Sudah masuk sekolah rendah pelajar berurusan dengan pecahan. Dan kemudian mereka muncul dalam setiap topik. Tidak mustahil untuk melupakan tindakan dengan nombor ini. Oleh itu, anda perlu mengetahui semua maklumat tentang pecahan biasa dan perpuluhan. Konsep-konsep ini mudah, perkara utama adalah memahami segala-galanya dengan teratur.

Mengapakah pecahan diperlukan?

Dunia di sekeliling kita terdiri daripada keseluruhan objek. Oleh itu, tidak perlu saham. Tetapi kehidupan seharian sentiasa mendorong orang untuk bekerja dengan bahagian objek dan benda.

Sebagai contoh, coklat terdiri daripada beberapa keping. Pertimbangkan keadaan di mana jubinnya dibentuk oleh dua belas segi empat tepat. Jika anda membahagikannya kepada dua, anda mendapat 6 bahagian. Ia akan dibahagikan dengan baik kepada tiga. Tetapi mereka berlima tidak akan dapat memberikan sebilangan besar kepingan coklat.

Dengan cara ini, kepingan ini sudah menjadi pecahan. Dan pembahagian selanjutnya mereka membawa kepada kemunculan nombor yang lebih kompleks.

Apakah "pecahan"?

Ini adalah nombor yang terdiri daripada bahagian satu. Secara luaran, ia kelihatan seperti dua nombor yang dipisahkan oleh mendatar atau garis miring. Ciri ini dipanggil pecahan. Nombor yang ditulis di atas (kiri) dipanggil pengangka. Yang di bahagian bawah (kanan) ialah penyebutnya.

Malah, bar pecahan ternyata menjadi tanda bahagi. Iaitu, pengangka boleh dipanggil dividen, dan penyebut boleh dipanggil pembahagi.

Apakah pecahan?

Dalam matematik, hanya terdapat dua jenis: pecahan biasa dan pecahan perpuluhan. Murid sekolah mula diperkenalkan sekolah rendah, memanggilnya hanya "pecahan". Yang kedua belajar di tingkatan 5. Ketika itulah nama-nama ini muncul.

Pecahan biasa ialah semua pecahan yang ditulis sebagai dua nombor yang dipisahkan oleh bar. Contohnya, 4/7. Perpuluhan ialah nombor di mana bahagian pecahan mempunyai tatatanda kedudukan dan dipisahkan daripada integer dengan koma. Sebagai contoh, 4.7. Pelajar perlu jelas bahawa dua contoh yang diberikan adalah nombor yang sama sekali berbeza.

Setiap pecahan mudah boleh ditulis sebagai perpuluhan. Kenyataan ini hampir selalu benar dalam arah terbalik. Terdapat peraturan yang membenarkan anda menulis pecahan perpuluhan sebagai pecahan biasa.

Apakah subspesies yang ada pada jenis pecahan ini?

Lebih baik bermula pada susunan kronologi kerana mereka sedang dikaji. Mula-mula pergi pecahan sepunya. Antaranya, 5 subspesies boleh dibezakan.

Betul. Pengangkanya sentiasa kurang daripada penyebutnya.

salah. Pengangkanya lebih besar daripada atau sama dengan penyebutnya.

Boleh dikurangkan / tidak boleh dikurangkan. Ia boleh sama ada betul atau salah. Perkara lain yang penting, sama ada pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya. Jika ada, maka mereka sepatutnya membahagikan kedua-dua bahagian pecahan itu, iaitu mengurangkannya.

bercampur. Integer diberikan kepada bahagian pecahan biasa yang betul (salah). Dan ia sentiasa berdiri di sebelah kiri.

Komposit. Ia terbentuk daripada dua pecahan yang dibahagikan antara satu sama lain. Iaitu, ia mempunyai tiga ciri pecahan sekaligus.

Perpuluhan hanya mempunyai dua subspesies:

muktamad, iaitu bahagian yang bahagian pecahannya terhad (mempunyai penghujung);

tak terhingga - nombor yang digit selepas titik perpuluhan tidak berakhir (ia boleh ditulis tanpa henti).

Bagaimana untuk menukar perpuluhan kepada biasa?

Jika ini nombor terhingga, maka persatuan berdasarkan peraturan digunakan - seperti yang saya dengar, jadi saya menulis. Iaitu, anda perlu membacanya dengan betul dan menulisnya, tetapi tanpa koma, tetapi dengan garis pecahan.

Sebagai petunjuk tentang penyebut yang diperlukan, ingat bahawa ia sentiasa satu dan beberapa sifar. Yang terakhir perlu ditulis sebanyak digit dalam bahagian pecahan nombor berkenaan.

Bagaimana untuk menukar pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa jika ia keseluruhan bahagian tidak hadir, iaitu sama dengan sifar? Contohnya, 0.9 atau 0.05. Selepas menggunakan peraturan yang ditentukan, ternyata anda perlu menulis integer sifar. Tetapi ia tidak ditunjukkan. Ia kekal untuk menulis hanya bahagian pecahan. Untuk nombor pertama, penyebutnya ialah 10, untuk yang kedua - 100. Iaitu, contoh yang ditunjukkan akan mempunyai nombor sebagai jawapan: 9/10, 5/100. Lebih-lebih lagi, yang terakhir ternyata boleh dikurangkan sebanyak 5. Oleh itu, keputusan untuknya mesti ditulis 1/20.

Seperti dari pecahan perpuluhan untuk membuat yang biasa jika bahagian integernya berbeza daripada sifar? Sebagai contoh, 5.23 atau 13.00108. Kedua-dua contoh membaca bahagian integer dan menulis nilainya. Dalam kes pertama, ini adalah 5, dalam kedua, 13. Kemudian anda perlu beralih ke bahagian pecahan. Dengan mereka adalah perlu untuk menjalankan operasi yang sama. Nombor pertama mempunyai 23/100, yang kedua mempunyai 108/100000. Nilai kedua perlu dikurangkan lagi. Jawapannya ialah pecahan bercampur: 5 23/100 dan 13 27/25000.

Bagaimana untuk menukar perpuluhan tak terhingga kepada pecahan biasa?

Sekiranya ia tidak berkala, maka operasi sedemikian tidak boleh dijalankan. Fakta ini disebabkan oleh fakta bahawa setiap pecahan perpuluhan sentiasa ditukar kepada sama ada akhir atau berkala.

Satu-satunya perkara yang dibenarkan untuk dilakukan dengan pecahan sedemikian ialah membundarkannya. Tetapi kemudian perpuluhan akan menjadi lebih kurang sama dengan tak terhingga itu. Ia sudah boleh diubah menjadi yang biasa. Tetapi proses sebaliknya: menukar kepada perpuluhan - tidak akan pernah memberi nilai awal. Iaitu, tidak berkesudahan pecahan bukan berkala tidak ditukar kepada biasa. Ini mesti diingat.

Bagaimana untuk menulis pecahan berkala tak terhingga dalam bentuk biasa?

Dalam nombor ini, satu atau lebih digit sentiasa muncul selepas titik perpuluhan, yang diulang. Mereka dipanggil tempoh. Contohnya, 0.3(3). Di sini "3" dalam tempoh tersebut. Ia diklasifikasikan sebagai rasional, kerana ia boleh ditukar kepada pecahan biasa.

Mereka yang telah menemui pecahan berkala tahu bahawa ia boleh menjadi tulen atau bercampur. Dalam kes pertama, noktah bermula serta-merta dari koma. Pada yang kedua, bahagian pecahan bermula dengan sebarang nombor, dan kemudian pengulangan bermula.

Peraturan yang anda perlukan untuk menulis perpuluhan tak terhingga dalam bentuk pecahan biasa akan berbeza untuk kedua-dua jenis nombor ini. Agak mudah untuk menulis pecahan berkala tulen sebagai pecahan biasa. Seperti yang terakhir, mereka perlu ditukar: tulis noktah ke dalam pengangka, dan nombor 9 akan menjadi penyebut, mengulangi seberapa banyak digit dalam tempoh itu.

Contohnya, 0,(5). Nombor itu tidak mempunyai bahagian integer, jadi anda perlu segera meneruskan ke bahagian pecahan. Tulis 5 dalam pengangka, dan tulis 9 dalam penyebutnya. Iaitu, jawapannya ialah pecahan 5/9.

Peraturan tentang cara menulis pecahan perpuluhan sepunya yang merupakan pecahan bercampur.

Tengok panjang period. Begitu banyak 9 akan mempunyai penyebut.

Tuliskan penyebut: sembilan pertama, kemudian sifar.

Untuk menentukan pengangka, anda perlu menulis perbezaan dua nombor. Semua digit selepas titik perpuluhan akan dikurangkan, bersama-sama dengan noktah. Boleh ditolak - ia tanpa noktah.

Contohnya, 0.5(8) - tulis pecahan perpuluhan berkala sebagai pecahan sepunya. Bahagian pecahan sebelum noktah ialah satu digit. Jadi sifar akan menjadi satu. Terdapat juga hanya satu digit dalam tempoh - 8. Iaitu, hanya ada satu sembilan. Iaitu, anda perlu menulis 90 dalam penyebut.

Untuk menentukan pengangka daripada 58, anda perlu menolak 5. Ternyata 53. Sebagai contoh, anda perlu menulis 53/90 sebagai jawapan.

Bagaimanakah pecahan biasa ditukar kepada perpuluhan?

paling banyak pilihan mudah ternyata nombor dalam penyebutnya ialah nombor 10, 100 dan seterusnya. Kemudian penyebutnya dibuang begitu sahaja, dan koma diletakkan di antara bahagian pecahan dan integer.

Terdapat situasi apabila penyebut mudah berubah menjadi 10, 100, dsb. Contohnya, nombor 5, 20, 25. Cukup untuk mendarabkannya dengan 2, 5 dan 4, masing-masing. Hanya perlu untuk mendarab bukan sahaja penyebut, tetapi juga pengangka dengan nombor yang sama.

Untuk semua kes lain, peraturan mudah akan berguna: bahagikan pengangka dengan penyebut. Dalam kes ini, anda mungkin mendapat dua jawapan: pecahan perpuluhan akhir atau berkala.

Operasi dengan pecahan biasa

Penambahan dan penolakan

Pelajar mengenali mereka lebih awal daripada yang lain. Dan pertama dengan pecahan penyebut yang sama dan kemudian berbeza. Peraturan am boleh dikurangkan kepada rancangan sedemikian.

Cari gandaan sepunya terkecil bagi penyebutnya.

Tulis faktor tambahan kepada semua pecahan biasa.

Darabkan pengangka dan penyebut dengan faktor yang ditentukan untuknya.

Tambah (tolak) pembilang pecahan, dan biarkan penyebut biasa tidak berubah.

Jika pengangka bagi minuend adalah kurang daripada subtrahend, maka anda perlu mengetahui sama ada kita mempunyai nombor bercampur atau pecahan wajar.

Dalam kes pertama, bahagian integer perlu mengambil satu. Menambah penyebut kepada pengangka suatu pecahan. Dan kemudian lakukan penolakan.

Dalam kedua - adalah perlu untuk menggunakan peraturan penolakan dari lebih sedikit lebih. Iaitu, tolak modulus minuend daripada modulus subtrahend, dan letakkan tanda "-" sebagai tindak balas.

Perhatikan dengan teliti hasil tambah (tolak). Jika ternyata pecahan tak wajar, maka adalah perlu untuk memilih keseluruhan bahagian. Iaitu, bahagikan pengangka dengan penyebut.

Pendaraban dan pembahagian

Untuk pelaksanaannya, pecahan tidak perlu dikurangkan kepada penyebut biasa. Ini memudahkan untuk mengambil tindakan. Tetapi mereka masih perlu mematuhi peraturan.

Apabila mendarab pecahan biasa, adalah perlu untuk mempertimbangkan nombor dalam pengangka dan penyebut. Jika mana-mana pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya, maka ia boleh dikurangkan.

Perbanyakkan pengangka.

Darabkan penyebutnya.

Jika anda mendapat pecahan boleh dikurangkan, maka ia sepatutnya dipermudahkan semula.

Apabila membahagi, anda mesti menggantikan pembahagian dengan pendaraban, dan pembahagi (pecahan kedua) dengan timbal balik (tukar pengangka dan penyebut).

Kemudian teruskan seperti dalam pendaraban (bermula dari titik 1).

Dalam tugasan di mana anda perlu mendarab (membahagi) dengan integer, yang terakhir sepatutnya ditulis sebagai pecahan tidak wajar. Iaitu, dengan penyebut 1. Kemudian teruskan seperti yang diterangkan di atas.



Operasi dengan perpuluhan

Penambahan dan penolakan

Sudah tentu, anda sentiasa boleh menukar perpuluhan menjadi pecahan biasa. Dan bertindak mengikut rancangan yang telah diterangkan. Tetapi kadangkala lebih mudah untuk bertindak tanpa terjemahan ini. Kemudian peraturan untuk penambahan dan penolakan mereka akan sama.

Samakan bilangan digit dalam bahagian pecahan nombor, iaitu selepas titik perpuluhan. Tetapkan bilangan sifar yang hilang di dalamnya.

Tulis pecahan supaya koma berada di bawah koma.

Tambah (tolak) seperti nombor asli.

Keluarkan koma.

Pendaraban dan pembahagian

Adalah penting anda tidak perlu menambahkan sifar di sini. Pecahan sepatutnya dibiarkan seperti yang diberikan dalam contoh. Dan kemudian pergi mengikut rancangan.

Untuk pendaraban, anda perlu menulis pecahan satu di bawah yang lain, tidak memberi perhatian kepada koma.

Darab seperti nombor asli.

Letakkan koma dalam jawapan, mengira dari hujung kanan jawapan seberapa banyak digit yang terdapat dalam bahagian pecahan kedua-dua faktor.

Untuk membahagi, anda mesti menukar pembahagi terlebih dahulu: jadikannya nombor asli. Iaitu, darabkannya dengan 10, 100, dsb., bergantung pada bilangan digit dalam bahagian pecahan pembahagi.

Darabkan dividen dengan nombor yang sama.

Bahagikan perpuluhan dengan nombor asli.

Letakkan koma dalam jawapan pada masa pembahagian keseluruhan bahagian itu tamat.



Bagaimana jika terdapat kedua-dua jenis pecahan dalam satu contoh?

Ya, dalam matematik selalunya terdapat contoh di mana anda perlu melakukan operasi pada pecahan biasa dan perpuluhan. Terdapat dua penyelesaian yang mungkin untuk masalah ini. Anda perlu menimbang nombor secara objektif dan memilih yang terbaik.

Cara pertama: mewakili perpuluhan biasa

Ia sesuai jika, apabila membahagi atau menterjemah, anda mendapat pecahan terhingga. Jika sekurang-kurangnya satu nombor memberikan bahagian berkala, maka teknik ini dilarang. Oleh itu, walaupun anda tidak suka bekerja dengan pecahan biasa, anda perlu mengiranya.

Cara kedua: tulis pecahan perpuluhan seperti biasa

Teknik ini mudah jika terdapat 1-2 digit di bahagian selepas titik perpuluhan. Jika terdapat lebih daripada mereka, pecahan biasa yang sangat besar boleh berubah dan entri perpuluhan akan membolehkan anda mengira tugas dengan lebih cepat dan lebih mudah. Oleh itu, sentiasa perlu untuk menilai tugas dengan teliti dan memilih kaedah penyelesaian yang paling mudah.

§ 102. Penjelasan awal.

Pada bahagian sebelumnya, kami mempertimbangkan pecahan dengan semua penyebut yang mungkin dan memanggilnya pecahan biasa. Kami berminat dengan setiap pecahan yang timbul dalam proses mengukur atau membahagi, tanpa mengira jenis penyebut yang kami dapat.

Sekarang, daripada keseluruhan set pecahan, kita akan memilih pecahan dengan penyebut: 10, 100, 1,000, 10,000, dsb., iaitu pecahan tersebut, penyebutnya hanya nombor yang diwakili oleh kesatuan (1) diikuti dengan sifar (satu atau beberapa). Pecahan sedemikian dipanggil perpuluhan.

Berikut adalah contoh perpuluhan:

Kami telah bertemu dengan pecahan perpuluhan sebelum ini, tetapi tidak menunjukkan sebarang sifat khas yang wujud di dalamnya. Sekarang kita akan menunjukkan bahawa mereka mempunyai beberapa sifat yang luar biasa, yang memudahkan semua pengiraan dengan pecahan.

§ 103. Imej pecahan perpuluhan tanpa penyebut.

Pecahan perpuluhan biasanya ditulis bukan dengan cara yang sama seperti pecahan biasa, tetapi mengikut peraturan yang digunakan untuk menulis nombor bulat.

Untuk memahami cara menulis perpuluhan tanpa penyebut, anda perlu mengingati cara menulis sistem perpuluhan sebarang integer. Jika, sebagai contoh, kita menulis nombor tiga digit hanya menggunakan nombor 2, iaitu nombor 222, maka setiap dua ini akan mempunyai makna istimewa bergantung pada tempat yang diduduki dalam bilangan. Dua yang pertama dari kanan bermaksud unit, yang kedua untuk puluhan, dan yang ketiga untuk ratusan. Oleh itu, sebarang digit di sebelah kiri mana-mana digit lain menandakan unit sepuluh kali lebih besar daripada yang ditunjukkan oleh digit sebelumnya. Jika mana-mana digit hilang, maka sifar ditulis di tempatnya.

Jadi, dalam nombor bulat, unit berada di tempat pertama di sebelah kanan, puluh di tempat kedua, dsb.

Sekarang mari kita bangkitkan persoalan apakah kategori unit yang akan diperoleh jika, sebagai contoh, kita berada dalam nombor 222 dengan betul sebelah kita akan tambah satu nombor lagi. Untuk menjawab soalan ini, anda perlu mengambil kira bahawa dua yang terakhir (yang pertama dari kanan) menandakan unit.

Oleh itu, jika selepas deuce, menandakan unit, kita, berundur sedikit, menulis beberapa nombor lain, contohnya 3, maka ia akan menandakan unit, sepuluh kali lebih kecil daripada yang sebelumnya, dengan kata lain, ia akan menandakan persepuluh unit; hasilnya ialah nombor yang mengandungi 222 unit keseluruhan dan 3 persepuluh unit.

Adalah menjadi kebiasaan untuk meletakkan koma di antara bahagian integer dan pecahan nombor, iaitu, tulis seperti ini:

Jika selepas tiga kali ganda dalam nombor ini kita menambah nombor lain, contohnya 4, maka ia akan bermakna 4 perseratus pecahan unit; nombor akan kelihatan seperti:

dan dilafazkan: dua ratus dua puluh dua mata, tiga puluh empat perseratus.

Digit baharu, contohnya 5, diberikan kepada nombor ini, memberi kita perseribu: 222.345 (dua ratus dua puluh dua mata, tiga ratus empat puluh lima perseribu).

Untuk kejelasan yang lebih jelas, susunan bilangan integer dan digit pecahan boleh dibentangkan dalam bentuk jadual:

Oleh itu, kami telah menerangkan bagaimana pecahan perpuluhan ditulis tanpa penyebut. Mari kita tulis beberapa pecahan ini.

Untuk menulis pecahan tanpa penyebut 5/10, anda perlu mengambil kira bahawa ia tidak mempunyai integer dan, oleh itu, tempat integer mesti diduduki oleh sifar, iaitu 5/10 = 0.5.

Pecahan 2 9/100 tanpa penyebut akan ditulis seperti ini: 2.09, iaitu, sifar mesti diletakkan di tempat persepuluh. Jika kita melangkau 0 ini, kita akan mendapat pecahan yang sama sekali berbeza, iaitu 2.9, iaitu dua mata bulat dan sembilan persepuluh.

Oleh itu, apabila menulis pecahan perpuluhan, anda perlu menandakan nombor integer dan digit pecahan yang hilang dengan sifar:

0.325 - tiada integer,
0.012 - tiada integer dan tiada persepuluh,
1.208 - tiada perseratus,
0.20406 - tiada integer, tiada perseratus, dan tiada persepuluh ribu.

Nombor di sebelah kanan titik perpuluhan dipanggil tempat perpuluhan.

Untuk mengelakkan kesilapan semasa menulis pecahan perpuluhan, anda perlu ingat bahawa selepas titik perpuluhan dalam imej pecahan perpuluhan harus ada sebanyak digit kerana terdapat sifar dalam penyebut jika kita menulis pecahan ini dengan penyebut, i.e.

0.1 \u003d 1 / 10 (penyebut mempunyai satu sifar dan satu digit selepas titik perpuluhan);

§ 104. Memberikan sifar kepada pecahan perpuluhan.

Dalam perenggan sebelumnya, telah diterangkan bagaimana pecahan perpuluhan tanpa penyebut dipaparkan. sangat penting apabila menulis pecahan perpuluhan, ia mempunyai sifar. Setiap pecahan perpuluhan biasa mempunyai sifar sebagai ganti integer untuk menunjukkan bahawa pecahan tersebut tidak mempunyai integer. Kami kini akan menulis beberapa perpuluhan yang berbeza menggunakan nombor: 0, 3 dan 5.

0.35 - 0 integer, 35 perseratus,
0.035 - 0 integer, 35 perseribu,
0.305 - 0 integer, 305 perseribu,
0.0035 - 0 integer, 35 sepuluh ribu.

Sekarang mari kita ketahui apakah maksud nol yang diletakkan di hujung pecahan perpuluhan, iaitu di sebelah kanan.

Jika kita mengambil integer, contohnya 5, letakkan koma selepasnya, dan kemudian tulis sifar selepas koma, maka sifar ini akan bermakna sifar persepuluh. Oleh itu, sifar ini yang diberikan ke kanan tidak akan menjejaskan nilai nombor, i.e.

Sekarang mari kita ambil nombor 6.1 dan tambahkan sifar padanya di sebelah kanan, kita mendapat 6.10, iaitu kita mempunyai 1/10 selepas titik perpuluhan, dan ia menjadi 10/100, tetapi 10/100 adalah sama dengan 1/10. Ini bermakna bahawa nilai nombor tidak berubah, dan dari tugasan di sebelah kanan sifar, hanya bentuk nombor dan sebutan telah berubah (6.1 - enam koma satu persepuluh; 6.10 - enam koma persepuluh perseratus).

Dengan penaakulan yang sama, kita boleh memastikan bahawa memberikan sifar di sebelah kanan pecahan perpuluhan tidak mengubah nilainya. Oleh itu, kita boleh menulis persamaan berikut:

1 = 1,0,
2,3 = 2,300,
6.7 = 6.70000 dsb.

Jika kita menetapkan sifar di sebelah kiri pecahan perpuluhan, maka ia tidak akan mempunyai apa-apa makna. Sesungguhnya, jika kita menulis sifar di sebelah kiri nombor 4.6, maka nombor itu akan mengambil bentuk 04.6. Di manakah sifar? Ia berdiri di tempat sepuluh, iaitu, ia menunjukkan bahawa tidak ada puluh dalam nombor ini, tetapi ini jelas walaupun tanpa sifar.

Walau bagaimanapun, perlu diingat bahawa kadangkala sifar diberikan kepada pecahan perpuluhan di sebelah kanan. Sebagai contoh, terdapat empat pecahan: 0.32; 2.5; 13.1023; 5,238. Kami memberikan sifar di sebelah kanan kepada pecahan yang mempunyai lebih sedikit tempat perpuluhan selepas titik perpuluhan: 0.3200; 2.5000; 13.1023; 5.2380.

Untuk apa itu? Dengan memberikan sifar di sebelah kanan, kami mendapat empat digit selepas titik perpuluhan untuk setiap nombor, yang bermaksud bahawa setiap pecahan akan mempunyai penyebut 10,000, dan sebelum memberikan sifar, penyebut pecahan pertama ialah 100, yang kedua 10, yang ketiga 10,000 dan 1,000 keempat. Jadi, dengan memberikan sifar, kita menyamakan bilangan tempat perpuluhan pecahan kita, iaitu, membawanya kepada penyebut biasa. Oleh itu, pengurangan pecahan perpuluhan kepada penyebut biasa dilakukan dengan memberikan sifar kepada pecahan ini.

Sebaliknya, jika beberapa pecahan perpuluhan mempunyai sifar di sebelah kanan, maka kita boleh membuangnya tanpa mengubah nilainya, contohnya: 2.60 = 2.6; 3.150 = 3.15; 4.200 = 4.2.

Bagaimanakah seseorang harus memahami pembuang sifar di sebelah kanan pecahan perpuluhan? Ia bersamaan dengan pengurangannya, dan ini boleh dilihat jika kita menulis pecahan perpuluhan ini dengan penyebut:

§ 105. Perbandingan pecahan perpuluhan dalam magnitud.

Apabila menggunakan pecahan perpuluhan, adalah sangat penting untuk dapat membandingkan pecahan antara satu sama lain dan menjawab soalan yang mana antaranya sama, yang mana lebih besar dan yang mana lebih kecil. Membandingkan perpuluhan dilakukan secara berbeza daripada membandingkan integer. Contohnya, integer nombor dua digit sentiasa lebih besar daripada satu digit, tidak kira berapa banyak unit yang terdapat dalam satu digit; nombor tiga digit adalah lebih daripada nombor dua digit, dan lebih-lebih lagi nombor satu digit. Tetapi apabila membandingkan pecahan perpuluhan, adalah satu kesilapan untuk mengira semua tanda yang digunakan untuk menulis pecahan.

Mari kita ambil dua pecahan: 3.5 dan 2.5, dan bandingkan saiznya. Mereka mempunyai tempat perpuluhan yang sama, tetapi pecahan pertama mempunyai 3 integer, dan yang kedua mempunyai 2. Pecahan pertama lebih besar daripada yang kedua, i.e.

Mari kita ambil pecahan lain: 0.4 dan 0.38. Untuk membandingkan pecahan ini, adalah berguna untuk menetapkan sifar di sebelah kanan pecahan pertama. Kemudian kita akan membandingkan pecahan 0.40 dan 0.38. Setiap daripadanya mempunyai dua digit selepas titik perpuluhan, yang bermaksud bahawa pecahan ini mempunyai penyebut yang sama 100.

Kita hanya perlu membandingkan pengangka mereka, tetapi pengangka 40 lebih besar daripada 38. Jadi pecahan pertama lebih besar daripada yang kedua, i.e.

Pecahan pertama mempunyai lebih banyak persepuluh daripada yang kedua, bagaimanapun, pecahan kedua mempunyai 8 lebih perseratus, tetapi mereka kurang daripada satu persepuluh, kerana 1/10 \u003d 10/100.

Sekarang mari kita bandingkan pecahan tersebut: 1.347 dan 1.35. Kami menetapkan sifar di sebelah kanan pecahan kedua dan membandingkan pecahan perpuluhan: 1.347 dan 1.350. Bahagian integer adalah sama, jadi anda hanya perlu membandingkan bahagian pecahan: 0.347 dan 0.350. Penyebut pecahan ini adalah biasa, tetapi pengangka pecahan kedua lebih besar daripada pengangka yang pertama, yang bermaksud bahawa pecahan kedua lebih besar daripada yang pertama, iaitu 1.35\u003e 1.347.

Akhir sekali, mari kita bandingkan dua lagi pecahan: 0.625 dan 0.62473. Kami menambah dua sifar pada pecahan pertama supaya digitnya sama, dan bandingkan pecahan yang terhasil: 0.62500 dan 0.62473. Penyebutnya adalah sama, tetapi pengangka bagi pecahan pertama 62500 lebih besar daripada pengangka pecahan kedua 62473. Oleh itu, pecahan pertama lebih besar daripada pecahan kedua, iaitu 0.625 > 0.62473.

Berdasarkan perkara di atas, kita boleh membuat kesimpulan berikut: daripada dua pecahan perpuluhan, yang mempunyai lebih banyak integer adalah lebih besar; apabila integer adalah sama, pecahan itu lebih besar, di mana bilangan persepuluh lebih besar; apabila integer dan persepuluh adalah sama, pecahan itu lebih besar, di mana bilangan perseratus lebih besar, dsb.

§ 106. Penambahan dan pengurangan pecahan perpuluhan sebanyak 10, 100, 1,000, dsb.

Kita sedia maklum bahawa penambahan sifar pada perpuluhan tidak menjejaskan nilainya. Apabila kami mengkaji integer, kami melihat bahawa setiap sifar yang ditetapkan di sebelah kanan meningkatkan nombor sebanyak 10 kali ganda. Tidak sukar untuk memahami mengapa ini berlaku. Jika kita mengambil integer, contohnya 25, dan menetapkan sifar di sebelah kanannya, maka nombor itu akan meningkat sebanyak 10 kali ganda, nombor 250 adalah 10 kali lebih besar daripada 25. Apabila sifar muncul di sebelah kanan, nombor 5, yang digunakan untuk menandakan unit, kini mula menunjukkan puluhan, dan nombor 2, yang dahulunya untuk puluhan, kini bermaksud ratusan. Oleh itu, terima kasih kepada kemunculan sifar, digit lama digantikan dengan yang baru, mereka menjadi lebih besar, mereka bergerak satu tempat ke kiri. Apabila perlu menambah pecahan perpuluhan, sebagai contoh, sebanyak 10 kali, maka kita juga perlu memindahkan digit satu tempat ke kiri, tetapi pergerakan sedemikian tidak boleh dicapai dengan sifar. Pecahan perpuluhan terdiri daripada bahagian integer dan bahagian pecahan, dipisahkan dengan koma. Di sebelah kiri titik perpuluhan ialah digit integer terendah, di sebelah kanan ialah digit pecahan tertinggi. Pertimbangkan pecahan:

Bagaimanakah kita boleh menggerakkan digit di dalamnya, sekurang-kurangnya dengan satu tempat, iaitu, dengan kata lain, bagaimana kita boleh meningkatkannya 10 kali ganda? Jika kita mengalihkan koma satu tempat ke kanan, maka pertama sekali ini akan menjejaskan nasib lima: ia dari rantau ini nombor pecahan jatuh ke dalam alam integer. Nombor itu kemudiannya akan mengambil borang: 12345.678. Perubahan berlaku dengan semua nombor lain, dan bukan hanya dengan lima. Semua nombor yang termasuk dalam nombor itu mula bermain peranan baru, perkara berikut berlaku (lihat jadual):

Semua pangkat menukar nama mereka, dan semua unit pangkat, boleh dikatakan, naik satu tempat. Daripada ini, jumlah keseluruhan meningkat sebanyak 10 kali ganda. Oleh itu, menggerakkan koma satu aksara ke kanan meningkatkan nombor sebanyak 10 kali ganda.

Mari lihat beberapa lagi contoh:

1) Ambil pecahan 0.5 dan gerakkan koma satu tempat ke kanan; kita mendapat nombor 5, iaitu 10 kali lebih banyak daripada 0.5, kerana sebelum lima bermakna persepuluh unit, dan kini ia bermakna unit keseluruhan.

2) Gerakkan koma dalam nombor 1.234 dua digit ke kanan; nombornya menjadi 123.4. Nombor ini 100 kali lebih besar daripada yang sebelumnya, kerana di dalamnya nombor 3 mula menunjukkan unit, nombor 2 - puluhan, dan nombor 1 - ratusan.

Oleh itu, untuk menambah pecahan perpuluhan sebanyak 10, anda perlu mengalihkan koma di dalamnya satu tempat ke kanan; untuk meningkatkannya sebanyak 100 kali ganda, anda perlu mengalihkan koma dua tempat ke kanan; untuk meningkat 1,000 kali ganda - tiga digit ke kanan, dsb.

Jika pada masa yang sama tidak ada tanda yang mencukupi untuk nombor itu, maka sifar diberikan kepadanya di sebelah kanan. Sebagai contoh, mari kita tambahkan pecahan 1.5 sebanyak 100 kali dengan menggerakkan koma dengan dua digit; kita dapat 150. Mari tambah pecahan 0.6 sebanyak 1,000 kali; kita dapat 600.

kembali jika perlu berkurangan pecahan perpuluhan sebanyak 10, 100, 1,000, dsb. kali, maka anda perlu mengalihkan koma ke kiri di dalamnya dengan satu, dua, tiga, dsb. aksara. Biarkan pecahan 20.5 diberikan; mari kita kurangkan sebanyak 10 kali ganda; untuk melakukan ini, kita gerakkan tanda koma satu ke kiri, pecahan akan mengambil bentuk 2.05. Mari kita kurangkan pecahan 0.015 sebanyak 100 kali; kita dapat 0.00015. Mari kita kurangkan nombor 334 sebanyak 10 kali; kita dapat 33.4.

Dalam artikel ini, kami akan menganalisis bagaimana menukar pecahan biasa kepada perpuluhan, dan juga pertimbangkan proses songsang - penukaran pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa. Di sini kita akan menyuarakan peraturan untuk menyongsangkan pecahan dan memberi penyelesaian terperinci contoh tipikal.

Navigasi halaman.

Menukar pecahan biasa kepada perpuluhan

Mari kita nyatakan urutan yang akan kita hadapi menukar pecahan biasa kepada perpuluhan.

Pertama, kita akan melihat bagaimana untuk mewakili pecahan biasa dengan penyebut 10, 100, 1000, ... sebagai pecahan perpuluhan. Ini kerana pecahan perpuluhan pada dasarnya adalah bentuk padat pecahan biasa dengan penyebut 10, 100, ....

Selepas itu, kita akan pergi lebih jauh dan menunjukkan bagaimana mana-mana pecahan biasa (bukan sahaja dengan penyebut 10, 100, ...) boleh ditulis sebagai pecahan perpuluhan. Dengan penukaran pecahan biasa ini, kedua-dua pecahan perpuluhan terhingga dan pecahan perpuluhan berkala tak terhingga diperolehi.

Sekarang tentang segala-galanya dengan teratur.

Menukar pecahan biasa dengan penyebut 10, 100, ... kepada pecahan perpuluhan

Sesetengah pecahan biasa memerlukan "persediaan awal" sebelum ditukar kepada perpuluhan. Ini terpakai kepada pecahan biasa, bilangan digit dalam pengangka yang kurang daripada bilangan sifar dalam penyebut. Sebagai contoh, pecahan biasa 2/100 mesti terlebih dahulu disediakan untuk penukaran kepada pecahan perpuluhan, tetapi pecahan 9/10 tidak perlu disediakan.

"persediaan awal" pecahan biasa yang betul untuk penukaran kepada pecahan perpuluhan terdiri daripada menambahkan begitu banyak sifar ke kiri dalam pengangka sehingga terdapat jumlah digit menjadi sama dengan bilangan sifar dalam penyebut. Sebagai contoh, pecahan selepas menambah sifar akan kelihatan seperti .

Selepas menyediakan pecahan biasa yang betul, anda boleh mula menukarnya kepada pecahan perpuluhan.

Jom beri peraturan untuk menukar pecahan biasa wajar dengan penyebut 10, atau 100, atau 1,000, ... menjadi pecahan perpuluhan. Ia terdiri daripada tiga langkah:

• tulis 0 ;
• letakkan titik perpuluhan selepasnya;
• tulis nombor daripada pengangka (bersama-sama dengan sifar tambahan, jika kita menambahnya).

Pertimbangkan penggunaan peraturan ini dalam menyelesaikan contoh.

Contoh.

Tukarkan pecahan wajar 37/100 kepada perpuluhan.

Penyelesaian.

Penyebutnya mengandungi nombor 100, yang mempunyai dua sifar dalam entrinya. Pengangka mengandungi nombor 37, terdapat dua digit dalam rekodnya, oleh itu, pecahan ini tidak perlu disediakan untuk penukaran kepada pecahan perpuluhan.

Sekarang kita menulis 0, meletakkan titik perpuluhan, dan menulis nombor 37 dari pengangka, sementara kita mendapat pecahan perpuluhan 0.37.

Jawapan:

0,37 .

Untuk menyatukan kemahiran menterjemah pecahan biasa biasa dengan pengangka 10, 100, ... ke dalam pecahan perpuluhan, kami akan menganalisis penyelesaian contoh lain.

Contoh.

menulis pecahan wajar 107/10,000,000 sebagai perpuluhan.

Penyelesaian.

Bilangan digit dalam pengangka ialah 3, dan bilangan sifar dalam penyebut ialah 7, jadi pecahan biasa ini perlu disediakan untuk penukaran kepada perpuluhan. Kita perlu menambah 7-3=4 sifar ke kiri dalam pengangka supaya jumlah bilangan digit di sana menjadi sama dengan bilangan sifar dalam penyebut. Kita mendapatkan .

Ia kekal untuk membentuk pecahan perpuluhan yang dikehendaki. Untuk melakukan ini, pertama, kita menulis 0, kedua, kita meletakkan koma, ketiga, kita menulis nombor dari pengangka bersama-sama dengan sifar 0000107 , sebagai hasilnya kita mempunyai pecahan perpuluhan 0.0000107 .

Jawapan:

0,0000107 .

Pecahan sepunya tak wajar tidak memerlukan persediaan apabila menukar kepada pecahan perpuluhan. Perkara berikut perlu dipatuhi peraturan untuk menukar pecahan biasa tak wajar dengan penyebut 10, 100, ... kepada pecahan perpuluhan:

• tulis nombor daripada pengangka;
• kita asingkan dengan titik perpuluhan sebanyak digit di sebelah kanan kerana terdapat sifar dalam penyebut pecahan asal.

Mari analisa penggunaan peraturan ini semasa menyelesaikan contoh.

Contoh.

Tukarkan pecahan sepunya tak wajar 56 888 038 009/100 000 kepada perpuluhan.

Penyelesaian.

Pertama, kami menulis nombor daripada pengangka 56888038009, dan kedua, kami memisahkan 5 digit di sebelah kanan dengan titik perpuluhan, kerana terdapat 5 sifar dalam penyebut pecahan asal. Hasilnya, kita mempunyai pecahan perpuluhan 568 880.38009.

Jawapan:

568 880,38009 .

Untuk menukar nombor bercampur kepada pecahan perpuluhan, penyebut bagi bahagian pecahan ialah nombor 10, atau 100, atau 1,000, ..., anda boleh menukar nombor bercampur itu kepada pecahan biasa tak wajar, selepas itu pecahan yang terhasil. boleh ditukar kepada pecahan perpuluhan. Tetapi anda juga boleh menggunakan yang berikut peraturan untuk menukar nombor bercampur dengan penyebut bahagian pecahan 10, atau 100, atau 1,000, ... kepada pecahan perpuluhan:

• jika perlu, kami melakukan "persediaan awal" bahagian pecahan nombor bercampur asal dengan menambah jumlah yang diperlukan sifar di sebelah kiri dalam pengangka;
• tuliskan bahagian integer nombor bercampur asal;
• meletakkan titik perpuluhan;
• kita menulis nombor daripada pengangka bersama-sama dengan sifar yang ditambah.

Mari kita pertimbangkan satu contoh, dalam penyelesaian yang mana kita akan melaksanakan semua langkah yang diperlukan untuk mewakili nombor bercampur sebagai pecahan perpuluhan.

Contoh.

Tukar nombor bercampur kepada perpuluhan.

Penyelesaian.

Terdapat 4 sifar dalam penyebut bahagian pecahan, dan nombor 17 dalam pengangka, terdiri daripada 2 digit, oleh itu, kita perlu menambah dua sifar di sebelah kiri dalam pengangka supaya bilangan aksara di sana menjadi sama dengan bilangan sifar dalam penyebut. Dengan melakukan ini, pengangka akan menjadi 0017 .

Sekarang kita tulis bahagian integer nombor asal, iaitu nombor 23, letakkan titik perpuluhan, selepas itu kita tulis nombor dari pengangka bersama-sama dengan sifar tambahan, iaitu, 0017, sementara kita mendapat perpuluhan yang dikehendaki. pecahan 23.0017.

Mari tuliskan keseluruhan penyelesaian secara ringkas: .

Tidak dinafikan, adalah mungkin untuk pertama kali mewakili nombor bercampur sebagai pecahan tidak wajar, dan kemudian menukarnya kepada pecahan perpuluhan. Dengan pendekatan ini, penyelesaiannya kelihatan seperti ini:

Jawapan:

23,0017 .

Menukar pecahan biasa kepada pecahan perpuluhan berkala terhingga dan tak terhingga

Bukan sahaja pecahan biasa dengan penyebut 10, 100, ... boleh ditukar kepada pecahan perpuluhan, tetapi pecahan biasa dengan penyebut lain. Sekarang kita akan memikirkan bagaimana ini dilakukan.

Dalam sesetengah kes, pecahan biasa asal mudah dikurangkan kepada salah satu penyebut 10, atau 100, atau 1000, ... (lihat pengurangan pecahan biasa kepada penyebut baru), selepas itu tidak sukar untuk membentangkan pecahan terhasil sebagai pecahan perpuluhan. Sebagai contoh, adalah jelas bahawa pecahan 2/5 boleh dikurangkan kepada pecahan dengan penyebut 10, untuk ini anda perlu mendarabkan pengangka dan penyebut dengan 2, yang akan memberikan pecahan 4/10, yang, menurut peraturan yang dibincangkan dalam perenggan sebelumnya, boleh dengan mudah ditukar kepada pecahan perpuluhan 0, empat .

Dalam kes lain, anda perlu menggunakan cara yang berbeza untuk menukar pecahan biasa kepada perpuluhan, yang kini akan kami pertimbangkan.

Untuk menukar pecahan biasa kepada pecahan perpuluhan, pengangka pecahan dibahagikan dengan penyebut, pengangka mula-mula digantikan dengan pecahan perpuluhan yang sama dengan sebarang nombor sifar selepas titik perpuluhan (kita membincangkan perkara ini dalam bahagian yang sama dan pecahan perpuluhan tidak sama). Dalam kes ini, pembahagian dilakukan dengan cara yang sama seperti pembahagian dengan lajur nombor asli, dan titik perpuluhan diletakkan dalam hasil bahagi apabila pembahagian bahagian integer dividen berakhir. Semua ini akan menjadi jelas daripada penyelesaian contoh yang diberikan di bawah.

Contoh.

Tukarkan pecahan sepunya 621/4 kepada perpuluhan.

Penyelesaian.

Kami mewakili nombor dalam pengangka 621 sebagai pecahan perpuluhan dengan menambahkan titik perpuluhan dan beberapa sifar selepasnya. Sebagai permulaan, kami akan menambah 2 digit 0, kemudian, jika perlu, kami sentiasa boleh menambah lebih banyak sifar. Jadi, kita ada 621.00 .

Sekarang mari kita bahagikan nombor 621,000 dengan 4 dengan lajur. Tiga langkah pertama tidak berbeza dengan pembahagian dengan lajur nombor asli, selepas itu kita sampai pada gambar berikut:

Jadi kita sampai ke titik perpuluhan dalam dividen, dan selebihnya berbeza daripada sifar. Dalam kes ini, kami meletakkan titik perpuluhan dalam hasil bagi, dan meneruskan pembahagian dengan lajur, mengabaikan koma:

Pembahagian ini selesai, dan sebagai hasilnya kami mendapat pecahan perpuluhan 155.25, yang sepadan dengan pecahan biasa asal.

Jawapan:

155,25 .

Untuk menyatukan bahan, pertimbangkan penyelesaian contoh lain.

Contoh.

Tukarkan pecahan sepunya 21/800 kepada perpuluhan.

Penyelesaian.

Untuk menukar pecahan biasa ini kepada perpuluhan, mari bahagikan pecahan perpuluhan 21,000 ... dengan 800 dengan lajur. Selepas langkah pertama, kita perlu meletakkan titik perpuluhan dalam hasil bagi, dan kemudian meneruskan pembahagian:

Akhirnya, kita mendapat baki 0, dalam hal ini penukaran pecahan biasa 21/400 kepada pecahan perpuluhan selesai, dan kita telah sampai kepada pecahan perpuluhan 0.02625.

Jawapan:

0,02625 .

Ia mungkin berlaku apabila membahagikan pengangka dengan penyebut pecahan biasa, kita tidak pernah mendapat baki 0. Dalam kes ini, pembahagian boleh diteruskan selagi dikehendaki. Walau bagaimanapun, bermula dari langkah tertentu, baki mula berulang secara berkala, manakala digit dalam hasil bagi juga berulang. Ini bermakna pecahan biasa asal diterjemahkan kepada perpuluhan berkala tak terhingga. Mari tunjukkan ini dengan contoh.

Contoh.

Tulis pecahan sepunya 19/44 sebagai perpuluhan.

Penyelesaian.

Untuk menukar pecahan biasa kepada perpuluhan, kami melakukan pembahagian dengan lajur:

Sudah jelas bahawa apabila membahagi, baki 8 dan 36 mula berulang, manakala dalam hasil bagi nombor 1 dan 8 diulang. Oleh itu, pecahan biasa asal 19/44 diterjemahkan kepada pecahan perpuluhan berkala 0.43181818…=0.43(18) .

Jawapan:

0,43(18) .

Sebagai kesimpulan perenggan ini, kita akan memikirkan pecahan biasa yang boleh ditukar kepada pecahan perpuluhan akhir, dan yang mana hanya boleh ditukar kepada pecahan berkala.

Biarkan kita mempunyai pecahan biasa yang tidak dapat dikurangkan di hadapan kita (jika pecahan itu boleh dikurangkan, maka kita mula-mula melakukan pengurangan pecahan itu), dan kita perlu mengetahui pecahan perpuluhan yang boleh ditukar kepada - terhingga atau berkala.

Adalah jelas bahawa jika pecahan biasa boleh dikurangkan kepada salah satu penyebut 10, 100, 1000, ..., maka pecahan yang terhasil boleh dengan mudah ditukar kepada pecahan perpuluhan akhir mengikut peraturan yang dibincangkan dalam perenggan sebelumnya. Tetapi kepada penyebut 10, 100, 1,000, dsb. bukan semua pecahan biasa diberi. Hanya pecahan boleh dikurangkan kepada penyebut sedemikian, penyebutnya sekurang-kurangnya satu daripada nombor 10, 100, ... Dan nombor apakah yang boleh menjadi pembahagi 10, 100, ...? Nombor 10, 100, … akan membolehkan kita menjawab soalan ini, dan ia adalah seperti berikut: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Ia berikutan bahawa pembahagi 10, 100, 1,000, dsb. hanya terdapat nombor yang pengembangannya menjadi faktor utama hanya mengandungi nombor 2 dan (atau) 5 .

Sekarang kita boleh membuat kesimpulan umum tentang penukaran pecahan biasa kepada pecahan perpuluhan:

• jika hanya nombor 2 dan (atau) 5 terdapat dalam penguraian penyebut menjadi faktor perdana, maka pecahan ini boleh ditukar menjadi pecahan perpuluhan akhir;
• jika, sebagai tambahan kepada dua dan lima, terdapat yang lain dalam pengembangan penyebut nombor perdana, maka pecahan ini diterjemahkan kepada pecahan berkala perpuluhan tak terhingga.

Contoh.

Tanpa menukar pecahan biasa kepada perpuluhan, beritahu saya pecahan 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 yang manakah boleh ditukar kepada pecahan perpuluhan akhir dan yang hanya boleh ditukar kepada pecahan berkala.

Penyelesaian.

Pemfaktoran perdana penyebut pecahan 47/20 mempunyai bentuk 20=2 2 5 . Terdapat hanya dua dan lima dalam pengembangan ini, jadi pecahan ini boleh dikurangkan kepada salah satu penyebut 10, 100, 1000, ... (dalam contoh ini, kepada penyebut 100), oleh itu, boleh ditukar kepada perpuluhan akhir pecahan.

Pemfaktoran perdana bagi penyebut pecahan 7/12 mempunyai bentuk 12=2 2 3 . Oleh kerana ia mengandungi faktor mudah 3 berbeza daripada 2 dan 5, pecahan ini tidak boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan terhingga, tetapi boleh ditukar kepada pecahan perpuluhan berkala.

Pecahan 21/56 - boleh dikontrak, selepas pengurangan ia mengambil bentuk 3/8. Penguraian penyebut kepada faktor perdana mengandungi tiga faktor bersamaan dengan 2, oleh itu, pecahan biasa 3/8, dan dengan itu pecahan yang sama dengannya 21/56, boleh diterjemahkan kepada pecahan perpuluhan akhir.

Akhirnya, pengembangan penyebut pecahan 31/17 itu sendiri ialah 17, oleh itu, pecahan ini tidak boleh ditukar kepada pecahan perpuluhan terhingga, tetapi ia boleh ditukar kepada pecahan berkala tak terhingga.

Jawapan:

47/20 dan 21/56 boleh ditukar kepada perpuluhan akhir, manakala 7/12 dan 31/17 hanya boleh ditukar kepada perpuluhan berkala.

Pecahan biasa tidak bertukar kepada perpuluhan tak terhingga tidak berulang

Maklumat perenggan sebelumnya menimbulkan persoalan: "Bolehkah pecahan tak berkala tak terhingga diperoleh apabila membahagikan pengangka pecahan dengan penyebut"?

Jawapan: tidak. Apabila menterjemah pecahan biasa, sama ada pecahan perpuluhan terhingga atau pecahan perpuluhan berkala tak terhingga boleh diperolehi. Mari kita jelaskan mengapa ini berlaku.

Daripada teorem kebolehbahagi dengan baki adalah jelas bahawa baki adalah sentiasa kurang pembahagi, iaitu, jika kita membahagikan beberapa integer dengan integer q , maka bakinya hanya boleh menjadi satu daripada nombor 0, 1, 2, ..., q−1 . Ia berikutan bahawa selepas pembahagian bahagian integer pengangka pecahan biasa dengan penyebut q selesai, selepas tidak lebih daripada q langkah, salah satu daripada dua situasi berikut akan timbul:

• sama ada kita mendapat baki 0 ​​, ini akan menamatkan pembahagian, dan kita akan mendapat pecahan perpuluhan akhir;
• atau kita akan mendapat baki yang telah muncul sebelum ini, selepas itu baki akan mula berulang seperti dalam contoh sebelumnya (sejak apabila membahagikan nombor yang sama pada q, baki yang sama diperolehi, yang mengikuti daripada teorem kebolehbahagi yang telah disebutkan), jadi pecahan perpuluhan berkala tak terhingga akan diperolehi.

Tidak boleh ada pilihan lain, oleh itu, apabila menukar pecahan biasa kepada pecahan perpuluhan, pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga tidak boleh diperolehi.

Ia juga mengikuti daripada alasan yang diberikan dalam perenggan ini bahawa panjang tempoh pecahan perpuluhan sentiasa kurang daripada nilai penyebut pecahan biasa yang sepadan.

Menukar perpuluhan kepada pecahan biasa

Sekarang mari kita fikirkan cara untuk menukar pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa. Mari kita mulakan dengan menukar perpuluhan akhir kepada pecahan biasa. Selepas itu, pertimbangkan kaedah menyongsangkan pecahan perpuluhan berkala tak terhingga. Sebagai kesimpulan, katakan tentang kemustahilan menukar pecahan perpuluhan tak berkala tak terhingga kepada pecahan biasa.

Menukar perpuluhan akhir kepada pecahan biasa

Mendapatkan pecahan biasa, yang ditulis sebagai pecahan perpuluhan akhir, agak mudah. Peraturan untuk menukar pecahan perpuluhan akhir kepada pecahan biasa terdiri daripada tiga langkah:

• mula-mula, tulis pecahan perpuluhan yang diberikan ke dalam pengangka, setelah sebelumnya membuang titik perpuluhan dan semua sifar di sebelah kiri, jika ada;
• kedua, tulis satu dalam penyebut dan tambah seberapa banyak sifar padanya kerana terdapat digit selepas titik perpuluhan dalam pecahan perpuluhan asal;
• ketiga, jika perlu, kurangkan pecahan yang terhasil.

Mari kita pertimbangkan contoh.

Contoh.

Tukarkan perpuluhan 3.025 kepada pecahan sepunya.

Penyelesaian.

Jika kita mengeluarkan titik perpuluhan dalam pecahan perpuluhan asal, maka kita mendapat nombor 3025. Ia tidak mempunyai sifar di sebelah kiri yang akan kami buang. Jadi, dalam pengangka pecahan yang diperlukan kita tulis 3025.

Kami menulis nombor 1 dalam penyebut dan menambah 3 sifar di sebelah kanannya, kerana terdapat 3 digit dalam pecahan perpuluhan asal selepas titik perpuluhan.

Jadi kami mendapat pecahan biasa 3 025/1 000. Pecahan ini boleh dikurangkan sebanyak 25, kita dapat .

Jawapan:

.

Contoh.

Tukar perpuluhan 0.0017 kepada pecahan biasa.

Penyelesaian.

Tanpa titik perpuluhan, pecahan perpuluhan asal kelihatan seperti 00017, membuang sifar di sebelah kiri, kita mendapat nombor 17, yang merupakan pengangka bagi pecahan biasa yang dikehendaki.

Dalam penyebut kita menulis unit dengan empat sifar, kerana dalam pecahan perpuluhan asal terdapat 4 digit selepas titik perpuluhan.

Akibatnya, kita mempunyai pecahan biasa 17/10,000. Pecahan ini tidak boleh dikurangkan, dan penukaran pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa selesai.

Jawapan:

.

Apabila bahagian integer pecahan perpuluhan akhir asal berbeza daripada sifar, maka ia boleh segera ditukar kepada nombor bercampur, memintas pecahan biasa. Jom beri peraturan untuk menukar perpuluhan akhir kepada nombor bercampur:

• nombor sebelum titik perpuluhan mesti ditulis sebagai bahagian integer nombor bercampur yang dikehendaki;
• dalam pengangka bahagian pecahan, anda perlu menulis nombor yang diperoleh daripada bahagian pecahan pecahan perpuluhan asal selepas membuang semua sifar di sebelah kiri di dalamnya;
• dalam penyebut bahagian pecahan, anda perlu menulis nombor 1, yang, di sebelah kanan, tambahkan seberapa banyak sifar kerana terdapat digit dalam kemasukan pecahan perpuluhan asal selepas titik perpuluhan;
• jika perlu, kurangkan bahagian pecahan nombor bercampur yang terhasil.

Pertimbangkan contoh menukar pecahan perpuluhan kepada nombor bercampur.

Contoh.

Ungkapkan perpuluhan 152.06005 sebagai nombor bercampur

Pecahan

Perhatian!
Ada tambahan
bahan dalam Seksyen Khas 555.
Bagi mereka yang "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat...")

Pecahan di sekolah menengah tidak begitu menjengkelkan. Buat sementara waktu. Sehingga anda bertemu dengan ijazah dengan penunjuk rasional ya logaritma. Dan di sana…. Anda menekan, anda menekan kalkulator, dan ia menunjukkan semua papan markah penuh beberapa nombor. Anda perlu berfikir dengan kepala anda, seperti di darjah tiga.

Mari kita berurusan dengan pecahan, akhirnya! Nah, berapa banyak yang anda boleh keliru dengan mereka!? Lebih-lebih lagi, semuanya mudah dan logik. Jadi, apakah pecahan?

Jenis pecahan. Transformasi.

Pecahan berlaku tiga jenis.

1. Pecahan sepunya , sebagai contoh:

Kadangkala, bukannya garis mendatar, mereka meletakkan garis miring: 1/2, 3/4, 19/5, telaga, dan seterusnya. Di sini kita akan sering menggunakan ejaan ini. Nombor teratas dipanggil pengangka, lebih rendah - penyebut. Jika anda sentiasa mengelirukan nama-nama ini (ia berlaku ...), beritahu diri anda frasa dengan ungkapan: " Zzzzz ingat! Zzzzz penyebut - keluar zzzz u!" Lihat, semuanya akan diingati.)

Tanda sempang, yang mendatar, yang serong, bermaksud pembahagian nombor atas (pembilang) kepada nombor bawah (penyebut). Dan itu sahaja! Daripada sengkang, agak mungkin untuk meletakkan tanda pembahagian - dua titik.

Apabila pembahagian boleh dilakukan sepenuhnya, ia mesti dilakukan. Jadi, daripada pecahan "32/8" adalah lebih menyenangkan untuk menulis nombor "4". Itu. 32 hanya dibahagikan dengan 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Saya tidak bercakap tentang pecahan "4/1". Yang juga hanya "4". Dan jika ia tidak membahagi sepenuhnya, kita biarkan ia sebagai pecahan. Kadang-kadang anda perlu melakukan sebaliknya. Buat pecahan daripada nombor bulat. Tetapi lebih lanjut mengenai itu kemudian.

2. perpuluhan , sebagai contoh:

Dalam bentuk ini, anda perlu menulis jawapan kepada tugas "B".

3. nombor bercampur , sebagai contoh:

Nombor bercampur boleh dikatakan tidak digunakan di sekolah menengah. Untuk bekerja dengan mereka, mereka mesti ditukar kepada pecahan biasa. Tetapi anda pasti perlu tahu bagaimana untuk melakukannya! Dan kemudian nombor sedemikian akan ditemui dalam teka-teki dan menggantung ... Dari awal. Tetapi kami ingat prosedur ini! Rendah sikit.

Paling serba boleh pecahan sepunya. Mari kita mulakan dengan mereka. Dengan cara ini, jika terdapat pelbagai jenis logaritma, sinus dan huruf lain dalam pecahan, ini tidak mengubah apa-apa. Dalam erti kata bahawa segala-galanya tindakan dengan ungkapan pecahan tidak berbeza dengan tindakan dengan pecahan biasa!

Sifat asas pecahan.

Jadi mari pergi! Pertama sekali, saya akan mengejutkan anda. Keseluruhan pelbagai transformasi pecahan disediakan oleh satu sifat! Itulah yang dinamakan sifat asas pecahan. Ingat: Jika pengangka dan penyebut pecahan didarab (dibahagi) dengan nombor yang sama, pecahan itu tidak akan berubah. Mereka:

Jelas bahawa anda boleh menulis lebih jauh, sehingga anda menjadi biru di muka. Jangan biarkan sinus dan logaritma mengelirukan anda, kami akan menanganinya dengan lebih lanjut. Perkara utama yang perlu difahami ialah semua pelbagai ungkapan ini pecahan yang sama . 2/3.

Dan kita memerlukannya, semua transformasi ini? Dan bagaimana! Sekarang anda akan lihat sendiri. Mula-mula, mari kita gunakan sifat asas pecahan untuk singkatan pecahan. Nampaknya perkara itu adalah asas. Kami membahagikan pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama dan itu sahaja! Tidak mustahil untuk tersilap! Tetapi... manusia adalah makhluk yang kreatif. Anda boleh membuat kesilapan di mana-mana sahaja! Lebih-lebih lagi jika anda perlu mengurangkan bukan pecahan seperti 5/10, tetapi ungkapan pecahan dengan pelbagai jenis huruf.

Cara mengurangkan pecahan dengan betul dan cepat tanpa melakukan kerja yang tidak perlu boleh didapati di Seksyen 555 khas.

Seorang pelajar biasa tidak bersusah payah membahagikan pengangka dan penyebut dengan nombor (atau ungkapan) yang sama! Dia hanya menconteng semua yang sama dari atas dan bawah! Di sinilah ia bersembunyi kesilapan tipikal, blooper jika anda mahu.

Sebagai contoh, anda perlu memudahkan ungkapan:

Tiada apa yang perlu difikirkan, kita potong huruf "a" dari atas dan deuce dari bawah! Kita mendapatkan:

Semuanya betul. Tetapi benar-benar anda berkongsi keseluruhan pengangka dan keseluruhan penyebut "a". Jika anda biasa menconteng sahaja, maka, dengan tergesa-gesa, anda boleh memotong "a" dalam ungkapan tersebut

dan dapatkan semula

Yang pastinya salah. Kerana di sini keseluruhan pengangka pada "a" sudah tidak dikongsi! Pecahan ini tidak boleh dikurangkan. Ngomong-ngomong, singkatan sebegitu, um ... cabaran yang serius kepada guru. Ini tidak dimaafkan! Ingat? Apabila mengurangkan, adalah perlu untuk membahagikan keseluruhan pengangka dan keseluruhan penyebut!

Mengurangkan pecahan menjadikan hidup lebih mudah. Anda akan mendapat pecahan di suatu tempat, contohnya 375/1000. Dan bagaimana untuk bekerja dengannya sekarang? Tanpa kalkulator? Darab, katakan, tambah, kuasa dua!? Dan jika anda tidak terlalu malas, tetapi berhati-hati mengurangkan dengan lima, dan walaupun dengan lima, dan walaupun ... semasa ia sedang dikurangkan, ringkasnya. Kami mendapat 3/8! Jauh lebih bagus, bukan?

Sifat asas pecahan membolehkan anda menukar pecahan biasa kepada perpuluhan dan begitu juga sebaliknya tanpa kalkulator! Ini penting untuk peperiksaan, bukan?

Cara menukar pecahan daripada satu bentuk kepada bentuk yang lain.

Ia mudah dengan perpuluhan. Seperti yang didengar, begitulah yang tertulis! Katakan 0.25. Ia adalah mata sifar, dua puluh lima perseratus. Jadi kami menulis: 25/100. Kami mengurangkan (membahagikan pengangka dan penyebut dengan 25), kami mendapat pecahan biasa: 1/4. Semuanya. Ia berlaku, dan tiada apa yang dikurangkan. Seperti 0.3. Ini adalah tiga persepuluh, i.e. 3/10.

Bagaimana jika integer bukan sifar? Tidak mengapa. Tuliskan keseluruhan pecahan tanpa sebarang koma dalam pengangka, dan dalam penyebut - apa yang didengar. Contohnya: 3.17. Ini adalah tiga keseluruhan, tujuh belas perseratus. Kami menulis 317 dalam pengangka, dan 100 dalam penyebut. Kami mendapat 317/100. Tiada yang dikurangkan, itu bermakna segala-galanya. Ini jawapannya. Watson asas! Daripada semua perkara di atas, kesimpulan yang berguna: mana-mana pecahan perpuluhan boleh ditukar kepada pecahan biasa .

Tetapi penjelmaan songsang, biasa hingga perpuluhan, ada yang tanpa kalkulator tidak boleh lakukan. Tetapi anda mesti! Bagaimana anda akan menulis jawapan pada peperiksaan!? Kami membaca dan menguasai proses ini dengan teliti.

Apakah pecahan perpuluhan? Dia ada dalam penyebut sentiasa adalah bernilai 10 atau 100 atau 1000 atau 10000 dan seterusnya. Jika pecahan biasa anda mempunyai penyebut sedemikian, tiada masalah. Contohnya, 4/10 = 0.4. Atau 7/100 = 0.07. Atau 12/10 = 1.2. Dan jika dalam jawapan kepada tugas bahagian "B" ternyata 1/2? Apa yang akan kita tulis sebagai jawapan? Perpuluhan diperlukan...

Kami ingat sifat asas pecahan ! Matematik membenarkan anda untuk mendarab pengangka dan penyebut dengan nombor yang sama. Untuk sesiapa sahaja, dengan cara itu! Kecuali sifar, sudah tentu. Mari gunakan ciri ini untuk kelebihan kita! Apakah penyebut yang boleh didarab dengan, i.e. 2 supaya ia menjadi 10, atau 100, atau 1000 (lebih kecil lebih baik, sudah tentu...)? 5, jelas sekali. Jangan ragu untuk mendarabkan penyebutnya (ini adalah kami perlu) dengan 5. Tetapi, maka pengangka juga mesti didarab dengan 5. Ini sudah matematik tuntutan! Kami mendapat 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0.5. Itu sahaja.

Namun, macam-macam penyebut terjumpa. Sebagai contoh, pecahan 3/16 akan jatuh. Cubalah, fikirkan apa yang hendak didarabkan 16 dengan untuk mendapatkan 100, atau 1000... Tidak berkesan? Kemudian anda hanya boleh membahagi 3 dengan 16. Jika tiada kalkulator, anda perlu membahagi dengan sudut, pada sehelai kertas, seperti dalam gred rendah diajar. Kami mendapat 0.1875.

Dan terdapat beberapa penyebut yang sangat buruk. Sebagai contoh, pecahan 1/3 tidak boleh ditukar menjadi perpuluhan yang baik. Kedua-dua pada kalkulator dan pada sehelai kertas, kita mendapat 0.3333333 ... Ini bermakna 1/3 menjadi pecahan perpuluhan tepat tidak menterjemah. Sama seperti 1/7, 5/6 dan seterusnya. Banyak daripada mereka tidak boleh diterjemahkan. Oleh itu satu lagi kesimpulan yang berguna. Tidak setiap pecahan biasa bertukar kepada perpuluhan. !

By the way, ini informasi berguna untuk ujian kendiri. Dalam bahagian "B" sebagai jawapan, anda perlu menulis pecahan perpuluhan. Dan anda mendapat, sebagai contoh, 4/3. Pecahan ini tidak ditukar kepada perpuluhan. Ini bermakna bahawa di suatu tempat di sepanjang jalan anda membuat kesilapan! Kembali, semak penyelesaiannya.

Jadi, dengan pecahan biasa dan pecahan perpuluhan diselesaikan. Ia tetap berurusan dengan nombor bercampur. Untuk bekerja dengan mereka, mereka semua perlu ditukar kepada pecahan biasa. Bagaimana hendak melakukannya? Anda boleh menangkap pelajar darjah enam dan bertanya kepadanya. Tetapi tidak selalu seorang pelajar darjah enam akan berada di tangan ... Kami perlu melakukannya sendiri. Ini tidak sukar. Darabkan penyebut bahagian pecahan dengan bahagian integer dan tambahkan pengangka bahagian pecahan. Ini akan menjadi pengangka pecahan biasa. Bagaimana dengan penyebutnya? Penyebut akan tetap sama. Kedengarannya rumit, tetapi ia sebenarnya agak mudah. Mari kita lihat contoh.

Biarkan masalah yang anda lihat dengan seram nombornya:

Dengan tenang, tanpa panik, kami faham. Keseluruhan bahagiannya ialah 1. Satu. Bahagian pecahan ialah 3/7. Oleh itu, penyebut bagi bahagian pecahan ialah 7. Penyebut ini akan menjadi penyebut bagi pecahan biasa. Kami mengira pengangka. Kami mendarabkan 7 dengan 1 (bahagian integer) dan menambah 3 (pembilang bahagian pecahan). Kami mendapat 10. Ini akan menjadi pengangka bagi pecahan biasa. Itu sahaja. Ia kelihatan lebih mudah dalam tatatanda matematik:

Jelas? Kemudian selamatkan kejayaan anda! Tukarkan kepada pecahan sepunya. Anda sepatutnya mendapat 10/7, 7/2, 23/10 dan 21/4.

Operasi songsang - menukar pecahan tak wajar kepada nombor bercampur - jarang diperlukan di sekolah menengah. Nah, jika... Dan jika anda - bukan di sekolah menengah - anda boleh melihat Seksyen 555 khas. Di tempat yang sama, dengan cara ini, anda akan belajar tentang pecahan tak wajar.

Nah, hampir semuanya. Anda ingat jenis pecahan dan faham bagaimana menukarnya daripada satu jenis kepada jenis yang lain. Persoalannya tetap: kenapa lakukannya? Di mana dan bila untuk menggunakan pengetahuan yang mendalam ini?

Saya jawab. Mana-mana contoh sendiri mencadangkan tindakan yang perlu. Jika dalam contoh pecahan biasa, perpuluhan, dan genap nombor bercampur, kita tukarkan semuanya kepada pecahan biasa. Ia sentiasa boleh dilakukan. Nah, jika sesuatu seperti 0.8 + 0.3 ditulis, maka kami fikir begitu, tanpa sebarang terjemahan. Mengapa kita memerlukan kerja tambahan? Kami memilih penyelesaian yang sesuai kami !

Jika tugas itu penuh dengan pecahan perpuluhan, tetapi emm ... sejenis yang jahat, pergi ke yang biasa, cuba! Lihat, semuanya akan baik-baik saja. Sebagai contoh, anda perlu menduakan nombor 0.125. Tidak begitu mudah jika anda tidak kehilangan tabiat kalkulator! Anda bukan sahaja perlu mendarab nombor dalam lajur, tetapi juga memikirkan tempat untuk memasukkan koma! Ia pasti tidak berfungsi dalam fikiran saya! Dan jika anda pergi ke pecahan biasa?

0.125 = 125/1000. Kami kurangkan sebanyak 5 (ini untuk permulaan). Kita dapat 25/200. Sekali lagi pada 5. Kami mendapat 5/40. Oh, ia mengecut! Kembali ke 5! Kami mendapat 1/8. Segi empat sama mudah (dalam fikiran anda!) dan dapatkan 1/64. Semuanya!

Mari kita ringkaskan pelajaran ini.

1. Terdapat tiga jenis pecahan. Nombor biasa, perpuluhan dan bercampur.

2. Perpuluhan dan nombor bercampur sentiasa boleh ditukar kepada pecahan biasa. Terjemahan Songsang tidak selalu tersedia.

3. Pilihan jenis pecahan untuk bekerja dengan tugasan bergantung pada tugasan ini. Di hadapan jenis yang berbeza pecahan dalam satu tugasan, perkara yang paling boleh dipercayai ialah bertukar kepada pecahan biasa.

Sekarang anda boleh berlatih. Mula-mula, tukarkan pecahan perpuluhan ini kepada pecahan biasa:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Anda sepatutnya mendapat jawapan seperti ini (dalam keadaan huru-hara!):

Mengenai ini kita akan selesaikan. Dalam pelajaran ini, kami meneliti perkara-perkara penting mengenai pecahan. Walau bagaimanapun, ia berlaku bahawa tiada apa-apa yang istimewa untuk dimuat semula ...) Jika seseorang telah terlupa sepenuhnya, atau belum menguasainya lagi ... Mereka boleh pergi ke Seksyen 555 khas. Semua asas terperinci di sana. Ramai yang tiba-tiba memahami segala-galanya sedang bermula. Dan mereka menyelesaikan pecahan dengan cepat).

Jika anda suka laman web ini...

By the way, saya ada beberapa lagi tapak yang menarik untuk anda.)

Anda boleh berlatih menyelesaikan contoh dan mengetahui tahap anda. Menguji dengan pengesahan segera. Belajar - dengan minat!)

anda boleh berkenalan dengan fungsi dan derivatif.

Pecahan perpuluhan adalah pecahan biasa yang sama, tetapi dalam apa yang dipanggil tatatanda perpuluhan. tatatanda perpuluhan digunakan untuk pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dsb. Dalam kes ini, bukannya pecahan 1/10; 1/100; 1/1000; ... tulis 0.1; 0.01; 0.001;... .

Sebagai contoh, 0.7 ( sifar koma tujuh) ialah pecahan 7/10; 5.43 ( lima perpuluhan empat puluh tiga perseratus) ialah pecahan bercampur 5 43/100 (atau, secara bersamaan, pecahan tak wajar 543/100).

Ia mungkin berlaku bahawa terdapat satu atau lebih sifar serta-merta selepas titik perpuluhan: 1.03 ialah pecahan 1 3/100; 17.0087 ialah pecahan 1787/10000. Peraturan Am Adakah ini: mesti ada sebanyak sifar dalam penyebut pecahan biasa kerana terdapat digit selepas titik perpuluhan dalam pecahan perpuluhan.

Perpuluhan boleh berakhir dengan satu atau lebih sifar. Ternyata sifar ini adalah "tambahan" - ia hanya boleh dialih keluar: 1.30 = 1.3; 5.4600 = 5.46; 3,000 = 3. Bolehkah anda mengetahui mengapa ini berlaku?

Perpuluhan secara semula jadi timbul apabila membahagi dengan nombor "bulat" - 10, 100, 1000, ... Pastikan anda memahami contoh berikut:

27:10 = 27/10 = 2 7/10 = 2,7;

579:100 = 579/100 = 5 79/100 = 5,79;

33791:1000 = 33791/1000 = 33 791/1000 = 33,791;

34,9:10 = 349/10:10 = 349/100 = 3,49;

6,35:100 = 635/100:100 = 635/10000 = 0,0635.

Adakah anda melihat corak di sini? Cuba rumuskan. Apakah yang berlaku jika anda mendarab perpuluhan dengan 10, 100, 1000?

Untuk menukar pecahan biasa kepada perpuluhan, anda perlu membawanya ke beberapa jenis penyebut "bulat":

2/5 = 4/10 = 0.4; 11/20 = 55/100 = 0.55; 9/2 = 45/10 = 4.5 dsb.

Menambah pecahan perpuluhan adalah lebih mudah daripada pecahan biasa. Penambahan dilakukan dengan cara yang sama seperti dengan nombor biasa - mengikut digit yang sepadan. Apabila menambah dalam lajur, istilah mesti ditulis supaya komanya berada pada menegak yang sama. Jumlah koma juga akan muncul pada menegak yang sama. Penolakan pecahan perpuluhan dilakukan dengan cara yang sama.

Jika, apabila menambah atau menolak dalam salah satu pecahan, bilangan digit selepas titik perpuluhan adalah kurang daripada yang lain, maka bilangan sifar yang diperlukan hendaklah ditambah pada penghujung pecahan ini. Anda tidak boleh menambah sifar ini, tetapi bayangkan sahaja dalam fikiran anda.

Apabila mendarab pecahan perpuluhan, ia sekali lagi harus didarab sebagai nombor biasa (dalam kes ini, tidak perlu lagi menulis koma di bawah koma). Dalam hasil yang diperoleh, anda perlu memisahkan dengan koma bilangan aksara yang sama dengan jumlah bilangan tempat perpuluhan dalam kedua-dua faktor.

Apabila membahagikan pecahan perpuluhan, anda boleh mengalihkan koma ke kanan secara serentak dengan bilangan digit yang sama dalam dividen dan pembahagi: hasil bahagi tidak akan berubah daripada ini:

2,8:1,4 = 2,8/1,4 = 28/14 = 2;

4,2:0,7 = 4,2/0,7 = 42/7 = 6;

6:1,2 = 6,0/1,2 = 60/12 = 5.

Terangkan mengapa demikian?

1. Lukis petak 10x10. Cat di atas sebahagian daripadanya bersamaan dengan: a) 0.02; b) 0.7; c) 0.57; d) 0.91; e) 0.135 daripada luas seluruh petak.
2. Apakah petak 2.43? Lukis dalam gambar.
3. Bahagikan 37 dengan 10; 795; empat; 2.3; 65.27; 0.48 dan tulis hasilnya sebagai pecahan perpuluhan. Bahagikan nombor ini dengan 100 dan 1000.
4. Darab dengan 10 nombor 4.6; 6.52; 23.095; 0.01999. Darabkan nombor ini dengan 100 dan 1000.
5. Ungkapkan perpuluhan sebagai pecahan dan kurangkan:
   a) 0.5; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8;
   b) 0.25; 0.75; 0.05; 0.35; 0.025;
   c) 0.125; 0.375; 0.625; 0.875;
   d) 0.44; 0.26; 0.92; 0.78; 0.666; 0.848.
6. Bayangkan dalam bentuk pecahan bercampur: 1,5; 3,2; 6,6; 2,25; 10,75; 4,125; 23,005; 7,0125.
7. Tulis pecahan biasa sebagai perpuluhan:
   a) 1/2; 3/2; 7/2; 15/2; 1/5; 3/5; 4/5; 18/5;
   b) 1/4; 3/4; 5/4; 19/4; 1/20; 7/20; 49/20; 1/25; 13/25; 77/25; 1/50; 17/50; 137/50;
   c) 1/8; 3/8; 5/8; 7/8; 11/8; 125/8; 1/16; 16/5; 16/9; 23/16;
   d) 1/500; 3/250; 71/200; 9/125; 27/2500; 1999/2000.
8. Cari hasil tambah: a) 7.3 + 12.8; b) 65.14+49.76; c) 3.762+12.85; d) 85.4+129.756; e) 1.44+2.56.
9. Fikirkan satu unit sebagai hasil tambah dua perpuluhan. Cari dua puluh lagi cara untuk melakukan ini.
10. Cari bezanya: a) 13.4–8.7; b) 74.52–27.04; c) 49.736–43.45; d) 127.24–93.883; e) 67–52.07; f) 35.24–34.9975.
11. Cari hasil darab: a) 7.6 3.8; b) 4.8 12.5; c) 2.39 7.4; d) 3.74 9.65.