pembolehubah. Dalam kes sedemikian, adalah sangat penting untuk menulis penentu utama dengan betul dan TELITI:
– sifar diletakkan di tempat pembolehubah yang hilang.
Ngomong-ngomong, adalah rasional untuk membuka penentu dengan sifar mengikut baris (lajur) di mana sifar terletak, kerana pengiraan yang ketara adalah lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Ini adalah contoh untuk membuat keputusan sendiri (sampel penamat dan jawapan pada akhir pelajaran).

Untuk kes sistem 4 persamaan dengan 4 tidak diketahui, formula Cramer ditulis mengikut prinsip yang serupa. Anda boleh melihat contoh langsung dalam pelajaran Sifat Penentu. Mengurangkan susunan penentu - lima penentu tertib ke-4 agak boleh diselesaikan. Walaupun tugas itu sudah sangat mengingatkan kasut profesor di dada pelajar bertuah.

Penyelesaian sistem menggunakan matriks songsang

Kaedah matriks songsang pada asasnya kes istimewa persamaan matriks(Lihat Contoh No. 3 pelajaran yang ditentukan).

Untuk mengkaji bahagian ini, anda perlu dapat mengembangkan penentu, mencari matriks songsang dan melakukan pendaraban matriks. Pautan yang berkaitan akan diberikan semasa penjelasan berlangsung.

Contoh 11

Selesaikan sistem dengan kaedah matriks

Penyelesaian: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks:
, Di mana

Sila lihat sistem persamaan dan matriks. Dengan prinsip apa kita menulis unsur ke dalam matriks, saya rasa semua orang faham. Satu-satunya ulasan: jika beberapa pembolehubah hilang dalam persamaan, maka sifar perlu diletakkan di tempat yang sepadan dalam matriks.

Kami mencari matriks songsang dengan formula:
, di manakah matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan.

Pertama, mari kita berurusan dengan penentu:

Di sini penentu dikembangkan oleh baris pertama.

Perhatian! Jika , maka matriks songsang tidak wujud, dan adalah mustahil untuk menyelesaikan sistem dengan kaedah matriks. Dalam kes ini, sistem diselesaikan dengan penghapusan yang tidak diketahui (kaedah Gauss).

Sekarang anda perlu mengira 9 kanak-kanak dan menulisnya ke dalam matriks kanak-kanak di bawah umur

Rujukan: Adalah berguna untuk mengetahui maksud subskrip berganda dalam algebra linear. Digit pertama ialah nombor baris di mana unsur itu terletak. Digit kedua ialah nombor lajur di mana unsur itu terletak:

Iaitu, subskrip berganda menunjukkan bahawa elemen berada dalam baris pertama, lajur ketiga, manakala, sebagai contoh, elemen berada dalam baris ke-3, lajur ke-2.

Dengan bilangan persamaan yang sama dengan bilangan yang tidak diketahui dengan penentu utama matriks, yang tidak sama dengan sifar, pekali sistem (terdapat penyelesaian untuk persamaan tersebut dan ia hanya satu).

Teorem Cramer.

Apabila penentu bagi matriks sistem segi empat sama bukan sifar, maka sistem itu serasi dan ia mempunyai satu penyelesaian dan ia boleh didapati dengan Formula Cramer:

di mana Δ - penentu matriks sistem,

Δ i- penentu matriks sistem, di mana bukannya i lajur ke adalah lajur bahagian kanan.

Apabila penentu sistem adalah sifar, maka sistem boleh menjadi konsisten atau tidak konsisten.

Kaedah ini biasanya digunakan untuk sistem kecil dengan pengiraan volum dan jika perlu untuk menentukan 1 daripada yang tidak diketahui. Kerumitan kaedah adalah bahawa ia adalah perlu untuk mengira banyak penentu.

Penerangan kaedah Cramer.

Terdapat sistem persamaan:

Sistem 3 persamaan boleh diselesaikan dengan kaedah Cramer, yang telah dibincangkan di atas untuk sistem 2 persamaan.

Kami menyusun penentu daripada pekali yang tidak diketahui:

Ia akan menjadi kelayakan sistem. Bila D≠0, jadi sistem adalah konsisten. Sekarang kami akan menyusun 3 penentu tambahan:

,,

Kami menyelesaikan sistem dengan Formula Cramer:

Contoh penyelesaian sistem persamaan dengan kaedah Cramer.

Contoh 1.

Sistem yang diberikan:

Mari selesaikan dengan kaedah Cramer.

Mula-mula anda perlu mengira penentu matriks sistem:

Kerana Δ≠0, oleh itu, daripada teorem Cramer, sistem itu serasi dan ia mempunyai satu penyelesaian. Kami mengira penentu tambahan. Penentu Δ 1 diperoleh daripada penentu Δ dengan menggantikan lajur pertamanya dengan lajur pekali bebas. Kita mendapatkan:

Dengan cara yang sama, kita memperoleh penentu Δ 2 daripada penentu matriks sistem, menggantikan lajur kedua dengan lajur pekali bebas:

Kaedah Kramer Dan Gaussian salah satu penyelesaian yang paling popular SLAU. Lebih-lebih lagi, dalam beberapa kes ia adalah suai manfaat untuk digunakan kaedah tertentu. Sesi sudah hampir, dan sekarang adalah masa untuk mengulangi atau menguasainya dari awal. Hari ini kita berurusan dengan penyelesaian dengan kaedah Cramer. Lagipun, menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer adalah kemahiran yang sangat berguna.

Sistem persamaan algebra linear

Sistem persamaan algebra linear ialah sistem persamaan dalam bentuk:

Nilai ditetapkan x , di mana persamaan sistem bertukar menjadi identiti, dipanggil penyelesaian sistem, a Dan b adalah pekali nyata. Sistem ringkas yang terdiri daripada dua persamaan dengan dua tidak diketahui boleh diselesaikan secara mental atau dengan menyatakan satu pembolehubah dalam sebutan yang lain. Tetapi terdapat lebih daripada dua pembolehubah (x) dalam SLAE, dan manipulasi sekolah yang mudah amat diperlukan di sini. Apa nak buat? Sebagai contoh, selesaikan SLAE dengan kaedah Cramer!

Jadi biarkan sistem itu n persamaan dengan n tidak diketahui.

Sistem sedemikian boleh ditulis semula sebagai bentuk matriks

Di sini A ialah matriks utama sistem, X Dan B , masing-masing, matriks lajur pembolehubah tidak diketahui dan ahli bebas.

Penyelesaian SLAE dengan kaedah Cramer

Jika penentu matriks utama tidak sama dengan sifar (matriks adalah bukan tunggal), sistem boleh diselesaikan menggunakan kaedah Cramer.

Menurut kaedah Cramer, penyelesaiannya didapati dengan formula:

Di sini delta ialah penentu matriks utama, dan delta x n-th - penentu yang diperoleh daripada penentu matriks utama dengan menggantikan lajur ke-n dengan lajur sebutan bebas.

Ini adalah keseluruhan kaedah Cramer. Menggantikan nilai yang ditemui oleh formula di atas x ke dalam sistem yang dikehendaki, kami yakin dengan ketepatan (atau sebaliknya) penyelesaian kami. Untuk memudahkan anda memahami maksudnya, berikut adalah contoh. penyelesaian terperinci SLAE oleh kaedah Cramer:

Walaupun anda tidak berjaya pada kali pertama, jangan putus asa! Dengan sedikit latihan, anda akan mula melonjakkan SLOW seperti kacang. Lebih-lebih lagi, kini sama sekali tidak perlu untuk meneliti buku nota, menyelesaikan pengiraan yang menyusahkan dan menulis pada batang. Mudah untuk menyelesaikan SLAE dengan kaedah Cramer dalam talian, hanya dengan menggantikan pekali ke dalam bentuk siap. mencuba kalkulator dalam talian penyelesaian dengan kaedah Cramer boleh, sebagai contoh, di laman web ini.

Dan jika sistem ternyata degil dan tidak berputus asa, anda sentiasa boleh berpaling kepada pengarang kami untuk mendapatkan bantuan, sebagai contoh, untuk. Sekiranya terdapat sekurang-kurangnya 100 yang tidak diketahui dalam sistem, kami pasti akan menyelesaikannya dengan betul dan tepat pada masanya!

Biarkan sistem persamaan linear mengandungi seberapa banyak persamaan sebagai bilangan pembolehubah bebas, i.e. mempunyai bentuk

Sistem persamaan linear sedemikian dipanggil kuadratik. Penentu terdiri daripada pekali pada tak bersandar pembolehubah sistem(1.5) dipanggil penentu utama sistem. Kami akan menandakannya dengan huruf Yunani D. Oleh itu,

. (1.6)

Jika dalam penentu utama arbitrari ( j ke) lajur, gantikan dengan lajur ahli percuma sistem (1.5), maka kita boleh mendapatkan lebih banyak lagi n penentu tambahan:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

Peraturan Cramer menyelesaikan sistem kuadratik persamaan linear adalah seperti berikut. Jika penentu utama D bagi sistem (1.5) ialah bukan sifar, maka sistem itu mempunyai penyelesaian unik, yang boleh didapati dengan formula:

(1.8)

Contoh 1.5. Selesaikan sistem persamaan menggunakan kaedah Cramer

.

Mari kita hitung penentu utama sistem:

Sejak D¹0, sistem mempunyai penyelesaian unik yang boleh didapati menggunakan formula (1.8):

Oleh itu,

Tindakan Matriks

1. Pendaraban matriks dengan nombor. Operasi mendarab matriks dengan nombor ditakrifkan seperti berikut.

2. Untuk mendarab matriks dengan nombor, anda perlu mendarab semua elemennya dengan nombor ini. Itu dia

. (1.9)

Contoh 1.6. .

Penambahan matriks.

Operasi ini diperkenalkan hanya untuk matriks dengan susunan yang sama.

Untuk menambah dua matriks, adalah perlu untuk menambah unsur-unsur sepadan matriks lain kepada unsur-unsur satu matriks:

(1.10)
Operasi penambahan matriks mempunyai sifat asosiativiti dan komutatif.

Contoh 1.7. .

Pendaraban matriks.

Jika bilangan lajur matriks A sepadan dengan bilangan baris matriks DALAM, maka untuk matriks sedemikian operasi pendaraban diperkenalkan:

2

Oleh itu, apabila mendarab matriks A dimensi m´ n kepada matriks DALAM dimensi n´ k kita dapat matriks DENGAN dimensi m´ k. Dalam kes ini, unsur-unsur matriks DENGAN dikira mengikut formula berikut:

Masalah 1.8. Cari, jika boleh, hasil darab matriks AB Dan BA:

Penyelesaian. 1) Untuk mencari kerja AB, anda memerlukan baris matriks A darab dengan lajur matriks B:

2) Karya seni BA tidak wujud, kerana bilangan lajur matriks B tidak sepadan dengan bilangan baris matriks A.

Matriks songsang. Menyelesaikan sistem persamaan linear dalam cara matriks

Matriks A- 1 dipanggil songsang bagi matriks segi empat sama A jika persamaan itu berlaku:

melalui mana saya dilambangkan matriks identiti susunan yang sama dengan matriks A:

.

Untuk matriks segi empat sama mempunyai songsang jika dan hanya jika penentunya bukan sifar. Matriks songsang ditemui dengan formula:

, (1.13)

di mana A ij - penambahan algebra kepada unsur-unsur aij matriks A(perhatikan bahawa penambahan algebra pada baris matriks A disusun dalam matriks songsang dalam bentuk lajur yang sepadan).

Contoh 1.9. Cari matriks songsang A- 1 kepada matriks

.

Kami mencari matriks songsang dengan formula (1.13), yang bagi kes itu n= 3 kelihatan seperti:

.

Jom cari det A = | A| = 1 x 3 x 8 + 2 x 5 x 3 + 2 x 4 x 3 - 3 x 3 x 3 - 1 x 5 x 4 - 2 x 2 x 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Oleh kerana penentu matriks asal adalah berbeza daripada sifar, maka matriks songsang wujud.

1) Cari penambahan algebra A ij:

Untuk kemudahan mencari matriks songsang, kami meletakkan penambahan algebra pada baris matriks asal dalam lajur yang sepadan.

Daripada penambahan algebra yang diperoleh, kami menyusun matriks baharu dan membahagikannya dengan det penentu A. Oleh itu, kita akan mendapat matriks songsang:

Sistem kuadratik persamaan linear dengan penentu utama bukan sifar boleh diselesaikan menggunakan matriks songsang. Untuk ini, sistem (1.5) ditulis dalam bentuk matriks:

di mana

Mendarab kedua-dua belah kesamaan (1.14) di sebelah kiri dengan A- 1, kami mendapat penyelesaian sistem:

, di mana

Oleh itu, untuk mencari penyelesaian kepada sistem segi empat sama, anda perlu mencari matriks songsang kepada matriks utama sistem dan darab di sebelah kanan dengan matriks lajur sebutan bebas.

Masalah 1.10. Menyelesaikan sistem persamaan linear

menggunakan matriks songsang.

Penyelesaian. Kami menulis sistem dalam bentuk matriks: ,

di mana ialah matriks utama sistem, ialah lajur yang tidak diketahui, dan merupakan lajur ahli bebas. Sejak penentu utama sistem , maka matriks utama sistem A mempunyai matriks songsang A-1 . Untuk mencari matriks songsang A-1 , hitung pelengkap algebra kepada semua unsur matriks A:

Daripada nombor yang diperolehi kita menyusun matriks (selain itu, penambahan algebra pada baris matriks A tulis dalam lajur yang sesuai) dan bahagikannya dengan penentu D. Oleh itu, kami telah menemui matriks songsang:

Kami mencari penyelesaian sistem dengan formula (1.15):

Oleh itu,

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear oleh Pengecualian Jordan Biasa

Biarkan sistem persamaan linear arbitrari (tidak semestinya segi empat sama) diberikan:

(1.16)

Ia diperlukan untuk mencari penyelesaian kepada sistem, i.e. satu set pembolehubah yang memenuhi semua kesamaan sistem (1.16). DALAM kes am sistem (1.16) boleh mempunyai bukan sahaja satu penyelesaian, tetapi juga tak terkira penyelesaian. Ia juga mungkin tidak mempunyai penyelesaian sama sekali.

Dalam menyelesaikan masalah tersebut, yang terkenal kursus sekolah kaedah penghapusan yang tidak diketahui, yang juga dipanggil kaedah penghapusan Jordan biasa. intipati kaedah ini terletak pada hakikat bahawa dalam salah satu persamaan sistem (1.16) salah satu pembolehubah dinyatakan dalam sebutan pembolehubah lain. Kemudian pembolehubah ini digantikan ke dalam persamaan sistem yang lain. Hasilnya ialah sistem yang mengandungi satu persamaan dan satu pembolehubah kurang daripada sistem asal. Persamaan dari mana pembolehubah itu dinyatakan diingati.

Proses ini diulang sehingga satu persamaan terakhir kekal dalam sistem. Dalam proses menghapuskan yang tidak diketahui, beberapa persamaan boleh bertukar menjadi identiti sebenar, contohnya. Persamaan sedemikian dikecualikan daripada sistem, kerana ia sah untuk sebarang nilai pembolehubah dan, oleh itu, tidak menjejaskan penyelesaian sistem. Jika, dalam proses menghapuskan yang tidak diketahui, sekurang-kurangnya satu persamaan menjadi kesamaan yang tidak dapat dipenuhi untuk sebarang nilai pembolehubah (contohnya, ), maka kami membuat kesimpulan bahawa sistem tidak mempunyai penyelesaian.

Jika dalam proses menyelesaikan persamaan yang tidak konsisten tidak timbul, maka salah satu pembolehubah yang tinggal di dalamnya ditemui dari persamaan terakhir. Jika hanya satu pembolehubah kekal dalam persamaan terakhir, maka ia dinyatakan sebagai nombor. Jika pembolehubah lain kekal dalam persamaan terakhir, maka ia dianggap parameter, dan pembolehubah yang dinyatakan melaluinya akan menjadi fungsi parameter ini. Kemudian yang dipanggil lejang terbalik". Pembolehubah yang ditemui digantikan ke dalam persamaan hafalan terakhir dan pembolehubah kedua ditemui. Kemudian kedua-dua pembolehubah yang ditemui digantikan ke dalam persamaan hafalan kedua dan pembolehubah ketiga ditemui, dan seterusnya, sehingga persamaan hafalan pertama.

Akibatnya, kami mendapat penyelesaian sistem. Penyelesaian ini akan menjadi unik jika pembolehubah yang ditemui ialah nombor. Jika pembolehubah pertama dijumpai, dan kemudian semua yang lain bergantung pada parameter, maka sistem akan mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga (setiap set parameter sepadan dengan penyelesaian baharu). Formula yang membenarkan mencari penyelesaian kepada sistem bergantung pada set parameter tertentu dipanggil penyelesaian umum sistem.

Contoh 1.11.

x

Selepas menghafal persamaan pertama dan membawa istilah yang sama dalam persamaan kedua dan ketiga, kita tiba di sistem:

Ekspres y daripada persamaan kedua dan gantikannya ke dalam persamaan pertama:

Ingat persamaan kedua, dan dari yang pertama kita dapati z:

Membuat langkah terbalik, kami dapati secara berturut-turut y Dan z. Untuk melakukan ini, kita mula-mula menggantikan ke dalam persamaan hafalan terakhir, yang daripadanya kita dapati y:

.

Kemudian kita gantikan dan ke dalam persamaan yang pertama dihafal dari mana kita jumpa x:

Masalah 1.12. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghapuskan yang tidak diketahui:

. (1.17)

Penyelesaian. Mari kita nyatakan pembolehubah daripada persamaan pertama x dan gantikannya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

.

Ingat persamaan pertama

Dalam sistem ini, persamaan pertama dan kedua bercanggah antara satu sama lain. Memang meluahkan y , kita mendapat bahawa 14 = 17. Kesamaan ini tidak berpuas hati, untuk sebarang nilai pembolehubah x, y, Dan z. Akibatnya, sistem (1.17) tidak konsisten, iaitu, tiada penyelesaian.

Pembaca dijemput untuk mengesahkan secara bebas bahawa penentu utama sistem asal (1.17) adalah sama dengan sifar.

Pertimbangkan sistem yang berbeza daripada sistem (1.17) dengan hanya satu istilah bebas.

Masalah 1.13. Selesaikan sistem persamaan linear dengan menghapuskan yang tidak diketahui:

. (1.18)

Penyelesaian. Seperti sebelum ini, kami menyatakan pembolehubah dari persamaan pertama x dan gantikannya ke dalam persamaan kedua dan ketiga:

.

Ingat persamaan pertama dan kami membentangkan sebutan yang serupa dalam persamaan kedua dan ketiga. Kami tiba di sistem:

meluahkan y daripada persamaan pertama dan menggantikannya ke dalam persamaan kedua , kita mendapat identiti 14 = 14, yang tidak menjejaskan penyelesaian sistem, dan, oleh itu, ia boleh dikecualikan daripada sistem.

Dalam kesamaan hafalan terakhir, pembolehubah z akan dianggap sebagai parameter. Kami percaya . Kemudian

Pengganti y Dan z ke dalam kesaksamaan yang pertama dihafal dan mencari x:

.

Oleh itu, sistem (1.18) mempunyai set penyelesaian tak terhingga, dan sebarang penyelesaian boleh didapati daripada formula (1.19) dengan memilih nilai arbitrari parameter t:

(1.19)
Oleh itu, penyelesaian sistem, sebagai contoh, ialah set pembolehubah (1; 2; 0), (2; 26; 14), dsb. Formula (1.19) menyatakan penyelesaian umum (mana-mana) sistem (1.18). ).

Dalam kes apabila sistem asal (1.16) mempunyai cukup sejumlah besar persamaan dan tidak diketahui, kaedah penyingkiran Jordan biasa yang dinyatakan kelihatan menyusahkan. Walau bagaimanapun, ia tidak. Ia cukup untuk mendapatkan algoritma untuk mengira semula pekali sistem pada satu langkah masuk Pandangan umum dan memformalkan penyelesaian masalah dalam bentuk jadual khas Jordan.

Biarkan sistem bentuk linear (persamaan) diberikan:

, (1.20)
di mana xj- pembolehubah bebas (diingini), aij- pekali malar
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Bahagian kanan sistem y i (i = 1, 2,…, m) boleh menjadi kedua-dua pembolehubah (bergantung) dan pemalar. Ia diperlukan untuk mencari penyelesaian kepada sistem ini dengan menghapuskan yang tidak diketahui.

Mari kita pertimbangkan operasi berikut, selepas ini dirujuk sebagai "satu langkah pengecualian Jordan biasa". Daripada sewenang-wenangnya ( r kesamaan, kami menyatakan pembolehubah arbitrari ( x s) dan gantikan kepada semua persamaan lain. Sudah tentu, ini hanya mungkin jika a rs¹ 0. Pekali a rs dipanggil elemen penyelesaian (kadang-kadang membimbing atau utama).

Kami akan dapat sistem seterusnya:

. (1.21)

daripada s kesamaan sistem (1.21), kita kemudiannya akan mencari pembolehubah x s(selepas pembolehubah lain ditemui). S Baris ke-1 diingati dan kemudiannya dikecualikan daripada sistem. Sistem selebihnya akan mengandungi satu persamaan dan satu pembolehubah tidak bersandar kurang daripada sistem asal.

Mari kita hitung pekali sistem yang terhasil (1.21) dari segi pekali sistem asal (1.20). Mari kita mulakan dengan r persamaan ke, yang, selepas menyatakan pembolehubah x s melalui pembolehubah yang lain akan kelihatan seperti ini:

Oleh itu, pekali baru r persamaan dikira dengan formula berikut:

(1.23)
Mari kita sekarang mengira pekali baru b ij(i¹ r) persamaan sewenang-wenangnya. Untuk melakukan ini, kami menggantikan pembolehubah yang dinyatakan dalam (1.22) x s V i persamaan sistem (1.20):

Selepas membawa istilah seperti, kami mendapat:

(1.24)
Daripada kesamaan (1.24) kita memperoleh formula yang menggunakan pekali baki sistem (1.21) dikira (dengan pengecualian r persamaan ke):

(1.25)
Transformasi sistem persamaan linear dengan kaedah penyingkiran Jordan biasa dibentangkan dalam bentuk jadual (matriks). Jadual ini dipanggil "Jordan tables".

Oleh itu, masalah (1.20) dikaitkan dengan jadual Jordan berikut:

Jadual 1.1

	x 1	x 2	…	xj	…	x s	…	x n
y 1 =	a 11	a 12		a 1j		a 1s		a 1n
…………………………………………………………………..
y i=	a i 1	a i 2		aij		a ialah		a dalam
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		sebuah rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		seorang mj		seorang ms		amn

Jadual Jordan 1.1 mengandungi lajur kepala kiri, di mana bahagian kanan sistem (1.20) ditulis, dan baris kepala atas, di mana pembolehubah bebas ditulis.

Unsur-unsur selebihnya jadual membentuk matriks utama pekali sistem (1.20). Jika kita darabkan matriks A kepada matriks yang terdiri daripada unsur-unsur baris pengepala atas, maka kita mendapat matriks yang terdiri daripada unsur-unsur lajur pengepala kiri. Iaitu, pada dasarnya, jadual Jordan ialah bentuk matriks untuk menulis sistem persamaan linear: . Dalam kes ini, jadual Jordan berikut sepadan dengan sistem (1.21):

Jadual 1.2

	x 1	x 2	…	xj	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b ialah		b dalam
…………………………………………………………………..
x s =	br 1	br 2		b rj		brs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		bmj		b ms		bmn

Unsur permisif a rs kami akan menyerlahkan dalam huruf tebal. Ingat bahawa untuk melaksanakan satu langkah pengecualian Jordan, elemen penyelesaian mestilah bukan sifar. Baris jadual yang mengandungi elemen permisif dipanggil baris permisif. Lajur yang mengandungi elemen dayakan dipanggil lajur dayakan. Apabila berpindah dari jadual tertentu ke jadual seterusnya, satu pembolehubah ( x s) dari baris pengepala atas jadual dialihkan ke lajur pengepala kiri dan, sebaliknya, salah satu ahli bebas sistem ( y r) dialihkan dari lajur pengepala kiri jadual ke baris pengepala atas.

Mari kita terangkan algoritma untuk mengira semula pekali melalui daripada jadual Jordan (1.1) ke jadual (1.2), yang mengikuti daripada formula (1.23) dan (1.25).

1. Elemen pemboleh digantikan dengan nombor songsang:

2. Elemen selebihnya bagi garis permisif dibahagikan dengan elemen permisif dan tanda tukar kepada sebaliknya:

3. Elemen baki lajur pemboleh dibahagikan kepada elemen pemboleh:

4. Elemen yang tidak termasuk dalam baris penyelesaian dan lajur penyelesaian dikira semula mengikut formula:

Formula terakhir mudah diingat jika anda perasan bahawa unsur-unsur yang membentuk pecahan , berada di persimpangan i-oh dan r-baris ke- dan j ke dan s lajur -th (menyelesaikan baris, menyelesaikan lajur dan baris dan lajur di persimpangan yang mana elemen yang akan dikira semula terletak). Lebih tepat lagi, apabila menghafal formula anda boleh menggunakan carta berikut:

-21 -26 -13 -37

Melakukan langkah pertama pengecualian Jordan, mana-mana elemen Jadual 1.3 yang terdapat dalam lajur x 1 ,…, x 5 (semua elemen yang dinyatakan tidak sama dengan sifar). Anda bukan sahaja harus memilih elemen pemboleh dalam lajur terakhir, kerana perlu mencari pembolehubah bebas x 1 ,…, x 5 . Kami memilih, sebagai contoh, pekali 1 dengan pembolehubah x 3 dalam baris ketiga jadual 1.3 (elemen pemboleh ditunjukkan dalam huruf tebal). Apabila beralih ke jadual 1.4, pembolehubah x 3 daripada baris pengepala atas ditukar dengan pemalar 0 lajur pengepala kiri (baris ketiga). Pada masa yang sama, pembolehubah x 3 dinyatakan dalam sebutan pembolehubah yang tinggal.

tali x 3 (Jadual 1.4) boleh, setelah diingati, dikecualikan daripada Jadual 1.4. Jadual 1.4 juga tidak termasuk lajur ketiga dengan sifar dalam baris pengepala atas. Intinya ialah tanpa mengira pekali lajur ini b i 3 semua sebutan yang sepadan dengannya bagi setiap persamaan 0 b i 3 sistem akan menjadi sifar. Oleh itu, pekali ini tidak boleh dikira. Menghapuskan satu pembolehubah x 3 dan mengingati salah satu persamaan, kita tiba di sistem yang sepadan dengan Jadual 1.4 (dengan garis yang dicoret x 3). Memilih dalam jadual 1.4 sebagai elemen penyelesaian b 14 = -5, pergi ke jadual 1.5. Dalam jadual 1.5, kami mengingati baris pertama dan mengecualikannya daripada jadual bersama-sama dengan lajur keempat (dengan sifar di bahagian atas).

Jadual 1.5 Jadual 1.6

Daripada jadual terakhir 1.7 kita dapati: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Menggantikan pembolehubah yang telah ditemui secara berurutan ke dalam baris yang dihafal, kita dapati pembolehubah yang tinggal:

Oleh itu, sistem mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga. pembolehubah x 5 , anda boleh menetapkan nilai sewenang-wenangnya. Pembolehubah ini bertindak sebagai parameter x 5 = t. Kami membuktikan keserasian sistem dan menemui penyelesaian amnya:

x 1 = - 3 + 2t

x 2 = - 1 - 3t

x 3 = - 2 + 4t . (1.27)
x 4 = 4 + 5t

x 5 = t

Memberi parameter t pelbagai maksud, kita mendapat bilangan penyelesaian yang tidak terhingga kepada sistem asal. Jadi, sebagai contoh, penyelesaian sistem ialah set pembolehubah berikut (- 3; - 1; - 2; 4; 0).