Biografi Ciri-ciri Analisis

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kompleks. Ungkapan, persamaan dan sistem persamaan dengan nombor kompleks

Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman dahulu dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Untuk kejelasan, mari selesaikan masalah berikut:

Kira \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jika \

Pertama sekali, mari kita perhatikan fakta bahawa satu nombor diwakili dalam bentuk algebra, yang lain - dalam bentuk trigonometri. Ia perlu dipermudahkan dan jenis seterusnya

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

Ungkapan \ mengatakan bahawa, pertama sekali, kami melakukan pendaraban dan peningkatan kepada kuasa ke-10 mengikut formula Moivre. Formula ini dirumuskan untuk bentuk trigonometri nombor kompleks. Kita mendapatkan:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Mematuhi peraturan untuk mendarab nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, kami akan melakukan perkara berikut:

Dalam kes kami:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

Menjadikan pecahan \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] betul, kami membuat kesimpulan bahawa adalah mungkin untuk "memutar" 4 pusingan \[(8\pi rad.):\ ]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]

Jawapan: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Persamaan ini boleh diselesaikan dengan cara lain, yang bermuara kepada membawa nombor ke-2 ke dalam bentuk algebra, dan kemudian melakukan pendaraban dalam bentuk algebra, terjemahkan hasilnya ke dalam bentuk trigonometri dan gunakan formula De Moivre:

Di manakah saya boleh menyelesaikan sistem persamaan dengan nombor kompleks dalam talian?

Anda boleh menyelesaikan sistem persamaan di laman web kami https: // tapak. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di laman web kami. Dan jika anda mempunyai sebarang soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.

Permohonan

Penyelesaian sebarang jenis persamaan dalam talian ke tapak untuk menyatukan bahan yang dipelajari oleh pelajar dan pelajar sekolah. Menyelesaikan persamaan dalam talian. Persamaan dalam talian. Terdapat jenis persamaan algebra, parametrik, transendental, fungsi, pembezaan dan lain-lain. Sesetengah kelas persamaan mempunyai penyelesaian analitikal, yang mudah kerana ia bukan sahaja memberikan nilai tepat punca, tetapi membolehkan anda menulis penyelesaian dalam bentuk formula yang mungkin termasuk parameter. Ungkapan analitik membolehkan bukan sahaja mengira akar, tetapi untuk menganalisis kewujudannya dan bilangannya bergantung pada nilai parameter, yang selalunya lebih penting untuk permohonan praktikal daripada nilai akar tertentu. Penyelesaian persamaan dalam talian. Persamaan dalam talian. Penyelesaian persamaan adalah tugas mencari nilai-nilai seperti hujah-hujah yang kesamaan ini dicapai. Syarat tambahan (integer, nyata, dsb.) boleh dikenakan ke atas kemungkinan nilai hujah. Penyelesaian persamaan dalam talian. Persamaan dalam talian. Anda boleh menyelesaikan persamaan dalam talian serta-merta dan dengan ketepatan tinggi hasil. Argumen bagi fungsi yang diberikan (kadangkala dipanggil "pembolehubah") dalam kes persamaan dipanggil "tidak diketahui". Nilai-nilai yang tidak diketahui yang mana kesamaan ini dicapai dipanggil penyelesaian atau punca persamaan yang diberikan. Akar dikatakan memuaskan persamaan ini. Menyelesaikan persamaan dalam talian bermakna mencari set semua penyelesaiannya (akar) atau membuktikan bahawa tiada punca. Penyelesaian persamaan dalam talian. Persamaan dalam talian. Setara atau setara dipanggil persamaan, set punca yang bertepatan. Setara juga dianggap persamaan yang tidak mempunyai punca. Persamaan persamaan mempunyai sifat simetri: jika satu persamaan bersamaan dengan persamaan yang lain, maka persamaan kedua adalah bersamaan dengan yang pertama. Persamaan persamaan mempunyai sifat transitiviti: jika satu persamaan bersamaan dengan yang lain, dan yang kedua bersamaan dengan yang ketiga, maka persamaan pertama bersamaan dengan yang ketiga. Sifat kesetaraan persamaan memungkinkan untuk menjalankan transformasi dengan mereka, yang berdasarkan kaedah untuk menyelesaikannya. Penyelesaian persamaan dalam talian. Persamaan dalam talian. Tapak ini akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian. Persamaan yang penyelesaian analitiknya diketahui termasuk persamaan algebra, tidak lebih tinggi daripada darjah keempat: persamaan linear, persamaan kuadratik, persamaan padu dan persamaan darjah keempat. Persamaan algebra darjah lebih tinggi dalam kes am tidak mempunyai penyelesaian analitikal, walaupun sebahagian daripadanya boleh dikurangkan kepada persamaan darjah yang lebih rendah. Persamaan yang merangkumi fungsi transendental dipanggil transendental. Antaranya, penyelesaian analitik diketahui oleh sesetengah pihak persamaan trigonometri, sejak sifar fungsi trigonometri terkenal. Dalam kes umum, apabila penyelesaian analitik tidak dijumpai, kaedah berangka digunakan. Kaedah Berangka tidak memberikan penyelesaian yang tepat, tetapi hanya membenarkan menyempitkan selang di mana akar terletak kepada yang telah ditetapkan tetapkan nilai. Menyelesaikan persamaan dalam talian.. Persamaan dalam talian.. Daripada persamaan dalam talian, kami akan membentangkan bagaimana bentuk ungkapan yang sama pergantungan linear dan bukan sahaja di sepanjang tangen lurus, tetapi juga pada titik infleksi graf. Kaedah ini amat diperlukan pada setiap masa dalam kajian subjek. Selalunya berlaku bahawa penyelesaian persamaan mendekati nilai akhir dengan cara nombor tak terhingga dan menulis vektor. Ia adalah perlu untuk menyemak data awal dan ini adalah intipati tugas. Jika tidak, keadaan setempat ditukar kepada formula. Penyongsangan garis lurus dari fungsi yang diberikan, yang mana kalkulator persamaan akan mengira tanpa banyak kelewatan dalam pelaksanaan, keistimewaan ruang akan berfungsi sebagai jaringan. Ia akan mengenai pencapaian pelajar dalam persekitaran saintifik. Walau bagaimanapun, seperti semua di atas, ia akan membantu kami dalam proses mencari, dan apabila anda menyelesaikan persamaan sepenuhnya, kemudian simpan jawapan yang terhasil di hujung segmen garis lurus. Garisan dalam ruang bersilang pada satu titik, dan titik ini dipanggil bersilang dengan garis. Selang pada garisan ditandakan seperti yang diberikan sebelum ini. Jawatan tertinggi mengenai pengajian matematik akan diterbitkan. Berikan nilai argumen dari parametrik permukaan yang diberikan dan menyelesaikan persamaan dalam talian akan dapat menggariskan prinsip panggilan fungsi produktif. Jalur Möbius, atau dipanggil infiniti, kelihatan seperti angka lapan. Ini adalah permukaan sebelah, bukan dua muka. Mengikut prinsip yang diketahui semua orang, kami akan menerima secara objektif persamaan linear untuk penetapan asas sebagaimana adanya dan dalam bidang pengajian. Hanya dua nilai argumen yang diberikan berturut-turut dapat mendedahkan arah vektor. Untuk mengandaikan bahawa penyelesaian yang berbeza bagi persamaan dalam talian adalah lebih daripada sekadar menyelesaikan ia bermakna mendapatkan versi lengkap invarian pada output. Tanpa pendekatan bersepadu pelajar sukar untuk belajar bahan ini. Seperti sebelum ini, untuk setiap kes khas, kalkulator persamaan dalam talian kami yang mudah dan pintar akan membantu semua orang dalam masa yang sukar, kerana anda hanya perlu menentukan parameter input dan sistem akan mengira jawapan itu sendiri. Sebelum kita mula memasukkan data, kita memerlukan alat input, yang boleh dilakukan tanpa banyak kesukaran. Bilangan setiap skor tindak balas akan menjadi persamaan kuadratik yang membawa kepada kesimpulan kami, tetapi ini tidak begitu mudah dilakukan, kerana ia adalah mudah untuk membuktikan sebaliknya. Teori ini, kerana ciri-cirinya, tidak disokong pengetahuan praktikal. Untuk melihat kalkulator pecahan pada peringkat penerbitan jawapan bukanlah tugas yang mudah dalam matematik, kerana alternatif menulis nombor pada set meningkatkan pertumbuhan fungsi. Walau bagaimanapun, adalah tidak betul untuk tidak mengatakan tentang latihan pelajar, jadi kami akan menyatakan setiap satu sebanyak yang perlu dilakukan. Persamaan padu yang ditemui sebelum ini akan menjadi hak milik domain definisi, dan mengandungi ruang nilai berangka, serta pembolehubah simbolik. Setelah mempelajari atau menghafal teorem, pelajar kami akan membuktikan diri mereka hanya dengan sisi yang lebih baik dan kami akan gembira untuk mereka. Berbeza dengan set persilangan medan, persamaan dalam talian kami diterangkan oleh satah gerakan sepanjang pendaraban dua dan tiga garis gabungan berangka. Satu set dalam matematik tidak ditakrifkan secara unik. Penyelesaian terbaik, menurut pelajar, adalah ungkapan bertulis yang disiapkan hingga akhir. Seperti yang dikatakan bahasa saintifik, abstraksi ungkapan simbolik tidak termasuk dalam keadaan, tetapi penyelesaian persamaan memberikan hasil yang tidak jelas dalam semua kes yang diketahui. Tempoh sesi guru adalah berdasarkan keperluan dalam tawaran ini. Analisis menunjukkan keperluan untuk semua teknik pengiraan dalam banyak bidang, dan jelas sekali bahawa kalkulator persamaan adalah alat yang sangat diperlukan dalam tangan pelajar yang berbakat. Pendekatan yang setia terhadap kajian matematik menentukan kepentingan pandangan arah yang berbeza. Anda ingin menetapkan salah satu teorem utama dan menyelesaikan persamaan dengan cara sedemikian, bergantung pada jawapan yang akan ada keperluan selanjutnya untuk aplikasinya. Analitis dalam bidang ini semakin mendapat momentum. Mari kita mulakan dari awal dan dapatkan formula. Setelah menembusi tahap peningkatan fungsi, garis tangen pada titik infleksi semestinya akan membawa kepada fakta bahawa menyelesaikan persamaan dalam talian akan menjadi salah satu aspek utama dalam membina graf yang sama daripada hujah fungsi. Pendekatan amatur berhak diguna pakai sekiranya syarat ini tidak bercanggah dengan kesimpulan pelajar. Ia adalah subtugas yang meletakkan analisis keadaan matematik sebagai persamaan linear dalam domain sedia ada definisi objek yang dibawa ke latar belakang. Mengimbangi ke arah ortogonal saling mengurangkan kelebihan yang bersendirian nilai mutlak. Modulo, menyelesaikan persamaan dalam talian memberikan bilangan penyelesaian yang sama, jika anda membuka kurungan terlebih dahulu dengan tanda tambah, dan kemudian dengan tanda tolak. Dalam kes ini, terdapat dua kali lebih banyak penyelesaian, dan hasilnya akan lebih tepat. Kalkulator persamaan dalam talian yang stabil dan betul adalah kejayaan dalam mencapai matlamat yang dimaksudkan dalam tugasan yang ditetapkan oleh guru. Kaedah yang Diperlukan nampaknya boleh dipilih kerana perbezaan ketara dalam pandangan saintis hebat. Persamaan kuadratik yang terhasil menerangkan lengkung garis, yang dipanggil parabola, dan tanda akan menentukan kecembungannya dalam sistem segi empat sama koordinat. Daripada persamaan kita memperoleh kedua-dua diskriminasi dan punca itu sendiri mengikut teorem Vieta. Ia adalah perlu untuk membentangkan ungkapan sebagai pecahan wajar atau tidak wajar dan menggunakan kalkulator pecahan pada peringkat pertama. Bergantung pada ini, pelan untuk pengiraan kami selanjutnya akan dibentuk. Matematik di pendekatan teori berguna pada setiap peringkat. Kami pasti akan membentangkan hasilnya sebagai persamaan kubik, kerana kami akan menyembunyikan akarnya dalam ungkapan ini untuk memudahkan tugas untuk pelajar di universiti. Sebarang kaedah adalah baik jika ia sesuai untuk analisis cetek. Tambahan operasi aritmetik tidak akan membawa kepada kesilapan pengiraan. Tentukan jawapan dengan ketepatan yang diberikan. Menggunakan penyelesaian persamaan, mari kita hadapinya - mencari pembolehubah bebas daripada fungsi tertentu tidak begitu mudah, terutamanya semasa tempoh kajian garis selari pada infiniti. Memandangkan pengecualian, keperluannya sangat jelas. Perbezaan polariti tidak jelas. Daripada pengalaman mengajar di institut, guru kami mengambil pengajaran utama, yang mana persamaan dikaji dalam talian dalam erti kata penuh matematik. Di sini ia adalah mengenai usaha yang lebih tinggi dan kemahiran khas dalam aplikasi teori. Memihak kepada kesimpulan kami, seseorang tidak sepatutnya melihat melalui prisma. Sehingga baru-baru ini, adalah dipercayai bahawa set tertutup berkembang pesat di kawasan itu sebagaimana adanya, dan penyelesaian persamaan hanya perlu disiasat. Pada peringkat pertama, kami tidak mengambil kira semua pilihan yang mungkin, tetapi pendekatan sedemikian adalah lebih wajar berbanding sebelum ini. Tindakan tambahan dengan tanda kurung mewajarkan beberapa kemajuan di sepanjang paksi ordinat dan absis, yang tidak boleh diabaikan oleh mata kasar. Terdapat titik infleksi dalam erti kata peningkatan berkadar luas bagi sesuatu fungsi. Sekali lagi, kami buktikan bagaimana syarat yang perlu akan digunakan sepanjang keseluruhan selang menurun satu atau satu lagi kedudukan menurun vektor. Dalam ruang terkurung, kami akan memilih pembolehubah daripada blok awal skrip kami. Sistem yang dibina sebagai asas pada tiga vektor bertanggungjawab untuk ketiadaan momen daya utama. Walau bagaimanapun, kalkulator persamaan menyimpulkan dan membantu dalam mencari semua sebutan bagi persamaan yang dibina, di atas permukaan dan di sepanjang garis selari. Mari kita terangkan bulatan di sekeliling titik permulaan. Oleh itu, kita akan mula bergerak ke atas di sepanjang garis keratan, dan tangen akan menerangkan bulatan sepanjang keseluruhannya, akibatnya kita akan mendapat lengkung, yang dipanggil involute. By the way, mari kita bercakap tentang lengkung ini sedikit sejarah. Hakikatnya ialah dari segi sejarah dalam matematik tidak ada konsep matematik itu sendiri dalam erti kata tulen seperti sekarang. Sebelum ini, semua saintis terlibat dalam satu punca biasa iaitu sains. Kemudian, beberapa abad kemudian, apabila dunia sains dipenuhi dengan sejumlah besar maklumat, manusia masih memilih banyak disiplin. Mereka masih kekal tidak berubah. Namun setiap tahun, saintis di seluruh dunia cuba membuktikan bahawa sains tidak terhad, dan anda tidak boleh menyelesaikan persamaan melainkan anda mempunyai pengetahuan tentang bidang itu. Sains semula jadi. Mungkin tidak mungkin untuk menamatkannya. Memikirkannya adalah sia-sia seperti memanaskan udara di luar. Mari cari selang di mana hujah, dengan nilai positifnya, menentukan modulus nilai dalam arah yang meningkat secara mendadak. Reaksi akan membantu untuk mencari sekurang-kurangnya tiga penyelesaian, tetapi perlu untuk menyemaknya. Mari kita mulakan dengan fakta bahawa kita perlu menyelesaikan persamaan dalam talian menggunakan perkhidmatan unik laman web kami. Mari kita masukkan kedua-dua bahagian persamaan yang diberikan, tekan butang "SOLVE" dan dapatkan jawapan yang tepat dalam masa beberapa saat sahaja. AT majlis-majlis khas mari kita ambil buku matematik dan semak semula jawapan kita, iaitu, mari kita lihat jawapan sahaja dan semuanya akan menjadi jelas. Projek yang sama akan terbang keluar pada parallelepiped berlebihan tiruan. Terdapat segiempat selari dengannya sendiri sisi selari, dan ia menerangkan banyak prinsip dan pendekatan untuk pembelajaran hubungan ruang proses menaik pengumpulan ruang berongga dalam formula semula jadi. Persamaan linear tidak jelas menunjukkan pergantungan pembolehubah yang dikehendaki dengan sepunya kami masa ini masa dengan keputusan dan ia adalah perlu untuk entah bagaimana menarik balik dan membawa pecahan tak wajar kepada kes yang tidak remeh. Kami menandakan sepuluh titik pada garis lurus dan melukis lengkung melalui setiap titik masuk diberi arahan, dan membonjol. Tanpa banyak kesukaran, kalkulator persamaan kami akan membentangkan ungkapan dalam bentuk sedemikian sehingga pemeriksaannya untuk kesahihan peraturan akan jelas walaupun pada permulaan rakaman. Sistem perwakilan khas kestabilan untuk ahli matematik di tempat pertama, melainkan jika disediakan sebaliknya oleh formula. Kami akan menjawabnya dengan pembentangan terperinci laporan mengenai keadaan isomorfik sistem plastik badan dan penyelesaian persamaan dalam talian akan menerangkan pergerakan setiap titik bahan dalam sistem ini. Pada peringkat kajian yang mendalam, adalah perlu untuk menjelaskan secara terperinci persoalan penyongsangan sekurang-kurangnya lapisan bawah ruang. Dalam susunan menaik pada bahagian ketakselanjaran fungsi, kami akan menggunakan kaedah umum penyelidik yang cemerlang, dengan cara itu, rakan senegara kami, dan kami akan memberitahu di bawah tentang kelakuan pesawat. Disebabkan oleh ciri-ciri kukuh fungsi yang diberikan secara analitik, kami hanya menggunakan kalkulator persamaan dalam talian untuk tujuan yang dimaksudkan dalam had kuasa yang diperolehi. Berhujah lebih lanjut, kami menghentikan tinjauan kami tentang kehomogenan persamaan itu sendiri, iaitu, sebelah kanannya disamakan dengan sifar. Sekali lagi, kami akan mengesahkan ketepatan keputusan kami dalam matematik. Untuk mengelak daripada mendapat penyelesaian remeh Mari buat beberapa pelarasan untuk keadaan awal mengenai masalah kestabilan bersyarat sistem. Mari kita susun persamaan kuadratik, yang mana kita menulis dua entri menggunakan formula yang terkenal dan cari akar negatif. Jika satu punca melebihi punca kedua dan ketiga sebanyak lima unit, maka dengan membuat perubahan pada hujah utama, kami dengan itu memesongkan keadaan awal submasalah. Pada terasnya, sesuatu yang luar biasa dalam matematik sentiasa boleh diterangkan dengan ketepatan seratus nilai. nombor positif. Kalkulator pecahan adalah beberapa kali lebih baik daripada rakan sejawatannya pada sumber yang serupa pada saat terbaik beban pelayan. Pada permukaan vektor halaju yang tumbuh di sepanjang paksi-y, kami melukis tujuh garisan yang bengkok ke arah yang bertentangan antara satu sama lain. Kebolehbandingan hujah fungsi yang ditetapkan mendahului pembilang baki pemulihan. Dalam matematik, fenomena ini boleh diwakili melalui persamaan padu dengan pekali khayalan, serta dalam kemajuan bipolar garis menurun. Mata kritikal perbezaan suhu dalam banyak makna dan kemajuannya menerangkan proses penguraian kompleks fungsi pecahan untuk pengganda. Jika anda diberitahu untuk menyelesaikan persamaan, jangan tergesa-gesa untuk melakukannya minit ini, pasti terlebih dahulu menilai keseluruhan pelan tindakan, dan kemudian mengambil pendekatan yang betul. Pasti ada faedahnya. Kemudahan dalam bekerja adalah jelas, dan dalam matematik ia adalah sama. Selesaikan persamaan dalam talian. Semua persamaan dalam talian adalah sejenis tertentu kemasukan nombor atau parameter dan pembolehubah yang akan ditakrifkan. Kira pembolehubah ini, iaitu, cari nilai atau selang tertentu bagi satu set nilai yang identitinya akan dipenuhi. Syarat awal dan akhir bergantung secara langsung. AT keputusan bersama persamaan biasanya termasuk beberapa pembolehubah dan pemalar, dengan menetapkan yang mana, kita akan mendapat seluruh keluarga penyelesaian untuk pernyataan masalah yang diberikan. Secara umum, ini mewajarkan usaha yang dilaburkan ke arah meningkatkan kefungsian kiub ruang dengan sisi yang sama dengan 100 sentimeter. Anda boleh menggunakan teorem atau lemma pada mana-mana peringkat membina jawapan. Tapak ini secara beransur-ansur mengeluarkan kalkulator persamaan, jika perlu, pada sebarang selang penjumlahan produk menunjukkan nilai terkecil. Dalam separuh kes, bola seperti itu berongga, tidak masuk lebih memenuhi keperluan untuk menetapkan jawapan perantaraan. Sekurang-kurangnya pada paksi-y ke arah perwakilan vektor menurun, perkadaran ini sudah pasti akan menjadi lebih optimum daripada ungkapan sebelumnya. Pada jam apabila fungsi linear akan menjadi analisis mata penuh, kami akan, sebenarnya, mengumpulkan semua nombor kompleks dan ruang satah bipolar kami. Dengan menggantikan pembolehubah ke dalam ungkapan yang terhasil, anda akan menyelesaikan persamaan secara berperingkat dan memberikan jawapan yang paling terperinci dengan ketepatan yang tinggi. Sekali lagi, menyemak tindakan anda dalam matematik akan menjadi satu bentuk yang baik di pihak pelajar. Perkadaran dalam nisbah pecahan menetapkan integriti keputusan untuk semua kawasan penting aktiviti vektor sifar. Perkara remeh disahkan pada akhir tindakan yang dilakukan. Dengan set tugasan yang mudah, pelajar tidak akan menghadapi kesukaran jika mereka menyelesaikan persamaan dalam talian dalam tempoh masa yang sesingkat mungkin, tetapi jangan lupa tentang semua jenis peraturan. Set subset bersilang dalam kawasan tatatanda penumpuan. AT majlis yang berbeza produk tidak difaktorkan secara tersilap. Anda akan dibantu untuk menyelesaikan persamaan dalam talian di bahagian pertama kami tentang asas teknik matematik untuk bahagian penting untuk pelajar di universiti dan sekolah teknik. Menjawab contoh tidak akan membuat kita menunggu selama beberapa hari, kerana proses interaksi terbaik analisis vektor dengan penemuan penyelesaian berurutan telah dipatenkan pada awal abad yang lalu. Ternyata usaha untuk berhubung dengan pasukan sekitar tidak sia-sia, sesuatu yang lain jelas tertunggak di tempat pertama. Beberapa generasi kemudian, saintis di seluruh dunia percaya bahawa matematik adalah ratu sains. Sama ada jawapan kiri atau jawapan betul, istilah lengkap mesti ditulis dalam tiga baris, kerana dalam kes kami kita akan bercakap pasti hanya tentang analisis vektor sifat matriks. Persamaan tak linear dan linear, bersama-sama dengan persamaan biquadratik, menduduki jawatan istimewa dalam buku kami tentang amalan terbaik pengiraan trajektori pergerakan dalam ruang semua mata material sistem tertutup. Bantu kami menghidupkan idea itu analisis linear produk titik tiga vektor berturut-turut. Pada akhir setiap tetapan, tugasan menjadi lebih mudah dengan memperkenalkan pengecualian berangka yang dioptimumkan dalam konteks tindanan ruang berangka yang dilakukan. Penghakiman yang berbeza tidak akan menentang jawapan yang terdapat dalam bentuk bebas segi tiga dalam bulatan. Sudut antara dua vektor mengandungi peratusan margin yang diperlukan dan menyelesaikan persamaan dalam talian sering mendedahkan akar biasa persamaan yang bertentangan dengan keadaan awal. Pengecualian memainkan peranan sebagai pemangkin dalam keseluruhan proses yang tidak dapat dielakkan untuk mencari penyelesaian positif dalam bidang definisi fungsi. Jika tidak dikatakan bahawa anda tidak boleh menggunakan komputer, maka kalkulator persamaan dalam talian adalah tepat untuk tugas sukar anda. Cukup sekadar memasukkan data bersyarat anda dalam format yang betul dan pelayan kami akan mengeluarkan respons yang terhasil sepenuhnya dalam masa yang sesingkat mungkin. Fungsi eksponen meningkat lebih cepat daripada linear. Ini dibuktikan oleh Talmud kesusasteraan perpustakaan yang bijak. Akan melakukan pengiraan dalam pengertian umum, seperti yang akan dilakukan oleh persamaan kuadratik dengan tiga pekali kompleks. Parabola di bahagian atas separuh satah mencirikan gerakan selari rectilinear di sepanjang paksi titik. Di sini adalah bernilai menyebut perbezaan potensi dalam ruang kerja badan. Sebagai balasan untuk hasil suboptimum, kalkulator pecahan kami berhak menduduki kedudukan pertama dalam penarafan matematik semakan program berfungsi di bahagian belakang. Kemudahan penggunaan perkhidmatan ini dihargai oleh berjuta-juta pengguna Internet. Jika anda tidak tahu cara menggunakannya, maka kami berbesar hati untuk membantu anda. Kami juga ingin menyerlahkan dan menyerlahkan persamaan padu daripada beberapa tugasan murid sekolah rendah, apabila anda perlu mencari puncanya dengan cepat dan memplot graf fungsi pada satah. darjat yang lebih tinggi pembiakan adalah salah satu yang paling sukar masalah matematik di institut dan jumlah jam yang mencukupi diperuntukkan untuk pengajiannya. Seperti semua persamaan linear, persamaan kita tidak terkecuali kepada banyak peraturan objektif, lihat di bawah titik yang berbeza penglihatan, dan ia akan menjadi mudah dan mencukupi untuk menetapkan keadaan awal. Selang kenaikan bertepatan dengan selang kecembungan fungsi. Penyelesaian persamaan dalam talian. Kajian teori adalah berdasarkan persamaan dalam talian dari banyak bahagian dalam kajian disiplin teras. Disebabkan pendekatan ini, tugas yang tidak pasti, adalah sangat mudah untuk membentangkan penyelesaian persamaan dalam bentuk yang telah ditetapkan dan bukan sahaja membuat kesimpulan, tetapi juga meramalkan hasil penyelesaian positif tersebut. belajar bidang subjek akan membantu kami berkhidmat dengan sepenuhnya tradisi terbaik matematik, seperti kebiasaan di Timur. Pada saat terbaik selang masa, tugasan yang serupa telah didarab dengan pengganda sepunya sepuluh kali ganda. Dengan banyaknya pendaraban berbilang pembolehubah dalam kalkulator persamaan, ia mula mendarab dengan kualiti, dan bukan dengan pembolehubah kuantitatif, seperti nilai jisim atau berat badan. Untuk mengelakkan kes ketidakseimbangan sistem bahan, agak jelas kepada kita terbitan penukar tiga dimensi pada penumpuan remeh bagi matriks matematik tidak merosot. Selesaikan tugas dan selesaikan persamaan dalam koordinat yang diberikan, kerana output tidak diketahui terlebih dahulu, serta semua pembolehubah yang termasuk dalam masa pasca ruang tidak diketahui. Untuk masa yang singkat, tolak faktor sepunya daripada kurungan dan bahagikan dengan yang terbesar pembahagi biasa kedua-dua bahagian terlebih dahulu. Dari bawah subset tertutup yang terhasil daripada ekstrak nombor cara terperinci tiga puluh tiga mata berturut-turut dalam tempoh yang singkat. Setakat dalam yang terbaik adalah mungkin bagi setiap pelajar untuk menyelesaikan persamaan dalam talian, melihat ke hadapan, katakan satu perkara penting, tetapi penting, tanpanya kita tidak akan mudah untuk hidup pada masa hadapan. Pada abad yang lalu, saintis hebat itu melihat beberapa keteraturan dalam teori matematik. Dalam amalan, ia ternyata tidak cukup tanggapan yang diharapkan peristiwa. Walau bagaimanapun, pada dasarnya, penyelesaian persamaan dalam talian ini membantu meningkatkan pemahaman dan persepsi pendekatan holistik terhadap kajian dan penyatuan praktikal bahan teori yang diliputi oleh pelajar. Ia lebih mudah untuk melakukan ini semasa waktu belajar anda.

=

AGENSI PERSEKUTUAN UNTUK PENDIDIKAN

INSTITUSI PENDIDIKAN NEGERI

PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI

"UNIVERSITI PEDAGOGI NEGERI VORONEZH"

KERUSI AGLEBRA DAN GEOMETRI

Nombor kompleks

(tugasan terpilih)

KERJA KELAYAKAN AKHIR

kepakaran 050201.65 matematik

(dengan kepakaran tambahan 050202.65 informatika)

Diisi oleh: murid tahun 5

fizikal dan matematik

fakulti

Penasihat saintifik:

VORONEZH - 2008


1. Pengenalan……………………………………………………...…………..…

2. Nombor kompleks (masalah terpilih)

2.1. Nombor kompleks dalam bentuk algebra …………………………….

2.2. Tafsiran geometri nombor kompleks…………..…

2.3. Bentuk trigonometri nombor kompleks

2.4. Aplikasi teori nombor kompleks kepada penyelesaian persamaan darjah ke-3 dan ke-4………..………………………………………………………………

2.5. Nombor kompleks dan parameter………………………………………………….

3. Kesimpulan………………………………………………………………………….

4. Senarai rujukan……………………………………………………………………………………


1. Pengenalan

Dalam program matematik kursus sekolah teori nombor diperkenalkan pada contoh set nombor asli, integer, rasional, tidak rasional, i.e. pada set nombor nyata yang imejnya memenuhi keseluruhan garis nombor. Tetapi sudah di gred ke-8 tidak ada stok nombor nyata yang mencukupi, menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif. Oleh itu, adalah perlu untuk menambah stok nombor nyata dengan nombor kompleks yang punca kuasa duanya nombor negatif mempunyai makna.

Memilih topik "Nombor Kompleks" sebagai tema pengijazahan saya kerja yang layak, terletak pada hakikat bahawa konsep nombor kompleks mengembangkan pengetahuan pelajar tentang sistem berangka, tentang menyelesaikan kelas masalah yang luas bagi kandungan algebra dan geometri, tentang penyelesaian persamaan algebra mana-mana darjah dan tentang menyelesaikan masalah dengan parameter.

Dalam kerja tesis ini, penyelesaian 82 masalah dipertimbangkan.

Bahagian pertama bahagian utama "Nombor Kompleks" mengandungi penyelesaian kepada masalah dengan nombor kompleks dalam bentuk algebra, operasi tambah, tolak, darab, bahagi, operasi konjugasi untuk nombor kompleks dalam bentuk algebra, darjah unit khayalan, modulus nombor kompleks ditakrifkan, dan peraturan pengekstrakan juga dinyatakan. punca kuasa dua daripada nombor kompleks.

Dalam bahagian kedua, masalah diselesaikan untuk tafsiran geometri nombor kompleks dalam bentuk titik atau vektor satah kompleks.

Bahagian ketiga berkaitan dengan operasi pada nombor kompleks dalam bentuk trigonometri. Formula digunakan: De Moivre dan pengekstrakan punca daripada nombor kompleks.

Bahagian keempat dikhaskan untuk menyelesaikan persamaan darjah ke-3 dan ke-4.

Apabila menyelesaikan masalah bahagian terakhir "Nombor dan Parameter Kompleks", maklumat yang diberikan dalam bahagian sebelumnya digunakan dan disatukan. Satu siri masalah bab ini ditumpukan kepada definisi keluarga garisan dalam satah kompleks, diberikan oleh persamaan(ketaksamaan) dengan parameter. Dalam sebahagian daripada latihan, anda perlu menyelesaikan persamaan dengan parameter (di atas medan C). Terdapat tugas di mana pembolehubah kompleks secara serentak memenuhi beberapa syarat. Satu ciri untuk menyelesaikan masalah bahagian ini ialah pengurangan banyak daripada mereka untuk menyelesaikan persamaan (ketaksamaan, sistem) darjah kedua, tidak rasional, trigonometri dengan parameter.

Ciri pembentangan bahan setiap bahagian ialah input awal asas teori, dan kemudiannya aplikasi praktikal mereka dalam menyelesaikan masalah.

Pada akhirnya tesis senarai literatur terpakai dibentangkan. Kebanyakannya agak terperinci dan boleh diakses. bahan teori, penyelesaian beberapa masalah dipertimbangkan dan tugas amali untuk penyelesaian bebas. Perhatian istimewa Saya ingin merujuk kepada sumber seperti:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Nombor kompleks dan aplikasinya: Buku teks. . bahan panduan belajar disampaikan dalam bentuk syarahan dan latihan amali.

2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Tugasan Pilihan dan teorem matematik asas. Aritmetik dan Algebra. Buku ini mengandungi 320 masalah berkaitan algebra, aritmetik dan teori nombor. Mengikut sifat mereka, tugasan ini berbeza dengan ketara daripada tugas sekolah standard.


2. Nombor kompleks (masalah terpilih)

2.1. Nombor kompleks dalam bentuk algebra

Penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan fizik dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan algebra, i.e. persamaan bentuk

,

dengan a0 , a1 , …, an ialah nombor nyata. Oleh itu, kajian persamaan algebra adalah salah satu daripada isu kritikal dalam matematik. Sebagai contoh, persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif tidak mempunyai punca sebenar. Persamaan yang paling mudah ialah persamaan

.

Agar persamaan ini mempunyai penyelesaian, adalah perlu untuk mengembangkan set nombor nyata dengan menambah padanya punca persamaan.

.

Mari kita nyatakan akar ini sebagai

. Oleh itu, mengikut takrifan, , atau ,

Akibatnya,

. dipanggil unit khayalan. Dengan bantuannya dan dengan bantuan sepasang nombor nyata, ungkapan bentuk terbentuk.

Ungkapan yang terhasil dipanggil nombor kompleks kerana ia mengandungi kedua-dua bahagian nyata dan khayalan.

Jadi, nombor kompleks dipanggil ungkapan bentuk

, dan ialah nombor nyata, dan merupakan beberapa simbol yang memenuhi syarat . Nombor itu dipanggil bahagian nyata nombor kompleks, dan nombor itu dipanggil bahagian khayalannya. Simbol , digunakan untuk menamakannya.

Nombor kompleks borang

adalah nombor nyata dan, akibatnya, set nombor kompleks mengandungi set nombor nyata.

Nombor kompleks borang

dipanggil khayalan semata-mata. Dua nombor kompleks bentuk dan dipanggil sama jika bahagian nyata dan khayalannya adalah sama, i.e. jika persamaan , .

Notasi algebra bagi nombor kompleks memungkinkan untuk melakukan operasi padanya mengikut peraturan biasa algebra.

Untuk menyelesaikan masalah dengan nombor kompleks, anda perlu memahami definisi asas. tugas utama artikel ulasan ini - untuk menerangkan apa itu nombor kompleks, dan mengemukakan kaedah untuk menyelesaikan masalah asas dengan nombor kompleks. Oleh itu, nombor kompleks ialah nombor bentuk z = a + bi, di mana a, b- nombor nyata, yang masing-masing dipanggil bahagian nyata dan khayalan nombor kompleks, dan menandakan a = Re(z), b=Im(z).
i dipanggil unit khayalan. i 2 \u003d -1. Khususnya, sebarang nombor nyata boleh dianggap kompleks: a = a + 0i, di mana a adalah sebenar. Jika a = 0 dan b ≠ 0, maka nombor itu dipanggil khayalan semata-mata.

Kami kini memperkenalkan operasi pada nombor kompleks.
Pertimbangkan dua nombor kompleks z 1 = a 1 + b 1 i dan z 2 = a 2 + b 2 i.

Pertimbangkan z = a + bi.

Set nombor kompleks memanjangkan set nombor nyata, yang seterusnya memanjangkan set nombor rasional dan lain-lain. Rangkaian pelaburan ini boleh dilihat dalam rajah: N - integer, Z ialah integer, Q adalah rasional, R adalah nyata, C adalah kompleks.


Perwakilan nombor kompleks

tatatanda algebra.

Pertimbangkan nombor kompleks z = a + bi, bentuk penulisan nombor kompleks ini dipanggil algebra. Kami telah membincangkan bentuk penulisan ini secara terperinci dalam bahagian sebelumnya. Agak kerap menggunakan lukisan ilustrasi berikut


bentuk trigonometri.

Ia boleh dilihat daripada rajah bahawa nombor z = a + bi boleh ditulis secara berbeza. Ia adalah jelas bahawa a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Akibatnya z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) dipanggil hujah bagi nombor kompleks. Perwakilan nombor kompleks ini dipanggil bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri kadangkala sangat mudah. Sebagai contoh, adalah mudah untuk menggunakannya untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa integer, iaitu, jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, kemudian z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, formula ini dipanggil Formula De Moivre.

Bentuk tunjuk cara.

Pertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i ialah nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, kita menulisnya dalam bentuk yang berbeza z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = semula iφ, kesamaan terakhir mengikuti dari formula Euler, jadi kita dapat bentuk baru entri nombor kompleks: z = semula iφ, yang dipanggil demonstratif. Bentuk tatatanda ini juga sangat mudah untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa: z n = r n e inφ, di sini n tidak semestinya integer, tetapi boleh sewenang-wenangnya nombor sebenar. Bentuk penulisan ini agak kerap digunakan untuk menyelesaikan masalah.

Teorem asas algebra yang lebih tinggi

Bayangkan bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik x 2 + x + 1 = 0 . Jelas sekali, diskriminasi persamaan ini adalah negatif dan ia tidak mempunyai punca sebenar, tetapi ternyata persamaan ini mempunyai dua punca kompleks yang berbeza. Jadi, teorem utama algebra yang lebih tinggi menyatakan bahawa sebarang polinomial darjah n mempunyai sekurang-kurangnya satu punca kompleks. Ia berikutan daripada ini bahawa mana-mana polinomial darjah n mempunyai tepat n punca kompleks, dengan mengambil kira kepelbagaiannya. Teorem ini sangat keputusan penting dalam matematik dan digunakan secara meluas. Akibat mudah teorem ini ialah keputusan berikut: terdapat betul-betul n pelbagai akar kuasa n daripada perpaduan.

Jenis tugas utama

Bahagian ini akan merangkumi jenis utama tugasan mudah kepada nombor kompleks. Secara konvensional, masalah pada nombor kompleks boleh dibahagikan kepada kategori berikut.

  • Menjalankan operasi aritmetik mudah pada nombor kompleks.
  • Mencari punca polinomial dalam nombor kompleks.
  • Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa.
  • Pengekstrakan akar daripada nombor kompleks.
  • Aplikasi nombor kompleks untuk menyelesaikan masalah lain.

Sekarang pertimbangkan teknik umum penyelesaian kepada masalah ini.

Menjalankan operasi aritmetik paling mudah dengan nombor kompleks berlaku mengikut peraturan yang diterangkan dalam bahagian pertama, tetapi jika nombor kompleks dibentangkan dalam bentuk trigonometri atau eksponen, maka dalam kes ini ia boleh ditukar kepada bentuk algebra dan melakukan operasi mengikut peraturan yang diketahui.

Mencari punca polinomial biasanya datang kepada mencari punca persamaan kuadratik. Katakan kita mempunyai persamaan kuadratik, jika diskriminasinya bukan negatif, maka akarnya akan menjadi nyata dan ditemui mengikut formula yang terkenal. Jika diskriminasi adalah negatif, maka D = -1∙a 2, di mana a ialah nombor tertentu, maka kita boleh mewakili diskriminasi dalam bentuk D = (ia) 2, Akibatnya √D = i|a|, dan kemudian anda boleh menggunakan formula terkenal untuk punca-punca persamaan kuadratik.

Contoh. Berbalik kepada perkara di atas persamaan kuadratik x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminasi - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Sekarang kita boleh mencari akarnya dengan mudah:

Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa boleh dilakukan dalam beberapa cara. Jika anda ingin menaikkan nombor kompleks dalam bentuk algebra kepada kuasa kecil (2 atau 3), maka anda boleh melakukan ini dengan pendaraban langsung, tetapi jika darjahnya lebih besar (dalam masalah selalunya lebih besar), maka anda perlu tulis nombor ini dalam bentuk trigonometri atau eksponen dan gunakan kaedah yang telah diketahui.

Contoh. Pertimbangkan z = 1 + i dan naikkan kepada kuasa kesepuluh.
Kami menulis z dalam bentuk eksponen: z = √2 e iπ/4 .
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kita kembali kepada bentuk algebra: z 10 = -32i.

Mengeluarkan punca daripada nombor kompleks ialah operasi songsang bagi eksponen, jadi ia dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akar, bentuk eksponen menulis nombor sering digunakan.

Contoh. Cari semua punca darjah 3 perpaduan. Untuk melakukan ini, kita dapati semua punca persamaan z 3 = 1, kita akan mencari punca dalam bentuk eksponen.
Gantikan dalam persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Oleh itu: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, maka φ = 2πk/3.
Pelbagai punca diperolehi pada φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh itu 1 , e i2π/3 , e i4π/3 ialah punca.
Atau dalam bentuk algebra:

Jenis tugasan terakhir termasuk orang ramai masalah dan tiada kaedah umum untuk menyelesaikannya. Berikut adalah contoh mudah tugas sedemikian:

Cari jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).

Walaupun rumusan masalah ini tidak dalam soalan mengenai nombor kompleks, tetapi dengan bantuan mereka ia boleh diselesaikan dengan mudah. Untuk menyelesaikannya, perwakilan berikut digunakan:


Jika sekarang kita menggantikan perwakilan ini ke dalam jumlah, maka masalahnya dikurangkan kepada penjumlahan janjang geometri biasa.

Kesimpulan

Nombor kompleks digunakan secara meluas dalam matematik, dalam artikel ulasan ini operasi asas pada nombor kompleks telah dipertimbangkan, beberapa jenis masalah standard telah diterangkan dan diterangkan secara ringkas. kaedah biasa penyelesaian mereka, untuk kajian yang lebih terperinci tentang kemungkinan nombor kompleks, adalah disyorkan untuk menggunakan kesusasteraan khusus.

kesusasteraan