Persamaan dengan parameter dianggap sebagai antara yang paling banyak tugasan yang mencabar dalam matematik sekolah menengah. Tepatnya tugas sedemikian yang berakhir dari tahun ke tahun dalam senarai tugas jenis B dan C pada satu peperiksaan negeri GUNA. Namun, antara sebilangan besar persamaan dengan parameter ialah persamaan yang boleh diselesaikan dengan mudah secara grafik. Mari kita pertimbangkan kaedah ini pada contoh menyelesaikan beberapa masalah.

Cari jumlah nilai integer a yang mana persamaan |x 2 – 2x – 3| = a mempunyai empat punca.

Penyelesaian.

Untuk menjawab persoalan masalah, kami membina graf fungsi pada satu satah koordinat

y = |x 2 – 2x – 3| dan y = a.

Graf bagi fungsi pertama y = |x 2 – 2x – 3| akan diperolehi daripada graf parabola y = x 2 - 2x - 3 dengan memaparkan secara simetri tentang paksi absis bahagian graf yang berada di bawah paksi Ox. Bahagian graf di atas paksi-x akan kekal tidak berubah.

Jom buat langkah demi langkah. Graf fungsi y \u003d x 2 - 2x - 3 ialah parabola, yang cawangannya diarahkan ke atas. Untuk membina grafnya, kita mencari koordinat puncak. Ini boleh dilakukan menggunakan formula x 0 = -b / 2a. Oleh itu, x 0 \u003d 2/2 \u003d 1. Untuk mencari koordinat bahagian atas parabola di sepanjang paksi-y, kami menggantikan nilai yang diperoleh untuk x 0 ke dalam persamaan fungsi yang sedang dipertimbangkan. Kami mendapat y 0 \u003d 1 - 2 - 3 \u003d -4. Oleh itu, puncak parabola mempunyai koordinat (1; -4).

Seterusnya, anda perlu mencari titik persilangan cabang parabola dengan paksi koordinat. Pada titik persilangan cabang parabola dengan paksi absis, nilai fungsi adalah sifar. Oleh itu, kami membuat keputusan persamaan kuadratik x 2 - 2x - 3 = 0. Akarnya akan menjadi titik yang dikehendaki. Dengan teorem Vieta, kita mempunyai x 1 = -1, x 2 = 3.

Pada titik persilangan cabang parabola dengan paksi-y, nilai hujah adalah sifar. Oleh itu, titik y = -3 ialah titik persilangan cabang parabola dengan paksi-y. Graf yang terhasil ditunjukkan dalam Rajah 1.

Untuk mendapatkan graf bagi fungsi y = |x 2 - 2x - 3|, kami akan memaparkan bahagian graf, yang berada di bawah paksi-x, secara simetri tentang paksi-x. Graf yang terhasil ditunjukkan dalam Rajah 2.

Graf bagi fungsi y = a ialah garis lurus selari dengan paksi-x. Ia ditunjukkan dalam Rajah 3. Menggunakan rajah dan kita dapati bahawa graf mempunyai empat titik sepunya (dan persamaan mempunyai empat punca) jika a tergolong dalam selang (0; 4).

Nilai integer nombor a daripada selang yang diterima: 1; 2; 3. Untuk menjawab soalan masalah, mari cari jumlah nombor ini: 1 + 2 + 3 = 6.

Jawapan: 6.

Cari min aritmetik bagi nilai integer nombor a, yang mana persamaan |x 2 – 4|x| – 1| = a mempunyai enam punca.

Mari kita mulakan dengan memplot fungsi y = |x 2 – 4|x| – 1|. Untuk melakukan ini, kami menggunakan kesamaan a 2 = |a| 2 dan pilih petak penuh dalam ungkapan submodul yang ditulis di sebelah kanan fungsi:

x 2 – 4|x| – 1 = |x| 2 – 4|x| - 1 = (|x| 2 - 4|x| + 4) - 1 - 4 = (|x | - 2) 2 - 5.

Kemudian fungsi asal akan kelihatan seperti y = |(|x| – 2) 2 – 5|.

Untuk membina graf fungsi ini, kami membina graf fungsi berturut-turut:

1) y \u003d (x - 2) 2 - 5 - parabola dengan bucu pada titik dengan koordinat (2; -5); (Rajah 1).

2) y = (|x| - 2) 2 - 5 - bahagian parabola yang dibina dalam perenggan 1, yang terletak di sebelah kanan paksi ordinat, dipaparkan secara simetri di sebelah kiri paksi Oy; (Gamb. 2).

3) y = |(|x| – 2) 2 – 5| - bahagian graf yang dibina dalam perenggan 2, yang berada di bawah paksi-x, dipaparkan secara simetri berkenaan dengan paksi absis ke atas. (Gamb. 3).

Pertimbangkan lukisan yang dihasilkan:

Graf bagi fungsi y = a ialah garis lurus selari dengan paksi-x.

Dengan bantuan rajah, kami membuat kesimpulan bahawa graf fungsi mempunyai enam perkara biasa(persamaan mempunyai enam punca) jika a tergolong dalam selang (1; 5).

Ini dapat dilihat dalam rajah berikut:

Cari min aritmetik bagi nilai integer parameter a:

(2 + 3 + 4)/3 = 3.

Jawapan: 3.

blog.site, dengan penyalinan penuh atau separa bahan, pautan ke sumber diperlukan.

INSTITUT PEMBANGUNAN PROFESIONAL DAGESTAN

KAKITANGAN PEDAGOGI

JABATAN PENDIDIKAN JASMANI DAN MATEMATIK DAN ICT

Projek

mengenai topik:

« Pembinaan dan hlm pembaharuan

graf fungsi

dalam kursus sekolah matematik »

Rabadanova P.A.

guru matematik

MBOU "sekolah menengah Kochubey"

daerah Tarumovsky

2015

1. Pengenalan………………………………………………………………….3

2. Bab saya. Tinjauan literatur mengenai topik projek…………………………….5

3. Bab II. Bahagian empirikal:

3.1. Kaedah asas untuk menukar graf fungsi………..7

3.2. Merancang genapdanfungsi ganjil……….. 10

3.3. Memplot fungsi songsang………………………... 11

3.4. Ubah bentuk (mampatan dan tegangan) graf………………….12

3.5 Gabungan pemindahan, pantulan dan ubah bentuk………………………………13

4. Tugas untuk penyelesaian bebas………………………..……14

5. Kesimpulan…………………………………………………………………………15

6. Kesimpulan…………………………………………………………..……….17

PENGENALAN

Transformasi graf fungsi adalah salah satu konsep asas matematik yang berkaitan secara langsung dengan aktiviti amali. Graf mencerminkan kebolehubahan dan kedinamikan dunia sebenar, hubungan bersama objek dan fenomena sebenar.

Garis fungsi ialah topik asas yang diliputi dalam Peperiksaan Asas dan Negeri Bersatu.Juga ramai konsep matematik dipertimbangkan dengan kaedah grafik. Contohnya, kepadakuadratikfungsi diperkenalkan dan dikaji dalam sambungan rapat dengan persamaan kuadratik dan ketaksamaan.Oleh itu ia mengikutinyamengajar pelajar cara membina dan mengubah graf bagi sesuatu fungsi merupakan salah satu tugas utama mengajar matematik di sekolah.

Kajian fungsi memungkinkan untuk mencari tentangdomain definisi dan skop fungsi, skopMenurun atau meningkatkan kadar, asimtot, selangtanda keteguhan, dsb. Walau bagaimanapun, untuk membina grafkov banyak fungsi bolehmenggunakan beberapa kaedahpermudahkanlahbangunan. Oleh itu, pelajar harus mempunyai kecekapan untuk membina graf mengikut skema metodologi.

Di atas mentakrifkanperkaitan topik kajian.

Objek kajian adalah untuk mengkaji penjelmaan graf garis berfungsi menjadi matematik sekolah.

Subjek kajian - proses membina dan mengubah graf fungsi di sekolah menengah.

Tujuan kajian: pendidikan - terdiri daripada mengenal pasti skema metodologi untuk membina dan menukar graf fungsi;membangun - pembangunan abstrak, algoritma, pemikiran logik, imaginasi spatial;pendidikan - pendidikan budaya grafik kanak-kanak sekolah, pembentukan kemahiran mental.

Matlamat membawa kepada keputusan berikuttugasan:

1. Menganalisis pendidikan dan metodologi terhadap masalah yang dikaji.

2. Kenal pasti skema metodologitransformasi graf fungsi dalam kursus matematik sekolah.

3. Pilih yang paling banyak kaedah yang berkesan dan danapembinaan dan transformasi graf fungsi di sekolah menengahmenyumbang kepada: asimilasi bermakna bahan pendidikan; menaikkan aktiviti kognitif pelajar; perkembangan kebolehan kreatif mereka.

HIPOTESIS penyelidikan: pembentukan kemahiran grafik dalam proses mengkaji fungsi dan pendidikan budaya grafik pelajar akan berkesan jika pelajar mempunyai skema kaedah untuk membina dan mengubah graf fungsi dalam kursus matematik sekolah.

BAB saya . ULASAN LITERATUR TENTANG TOPIK PROJEK.

Sebagai persediaan untuk projek itu, kami mengkaji kesusasteraan berikut:

Sivashinsky, I. Kh. Teorem dan masalah dalam algebra, fungsi asas- M., 2002. - 115 p.

Gelfand, I. M., Glagoleva, E. G., Shnol, E. E. Fungsi dan graf (teknik asas) - M., 1985. - 120 s

V.Z.Zaitsev, V.V. Ryzhkov, M.I. Scanavi. Elementary Mathematics - M., 2010 (terbitan semula). - 590 p.

Kuzmin, M. K. Pembinaan graf fungsi - J. Matematik di sekolah. - 2003. - No. 5. - S. 61-62.

Shilov G.E. Bagaimana untuk membina carta? - M., 1982.

Isaac Tanatar. Transformasi geometri graf fungsi - MTsNMO, 2012

ATTelah diperhatikan bahawa keupayaan untuk "membaca" tingkah laku fungsi pada set tertentu menggunakan graf mencari aplikasi bukan sahaja dalam kursus matematik, tetapi juga dalam mana-mana aktiviti amali seseorang di mana dia perlu berurusan dengan tertentu imej grafik kebergantungan. Oleh itu, pelajar seharusnya dapat menentukan beberapa sifatnya daripada graf fungsi.

Bahan teori untuk transformasi graf dinyatakan dengan tegas dalam. Teknik ini disertai dengan ilustrasi dengan lukisan, contoh kerumitan yang berbeza-beza dan penyelesaiannya, yang memungkinkan untuk mendalami pengetahuan dan memplot fungsi kompleks.

Mewakili elektronik kursus latihan, volum dan kandungan yang sepadan dengan keperluan untuk kursus matematik sekolah menengah sekolah Menengah. Bahan teori disokong oleh ilustrasi animasi grafik yang memberi perwakilan visual tentang topik yang dipelajari. Kursus ini merangkumi tiga modul: modul pembelajaran bahan teori, modul ujian kendiri dan modul kawalan pengetahuan.

Daripada , , skema carta berkaedah, contoh untuk kerja bebas telah digunakan untuk bahagian empirikal projek.

Kesimpulan bab 1

Kajian kesusasteraan pendidikan dan kaedah dibenarkan:

1. Kenal pasti skema metodologimengkaji, membina dan mengubah graf fungsi dalam kursus matematik sekolah.

2. Pilih kaedah dan cara yang paling berkesanpembinaan dan transformasi graf fungsi dalam matematik sekolah,menyumbang:

asimilasi bermakna bahan pendidikan;

meningkatkan aktiviti kognitif pelajar;

perkembangan kebolehan kreatif mereka.

3. tunjukkan bahawa garis kefungsian mempunyai kesan yang signifikan dalam kajian konsep yang berbeza dalam matematik.

Bab 2. BAHAGIAN EMPIRIKAL

Dalam bab ini, kita akan mempertimbangkan kaedah utama untuk mengubah graf fungsi, dan memberikan skema metodologi untuk membina pelbagai kombinasi graf untuk pelbagai fungsi.

2.1. TEKNIK ASAS PENUKARAN GRAF FUNGSI

Terjemahan sepanjang paksi-y

f ( x ) f ( x )+ b .

Untukmerancang sesuatu fungsiy = f( x) + bjejakem:

1. membina graf fungsiy= f( x)

2. gerakkan paksiabscissa pada| b| unit sehingga padab>0 atau di| b| makansujud dib < 0. Diterima dalam sistem baru coorgraf dinat ialah graf bagi suatu fungsiy = f( x) + b.

2. Pemindahan bersama paksi abscissa

f ( x ) f ( x + a ) .

y = f( x+ a) jejakem:

3. Memplot fungsi borang y = f (- x )

f (x ) f (- x ).

Untuk merancang fungsiy = f( - x) berikut:

plot fungsiy = f( x)

mencerminkannya kembalirelatif kepada paksi-y

graf yang terhasil ialahgraf fungsiy = f( - X).

4. Memplot fungsi borang y= - f ( x )

f ( x ) - f ( x )

- f( x) ikut:

plot fungsiy= f( x)

mencerminkannya tentang paksi-x

2.2. Merancang genap dan ciri ganjil

Apabila merancangmalah dan tidak malah berfungsi mudah digunakan sifat-sifat berikut:

1. Graf bagi simmet fungsi genapricen relatif kepada paksi-y.

2. Jadual fungsi ganjil simetri tentang asal usul.

Untuk memplot fungsi genap dan ganjil, cukup untuk memplot hanya cabang graf yang betul nilai positif hujah. Cawangan kiri dilengkapkan secara simetri tentang asalan untuk fungsi ganjil dan tentang paksi-y untuk fungsi genap.

Untuk merancang fungsi genap y = f ( x ) selepas duet:

bina satu cabang graf bagi fungsi ini hanya dalamjulat nilai positif hujah x≥0.

Ojejaki cabang ini tentang paksi-y

Untuk merancang fungsi ganjil y = f ( x ) ikut:

bina cabang graf bagi fungsi ini hanya dalamkawasan nilai positif hujah (х≥0).

Omengesan cawangan ini berkenaan dengan asal usulke rantau ini nilai negatif X.

2.3. Memplot fungsi songsang

Seperti yang telah dinyatakan, fungsi langsung dan songsangmenunjukkan hubungan yang sama antara pembolehubahx dan y, dengan satu-satunya perbezaan dalam fungsi songsang inipembolehubah telah menukar peranan, yang bersamaan dengan perubahantatatanda paksi koordinat. Oleh itu, jadualfungsi songsang adalah simetri kepada graf fungsi langsungtentang pembahagi dua bahagiansayadanIIIsudut koordinat,iaitu agak lurusy = x. Oleh itu, kita mendapatperaturan seterusnya.

Untuk memplot fungsi y = (x) songsang kepada fungsiy = f( x), hendaklah dibinajadualy = f( x) dan mencerminkannya berkenaan dengan garis lurus y = x.

2.4. Ubah bentuk (mampatan dan tegangan) graf

1. Mampatan (pengembangan) graf sepanjang paksi-y

f ( x ) A ∙ f ( x ).

Untuk merancang fungsiy= A∙ f( x) ikut:

8. Mampatan (pengembangan) graf sepanjang paksi-x

f( x)

Untuk memplot fungsi y= f( x) ikut:

2.5. Gabungan terjemahan, pantulan dan ubah bentuk

Selalunya apabila memplot graf fungsi untuktukar kombinasi.

Aplikasi konsisten beberapa teknik postur tersebutmembolehkan untuk memudahkan dengan ketara pembinaan graf menggunakanmenjalankan fungsi dan sering mengurangkannya pada akhirnya kepadapembinaan salah satu fungsi asas yang paling mudahtions. Pertimbangkan bagaimana, memandangkan perkara di atas, ia mengikutimembina graf fungsi.

Mari kita ambil perhatian bahawa sudah tiba masanyaadalah dinasihatkan untuk menjalankan dok penyederhanaan dalam pengganti seterusnyaness.

Menggunakan pariti ataukeganjilan fungsi.

Pemindahan paksi.

Pantulan dan ubah bentuk.

Pembinaan graf dilakukan dalam susunan terbalik.

Contoh. Plot fungsi

Pembinaan akan dijalankan mengikut langkah-langkah berikut:

1. membina graf logaritma semula jadi :

2. memerahkepada paksiOY2 kali:;
3. paparan secara simetritentang paksiOY: ;
4. bergerak mengikut paksiOXpada(!!!) ke kanan::

5. memaparkan secara simetri tentang paksiOX: ;
6. bergeraksepanjang paksiOY3 unit ke atas::

CONTOH PEMBINAAN DAN PENUkaran GRAF FUNGSI

Contoh 1 Plot fungsi.

Pertama, lukis graf sinus, tempohnya adalah sama dengan:

graf fungsidiperoleh dengan memampatkan grafdua kali kepada paksi-y. log .

Plot fungsidi = 2 cosX.

Plot fungsiy = dosax .

KESIMPULAN

Semasa bekerja kerja projek pelbagai sastera pendidikan mengenai isu ini. Hasil kajian memungkinkan untuk mengenal pasti ciri yang paling banyak sisi positif belajar, pembinaan dan transformasi graf fungsi dalam kursus matematik sekolah

Matlamat utama projek ini adalah untuk membangunkan kemahiran dan kebolehan pelajar dalam membaca dan melukis lukisan, dalam pembentukan kaedah rasional aktiviti bebas.

Keperluan untuk meningkatkan pendidikan grafik secara keseluruhan ditentukan bukan sahaja keperluan moden pengeluaran, tetapi juga peranan grafik dalam pembangunan pemikiran teknikal dan kebolehan kognitif pelajar. Keupayaan seseorang memproses maklumat grafik adalah salah satu petunjuknya perkembangan mental. Oleh itu, latihan grafik harus menjadi elemen penting dalam latihan pendidikan am.

kesimpulan

Oleh itu, projek yang dibangunkan "Pembinaan dan transformasi graf fungsi", khusus untuk salah satu daripada konsep pusat matematik - pergantungan fungsi, tertumpu pada sistematisasi dan pengembangan pengetahuan pelajar. Kajian kaedah khusus untuk mengubah graf fungsi dijalankan secara analitikal secara grafik mengikut garis panduan yang ketat. Bahan yang dikumpul boleh digunakan di dalam bilik darjah dan untuk latihan kendiri pelajar. Pelbagai bentuk dan kaedah organisasi dan latihan boleh digunakan untuk mengendalikan kelas.

Dalam pelajaran video ini, topik "Fungsi y \u003d x 2. Penyelesaian grafik persamaan." Semasa pelajaran ini, pelajar akan dapat membiasakan diri dengan cara baru untuk menyelesaikan persamaan - grafik, yang berdasarkan pengetahuan tentang sifat graf fungsi. Guru akan menunjukkan kepada anda cara menyelesaikan secara grafik fungsi y=x 2 .

Topik:Fungsi

Pelajaran:Fungsi. Penyelesaian grafik persamaan

Penyelesaian grafik persamaan adalah berdasarkan pengetahuan tentang graf fungsi dan sifatnya. Kami menyenaraikan fungsi yang grafnya kami ketahui:

1), graf ialah garis lurus selari dengan paksi-x, melalui satu titik pada paksi-y. Pertimbangkan contoh: y=1:

Untuk nilai yang berbeza, kita mendapat satu keluarga garis lurus selari dengan paksi-x.

2) Fungsi perkadaran langsung graf bagi fungsi ini ialah garis lurus yang melalui asalan. Pertimbangkan contoh:

Kami telah membina graf ini dalam pelajaran sebelumnya, ingat bahawa untuk membina setiap baris, anda perlu memilih titik yang memenuhinya, dan mengambil asal sebagai titik kedua.

Ingat kembali peranan pekali k: apabila fungsi bertambah, sudut antara garis lurus dan arah positif paksi-x adalah akut; apabila fungsi berkurangan, sudut antara garis lurus dan arah positif paksi-x adalah tumpul. Di samping itu, terdapat hubungan berikut antara dua parameter k dengan tanda yang sama: untuk k positif, lebih besar ia, fungsi yang lebih pantas meningkat, dan untuk negatif - fungsi berkurangan lebih cepat apabila nilai yang besar k modulo.

3) Fungsi linear. Apabila - kita mendapat titik persilangan dengan paksi-y dan semua garisan jenis ini melalui titik (0; m). Di samping itu, apabila fungsi bertambah, sudut antara garis dan arah positif paksi-x adalah akut; apabila fungsi berkurangan, sudut antara garis lurus dan arah positif paksi-x adalah tumpul. Dan sudah tentu, nilai k mempengaruhi kadar perubahan nilai fungsi.

empat). Graf fungsi ini ialah parabola.

Pertimbangkan contoh.

Contoh 1 - selesaikan persamaan secara grafik:

Kami tidak tahu fungsi jenis ini, jadi kami perlu mengubahnya persamaan yang diberikan untuk bekerja dengan fungsi yang diketahui:

Kami mendapat fungsi biasa dalam kedua-dua bahagian persamaan:

Mari bina graf fungsi:

Graf mempunyai dua titik persilangan: (-1; 1); (2; 4)

Mari kita periksa sama ada penyelesaian ditemui dengan betul, gantikan koordinat ke dalam persamaan:

Titik pertama ditemui dengan betul.

, , , , , ,

Perkara kedua juga ditemui dengan betul.

Jadi, penyelesaian persamaan tersebut ialah dan

Kami bertindak sama dengan contoh sebelumnya: kami mengubah persamaan yang diberikan kepada fungsi yang diketahui oleh kami, memplot graf mereka, mencari arus persilangan, dan dari sini kami menunjukkan penyelesaiannya.

Kami mendapat dua fungsi:

Mari bina graf:

Graf ini tidak mempunyai titik persilangan, yang bermaksud bahawa persamaan yang diberikan tidak mempunyai penyelesaian

Kesimpulan: dalam pelajaran ini kami menyemak fungsi yang kami ketahui dan grafnya, mengingati sifatnya dan menganggap kaedah grafik untuk menyelesaikan persamaan.

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. et al Algebra 7. Edisi ke-6. M.: Pencerahan. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain.Algebra 7 .M .: Pendidikan. 2006

Tugasan 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al Algebra 7, no 494, ms 110;

Tugasan 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dan lain-lain Algebra 7, No 495, item 110;

Tugasan 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. et al Algebra 7, no 496, ms 110;

Tahap pertama

Menyelesaikan persamaan, ketaksamaan, sistem menggunakan graf fungsi. panduan visual (2019)

Banyak tugasan yang kami biasa mengira secara algebra semata-mata boleh diselesaikan dengan lebih mudah dan lebih pantas, menggunakan graf fungsi akan membantu kami dalam hal ini. Anda berkata "bagaimana boleh?" untuk melukis sesuatu, dan apa yang perlu dilukis? Percayalah, kadangkala ia lebih mudah dan lebih mudah. Boleh kita mula? Mari kita mulakan dengan persamaan!

Penyelesaian grafik persamaan

Penyelesaian grafik persamaan linear

Seperti yang anda sedia maklum, graf bagi persamaan linear ialah garis lurus, maka nama jenis ini. Persamaan linear agak mudah untuk diselesaikan secara algebra - kami memindahkan semua yang tidak diketahui ke satu bahagian persamaan, semua yang kami tahu - ke yang lain, dan voila! Kami telah menemui akarnya. Sekarang saya akan menunjukkan kepada anda bagaimana untuk melakukannya cara grafik.

Jadi anda mempunyai persamaan:

Bagaimana untuk menyelesaikannya?
Pilihan 1, dan yang paling biasa ialah mengalihkan yang tidak diketahui ke satu pihak, dan yang diketahui ke pihak yang lain, kita dapat:

Dan sekarang kita sedang membina. Apa yang kamu dapat?

Pada pendapat anda, apakah punca persamaan kita? Betul, koordinat titik persilangan graf:

Jawapan kami ialah

Itulah keseluruhan kebijaksanaan penyelesaian grafik. Seperti yang anda boleh semak dengan mudah, punca persamaan kami ialah nombor!

Seperti yang saya katakan di atas, ini adalah pilihan yang paling biasa, dekat dengan penyelesaian algebra, tetapi ia juga boleh dilakukan dengan cara yang berbeza. Untuk mempertimbangkan penyelesaian alternatif, mari kembali kepada persamaan kami:

Kali ini kami tidak akan memindahkan apa-apa dari sisi ke sisi, tetapi akan membina graf secara langsung, seperti sekarang:

dibina? Lihatlah!

Apakah penyelesaian kali ini? Baiklah. Begitu juga dengan koordinat titik persilangan graf:

Dan, sekali lagi, jawapan kami ialah .

Seperti yang anda lihat, dengan persamaan linear, semuanya sangat mudah. Sudah tiba masanya untuk mempertimbangkan sesuatu yang lebih rumit... Contohnya, penyelesaian grafik persamaan kuadratik.

Penyelesaian grafik persamaan kuadratik

Jadi, sekarang mari kita mulakan penyelesaian persamaan kuadratik. Katakan anda perlu mencari punca persamaan ini:

Sudah tentu, anda kini boleh mula mengira melalui diskriminasi, atau mengikut teorem Vieta, tetapi ramai yang gugup membuat kesilapan apabila mendarab atau mengkuadratkan, terutamanya jika contohnya adalah dengan nombor besar, dan, seperti yang anda ketahui, anda tidak akan mempunyai kalkulator pada peperiksaan ... Oleh itu, mari cuba berehat sedikit dan melukis semasa menyelesaikan persamaan ini.

Cari penyelesaian secara grafik persamaan yang diberikan boleh cara yang berbeza. Pertimbangkan pelbagai pilihan dan anda boleh pilih mana satu yang anda paling suka.

Kaedah 1. Secara langsung

Kami hanya membina parabola mengikut persamaan ini:

Untuk mempercepatkannya, saya akan memberi anda sedikit petunjuk: adalah mudah untuk memulakan pembinaan dengan menentukan bucu parabola. Formula berikut akan membantu menentukan koordinat puncak parabola:

Anda berkata "Berhenti! Formula untuk adalah sangat serupa dengan formula untuk mencari diskriminasi "ya, ia adalah, dan ini adalah kelemahan besar" langsung "membina parabola untuk mencari akarnya. Walau bagaimanapun, mari kita mengira sehingga akhir, dan kemudian saya akan menunjukkan kepada anda bagaimana untuk menjadikannya lebih (lebih!) lebih mudah!

Adakah anda mengira? Apakah koordinat bagi bucu parabola? Mari kita fikirkan bersama-sama:

Jawapan yang sama? Bagus! Dan sekarang kita sudah tahu koordinat puncak, dan untuk membina parabola, kita memerlukan lebih banyak ... mata. Apa pendapat anda, berapa banyak mata minimum yang kita perlukan? Betul, .

Anda tahu bahawa parabola adalah simetri tentang bucunya, sebagai contoh:

Oleh itu, kita memerlukan dua lagi titik di sepanjang cawangan kiri atau kanan parabola, dan pada masa akan datang kita akan secara simetri mencerminkan titik-titik ini pada sisi yang bertentangan:

Kami kembali kepada parabola kami. Untuk kes kami, intinya. Kami memerlukan dua mata lagi, masing-masing, bolehkah kita mengambil yang positif, tetapi bolehkah kita mengambil yang negatif? Apakah mata terbaik untuk anda? Adalah lebih mudah bagi saya untuk bekerja dengan yang positif, jadi saya akan mengira dengan dan.

Kini kami mempunyai tiga mata, dan kami boleh membina parabola kami dengan mudah dengan mencerminkan dua mata terakhir mengenai bahagian atasnya:

Pada pendapat anda, apakah penyelesaian kepada persamaan tersebut? Betul, titik di mana, iaitu, dan. Kerana.

Dan jika kita mengatakan bahawa, maka ia bermakna bahawa ia juga mesti sama, atau.

Cuma? Kami telah selesai menyelesaikan persamaan dengan anda dengan cara grafik yang kompleks, atau akan ada lagi!

Sudah tentu, anda boleh menyemak jawapan kami secara algebra - anda boleh mengira punca melalui teorem Vieta atau Diskriminasi. Apa yang kamu dapat? Sama? Di sini anda lihat! Sekarang mari kita lihat penyelesaian grafik yang sangat mudah, saya pasti anda akan sangat menyukainya!

Kaedah 2. Bahagikan kepada beberapa fungsi

Mari kita ambil segala-galanya, juga, persamaan kita: , tetapi kita menulisnya dengan cara yang sedikit berbeza, iaitu:

Bolehkah kita menulisnya seperti ini? Kita boleh, kerana transformasi adalah setara. Mari kita lihat lebih jauh.

Mari bina dua fungsi secara berasingan:

1. - graf ialah parabola ringkas, yang anda boleh bina dengan mudah walaupun tanpa mentakrifkan bucu menggunakan formula dan membuat jadual untuk menentukan titik lain.
2. - graf ialah garis lurus, yang anda boleh bina dengan mudah dengan menganggarkan nilai dan dalam kepala anda tanpa menggunakan kalkulator.

dibina? Bandingkan dengan apa yang saya dapat:

Adakah anda berfikir bahawa dalam kes ini adakah punca-punca persamaan? Betul! Koordinat dengan, yang diperoleh dengan menyilang dua graf dan, iaitu:

Oleh itu, penyelesaian kepada persamaan ini ialah:

apa kata awak Setuju, kaedah penyelesaian ini lebih mudah daripada yang sebelumnya dan lebih mudah daripada mencari akar melalui diskriminasi! Jika ya, cuba kaedah ini untuk menyelesaikan persamaan berikut:

Apa yang kamu dapat? Mari bandingkan carta kami:

Graf menunjukkan bahawa jawapannya ialah:

Adakah anda berjaya? Bagus! Sekarang mari kita lihat persamaan sedikit lebih rumit, iaitu, penyelesaiannya persamaan campuran, iaitu persamaan yang mengandungi fungsi pelbagai jenis.

Penyelesaian grafik persamaan campuran

Sekarang mari cuba selesaikan perkara berikut:

Sudah tentu, semuanya boleh dibawa ke penyebut biasa, cari punca persamaan yang terhasil, jangan lupa untuk mengambil kira ODZ, tetapi sekali lagi, kami akan cuba menyelesaikan secara grafik, seperti yang kami lakukan dalam semua kes sebelumnya.

Kali ini mari kita plot 2 graf berikut:

1. - graf ialah hiperbola
2. - graf ialah garis lurus yang anda boleh bina dengan mudah dengan menganggarkan nilai dan dalam kepala anda tanpa menggunakan kalkulator.

Sedar? Sekarang mula membina.

Inilah yang berlaku kepada saya:

Melihat gambar ini, apakah punca-punca persamaan kita?

Betul, dan. Berikut adalah pengesahannya:

Cuba masukkan akar kita ke dalam persamaan. Terjadi?

Baiklah! Setuju, menyelesaikan persamaan secara grafik adalah suatu keseronokan!

Cuba selesaikan sendiri persamaan secara grafik:

Saya memberi anda petunjuk: alihkan sebahagian daripada persamaan ke kanan supaya kedua-dua belah mempunyai fungsi paling mudah untuk dibina. Mendapat petunjuk? Mengambil tindakan!

Sekarang mari lihat apa yang anda dapat:

Masing-masing:

1. - parabola padu.
2. - garis lurus biasa.

Nah, kami sedang membina:

Seperti yang anda tulis untuk masa yang lama, punca persamaan ini ialah -.

Setelah menyelesaikan sebilangan besar contoh, saya pasti anda sedar bagaimana anda boleh menyelesaikan persamaan secara grafik dengan mudah dan cepat. Sudah tiba masanya untuk memikirkan cara membuat keputusan dengan cara yang serupa sistem.

Penyelesaian grafik sistem

Penyelesaian grafik sistem pada dasarnya tidak berbeza daripada penyelesaian grafik persamaan. Kami juga akan membina dua graf, dan titik persilangan mereka akan menjadi punca sistem ini. Satu graf ialah satu persamaan, graf kedua ialah persamaan lain. Semuanya sangat mudah!

Mari kita mulakan dengan yang paling mudah - sistem penyelesaian persamaan linear.

Menyelesaikan sistem persamaan linear

Katakan kita mempunyai sistem berikut:

Sebagai permulaan, kami akan mengubahnya sedemikian rupa sehingga di sebelah kiri terdapat semua yang berkaitan dengannya, dan di sebelah kanan - apa yang berkaitan dengannya. Dengan kata lain, kita menulis persamaan ini sebagai fungsi dalam bentuk biasa untuk kita:

Dan sekarang kita hanya membina dua garis lurus. Apakah penyelesaian dalam kes kami? Betul! Titik persimpangan mereka! Dan di sini anda perlu berhati-hati! Fikir kenapa? Saya akan memberi anda petunjuk: kita sedang berurusan dengan sistem: sistem mempunyai kedua-duanya, dan... Mendapat petunjuk?

Baiklah! Apabila menyelesaikan sistem, kita mesti melihat kedua-dua koordinat, dan bukan sahaja, seperti semasa menyelesaikan persamaan! Satu lagi perkara penting- tuliskannya dengan betul dan jangan mengelirukan di mana kita mempunyai nilai, dan di mana nilainya! Dirakam? Sekarang mari kita bandingkan semuanya mengikut urutan:

Dan jawapan: i. Buat semakan - gantikan akar yang ditemui ke dalam sistem dan pastikan kami menyelesaikannya dengan betul dalam cara grafik?

Menyelesaikan sistem persamaan tak linear

Tetapi bagaimana jika bukannya satu garis lurus, kita mempunyai persamaan kuadratik? tak apalah! Anda hanya membina parabola dan bukannya garis lurus! Jangan percaya? Cuba selesaikan sistem berikut:

Apakah langkah kita seterusnya? Betul, tuliskannya supaya mudah untuk kita membina graf:

Dan kini semuanya mengenai perkara kecil - saya membinanya dengan cepat dan inilah penyelesaian untuk anda! Bangunan:

Adakah grafiknya sama? Sekarang tandakan penyelesaian sistem dalam gambar dan tulis dengan betul jawapan yang didedahkan!

Saya dah buat semua? Bandingkan dengan nota saya:

Baiklah? Bagus! Anda sudah mengklik pada tugas seperti kacang! Dan jika ya, mari berikan anda sistem yang lebih rumit:

Apa yang kita buat? Betul! Kami menulis sistem supaya mudah untuk dibina:

Saya akan memberi anda sedikit petunjuk, kerana sistem ini kelihatan sangat rumit! Apabila membina graf, bina "lebih", dan yang paling penting, jangan terkejut dengan bilangan titik persimpangan.

Jadi mari pergi! Terhembus? Sekarang mula membina!

Nah, bagaimana? kacak? Berapa banyak titik persimpangan yang anda perolehi? Saya ada tiga! Mari bandingkan graf kami:

Cara yang sama? Sekarang tulis dengan teliti semua penyelesaian sistem kami:

Sekarang lihat sistem sekali lagi:

Bolehkah anda bayangkan bahawa anda menyelesaikannya dalam masa 15 minit sahaja? Setuju, matematik masih mudah, terutamanya apabila melihat ungkapan, anda tidak takut untuk membuat kesilapan, tetapi anda mengambilnya dan membuat keputusan! Awak dah besar!

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan linear

Selepas contoh terakhir anda mempunyai segala-galanya di bahu anda! Sekarang hembus nafas - berbanding bahagian sebelumnya, yang ini akan menjadi sangat, sangat mudah!

Kami akan mulakan, seperti biasa, dengan penyelesaian grafik ketaksamaan linear. Sebagai contoh, yang ini:

Sebagai permulaan, kami akan melakukan transformasi paling mudah - kami akan membuka kurungan petak penuh dan tambah istilah seperti:

Ketaksamaan tidak ketat, oleh itu - tidak termasuk dalam selang, dan penyelesaiannya adalah semua titik yang berada di sebelah kanan, kerana lebih banyak, lebih banyak, dan seterusnya:

Jawapan:

Itu sahaja! Dengan mudah? Mari kita selesaikan ketaksamaan mudah dengan dua pembolehubah:

Mari kita lukis fungsi dalam sistem koordinat.

Adakah anda mempunyai carta sedemikian? Dan sekarang kita teliti melihat apa yang kita ada dalam ketidaksamaan? Kurang? Jadi, kami melukis semua yang ada di sebelah kiri garis lurus kami. Bagaimana jika ada lagi? Betul, kemudian mereka akan melukis semua yang ada di sebelah kanan garis lurus kami. Semuanya mudah.

Semua penyelesaian ketidaksamaan ini "berlorek" oren. Itu sahaja, ketaksamaan dua pembolehubah diselesaikan. Ini bermakna koordinat dan mana-mana titik dari kawasan berlorek adalah penyelesaiannya.

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan kuadratik

Sekarang kita akan berurusan dengan cara untuk menyelesaikan ketaksamaan kuadratik secara grafik.

Tetapi sebelum kita terus kepada intinya, mari kita imbas semula beberapa perkara tentang fungsi segi empat sama.

Apakah diskriminasi yang bertanggungjawab? Betul, untuk kedudukan graf relatif kepada paksi (jika anda tidak ingat ini, maka baca teori tentang fungsi kuadratik dengan pasti).

Walau apa pun, berikut adalah sedikit peringatan untuk anda:

Memandangkan kami telah menyegarkan semula semua bahan dalam ingatan kami, mari mulakan perniagaan - kami akan menyelesaikan ketidaksamaan secara grafik.

Saya akan memberitahu anda dengan segera bahawa terdapat dua pilihan untuk menyelesaikannya.

Pilihan 1

Kami menulis parabola kami sebagai fungsi:

Dengan menggunakan formula, kami menentukan koordinat puncak parabola (dengan cara yang sama seperti semasa menyelesaikan persamaan kuadratik):

Adakah anda mengira? Apa yang kamu dapat?

Sekarang mari kita ambil dua lagi pelbagai mata dan hitung untuk mereka:

Kami mula membina satu cabang parabola:

Kami secara simetri mencerminkan titik kami pada cabang parabola yang lain:

Sekarang kembali kepada ketidaksamaan kita.

Kami memerlukannya masing-masing kurang daripada sifar:

Oleh kerana dalam ketidaksamaan kami terdapat tanda yang kurang, kami mengecualikan titik akhir - kami "mencucuk".

Jawapan:

Jauh kan? Sekarang saya akan menunjukkan kepada anda versi penyelesaian grafik yang lebih mudah menggunakan ketaksamaan yang sama seperti contoh:

Pilihan 2

Kami kembali kepada ketidaksamaan kami dan tandakan selang yang kami perlukan:

Setuju, ia lebih cepat.

Mari tuliskan jawapannya sekarang:

Mari kita pertimbangkan kaedah penyelesaian lain yang memudahkan bahagian algebra, tetapi perkara utama adalah untuk tidak mengelirukan.

Darabkan sisi kiri dan kanan dengan:

Cuba selesaikan perkara berikut ketaksamaan kuasa dua dalam apa jua cara yang anda suka.

Adakah anda berjaya?

Lihat bagaimana carta saya ternyata:

Jawapan: .

Penyelesaian grafik bagi ketaksamaan bercampur

Sekarang mari kita beralih kepada ketidaksamaan yang lebih kompleks!

Bagaimana anda suka ini:

Mengerikan, bukan? Secara jujur, saya tidak tahu bagaimana untuk menyelesaikan ini secara algebra ... Tetapi, ia tidak perlu. Secara grafik, tidak ada yang rumit dalam hal ini! Mata takut, tetapi tangan melakukannya!

Perkara pertama yang kita mulakan ialah dengan membina dua graf:

Saya tidak akan menulis jadual untuk semua orang - saya pasti anda boleh melakukannya dengan sempurna sendiri (sudah tentu, terdapat banyak contoh untuk diselesaikan!).

Dilukis? Sekarang bina dua graf.

Mari bandingkan lukisan kita?

Adakah anda mempunyai perkara yang sama? Cemerlang! Sekarang mari letak titik persilangan dan tentukan dengan warna graf mana yang sepatutnya kita ada, secara teorinya, harus lebih besar, iaitu. Lihat apa yang berlaku pada akhirnya:

Dan sekarang kita hanya melihat di mana carta pilihan kita lebih tinggi daripada carta? Jangan ragu untuk mengambil pensel dan melukis di kawasan ini! Ia akan menjadi penyelesaian kepada ketidaksamaan kompleks kita!

Pada selang manakah di sepanjang paksi kita lebih tinggi daripada? Betul, . Ini jawapannya!

Nah, kini anda boleh mengendalikan sebarang persamaan, dan mana-mana sistem, dan lebih-lebih lagi sebarang ketidaksamaan!

SECARA RINGKAS TENTANG UTAMA

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan menggunakan graf fungsi:

1. Ekspresikan melalui
2. Tentukan jenis fungsi
3. Mari bina graf bagi fungsi yang terhasil
4. Cari titik persilangan graf
5. Tulis jawapan dengan betul (dengan mengambil kira tanda ODZ dan ketaksamaan)
6. Semak jawapan (gantikan punca dalam persamaan atau sistem)

Untuk mendapatkan maklumat lanjut tentang memplot graf fungsi, lihat topik "".

Kerja penyelidikan pelajar mengenai topik:

"Permohonan fungsi linear dalam menyelesaikan masalah"

"Aplikasi Graf Fungsi Linear untuk Penyelesaian Masalah"

MKOU "Bogucharskaya tengah sekolah komprehensif№1"

Kerja penyelidikan dalam matematik.

Topik: "Aplikasi graf fungsi linear untuk menyelesaikan masalah"

7 kelas "B".
Ketua: Fomenko Olga Mikhailovna

bandar Boguchar

1. Pengenalan…………………………………………………………………… 2

2.Bahagian utama………………………………………………………………3-11

2.1 Teknik menyelesaikan masalah teks menggunakan graf fungsi linear

2.2Menyelesaikan masalah teks untuk pergerakan menggunakan graf

3. Kesimpulan…………………………………………………………………… 11

4. Kesusasteraan………………………………………………………………………….12

PENGENALAN

"Kelas Algebra.7" mempertimbangkan tugasan di mana jadual yang diberikan beberapa soalan perlu dijawab.

Sebagai contoh:

№332 Penduduk musim panas itu pergi dari rumah dengan kereta ke kampung. Mula-mula dia memandu di lebuh raya, dan kemudian Jalan Kampung sambil memperlahankan kelajuan. Jadual pergerakan penduduk musim panas ditunjukkan dalam rajah. Sila jawab soalan:

a) berapa lama pemastautin musim panas memandu di sepanjang lebuh raya dan berapa kilometer dia memandu; berapakah kelajuan kereta di bahagian jalan ini;

b) berapa lama pemastautin musim panas memandu di sepanjang jalan desa dan berapa kilometer dia memandu; berapakah kelajuan kereta di bahagian ini;

c) berapa lamakah penduduk musim panas itu menempuh perjalanan dari rumah ke kampung?

Semasa mencari bahan mengenai topik ini dalam kesusasteraan dan Internet, saya mendapati sendiri bahawa di dunia dalam pergantungan linear terdapat banyak fizikal, dan juga awam dan fenomena ekonomi dan proses, tetapi saya tetap pada pergerakan itu, sebagai yang paling biasa dan popular di kalangan kita semua. Dalam projek itu, saya menerangkan masalah perkataan dan cara menyelesaikannya menggunakan graf fungsi linear.

Hipotesis: dengan bantuan graf, anda bukan sahaja boleh mendapatkan gambaran visual sifat-sifat fungsi, berkenalan dengan sifat-sifat fungsi linear dan bentuk tertentunya, perkadaran langsung, tetapi juga menyelesaikan masalah teks.

Matlamat kajian saya ialah kajian tentang penggunaan graf bagi fungsi linear dalam menyelesaikan masalah teks untuk pergerakan. Untuk mencapai matlamat tersebut, berikut tugasan:

Untuk mengkaji metodologi untuk menyelesaikan masalah teks untuk pergerakan menggunakan graf fungsi linear;

Ketahui cara menyelesaikan masalah pergerakan menggunakan kaedah ini;

Membuat kesimpulan perbandingan tentang kebaikan dan keburukan menyelesaikan masalah menggunakan graf fungsi linear.

Objek kajian: graf fungsi linear.

Kaedah penyelidikan:

Teori (kajian dan analisis), carian sistem, praktikal.

Bahagian utama.

Dalam penyelidikan saya, saya memutuskan untuk cuba memberikan tafsiran grafik tentang tugas-tugas untuk pergerakan yang dibentangkan dalam buku teks kami, kemudian, mengikut jadual, jawab soalan tugas itu. Untuk penyelesaian sedemikian, saya mengambil tugas dengan mudah pergerakan seragam pada satu bahagian jalan. Ternyata banyak masalah diselesaikan dengan cara ini lebih mudah daripada cara biasa menggunakan persamaan. Satu-satunya kelemahan teknik ini ialah untuk mendapatkan jawapan dengan tepat kepada persoalan masalah, seseorang mesti dapat memilih skala unit pengukuran dengan betul pada paksi koordinat. peranan besar dalam pilihan yang tepat skala sedemikian memainkan pengalaman menyelesaikan. Oleh itu, untuk menguasai seni menyelesaikan masalah menggunakan graf, saya terpaksa mempertimbangkannya dalam jumlah yang banyak.

tetapkan sistem koordinat sOt dengan paksi absis Ot dan paksi ordinat Os . Untuk melakukan ini, mengikut keadaan masalah, adalah perlu untuk memilih asal: permulaan pergerakan objek atau dari beberapa objek, yang mula bergerak lebih awal atau menempuh jarak yang lebih jauh dipilih. Pada paksi absis, tandakan selang masa dalam unit ukurannya, dan pada paksi ordinat, tandakan jarak dalam skala yang dipilih bagi unit pengukurannya.

Titik pada satah koordinat mesti ditanda mengikut skala tugas, dan garisan mesti dilukis dengan tepat. Ketepatan penyelesaian masalah bergantung pada ini. Oleh itu, adalah sangat penting untuk memilih skala bahagian pada paksi koordinat dengan jayanya: ia mesti dipilih sedemikian rupa sehingga koordinat titik ditentukan dengan lebih tepat dan, jika boleh, terletak di titik nod, i.e. di persimpangan pembahagian paksi koordinat. Kadangkala adalah berguna untuk mengambil sebagai segmen unit pada paksi absis bilangan sel yang merupakan gandaan keadaan masalah berkenaan dengan masa, dan pada paksi ordinat - bilangan sel yang merupakan gandaan keadaan. masalah berkenaan dengan jarak. Sebagai contoh, 12 minit dalam masa memerlukan memilih bilangan sel dalam gandaan 5, kerana 12 minit ialah satu perlima jam.

Menyelesaikan masalah teks untuk pergerakan menggunakan graf

Jawapan: 9 km.

Penyelesaian menggunakan persamaan:

x/12j. - masa dari A ke B

x/18j. - masa belakang

Jawapan: 9 km

Tugasan 2. (No. 156 dalam buku teks Yu.N. Makarychev "Algebra 7".)

Dua buah kereta memandu di lebuh raya dengan kelajuan yang sama. Jika yang pertama meningkatkan kelajuan sebanyak 10 km / j, dan yang kedua mengurangkannya sebanyak 10 km / j, maka yang pertama akan meliputi sebanyak 2 jam seperti yang kedua dalam 3 jam. Berapa laju kereta berjalan?

Penyelesaian menggunakan persamaan:

Biarkan x km/j ialah kelajuan kereta;

(x+10) dan (x-10) masing-masing kelajuan selepas kenaikan dan penurunan;

2(x+10)=3(x-10)

Jawapan: 50km/j

Penyelesaian dengan Graf Fungsi Linear:

1 set satah koordinat sOt dengan paksi absis Оt , di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi ordinat Os , di mana kita menandakan jarak yang dilalui oleh kenderaan.

2. Mari letakkan pembahagian pada skala di sepanjang paksi absis - satu jam dalam 5 sel (dalam 1 sel - 12 minit); kami menggunakan pembahagian sepanjang paksi-y, tetapi tidak menyatakan skala.

3. Mari kita bina garisan pergerakan kereta pertama I: permulaan pergerakan pada satu titik c

4. Mari bina garisan pergerakan mesin kedua II: permulaan pergerakan pada titik dengan koordinat (0; 0). Seterusnya, kita perhatikan titik sewenang-wenangnya(3;s 1) di dalam kapal terbang, kerana kereta dengan kelajuan baru itu berada di atas jalan selama 3 jam.

4. Mari kita tentukan kelajuan kereta v sebelum perubahannya. Mari kita nyatakan perbezaan ordinat bagi titik yang terletak pada garis dengan absis 1 dengan tanda ∆s . Mengikut keadaan, segmen ini sepadan dengan panjang (10 + 10) km, kerana dalam salah satu daripada mereka kelajuan berkurangan, dan dalam satu lagi kelajuan meningkat sebanyak 10 km/j. Ini bermakna bahawa garisan pergerakan kereta sebelum menukar kelajuan hendaklah sama jarak dari garisan I dan II dan terletak pada satah koordinat di antara mereka .. Mengikut jadual, Δs \u003d 2cl. sepadan dengan 20 km, v = 5 sel, jadi kami menyelesaikan perkadaran v = 50 km / j.

Jawapan: 50km/j.

Tugasan 3

Penyelesaian dengan Graf Fungsi Linear:

titik rujukan ialah jeti M

tandakan titik N (0; 162).

Jawapan: 2 jam 20 minit.

Penyelesaian menggunakan persamaan:

162 -45(x+0.75)-36x=0

162-45x - 33.75 -36x = 0

81x=128.25

2)

Jawapan: 2 jam 20 minit.

Tugasan 4.

Seorang penunggang basikal meninggalkan titik A. Pada masa sama, selepasnya, seorang penunggang motosikal dengan kelajuan 16 km/j meninggalkan titik B, iaitu 20 km dari A. Penunggang basikal itu memandu pada kelajuan 12 km/j. Pada jarak berapakah dari titik A penunggang motosikal itu akan memintas penunggang basikal itu?

Penyelesaian dengan Graf Fungsi Linear:

1. Tetapkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi-y Os, di mana kita akan menandakan jarak yang dilalui oleh penunggang motosikal dan penunggang basikal.

2. Mari kita lukiskan pembahagian pada skala: sepanjang paksi-y - dalam 2 sel 8 km; sepanjang abscissa - dalam 2 sel - 1j.

3. Mari kita bina garisan pergerakan penunggang motosikal II: kita tandakan permulaan pergerakannya pada asal koordinat B (0; 0). Penunggang motosikal itu memandu pada kelajuan 16 km/j, bermakna garis lurus II mesti melalui titik dengan koordinat (1; 16).

4. Mari kita bina garisan gerakan untuk penunggang basikal I: permulaannya adalah pada titik A (0; 20), kerana titik B terletak pada jarak 20 km dari titik A, dan dia pergi pada masa yang sama dengan penunggang motosikal. Penunggang basikal itu bergerak pada kelajuan 12 km/j, yang bermaksud bahawa garisan saya mesti melalui titik dengan koordinat (1; 32).

5. Cari P (5; 80) - titik persilangan garisan I dan II, mencerminkan pergerakan penunggang motosikal dan penunggang basikal: ordinatnya akan menunjukkan jarak dari titik B, di mana penunggang motosikal akan mengejar penunggang basikal. .

P(5; 80) |=s = 80, |=80 - 20 = 60(km) - jarak dari titik A di mana penunggang motosikal akan mengejar penunggang basikal..

Jawapan: 60 km.

Penyelesaian menggunakan persamaan:

Biarkan x km ialah jarak dari titik A ke titik pertemuan

x /12 masa penunggang basikal

(x +20)/16 masa penunggang motosikal

x /12=(x +20)/16

16x=12x+240

4x=240

x=60

Jawapan: 60 km

Tugasan 5.

Jarak antara bandar telah dilalui oleh penunggang motosikal dalam masa 2 jam, dan oleh penunggang basikal dalam masa 5 jam. Kelajuan penunggang basikal adalah 18 km/j kurang daripada kelajuan penunggang motosikal. Cari kelajuan penunggang basikal dan penunggang motosikal dan jarak antara bandar.

Penyelesaian dengan Graf Fungsi Linear:

1. Tetapkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi-y Os, di mana kita menandakan jarak.

2. Mari letakkan pembahagian di sepanjang paksi absis dalam 2 sel selama 1 jam. Biarkan jarak tanpa pembahagian sepanjang paksi ordinat.

3. Mari kita lukis garisan pergerakan I penunggang basikal dalam masa 5 jam dan garisan pergerakan penunggang motosikal II dalam masa 2 jam. Hujung kedua-dua baris mesti mempunyai ordinat yang sama.

4. Mari kita lukis segmen dengan abscissa 1 antara garisan I dan II. Panjang segmen ini mencerminkan jarak yang sama dengan 18 km. Daripada lukisan kita dapati bahawa 3 sel adalah sama dengan 18 km, yang bermaksud terdapat 6 km dalam 1 sel.

5. Kemudian, mengikut jadual, kita tentukan kelajuan penunggang basikal ialah 12 km/j, kelajuan penunggang motosikal ialah 30 km/j, jarak antara bandar ialah 60 km.

Penyelesaian menggunakan persamaan:

Biarkan x km/j ialah kelajuan penunggang basikal, kemudian (x +18) km/j kelajuan penunggang motosikal

2(x+18)=5x

2x +36=5x

x=12

2) 12+18=30(km/j) kelajuan penunggang

3) (km) jarak antara bandar

Jawapan: 12 km/j; 30 km/j; 60 km

Jawapan: 60 km.

Tugasan 6.

Sebuah bot bergerak sejauh 30 km dalam masa 3 jam dan 20 minit di sepanjang sungai, dan 28 km melawan arus dalam masa 4 jam. Sejauh manakah bot itu akan menutup tasik dalam masa 1.5 jam?

Penyelesaian dengan Graf Fungsi Linear:

1. Tetapkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi-y Os, di mana kita menandakan jarak yang dilalui oleh bot

2. Mari kita lukis pembahagian pada skala: sepanjang paksi-y - dalam dua sel 4 km; sepanjang paksi abscissa - dalam 6 sel - 1 jam (dalam 1 sel - 10 minit), kerana mengikut keadaan masalah, masa diberikan dalam minit.

3. Mari kita bina garisan pergerakan bot di sepanjang sungai I: permulaan garisan akan berada di titik dengan koordinat (0; 0). Bot itu belayar sejauh 30 km dalam masa 3 jam dan 20 minit, yang bermaksud bahawa garisan mesti melalui titik dengan koordinat (; 30), kerana 3j 20min. = h.

4. Mari kita bina garisan pergerakan bot melawan arus sungai II: kita ambil permulaan pergerakan pada satu titik dengan koordinat (0; 0). Bot itu belayar sejauh 28 km dalam 4 jam, yang bermaksud bahawa garis pergerakan mesti melalui titik dengan koordinat (4; 28).

5. Mari kita bina garisan pergerakan bot di tasik: kita akan mengambil permulaan pergerakan pada titik dengan koordinat (0; 0). Garisan pergerakan bot sendiri perlu terletak pada jarak yang sama antara garisan pergerakan bot di sepanjang sungai. Ini bermakna bahawa kita mesti membahagikan segmen, yang terdiri daripada semua titik dengan absis 1 di antara garis pergerakan di sepanjang sungai, separuh dan menandakan tengahnya. Dari (0; 0) melalui titik bertanda ini kita akan melukis sinar, yang akan menjadi garis pergerakan di sepanjang tasik.

6. Mengikut keadaan masalah, adalah perlu untuk mencari jarak perjalanan bot di tasik dalam 1.5 jam, yang bermaksud bahawa kita mesti menentukan pada garis ini ordinat titik dengan abscissa t = 1.5, | = s = 12, | = 12 km, bot akan melalui tasik dalam masa 1.5 jam.

Jawapan: 12 km.

Penyelesaian menggunakan sistem persamaan:

Biarkan x km/j ialah kelajuan tasik dan y km/j kelajuan sungai

Jawapan: 12 km.

Tugasan 7.

Bot itu bergerak di sepanjang sungai sejauh 34 km dalam masa yang sama dengan 26 km melawan arus. Kelajuan bot sendiri ialah 15 km/j. Cari kelajuan sungai.

Penyelesaian dengan Graf Fungsi Linear:

1. Tetapkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi-y Os, di mana kita menandakan jarak yang dilalui oleh bot.

2. Mari kita lukis pembahagian pada skala: sepanjang paksi-y - dalam 1 sel 1 km; pada paksi abscissa, kita meninggalkan masa tanpa pembahagian.

3. Mari kita bina garisan I pergerakan bot di sepanjang sungai dari 0 km ke titik 34 km: permulaan garisan akan berada di titik dengan koordinat (0; 0). Koordinat kedua ialah (x). ; 34).

4. Mari kita bina garisan II pergerakan bot melawan arus sungai dari 0 km ke titik 26 km: permulaan garisan akan berada di titik dengan koordinat (0; 0). Koordinat kedua ialah ( x; 26).

5. Lukiskan sinar III dari asalan (0; 0) melalui tengah segmen sembarangan yang terdiri daripada semua titik dengan absis yang sama antara dua garis gerakan I dan II. Rasuk ini akan memantul pergerakan sendiri bot, kerana kelajuan bot itu sendiri ialah purata aritmetik 2 kelajuan di hulu dan hilir sungai. Pada rasuk yang terhasil, kita dapati satu titik dengan ordinat 15, kerana kelajuan bot sendiri ialah 15 km/j. Absis titik yang ditemui akan sepadan dengan pembahagian 1 jam.

6. Untuk mencari kelajuan sungai, cukup dengan mencari panjang ruas dengan absis 1 dari baris III ke garisan II. Kelajuan sungai ialah 2 km/j.

Jawapan: 2km/j

Penyelesaian menggunakan persamaan:

Kelajuan sungai x km/j

34 / (15 + x) \u003d 26 / (15-x) Menyelesaikan perkadaran, kita dapat:

Jawapan: 2km/j

Kesimpulan.

Kelebihan:

Tugasan boleh ditulis secara ringkas;

Kelemahan:

KESUSASTERAAN.

1. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B., Algebra: Buku Teks untuk Gred 7 institusi pendidikan, "Pencerahan", M., 2000.

2.Bulynin V., Permohonan kaedah grafik apabila menyelesaikan masalah teks, akhbar pendidikan dan kaedah "Matematik", No. 14, 2005.

3. Zvavich L.I. Bahan didaktik tentang algebra untuk gred 7.

Lihat kandungan dokumen
"perkataan"

Pada pelajaran algebra di gred ke-7, saya berkenalan dengan topik "Fungsi linear. Susunan bersama graf fungsi linear. Saya belajar cara membina graf bagi fungsi linear, mempelajari sifatnya, belajar bagaimana untuk formula yang diberikan tentukan susunan bersama graf. Saya perhatikan itu dalam buku teks oleh Yu.N. Makarychev

"Kelas Algebra.7" mempertimbangkan tugas di mana, mengikut jadual yang diberikan, adalah perlu untuk menjawab beberapa soalan. Contoh tugas sedemikian dibentangkan pada slaid.

Mengikut jadual yang diberikan, boleh ditentukan itu

Dan saya mempunyai soalan, adakah mungkin untuk menyelesaikan masalah untuk pergerakan bukan dengan tindakan atau menggunakan persamaan, tetapi menggunakan grafik fungsi linear untuk ini?

Hipotesis, matlamat dan objektif dibentangkan pada slaid

Dalam penyelidikan saya, saya memutuskan untuk cuba memberikan tafsiran grafik tentang tugas-tugas untuk pergerakan yang dibentangkan dalam buku teks kami, kemudian, mengikut jadual, jawab soalan tugas itu. Untuk penyelesaian sedemikian, saya mengambil tugas dengan gerakan seragam rectilinear pada satu bahagian laluan.

Ternyata banyak masalah diselesaikan dengan cara ini. Satu-satunya kelemahan teknik ini ialah untuk mendapatkan jawapan dengan tepat kepada persoalan masalah, seseorang mesti dapat memilih skala unit pengukuran dengan betul pada paksi koordinat. Peranan besar dalam pilihan yang betul skala ini dimainkan oleh pengalaman penyelesaian. Oleh itu, untuk menguasai seni menyelesaikan masalah menggunakan graf, saya terpaksa mempertimbangkannya dalam jumlah yang banyak.

Satu teknik untuk menyelesaikan masalah teks menggunakan graf fungsi linear.

Untuk membuat keputusan tugasan teks menggunakan graf fungsi linear, anda perlu:

tetapkan sistem koordinat Untuk melakukan ini, mengikut keadaan masalah, adalah perlu untuk memilih asal: permulaan pergerakan objek atau dari beberapa objek, yang mula bergerak lebih awal atau menempuh jarak yang lebih jauh adalah dipilih. Pada paksi absis, tandakan selang masa dalam unit ukurannya, dan pada paksi ordinat, tandakan jarak dalam skala yang dipilih bagi unit pengukurannya.

Lukis garis gerakan setiap objek yang dinyatakan dalam pernyataan masalah melalui koordinat sekurang-kurangnya dua titik garis lurus. Biasanya kelajuan sesuatu objek memberi maklumat tentang laluan jarak dalam satu unit masa dari permulaan pergerakannya. Jika objek mula bergerak kemudian, maka titik permulaan pergerakannya dianjakkan oleh bilangan unit tertentu ke kanan asalan sepanjang paksi-x. Jika objek mula bergerak dari tempat yang jauh dari titik rujukan oleh jarak tertentu, maka titik permulaan pergerakannya dianjak ke atas sepanjang paksi ordinat.

Titik pertemuan beberapa objek pada satah koordinat ditunjukkan oleh titik persilangan garis yang menggambarkan pergerakannya, yang bermaksud bahawa koordinat titik ini memberikan maklumat tentang masa pertemuan dan jarak tempat pertemuan dari asal.

Perbezaan dalam kelajuan pergerakan dua objek ditentukan oleh panjang segmen, yang terdiri daripada semua titik dengan absis 1, terletak di antara garis pergerakan objek ini.

Titik pada satah koordinat mesti ditanda mengikut skala tugas, dan garisan mesti dilukis dengan tepat. Ketepatan penyelesaian masalah bergantung pada ini.

Masalah 1. (No. 673 dalam buku teks Yu.N. Makarychev "Algebra 7".)

Seorang penunggang basikal menempuh laluan AB dengan kelajuan 12 km/j. Kembali, dia mengembangkan kelajuan 18 km / j dan dibelanjakan Perjalanan balik 15 minit kurang daripada perjalanan dari A ke B. Berapa kilometer dari A ke B.

Penyelesaian menggunakan persamaan:

Biarkan x km ialah jarak dari A ke B.

x/12j. - masa dari A ke B

x/18j. - masa belakang

Memandangkan dia menghabiskan 15 minit kurang dalam perjalanan pulang, kami akan menyusun persamaan

Jawapan: 9 km

Penyelesaian dengan Graf Fungsi Linear:

1. Mari kita tetapkan satah koordinat sOtc dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi-y Os, di mana kita menandakan jarak.

2. Mari kita lukis pembahagian pada skala: sepanjang paksi-y - dalam satu sel 3 km; sepanjang paksi absis - satu jam dalam 4 sel (dalam 1 sel - 15 min).

3. Mari bina garis pergerakan di sana: tandakan permulaan pergerakan dengan titik (0; 0). Penunggang basikal itu bergerak pada kelajuan 12 km/j, yang bermaksud bahawa garis lurus mesti melalui titik (1; 12).

4. Mari bina garisan pergerakan ke belakang: tandakan hujung garisan dengan titik (; 0), kerana penunggang basikal menghabiskan 15 minit kurang dalam perjalanan pulang. Dia memandu pada kelajuan 18km/j, yang bermaksud titik garisan seterusnya mempunyai koordinat (;18).

5. Nota (; 9) - titik persilangan garis: ordinatnya akan menunjukkan jarak: s = 9

Jawapan: 9 km.

Tugasan 2 (No. 757 dalam buku teks Yu.N. Makarychev "Algebra 7")

Jarak antara jeti M dan N ialah 162 km. Sebuah kapal motor bertolak dari jeti M dengan kelajuan 45 km/j. Selepas 45 minit, sebuah lagi kapal motor bertolak dari jeti N menuju ke arahnya, kelajuannya 36 km/j. Dalam berapa jam selepas berlepas kapal pertama mereka akan bertemu?

Penyelesaian menggunakan persamaan:

Biar ada mesyuarat dalam masa x jam

162 -45(x+0.75)-36x=0

162-45x - 33.75 -36x = 0

81x=128.25

2)

Jawapan: 2 jam 20 minit.

Penyelesaian dengan Graf Fungsi Linear:

1. Tetapkan satah koordinat sOt dengan paksi absis Ot, di mana kita menandakan selang masa pergerakan, dan paksi-y Os, di mana

perhatikan jarak dari jeti M ke jeti N, bersamaan dengan 162 km. permulaan

titik rujukan ialah jeti M

2. Mari kita lukiskan pembahagian pada skala: sepanjang paksi-y - dalam dua sel 18 km; sepanjang paksi abscissa - satu jam dalam 6 sel (dalam 1 sel - 10 min.), sejak Keadaan tugas menentukan masa dalam minit.

tandakan titik N (0; 162).

3. Mari kita bina garisan pergerakan kapal pertama I: permulaan pergerakannya akan berada pada titik dengan koordinat (0; 0). Kapal pertama belayar pada kelajuan 45 km / j, yang bermaksud bahawa garis lurus mesti melalui titik dengan koordinat (1; 45).

4. Mari bina garis pergerakan kapal kedua II: permulaan pergerakan akan berada di titik c

koordinat (; 162), sejak dia meninggalkan titik N, 162 km dari M, 45 min. lewat daripada yang pertama, dan 45 min. \u003d h. Kapal kedua belayar pada kelajuan 36 km / j, yang bermaksud bahawa garis lurus mesti melalui titik (; 126), kerana kapal kedua pergi ke arah titik M: 162 - 36 \ u003d 126 (km).

5. Titik persilangan garis I dan II ialah titik A (; 108). Abscissa titik menunjukkan masa selepas itu, selepas berlepas kapal pertama, mereka bertemu: t =, |=h = 2h20min. - masa pertemuan dua kapal selepas berlepas kapal pertama.

Jawapan: 2 jam 20 minit.

Kesimpulan.

Di akhir kajian, saya dapat mengenal pasti kebaikan dan keburukan menyelesaikan masalah secara grafik.

Kelebihan:

Tugasan boleh ditulis secara ringkas;

Ia agak mudah untuk bekerja dengan nombor kecil.

Kelemahan:

Sukar untuk bekerja dengan jumlah yang besar.

Lihat kandungan pembentangan
"projek"