Bagaimana untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah matriks. Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah matriks

Sistem semacam ini dipanggil sistem normal persamaan pembezaan (SNDU). Untuk sistem persamaan pembezaan biasa, seseorang boleh merumuskan teorem kewujudan dan keunikan sama seperti untuk persamaan pembezaan.

Teorem. Jika fungsi ditakrifkan dan berterusan pada set terbuka, dan terbitan separa yang sepadan juga berterusan, maka sistem (1) akan mempunyai penyelesaian (2)

dan dengan adanya keadaan awal (3)

ini akan menjadi satu-satunya penyelesaian.

Sistem ini boleh diwakili sebagai:

Sistem persamaan pembezaan linear

Definisi. Sistem persamaan pembezaan dipanggil linear jika ia adalah linear berkenaan dengan semua fungsi yang tidak diketahui dan terbitannya.

(5)

Pandangan umum sistem persamaan pembezaan

Jika syarat awal diberikan: , (7)

maka penyelesaiannya akan menjadi unik, dengan syarat fungsi vektor adalah berterusan dan pekali matriks juga adalah fungsi berterusan.

Mari kita perkenalkan operator linear , kemudian (6) boleh ditulis semula sebagai:

jika kemudian persamaan operator (8) dipanggil homogen dan kelihatan seperti:

Oleh kerana pengendali adalah linear, sifat berikut dipegang untuknya:

penyelesaian persamaan (9).

Akibat. Gabungan linear , penyelesaian (9).

Jika penyelesaian (9) diberikan dan ia adalah bebas linear, maka semua kombinasi linear bentuk: (10) hanya di bawah syarat bahawa semua. Ini bermakna bahawa penentu terdiri daripada penyelesaian (10):

. Penentu ini dipanggil penentu Vronsky untuk sistem vektor.

Teorem 1. Jika penentu Wronsky untuk sistem homogen linear (9) dengan pekali berterusan pada segmen adalah sama dengan sifar sekurang-kurangnya pada satu titik, maka penyelesaiannya adalah bergantung secara linear pada segmen ini dan, oleh itu, penentu Wronsky adalah sama dengan sifar pada keseluruhan segmen.

Bukti: Oleh kerana ia berterusan, sistem (9) memenuhi syarat tersebut Teorem kewujudan dan keunikan, oleh itu, keadaan awal menentukan penyelesaian unik sistem (9). Penentu Wronsky pada titik adalah sama dengan sifar, oleh itu, terdapat sistem bukan remeh yang mana: Gabungan linear yang sepadan untuk titik lain akan mempunyai bentuk, lebih-lebih lagi, ia memenuhi syarat awal yang homogen, oleh itu, ia bertepatan dengan penyelesaian remeh, iaitu, ia bergantung secara linear dan penentu Wronsky adalah sama dengan sifar.

Definisi. Set penyelesaian kepada sistem (9) dipanggil sistem keputusan asas jika penentu Wronsky tidak hilang pada bila-bila masa.

Definisi. Jika untuk sistem homogen (9) keadaan awal ditakrifkan seperti berikut - , maka sistem penyelesaian dipanggil asas biasa sistem keputusan .

Komen. Jika ialah sistem asas atau sistem asas biasa, maka gabungan linear ialah penyelesaian umum (9).

Teorem 2. Gabungan linear bagi penyelesaian bebas linear bagi sistem homogen (9) dengan pekali berterusan pada segmen akan menjadi penyelesaian umum (9) pada segmen yang sama.

Bukti: Oleh kerana pekali berterusan, sistem memenuhi syarat kewujudan dan teorem keunikan. Oleh itu, untuk membuktikan teorem itu, sudah memadai untuk menunjukkan bahawa, dengan memilih pemalar, adalah mungkin untuk memenuhi beberapa syarat awal yang dipilih secara sewenang-wenangnya (7). Itu. boleh memenuhi persamaan vektor:. Oleh kerana ialah penyelesaian umum bagi (9), sistem ini agak boleh diselesaikan, kerana u adalah bebas secara linear. Kami menentukan secara unik, dan oleh kerana ia bebas secara linear, maka.

Teorem 3. Jika ini adalah penyelesaian kepada sistem (8), penyelesaian kepada sistem (9), maka + juga akan menjadi penyelesaian kepada (8).

Bukti: Mengikut sifat pengendali linear: 

Teorem 4. Penyelesaian am (8) pada segmen dengan pekali selanjar dan sisi kanan pada segmen ini adalah sama dengan hasil tambah penyelesaian umum sistem homogen yang sepadan (9) dan penyelesaian khusus sistem tidak homogen (8). ).

Bukti: Oleh kerana syarat-syarat teorem tentang kewujudan dan keunikan dipenuhi, oleh itu, ia kekal untuk membuktikan bahawa ia akan memenuhi nilai awal yang diberikan secara sewenang-wenangnya (7), iaitu, . (11)

Untuk sistem (11) adalah sentiasa mungkin untuk menentukan nilai. Ini boleh dilakukan sebagai sistem asas penyelesaian.

Masalah Cauchy untuk persamaan pembezaan tertib pertama

Perumusan masalah. Ingat bahawa penyelesaian bagi persamaan pembezaan biasa tertib pertama

y"(t)=f(t, y(t)) (5.1)

ialah fungsi boleh dibezakan y(t) yang, apabila digantikan dengan persamaan (5.1), mengubahnya menjadi identiti. Graf penyelesaian persamaan pembezaan dipanggil lengkung kamiran. Proses mencari penyelesaian kepada persamaan pembezaan biasanya dipanggil penyepaduan persamaan ini.

Berdasarkan makna geometri bagi terbitan y ", kita perhatikan bahawa persamaan (5.1) menetapkan pada setiap titik (t, y) satah pembolehubah t, y nilai f (t, y) tangen sudut a daripada cerun (kepada paksi 0t) tangen kepada graf penyelesaian yang melalui titik ini. Nilai k \u003d tga \u003d f (t, y) akan dipanggil pekali cerun (Rajah 5.1). Jika kini pada setiap titik (t, y) kita menetapkan arah tangen menggunakan vektor tertentu, ditentukan oleh nilai f (t, y ), maka kita mendapat medan arah yang dipanggil (Rajah 5.2, a). Oleh itu, dari segi geometri, masalah menyepadukan persamaan pembezaan adalah untuk mencari lengkung kamiran yang mempunyai arah tangen tertentu pada setiap titiknya (Rajah 5.2, b) untuk memilih satu penyelesaian khusus daripada keluarga penyelesaian pembezaan itu. persamaan (5.1), kita tetapkan keadaan awal

y(t0)=y0 (5.2)

Di sini t 0 ialah beberapa nilai tetap bagi hujah t, dan 0 mempunyai nilai yang dipanggil nilai awal. Tafsiran geometri penggunaan keadaan awal terdiri daripada memilih daripada keluarga lengkung kamiran lengkung yang melalui titik tetap (t 0 , y 0).

Masalah mencari bagi t>t 0 penyelesaian y(t) bagi persamaan pembezaan (5.1) yang memenuhi syarat awal (5.2) akan dipanggil masalah Cauchy. Dalam sesetengah kes, tingkah laku penyelesaian untuk semua t>t 0 adalah menarik. Walau bagaimanapun, lebih kerap mereka menghadkan diri mereka untuk mentakrifkan penyelesaian pada selang masa yang terhad.

Integrasi sistem biasa

Salah satu kaedah utama untuk menyepadukan sistem biasa DE ialah kaedah mengurangkan sistem kepada satu DE yang lebih tinggi. (Masalah songsang - peralihan daripada DE ke sistem - telah dipertimbangkan di atas dengan contoh.) Teknik kaedah ini adalah berdasarkan pertimbangan berikut.

Biarkan sistem biasa (6.1) diberikan. Kami membezakan berkenaan dengan x sebarang, sebagai contoh, persamaan pertama:

Menggantikan ke dalam kesamaan ini nilai-nilai derivatif daripada sistem (6.1), kita perolehi

atau, secara ringkas,

Membezakan kesamaan yang terhasil sekali lagi dan menggantikan nilai derivatif daripada sistem (6.1), kita perolehi

Meneruskan proses ini (bezakan - gantikan - dapatkan), kami dapati:

Kami mengumpul persamaan yang terhasil dalam sistem:

Daripada persamaan pertama (n-1) sistem (6.3), kita menyatakan fungsi y 2 , y 3 , ..., y n dalam sebutan x, fungsi y 1 dan terbitannya y "1, y" 1 , ..., y 1 (n -satu) . Kita mendapatkan:

Kami menggantikan nilai yang ditemui untuk y 2 , y 3 ,..., y n ke dalam persamaan terakhir sistem (6.3). Kami memperoleh satu DE daripada susunan ke-n berkenaan dengan fungsi yang diingini. Biarkan penyelesaian amnya

Membezakannya (n-1) kali dan menggantikan nilai terbitan ke dalam persamaan sistem (6.4), kita dapati fungsi y 2 , y 3 ,..., y n.

Contoh 6.1. Menyelesaikan sistem persamaan

Penyelesaian: Bezakan persamaan pertama: y"=4y"-3z". Gantikan z"=2y-3z ke dalam persamaan yang terhasil: y"=4y"-3(2y-3z), y"-4y"+6y=9z . Kami menyusun sistem persamaan:

Daripada persamaan pertama sistem, kita menyatakan z dalam sebutan y dan y":

Kami menggantikan nilai z ke dalam persamaan kedua sistem terakhir:

iaitu y ""-y" -6y \u003d 0. Kami mendapat satu LODE daripada susunan kedua. Kami menyelesaikannya: k 2 -k-6 \u003d 0, k 1 \u003d -2, k 2 \u003d 3 dan - penyelesaian umum

persamaan. Kita dapati fungsi z. Nilai y dan digantikan ke dalam ungkapan z melalui y dan y" (formula (6.5)). Kita dapat:

Oleh itu, penyelesaian umum sistem persamaan ini mempunyai bentuk

Komen. Sistem persamaan (6.1) boleh diselesaikan dengan kaedah gabungan boleh integrasi. Intipati kaedah itu ialah, melalui operasi aritmetik, gabungan yang dipanggil boleh disepadukan terbentuk daripada persamaan sistem tertentu, iaitu persamaan mudah disepadukan berkenaan dengan fungsi baru yang tidak diketahui.

Kami menggambarkan teknik kaedah ini dengan contoh berikut.

Contoh 6.2. Selesaikan sistem persamaan:

Penyelesaian: Kami menambah sebutan mengikut sebutan persamaan ini: x "+ y" \u003d x + y + 2, atau (x + y) "= (x + y) + 2. Nyatakan x + y \u003d z. Kemudian kita ada z" \u003d z + 2 . Kami menyelesaikan persamaan yang terhasil:

menerima apa yang dipanggil kamiran pertama sistem. Daripadanya, salah satu fungsi yang diingini boleh dinyatakan dari segi yang lain, dengan itu mengurangkan bilangan fungsi yang dikehendaki oleh satu. Sebagai contoh, Kemudian persamaan pertama sistem mengambil bentuk

Setelah menemui x daripadanya (contohnya, menggunakan penggantian x \u003d uv), kami akan mencari y.

Komen. Sistem ini "membolehkan" untuk membentuk satu lagi gabungan yang boleh disepadukan: Meletakkan x - y \u003d p, kita mempunyai:, atau Mempunyai dua kamiran pertama sistem, i.e. dan ia adalah mudah untuk mencari (dengan menambah dan menolak kamiran pertama) itu

Operator linear, sifat. Kebergantungan linear dan kebebasan vektor. Penentu Vronsky untuk sistem LDE.

Operator pembezaan linear dan sifatnya. Set fungsi yang mempunyai pada selang ( a , b ) sekurang-kurangnya n derivatif, membentuk ruang linear. Pertimbangkan pengendali L n (y ) yang memaparkan fungsi y (x ) yang mempunyai terbitan menjadi fungsi yang mempunyai k - n derivatif:

Dengan bantuan operator L n (y ) persamaan tak homogen (20) boleh ditulis seperti berikut:

L n (y ) = f (x );

persamaan homogen (21) mengambil bentuk

L n (y ) = 0);

Teorem 14.5.2. Operator pembezaan L n (y ) ialah pengendali linear. Doc-in mengikuti secara langsung daripada sifat terbitan: 1. Jika C = const, kemudian 2. Langkah seterusnya: pertama, kaji bagaimana penyelesaian am persamaan homogen linear (25) berfungsi, kemudian persamaan tidak homogen (24), dan kemudian pelajari cara menyelesaikan persamaan ini. Mari kita mulakan dengan konsep pergantungan linear dan kebebasan fungsi pada selang dan tentukan objek yang paling penting dalam teori persamaan dan sistem linear - penentu Vronsky.

Penentu Vronsky. Kebergantungan linear dan kebebasan sistem fungsi.Def. 14.5.3.1. Sistem fungsi y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) dipanggil bergantung secara linear pada selang waktu ( a , b ) jika terdapat satu set pekali malar yang tidak sama dengan sifar secara serentak, supaya gabungan linear fungsi ini adalah sama dengan sifar pada ( a , b ): untuk. Jika kesamaan untuk hanya mungkin untuk, sistem fungsi y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) dipanggil bebas linear pada selang waktu ( a , b ). Dengan kata lain, fungsi y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) bergantung secara linear pada selang waktu ( a , b ) jika wujud sifar pada ( a , b ) gabungan linear bukan remeh mereka. Fungsi y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) bebas linear pada selang waktu ( a , b ) jika hanya gabungan linear remeh mereka adalah sama dengan sifar pada ( a , b ). Contoh: 1. Fungsi 1, x , x 2 , x 3 adalah bebas linear pada sebarang selang ( a , b ). Gabungan linear mereka - polinomial darjah - tidak boleh pada ( a , b ) mempunyai lebih daripada tiga punca, jadi persamaan = 0 untuk mungkin hanya untuk. Contoh 1 boleh digeneralisasikan dengan mudah kepada sistem fungsi 1, x , x 2 , x 3 , …, x n . Gabungan linear mereka - polinomial darjah - tidak boleh pada ( a , b ) lagi n akar. 3. Fungsi adalah bebas linear pada sebarang selang ( a , b ), jika . Sesungguhnya, jika, sebagai contoh, maka kesaksamaan berlaku pada satu titik .empat. Sistem fungsi juga bebas linear jika nombor k i (i = 1, 2, …, n ) adalah berbeza secara berpasangan, tetapi bukti langsung fakta ini agak rumit. Seperti yang ditunjukkan oleh contoh di atas, dalam beberapa kes pergantungan linear atau kebebasan fungsi mudah dibuktikan, dalam kes lain bukti ini lebih rumit. Oleh itu, alat universal yang mudah diperlukan untuk menjawab soalan tentang pergantungan linear fungsi. Alat sedemikian adalah Penentu Vronsky.

Def. 14.5.3.2. Penentu Vronsky (Wronskian) sistem n - 1 kali fungsi boleh dibezakan y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) dipanggil penentu

.

14.5.3.3 Teorem Wronskian untuk sistem fungsi bersandar linear. Jika sistem fungsi y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) bergantung secara linear pada selang waktu ( a , b ), maka Wronskian sistem ini adalah sama dengan sifar pada selang ini. Doc-in. Jika fungsi y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) adalah bergantung secara linear pada selang ( a , b ), maka terdapat nombor , di mana sekurang-kurangnya satu berbeza daripada sifar, supaya

Bezakan berkenaan dengan x kesamarataan (27) n - 1 kali dan susun sistem persamaan Kami akan menganggap sistem ini sebagai sistem linear homogen persamaan algebra berkenaan dengan. Penentu sistem ini ialah penentu Vronsky (26). Sistem ini mempunyai penyelesaian bukan remeh, oleh itu, pada setiap titik penentunya adalah sama dengan sifar. Jadi, W (x ) = 0 pada , iaitu pada ( a , b ).

Dalam bahagian pertama, kami mempertimbangkan beberapa bahan teori, kaedah penggantian, serta kaedah penambahan istilah demi sebutan bagi persamaan sistem. Kepada semua orang yang datang ke tapak melalui halaman ini, saya mengesyorkan anda membaca bahagian pertama. Mungkin sesetengah pelawat akan mendapati bahan itu terlalu mudah, tetapi semasa menyelesaikan sistem persamaan linear, saya membuat beberapa kenyataan dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematik secara umum.

Dan sekarang kita akan menganalisis peraturan Cramer, serta penyelesaian sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang (kaedah matriks). Semua bahan dibentangkan secara ringkas, terperinci dan jelas, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem menggunakan kaedah di atas.

Kami mula-mula mempertimbangkan peraturan Cramer secara terperinci untuk sistem dua persamaan linear dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? “Lagipun, sistem paling mudah boleh diselesaikan dengan kaedah sekolah, dengan penambahan penggal demi penggal!

Hakikatnya ialah walaupun kadang-kadang, tetapi terdapat tugas sedemikian - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linear dengan dua tidak diketahui menggunakan formula Cramer. Kedua, contoh yang lebih mudah akan membantu anda memahami cara menggunakan peraturan Cramer untuk kes yang lebih kompleks - sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui.

Di samping itu, terdapat sistem persamaan linear dengan dua pembolehubah, yang dinasihatkan untuk diselesaikan dengan tepat mengikut peraturan Cramer!

Pertimbangkan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kita mengira penentu , ia dipanggil penentu utama sistem.

Kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca, kita mesti mengira dua lagi penentu:
dan

Dalam amalan, kelayakan di atas juga boleh dilambangkan dengan huruf Latin.

Punca-punca persamaan ditemui dengan rumus:
,

Contoh 7

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Penyelesaian: Kita lihat bahawa pekali persamaan agak besar, di sebelah kanan terdapat pecahan perpuluhan dengan koma. Koma adalah tetamu yang agak jarang dalam tugas praktikal dalam matematik; Saya mengambil sistem ini daripada masalah ekonometrik.

Bagaimana untuk menyelesaikan sistem sedemikian? Anda boleh cuba untuk menyatakan satu pembolehubah dari segi yang lain, tetapi dalam kes ini anda pasti akan mendapat pecahan mewah yang dahsyat, yang sangat menyusahkan untuk digunakan, dan reka bentuk penyelesaian akan kelihatan sangat mengerikan. Anda boleh mendarab persamaan kedua dengan 6 dan menolak sebutan dengan sebutan, tetapi pecahan yang sama akan muncul di sini.

Apa nak buat? Dalam kes sedemikian, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

;

Jawab: ,

Kedua-dua akar mempunyai ekor yang tidak terhingga dan didapati kira-kira, yang agak boleh diterima (dan juga biasa) untuk masalah ekonometrik.

Komen tidak diperlukan di sini, kerana tugas itu diselesaikan mengikut formula siap sedia, bagaimanapun, terdapat satu kaveat. Apabila menggunakan kaedah ini, wajib Serpihan tugasan ialah serpihan berikut: "jadi sistem mempunyai penyelesaian yang unik". Jika tidak, penyemak boleh menghukum anda kerana tidak menghormati teorem Cramer.

Ia tidak akan berlebihan untuk menyemak, yang mudah dilakukan pada kalkulator: kami menggantikan nilai anggaran di sebelah kiri setiap persamaan sistem. Akibatnya, dengan ralat kecil, nombor yang berada di sebelah kanan harus diperolehi.

Contoh 8

Nyatakan jawapan anda dalam pecahan tak wajar biasa. Buat semakan.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian bebas (contoh reka bentuk halus dan jawapan pada akhir pelajaran).

Kami beralih kepada pertimbangan peraturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui:

Kami mencari penentu utama sistem:

Jika , maka sistem mempunyai banyak penyelesaian yang tidak terhingga atau tidak konsisten (tidak mempunyai penyelesaian). Dalam kes ini, peraturan Cramer tidak akan membantu, anda perlu gunakan Kaedah Gauss.

Jika , maka sistem mempunyai penyelesaian yang unik, dan untuk mencari punca, kita mesti mengira tiga lagi penentu:
, ,

Dan akhirnya, jawapannya dikira oleh formula:

Seperti yang anda lihat, kes "tiga dengan tiga" pada asasnya tidak berbeza daripada kes "dua dua", lajur istilah bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan di sepanjang lajur penentu utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Penyelesaian: Mari kita selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

, jadi sistem mempunyai penyelesaian yang unik.

Jawab: .

Sebenarnya, tiada apa yang istimewa untuk diulas di sini lagi, memandangkan keputusan dibuat mengikut formula sedia. Tetapi terdapat beberapa nota.

Ia berlaku bahawa sebagai hasil pengiraan, pecahan tidak dapat dikurangkan "buruk" diperoleh, sebagai contoh: .
Saya mengesyorkan algoritma "rawatan" berikut. Jika tiada komputer di tangan, kami melakukan ini:

1) Mungkin terdapat kesilapan dalam pengiraan. Sebaik sahaja anda menghadapi pukulan "buruk", anda mesti segera menyemak sama ada adakah keadaan itu ditulis semula dengan betul. Jika keadaan itu ditulis semula tanpa ralat, maka anda perlu mengira semula penentu menggunakan pengembangan dalam baris lain (lajur).

2) Sekiranya tiada ralat ditemui akibat semakan, kemungkinan besar kesilapan menaip telah dibuat dalam keadaan tugasan. Dalam kes ini, dengan tenang dan BERHATI-HATI selesaikan tugas hingga akhir, dan kemudian pastikan untuk menyemak dan lukiskannya pada salinan bersih selepas keputusan itu. Sudah tentu, menyemak jawapan pecahan adalah tugas yang tidak menyenangkan, tetapi ia akan menjadi hujah yang melucutkan senjata untuk guru, yang, baik, sangat suka meletakkan tolak untuk apa-apa perkara buruk seperti. Cara menangani pecahan diperincikan dalam jawapan untuk Contoh 8.

Jika anda mempunyai komputer di tangan, kemudian gunakan program automatik untuk menyemaknya, yang boleh dimuat turun secara percuma pada awal pelajaran. Ngomong-ngomong, adalah paling berfaedah untuk menggunakan program dengan segera (walaupun sebelum memulakan penyelesaian), anda akan segera melihat langkah perantaraan di mana anda membuat kesilapan! Kalkulator yang sama mengira secara automatik penyelesaian sistem menggunakan kaedah matriks.

Teguran kedua. Dari semasa ke semasa terdapat sistem dalam persamaan yang mana beberapa pembolehubah hilang, contohnya:

Di sini dalam persamaan pertama tidak ada pembolehubah, dalam kedua tidak ada pembolehubah. Dalam kes sedemikian, adalah sangat penting untuk menulis penentu utama dengan betul dan TELITI:
– sifar diletakkan di tempat pembolehubah yang hilang.
Dengan cara ini, adalah rasional untuk membuka penentu dengan sifar dalam baris (lajur) di mana sifar terletak, kerana pengiraan yang ketara adalah lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan formula Cramer.

Ini adalah contoh untuk penyelesaian kendiri (sampel penamat dan jawapan pada akhir pelajaran).

Untuk kes sistem 4 persamaan dengan 4 tidak diketahui, formula Cramer ditulis mengikut prinsip yang serupa. Anda boleh melihat contoh langsung dalam pelajaran Sifat penentu. Mengurangkan susunan penentu– lima penentu tertib ke-4 boleh diselesaikan sepenuhnya. Walaupun tugas itu sudah sangat mengingatkan kasut profesor di dada pelajar bertuah.

Penyelesaian sistem menggunakan matriks songsang

Kaedah matriks songsang pada asasnya adalah kes khas persamaan matriks (Lihat Contoh No. 3 pelajaran yang ditentukan).

Untuk mengkaji bahagian ini, anda perlu dapat mengembangkan penentu, mencari matriks songsang dan melakukan pendaraban matriks. Pautan yang berkaitan akan diberikan semasa penjelasan berlangsung.

Contoh 11

Selesaikan sistem dengan kaedah matriks

Penyelesaian: Kami menulis sistem dalam bentuk matriks:
, di mana

Sila lihat sistem persamaan dan matriks. Dengan prinsip apa kita menulis unsur ke dalam matriks, saya rasa semua orang faham. Satu-satunya ulasan: jika beberapa pembolehubah hilang dalam persamaan, maka sifar perlu diletakkan di tempat yang sepadan dalam matriks.

Kami mencari matriks songsang dengan formula:
, di manakah matriks terpindah bagi pelengkap algebra bagi unsur matriks yang sepadan.

Pertama, mari kita berurusan dengan penentu:

Di sini penentu dikembangkan oleh baris pertama.

Perhatian! Jika , maka matriks songsang tidak wujud, dan adalah mustahil untuk menyelesaikan sistem dengan kaedah matriks. Dalam kes ini, sistem diselesaikan kaedah penghapusan yang tidak diketahui (kaedah Gauss).

Sekarang anda perlu mengira 9 kanak-kanak dan menulisnya ke dalam matriks kanak-kanak di bawah umur

Rujukan: Adalah berguna untuk mengetahui maksud subskrip berganda dalam algebra linear. Digit pertama ialah nombor baris di mana unsur itu terletak. Digit kedua ialah nombor lajur di mana unsur itu terletak:

Iaitu, subskrip berganda menunjukkan bahawa elemen berada dalam baris pertama, lajur ketiga, manakala, sebagai contoh, elemen berada dalam baris ke-3, lajur ke-2.

Topik 2. SISTEM PERSAMAAN ALGEBRA LINEAR.

Konsep asas.

Definisi 1. sistem m persamaan linear dengan n tidak diketahui ialah sistem dalam bentuk:

di mana dan - nombor.

Definisi 2. Penyelesaian sistem (I) adalah satu set yang tidak diketahui, di mana setiap persamaan sistem ini bertukar menjadi identiti.

Definisi 3. Sistem (I) dipanggil sendi jika ia mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian dan tidak serasi jika ia tidak mempunyai penyelesaian. Sistem sendi dipanggil pasti jika ia mempunyai penyelesaian yang unik, dan tidak pasti sebaliknya.

Definisi 4. Taip persamaan

dipanggil sifar, dan persamaan bentuk

dipanggil tidak serasi. Jelas sekali, sistem persamaan yang mengandungi persamaan tidak konsisten adalah tidak konsisten.

Definisi 5. Dua sistem persamaan linear dipanggil bersamaan jika setiap penyelesaian satu sistem adalah penyelesaian yang lain dan, sebaliknya, setiap penyelesaian sistem kedua ialah penyelesaian yang pertama.

Tatatanda matriks untuk sistem persamaan linear.

Pertimbangkan sistem (I) (lihat §1).

Nyatakan:

Matriks pekali untuk yang tidak diketahui

,

Matriks - lajur ahli percuma

Matriks - lajur yang tidak diketahui

.

Definisi 1. Matriks dipanggil matriks utama sistem(I), dan matriks ialah matriks tambahan sistem (I).

Dengan takrifan kesamaan matriks, sistem (I) sepadan dengan kesamaan matriks:

.

Bahagian kanan kesamaan ini mengikut takrif hasil darab matriks ( lihat definisi 3 § 5 bab 1) boleh difaktorkan:

, iaitu

Kesaksamaan (2) dipanggil tatatanda matriks sistem (I).

Menyelesaikan sistem persamaan linear dengan kaedah Cramer.

Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n, iaitu bilangan persamaan adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui, dan matriks utama sistem adalah tidak merosot, i.e. . Kemudian sistem (I) dari §1 mempunyai penyelesaian yang unik

di mana ∆ = det A dipanggil utama penentu sistem(I), ∆ i diperoleh daripada penentu Δ dengan menggantikan i-lajur ke lajur ahli bebas sistem (I).

Contoh. Selesaikan sistem dengan kaedah Cramer:

.

Dengan formula (3) .

Kami mengira penentu sistem:

,

,

,

.

Untuk mendapatkan penentu, kami telah menggantikan lajur pertama dalam penentu dengan lajur terma bebas; menggantikan lajur ke-2 dalam penentu dengan lajur ahli bebas, kami memperoleh; begitu juga, menggantikan lajur ke-3 dalam penentu dengan lajur ahli bebas, kami memperoleh . Penyelesaian sistem:

Menyelesaikan sistem persamaan linear menggunakan matriks songsang.

Biarkan masuk sistem (I) (lihat §1) m=n dan matriks utama sistem adalah tidak merosot. Kami menulis sistem (I) dalam bentuk matriks ( lihat §2):

kerana matriks A tidak merosot, maka ia mempunyai matriks songsang ( lihat Teorem 1 §6 Bab 1). Darab kedua-dua belah persamaan (2) ke matriks, kemudian

. (3)

Mengikut takrifan matriks songsang . Daripada kesamarataan (3) kita ada

Selesaikan sistem menggunakan matriks songsang

.

Menandakan

; ; .

Dalam contoh (§ 3) kita mengira penentu , oleh itu, matriks A mempunyai matriks songsang. Kemudian berkuat kuasa (4) , iaitu

. (5)

Cari matriks ( lihat §6 bab 1)

, , ,

, , ,

, , ,

,

.

Kaedah Gauss.

Biarkan sistem persamaan linear diberikan:

. (saya)

Ia diperlukan untuk mencari semua penyelesaian sistem (I) atau untuk memastikan bahawa sistem itu tidak konsisten.

Definisi 1.Mari kita panggil transformasi asas sistem(I) mana-mana daripada tiga tindakan:

1) pemadaman persamaan sifar;

2) menambah pada kedua-dua bahagian persamaan bahagian yang sepadan bagi persamaan lain, didarab dengan nombor l;

3) menukar istilah dalam persamaan sistem supaya yang tidak diketahui dengan nombor yang sama dalam semua persamaan menduduki tempat yang sama, i.e. jika, sebagai contoh, dalam persamaan 1 kita menukar sebutan ke-2 dan ke-3, maka perkara yang sama mesti dilakukan dalam semua persamaan sistem.

Kaedah Gauss terdiri daripada fakta bahawa sistem (I) dengan bantuan transformasi asas dikurangkan kepada sistem yang setara, penyelesaiannya didapati secara langsung atau tidak dapat diselesaikan.

Seperti yang diterangkan dalam §2, sistem (I) ditentukan secara unik oleh matriks lanjutannya, dan sebarang transformasi asas sistem (I) sepadan dengan transformasi asas matriks lanjutan:

.

Penjelmaan 1) sepadan dengan pemadaman baris sifar dalam matriks , penjelmaan 2) adalah bersamaan dengan menambah pada baris sepadan matriks baris lainnya didarab dengan nombor l, penjelmaan 3) adalah bersamaan dengan menyusun semula lajur dalam matriks .

Adalah mudah untuk melihat bahawa, sebaliknya, setiap transformasi asas matriks sepadan dengan transformasi asas sistem (I). Memandangkan apa yang telah diperkatakan, bukannya operasi dengan sistem (I), kami akan bekerja dengan matriks tambahan sistem ini.

Dalam matriks, lajur 1 terdiri daripada pekali pada x 1, lajur ke-2 - daripada pekali pada x 2 dan lain-lain. Dalam kes penyusunan semula lajur, ia harus diambil kira bahawa syarat ini dilanggar. Sebagai contoh, jika kita menukar lajur 1 dan 2, maka sekarang dalam lajur 1 akan terdapat pekali pada x 2, dan dalam lajur ke-2 - pekali pada x 1.

Kami akan menyelesaikan sistem (I) dengan kaedah Gauss.

1. Potong semua baris sifar dalam matriks, jika ada (iaitu, potong semua persamaan sifar dalam sistem (I).

2. Semak sama ada terdapat baris antara baris matriks di mana semua elemen kecuali yang terakhir adalah sama dengan sifar (mari kita panggil baris sedemikian tidak konsisten). Jelas sekali, garis sedemikian sepadan dengan persamaan yang tidak konsisten dalam sistem (I), oleh itu, sistem (I) tidak mempunyai penyelesaian, dan di sinilah proses itu berakhir.

3. Biarkan matriks tidak mengandungi baris tidak konsisten (sistem (I) tidak mengandungi persamaan tidak konsisten). Sekiranya a 11 =0, maka kita dapati dalam baris pertama beberapa elemen (kecuali yang terakhir) yang berbeza daripada sifar dan susun semula lajur supaya tiada sifar dalam baris pertama di tempat pertama. Kami kini menganggap bahawa (iaitu, kami menukar istilah yang sepadan dalam persamaan sistem (I)).

4. Darabkan baris pertama dengan dan tambahkan hasil pada baris ke-2, kemudian darab baris pertama dengan dan tambahkan hasilnya pada baris ke-3, dsb. Jelas sekali, proses ini bersamaan dengan menghapuskan yang tidak diketahui x 1 daripada semua persamaan sistem (I), kecuali yang pertama. Dalam matriks baharu, kita mendapat sifar dalam lajur pertama di bawah elemen a 11:

.

5. Potong semua baris sifar dalam matriks, jika ada, semak jika terdapat baris yang tidak konsisten (jika ada, maka sistem tidak konsisten dan penyelesaiannya berakhir di sana). Mari kita semak jika a 22 / =0, jika ya, maka kita dapati elemen dalam baris ke-2 yang berbeza daripada sifar dan susun semula lajur supaya . Seterusnya, kita darabkan unsur-unsur baris ke-2 dengan dan tambah dengan elemen yang sepadan pada baris ke-3, kemudian - elemen baris ke-2 pada dan tambah dengan elemen sepadan baris ke-4, dsb., sehingga kita mendapat sifar di bawah a 22 /

.

Tindakan yang dilakukan adalah bersamaan dengan penghapusan yang tidak diketahui x 2 daripada semua persamaan sistem (I), kecuali untuk 1 dan 2. Oleh kerana bilangan baris adalah terhingga, oleh itu, selepas bilangan langkah terhingga, kita akan mendapat sama ada sistem itu tidak konsisten, atau kita akan sampai ke matriks langkah ( lihat definisi 2 §7 bab 1) :

,

Mari kita tuliskan sistem persamaan yang sepadan dengan matriks. Sistem ini bersamaan dengan sistem (I)

.

Daripada persamaan terakhir kita nyatakan ; kita gantikan ke dalam persamaan sebelumnya, cari, dsb., sehingga kita mendapat .

Catatan 1. Oleh itu, apabila menyelesaikan sistem (I) dengan kaedah Gauss, kita tiba di salah satu daripada kes berikut.

1. Sistem (I) tidak konsisten.

2. Sistem (I) mempunyai penyelesaian yang unik jika bilangan baris dalam matriks adalah sama dengan bilangan yang tidak diketahui ().

3. Sistem (I) mempunyai bilangan penyelesaian yang tidak terhingga jika bilangan baris dalam matriks kurang daripada bilangan yang tidak diketahui ().

Oleh itu teorem berikut berlaku.

Teorem. Sistem persamaan linear sama ada tidak konsisten, atau mempunyai penyelesaian unik, atau terdapat set penyelesaian tak terhingga.

Contoh. Selesaikan sistem persamaan dengan kaedah Gauss atau buktikan ketidaktekalannya:

a) ;

b) ;

dalam) .

a) Mari kita tulis semula sistem yang diberikan dalam bentuk:

.

Kami menukar persamaan 1 dan 2 sistem asal untuk memudahkan pengiraan (bukan pecahan, kami akan beroperasi hanya dengan integer menggunakan pilih atur sedemikian).

Kami mengarang matriks yang diperluaskan:

.

Tiada garisan nol; tiada garisan yang tidak serasi, ; kami mengecualikan yang pertama yang tidak diketahui daripada semua persamaan sistem, kecuali untuk yang pertama. Untuk melakukan ini, kami mendarabkan unsur-unsur baris pertama matriks dengan "-2" dan menambahnya kepada unsur-unsur yang sepadan pada baris ke-2, yang bersamaan dengan mendarabkan persamaan pertama dengan "-2" dan menambahkannya pada persamaan ke-2. Kemudian kita darabkan unsur-unsur baris pertama dengan "-3" dan tambahkannya kepada unsur-unsur yang sepadan dengan baris ketiga, i.e. darabkan persamaan ke-2 sistem yang diberi dengan "-3" dan tambahkannya pada persamaan ke-3. Dapatkan

.

Matriks sepadan dengan sistem persamaan