Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kompleks. Ungkapan, persamaan dan sistem persamaan dengan nombor kompleks
Penggunaan persamaan adalah meluas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak pengiraan, pembinaan struktur dan juga sukan. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman dahulu dan sejak itu penggunaannya hanya meningkat. Untuk kejelasan, mari selesaikan masalah berikut:
Kira \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jika \
Pertama sekali, mari kita perhatikan fakta bahawa satu nombor diwakili dalam bentuk algebra, yang lain - dalam bentuk trigonometri. Ia perlu dipermudahkan dan jenis seterusnya
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Ungkapan \ mengatakan bahawa, pertama sekali, kami melakukan pendaraban dan peningkatan kepada kuasa ke-10 mengikut formula Moivre. Formula ini dirumuskan untuk bentuk trigonometri nombor kompleks. Kita mendapatkan:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Mematuhi peraturan untuk mendarab nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, kami akan melakukan perkara berikut:
Dalam kes kami:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Menjadikan pecahan \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] betul, kami membuat kesimpulan bahawa adalah mungkin untuk "memutar" 4 pusingan \[(8\pi rad.):\ ]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Jawapan: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Persamaan ini boleh diselesaikan dengan cara lain, yang bermuara kepada membawa nombor ke-2 ke dalam bentuk algebra, dan kemudian melakukan pendaraban dalam bentuk algebra, terjemahkan hasilnya ke dalam bentuk trigonometri dan gunakan formula De Moivre:
Di manakah saya boleh menyelesaikan sistem persamaan dengan nombor kompleks dalam talian?
Anda boleh menyelesaikan sistem persamaan di laman web kami https: // tapak. Penyelesai dalam talian percuma akan membolehkan anda menyelesaikan persamaan dalam talian bagi sebarang kerumitan dalam beberapa saat. Apa yang anda perlu lakukan hanyalah memasukkan data anda ke dalam penyelesai. Anda juga boleh menonton arahan video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di laman web kami. Dan jika anda mempunyai sebarang soalan, anda boleh bertanya kepada mereka dalam kumpulan Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Sertai kumpulan kami, kami sentiasa gembira untuk membantu anda.
AGENSI PERSEKUTUAN UNTUK PENDIDIKAN
INSTITUSI PENDIDIKAN NEGERI
PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI
"UNIVERSITI PEDAGOGI NEGERI VORONEZH"
KERUSI AGLEBRA DAN GEOMETRI
Nombor kompleks
(tugasan terpilih)
KERJA KELAYAKAN AKHIR
kepakaran 050201.65 matematik
(dengan kepakaran tambahan 050202.65 informatika)
Diisi oleh: murid tahun 5
fizikal dan matematik
fakulti
Penasihat saintifik:
VORONEZH - 2008
1. Pengenalan……………………………………………………...…………..…
2. Nombor kompleks (masalah terpilih)
2.1. Nombor kompleks dalam bentuk algebra …………………………….
2.2. Tafsiran geometri nombor kompleks…………..…
2.3. Bentuk trigonometri nombor kompleks
2.4. Aplikasi teori nombor kompleks kepada penyelesaian persamaan darjah ke-3 dan ke-4………..………………………………………………………………
2.5. Nombor kompleks dan parameter………………………………………………….
3. Kesimpulan………………………………………………………………………….
4. Senarai rujukan……………………………………………………………………………………
1. Pengenalan
Dalam program matematik kursus sekolah teori nombor diperkenalkan pada contoh set nombor asli, integer, rasional, tidak rasional, i.e. pada set nombor nyata yang imejnya memenuhi keseluruhan garis nombor. Tetapi sudah di gred ke-8 tidak ada stok nombor nyata yang mencukupi, menyelesaikan persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif. Oleh itu, adalah perlu untuk menambah stok nombor nyata dengan nombor kompleks yang punca kuasa duanya nombor negatif mempunyai makna.
Memilih topik "Nombor Kompleks" sebagai tema pengijazahan saya kerja yang layak, terletak pada hakikat bahawa konsep nombor kompleks mengembangkan pengetahuan pelajar tentang sistem berangka, tentang menyelesaikan kelas masalah yang luas bagi kandungan algebra dan geometri, tentang penyelesaian persamaan algebra mana-mana darjah dan tentang menyelesaikan masalah dengan parameter.
Dalam kerja tesis ini, penyelesaian 82 masalah dipertimbangkan.
Bahagian pertama bahagian utama "Nombor Kompleks" mengandungi penyelesaian kepada masalah dengan nombor kompleks dalam bentuk algebra, operasi tambah, tolak, darab, bahagi, operasi konjugasi untuk nombor kompleks dalam bentuk algebra, darjah unit khayalan, modulus nombor kompleks ditakrifkan, dan peraturan pengekstrakan juga dinyatakan. punca kuasa dua daripada nombor kompleks.
Dalam bahagian kedua, masalah diselesaikan untuk tafsiran geometri nombor kompleks dalam bentuk titik atau vektor satah kompleks.
Bahagian ketiga berkaitan dengan operasi pada nombor kompleks dalam bentuk trigonometri. Formula digunakan: De Moivre dan pengekstrakan punca daripada nombor kompleks.
Bahagian keempat dikhaskan untuk menyelesaikan persamaan darjah ke-3 dan ke-4.
Apabila menyelesaikan masalah bahagian terakhir "Nombor dan Parameter Kompleks", maklumat yang diberikan dalam bahagian sebelumnya digunakan dan disatukan. Satu siri masalah bab ini ditumpukan kepada definisi keluarga garisan dalam satah kompleks, diberikan oleh persamaan(ketaksamaan) dengan parameter. Dalam sebahagian daripada latihan, anda perlu menyelesaikan persamaan dengan parameter (di atas medan C). Terdapat tugas di mana pembolehubah kompleks secara serentak memenuhi beberapa syarat. Satu ciri untuk menyelesaikan masalah bahagian ini ialah pengurangan banyak daripada mereka untuk menyelesaikan persamaan (ketaksamaan, sistem) darjah kedua, tidak rasional, trigonometri dengan parameter.
Ciri pembentangan bahan setiap bahagian ialah input awal asas teori, dan kemudiannya aplikasi praktikal mereka dalam menyelesaikan masalah.
Pada akhirnya tesis senarai literatur terpakai dibentangkan. Kebanyakannya agak terperinci dan boleh diakses. bahan teori, penyelesaian beberapa masalah dipertimbangkan dan tugas amali untuk penyelesaian bebas. Perhatian istimewa Saya ingin merujuk kepada sumber seperti:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Nombor kompleks dan aplikasinya: Buku teks. . bahan panduan belajar disampaikan dalam bentuk syarahan dan latihan amali.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Tugasan Pilihan dan teorem matematik asas. Aritmetik dan Algebra. Buku ini mengandungi 320 masalah berkaitan algebra, aritmetik dan teori nombor. Mengikut sifat mereka, tugasan ini berbeza dengan ketara daripada tugas sekolah standard.
2. Nombor kompleks (masalah terpilih)
2.1. Nombor kompleks dalam bentuk algebra
Penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan fizik dikurangkan kepada menyelesaikan persamaan algebra, i.e. persamaan bentuk
,dengan a0 , a1 , …, an ialah nombor nyata. Oleh itu, kajian persamaan algebra adalah salah satu daripada isu kritikal dalam matematik. Sebagai contoh, persamaan kuadratik dengan diskriminasi negatif tidak mempunyai punca sebenar. Persamaan yang paling mudah ialah persamaan
.Agar persamaan ini mempunyai penyelesaian, adalah perlu untuk mengembangkan set nombor nyata dengan menambah padanya punca persamaan.
.Mari kita nyatakan akar ini sebagai
. Oleh itu, mengikut takrifan, , atau ,Akibatnya,
. dipanggil unit khayalan. Dengan bantuannya dan dengan bantuan sepasang nombor nyata, ungkapan bentuk terbentuk.Ungkapan yang terhasil dipanggil nombor kompleks kerana ia mengandungi kedua-dua bahagian nyata dan khayalan.
Jadi, nombor kompleks dipanggil ungkapan bentuk
, dan ialah nombor nyata, dan merupakan beberapa simbol yang memenuhi syarat . Nombor itu dipanggil bahagian nyata nombor kompleks, dan nombor itu dipanggil bahagian khayalannya. Simbol , digunakan untuk menamakannya.Nombor kompleks borang
adalah nombor nyata dan, akibatnya, set nombor kompleks mengandungi set nombor nyata.Nombor kompleks borang
dipanggil khayalan semata-mata. Dua nombor kompleks bentuk dan dipanggil sama jika bahagian nyata dan khayalannya adalah sama, i.e. jika persamaan , .Notasi algebra bagi nombor kompleks memungkinkan untuk melakukan operasi padanya mengikut peraturan biasa algebra.
Untuk menyelesaikan masalah dengan nombor kompleks, anda perlu memahami definisi asas. tugas utama artikel ulasan ini - untuk menerangkan apa itu nombor kompleks, dan mengemukakan kaedah untuk menyelesaikan masalah asas dengan nombor kompleks. Oleh itu, nombor kompleks ialah nombor bentuk z = a + bi, di mana a, b- nombor nyata, yang masing-masing dipanggil bahagian nyata dan khayalan nombor kompleks, dan menandakan a = Re(z), b=Im(z).
i dipanggil unit khayalan. i 2 \u003d -1. Khususnya, sebarang nombor nyata boleh dianggap kompleks: a = a + 0i, di mana a adalah sebenar. Jika a = 0 dan b ≠ 0, maka nombor itu dipanggil khayalan semata-mata.
Kami kini memperkenalkan operasi pada nombor kompleks.
Pertimbangkan dua nombor kompleks z 1 = a 1 + b 1 i dan z 2 = a 2 + b 2 i.
Pertimbangkan z = a + bi.
Set nombor kompleks memanjangkan set nombor nyata, yang seterusnya memanjangkan set nombor rasional dan lain-lain. Rangkaian pelaburan ini boleh dilihat dalam rajah: N - integer, Z ialah integer, Q adalah rasional, R adalah nyata, C adalah kompleks.
Perwakilan nombor kompleks
tatatanda algebra.
Pertimbangkan nombor kompleks z = a + bi, bentuk penulisan nombor kompleks ini dipanggil algebra. Kami telah membincangkan bentuk penulisan ini secara terperinci dalam bahagian sebelumnya. Agak kerap menggunakan lukisan ilustrasi berikut
bentuk trigonometri.
Ia boleh dilihat daripada rajah bahawa nombor z = a + bi boleh ditulis secara berbeza. Ia adalah jelas bahawa a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, Akibatnya z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
dipanggil hujah bagi nombor kompleks. Perwakilan nombor kompleks ini dipanggil bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri kadangkala sangat mudah. Sebagai contoh, adalah mudah untuk menggunakannya untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa integer, iaitu, jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, kemudian z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, formula ini dipanggil Formula De Moivre.
Bentuk tunjuk cara.
Pertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i ialah nombor kompleks dalam bentuk trigonometri, kita menulisnya dalam bentuk yang berbeza z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = semula iφ, kesamaan terakhir mengikuti dari formula Euler, jadi kita dapat bentuk baru entri nombor kompleks: z = semula iφ, yang dipanggil demonstratif. Bentuk tatatanda ini juga sangat mudah untuk menaikkan nombor kompleks kepada kuasa: z n = r n e inφ, di sini n tidak semestinya integer, tetapi boleh sewenang-wenangnya nombor sebenar. Bentuk penulisan ini agak kerap digunakan untuk menyelesaikan masalah.
Teorem asas algebra yang lebih tinggi
Bayangkan bahawa kita mempunyai persamaan kuadratik x 2 + x + 1 = 0 . Jelas sekali, diskriminasi persamaan ini adalah negatif dan ia tidak mempunyai punca sebenar, tetapi ternyata persamaan ini mempunyai dua punca kompleks yang berbeza. Jadi, teorem utama algebra yang lebih tinggi menyatakan bahawa sebarang polinomial darjah n mempunyai sekurang-kurangnya satu punca kompleks. Ia berikutan daripada ini bahawa mana-mana polinomial darjah n mempunyai tepat n punca kompleks, dengan mengambil kira kepelbagaiannya. Teorem ini sangat keputusan penting dalam matematik dan digunakan secara meluas. Akibat mudah teorem ini ialah keputusan berikut: terdapat betul-betul n pelbagai akar kuasa n daripada perpaduan.
Jenis tugas utama
Bahagian ini akan merangkumi jenis utama tugasan mudah kepada nombor kompleks. Secara konvensional, masalah pada nombor kompleks boleh dibahagikan kepada kategori berikut.
- Menjalankan operasi aritmetik mudah pada nombor kompleks.
- Mencari punca polinomial dalam nombor kompleks.
- Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa.
- Pengekstrakan akar daripada nombor kompleks.
- Aplikasi nombor kompleks untuk menyelesaikan masalah lain.
Sekarang pertimbangkan teknik umum penyelesaian kepada masalah ini.
Menjalankan operasi aritmetik paling mudah dengan nombor kompleks berlaku mengikut peraturan yang diterangkan dalam bahagian pertama, tetapi jika nombor kompleks dibentangkan dalam bentuk trigonometri atau eksponen, maka dalam kes ini ia boleh ditukar kepada bentuk algebra dan melakukan operasi mengikut peraturan yang diketahui.
Mencari punca polinomial biasanya datang kepada mencari punca persamaan kuadratik. Katakan kita mempunyai persamaan kuadratik, jika diskriminasinya bukan negatif, maka akarnya akan menjadi nyata dan ditemui mengikut formula yang terkenal. Jika diskriminasi adalah negatif, maka D = -1∙a 2, di mana a ialah nombor tertentu, maka kita boleh mewakili diskriminasi dalam bentuk D = (ia) 2, Akibatnya √D = i|a|, dan kemudian anda boleh menggunakan formula terkenal untuk punca-punca persamaan kuadratik.
Contoh. Berbalik kepada perkara di atas persamaan kuadratik x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminasi - D \u003d 1 - 4 ∙ 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Sekarang kita boleh mencari akarnya dengan mudah:
Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa boleh dilakukan dalam beberapa cara. Jika anda ingin menaikkan nombor kompleks dalam bentuk algebra kepada kuasa kecil (2 atau 3), maka anda boleh melakukan ini dengan pendaraban langsung, tetapi jika darjahnya lebih besar (dalam masalah selalunya lebih besar), maka anda perlu tulis nombor ini dalam bentuk trigonometri atau eksponen dan gunakan kaedah yang telah diketahui.
Contoh. Pertimbangkan z = 1 + i dan naikkan kepada kuasa kesepuluh.
Kami menulis z dalam bentuk eksponen: z = √2 e iπ/4 .
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kita kembali kepada bentuk algebra: z 10 = -32i.
Mengeluarkan punca daripada nombor kompleks ialah operasi songsang bagi eksponen, jadi ia dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akar, bentuk eksponen menulis nombor sering digunakan.
Contoh. Cari semua punca darjah 3 perpaduan. Untuk melakukan ini, kita dapati semua punca persamaan z 3 = 1, kita akan mencari punca dalam bentuk eksponen.
Gantikan dalam persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Oleh itu: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, maka φ = 2πk/3.
Pelbagai punca diperolehi pada φ = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh itu 1 , e i2π/3 , e i4π/3 ialah punca.
Atau dalam bentuk algebra:
Jenis tugasan terakhir termasuk orang ramai masalah dan tiada kaedah umum untuk menyelesaikannya. Berikut adalah contoh mudah tugas sedemikian:
Cari jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Walaupun rumusan masalah ini tidak dalam soalan mengenai nombor kompleks, tetapi dengan bantuan mereka ia boleh diselesaikan dengan mudah. Untuk menyelesaikannya, perwakilan berikut digunakan:
Jika sekarang kita menggantikan perwakilan ini ke dalam jumlah, maka masalahnya dikurangkan kepada penjumlahan janjang geometri biasa.
Kesimpulan
Nombor kompleks digunakan secara meluas dalam matematik, dalam artikel ulasan ini operasi asas pada nombor kompleks telah dipertimbangkan, beberapa jenis masalah standard telah diterangkan dan diterangkan secara ringkas. kaedah biasa penyelesaian mereka, untuk kajian yang lebih terperinci tentang kemungkinan nombor kompleks, adalah disyorkan untuk menggunakan kesusasteraan khusus.