Bagaimana untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa. Asas keseimbangan permainan: rawak dan kebarangkalian pelbagai peristiwa berlaku

Dalam bidang ekonomi, dan juga dalam bidang lain aktiviti manusia atau secara semula jadi, kita sentiasa perlu berhadapan dengan peristiwa yang tidak dapat diramalkan dengan tepat. Oleh itu, jumlah jualan produk bergantung pada permintaan, yang boleh berbeza-beza dengan ketara, dan pada beberapa faktor lain yang hampir mustahil untuk diambil kira. Oleh itu, apabila mengatur pengeluaran dan menjalankan jualan, anda perlu meramalkan hasil aktiviti tersebut berdasarkan sama ada pengalaman terdahulu anda sendiri, atau pengalaman orang lain yang serupa, atau gerak hati, yang sebahagian besarnya juga bergantung pada data eksperimen.

Untuk menilai sesuatu acara yang dipersoalkan, perlu mengambil kira atau mengatur secara khusus keadaan di mana acara ini direkodkan.

Pelaksanaan syarat atau tindakan tertentu untuk mengenal pasti peristiwa berkenaan dipanggil pengalaman atau eksperimen.

Peristiwa itu dipanggil rawak, jika hasil daripada pengalaman ia mungkin atau mungkin tidak berlaku.

Peristiwa itu dipanggil boleh dipercayai, jika ia semestinya muncul sebagai hasil daripada pengalaman yang diberikan, dan mustahil, jika ia tidak boleh muncul dalam pengalaman ini.

Sebagai contoh, salji di Moscow pada 30 November adalah peristiwa rawak. Matahari terbit setiap hari boleh dianggap sebagai peristiwa yang boleh dipercayai. Salji di khatulistiwa boleh dianggap sebagai peristiwa yang mustahil.

Salah satu masalah utama dalam teori kebarangkalian ialah masalah menentukan ukuran kuantitatif kemungkinan sesuatu kejadian berlaku.

Algebra peristiwa

Peristiwa dipanggil tidak serasi jika ia tidak dapat diperhatikan bersama dalam pengalaman yang sama. Oleh itu, kehadiran dua dan tiga kereta dalam satu kedai untuk dijual pada masa yang sama adalah dua acara yang tidak serasi.

Jumlah peristiwa ialah peristiwa yang terdiri daripada berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa tersebut

Contoh jumlah peristiwa ialah kehadiran sekurang-kurangnya satu daripada dua produk dalam kedai.

kerja peristiwa adalah peristiwa yang terdiri daripada kejadian serentak semua peristiwa ini

Acara yang terdiri daripada kemunculan dua barangan di kedai pada masa yang sama ialah produk acara: - kemunculan satu produk, - kemunculan produk lain.

Peristiwa membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap jika sekurang-kurangnya satu daripadanya pasti berlaku dalam pengalaman.

Contoh. Pelabuhan ini mempunyai dua dermaga untuk menerima kapal. Tiga peristiwa boleh dipertimbangkan: - ketiadaan kapal di dermaga, - kehadiran satu kapal di salah satu dermaga, - kehadiran dua kapal di dua dermaga. Ketiga-tiga peristiwa ini membentuk kumpulan acara yang lengkap.

bertentangan dua peristiwa unik yang mungkin membentuk kumpulan lengkap dipanggil.

Jika salah satu peristiwa yang berlawanan dilambangkan dengan , maka peristiwa bertentangan biasanya dilambangkan dengan .

Takrifan klasik dan statistik kebarangkalian peristiwa

Setiap keputusan ujian (eksperimen) yang sama mungkin dipanggil hasil asas. Mereka biasanya ditetapkan dengan surat. Contohnya, dadu dilempar. Terdapat sejumlah enam hasil asas berdasarkan bilangan mata di sisi.

daripada hasil asas adalah mungkin untuk mencipta acara yang lebih kompleks. Oleh itu, peristiwa bilangan mata genap ditentukan oleh tiga keputusan: 2, 4, 6.

Ukuran kuantitatif kemungkinan berlakunya peristiwa yang dimaksudkan ialah kebarangkalian.

Kebanyakan meluas menerima dua takrifan kebarangkalian sesuatu peristiwa: klasik Dan statistik.

Takrifan klasik kebarangkalian dikaitkan dengan konsep hasil yang menguntungkan.

Hasilnya dipanggil menguntungkan kepada peristiwa tertentu jika kejadiannya melibatkan kejadian peristiwa ini.

Dalam contoh di atas, peristiwa yang dipersoalkan—bilangan mata genap pada bahagian yang digulung—mempunyai tiga hasil yang menggalakkan. DALAM dalam kes ini diketahui dan umum
bilangan hasil yang mungkin. Ini bermakna definisi klasik bagi kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh digunakan di sini.

Definisi klasik sama dengan nisbah bilangan hasil yang menggalakkan kepada jumlah bilangan hasil yang mungkin

di mana kebarangkalian kejadian, ialah bilangan hasil yang menguntungkan acara itu, ialah jumlah bilangan hasil yang mungkin.

Dalam contoh yang dipertimbangkan

Takrif statistik kebarangkalian dikaitkan dengan konsep kekerapan relatif kejadian sesuatu peristiwa dalam eksperimen.

Kekerapan relatif kejadian sesuatu peristiwa dikira menggunakan formula

di manakah bilangan kejadian sesuatu peristiwa dalam satu siri eksperimen (ujian).

Definisi statistik. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nombor di sekeliling frekuensi relatif stabil (ditetapkan) dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan eksperimen.

Dalam masalah praktikal, kebarangkalian sesuatu peristiwa dianggap sebagai kekerapan relatif pada cukup bilangan yang besar ujian.

Daripada takrifan kebarangkalian sesuatu peristiwa ini jelas bahawa ketidaksamaan sentiasa berpuas hati

Untuk menentukan kebarangkalian sesuatu peristiwa berdasarkan formula (1.1), formula kombinatorik sering digunakan, yang digunakan untuk mencari bilangan hasil yang menggalakkan dan jumlah bilangan hasil yang mungkin.

Kebarangkalian ialah darjah (ukuran relatif, penilaian kuantitatif) kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa. Apabila sebab beberapa kemungkinan kejadian sebenarnya berlaku melebihi sebab yang bertentangan, maka peristiwa ini dipanggil berkemungkinan, sebaliknya - tidak mungkin atau tidak mungkin. Keutamaan alasan positif berbanding yang negatif, dan sebaliknya, mungkin ada darjah yang berbeza-beza, akibatnya kebarangkalian (dan kemustahilan) adalah lebih besar atau lebih kecil. Oleh itu, kebarangkalian selalunya dinilai pada tahap kualitatif, terutamanya dalam kes di mana penilaian kuantitatif yang lebih atau kurang tepat adalah mustahil atau amat sukar. Pelbagai penggredan "tahap" kebarangkalian adalah mungkin.
Kajian kebarangkalian dengan titik matematik pandangan adalah disiplin khas- teori kebarangkalian. Dalam teori kebarangkalian dan statistik matematik konsep kebarangkalian diformalkan sebagai ciri berangka sesuatu peristiwa - ukuran kebarangkalian (atau nilainya) - ukuran pada set peristiwa (subset set peristiwa asas), mengambil nilai daripada
(\gaya paparan 0)
(\gaya paparan 1)
Maknanya
(\gaya paparan 1)
Sesuai dengan acara yang boleh dipercayai. Peristiwa mustahil mempunyai kebarangkalian 0 (sebaliknya biasanya tidak selalu benar). Jika kebarangkalian sesuatu kejadian itu berlaku ialah
(\gaya paparan p)
Maka kebarangkalian tidak berlakunya adalah sama dengan
(\gaya paparan 1-p)
Khususnya, kebarangkalian
(\displaystyle 1/2)
Bermaksud kebarangkalian yang sama berlaku dan tidak berlaku sesuatu peristiwa.
Takrifan klasik kebarangkalian adalah berdasarkan konsep kebarangkalian hasil yang sama. Kebarangkalian ialah nisbah bilangan hasil yang menguntungkan untuk peristiwa tertentu kepada jumlah bilangan hasil yang sama mungkin. Sebagai contoh, kebarangkalian mendapat kepala atau ekor dalam lambungan syiling rawak ialah 1/2 jika diandaikan bahawa hanya dua kemungkinan ini berlaku dan ia adalah sama mungkin. "Takrifan" klasik kebarangkalian ini boleh digeneralisasikan kepada kes bilangan nilai yang mungkin tidak terhingga - contohnya, jika beberapa peristiwa boleh berlaku dengan kebarangkalian yang sama pada mana-mana titik (bilangan mata adalah tidak terhingga) bagi beberapa kawasan terhad ruang (satah), maka kebarangkalian ia akan berlaku di beberapa bahagian ini kawasan yang sah sama dengan nisbah isipadu (luas) bahagian ini kepada isipadu (luas) kawasan semua titik yang mungkin.
"Takrifan" empirikal kebarangkalian adalah berkaitan dengan kekerapan kejadian, berdasarkan fakta bahawa dengan bilangan percubaan yang cukup besar, kekerapan harus cenderung kepada tahap objektif kemungkinan kejadian ini. DALAM persembahan moden teori kebarangkalian, kebarangkalian ditakrifkan secara aksiomatik sebagai kes khas teori abstrak ukuran set. Walau bagaimanapun, pautan penghubung antara ukuran abstrak dan kebarangkalian, yang menyatakan tahap kemungkinan berlakunya peristiwa, adalah tepat kekerapan pemerhatiannya.
Penerangan kemungkinan fenomena tertentu telah meluas dalam sains moden, khususnya dalam ekonometrik, fizik statistik sistem makroskopik (termodinamik), di mana walaupun dalam kes penerangan deterministik klasik tentang pergerakan zarah, penerangan deterministik keseluruhan sistem zarah kelihatan tidak mungkin atau sesuai. DALAM fizik kuantum proses yang diterangkan sendiri adalah bersifat probabilistik.

Tidak mungkin ramai orang berfikir sama ada mungkin untuk mengira peristiwa yang lebih atau kurang rawak. Secara ringkas, adakah mungkin untuk mengetahui bahagian kubus mana yang akan muncul seterusnya? Persoalan inilah yang ditanya oleh dua saintis hebat kepada diri mereka sendiri, siapa yang meletakkan asas untuk sains seperti teori kebarangkalian, di mana kebarangkalian sesuatu kejadian dikaji dengan agak meluas.

asal usul

Jika anda cuba mentakrifkan konsep sedemikian sebagai teori kebarangkalian, anda akan mendapat perkara berikut: ini adalah salah satu cabang matematik yang mengkaji ketekalan peristiwa rawak. Sudah tentu, konsep ini tidak benar-benar mendedahkan keseluruhan intipati, jadi perlu untuk mempertimbangkannya dengan lebih terperinci.

Saya ingin bermula dengan pencipta teori. Seperti yang dinyatakan di atas, terdapat dua daripadanya, dan mereka adalah salah seorang yang pertama mencuba menggunakan formula dan pengiraan matematik mengira keputusan sesuatu peristiwa. Secara umum, permulaan sains ini muncul pada Zaman Pertengahan. Pada masa itu, pelbagai pemikir dan saintis cuba menganalisis permainan perjudian seperti rolet, craps dan sebagainya, dengan itu mewujudkan corak dan peratusan berlakunya satu atau nombor lain. Asas itu diletakkan pada abad ketujuh belas oleh saintis yang disebutkan di atas.

Pada mulanya, karya mereka tidak boleh dianggap sebagai pencapaian hebat dalam bidang ini, kerana semua yang mereka lakukan hanyalah fakta empirikal, dan eksperimen dilakukan secara visual, tanpa menggunakan formula. Dari masa ke masa, adalah mungkin untuk mencapai keputusan yang hebat, yang muncul sebagai hasil daripada memerhatikan lontaran dadu. Alat inilah yang membantu menghasilkan formula pertama yang boleh difahami.

Orang yang berfikiran sama

Adalah mustahil untuk tidak menyebut orang seperti Christiaan Huygens dalam proses mengkaji topik yang dipanggil "teori kebarangkalian" (kebarangkalian sesuatu peristiwa diliputi dengan tepat dalam sains ini). Orang ini sangat menarik. Dia, seperti para saintis yang dibentangkan di atas, mencuba dalam bentuk formula matematik menghasilkan corak peristiwa rawak. Perlu diperhatikan bahawa dia tidak melakukan ini bersama Pascal dan Fermat, iaitu, semua karyanya tidak bersilang dengan fikiran ini. Huygens menyimpulkan

Fakta menarik ialah kerjanya keluar jauh sebelum hasil kerja penemu, atau lebih tepatnya, dua puluh tahun lebih awal. Antara konsep yang dikenal pasti, yang paling terkenal ialah:

konsep kebarangkalian sebagai nilai peluang;
jangkaan matematik untuk kes diskret;
teorem pendaraban dan penambahan kebarangkalian.

Ia juga mustahil untuk tidak mengingati siapa yang turut memberi sumbangan besar kepada kajian masalah tersebut. Menjalankan ujiannya sendiri, bebas daripada sesiapa pun, dia dapat memberikan bukti undang-undang bilangan yang besar. Sebaliknya, saintis Poisson dan Laplace, yang bekerja pada awal abad kesembilan belas, dapat membuktikan teorem asal. Dari saat inilah teori kebarangkalian mula digunakan untuk menganalisis ralat dalam pemerhatian. pintasan ilmu ini Para saintis Rusia, atau lebih tepatnya Markov, Chebyshev dan Dyapunov, tidak boleh sama ada. Mereka, berdasarkan kerja yang dilakukan oleh jenius yang hebat, selamat item ini sebagai cabang matematik. Angka-angka ini telah bekerja pada akhir abad kesembilan belas, dan terima kasih kepada sumbangan mereka, fenomena berikut telah terbukti:

hukum bilangan besar;
teori rantai Markov;
teorem had pusat.

Jadi, dengan sejarah kelahiran sains dan dengan orang utama yang mempengaruhinya, semuanya lebih kurang jelas. Kini tiba masanya untuk menjelaskan semua fakta.

Konsep Asas

Sebelum menyentuh undang-undang dan teorem, adalah wajar untuk mengkaji konsep asas teori kebarangkalian. Acara itu memainkan peranan utama di dalamnya. Topik ini agak besar, tetapi tanpanya anda tidak akan dapat mengetahui segala-galanya.

Peristiwa dalam teori kebarangkalian ialah sebarang set hasil eksperimen. Terdapat beberapa konsep tentang fenomena ini. Oleh itu, saintis Lotman, yang bekerja di kawasan ini, berkata dalam kes ini kita bercakap tentang tentang apa yang "berlaku, walaupun ia mungkin tidak berlaku."

Peristiwa rawak (teori kebarangkalian memberi tumpuan kepada mereka perhatian khusus) ialah konsep yang membayangkan secara mutlak sebarang fenomena yang berpeluang berlaku. Atau, sebaliknya, senario ini mungkin tidak berlaku jika banyak syarat dipenuhi. Ia juga bernilai mengetahui bahawa ia adalah peristiwa rawak yang menangkap keseluruhan volum fenomena yang telah berlaku. Teori kebarangkalian menunjukkan bahawa semua keadaan boleh diulang secara berterusan. Kelakuan merekalah yang dipanggil "pengalaman" atau "ujian".

Peristiwa yang boleh dipercayai ialah fenomena yang seratus peratus mungkin berlaku dalam ujian tertentu. Sehubungan itu, peristiwa yang mustahil adalah satu peristiwa yang tidak akan berlaku.

Gabungan sepasang tindakan (bersyarat, kes A dan kes B) adalah fenomena yang berlaku serentak. Mereka ditetapkan sebagai AB.

Jumlah pasangan peristiwa A dan B ialah C, dengan kata lain, jika sekurang-kurangnya satu daripadanya berlaku (A atau B), maka C akan diperolehi Formula untuk fenomena yang diterangkan adalah seperti berikut: C = A + B.

Peristiwa yang tidak selaras dalam teori kebarangkalian membayangkan bahawa dua kes adalah saling eksklusif. Dalam keadaan apa pun ia tidak boleh berlaku pada masa yang sama. Acara bersama dalam teori kebarangkalian, ini adalah antipod mereka. Apa yang dimaksudkan di sini ialah jika A berlaku, maka ia tidak menghalang B sama sekali.

Peristiwa bertentangan (teori kebarangkalian menganggapnya secara terperinci) mudah difahami. Cara terbaik untuk memahaminya adalah dengan perbandingan. Ia hampir sama dengan peristiwa tidak serasi dalam teori kebarangkalian. Tetapi perbezaan mereka terletak pada fakta bahawa salah satu daripada banyak fenomena mesti berlaku dalam apa jua keadaan.

Peristiwa yang berkemungkinan sama ialah tindakan yang pengulangannya sama. Untuk menjadikannya lebih jelas, anda boleh bayangkan melambung syiling: kehilangan salah satu sisinya berkemungkinan sama-sama jatuh dari sisi yang lain.

Lebih mudah untuk mempertimbangkan acara bertuah dengan contoh. Katakan terdapat episod B dan episod A. Yang pertama ialah balingan dadu dengan nombor ganjil muncul, dan yang kedua ialah penampilan nombor lima pada dadu. Kemudian ternyata A memihak kepada B.

Peristiwa bebas dalam teori kebarangkalian diunjurkan hanya kepada dua atau lebih kes dan membayangkan kebebasan sebarang tindakan daripada yang lain. Sebagai contoh, A ialah kehilangan kepala apabila melambung syiling, dan B ialah lukisan bicu dari geladak. Ia adalah peristiwa bebas dalam teori kebarangkalian. Pada ketika ini ia menjadi lebih jelas.

Peristiwa bersandar dalam teori kebarangkalian juga dibenarkan hanya untuk satu set daripadanya. Mereka membayangkan pergantungan antara satu sama lain, iaitu, fenomena B boleh berlaku hanya jika A telah berlaku atau, sebaliknya, tidak berlaku, apabila ini adalah syarat utama untuk B.

Hasil eksperimen rawak yang terdiri daripada satu komponen ialah peristiwa asas. Teori kebarangkalian menjelaskan bahawa ini adalah fenomena yang berlaku sekali sahaja.

Formula asas

Jadi, konsep "peristiwa" dan "teori kebarangkalian" telah dibincangkan di atas definisi istilah asas sains ini juga diberikan. Kini tiba masanya untuk berkenalan secara langsung formula penting. Ungkapan ini secara matematik mengesahkan semua konsep utama dalam subjek yang kompleks seperti teori kebarangkalian. Kebarangkalian acara memainkan peranan yang besar di sini juga.

Adalah lebih baik untuk memulakan dengan yang asas Dan sebelum anda memulakannya, ia patut mempertimbangkan apa itu.

Kombinatorik adalah terutamanya cabang matematik; ia berkaitan dengan kajian sejumlah besar integer, serta pelbagai pilih atur bagi kedua-dua nombor itu sendiri dan unsur-unsurnya, pelbagai data, dsb., yang membawa kepada kemunculan beberapa kombinasi. Selain teori kebarangkalian, cabang ini penting untuk statistik, sains komputer dan kriptografi.

Jadi, sekarang kita boleh meneruskan untuk membentangkan formula itu sendiri dan definisinya.

Yang pertama daripadanya ialah ungkapan untuk bilangan pilih atur, ia kelihatan seperti ini:

P_n = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1 = n!

Persamaan digunakan hanya jika unsur-unsur berbeza hanya dalam susunan susunannya.

Sekarang formula peletakan akan dipertimbangkan, ia kelihatan seperti ini:

A_n^m = n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ ... ⋅ (n - m + 1) = n! : (n - m)!

Ungkapan ini digunakan bukan sahaja pada susunan peletakan elemen, tetapi juga pada komposisinya.

Persamaan ketiga daripada kombinatorik, dan ia juga yang terakhir, dipanggil formula untuk bilangan gabungan:

C_n^m = n ! : ((n - m))! :m!

Gabungan merujuk kepada pilihan yang tidak dipesan dengan sewajarnya, peraturan ini terpakai kepada mereka.

Mudah untuk memahami formula kombinatorik sekarang anda boleh beralih kepada takrifan klasik kebarangkalian. Ungkapan ini kelihatan seperti ini:

Dalam formula ini, m ialah bilangan keadaan yang sesuai untuk peristiwa A, dan n ialah bilangan mutlak semua hasil asas dan kemungkinan yang sama.

Terdapat sejumlah besar ungkapan; artikel itu tidak akan merangkumi kesemuanya, tetapi yang paling penting akan disentuh, seperti, sebagai contoh, kebarangkalian jumlah peristiwa:

P(A + B) = P(A) + P(B) - teorem ini adalah untuk menambah peristiwa yang tidak serasi sahaja;

P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB) - dan yang ini adalah untuk menambah yang serasi sahaja.

Kebarangkalian kejadian berlaku:

P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B) - teorem ini untuk tidak peristiwa bergantung;

(P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B) = P(A) ⋅ P(A∣B)) - dan yang ini adalah untuk tanggungan.

Senarai acara akan dilengkapkan dengan formula acara. Teori kebarangkalian memberitahu kita tentang teorem Bayes, yang kelihatan seperti ini:

P(H_m∣A) = (P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)),m = 1,..., n

Dalam formula ini, H 1, H 2, ..., H n ialah kumpulan hipotesis yang lengkap.

Contoh

Jika anda mengkaji dengan teliti mana-mana bahagian matematik, ia tidak lengkap tanpa latihan dan penyelesaian sampel. Begitu juga teori kebarangkalian: peristiwa dan contoh di sini adalah komponen penting yang mengesahkan pengiraan saintifik.

Formula untuk bilangan pilih atur

Katakan terdapat tiga puluh kad dalam dek kad, bermula dengan nilai satu. Soalan seterusnya. Berapa banyak cara yang ada untuk menyusun dek supaya kad dengan nilai satu dan dua tidak bersebelahan?

Tugasan telah ditetapkan, sekarang mari kita teruskan untuk menyelesaikannya. Mula-mula anda perlu menentukan bilangan pilih atur tiga puluh elemen, untuk ini kami mengambil formula yang dibentangkan di atas, ternyata P_30 = 30!.

Berdasarkan peraturan ini, kita mengetahui berapa banyak pilihan yang ada untuk melipat dek dengan cara yang berbeza, tetapi kita perlu menolak daripada mereka yang mana kad pertama dan kedua bersebelahan antara satu sama lain. Untuk melakukan ini, mari kita mulakan dengan pilihan apabila yang pertama berada di atas yang kedua. Ternyata kad pertama boleh mengambil dua puluh sembilan tempat - dari yang pertama hingga dua puluh sembilan, dan kad kedua dari yang kedua hingga yang ketiga puluh, menjadikan jumlah keseluruhan dua puluh sembilan tempat untuk sepasang kad. Sebaliknya, selebihnya boleh menerima dua puluh lapan tempat, dan dalam sebarang susunan. Iaitu, untuk menyusun semula dua puluh lapan kad, terdapat dua puluh lapan pilihan P_28 = 28!

Akibatnya, ternyata jika kita mempertimbangkan penyelesaian apabila kad pertama berada di atas yang kedua, akan ada 29 ⋅ 28 kemungkinan tambahan! = 29!

Menggunakan kaedah yang sama, anda perlu mengira bilangan pilihan berlebihan untuk kes apabila kad pertama berada di bawah yang kedua. Ia juga ternyata 29 ⋅ 28! = 29!

Ia berikutan daripada ini bahawa terdapat 2 ⋅ 29 pilihan tambahan!, manakala cara yang perlu mengumpul dek 30! - 2 ⋅ 29!. Yang tinggal hanyalah mengira.

30! = 29! ⋅ 30; 30!- 2 ⋅ 29! = 29! ⋅ (30 - 2) = 29! ⋅ 28

Sekarang anda perlu mendarab semua nombor daripada satu hingga dua puluh sembilan, dan kemudian akhirnya mendarab semuanya dengan 28. Jawapannya ialah 2.4757335 ⋅〖10〗^32

Contoh penyelesaian. Formula untuk nombor penempatan

Dalam masalah ini, anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk meletakkan lima belas jilid pada satu rak, tetapi dengan syarat terdapat tiga puluh jilid secara keseluruhan.

Penyelesaian untuk masalah ini sedikit lebih mudah daripada yang sebelumnya. Menggunakan sudah formula yang terkenal, adalah perlu untuk mengira jumlah bilangan susunan tiga puluh jilid lima belas.

A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ 16 = 202 843 204 931 7007 3

Jawapannya, sewajarnya, akan bersamaan dengan 202,843,204,931,727,360,000.

Sekarang mari kita ambil tugas yang lebih sukar. Anda perlu mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk menyusun tiga puluh buku pada dua rak buku, dengan syarat hanya lima belas jilid boleh diletakkan pada satu rak.

Sebelum memulakan penyelesaian, saya ingin menjelaskan bahawa beberapa masalah boleh diselesaikan dalam beberapa cara, dan ini mempunyai dua kaedah, tetapi kedua-duanya menggunakan formula yang sama.

Dalam masalah ini, anda boleh mengambil jawapan dari yang sebelumnya, kerana di sana kami mengira berapa kali anda boleh mengisi rak dengan lima belas buku dengan cara yang berbeza. Ternyata A_30^15 = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ... ⋅ (30 - 15 + 1) = 30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ ...⋅ 16.

Kami akan mengira rak kedua menggunakan formula pilih atur, kerana lima belas buku boleh diletakkan di dalamnya, manakala hanya lima belas yang tinggal. Kami menggunakan formula P_15 = 15!.

Ternyata jumlahnya ialah A_30^15 ⋅ P_15 cara, tetapi, sebagai tambahan kepada ini, hasil darab semua nombor dari tiga puluh hingga enam belas perlu didarab dengan hasil darab nombor dari satu hingga lima belas, pada akhirnya anda akan mendapat hasil darab semua nombor daripada satu hingga tiga puluh, iaitu jawapannya bersamaan dengan 30!

Tetapi masalah ini boleh diselesaikan dengan cara lain - lebih mudah. Untuk melakukan ini, anda boleh membayangkan bahawa terdapat satu rak untuk tiga puluh buku. Kesemuanya diletakkan di atas kapal terbang ini, tetapi oleh kerana syaratnya memerlukan dua rak, kami melihat satu panjang dalam separuh, jadi kami mendapat dua daripada lima belas. Daripada ini ternyata terdapat P_30 = 30 pilihan untuk susunan!.

Contoh penyelesaian. Formula untuk nombor gabungan

Sekarang kita akan mempertimbangkan versi masalah ketiga dari kombinatorik. Adalah perlu untuk mengetahui berapa banyak cara yang ada untuk menyusun lima belas buku, dengan syarat anda perlu memilih daripada tiga puluh buku yang sama sekali.

Untuk menyelesaikan, sudah tentu, formula untuk bilangan gabungan akan digunakan. Dari syarat itu menjadi jelas bahawa susunan lima belas buku yang sama adalah tidak penting. Oleh itu, pada mulanya anda perlu mengetahui jumlah gabungan tiga puluh buku daripada lima belas.

C_30^15 = 30 ! : ((30-15)) ! : 15! = 155 117 520

Itu sahaja. Menggunakan formula ini, dalam masa paling singkat berjaya menyelesaikan masalah ini, jawapannya, sewajarnya, ialah 155,117,520.

Contoh penyelesaian. Takrif klasik kebarangkalian

Menggunakan formula di atas, anda boleh mencari jawapan kepada masalah mudah. Tetapi ini akan membantu untuk melihat dengan jelas dan menjejaki kemajuan tindakan.

Masalahnya menyatakan bahawa terdapat sepuluh bola yang benar-benar serupa dalam urn. Daripada jumlah ini, empat berwarna kuning dan enam berwarna biru. Satu bola diambil dari urn. Anda perlu mengetahui kebarangkalian mendapat warna biru.

Untuk menyelesaikan masalah, adalah perlu untuk menandakan pemerolehan bola biru oleh peristiwa A. pengalaman ini boleh mempunyai sepuluh hasil, yang, seterusnya, adalah asas dan sama mungkin. Pada masa yang sama, daripada sepuluh, enam memihak kepada peristiwa A. Kami menyelesaikan menggunakan formula:

P(A) = 6: 10 = 0.6

Menggunakan formula ini, kami mengetahui bahawa kebarangkalian untuk mendapatkan bola biru ialah 0.6.

Contoh penyelesaian. Kebarangkalian jumlah peristiwa

Pilihan kini akan dibentangkan yang diselesaikan menggunakan formula kebarangkalian jumlah peristiwa. Jadi, syarat diberi bahawa terdapat dua kotak, yang pertama mengandungi satu bola kelabu dan lima bola putih, dan yang kedua mengandungi lapan bola kelabu dan empat bola putih. Akibatnya, mereka mengambil salah satu daripadanya dari kotak pertama dan kedua. Anda perlu mengetahui apakah peluang bahawa bola yang anda dapat akan menjadi kelabu dan putih.

Untuk menyelesaikan masalah ini, adalah perlu untuk mengenal pasti peristiwa.

Jadi, A - mengambil bola kelabu dari kotak pertama: P(A) = 1/6.
A’ - mengambil bola putih juga dari kotak pertama: P(A") = 5/6.
B - bola kelabu dikeluarkan dari kotak kedua: P(B) = 2/3.
B’ - mengambil bola kelabu dari kotak kedua: P(B") = 1/3.

Mengikut keadaan masalah, adalah perlu untuk salah satu fenomena berlaku: AB’ atau A’B. Dengan menggunakan formula, kita dapat: P(AB") = 1/18, P(A"B) = 10/18.

Sekarang formula untuk mendarab kebarangkalian telah digunakan. Seterusnya, untuk mengetahui jawapannya, anda perlu menggunakan persamaan penambahan mereka:

P = P(AB" + A"B) = P(AB") + P(A"B) = 11/18.

Inilah cara anda boleh menyelesaikan masalah yang sama menggunakan formula.

Garis bawah

Artikel tersebut membentangkan maklumat mengenai topik "Teori Kebarangkalian", di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa dimainkan peranan penting. Sudah tentu, tidak semuanya diambil kira, tetapi, berdasarkan teks yang dibentangkan, anda secara teorinya boleh membiasakan diri dengan bahagian matematik ini. Sains yang dimaksudkan boleh berguna bukan sahaja dalam kerja profesional, tetapi juga dalam kehidupan seharian. Dengan bantuannya, anda boleh mengira sebarang kemungkinan sebarang peristiwa.

Teks itu juga menyentuh tarikh penting dalam sejarah pembentukan teori kebarangkalian sebagai sains, dan nama-nama orang yang kerjanya dilaburkan di dalamnya. Ini adalah bagaimana rasa ingin tahu manusia membawa kepada fakta bahawa orang belajar mengira walaupun peristiwa rawak. Pada suatu masa dahulu mereka hanya berminat dengan perkara ini, tetapi hari ini semua orang sudah tahu mengenainya. Dan tiada siapa yang akan mengatakan apa yang menanti kita pada masa hadapan, apakah penemuan cemerlang lain yang berkaitan dengan teori yang sedang dipertimbangkan akan dibuat. Tetapi satu perkara yang pasti - penyelidikan tidak berdiam diri!

Dalam blog saya, terjemahan kuliah seterusnya kursus "Principles of Game Balance" oleh pereka permainan Jan Schreiber, yang bekerja pada projek seperti Marvel Trading Card Game dan Playboy: the Mansion.

Kepada hari ini hampir semua yang kami bincangkan adalah bersifat deterministik, dan minggu lepas kami melihat dengan teliti mekanik transitif, dengan terperinci seperti yang saya boleh jelaskan. Tetapi sehingga kini kami tidak memberi perhatian kepada satu lagi aspek dalam banyak permainan, iaitu aspek bukan penentu - dengan kata lain, rawak.

Memahami sifat rawak adalah sangat penting untuk pereka permainan. Kami mencipta sistem yang mempengaruhi pengalaman pengguna dalam permainan tertentu, jadi kami perlu mengetahui cara sistem tersebut berfungsi. Sekiranya terdapat rawak dalam sistem, kita perlu memahami sifat rawak ini dan tahu cara mengubahnya untuk mendapatkan hasil yang kita perlukan.

dadu

Mari kita mulakan dengan sesuatu yang mudah - membaling dadu. Apabila kebanyakan orang berfikir tentang dadu, mereka memikirkan dadu bermuka enam yang dikenali sebagai d6. Tetapi kebanyakan pemain telah melihat banyak dadu lain: tetrahedral (d4), oktagon (d8), dua belas sisi (d12), dua puluh sisi (d20). Jika anda seorang geek sebenar, anda mungkin mempunyai dadu 30 belah atau 100 belah di suatu tempat.

Jika anda tidak biasa dengan istilah tersebut, d bermaksud die, dan nombor selepasnya ialah bilangan sisi yang ada padanya. Jika nombor muncul sebelum d, maka ia menunjukkan bilangan dadu yang hendak dilempar. Sebagai contoh, dalam permainan Monopoli anda melancarkan 2d6.

Jadi, dalam kes ini, frasa "dadu" adalah simbol. wujud jumlah yang besar penjana nombor rawak lain yang tidak kelihatan seperti angka plastik, tetapi melaksanakan fungsi yang sama - menjana nombor rawak dari 1 hingga n. Syiling biasa juga boleh diwakili sebagai dadu dihedral d2.

Saya melihat dua reka bentuk dadu tujuh belah: satu daripadanya kelihatan seperti dadu, dan satu lagi kelihatan lebih seperti pensel kayu tujuh segi. Tetrahedral dreidel, juga dikenali sebagai titotum, adalah serupa dengan tulang tetrahedral. Papan anak panah berputar dalam Chutes & Ladders, di mana markah boleh berkisar antara 1 hingga 6, sepadan dengan dadu enam belah.

Penjana nombor rawak komputer boleh mencipta sebarang nombor dari 1 hingga 19 jika pereka bentuk menentukannya, walaupun komputer itu tidak mempunyai die 19 sisi (secara umum, saya akan bercakap lebih lanjut tentang kebarangkalian nombor yang muncul pada komputer minggu depan). Semua item ini kelihatan berbeza, tetapi sebenarnya ia adalah setara: anda mempunyai peluang yang sama untuk setiap beberapa kemungkinan hasil.

Dadu mempunyai beberapa sifat menarik yang perlu kita ketahui. Pertama, kebarangkalian untuk mendaratkan mana-mana dadu adalah sama (saya andaikan anda sedang membaling dadu yang betul). bentuk geometri). Jika anda ingin mengetahui nilai purata gulungan (bagi mereka yang mempunyai kebarangkalian, ini dikenali sebagai nilai jangkaan), tambahkan nilai pada semua tepi dan bahagikan nombor itu dengan bilangan tepi.

Jumlah nilai semua sisi bagi dadu bermuka enam piawai ialah 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Bahagikan 21 dengan bilangan sisi dan dapatkan nilai purata gulungan: 21 / 6 = 3.5. Ini adalah kes istimewa kerana kami menganggap bahawa semua hasil berkemungkinan sama.

Bagaimana jika anda mempunyai dadu istimewa? Sebagai contoh, saya melihat permainan dengan heksagon dadu dengan pelekat khas pada sisi: 1, 1, 1, 2, 2, 3, jadi ia berkelakuan seperti mata dadu tiga sisi yang pelik yang lebih berkemungkinan melancarkan 1 daripada 2 dan lebih berkemungkinan untuk mendarat 2 daripada sebuah 3. Nilai balingan purata yang manakah untuk dadu ini? Jadi, 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 10, dibahagikan dengan 6 - ternyata 5 / 3, atau kira-kira 1.66. Jadi, jika anda mempunyai dadu khas dan pemain membaling tiga dadu dan kemudian menjumlahkan keputusan - anda tahu bahawa balingan mereka akan ditambah sehingga kira-kira 5, dan anda boleh mengimbangi permainan berdasarkan andaian itu.

Dadu dan Kemerdekaan

Seperti yang telah saya katakan, kita meneruskan dari andaian bahawa setiap pihak berkemungkinan sama untuk gugur. Tidak kira berapa banyak dadu yang anda gulung. Setiap lemparan dadu adalah bebas, bermakna lemparan sebelumnya tidak menjejaskan keputusan lemparan berikutnya. Memandangkan percubaan yang mencukupi, anda pasti akan melihat satu siri nombor - seperti bergolek kebanyakannya nombor yang lebih tinggi atau lebih rendah - atau ciri lain, tetapi itu tidak bermakna dadu adalah "panas" atau "sejuk". Kita akan bercakap tentang ini kemudian.

Jika anda melancarkan mata dadu enam sisi standard dan nombor 6 muncul dua kali berturut-turut, kebarangkalian balingan seterusnya akan menghasilkan 6 adalah tepat 1/6 Kebarangkalian tidak meningkat kerana dadu telah "dipanaskan". . Pada masa yang sama, kebarangkalian tidak berkurangan: adalah tidak betul untuk membuat alasan bahawa nombor 6 telah muncul dua kali berturut-turut, yang bermaksud bahawa kini pihak lain harus muncul.

Sudah tentu, jika anda melancarkan mata dadu sebanyak dua puluh kali dan mendapat 6 setiap kali, peluang untuk kali kedua puluh satu anda melancarkan mata dadu 6 adalah agak tinggi: mungkin anda hanya mendapat mata yang salah. Tetapi jika dadu adalah adil, setiap pihak mempunyai kebarangkalian yang sama untuk mendarat, tanpa mengira keputusan gulungan yang lain. Anda juga boleh membayangkan bahawa kami menggantikan dadu setiap kali: jika nombor 6 digulung dua kali berturut-turut, keluarkan dadu "panas" daripada permainan dan gantikannya dengan yang baharu. Saya minta maaf jika ada di antara anda yang sudah mengetahui tentang perkara ini, tetapi saya perlu menjelaskan perkara ini sebelum meneruskan.

Bagaimana untuk membuat dadu bergolek lebih kurang rawak

Mari kita bercakap tentang bagaimana untuk mendapatkan keputusan yang berbeza pada dadu yang berbeza. Sama ada anda membaling dadu sekali atau beberapa kali sahaja, permainan akan berasa lebih rawak apabila dadu mempunyai lebih banyak sisi. Lebih kerap anda perlu membaling dadu, dan lebih banyak dadu yang anda lempar, lebih banyak keputusan menghampiri purata.

Sebagai contoh, dalam kes 1d6 + 4 (iaitu, jika anda melancarkan dadu enam sisi standard sekali dan menambah 4 pada hasilnya), purata ialah nombor antara 5 dan 10. Jika anda melancarkan 5d2, purata juga akan menjadi nombor antara 5 dan 10. Keputusan rolling 5d2 terutamanya akan menjadi nombor 7 dan 8, kurang kerap nilai lain. Siri yang sama, walaupun nilai purata yang sama (dalam kedua-dua kes 7.5), tetapi sifat rawak adalah berbeza.

Tunggu sebentar. Bukankah saya hanya mengatakan bahawa dadu tidak "panas" atau "sejuk"? Sekarang saya katakan: jika anda membaling banyak dadu, keputusan gulungan akan mendekati purata. kenapa?

Biar saya terangkan. Jika anda melancarkan satu dadu, setiap sisi mempunyai kebarangkalian yang sama untuk mendarat. Ini bermakna jika anda membaling banyak dadu dari semasa ke semasa, setiap bahagian akan muncul kira-kira bilangan kali yang sama. Lebih banyak dadu yang anda gulung, lebih banyak hasil keseluruhan akan bergerak lebih dekat kepada purata.

Ini bukan kerana nombor yang dilukis itu "memaksa" nombor lain untuk dilukis yang masih belum dilukis. Tetapi kerana siri kecil melancarkan nombor 6 (atau 20, atau nombor lain) pada akhirnya tidak akan menjejaskan keputusan begitu banyak jika anda membaling dadu sepuluh ribu kali lagi dan kebanyakannya nombor purata akan muncul. Sekarang anda akan mendapat beberapa nombor besar, dan kemudian beberapa nombor kecil - dan lama-kelamaan ia akan menjadi lebih hampir kepada purata.

Ini bukan kerana gulungan sebelumnya menjejaskan dadu (serius, dadu diperbuat daripada plastik, ia tidak mempunyai otak untuk berfikir, "Oh, sudah lama anda tidak membaling 2"), tetapi kerana inilah yang biasanya berlaku apabila anda membaling dadu yang banyak

Oleh itu, agak mudah untuk melakukan pengiraan untuk satu gulung rawak dadu - sekurang-kurangnya untuk mengira nilai purata bagi gulungan itu. Terdapat juga cara untuk mengira "berapa rawak" sesuatu dan mengatakan bahawa keputusan penggelek 1d6+4 akan menjadi "lebih rawak" daripada 5d2. Untuk 5d2, gulung akan lebih sekata. Untuk melakukan ini, anda perlu mengira sisihan piawai: semakin besar nilainya, semakin rawak hasilnya. Saya tidak ingin memberikan banyak pengiraan hari ini;

Satu-satunya perkara yang saya akan minta anda ingat ialah, sebagai peraturan umum, semakin sedikit dadu yang anda lemparkan, semakin besar kerawakannya. Dan lebih banyak sisi dadu, lebih besar rawak, kerana lebih banyak pilihan yang mungkin makna.

Cara Mengira Kebarangkalian Menggunakan Pengiraan

Anda mungkin mempunyai soalan: bagaimana kami boleh mengira kebarangkalian tepat untuk mendapat keputusan tertentu? Malah, ini agak penting untuk banyak permainan: jika anda mula-mula membaling dadu - kemungkinan besar terdapat beberapa jenis hasil yang optimum. Jawapan saya ialah: kita perlu mengira dua nilai. Pertama, jumlah bilangan hasil semasa melontar dadu, dan kedua, bilangan hasil yang menggalakkan. Membahagikan nilai kedua dengan yang pertama akan memberi anda kebarangkalian yang diingini. Untuk mendapatkan peratusan, darabkan hasilnya dengan 100.

Contoh

Berikut adalah contoh yang sangat mudah. Anda mahu nombor 4 atau lebih tinggi melancarkan dadu enam segi sekali. Bilangan maksimum hasil ialah 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Daripada jumlah ini, 3 hasil (4, 5, 6) adalah baik. Ini bermakna untuk mengira kebarangkalian, kita bahagikan 3 dengan 6 dan mendapat 0.5 atau 50%.

Berikut ialah contoh yang lebih rumit. Anda mahu bergolek 2d6 nombor genap. Bilangan maksimum hasil ialah 36 (6 pilihan untuk setiap mati, satu mati tidak menjejaskan yang lain, jadi darab 6 dengan 6 dan dapatkan 36). Kesukaran dengan soalan jenis ini ialah mudah untuk mengira dua kali. Sebagai contoh, apabila melancarkan 2d6, terdapat dua kemungkinan hasil 3: 1+2 dan 2+1. Mereka kelihatan sama, tetapi perbezaannya adalah nombor yang dipaparkan pada die pertama dan nombor yang dipaparkan pada yang kedua.

Anda juga boleh membayangkan bahawa dadu warna yang berbeza: Jadi, sebagai contoh, dalam kes ini satu dadu adalah merah, satu lagi adalah biru. Kemudian hitung bilangan pilihan untuk melancarkan nombor genap:

2 (1+1);
4 (1+3);
4 (2+2);
4 (3+1);
6 (1+5);
6 (2+4);
6 (3+3);
6 (4+2);
6 (5+1);
8 (2+6);
8 (3+5);
8 (4+4);
8 (5+3);
8 (6+2);
10 (4+6);
10 (5+5);
10 (6+4);
12 (6+6).

Ternyata terdapat 18 pilihan untuk hasil yang menggalakkan daripada 36 - seperti dalam kes sebelumnya, kebarangkalian adalah 0.5 atau 50%. Mungkin tidak dijangka, tetapi agak tepat.

Simulasi Monte Carlo

Bagaimana jika anda mempunyai terlalu banyak dadu untuk pengiraan ini? Sebagai contoh, anda ingin tahu apakah kebarangkalian untuk mendapat jumlah 15 atau lebih apabila melancarkan 8d6. Terdapat sejumlah besar hasil yang berbeza untuk lapan dadu, dan mengiranya dengan tangan akan mengambil masa yang sangat lama - walaupun kita boleh mencari penyelesaian yang baik untuk mengumpulkan set gulung dadu yang berbeza.

Dalam kes ini, cara paling mudah ialah tidak mengira secara manual, tetapi menggunakan komputer. Terdapat dua cara untuk mengira kebarangkalian pada komputer. Kaedah pertama boleh memberi anda jawapan yang tepat, tetapi ia melibatkan sedikit pengaturcaraan atau skrip. Komputer akan melihat setiap peluang, menilai dan mengira jumlah kuantiti lelaran dan bilangan lelaran yang sepadan dengan hasil yang diingini dan kemudiannya akan memberikan jawapan. Kod anda mungkin kelihatan seperti ini:

Jika anda tidak memahami pengaturcaraan dan anda memerlukan jawapan anggaran dan bukannya jawapan yang tepat, anda boleh mensimulasikan situasi ini dalam Excel, di mana anda melancarkan 8d6 beberapa ribu kali dan mendapatkan jawapannya. Untuk melancarkan 1d6 dalam Excel, gunakan formula =TINGKAT(RAND()*6)+1.

Terdapat nama untuk situasi apabila anda tidak tahu jawapannya dan cuba lagi dan lagi - simulasi Monte Carlo. Ini adalah penyelesaian yang bagus untuk digunakan apabila mengira kebarangkalian terlalu sukar. Perkara yang menarik ialah dalam kes ini kita tidak perlu memahami bagaimana matematik berfungsi, dan kita tahu bahawa jawapannya akan menjadi "agak bagus" kerana, seperti yang kita sedia maklum, semakin banyak gulung, semakin hampir hasilnya kepada purata.

Bagaimana untuk menggabungkan percubaan bebas

Jika anda bertanya tentang beberapa pengulangan tetapi ujian bebas, maka hasil satu lontaran tidak menjejaskan hasil balingan yang lain. Terdapat satu lagi penjelasan yang lebih mudah untuk keadaan ini.

Bagaimana untuk membezakan antara sesuatu yang bergantung dan bebas? Pada asasnya, jika anda boleh mengasingkan setiap lontaran (atau siri lontaran) dadu sebagai acara berasingan, maka ia adalah bebas. Sebagai contoh, kami membaling 8d6 dan mahukan jumlah 15. Acara ini tidak boleh dibahagikan kepada beberapa gulungan dadu bebas. Untuk mendapatkan keputusan, anda mengira jumlah semua nilai, jadi hasil yang muncul pada satu dadu mempengaruhi keputusan yang sepatutnya muncul pada yang lain.

Berikut ialah contoh guling bebas: Anda sedang bermain permainan dadu dan anda membaling dadu enam belah berbilang kali. Gulungan pertama mestilah 2 atau lebih tinggi untuk kekal dalam permainan. Untuk lontaran kedua - 3 atau lebih tinggi. Yang ketiga memerlukan 4 atau lebih tinggi, yang keempat memerlukan 5 atau lebih tinggi, dan yang kelima memerlukan 6. Jika semua lima gulungan berjaya, anda menang. Dalam kes ini, semua lontaran adalah bebas. Ya, jika satu balingan tidak berjaya, ia akan menjejaskan keputusan keseluruhan permainan, tetapi satu balingan tidak menjejaskan yang lain. Sebagai contoh, jika balingan dadu kedua anda sangat berjaya, ini tidak bermakna balingan seterusnya akan menjadi sebaik. Oleh itu, kita boleh mempertimbangkan kebarangkalian setiap lemparan dadu secara berasingan.

Jika anda mempunyai kebarangkalian bebas dan ingin mengetahui kebarangkalian bahawa semua peristiwa akan berlaku, anda menentukan setiap kebarangkalian individu dan mendarabkannya bersama-sama. Cara lain: jika anda menggunakan kata hubung “dan” untuk menerangkan beberapa keadaan (contohnya, apakah kebarangkalian berlakunya beberapa peristiwa rawak dan beberapa peristiwa rawak bebas yang lain?) - kira kebarangkalian individu dan darabkannya.

Tidak kira apa yang anda fikirkan, jangan sekali-kali menambah kebarangkalian bebas. Ini adalah kesilapan biasa. Untuk memahami mengapa ini salah, bayangkan situasi di mana anda melambung syiling dan ingin mengetahui kebarangkalian untuk mendapat kepala dua kali berturut-turut. Kebarangkalian setiap bahagian jatuh ialah 50%. Jika anda menjumlahkan kedua-dua kebarangkalian ini, anda mendapat peluang 100% untuk mendapat kepala, tetapi kami tahu itu tidak benar kerana ia boleh menjadi ekor dua kali berturut-turut. Jika anda sebaliknya mendarabkan dua kebarangkalian, anda mendapat 50% * 50% = 25% - yang merupakan jawapan yang betul untuk mengira kebarangkalian mendapat kepala dua kali berturut-turut.

Contoh

Mari kita kembali ke permainan dadu enam segi, di mana anda perlu membaling nombor yang lebih besar daripada 2, kemudian lebih besar daripada 3 - dan seterusnya sehingga 6. Apakah kemungkinan dalam siri lima balingan yang diberikan semua keputusan akan menguntungkan ?

Seperti yang dinyatakan di atas, ini adalah percubaan bebas, jadi kami mengira kebarangkalian untuk setiap gulungan individu dan kemudian mendarabkannya bersama-sama. Kebarangkalian bahawa hasil gulungan pertama akan menguntungkan ialah 5/6. Kedua - 4/6. Ketiga - 3/6. Yang keempat - 2/6, yang kelima - 1/6. Kami mendarabkan semua keputusan dengan satu sama lain dan mendapat kira-kira 1.5%. Kemenangan dalam permainan ini agak jarang berlaku, jadi jika anda menambah elemen ini pada permainan anda, anda memerlukan jackpot yang agak besar.

Negasi

Ini satu lagi petunjuk berguna: Kadangkala sukar untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa akan berlaku, tetapi lebih mudah untuk menentukan kemungkinan peristiwa itu tidak akan berlaku. Sebagai contoh, katakan kami mempunyai permainan lain: anda melancarkan 6d6 dan menang jika anda melancarkan 6 sekurang-kurangnya sekali.

Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk dipertimbangkan. Ada kemungkinan satu nombor 6 akan dilempar, iaitu satu daripada dadu akan menunjukkan nombor 6, dan yang lain akan menunjukkan nombor dari 1 hingga 5, kemudian terdapat 6 pilihan untuk dadu yang mana akan menunjukkan 6. Anda boleh mendapatkan nombor 6 pada dua dadu dadu, atau tiga, atau lebih, dan setiap kali anda perlu melakukan pengiraan berasingan, jadi mudah untuk dikelirukan di sini.

Tetapi mari kita lihat masalah dari sisi lain. Anda akan kalah jika tiada satu dadu membaling 6. Dalam kes ini kita mempunyai 6 percubaan bebas. Kebarangkalian setiap dadu akan membaling nombor selain daripada 6 ialah 5/6. Darabkan mereka dan anda mendapat kira-kira 33%. Oleh itu, kebarangkalian untuk kalah adalah satu dalam tiga. Oleh itu, kebarangkalian untuk menang ialah 67% (atau dua hingga tiga).

Daripada contoh ini adalah jelas: jika anda mengira kebarangkalian bahawa sesuatu peristiwa tidak akan berlaku, anda perlu menolak keputusan daripada 100%. Jika kebarangkalian menang ialah 67%, maka kebarangkalian untuk kalah ialah 100% tolak 67%, atau 33%, dan sebaliknya. Jika sukar untuk mengira satu kebarangkalian tetapi mudah untuk mengira sebaliknya, hitung sebaliknya dan kemudian tolak nombor itu daripada 100%.

Kami menggabungkan syarat untuk satu ujian bebas

Saya katakan di atas bahawa anda tidak boleh menambah kebarangkalian merentasi percubaan bebas. Adakah terdapat sebarang kes di mana kemungkinan untuk menjumlahkan kebarangkalian? Ya, dalam satu situasi istimewa.

Jika anda ingin mengira kebarangkalian untuk beberapa hasil yang menguntungkan yang tidak berkaitan pada satu percubaan, jumlahkan kebarangkalian bagi setiap hasil yang menguntungkan. Sebagai contoh, kebarangkalian untuk melancarkan 4, 5, atau 6 pada 1d6 adalah sama dengan jumlah kebarangkalian melancarkan 4, kebarangkalian melancarkan 5, dan kebarangkalian melancarkan 6. Keadaan ini boleh dibayangkan dengan cara ini: jika anda menggunakan kata hubung “atau” dalam soalan tentang kebarangkalian (contohnya, apakah kebarangkalian satu atau satu lagi hasil bagi satu peristiwa rawak?) - kira kebarangkalian individu dan jumlahnya.

Sila ambil perhatian: apabila anda mengira semua kemungkinan hasil permainan, jumlah kebarangkalian kejadiannya mestilah sama dengan 100%, jika tidak pengiraan anda telah dibuat secara salah. Ini adalah cara yang baik untuk menyemak semula pengiraan anda. Sebagai contoh, anda menganalisis kebarangkalian semua kombinasi dalam poker. Jika anda menjumlahkan semua keputusan anda, anda sepatutnya mendapat tepat 100% (atau sekurang-kurangnya hampir 100%: jika anda menggunakan kalkulator, mungkin terdapat ralat pembundaran kecil, tetapi jika anda menjumlahkan nombor tepat dengan tangan, semuanya harus ditambah). Jika jumlahnya tidak bertumpu, ini bermakna anda berkemungkinan besar tidak mengambil kira beberapa kombinasi atau mengira kebarangkalian beberapa kombinasi secara salah, dan pengiraan perlu disemak dua kali.

Kebarangkalian yang tidak sama rata

Setakat ini kita telah mengandaikan bahawa setiap sisi dadu digulung pada frekuensi yang sama, kerana itulah cara dadu kelihatan berfungsi. Tetapi kadangkala anda mungkin menghadapi situasi di mana hasil yang berbeza mungkin dan mereka mempunyai peluang yang berbeza untuk muncul.

Sebagai contoh, dalam salah satu pengembangan permainan kad Perang Nuklear terdapat padang permainan dengan anak panah, di mana hasil pelancaran roket bergantung. Selalunya ia mengalami kerosakan biasa, lebih kuat atau lebih lemah, tetapi kadangkala kerosakan itu berganda atau tiga kali ganda, atau roket meletup pada pad pelancaran dan menyakiti anda, atau beberapa peristiwa lain berlaku. Tidak seperti papan anak panah dalam Chutes & Ladders atau A Game of Life, keputusan papan permainan dalam Perang Nuklear adalah tidak sekata. Sesetengah bahagian padang permainan adalah lebih besar dan anak panah berhenti padanya dengan lebih kerap, manakala bahagian lain sangat kecil dan anak panah jarang berhenti padanya.

Jadi, pada pandangan pertama, dadu kelihatan seperti ini: 1, 1, 1, 2, 2, 3 - kita sudah bercakap mengenainya, ia adalah sesuatu seperti 1d3 berwajaran. Oleh itu, kita perlu membahagikan semua bahagian ini kepada bahagian yang sama, mencari unit ukuran terkecil, pembahagi yang semuanya adalah berganda, dan kemudian mewakili keadaan dalam bentuk d522 (atau yang lain), di mana set dadu wajah akan mewakili situasi yang sama, tetapi dengan lebih banyak hasil. Ini adalah salah satu cara untuk menyelesaikan masalah, dan ia boleh dilaksanakan secara teknikal, tetapi terdapat pilihan yang lebih mudah.

Mari kita kembali kepada dadu enam segi standard kami. Kami telah mengatakan bahawa untuk mengira pusingan purata bagi dadu biasa, anda perlu menambah nilai pada semua muka dan membahagikan dengan bilangan muka, tetapi bagaimana sebenarnya pengiraan itu berfungsi? Terdapat cara lain untuk menyatakan ini. Untuk dadu bermuka enam, kebarangkalian setiap sisi digolek adalah tepat 1/6. Sekarang kita darabkan hasil setiap tepi dengan kebarangkalian hasil itu (dalam kes ini, 1/6 untuk setiap tepi), dan kemudian tambahkan nilai yang terhasil. Oleh itu, menjumlahkan (1 * 1/6) + (2 * 1/6) + (3 * 1/6) + (4 * 1/6) + (5 * 1/6) + (6 * 1/6 ), kita mendapat keputusan yang sama (3.5) seperti dalam pengiraan di atas. Malah, kita mengira dengan cara ini setiap kali: kita mendarabkan setiap hasil dengan kebarangkalian hasil tersebut.

Bolehkah kita melakukan pengiraan yang sama untuk anak panah di padang permainan dalam Perang Nuklear? Sudah tentu kita boleh. Dan jika kita merumuskan semua keputusan yang ditemui, kita akan mendapat nilai purata. Apa yang perlu kita lakukan ialah mengira kebarangkalian setiap hasil untuk anak panah di padang permainan dan darab dengan nilai hasil.

Contoh lain

Kaedah pengiraan purata ini juga sesuai jika keputusannya berkemungkinan sama tetapi mempunyai kelebihan yang berbeza - contohnya, jika anda melemparkan mata dadu dan menang lebih banyak di beberapa pihak berbanding yang lain. Sebagai contoh, mari kita ambil permainan kasino: anda membuat pertaruhan dan melancarkan 2d6. Jika tiga nombor digulung dengan nilai terendah(2, 3, 4) atau empat nombor dengan nilai tinggi(9, 10, 11, 12) - anda akan memenangi jumlah yang sama dengan pertaruhan anda. Nombor dengan nilai terendah dan tertinggi adalah istimewa: jika anda melancarkan 2 atau 12, anda memenangi dua kali pertaruhan anda. Jika mana-mana nombor lain digulung (5, 6, 7, 8), anda akan kehilangan pertaruhan anda. memang cantik permainan mudah. Tetapi apakah kebarangkalian untuk menang?

Mari mulakan dengan mengira berapa kali anda boleh menang. Bilangan maksimum hasil apabila melancarkan 2d6 ialah 36. Berapakah bilangan hasil yang menggalakkan?

Terdapat 1 pilihan bahawa 2 akan digulung dan 1 pilihan bahawa 12 akan digulung.
Terdapat 2 pilihan yang 3 akan roll dan 2 pilihan yang 11 akan roll.
Terdapat 3 pilihan yang 4 akan bergolek, dan 3 pilihan yang 10 akan melancarkan.
Terdapat 4 pilihan untuk melancarkan 9.

Menjumlahkan semua pilihan, kami mendapat 16 hasil yang menggalakkan daripada 36. Oleh itu, dengan keadaan biasa anda akan menang 16 kali daripada 36 yang mungkin - kebarangkalian untuk menang adalah kurang sedikit daripada 50%.

Tetapi dalam dua kes daripada enam belas ini anda akan menang dua kali ganda - ia seperti menang dua kali. Jika anda bermain permainan ini 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, dan setiap satu daripada semua kemungkinan hasil muncul sekali, anda akan memenangi sejumlah $18 (anda sebenarnya akan menang 16 kali, tetapi dua daripadanya akan dikira sebagai dua kemenangan ). Jika anda bermain 36 kali dan memenangi $18, bukankah itu bermakna kemungkinannya adalah sama?

Ambil masa anda. Jika anda mengira berapa kali anda boleh kalah, anda akan mendapat 20, bukan 18. Jika anda bermain 36 kali, bertaruh $1 setiap kali, anda akan menang jumlah keseluruhan$18 jika semua hasil yang menggalakkan berlaku. Tetapi anda akan kehilangan sejumlah $20 jika anda mendapat kesemua 20 hasil yang tidak menguntungkan. Akibatnya, anda akan ketinggalan sedikit: anda kehilangan purata $2 bersih untuk setiap 36 permainan (anda juga boleh mengatakan bahawa anda kehilangan purata 1/18 dolar setiap hari). Sekarang anda melihat betapa mudahnya untuk membuat kesilapan dalam kes ini dan mengira kebarangkalian dengan tidak betul.

Penyusunan semula

Setakat ini kita telah menganggap bahawa susunan nombor semasa membaling dadu tidak penting. Gulung 2 + 4 adalah sama seperti guling 4 + 2. Dalam kebanyakan kes, kami mengira bilangan hasil yang menggalakkan secara manual, tetapi kadangkala kaedah ini adalah tidak praktikal dan lebih baik menggunakan formula matematik.

Contoh situasi ini adalah daripada permainan dadu Farkle. Untuk setiap pusingan baharu, anda melancarkan 6d6. Jika anda bernasib baik dan mendapat semua kemungkinan keputusan 1-2-3-4-5-6 (lurus), anda akan menerima bonus besar. Apakah kemungkinan perkara ini berlaku? Dalam kes ini, terdapat banyak pilihan untuk mendapatkan gabungan ini.

Penyelesaiannya adalah seperti berikut: satu daripada dadu (dan hanya satu) mesti mempunyai nombor 1. Berapa banyak cara nombor 1 boleh muncul pada satu dadu? Terdapat 6 pilihan, kerana terdapat 6 dadu, dan mana-mana daripadanya boleh jatuh pada nombor 1. Oleh itu, ambil satu dadu dan letakkan di tepi. Sekarang salah satu daripada dadu yang tinggal harus melancarkan nombor 2. Terdapat 5 pilihan untuk ini. Ambil satu lagi dadu dan ketepikan. Kemudian 4 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat nombor 3, 3 daripada dadu yang tinggal boleh mendarat nombor 4, dan 2 daripada dadu yang tinggal boleh mendapat nombor 5. Ini meninggalkan anda dengan satu dadu yang sepatutnya mendarat nombor 6 (dalam kes yang terakhir hanya ada satu yang mati, dan tiada pilihan).

Untuk mengira bilangan hasil yang menggalakkan untuk memukul lurus, kami mendarabkan semua kemungkinan bebas yang berbeza: 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=720 - nampaknya terdapat sejumlah besar kemungkinan untuk kombinasi ini muncul .

Untuk mengira kebarangkalian mendapat lurus, kita perlu membahagikan 720 dengan bilangan semua hasil yang mungkin untuk rolling 6d6. Berapakah bilangan semua hasil yang mungkin? Setiap dadu boleh mempunyai 6 sisi, jadi kita darabkan 6 x 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 46656 (nombor yang jauh lebih besar daripada yang sebelumnya). Bahagikan 720 dengan 46656 dan kita mendapat kebarangkalian kira-kira 1.5%. Jika anda mereka bentuk permainan ini, adalah berguna untuk anda mengetahui perkara ini supaya anda boleh mencipta sistem pemarkahan yang sewajarnya. Kini kami faham mengapa di Farkle anda mendapat bonus yang begitu besar jika anda mendapat straight: ini adalah situasi yang agak jarang berlaku.

Hasilnya juga menarik kerana sebab lain. Contoh menunjukkan betapa jarang dalam tempoh yang singkat keputusan berlaku yang sepadan dengan kebarangkalian. Sudah tentu, jika kita membaling beberapa ribu dadu, muka berbeza dadu akan datang agak kerap. Tetapi apabila kita membuang hanya enam dadu, hampir tidak pernah berlaku bahawa setiap muka muncul. Ia menjadi jelas bahawa adalah bodoh untuk menjangkakan bahawa baris kini akan muncul yang belum berlaku, kerana "kami telah lama tidak melancarkan nombor 6." Dengar, penjana nombor rawak anda rosak.

Ini membawa kita kepada salah tanggapan umum bahawa semua hasil berlaku pada kekerapan yang sama dalam tempoh masa yang singkat. Jika kita membaling dadu beberapa kali, kekerapan setiap sisi jatuh tidak akan sama.

Jika anda pernah mengusahakan permainan dalam talian dengan beberapa jenis penjana nombor rawak sebelum ini, kemungkinan besar anda pernah menghadapi situasi di mana pemain menulis kepada sokongan teknikal mengadu bahawa penjana nombor rawak tidak menunjukkan nombor rawak. Dia membuat kesimpulan ini kerana dia membunuh 4 raksasa berturut-turut dan menerima 4 ganjaran yang sama, dan ganjaran ini sepatutnya hanya muncul 10% sahaja, jadi ini jelas sekali tidak sepatutnya berlaku.

Anda sedang membuat pengiraan matematik. Kebarangkalian ialah 1/10 * 1/10 * 1/10 * 1/10, iaitu, 1 hasil dalam 10 ribu adalah kes yang agak jarang berlaku. Inilah yang pemain cuba beritahu anda. Adakah terdapat masalah dalam kes ini?

Semuanya bergantung pada keadaan. Berapakah bilangan pemain pada masa ini pada pelayan anda? Katakan anda mempunyai permainan yang agak popular dan 100 ribu orang bermain setiap hari. Berapa ramai pemain yang boleh membunuh empat raksasa berturut-turut? Mungkin semua, beberapa kali sehari, tetapi mari kita anggap separuh daripada mereka hanya bertukar objek yang berbeza di lelongan, sepadan pada pelayan RP, atau melakukan tindakan permainan lain - oleh itu, hanya separuh daripada mereka memburu raksasa. Apakah kebarangkalian seseorang akan mendapat ganjaran yang sama? Dalam keadaan ini, anda boleh menjangkakan perkara ini berlaku sekurang-kurangnya beberapa kali sehari.

Ngomong-ngomong, inilah sebabnya nampaknya setiap beberapa minggu seseorang memenangi loteri, walaupun seseorang itu tidak pernah menjadi anda atau sesiapa yang anda kenali. Jika cukup orang bermain dengan kerap, kemungkinan akan ada sekurang-kurangnya seorang pemain bertuah di suatu tempat. Tetapi jika anda bermain loteri sendiri, maka anda tidak mungkin menang, sebaliknya anda akan dijemput untuk bekerja di Infinity Ward.

Kad dan ketagihan

Kami telah membincangkan acara bebas, seperti membaling dadu, dan kini mengetahui banyak alat berkuasa untuk menganalisis rawak dalam banyak permainan. Mengira kebarangkalian adalah sedikit lebih rumit apabila ia datang untuk menarik kad dari dek, kerana setiap kad yang kita lukis mempengaruhi kad yang kekal dalam dek.

Jika anda mempunyai dek 52 kad standard, anda mengeluarkan 10 hati daripadanya dan ingin mengetahui kebarangkalian bahawa kad seterusnya adalah daripada saman yang sama - kebarangkalian telah berubah daripada yang asal kerana anda telah mengeluarkan satu kad saman itu hati dari dek. Setiap kad yang anda alih keluar mengubah kebarangkalian kad seterusnya muncul dalam dek. Dalam kes ini, peristiwa sebelumnya mempengaruhi yang seterusnya, jadi kami memanggil ini bergantung kepada kebarangkalian.

Sila ambil perhatian bahawa apabila saya menyebut "kad" saya bercakap tentang mana-mana mekanik permainan di mana anda mempunyai satu set objek dan anda mengalih keluar salah satu objek tanpa menggantikannya. "Dek kad" dalam kes ini adalah analog dengan beg cip yang anda ambil satu cip, atau guci dari mana bola berwarna diambil (saya tidak pernah melihat permainan dengan guci dari mana bola berwarna diambil, tetapi guru teori kebarangkalian tentang apa -sebab mengapa contoh ini diutamakan).

Sifat Kebergantungan

Saya ingin menjelaskan bahawa apabila ia berkaitan dengan kad, saya andaikan anda melukis kad, melihatnya dan mengeluarkannya dari dek. Setiap tindakan ini adalah harta yang penting. Jika saya mempunyai dek, katakan, enam kad dengan nombor 1 hingga 6, saya akan mengocoknya dan mencabut satu kad, kemudian mengocok semua enam kad sekali lagi - ini akan serupa dengan melontar dadu enam belah, kerana satu keputusan mempunyai tiada kesan untuk yang seterusnya. Dan jika saya mengeluarkan kad dan tidak menggantikannya, maka dengan mengeluarkan kad 1, saya meningkatkan kemungkinan bahawa pada kali seterusnya saya akan menarik kad dengan nombor 6. Kebarangkalian akan meningkat sehingga saya akhirnya mengeluarkan kad itu atau kocok dek.

Fakta bahawa kita melihat kad juga penting. Jika saya mengeluarkan kad dari dek dan tidak melihatnya, saya tidak akan mempunyai maklumat tambahan dan sebenarnya kebarangkalian tidak akan berubah. Ini mungkin kedengaran bertentangan dengan intuisi. Bagaimana boleh flip mudah kad secara ajaib mengubah kebarangkalian? Tetapi ia adalah mungkin kerana anda boleh mengira kebarangkalian untuk item yang tidak diketahui hanya dari apa yang anda tahu.

Sebagai contoh, jika anda mengocok dek kad standard dan mendedahkan 51 kad dan tiada satu pun daripadanya adalah ratu kelab, maka anda boleh yakin 100% bahawa kad yang tinggal adalah ratu kelab. Jika anda mengocok dek kad standard dan mengeluarkan 51 kad tanpa melihatnya, kebarangkalian bahawa kad yang tinggal adalah ratu kelab masih 1/52. Apabila anda membuka setiap kad, anda mendapat lebih banyak maklumat.

Mengira kebarangkalian untuk acara bergantung mengikut prinsip yang sama seperti untuk acara bebas, kecuali ia adalah lebih rumit sedikit kerana kebarangkalian berubah apabila anda mendedahkan kad. Jadi anda perlu membiak banyak makna yang berbeza, bukannya mendarab nilai yang sama. Maksud sebenarnya ialah kita perlu menggabungkan semua pengiraan yang kita lakukan menjadi satu gabungan.

Contoh

Anda kocok dek 52 kad standard dan lukis dua kad. Apakah kebarangkalian anda akan melukis sepasang? Terdapat beberapa cara untuk mengira kebarangkalian ini, tetapi mungkin yang paling mudah ialah ini: apakah kebarangkalian bahawa jika anda melukis satu kad, anda tidak akan dapat melukis sepasang? Kebarangkalian ini adalah sifar, jadi tidak kira kad pertama yang anda lukis, asalkan ia sepadan dengan kad kedua. Tidak kira kad yang kita lukis dahulu, kita masih berpeluang untuk menarik sepasang. Oleh itu, kebarangkalian untuk menarik sepasang selepas kad pertama dicabut ialah 100%.

Apakah kebarangkalian bahawa kad kedua sepadan dengan kad pertama? Terdapat 51 kad yang tinggal di dek, dan 3 daripadanya sepadan dengan kad pertama (sebenarnya terdapat 4 daripada 52, tetapi anda telah mengeluarkan salah satu kad yang sepadan apabila anda menarik kad pertama), jadi kebarangkalian adalah 1/ 17. Jadi pada kali seterusnya anda bermain Texas Hold'em, lelaki di seberang meja dari anda berkata, “Cool, pasangan lain? Saya berasa bertuah hari ini, "anda akan tahu bahawa terdapat kebarangkalian tinggi bahawa dia menipu.

Bagaimana jika kita menambah dua pelawak supaya kita mempunyai 54 kad dalam dek dan ingin tahu apakah kebarangkalian untuk melukis sepasang? Kad pertama mungkin pelawak, dan kemudian hanya akan ada satu kad dalam dek yang sepadan, dan bukan tiga. Bagaimana untuk mencari kebarangkalian dalam kes ini? Kami akan membahagikan kebarangkalian dan mendarabkan setiap kemungkinan.

Kad pertama kami boleh menjadi pelawak atau kad lain. Kebarangkalian untuk melukis joker ialah 2/54, kebarangkalian untuk melukis beberapa kad lain ialah 52/54. Jika kad pertama adalah joker (2/54), maka kebarangkalian bahawa kad kedua akan sepadan dengan yang pertama ialah 1/53. Kami mendarabkan nilai (kita boleh mendarabkannya kerana ia adalah peristiwa yang berasingan dan kami mahu kedua-dua peristiwa itu berlaku) dan kami mendapat 1/1431 - kurang daripada satu persepuluh peratus.

Jika anda menarik beberapa kad lain dahulu (52/54), kebarangkalian untuk memadankan kad kedua ialah 3/53. Kami mendarabkan nilai dan mendapat 78/1431 (lebih sedikit daripada 5.5%). Apa yang kita lakukan dengan kedua-dua keputusan ini? Mereka tidak bersilang, dan kami ingin mengetahui kebarangkalian setiap daripada mereka, jadi kami menambah nilai. Kami dapat keputusan akhir 79/1431 (masih kira-kira 5.5%).

Jika kami ingin memastikan ketepatan jawapan, kami boleh mengira kebarangkalian semua hasil lain yang mungkin: melukis pelawak dan tidak sepadan dengan kad kedua, atau melukis beberapa kad lain dan tidak sepadan dengan kad kedua. Merumuskan kebarangkalian ini dan kebarangkalian untuk menang, kita akan mendapat tepat 100%. Saya tidak akan memberikan matematik di sini, tetapi anda boleh mencuba matematik untuk menyemak semula.

Paradoks Dewan Monty

Ini membawa kita kepada paradoks yang agak terkenal yang sering mengelirukan ramai orang - Paradoks Dewan Monty. Paradoks itu dinamakan sempena pengacara rancangan TV Let's Make a Deal Bagi mereka yang tidak pernah menonton rancangan TV ini, ia adalah bertentangan dengan The Price Is Right.

On The Price Is Right, hos (Bob Barker pernah menjadi hos; yang kini, Drew Carey? Tidak mengapa) ialah rakan anda. Dia mahu anda memenangi wang atau hadiah menarik. Ia cuba memberi anda setiap peluang untuk menang, asalkan anda boleh meneka berapa nilai barangan yang dibeli oleh penaja sebenarnya.

Monty Hall berkelakuan berbeza. Dia seperti kembar jahat Bob Barker. Matlamatnya adalah untuk menjadikan anda kelihatan seperti orang bodoh di televisyen nasional. Jika anda berada di acara itu, dia adalah lawan anda, anda bermain menentangnya, dan kemungkinannya memihak kepadanya. Mungkin saya terlalu keras, tetapi melihat persembahan yang anda lebih cenderung untuk menyertai jika anda memakai kostum yang tidak masuk akal, itulah yang saya datangi.

Salah satu meme yang paling terkenal dalam rancangan itu ialah ini: terdapat tiga pintu di hadapan anda, pintu nombor 1, pintu nombor 2 dan pintu nombor 3. Anda boleh memilih satu pintu secara percuma. Di belakang salah satu daripada mereka adalah hadiah yang luar biasa - contohnya, kereta baru. Tiada hadiah di sebalik dua pintu yang lain, kedua-duanya tidak bernilai. Mereka sepatutnya memalukan anda, jadi di belakang mereka bukan hanya apa-apa, tetapi sesuatu yang bodoh, sebagai contoh, kambing atau tiub besar ubat gigi - apa-apa selain kereta baru.

Anda pilih salah satu pintu, Monty akan membukanya untuk memberitahu anda sama ada anda menang atau tidak... tetapi tunggu. Sebelum kita mengetahuinya, mari kita lihat salah satu pintu yang anda tidak pilih. Monty tahu pintu mana hadiah di belakang, dan dia sentiasa boleh membuka pintu yang tidak mempunyai hadiah di belakangnya. “Awak pilih pintu nombor 3? Kemudian mari kita buka pintu nombor 1 untuk menunjukkan bahawa tidak ada hadiah di belakangnya." Dan sekarang, kerana kemurahan hati, dia menawarkan anda peluang untuk menukar pintu nombor 3 yang dipilih dengan apa yang ada di belakang pintu nombor 2.

Pada ketika ini, persoalan kebarangkalian timbul: adakah peluang ini meningkatkan kebarangkalian anda untuk menang, atau mengurangkannya, atau adakah ia kekal tidak berubah? Bagaimana pendapat anda?

Jawapan yang betul: keupayaan untuk memilih pintu lain meningkatkan kebarangkalian untuk menang daripada 1/3 kepada 2/3. Ini tidak logik. Jika anda tidak pernah menemui paradoks ini sebelum ini, kemungkinan besar anda berfikir: tunggu, bagaimanakah dengan membuka satu pintu, kami secara ajaib mengubah kebarangkalian? Seperti yang telah kita lihat dengan peta, inilah yang berlaku apabila kita mendapat lebih banyak maklumat. Jelas sekali, apabila anda memilih untuk kali pertama, kebarangkalian untuk menang ialah 1/3. Apabila satu pintu dibuka, ia tidak mengubah kebarangkalian untuk menang untuk pilihan pertama sama sekali: kebarangkalian masih 1/3. Tetapi kebarangkalian pintu yang satu lagi itu betul ialah 2/3.

Mari kita lihat contoh ini dari perspektif yang berbeza. Anda memilih pintu. Kebarangkalian menang ialah 1/3. Saya cadangkan anda menukar dua pintu yang lain, iaitu yang dilakukan oleh Monty Hall. Pasti, dia membuka salah satu pintu untuk mendedahkan tiada hadiah di sebaliknya, tetapi dia sentiasa boleh melakukannya, jadi ia tidak mengubah apa-apa. Sudah tentu, anda akan mahu memilih pintu yang berbeza.

Jika anda tidak begitu memahami soalan dan memerlukan penjelasan yang lebih meyakinkan, klik pada pautan ini untuk dibawa ke aplikasi Flash kecil yang hebat yang akan membolehkan anda meneroka paradoks ini dengan lebih terperinci. Anda boleh bermain bermula dengan kira-kira 10 pintu dan kemudian secara beransur-ansur mencapai permainan dengan tiga pintu. Terdapat juga simulator di mana anda boleh bermain dengan sebarang bilangan pintu dari 3 hingga 50, atau menjalankan beberapa ribu simulasi dan melihat berapa kali anda akan menang jika anda bermain.

Pilih satu daripada tiga pintu - kebarangkalian untuk menang ialah 1/3. Kini anda mempunyai dua strategi: tukar pilihan anda selepas membuka pintu yang salah atau tidak. Jika anda tidak mengubah pilihan anda, maka kebarangkalian akan kekal 1/3, kerana pilihan itu berlaku hanya pada peringkat pertama, dan anda perlu meneka dengan segera. Jika anda berubah, maka anda boleh menang jika anda mula-mula memilih pintu yang salah (kemudian mereka membuka pintu yang salah lagi, yang betul kekal - dengan mengubah keputusan anda, anda mengambilnya). Kebarangkalian untuk memilih pintu yang salah pada permulaan adalah 2/3 - jadi ternyata dengan mengubah keputusan anda, anda menggandakan kebarangkalian untuk menang.
Teguran dari cikgu matematik yang lebih tinggi dan pakar keseimbangan permainan Maxim Soldatov - Schreiber, tentu saja, tidak memilikinya, tetapi tanpa dia agak sukar untuk memahami transformasi ajaib ini

Dan sekali lagi mengenai paradoks Monty Hall

Bagi persembahan itu sendiri: walaupun lawan Monty Hall tidak mahir dalam matematik, dia pandai melakukannya. Inilah yang dia lakukan untuk mengubah sedikit permainan. Jika anda memilih pintu yang mempunyai hadiah di belakangnya, yang mempunyai 1/3 peluang untuk berlaku, ia akan sentiasa menawarkan anda pilihan untuk memilih pintu lain. Anda akan memilih kereta dan kemudian menukarnya dengan kambing dan anda akan kelihatan agak bodoh - itulah yang anda mahukan kerana Hall adalah jenis lelaki yang jahat.

Tetapi jika anda memilih pintu yang tidak mempunyai hadiah di belakangnya, dia hanya akan meminta anda memilih satu lagi separuh masa, atau dia hanya akan menunjukkan kepada anda kambing baru anda dan anda akan meninggalkan pentas. Mari analisa ini permainan baru, di mana Monty Hall boleh memutuskan sama ada akan menawarkan anda peluang untuk memilih pintu lain atau tidak.

Anggap dia ikut algoritma ini: Jika anda memilih pintu dengan hadiah, dia sentiasa memberi anda pilihan untuk memilih pintu lain, jika tidak, dia berkemungkinan sama menawarkan anda memilih pintu lain atau memberi anda seekor kambing. Apakah kebarangkalian anda untuk menang?

Dalam salah satu daripada tiga pilihan, anda segera memilih pintu di belakang tempat hadiah itu terletak, dan penyampai menjemput anda untuk memilih satu lagi.

Daripada baki dua pilihan daripada tiga (anda pada mulanya memilih pintu tanpa hadiah), dalam separuh kes penyampai akan menawarkan anda untuk menukar keputusan anda, dan dalam separuh lagi kes - tidak.

Separuh daripada 2/3 ialah 1/3, iaitu, dalam satu daripada tiga anda akan mendapat seekor kambing, dalam satu daripada tiga anda akan memilih pintu yang salah dan tuan rumah akan meminta anda memilih yang lain, dan dalam satu kes daripada tiga anda akan memilih pintu yang betul, tetapi dia sekali lagi dia akan menawarkan satu lagi.

Jika penyampai menawarkan untuk memilih pintu lain, kita sudah tahu bahawa satu kes daripada tiga, apabila dia memberi kita kambing dan kita pergi, tidak berlaku. Ini adalah maklumat yang berguna: ini bermakna peluang kami untuk menang telah berubah. Dua daripada tiga kes apabila kita mempunyai peluang untuk memilih: dalam satu kes ia bermakna kita meneka dengan betul, dan dalam kes lain kita meneka salah, jadi jika kita ditawarkan peluang untuk memilih sama sekali, maka kebarangkalian kemenangan kita ialah 1/2 , dan dari sudut pandangan matematik, tidak kira sama ada anda kekal dengan pilihan anda atau memilih pintu lain.

Seperti poker, ia adalah permainan psikologi, bukan permainan matematik. Mengapa Monty memberi anda pilihan? Dia fikir anda adalah orang yang tidak tahu bahawa memilih pintu lain adalah keputusan "betul" dan akan berdegil berpegang pada pilihannya (lagipun, secara psikologi keadaan menjadi lebih rumit, apabila anda memilih kereta dan kemudian kehilangannya)?

Atau adakah dia, memutuskan bahawa anda bijak dan akan memilih pintu lain, menawarkan anda peluang ini kerana dia tahu bahawa anda meneka dengan betul pada mulanya dan akan ketagih? Atau mungkin dia bersikap baik secara luar biasa dan mendorong anda melakukan sesuatu yang akan memberi manfaat kepada anda kerana dia sudah lama tidak memberikan kereta dan penerbit mengatakan penonton semakin bosan dan lebih baik untuk memberikan hadiah besar tidak lama lagi. rating jatuh?

Dengan cara ini, Monty berjaya sekali-sekala menawarkan pilihan dan masih mengekalkan kebarangkalian keseluruhan untuk menang pada 1/3. Ingat bahawa kebarangkalian anda akan kalah secara langsung ialah 1/3. Peluang anda akan meneka dengan betul serta-merta ialah 1/3, dan 50% daripada masa tersebut anda akan menang (1/3 x 1/2 = 1/6).

Peluang anda salah meneka pada mulanya tetapi kemudian mempunyai peluang untuk memilih pintu lain ialah 1/3, dan separuh daripada masa itu anda akan menang (juga 1/6). Tambahkan dua kemungkinan kemenangan bebas dan anda mendapat kebarangkalian 1/3, jadi tidak kira sama ada anda tetap dengan pilihan anda atau memilih pintu lain - kebarangkalian keseluruhan anda untuk menang sepanjang permainan ialah 1/3.

Kebarangkalian tidak menjadi lebih besar daripada dalam situasi apabila anda meneka pintu dan penyampai hanya menunjukkan kepada anda apa yang ada di belakangnya tanpa menawarkan untuk memilih yang lain. Maksud cadangan itu bukan untuk mengubah kebarangkalian, tetapi untuk menjadikan proses membuat keputusan lebih menyeronokkan untuk ditonton di televisyen.

Ngomong-ngomong, ini adalah salah satu sebab mengapa poker boleh menjadi sangat menarik: dalam kebanyakan format, antara pusingan apabila pertaruhan dibuat (contohnya, kegagalan, pusingan dan sungai di Texas Hold'em), kad didedahkan secara beransur-ansur, dan jika pada permulaan permainan anda mempunyai satu peluang untuk menang , maka selepas setiap pusingan pertaruhan, apabila ia dibuka lebih banyak kad, kebarangkalian ini berubah.

Paradoks lelaki dan perempuan

Ini membawa kita kepada satu lagi paradoks yang terkenal, yang, sebagai peraturan, membingungkan semua orang - paradoks lelaki dan perempuan itu. Satu-satunya perkara yang saya tulis hari ini yang tidak berkaitan secara langsung dengan permainan (walaupun saya rasa saya hanya sepatutnya menggalakkan anda mencipta mekanik permainan yang sesuai). Ini lebih kepada teka-teki, tetapi yang menarik, dan untuk menyelesaikannya, anda perlu memahami kebarangkalian bersyarat, yang kita bincangkan di atas.

Masalah: Saya mempunyai seorang kawan dengan dua orang anak, sekurang-kurangnya seorang daripada mereka adalah perempuan. Apakah kebarangkalian bahawa anak kedua juga perempuan? Mari kita anggap bahawa dalam mana-mana keluarga peluang untuk mempunyai seorang gadis dan lelaki adalah 50/50, dan ini adalah benar untuk setiap kanak-kanak.

Malah, sesetengah lelaki mempunyai lebih banyak sperma dengan kromosom X atau kromosom Y dalam sperma mereka, jadi kemungkinannya berubah sedikit. Jika anda tahu bahawa seorang anak adalah perempuan, kemungkinan untuk mempunyai anak perempuan kedua adalah lebih tinggi sedikit, dan terdapat keadaan lain, seperti hermafroditisme. Tetapi untuk menyelesaikan masalah ini, kami tidak akan mengambil kira ini dan menganggap bahawa kelahiran seorang kanak-kanak adalah acara bebas dan kelahiran seorang lelaki dan seorang perempuan adalah sama besar kemungkinannya.

Memandangkan kita bercakap tentang peluang 1/2, secara intuitif kita menjangkakan bahawa kemungkinan besar jawapannya ialah 1/2 atau 1/4, atau beberapa nombor lain yang merupakan gandaan dua dalam penyebut. Tetapi jawapannya ialah 1/3. kenapa?

Kesukaran di sini ialah maklumat yang kami ada mengurangkan bilangan kemungkinan. Katakan ibu bapa adalah peminat Sesame Street dan, tanpa mengira jantina kanak-kanak, menamakan mereka A dan B. Dalam keadaan biasa, terdapat empat kemungkinan yang sama: A dan B ialah dua lelaki, A dan B ialah dua perempuan, A ialah lelaki dan B ialah perempuan, A ialah perempuan dan B ialah lelaki. Oleh kerana kita tahu bahawa sekurang-kurangnya seorang kanak-kanak adalah perempuan, kita boleh menolak kemungkinan bahawa A dan B adalah dua lelaki. Ini memberi kita tiga kemungkinan - masih sama kemungkinannya. Jika semua kemungkinan adalah sama kemungkinan dan terdapat tiga daripadanya, maka kebarangkalian setiap satu daripadanya ialah 1/3. Hanya dalam satu daripada tiga pilihan ini kedua-dua kanak-kanak perempuan, jadi jawapannya ialah 1/3.

Dan sekali lagi tentang paradoks lelaki dan perempuan

Penyelesaian kepada masalah menjadi lebih tidak logik. Bayangkan kawan saya ada dua orang anak dan seorang daripadanya perempuan yang lahir pada hari Selasa. Mari kita anggap bahawa dalam keadaan biasa seorang kanak-kanak boleh dilahirkan pada setiap tujuh hari dalam seminggu dengan kebarangkalian yang sama. Apakah kebarangkalian bahawa anak kedua juga perempuan?

Anda mungkin fikir jawapannya masih 1/3: apakah kepentingan hari Selasa? Tetapi walaupun dalam kes ini, intuisi kita gagal. Jawapannya ialah 13/27, yang bukan sahaja tidak intuitif, tetapi sangat pelik. Apa masalah dalam kes ini?

Malah, hari Selasa mengubah kebarangkalian kerana kita tidak tahu anak mana yang dilahirkan pada hari Selasa, atau mungkin kedua-duanya dilahirkan pada hari Selasa. Dalam kes ini, kami menggunakan logik yang sama: kami mengira segala-galanya kombinasi yang mungkin, apabila sekurang-kurangnya seorang anak adalah perempuan yang lahir pada hari Selasa. Seperti dalam contoh sebelumnya, mari kita anggap bahawa kanak-kanak itu dinamakan A dan B. Gabungan kelihatan seperti ini:

A ialah perempuan yang dilahirkan pada hari Selasa, B ialah lelaki (dalam situasi ini terdapat 7 kemungkinan, satu untuk setiap hari dalam seminggu apabila seorang lelaki boleh dilahirkan).
B ialah perempuan yang lahir pada hari Selasa, A ialah lelaki (juga 7 kemungkinan).
A - seorang gadis yang dilahirkan pada hari Selasa, B - seorang gadis yang dilahirkan pada hari lain dalam seminggu (6 kemungkinan).
B ialah perempuan yang lahir pada hari Selasa, A ialah perempuan yang tidak lahir pada hari Selasa (juga 6 kebarangkalian).
A dan B adalah dua gadis yang dilahirkan pada hari Selasa (1 kemungkinan, anda perlu memberi perhatian kepada ini supaya tidak mengira dua kali).

Kami menjumlahkan dan mendapat 27 kombinasi kelahiran kanak-kanak dan hari yang sama mungkin berbeza dengan sekurang-kurangnya satu kemungkinan seorang gadis dilahirkan pada hari Selasa. Daripada jumlah ini, terdapat 13 kemungkinan apabila dua anak perempuan dilahirkan. Ia juga kelihatan tidak logik - nampaknya tugas ini dicipta hanya untuk menyebabkan sakit kepala. Jika anda masih hairan, laman web ahli teori permainan Jesper Juhl mempunyai penjelasan yang baik tentang isu ini.

Jika anda sedang mengerjakan permainan

Jika terdapat rawak dalam permainan yang anda reka, ini adalah masa yang sesuai untuk menganalisisnya. Pilih beberapa elemen yang anda ingin analisis. Mula-mula tanya diri anda apa yang anda jangkakan kebarangkalian untuk elemen tertentu, apakah yang sepatutnya dalam konteks permainan.

Sebagai contoh, jika anda membuat RPG dan anda tertanya-tanya apakah kebarangkalian pemain itu akan mengalahkan raksasa dalam pertempuran, tanya diri anda apa peratusan menang nampaknya betul kepada anda. Biasanya dengan RPG konsol, pemain berasa sangat kecewa apabila mereka kalah, jadi lebih baik jika mereka kalah jarang - 10% daripada masa atau kurang. Jika anda seorang pereka RPG, anda mungkin tahu lebih baik daripada saya, tetapi anda perlu mempunyai idea asas tentang kebarangkalian yang sepatutnya.

Kemudian tanya diri anda sama ada kebarangkalian anda bergantung (seperti dengan kad) atau bebas (seperti dengan dadu). Menganalisis semua kemungkinan hasil dan kebarangkaliannya. Pastikan jumlah semua kebarangkalian adalah 100%. Dan, tentu saja, bandingkan hasil yang diperoleh dengan jangkaan anda. Adakah anda boleh membaling dadu atau melukis kad mengikut cara yang anda inginkan, atau adakah jelas bahawa nilainya perlu diselaraskan. Dan sudah tentu, jika anda mendapati sebarang kekurangan, anda boleh menggunakan pengiraan yang sama untuk menentukan berapa banyak untuk menukar nilai.

Tugasan kerja rumah

milik awak kerja rumah” minggu ini akan membantu anda mengasah kemahiran kebarangkalian anda. Berikut adalah dua permainan dadu dan permainan kad yang akan anda analisis menggunakan kebarangkalian, serta mekanik permainan aneh yang pernah saya bangunkan yang akan menguji kaedah Monte Carlo.

Permainan #1 - Tulang Naga

Ini adalah permainan dadu yang pernah saya dan rakan sekerja saya buat (terima kasih kepada Jeb Havens dan Jesse King) - ia secara khusus memeranjatkan fikiran orang ramai dengan kebarangkaliannya. Ia adalah permainan kasino ringkas yang dipanggil Dragon Dice, dan ia adalah pertandingan dadu perjudian antara pemain dan rumah.

Anda diberi mati 1d6 biasa. Matlamat permainan ini adalah untuk melancarkan nombor yang lebih tinggi daripada rumah. Tom diberi 1d6 bukan standard - sama seperti anda, tetapi pada salah satu wajahnya dan bukannya unit terdapat imej naga (oleh itu, kasino mempunyai kiub naga - 2-3-4-5-6 ). Jika rumah itu mendapat naga, ia secara automatik menang dan anda kalah. Jika kedua-duanya mendapat nombor yang sama- ia adalah seri dan anda membaling dadu sekali lagi. Orang yang melancarkan nombor tertinggi menang.

Sudah tentu, semuanya tidak berfungsi sepenuhnya memihak kepada pemain, kerana kasino mempunyai kelebihan dalam bentuk kelebihan naga. Tetapi adakah ini benar-benar benar? Inilah yang anda perlu kira. Tetapi semak intuisi anda terlebih dahulu.

Katakan kemungkinan adalah 2 berbanding 1. Jadi jika anda menang, anda kekalkan pertaruhan anda dan mendapat dua kali ganda pertaruhan anda. Sebagai contoh, jika anda bertaruh 1 dolar dan menang, anda menyimpan dolar itu dan mendapat 2 lagi di atas, dengan jumlah 3 dolar. Jika anda kalah, anda hanya kehilangan pertaruhan anda. Adakah anda akan bermain? Adakah anda secara intuitif merasakan bahawa kebarangkalian adalah lebih besar daripada 2 berbanding 1, atau adakah anda masih berfikir bahawa ia adalah kurang? Dalam erti kata lain, secara purata lebih daripada 3 perlawanan, adakah anda menjangkakan untuk menang lebih daripada sekali, atau kurang, atau sekali?

Sebaik sahaja anda mengetahui intuisi anda, gunakan matematik. Terdapat hanya 36 kemungkinan kedudukan untuk kedua-dua dadu, jadi anda boleh mengira semuanya tanpa masalah. Jika anda tidak pasti tentang tawaran 2-untuk-1 itu, pertimbangkan perkara ini: Katakan anda bermain permainan 36 kali (pertaruhan $1 setiap kali). Untuk setiap kemenangan anda mendapat 2 dolar, untuk setiap kerugian anda kehilangan 1, dan keputusan seri tidak mengubah apa-apa. Kira semua kemungkinan kemenangan dan kerugian anda dan tentukan sama ada anda akan kehilangan atau mendapat beberapa dolar. Kemudian tanya diri anda sejauh mana intuisi anda betul. Dan kemudian sedar betapa penjahat saya.

Dan, ya, jika anda sudah memikirkan soalan ini - saya sengaja mengelirukan anda dengan menyalahgambarkan mekanik sebenar permainan dadu, tetapi saya pasti anda boleh mengatasi halangan ini hanya dengan sedikit pemikiran. Cuba selesaikan masalah ini sendiri.

Permainan No. 2 - Baling untuk nasib

ini perjudian dalam dadu yang dipanggil "Luck Throw" (juga "Birdcage" kerana kadangkala dadu tidak digulung tetapi diletakkan di dalam sangkar dawai yang besar, mengingatkan sangkar dari Bingo). Permainan ini mudah dan pada asasnya bermuara kepada ini: pertaruhan, katakan, $1 pada nombor dari 1 hingga 6. Kemudian anda melancarkan 3d6. Untuk setiap mati yang mendapat nombor anda, anda mendapat $1 (dan mengekalkan pertaruhan asal anda). Jika nombor anda tidak muncul pada mana-mana dadu, kasino mendapat dolar anda dan anda tidak mendapat apa-apa. Jadi jika anda bertaruh pada 1 dan anda mendapat 1 pada sisi tiga kali, anda mendapat $3.

Secara intuitif, nampaknya permainan ini mempunyai peluang yang sama. Setiap mati adalah individu 1 dalam 6 peluang untuk menang, jadi daripada jumlah tiga gulungan, peluang anda untuk menang ialah 3 dalam 6. Walau bagaimanapun, sudah tentu, ingat bahawa anda menambah tiga dadu berasingan, dan anda hanya dibenarkan untuk tambah jika kita bercakap tentang kombinasi kemenangan yang berasingan daripada dadu yang sama. Sesuatu yang anda perlukan untuk membiak.

Sebaik sahaja anda mengira semua hasil yang mungkin (mungkin lebih mudah dilakukan dalam Excel daripada menggunakan tangan, kerana terdapat 216 daripadanya), permainan ini masih kelihatan ganjil-genap pada pandangan pertama. Malah, kasino masih mempunyai peluang yang lebih baik untuk menang - apatah lagi? Secara khusus, berapa banyak wang secara purata yang anda jangkakan untuk kehilangan setiap pusingan permainan?

Apa yang anda perlu lakukan ialah menjumlahkan kemenangan dan kekalahan semua 216 keputusan dan kemudian bahagikan dengan 216, yang sepatutnya agak mudah. Tetapi, seperti yang anda lihat, terdapat beberapa perangkap di sini, itulah sebabnya saya berkata: jika anda fikir permainan ini mempunyai peluang yang sama untuk menang, anda mempunyai semuanya salah.

Permainan #3 - 5 Card Stud Poker

Jika anda sudah memanaskan diri dengan permainan sebelumnya, mari lihat perkara yang kami ketahui kebarangkalian bersyarat, menggunakan permainan kad ini sebagai contoh. Mari bayangkan permainan poker dengan dek 52 kad. Mari kita bayangkan juga 5 kad stud, di mana setiap pemain hanya menerima 5 kad. Anda tidak boleh membuang kad, anda tidak boleh melukis yang baharu, tiada dek kongsi - anda hanya mendapat 5 kad.

Royal Flush ialah 10-J-Q-K-A dalam satu tangan, terdapat empat kesemuanya, jadi terdapat empat cara yang mungkin mendapat siram diraja. Kira kebarangkalian anda akan mendapat satu kombinasi tersebut.

Saya mesti memberi amaran kepada anda tentang satu perkara: ingat bahawa anda boleh menarik lima kad ini dalam sebarang susunan. Iaitu, pertama anda boleh melukis ace atau sepuluh, tidak mengapa. Oleh itu, semasa anda membuat pengiraan, perlu diingat bahawa sebenarnya terdapat lebih daripada empat cara untuk mendapatkan royal flush, dengan mengandaikan kad telah diuruskan mengikut urutan.

Permainan No. 4 - Loteri IMF

Masalah keempat tidak dapat diselesaikan dengan begitu mudah menggunakan kaedah yang kita bincangkan hari ini, tetapi anda boleh mensimulasikan situasi dengan mudah menggunakan pengaturcaraan atau Excel. Pada contoh masalah ini, anda boleh menggunakan kaedah Monte Carlo.

Saya menyebut sebelum ini permainan Chron X, yang saya kerjakan sekali, dan ada satu peta yang menarik- Loteri IMF. Begini cara ia berfungsi: anda menggunakannya dalam permainan. Selepas pusingan tamat, kad telah diedarkan semula, dan terdapat 10% kemungkinan bahawa kad itu akan dimatikan dan pemain rawak akan menerima 5 unit bagi setiap jenis sumber yang tokennya terdapat pada kad tersebut. Kad itu dimasukkan ke dalam permainan tanpa satu cip, tetapi setiap kali ia kekal dalam permainan pada permulaan pusingan seterusnya, ia menerima satu cip.

Jadi terdapat 10% peluang bahawa jika anda memasukkannya ke dalam permainan, pusingan akan tamat, kad akan meninggalkan permainan, dan tiada siapa yang akan mendapat apa-apa. Jika ini tidak berlaku (90% peluang), terdapat 10% peluang (sebenarnya 9%, kerana ia adalah 10% daripada 90%) bahawa pada pusingan seterusnya dia akan meninggalkan permainan dan seseorang akan menerima 5 unit sumber. Jika kad meninggalkan permainan selepas satu pusingan (10% daripada 81% yang tersedia, jadi kebarangkalian adalah 8.1%), seseorang akan menerima 10 unit, satu lagi pusingan - 15, satu lagi - 20, dan seterusnya. Soalan: Apakah nilai jangkaan umum bilangan sumber yang anda akan dapat daripada kad ini apabila ia akhirnya meninggalkan permainan?

Biasanya kami akan cuba menyelesaikan masalah ini dengan mengira kemungkinan setiap hasil dan darab dengan bilangan semua hasil. Terdapat 10% peluang anda akan mendapat 0 (0.1 * 0 = 0). 9% bahawa anda akan menerima 5 unit sumber (9% * 5 = 0.45 sumber). 8.1% daripada apa yang anda akan dapat ialah 10 (8.1%*10=0.81 sumber - nilai jangkaan keseluruhan). Dan seterusnya. Dan kemudian kami akan merumuskan semuanya.

Dan kini masalahnya jelas kepada anda: sentiasa ada kemungkinan bahawa kad itu tidak akan meninggalkan permainan, ia boleh kekal dalam permainan selama-lamanya, untuk bilangan pusingan yang tidak terhingga, jadi tidak ada cara untuk mengira setiap kebarangkalian. Kaedah yang kami pelajari hari ini tidak membenarkan kami mengira rekursi tak terhingga, jadi kami perlu menciptanya secara buatan.

Jika anda cukup mahir dalam pengaturcaraan, tulis program yang akan mensimulasikan peta ini. Anda sepatutnya mempunyai gelung masa yang membawa pembolehubah ke kedudukan permulaan sifar, menunjukkan nombor rawak dan dengan peluang 10% pembolehubah keluar dari gelung. Jika tidak, ia menambah 5 kepada pembolehubah dan gelung berulang. Apabila ia akhirnya keluar dari gelung, tambahkan jumlah bilangan percubaan yang dijalankan sebanyak 1 dan jumlah bilangan sumber (mengikut jumlah bergantung pada tempat pembolehubah itu berakhir). Kemudian tetapkan semula pembolehubah dan mulakan semula.

Jalankan program beberapa ribu kali. Pada akhirnya, bahagikan jumlah sumber dengan jumlah larian - ini akan menjadi nilai Monte Carlo yang anda jangkakan. Jalankan program beberapa kali untuk memastikan bahawa nombor yang anda dapat adalah lebih kurang sama. Jika serakan masih besar, tambahkan bilangan ulangan dalam gelung luar sehingga anda mula mendapat padanan. Anda boleh yakin bahawa apa-apa nombor yang anda perolehi adalah lebih kurang betul.

Jika anda baru dalam pengaturcaraan (walaupun anda tahu), berikut ialah latihan pantas untuk menguji kemahiran Excel anda. Jika anda seorang pereka permainan, kemahiran ini tidak akan berlebihan.

Sekarang fungsi if dan rand akan sangat berguna kepada anda. Rand tidak memerlukan nilai, ia hanya menghasilkan nilai rawak nombor perpuluhan dari 0 hingga 1. Kami biasanya menggabungkannya dengan lantai dan tambah dan tolak untuk mensimulasikan gulungan dadu yang saya nyatakan tadi. Walau bagaimanapun, dalam kes ini, kami hanya meninggalkan peluang 10% bahawa kad itu akan meninggalkan permainan, jadi kami hanya boleh menyemak sama ada nilai rand kurang daripada 0.1 dan tidak perlu risau lagi.

Jika mempunyai tiga makna. Mengikut urutan: syarat yang sama ada benar atau palsu, kemudian nilai yang dikembalikan jika syarat itu benar, dan nilai yang dikembalikan jika syarat itu palsu. Jadi fungsi seterusnya akan mengembalikan 5% masa, dan 0 baki 90% masa: =IF(RAND()<0.1,5,0) .

Terdapat banyak cara untuk menetapkan arahan ini, tetapi saya akan menggunakan formula ini untuk sel yang mewakili pusingan pertama, katakan ia sel A1: =IF(RAND()<0.1,0,-1) .

Di sini saya menggunakan pembolehubah negatif untuk bermaksud "kad ini belum meninggalkan permainan dan belum melepaskan sebarang sumber lagi." Jadi jika pusingan pertama telah tamat dan kad keluar bermain, A1 ialah 0; sebaliknya ia adalah –1.

Untuk sel seterusnya yang mewakili pusingan kedua: =IF(A1>-1, A1, IF(RAND()<0.1,5,-1)) . Jadi jika pusingan pertama tamat dan kad segera meninggalkan permainan, A1 ialah 0 (bilangan sumber) dan sel ini hanya akan menyalin nilai tersebut. Jika tidak, A1 ialah -1 (kad masih belum meninggalkan permainan), dan sel ini terus bergerak secara rawak: 10% daripada masa ia akan mengembalikan 5 unit sumber, selebihnya nilainya masih sama dengan -1. Jika kami menggunakan formula ini pada sel tambahan, kami mendapat pusingan tambahan, dan mana-mana sel yang anda hadapi akan memberikan anda keputusan akhir (atau -1 jika kad tidak pernah meninggalkan permainan selepas semua pusingan yang anda mainkan).

Ambil baris sel itu, yang mewakili satu-satunya pusingan dengan kad itu, dan salin dan tampal beberapa ratus (atau seribu) baris. Kami mungkin tidak dapat melakukan ujian tak terhingga untuk Excel (terdapat bilangan sel yang terhad dalam jadual), tetapi sekurang-kurangnya kami boleh menampung kebanyakan kes. Kemudian pilih satu sel di mana anda akan meletakkan purata keputusan semua pusingan - Excel membantu menyediakan fungsi purata() untuk ini.

Pada Windows, anda sekurang-kurangnya boleh menekan F9 untuk mengira semula semua nombor rawak. Seperti sebelum ini, lakukan ini beberapa kali dan lihat jika anda mendapat nilai yang sama. Jika hamparan terlalu besar, gandakan bilangan larian dan cuba lagi.

Masalah yang tidak dapat diselesaikan

Sekiranya anda mempunyai ijazah dalam teori kebarangkalian dan masalah di atas kelihatan terlalu mudah kepada anda, berikut adalah dua masalah yang saya telah menggaru kepala saya selama bertahun-tahun, tetapi malangnya saya tidak cukup mahir dalam matematik untuk menyelesaikannya.

Masalah Tidak Selesai #1: Loteri IMF

Masalah pertama yang belum selesai ialah tugasan kerja rumah sebelum ini. Saya boleh menggunakan kaedah Monte Carlo dengan mudah (menggunakan C++ atau Excel) dan yakin dengan jawapan kepada soalan "berapa banyak sumber yang akan diterima oleh pemain", tetapi saya tidak tahu dengan tepat cara memberikan jawapan yang boleh dibuktikan secara matematik (ia adalah siri yang tidak terhingga).

Masalah tidak diselesaikan #2: Urutan rajah

Masalah ini (ia juga melangkaui tugas-tugas yang diselesaikan dalam blog ini) telah diberikan kepada saya oleh rakan gamer lebih sepuluh tahun yang lalu. Semasa bermain blackjack di Vegas, dia melihat satu perkara yang menarik: apabila dia mengeluarkan kad dari kasut 8 dek, dia melihat sepuluh angka berturut-turut (angka atau kad muka ialah 10, Joker, King atau Queen, jadi terdapat 16 dalam. jumlah dalam kad 52 dek standard atau 128 dalam kasut kad 416).

Apakah kebarangkalian bahawa kasut ini mengandungi sekurang-kurangnya satu urutan sepuluh atau lebih angka? Mari kita anggap bahawa mereka telah dikocok secara adil, dalam susunan rawak. Atau, jika anda lebih suka, apakah kebarangkalian bahawa urutan sepuluh atau lebih angka tidak berlaku di mana-mana sahaja?

Kita boleh memudahkan tugas. Berikut adalah urutan 416 bahagian. Setiap bahagian ialah 0 atau 1. Terdapat 128 satu dan 288 sifar bertaburan secara rawak sepanjang jujukan. Berapa banyak cara yang ada untuk menyelang secara rawak 128 yang dengan 288 sifar, dan berapa kali dalam cara ini sekurang-kurangnya satu kumpulan sepuluh atau lebih yang akan berlaku?

Setiap kali saya mula menyelesaikan masalah ini, ia kelihatan mudah dan jelas kepada saya, tetapi sebaik sahaja saya menyelidiki butirannya, ia tiba-tiba runtuh dan kelihatan mustahil.

Oleh itu, jangan tergesa-gesa untuk menjawab jawapan: duduk, fikir dengan teliti, kaji syarat-syarat, cuba masukkan nombor nyata, kerana semua orang yang saya bercakap tentang masalah ini (termasuk beberapa pelajar siswazah yang bekerja dalam bidang ini) memberi reaksi tentang yang sama: "Ia benar-benar jelas... oh, tidak, tunggu, ia tidak jelas sama sekali." Ini berlaku apabila saya tidak mempunyai kaedah untuk mengira semua pilihan. Saya boleh, sudah tentu, memaksa masalah melalui algoritma komputer, tetapi ia akan menjadi lebih menarik untuk mengetahui penyelesaian matematik.

Saya faham bahawa semua orang ingin tahu lebih awal bagaimana acara sukan itu akan berakhir, siapa yang akan menang dan siapa yang akan kalah. Dengan maklumat ini, anda boleh bertaruh pada acara sukan tanpa rasa takut. Tetapi adakah ia mungkin, dan jika ya, bagaimana untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa?

Kebarangkalian adalah kuantiti relatif, oleh itu ia tidak boleh bercakap dengan pasti tentang sebarang peristiwa. Nilai ini membolehkan anda menganalisis dan menilai keperluan untuk meletakkan pertaruhan pada pertandingan tertentu. Menentukan kebarangkalian adalah satu ilmu yang memerlukan kajian dan pemahaman yang teliti.

Pekali kebarangkalian dalam teori kebarangkalian

Dalam pertaruhan sukan, terdapat beberapa pilihan untuk keputusan pertandingan:

kemenangan pasukan pertama;
kemenangan pasukan kedua;
lukis;
jumlah

Setiap keputusan pertandingan mempunyai kebarangkalian dan kekerapan sendiri acara ini akan berlaku, dengan syarat ciri-ciri awal dikekalkan. Seperti yang kami katakan sebelum ini, adalah mustahil untuk mengira dengan tepat kebarangkalian sebarang peristiwa - ia mungkin bertepatan atau tidak. Oleh itu, pertaruhan anda boleh menang atau kalah.

Tidak boleh ada ramalan 100% tepat tentang keputusan pertandingan, kerana banyak faktor mempengaruhi keputusan perlawanan. Sememangnya, pembuat taruhan tidak mengetahui keputusan perlawanan terlebih dahulu dan hanya menganggap keputusan itu, membuat keputusan menggunakan sistem analisis mereka dan menawarkan kemungkinan tertentu untuk pertaruhan.

Bagaimana untuk mengira kebarangkalian sesuatu peristiwa?

Mari kita anggap bahawa kemungkinan pembuat taruhan adalah 2.1/2 - kita mendapat 50%. Ternyata pekali 2 adalah sama dengan kebarangkalian 50%. Menggunakan prinsip yang sama, anda boleh mendapatkan pekali kebarangkalian pulang modal - 1/kebarangkalian.

Ramai pemain berfikir bahawa selepas beberapa kekalahan berulang, kemenangan pasti akan berlaku - ini adalah pendapat yang salah. Kebarangkalian untuk memenangi pertaruhan tidak bergantung pada jumlah kerugian. Walaupun anda menyelak beberapa kepala berturut-turut dalam permainan syiling, kebarangkalian untuk membalikkan ekor tetap sama - 50%.