Dalam beberapa masalah fizik, tidak mungkin untuk mewujudkan hubungan langsung antara kuantiti yang menerangkan proses. Tetapi adalah mungkin untuk mendapatkan kesamaan yang mengandungi derivatif fungsi yang dikaji. Ini adalah bagaimana persamaan pembezaan timbul dan keperluan untuk menyelesaikannya untuk mencari fungsi yang tidak diketahui.

Artikel ini bertujuan untuk mereka yang berhadapan dengan masalah menyelesaikan persamaan pembezaan di mana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi satu pembolehubah. Teori ini distrukturkan sedemikian rupa sehingga dengan pengetahuan sifar tentang persamaan pembezaan, anda boleh mengatasi tugas anda.

Setiap jenis persamaan pembezaan dikaitkan dengan kaedah penyelesaian dengan penjelasan terperinci dan penyelesaian kepada contoh dan masalah biasa. Apa yang anda perlu lakukan ialah menentukan jenis persamaan pembezaan masalah anda, cari contoh yang dianalisis yang serupa dan lakukan tindakan yang serupa.

Untuk penyelesaian yang berjaya Persamaan pembezaan di pihak anda juga memerlukan keupayaan untuk mencari set antiterbitan (kamiran tak tentu) pelbagai fungsi. Jika perlu, kami mengesyorkan anda merujuk kepada bahagian tersebut.

Pertama, kita akan mempertimbangkan jenis persamaan pembezaan biasa tertib pertama yang boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan, kemudian kita akan beralih kepada ODE tertib kedua, kemudian kita akan memikirkan persamaan peringkat tinggi dan berakhir dengan sistem persamaan pembezaan.

Ingat bahawa jika y ialah fungsi hujah x.

Persamaan pembezaan tertib pertama.

Persamaan pembezaan tertib pertama yang paling mudah bagi bentuk.

Mari tuliskan beberapa contoh alat kawalan jauh tersebut .

Persamaan pembezaan boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan dengan membahagikan kedua-dua belah kesamaan dengan f(x) . Dalam kes ini, kita sampai pada persamaan yang akan bersamaan dengan persamaan asal untuk f(x) ≠ 0. Contoh ODE tersebut ialah .

Jika terdapat nilai hujah x di mana fungsi f(x) dan g(x) hilang serentak, maka penyelesaian tambahan muncul. Penyelesaian tambahan kepada persamaan diberi x ialah sebarang fungsi yang ditakrifkan untuk nilai hujah ini. Contoh persamaan pembezaan tersebut termasuk:

Persamaan pembezaan tertib kedua.

Persamaan pembezaan homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

LDE dengan pekali malar adalah jenis persamaan pembezaan yang sangat biasa. Penyelesaian mereka tidak begitu sukar. Mula-mula akar dijumpai persamaan ciri . Untuk p dan q yang berbeza, tiga kes mungkin: punca persamaan ciri boleh nyata dan berbeza, nyata dan bertepatan atau konjugat kompleks. Bergantung pada nilai akar persamaan ciri, ia ditulis penyelesaian umum persamaan pembezaan sebagai , atau , atau masing-masing.

Sebagai contoh, pertimbangkan persamaan pembezaan tertib kedua homogen linear dengan pekali malar. Punca-punca persamaan cirinya ialah k 1 = -3 dan k 2 = 0. Akar adalah nyata dan berbeza, oleh itu, penyelesaian umum LODE dengan pekali malar mempunyai bentuk


Persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

Penyelesaian umum LDDE tertib kedua dengan pekali malar y dicari dalam bentuk jumlah penyelesaian umum LDDE yang sepadan. dan penyelesaian tertentu kepada yang asal tidak persamaan homogen, iaitu, . Perenggan sebelumnya dikhaskan untuk mencari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan homogen dengan pekali malar. Dan penyelesaian tertentu ditentukan sama ada dengan kaedah pekali tak tentu dengan bentuk tertentu fungsi f(x) di sebelah kanan persamaan asal, atau dengan kaedah mengubah pemalar arbitrari.

Sebagai contoh LDDE tertib kedua dengan pekali malar, kami berikan


Fahami teori dan biasakan diri penyelesaian terperinci Kami menawarkan anda contoh pada halaman persamaan pembezaan tak homogen linear tertib kedua dengan pekali malar.

Persamaan pembezaan homogen linear (LODE) dan persamaan pembezaan tak homogen linear (LNDE) tertib kedua.

Satu kes khas persamaan pembezaan jenis ini ialah LODE dan LDDE dengan pekali malar.

Penyelesaian am LODE pada segmen tertentu diwakili oleh gabungan linear dua penyelesaian separa bebas linear y 1 dan y 2 persamaan ini, iaitu, .

Kesukaran utama terletak tepat dalam mencari penyelesaian separa bebas linear kepada persamaan pembezaan jenis ini. Biasanya, penyelesaian tertentu dipilih daripada sistem berikut fungsi bebas linear:


Walau bagaimanapun, penyelesaian tertentu tidak selalu dibentangkan dalam borang ini.

Contoh LOD ialah .

Penyelesaian umum LDDE dicari dalam bentuk , di mana ialah penyelesaian umum LDDE yang sepadan, dan merupakan penyelesaian khusus bagi persamaan pembezaan asal. Kami baru sahaja bercakap tentang mencarinya, tetapi ia boleh ditentukan menggunakan kaedah mengubah pemalar sewenang-wenangnya.

Contoh LNDU boleh diberikan .

Persamaan pembezaan tertib yang lebih tinggi.

Persamaan pembezaan yang membenarkan pengurangan tertib.

Susunan persamaan pembezaan , yang tidak mengandungi fungsi yang diingini dan terbitannya sehingga tertib k-1, boleh dikurangkan kepada n-k dengan menggantikan .

Dalam kes ini, persamaan pembezaan asal akan dikurangkan kepada . Selepas mencari penyelesaiannya p(x), ia kekal untuk kembali kepada penggantian dan menentukan fungsi y yang tidak diketahui.

Sebagai contoh, persamaan pembezaan selepas penggantian, ia akan menjadi persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, dan susunannya akan dikurangkan daripada ketiga kepada pertama.

Persamaan pembezaan tertib pertama. Contoh penyelesaian.
Persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan

Persamaan pembezaan (DE). Kedua-dua perkataan ini biasanya menakutkan orang biasa. Persamaan pembezaan seolah-olah menjadi sesuatu yang melarang dan sukar untuk dikuasai oleh ramai pelajar. Uuuuuu... persamaan pembezaan, macam mana aku boleh bertahan dengan semua ni?!

Pendapat ini dan sikap ini pada asasnya salah, kerana sebenarnya PERSAMAAN BERBEZA - IA MUDAH DAN SENANG. Apakah yang anda perlu tahu dan boleh lakukan untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan pembezaan? Untuk berjaya mengkaji diffuses, anda mesti pandai menyepadukan dan membezakan. Lebih baik topik itu dipelajari Terbitan bagi fungsi satu pembolehubah Dan Kamiran tak tentu, lebih mudah untuk memahami persamaan pembezaan. Saya akan mengatakan lebih lanjut, jika anda mempunyai kemahiran integrasi yang lebih atau kurang baik, maka topik itu telah hampir dikuasai! Lebih banyak kamiran pelbagai jenis anda tahu cara membuat keputusan - lebih baik. kenapa? Anda perlu menyepadukan banyak perkara. Dan membezakan. Juga sangat mengesyorkan belajar mencari.

Dalam 95% kes dalam ujian Terdapat 3 jenis persamaan pembezaan tertib pertama: persamaan yang boleh dipisahkan yang akan kita lihat dalam pelajaran ini; persamaan homogen Dan persamaan tak homogen linear. Bagi mereka yang mula mempelajari peresap, saya menasihati anda untuk membaca pelajaran dalam susunan ini, dan selepas mempelajari dua artikel pertama, tidak ada salahnya untuk menyatukan kemahiran anda dalam bengkel tambahan - persamaan dikurangkan kepada homogen.

Terdapat jenis persamaan pembezaan yang lebih jarang: persamaan pembezaan jumlah, persamaan Bernoulli dan beberapa yang lain. Yang paling penting antara keduanya spesis terkini adalah persamaan dalam pembezaan penuh, kerana sebagai tambahan kepada alat kawalan jauh ini saya sedang mempertimbangkan bahan baru – penyepaduan separa.

Jika anda hanya mempunyai satu atau dua hari lagi, Itu untuk penyediaan ultra cepat ada kursus kilat dalam format pdf.

Jadi, tanda tempat telah ditetapkan - mari kita pergi:

Pertama, mari kita ingat persamaan algebra biasa. Ia mengandungi pembolehubah dan nombor. Contoh paling mudah: . Apakah yang dimaksudkan untuk menyelesaikan persamaan biasa? Ini bermakna mencari set nombor, yang memenuhi persamaan ini. Adalah mudah untuk melihat bahawa persamaan kanak-kanak mempunyai punca tunggal: . Hanya untuk keseronokan, mari kita semak dan gantikan punca yang ditemui ke dalam persamaan kita:

– kesamaan yang betul diperolehi, yang bermaksud bahawa penyelesaian ditemui dengan betul.

Peresap direka dengan cara yang sama!

Persamaan pembezaan pesanan pertama V kes am mengandungi:
1) pembolehubah bebas;
2) pembolehubah bersandar (fungsi);
3) terbitan pertama bagi fungsi: .

Dalam beberapa persamaan tertib pertama mungkin tiada "x" dan/atau "y", tetapi ini tidak penting - penting untuk pergi ke bilik kawalan adalah terbitan pertama, dan tidak ada terbitan tertib yang lebih tinggi – , dsb.

Apakah maksudnya? Menyelesaikan persamaan pembezaan bermakna mencari set semua fungsi, yang memenuhi persamaan ini. Set fungsi sedemikian selalunya mempunyai bentuk (– pemalar arbitrari), yang dipanggil penyelesaian umum persamaan pembezaan.

Contoh 1

Selesaikan persamaan pembezaan

Penuh peluru. Di mana hendak bermula penyelesaian?

Pertama sekali, anda perlu menulis semula derivatif dalam bentuk yang sedikit berbeza. Kami masih ingat sebutan yang menyusahkan, yang mungkin ramai di antara anda kelihatan tidak masuk akal dan tidak perlu. Ini adalah peraturan dalam peresap!

Dalam langkah kedua, mari kita lihat sama ada ia boleh pembolehubah berasingan? Apakah yang dimaksudkan untuk memisahkan pembolehubah? Secara kasarnya, di sebelah kiri kita perlu pergi hanya "orang Yunani", A di sebelah kanan menyusun hanya "X". Pembahagian pembolehubah dilakukan menggunakan manipulasi "sekolah": meletakkannya keluar dari kurungan, memindahkan istilah dari bahagian ke bahagian dengan perubahan tanda, memindahkan faktor dari bahagian ke bahagian mengikut peraturan perkadaran, dll.

Perbezaan dan merupakan pengganda penuh dan peserta aktif dalam permusuhan. Dalam contoh yang sedang dipertimbangkan, pembolehubah mudah dipisahkan dengan melambungkan faktor mengikut peraturan perkadaran:

Pembolehubah diasingkan. Di sebelah kiri hanya terdapat "Y", di sebelah kanan - hanya "X".

Peringkat seterusnya ialah penyepaduan persamaan pembezaan. Ia mudah, kami meletakkan kamiran pada kedua-dua belah:

Sudah tentu, kita perlu mengambil kamiran. DALAM dalam kes ini mereka adalah jadual:

Seperti yang kita ingat, pemalar diberikan kepada sebarang antiderivatif. Terdapat dua kamiran di sini, tetapi cukup untuk menulis pemalar sekali (memandangkan pemalar + pemalar masih sama dengan pemalar lain). Dalam kebanyakan kes ia diletakkan di sebelah kanan.

Tegasnya, selepas kamiran diambil, persamaan pembezaan dianggap diselesaikan. Satu-satunya perkara ialah "y" kami tidak dinyatakan melalui "x", iaitu, penyelesaiannya dibentangkan secara tersirat bentuk. Penyelesaian kepada persamaan pembezaan dalam bentuk tersirat dipanggil kamiran am bagi persamaan pembezaan. Iaitu, ini adalah kamiran umum.

Jawapan dalam borang ini agak boleh diterima, tetapi adakah terdapat pilihan yang lebih baik? Jom cuba dapatkan penyelesaian umum.

tolong, ingat teknik pertama, ia sangat biasa dan sering digunakan dalam tugas amali: jika logaritma muncul di sebelah kanan selepas penyepaduan, maka dalam banyak kes (tetapi tidak selalu!) ia juga dinasihatkan untuk menulis pemalar di bawah logaritma.

iaitu, BUKANNYA entri biasanya ditulis .

Mengapa ini perlu? Dan untuk menjadikannya lebih mudah untuk menyatakan "permainan". Menggunakan sifat logaritma . Dalam kes ini:

Kini logaritma dan modul boleh dialih keluar:

Fungsi dibentangkan secara eksplisit. Ini adalah penyelesaian umum.

Jawab: penyelesaian umum: .

Jawapan kepada banyak persamaan pembezaan agak mudah untuk diperiksa. Dalam kes kami, ini dilakukan dengan mudah, kami mengambil penyelesaian yang ditemui dan membezakannya:

Kemudian kita menggantikan derivatif ke dalam persamaan asal:

– kesamaan yang betul diperolehi, yang bermaksud bahawa penyelesaian umum memenuhi persamaan, iaitu apa yang perlu diperiksa.

Dengan memberikan nilai yang berbeza yang berterusan, anda boleh mendapatkan nombor yang tidak terhingga penyelesaian peribadi persamaan pembezaan. Adalah jelas bahawa mana-mana fungsi , , dsb. memenuhi persamaan pembezaan.

Kadang-kadang penyelesaian umum dipanggil keluarga fungsi. DALAM dalam contoh ini penyelesaian umum - ini adalah keluarga fungsi linear, atau sebaliknya, keluarga yang berkadar langsung.

Selepas semakan menyeluruh terhadap contoh pertama, adalah wajar untuk menjawab beberapa soalan naif tentang persamaan pembezaan:

1)Dalam contoh ini, kami dapat memisahkan pembolehubah. Bolehkah ini selalu dilakukan? Tidak, tidak selalu. Dan lebih kerap, pembolehubah tidak boleh dipisahkan. Contohnya, dalam persamaan tertib pertama homogen, anda mesti menggantikannya dahulu. Dalam jenis persamaan lain, sebagai contoh, dalam persamaan tak homogen linear urutan pertama, anda perlu menggunakan pelbagai teknik dan kaedah untuk mencari penyelesaian umum. Persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, yang kita pertimbangkan dalam pelajaran pertama - jenis paling ringkas persamaan pembezaan.

2) Adakah selalu mungkin untuk menyepadukan persamaan pembezaan? Tidak, tidak selalu. Sangat mudah untuk menghasilkan persamaan "mewah" yang tidak boleh disepadukan di samping itu, terdapat kamiran yang tidak boleh diambil. Tetapi DE yang serupa boleh diselesaikan lebih kurang menggunakan kaedah khas. D'Alembert dan Cauchy menjamin... ...ugh, lurkmore.untuk banyak membaca sebentar tadi, saya hampir menambah "dari dunia lain."

3) Dalam contoh ini, kami memperoleh penyelesaian dalam bentuk kamiran am . Adakah selalu mungkin untuk mencari penyelesaian umum daripada kamiran am, iaitu, untuk menyatakan "y" secara eksplisit? Tidak, tidak selalu. Contohnya: . Nah, bagaimana anda boleh menyatakan "Greek" di sini?! Dalam kes sedemikian, jawapan hendaklah ditulis sebagai kamiran am. Di samping itu, kadang-kadang adalah mungkin untuk mencari penyelesaian umum, tetapi ia ditulis dengan sangat rumit dan kekok sehingga lebih baik meninggalkan jawapan dalam bentuk kamiran am

4) ...mungkin itu sudah memadai buat masa ini. Dalam contoh pertama yang kami temui yang lain perkara penting , tetapi supaya tidak menutupi "boneka" dengan runtuhan salji maklumat baharu, saya akan biarkan sehingga pelajaran seterusnya.

Kami tidak akan tergesa-gesa. Satu lagi alat kawalan jauh mudah dan satu lagi penyelesaian biasa:

Contoh 2

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal

Penyelesaian: mengikut syarat, anda perlu mencari penyelesaian peribadi DE yang memenuhi syarat awal yang diberikan. Rumusan soalan ini juga dipanggil Masalah cauchy.

Mula-mula kita mencari penyelesaian umum. Tiada pembolehubah "x" dalam persamaan, tetapi ini tidak sepatutnya mengelirukan, perkara utama ialah ia mempunyai derivatif pertama.

Kami menulis semula derivatif ke dalam dalam bentuk yang betul:

Jelas sekali, pembolehubah boleh dipisahkan, lelaki ke kiri, perempuan ke kanan:

Mari kita sepadukan persamaan:

Kamiran am diperolehi. Di sini saya melukis pemalar dengan asterisk, hakikatnya tidak lama lagi ia akan berubah menjadi pemalar lain.

Sekarang kita cuba mengubah kamiran am kepada penyelesaian umum (nyatakan "y" secara eksplisit). Mari kita ingat perkara lama yang baik dari sekolah: . Dalam kes ini:

Pemalar dalam penunjuk kelihatan entah bagaimana tidak halal, jadi ia biasanya diturunkan ke bumi. Secara terperinci, ini adalah bagaimana ia berlaku. Menggunakan sifat darjah, kami menulis semula fungsi seperti berikut:

Jika ialah pemalar, maka juga beberapa pemalar, mari kita bentuk semula dengan huruf :

Ingat "merobohkan" pemalar adalah teknik kedua, yang sering digunakan semasa menyelesaikan persamaan pembezaan.

Jadi, penyelesaian umum ialah: . Ini adalah keluarga fungsi eksponen yang bagus.

Pada peringkat akhir, anda perlu mencari penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat awal yang diberikan. Ini juga mudah.

Apakah tugasnya? Perlu ambil sebegitu nilai pemalar supaya keadaan itu dipenuhi.

Ia boleh diformatkan dengan cara yang berbeza, tetapi ini mungkin cara yang paling jelas. Dalam penyelesaian umum, bukannya "X" kita menggantikan sifar, dan bukannya "Y" kita menggantikan dua:



iaitu,

Versi reka bentuk standard:

Sekarang kita menggantikan nilai yang dijumpai pemalar ke dalam penyelesaian umum:
– ini adalah penyelesaian khusus yang kami perlukan.

Jawab: penyelesaian peribadi:

Jom semak. Menyemak penyelesaian peribadi termasuk dua peringkat:

Mula-mula anda perlu menyemak sama ada penyelesaian tertentu yang ditemui benar-benar memenuhi syarat awal? Daripada "X" kami menggantikan sifar dan melihat apa yang berlaku:
- ya, memang, dua telah diterima, yang bermaksud bahawa syarat awal dipenuhi.

Tahap kedua sudah biasa. Kami mengambil penyelesaian tertentu yang terhasil dan mencari derivatif:

Kami menggantikan ke dalam persamaan asal:

– persamaan yang betul diperolehi.

Kesimpulan: penyelesaian tertentu didapati dengan betul.

Mari kita beralih kepada contoh yang lebih bermakna.

Contoh 3

Selesaikan persamaan pembezaan

Penyelesaian: Kami menulis semula derivatif dalam bentuk yang kami perlukan:

Kami menilai sama ada mungkin untuk memisahkan pembolehubah? boleh. Kami memindahkan istilah kedua ke sebelah kanan dengan perubahan tanda:

Dan kami memindahkan pengganda mengikut peraturan perkadaran:

Pembolehubah dipisahkan, mari kita sepadukan kedua-dua bahagian:

Saya mesti memberi amaran kepada anda, hari penghakiman semakin hampir. Jika anda belum belajar dengan baik kamiran tak tentu, telah menyelesaikan beberapa contoh, maka tiada tempat untuk pergi - anda perlu menguasainya sekarang.

Kamiran bahagian kiri mudah dicari; kami berurusan dengan kamiran kotangen menggunakan teknik piawai yang kami lihat dalam pelajaran Mengintegrasikan fungsi trigonometri tahun lepas:

Di sebelah kanan kita mempunyai logaritma, dan, menurut cadangan teknikal pertama saya, pemalar juga harus ditulis di bawah logaritma.

Sekarang kita cuba permudahkan kamiran am. Oleh kerana kita hanya mempunyai logaritma, adalah agak mungkin (dan perlu) untuk menyingkirkannya. Dengan menggunakan sifat yang diketahui Kami "membungkus" logaritma sebanyak mungkin. Saya akan menulisnya dengan terperinci:

Pembungkusan itu siap untuk dikoyak secara biadab:

Adakah mungkin untuk menyatakan "permainan"? boleh. Ia adalah perlu untuk mengkuadratkan kedua-dua bahagian.

Tetapi anda tidak perlu melakukan ini.

Petua teknikal ketiga: jika untuk mendapatkan penyelesaian umum adalah perlu untuk meningkatkan kuasa atau mengambil akar, maka dalam kebanyakan kes anda harus menahan diri daripada tindakan ini dan meninggalkan jawapan dalam bentuk kamiran am. Hakikatnya ialah penyelesaian umum akan kelihatan sangat mengerikan - dengan akar besar, tanda dan sampah lain.

Oleh itu, kami menulis jawapan dalam bentuk kamiran am. Ia dianggap sebagai amalan yang baik untuk membentangkannya dalam bentuk , iaitu, di sebelah kanan, jika boleh, tinggalkan hanya pemalar. Ia tidak perlu untuk melakukan ini, tetapi ia sentiasa bermanfaat untuk menggembirakan profesor ;-)

Jawapan: kamiran am:

! Nota: kamiran am bagi sebarang persamaan boleh ditulis bukan satu-satunya cara. Oleh itu, jika keputusan anda tidak bertepatan dengan jawapan yang diketahui sebelum ini, ini tidak bermakna anda menyelesaikan persamaan dengan salah.

Kamiran am juga agak mudah untuk diperiksa, perkara utama adalah untuk dapat dicari terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara tersirat. Mari bezakan jawapannya:

Kami mendarab kedua-dua istilah dengan:

Dan bahagikan dengan:

Persamaan pembezaan asal telah diperolehi dengan tepat, yang bermaksud kamiran am telah ditemui dengan betul.

Contoh 4

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan yang memenuhi syarat awal. Lakukan pemeriksaan.

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas.

Biar saya ingatkan anda bahawa algoritma terdiri daripada dua peringkat:
1) mencari penyelesaian umum;
2) mencari penyelesaian tertentu yang diperlukan.

Semakan juga dijalankan dalam dua langkah (lihat contoh dalam Contoh No. 2), anda perlu:
1) pastikan bahawa penyelesaian tertentu yang ditemui memenuhi syarat awal;
2) semak bahawa penyelesaian tertentu secara amnya memenuhi persamaan pembezaan.

Penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Contoh 5

Cari penyelesaian tertentu kepada persamaan pembezaan , memenuhi syarat awal. Lakukan pemeriksaan.

Penyelesaian: Mula-mula, mari kita cari penyelesaian umum Persamaan ini sudah mengandungi pembezaan sedia dibuat dan, yang bermaksud penyelesaiannya dipermudahkan. Kami memisahkan pembolehubah:

Mari kita sepadukan persamaan:

Kamiran di sebelah kiri adalah jadual, kamiran di sebelah kanan diambil kaedah memasukkan fungsi di bawah tanda pembezaan:

Kamiran am telah diperolehi, adakah mungkin untuk menyatakan penyelesaian am dengan jayanya? boleh. Kami menggantung logaritma pada kedua-dua belah pihak. Oleh kerana ia positif, tanda modulus tidak diperlukan:

(Saya harap semua orang faham transformasi, perkara sebegini sepatutnya sudah diketahui)

Jadi, penyelesaian umum ialah:

Mari cari penyelesaian tertentu yang sepadan dengan keadaan awal yang diberikan.
Dalam penyelesaian umum, bukannya "X" kita menggantikan sifar, dan bukannya "Y" kita menggantikan logaritma dua:

Reka bentuk yang lebih biasa:

Kami menggantikan nilai yang ditemui pemalar ke dalam penyelesaian am.

Jawapan: penyelesaian peribadi:

Semak: Mula-mula, mari semak sama ada syarat awal dipenuhi:
- semuanya berdengung.

Sekarang mari kita semak sama ada penyelesaian tertentu yang ditemui memenuhi persamaan pembezaan sama sekali. Mencari terbitan:

Mari kita lihat persamaan asal: – ia dibentangkan dalam pembezaan. Terdapat dua cara untuk menyemak. Adalah mungkin untuk menyatakan pembezaan daripada terbitan yang ditemui:

Mari kita gantikan penyelesaian tertentu yang ditemui dan pembezaan yang terhasil ke dalam persamaan asal :

Kami menggunakan identiti logaritma asas:

Kesamaan yang betul diperoleh, yang bermaksud bahawa penyelesaian tertentu ditemui dengan betul.

Kaedah pemeriksaan kedua dicerminkan dan lebih biasa: dari persamaan Mari kita nyatakan derivatif, untuk melakukan ini kita bahagikan semua bahagian dengan:

Dan ke dalam DE yang diubah kita menggantikan penyelesaian separa yang diperolehi dan terbitan yang ditemui. Hasil daripada pemudahan, kesaksamaan yang betul juga harus diperolehi.

Contoh 6

Selesaikan persamaan pembezaan. Kemukakan jawapan dalam bentuk kamiran am.

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri, penyelesaian lengkap dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apakah kesukaran yang menanti apabila menyelesaikan persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan?

1) Tidak selalunya jelas (terutamanya kepada "teko") bahawa pembolehubah boleh diasingkan. Mari kita pertimbangkan contoh bersyarat: . Di sini anda perlu mengeluarkan faktor daripada kurungan: dan memisahkan akar: . Ia jelas apa yang perlu dilakukan seterusnya.

2) Kesukaran dengan integrasi itu sendiri. Kamiran selalunya bukan yang paling mudah, dan jika terdapat kelemahan dalam kemahiran mencari kamiran tak tentu, maka ia akan menjadi sukar dengan banyak peresap. Di samping itu, logik "memandangkan persamaan pembezaan adalah mudah, maka sekurang-kurangnya biarkan kamiran menjadi lebih rumit" adalah popular di kalangan penyusun koleksi dan manual latihan.

3) Transformasi dengan pemalar. Seperti yang semua orang perhatikan, pemalar dalam persamaan pembezaan boleh dikendalikan dengan agak bebas, dan beberapa transformasi tidak selalunya jelas kepada pemula. Mari lihat satu lagi contoh bersyarat: . Adalah dinasihatkan untuk mendarab semua sebutan dengan 2: . Pemalar yang terhasil juga merupakan sejenis pemalar, yang boleh dilambangkan dengan: . Ya, dan kerana terdapat logaritma di sebelah kanan, maka adalah dinasihatkan untuk menulis semula pemalar dalam bentuk pemalar lain: .

Masalahnya ialah mereka sering tidak peduli dengan indeks dan menggunakan huruf yang sama. Akibatnya, rekod keputusan mengambil pandangan seterusnya:

Ajaran sesat macam mana? Terdapat kesilapan di sana! Tegasnya, ya. Walau bagaimanapun, dari sudut pandangan substantif, tidak ada ralat, kerana hasil daripada mengubah pemalar pembolehubah, pemalar pembolehubah masih diperoleh.

Atau contoh lain, andaikan bahawa semasa menyelesaikan persamaan kamiran am diperolehi. Jawapan ini kelihatan hodoh, jadi dinasihatkan untuk menukar tanda setiap istilah: . Secara rasmi, terdapat satu lagi kesilapan di sini - ia harus ditulis di sebelah kanan. Tetapi secara tidak rasmi ia tersirat bahawa "tolak ce" masih tetap ( yang boleh mengambil apa-apa makna dengan mudah!), jadi meletakkan "tolak" tidak masuk akal dan anda boleh menggunakan huruf yang sama.

Saya akan cuba mengelakkan pendekatan cuai, dan masih menetapkan indeks yang berbeza kepada pemalar apabila menukarnya.

Contoh 7

Selesaikan persamaan pembezaan. Lakukan pemeriksaan.

Penyelesaian: Persamaan ini membolehkan pemisahan pembolehubah. Kami memisahkan pembolehubah:

Mari kita integrasikan:

Ia tidak perlu untuk mentakrifkan pemalar di sini sebagai logaritma, kerana tiada yang berguna akan datang daripada ini.

Jawapan: kamiran am:

Semak: Bezakan jawapan ( fungsi tersirat):

Kita menyingkirkan pecahan dengan mendarab kedua-dua sebutan dengan:

Persamaan pembezaan asal telah diperoleh, yang bermaksud kamiran am telah ditemui dengan betul.

Contoh 8

Cari penyelesaian tertentu bagi DE.
,

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Satu-satunya petunjuk ialah di sini anda akan mendapat kamiran am, dan, lebih tepat lagi, anda perlu berusaha untuk mencari bukan penyelesaian tertentu, tetapi kamiran separa . Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran.

Persamaan tertib pertama dalam bentuk a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x) dipanggil persamaan pembezaan linear. Jika b(x) ≡ 0 maka persamaan itu dipanggil homogen, sebaliknya - heterogen. Bagi persamaan pembezaan linear, teorem kewujudan dan keunikan mempunyai bentuk yang lebih khusus.

Tujuan perkhidmatan. Kalkulator dalam talian boleh digunakan untuk menyemak penyelesaian persamaan pembezaan linear homogen dan tidak homogen daripada bentuk y"+y=b(x) .

=

Gunakan penggantian pembolehubah y=u*v
Gunakan kaedah variasi pemalar arbitrari
Cari penyelesaian tertentu untuk y( ) = .

Untuk mendapatkan penyelesaian, ungkapan asal mesti dikurangkan kepada bentuk: a 1 (x)y" + a 0 (x)y = b(x). Contohnya, untuk y"-exp(x)=2*y ia akan menjadi y"-2 *y=exp(x) .

Teorem. Biarkan a 1 (x) , a 0 (x) , b(x) selanjar pada selang [α,β], a 1 ≠0 untuk ∀x∈[α,β]. Kemudian untuk mana-mana titik (x 0 , y 0), x 0 ∈[α,β], terdapat penyelesaian unik bagi persamaan yang memenuhi keadaan y(x 0) = y 0 dan ditakrifkan pada keseluruhan selang [α ,β].
Pertimbangkan persamaan pembezaan linear homogen a 1 (x)y"+a 0 (x)y=0.
Mengasingkan pembolehubah, kita dapat , atau, mengintegrasikan kedua-dua belah, Hubungan terakhir, dengan mengambil kira tatatanda exp(x) = e x , ditulis dalam bentuk

Mari kita cuba mencari penyelesaian kepada persamaan dalam dalam bentuk yang ditetapkan, di mana bukannya pemalar C fungsi C(x) digantikan, iaitu, dalam bentuk

Menggantikan penyelesaian ini kepada penyelesaian asal, selepas transformasi yang diperlukan yang kami perolehi Mengintegrasikan yang terakhir, kami ada

di mana C 1 ialah beberapa pemalar baharu. Menggantikan ungkapan yang terhasil untuk C(x), akhirnya kita memperoleh penyelesaian kepada persamaan linear asal
.

Contoh. Selesaikan persamaan y" + 2y = 4x. Pertimbangkan persamaan homogen yang sepadan y" + 2y = 0. Menyelesaikannya, kita dapat y = Ce -2 x. Kami kini sedang mencari penyelesaian kepada persamaan asal dalam bentuk y = C(x)e -2 x. Menggantikan y dan y" = C"(x)e -2 x - 2C(x)e -2 x ke dalam persamaan asal, kita mempunyai C"(x) = 4xe 2 x, dari mana C(x) = 2xe 2 x - e 2 x + C 1 dan y(x) = (2xe 2 x - e 2 x + C 1)e -2 x = 2x - 1 + C 1 e -2 x ialah penyelesaian umum bagi persamaan asal penyelesaian ini, y 1 (. x) = 2x-1 - pergerakan objek di bawah pengaruh daya b(x) = 4x, y 2 (x) = C 1 e -2 x -gerakan sendiri objek.

Contoh No. 2. Cari penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan tertib pertama y"+3 y tan(3x)=2 cos(3x)/sin 2 2x.
ini persamaan tak homogen. Mari kita buat perubahan pembolehubah: y=u v, y" = u"v + uv".
3u v tg(3x)+u v"+u" v = 2cos(3x)/sin 2 2x atau u(3v tg(3x)+v") + u" v= 2cos(3x)/sin 2 2x
Penyelesaian terdiri daripada dua peringkat:
1. u(3v tan(3x)+v") = 0
2. u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
1. Samakan u=0, cari penyelesaian untuk 3v tan(3x)+v" = 0
Mari kita tunjukkan dalam bentuk: v" = -3v tg(3x)

Mengintegrasikan, kami mendapat:

ln(v) = ln(cos(3x))
v = cos(3x)
2. Mengetahui v, Cari u daripada keadaan: u"v = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" cos(3x) = 2cos(3x)/sin 2 2x
u" = 2/sin 2 2x
Mengintegrasikan, kami mendapat:
Daripada keadaan y=u v, kita dapat:
y = u v = (C-cos(2x)/sin(2x)) cos(3x) atau y = C cos(3x)-cos(2x) cot(3x)

Persamaan pembezaan tertib pertama diselesaikan berkenaan dengan terbitan

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tertib pertama

Marilah kita mempunyai persamaan pembezaan tertib pertama diselesaikan berkenaan dengan derivatif:
.
Membahagikan persamaan ini dengan , pada , kita dapat persamaan bentuk:
,
mana .

Seterusnya, kita melihat sama ada persamaan ini tergolong dalam salah satu jenis yang disenaraikan di bawah. Jika tidak, maka kita akan menulis semula persamaan dalam bentuk pembezaan. Untuk melakukan ini, kami menulis dan mendarabkan persamaan dengan .
.

Kami memperoleh persamaan dalam bentuk pembezaan:
.
Seterusnya, kami melihat untuk melihat sama ada persamaan ini tergolong dalam salah satu jenis yang disenaraikan di bawah, dengan mengambil kira bahawa kami telah bertukar tempat.

Jika jenis tidak ditemui untuk persamaan ini, maka kita melihat sama ada ia adalah mungkin untuk memudahkan persamaan dengan penggantian mudah. Sebagai contoh, jika persamaannya ialah:
,
maka kita perasan bahawa .
.

Kemudian kita buat penggantian.

Selepas ini, persamaan akan mengambil bentuk yang lebih mudah:

;
.
Jika ini tidak membantu, maka kami cuba mencari faktor penyepaduan.
.

Persamaan boleh dipisahkan

Bahagikan mengikut dan sepadukan. Apabila kita mendapat:

Persamaan mengurangkan kepada persamaan boleh dipisahkan
,
Persamaan homogen
;
.
Kami menyelesaikan dengan penggantian:

di manakah fungsi .

Kemudian
;
.
Kami memisahkan pembolehubah dan menyepadukan.
;
.
Persamaan dikurangkan kepada homogen

Masukkan pembolehubah dan:

Kami memilih pemalar dan supaya istilah bebas hilang:

Hasilnya, kita memperoleh persamaan homogen dalam pembolehubah dan .

Persamaan homogen umum

Mari buat penggantian.
Kami memperoleh persamaan homogen dalam pembolehubah dan .
.
;
.
Persamaan pembezaan linear
.

Terdapat tiga kaedah untuk menyelesaikan persamaan linear.
2) Kaedah Bernoulli.

Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk produk dua fungsi dan pembolehubah:
,
Kita boleh memilih salah satu fungsi ini sewenang-wenangnya. Oleh itu, kami memilih mana-mana penyelesaian bukan sifar persamaan sebagai:
.
3) Kaedah variasi pemalar (Lagrange).

Di sini kita terlebih dahulu menyelesaikan persamaan homogen:

Penyelesaian umum persamaan homogen mempunyai bentuk:

di manakah pemalar. Seterusnya, kami menggantikan pemalar dengan fungsi yang bergantung pada pembolehubah:
.
Gantikan ke dalam persamaan asal. Akibatnya, kita memperoleh persamaan yang daripadanya kita tentukan .
;
.
Persamaan Bernoulli
.
Dengan penggantian, persamaan Bernoulli dikurangkan kepada persamaan linear.

Persamaan ini juga boleh diselesaikan menggunakan kaedah Bernoulli. Iaitu, kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk produk dua fungsi bergantung kepada pembolehubah:

Gantikan ke dalam persamaan asal: Kami memilih mana-mana penyelesaian bukan sifar persamaan sebagai: Setelah menentukan , kita memperoleh persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan untuk .

Persamaan Riccati
,
Ia tidak diselesaikan dalam
pandangan umum

. Penggantian
,
mana .

Persamaan Riccati dikurangkan kepada bentuk:
di mana malar; ;

.

Seterusnya, dengan penggantian:
.

ia dikurangkan kepada bentuk:

Sifat persamaan Riccati dan beberapa kes khas penyelesaiannya dibentangkan pada halaman
.
Persamaan pembezaan Riccati >>>
.
persamaan Jacobi
.
Selesaikan dengan penggantian:
.

Untuk mencari fungsi, cara yang paling mudah ialah kaedah pemilihan berurutan pembezaan. Untuk melakukan ini, gunakan formula:
;
;
;
.

Faktor penyepaduan

Jika persamaan pembezaan tertib pertama tidak boleh dikurangkan kepada mana-mana jenis yang disenaraikan, maka anda boleh cuba mencari faktor penyepaduan. Faktor penyepaduan ialah fungsi, apabila didarab dengannya, persamaan pembezaan menjadi persamaan dalam jumlah pembezaan. Persamaan pembezaan tertib pertama mempunyai bilangan faktor penyepaduan yang tidak terhingga. Walau bagaimanapun, kaedah biasa

Tidak ada cara untuk mencari faktor penyepaduan.

Persamaan tidak diselesaikan untuk terbitan y"

Persamaan yang boleh diselesaikan berkenaan dengan terbitan y"

Mula-mula anda perlu cuba menyelesaikan persamaan berkenaan dengan derivatif.

Jika boleh, persamaan boleh dikurangkan kepada salah satu jenis yang disenaraikan di atas.
,
Persamaan yang boleh difaktorkan Jika anda boleh memfaktorkan persamaan: maka tugas itu turun ke
;
;

;
penyelesaian yang konsisten
persamaan yang lebih mudah:
.
;
.
Kami percaya.

Kemudian atau .:
Seterusnya kita mengintegrasikan persamaan:
Akibatnya, kita memperoleh ungkapan pembolehubah kedua melalui parameter.
Lagi
;
.

persamaan am

atau

juga diselesaikan dalam bentuk parametrik. Untuk melakukan ini, anda perlu memilih fungsi supaya daripada persamaan asal anda boleh menyatakan atau melalui parameter.

Untuk menyatakan pembolehubah kedua melalui parameter, kami menyepadukan persamaan:

Persamaan diselesaikan untuk y

Persamaan Clairaut

Persamaan ini mempunyai penyelesaian umum

Persamaan Lagrange
Kami sedang mencari penyelesaian dalam bentuk parametrik. Kami menganggap di mana parameter.
Persamaan yang membawa kepada persamaan Bernoulli Persamaan ini dikurangkan kepada persamaan Bernoulli jika kita mencari penyelesaiannya dalam bentuk parametrik dengan memperkenalkan parameter dan membuat penggantian. Sastera terpakai:

V.V. Stepanov, Kursus persamaan pembezaan, "LKI", 2015.

N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Koleksi masalah pada

matematik yang lebih tinggi

fungsi dan terbitan separanya berkenaan dengan y adalah selanjar dalam beberapa domain D pada satah yang mengandungi beberapa titik, maka terdapat penyelesaian unik untuk persamaan ini

memenuhi syarat di

Teorem ini akan dibuktikan dalam Bab § 27. XVI.

Maksud geometri teorem ialah terdapat fungsi unik yang grafnya melalui titik tersebut

Daripada teorem yang baru dinyatakan ia berikutan bahawa persamaan mempunyai nombor tak terhingga pelbagai penyelesaian(contohnya, penyelesaian yang grafnya melalui titik penyelesaian lain yang grafnya melalui titik, dsb., jika hanya titik-titik ini terletak di kawasan

Keadaan apabila fungsi y mesti sama dengan nombor tertentu dipanggil keadaan awal. Ia sering ditulis dalam bentuk

Definisi 1. Penyelesaian umum bagi persamaan pembezaan tertib pertama ialah fungsi

yang bergantung pada satu pemalar arbitrari C dan memenuhi syarat berikut:

a) ia memenuhi persamaan pembezaan untuk sebarang nilai khusus pemalar C;

b) apa jua keadaan awal, adalah mungkin untuk mencari nilai supaya fungsi itu memenuhi syarat awal yang diberikan. Dalam kes ini, diandaikan bahawa nilai-nilai kepunyaan rantau variasi pembolehubah x dan y di mana syarat-syarat teorem kewujudan dan keunikan penyelesaian dipenuhi.

2. Dalam proses mencari penyelesaian umum kepada persamaan pembezaan, kita sering datang kepada hubungan bentuk

tidak dibenarkan mengenai y. Menyelesaikan hubungan ini untuk y, kita memperoleh penyelesaian umum. Walau bagaimanapun, nyatakan y daripada hubungan (2) dalam fungsi asas tidak selalu mungkin; dalam kes sedemikian penyelesaian umum dibiarkan tersirat. Kesamaan bentuk yang secara tersirat menentukan penyelesaian am dipanggil kamiran am bagi persamaan pembezaan.

Definisi 2. Penyelesaian tertentu ialah sebarang fungsi yang diperolehi daripada penyelesaian am jika pemalar arbitrari C ditambah kepada yang terakhir. nilai tertentu Hubungan itu dipanggil dalam kes ini kamiran separa persamaan.

Contoh 1. Untuk persamaan tertib pertama

penyelesaian umum akan menjadi keluarga fungsi; ini boleh disahkan dengan penggantian mudah ke dalam persamaan.

Mari kita cari penyelesaian tertentu yang memenuhi syarat awal berikut: apabila Menggantikan nilai-nilai ini ke dalam formula, kita memperoleh atau Oleh itu, penyelesaian tertentu yang diingini akan menjadi fungsi

Dari sudut pandangan geometri, kamiran am ialah keluarga lengkung pada satah koordinat, bergantung pada satu pemalar sewenang-wenang C (atau, seperti yang mereka katakan, pada satu parameter C).

Lengkung ini dipanggil lengkung kamiran bagi persamaan pembezaan tertentu. Kamiran separa sepadan dengan satu lengkung keluarga ini yang melalui beberapa titik yang diberikan kapal terbang.

Jadi, dalam contoh terakhir kamiran am secara geometri diwakili oleh keluarga hiperbola, dan kamiran tertentu yang ditakrifkan oleh keadaan awal yang ditentukan diwakili oleh salah satu hiperbola ini melalui titik dalam Rajah. 251 menunjukkan lengkung keluarga yang sepadan dengan beberapa nilai parameter: dsb.

Untuk membuat penaakulan lebih jelas, kita akan memanggil penyelesaian persamaan bukan sahaja fungsi yang memenuhi persamaan, tetapi juga lengkung kamiran yang sepadan. Dalam hal ini, kita akan bercakap, sebagai contoh, tentang penyelesaian yang melalui titik .

Komen. Persamaan tidak mempunyai penyelesaian yang melalui titik yang terletak pada paksi Rajah. 251), sejak sebelah kanan persamaan untuk tidak ditakrifkan dan, oleh itu, tidak berterusan.

Menyelesaikan atau, seperti yang sering mereka katakan, menyepadukan persamaan pembezaan bermakna:

a) cari penyelesaian am atau kamiran amnya (jika syarat awal tidak diberikan) atau

b) cari penyelesaian tertentu bagi persamaan yang memenuhi yang diberikan syarat awal(jika ada).

3. Mari kita berikan tafsiran geometri bagi persamaan pembezaan tertib pertama.

Biarkan persamaan pembezaan diberikan yang diselesaikan berkenaan dengan terbitan:

dan biarkan ada penyelesaian umum persamaan yang diberikan. Penyelesaian umum ini mentakrifkan keluarga lengkung kamiran pada satah

Persamaan (G) bagi setiap titik M dengan koordinat x dan y menentukan nilai terbitan, i.e. cerun tangen kepada lengkung kamiran yang melalui titik ini. Oleh itu, persamaan pembezaan (D) memberikan satu set arah atau, seperti yang mereka katakan, menentukan medan arah pada satah.

Oleh itu, dengan titik geometri Dari perspektif, tugas mengintegrasikan persamaan pembezaan adalah untuk mencari lengkung yang arah tangennya bertepatan dengan arah medan pada titik yang sepadan.

Untuk persamaan pembezaan (1), lokus titik di mana hubungan itu dipenuhi dipanggil isoclin bagi persamaan pembezaan ini.

Pada makna yang berbeza k kita memperolehi isoclin yang berbeza. Persamaan isocline yang sepadan dengan nilai k adalah jelas. Dengan membina keluarga isoclin, seseorang boleh membina keluarga lengkung kamiran. Mereka mengatakan bahawa, mengetahui isoclines, seseorang secara kualitatif boleh menentukan lokasi lengkung kamiran pada satah.