Unjuran titik ke tiga satah unjuran sudut koordinat bermula dengan mendapatkan imejnya pada satah H - satah unjuran mengufuk. Untuk melakukan ini, rasuk unjuran dilalui melalui titik A (Rajah 4.12, a) berserenjang dengan satah H.

Dalam rajah, serenjang dengan satah H adalah selari dengan paksi Oz. Titik persilangan rasuk dengan satah H (titik a) dipilih sewenang-wenangnya. Segmen Aa menentukan pada jarak titik A terletak dari satah H, dengan itu menunjukkan dengan jelas kedudukan titik A dalam rajah berhubung dengan satah unjuran. Titik a ialah unjuran segi empat tepat bagi titik A ke atas satah H dan dipanggil unjuran mendatar bagi titik A (Rajah 4.12, a).

Untuk mendapatkan imej titik A pada satah V (Rajah 4.12,b), rasuk unjuran dilalui melalui titik A berserenjang dengan satah hadapan unjuran V. Dalam rajah, serenjang dengan satah V adalah selari dengan paksi Oy . Pada satah H, jarak dari titik A ke satah V akan diwakili oleh segmen aa x, selari dengan paksi Oy dan berserenjang dengan paksi Ox. Jika kita bayangkan bahawa sinar unjuran dan imejnya dijalankan serentak ke arah satah V, maka apabila imej sinar itu bersilang dengan paksi Ox pada titik a x, sinar itu akan memotong satah V pada titik a." dari titik a x dalam satah V a berserenjang dengan paksi Ox , iaitu imej sinar unjuran Aa pada satah V, di persimpangan dengan sinar unjuran, titik a diperolehi." Titik a" ialah unjuran hadapan titik A, iaitu imejnya pada satah V.

Imej titik A pada satah unjuran profil (Rajah 4.12, c) dibina menggunakan rasuk unjuran yang berserenjang dengan satah W Dalam rajah, satah berserenjang dengan paksi Ox. Sinar unjuran dari titik A ke satah W pada satah H akan diwakili oleh segmen aa y, selari dengan paksi Ox dan berserenjang dengan paksi Oy. Dari titik Oy, selari dengan paksi Oz dan berserenjang dengan paksi Oy, imej sinar unjuran aA dibina dan pada persilangan dengan sinar unjuran, titik a diperoleh." Titik a" ialah unjuran profil titik A , iaitu imej titik A pada satah W.

Titik a" boleh dibina dengan melukis segmen a"a z dari titik a" (imej sinar unjuran Aa" pada satah V) selari dengan paksi Ox, dan dari titik a z - segmen a"a z selari dengan Oy paksi sehingga ia bersilang dengan sinar unjuran.

Setelah menerima tiga unjuran titik A pada satah unjuran, sudut koordinat dikembangkan menjadi satu satah, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah. 4.11,b, bersama-sama dengan unjuran titik A dan sinar unjuran, dan titik A dan sinar unjuran Aa, Aa" dan Aa" dikeluarkan. Tepi satah unjuran gabungan tidak dilukis, tetapi hanya paksi unjuran Oz, Oy dan Ox, Oy 1 dilukis (Rajah 4.13).

Analisis lukisan ortogon titik menunjukkan bahawa tiga jarak - Aa", Aa dan Aa" (Rajah 4.12, c), mencirikan kedudukan titik A dalam ruang, boleh ditentukan dengan membuang objek unjuran itu sendiri - titik A, pada sudut koordinat bertukar menjadi satu satah (Rajah 4.13). Segmen a"a z, aa y dan Oa x adalah sama dengan Aa" sebagai sisi bertentangan bagi segi empat tepat yang sepadan (Rajah 4.12c dan 4.13). Mereka menentukan jarak di mana titik A terletak dari satah unjuran profil. Segmen a"a x, a"a y1 dan Oa y adalah sama dengan segmen Aa, mentakrifkan jarak dari titik A ke satah unjuran mengufuk, segmen aa x, a"a z dan Oa y 1 adalah sama dengan segmen Aa ", mentakrifkan jarak dari titik A ke satah hadapan unjuran.

Segmen Oa x, Oa y dan Oa z, yang terletak pada paksi unjuran, ialah ungkapan grafik bagi dimensi koordinat X, Y dan Z bagi titik A. Koordinat titik ditunjukkan dengan indeks huruf yang sepadan. . Dengan mengukur saiz segmen ini, anda boleh menentukan kedudukan titik dalam ruang, iaitu, menetapkan koordinat titik.

Pada gambar rajah, segmen a"a x dan aa x terletak sebagai satu garis berserenjang dengan paksi Ox, dan segmen a"a z dan a"a z - ke paksi Oz. Garisan ini dipanggil garis sambungan unjuran. Ia bersilang dengan paksi unjuran pada titik kapak dan z, masing-masing Garis sambungan unjuran yang menghubungkan unjuran mendatar titik A dengan profil satu ternyata "dipotong" pada titik a y.

Dua unjuran titik yang sama sentiasa terletak pada garis sambungan unjuran yang sama, berserenjang dengan paksi unjuran.

Untuk mewakili kedudukan titik dalam ruang, dua unjuran dan asalan tertentu (titik O) adalah mencukupi. 4.14, b dua unjuran titik menentukan sepenuhnya kedudukannya dalam ruang Menggunakan dua unjuran ini, adalah mungkin untuk membina unjuran profil titik A. Oleh itu, pada masa hadapan, jika tidak ada keperluan untuk unjuran profil, rajah akan. dibina pada dua satah unjuran: V dan H.

nasi. 4.14. nasi. 4.15.

Mari kita lihat beberapa contoh membina dan membaca lukisan titik.

Contoh 1. Penentuan koordinat titik J yang dinyatakan pada rajah dalam dua unjuran (Rajah 4.14). Tiga segmen diukur: segmen OB X (koordinat X), segmen b X b (koordinat Y) dan segmen b X b" (koordinat Z). Koordinat ditulis dalam susunan berikut: X, Y dan Z, selepas huruf penetapan titik, sebagai contoh, B20;

Contoh 2. Membina titik pada koordinat yang diberikan. Titik C diberikan oleh koordinat C30; 10; 40. Pada paksi Ox (Rajah 4.15) cari titik c x di mana garis sambungan unjuran bersilang dengan paksi unjuran. Untuk melakukan ini, koordinat X (saiz 30) diplot sepanjang paksi Ox dari asal (titik O) dan satu titik dengan x diperolehi. Garis sambungan unjuran dilukis melalui titik ini berserenjang dengan paksi Ox dan koordinat Y (saiz 10) diletakkan dari titik, titik c diperoleh - unjuran mendatar titik C. Koordinat Z (saiz 40) ialah diplot ke atas dari titik c x sepanjang garis sambungan unjuran (saiz 40), titik c" - unjuran hadapan titik C.

Contoh 3. Pembinaan unjuran profil titik menggunakan unjuran yang diberikan. Unjuran titik D diberi - d dan d". Melalui titik O, paksi unjuran Oz, Oy dan Оу 1 dilukis (Rajah 4.16, a). Untuk membina unjuran profil titik D titik d", unjuran garis sambungan dilukis berserenjang dengan paksi Oz dan meneruskannya ke kanan di belakang paksi Oz. Unjuran profil titik D akan terletak pada garisan ini Ia akan terletak pada jarak yang sama dari paksi Oz dengan unjuran mendatar titik d terletak: dari paksi Ox, iaitu pada jarak dd x. Segmen d z d" dan dd x adalah sama, kerana ia mentakrifkan jarak yang sama - jarak dari titik D ke satah hadapan unjuran. Jarak ini ialah koordinat Y bagi titik D.

Secara grafik, segmen d z d" dibina dengan memindahkan segmen dd x dari satah mendatar unjuran ke profil satu. Untuk melakukan ini, lukis garis sambungan unjuran selari dengan paksi Ox, dapatkan titik d y pada paksi Oy ( Rajah 4.16, b. Kemudian pindahkan saiz segmen Od y ke paksi Oy 1, dengan melukis lengkok dari titik O dengan jejari sama dengan segmen Od y ke persilangan dengan paksi Oy 1 (Rajah 4.16). , b), kita memperoleh titik dy 1. Titik ini juga boleh dibina, seperti yang ditunjukkan dalam Rajah 4.16, c, dengan melukis garis lurus pada sudut 45° ke paksi Oy dari titik d y y1, garis sambungan unjuran dilukis selari dengan paksi Oz dan segmen yang sama dengan segmen d"d x diletakkan di atasnya, titik d" diperolehi.

Memindahkan nilai segmen d x d ke satah profil unjuran boleh dilakukan menggunakan garis lurus malar lukisan (Rajah 4.16, d). Dalam kes ini, garis sambungan unjuran dd y dilukis melalui unjuran mendatar titik selari dengan paksi Oy 1 sehingga ia bersilang dengan garis lurus malar, dan kemudian selari dengan paksi Oy sehingga ia bersilang dengan kesinambungan unjuran. talian sambungan d"d z.

Kes-kes khas lokasi titik berbanding satah unjuran

Kedudukan titik relatif kepada satah unjuran ditentukan oleh koordinat yang sepadan, iaitu, saiz segmen garis sambungan unjuran dari paksi Lembu kepada unjuran yang sepadan. Dalam Rajah. 4.17 koordinat Y bagi titik A ditentukan oleh segmen aa x - jarak dari titik A ke satah V. Koordinat Z bagi titik A ditentukan oleh segmen a "a x - jarak dari titik A ke satah H. Jika satu daripada koordinat adalah sifar, maka titik tersebut terletak pada satah unjuran Rajah 4.17 menunjukkan contoh lokasi titik yang berbeza berbanding satah unjuran Koordinat Z bagi titik B adalah sama dengan sifar, titik terletak dalam satah H. Unjuran hadapannya adalah pada paksi Ox dan bertepatan dengan titik b x Koordinat Y bagi titik C adalah sama dengan sifar, titik terletak pada satah V, unjuran mendatar c berada pada paksi Ox dan bertepatan dengan titik c x.

Oleh itu, jika satu titik berada pada satah unjuran, maka salah satu unjuran titik ini terletak pada paksi unjuran.

Dalam Rajah. 4.17, koordinat Z dan Y bagi titik D adalah sama dengan sifar, oleh itu, titik D berada pada paksi unjuran Ox dan dua unjurannya bertepatan.

Titik dalam ruang ditakrifkan oleh mana-mana dua unjurannya. Jika perlu untuk membina unjuran ketiga berdasarkan dua yang diberikan, adalah perlu untuk menggunakan korespondensi segmen talian komunikasi unjuran yang diperoleh apabila menentukan jarak dari satu titik ke satah unjuran (lihat Rajah 2.27 dan Rajah 2.28) .

Contoh penyelesaian masalah dalam oktan pertama

Diberi A 1; A 2	Bina A 3
Diberi A 2; A 3	Bina A 1
Diberi A 1; A 3	Bina A 2

Mari kita pertimbangkan algoritma untuk membina titik A (Jadual 2.5)

Jadual 2.5

Algoritma untuk membina titik A
pada koordinat A yang diberikan ( x = 5, y = 20, z = -9)

Dalam bab berikut kita akan mempertimbangkan imej: garis lurus dan satah hanya pada suku pertama. Walaupun semua kaedah yang dipertimbangkan boleh digunakan dalam mana-mana suku tahun.

Kesimpulan

Oleh itu, berdasarkan teori G. Monge, adalah mungkin untuk mengubah imej spatial imej (titik) kepada satu satah.

Teori ini berdasarkan peruntukan berikut:

1. Keseluruhan ruang dibahagikan kepada 4 suku menggunakan dua satah saling berserenjang p 1 dan p 2, atau kepada 8 oktant dengan menambah satu satah saling berserenjang ketiga p 3.

2. Imej imej spatial pada satah ini diperoleh menggunakan unjuran segi empat tepat (ortogon).

3. Untuk menukar imej spatial kepada satah, diandaikan bahawa satah p 2 adalah pegun, dan satah p 1 berputar mengelilingi paksi. x supaya separuh satah positif p 1 digabungkan dengan separuh satah negatif p 2, bahagian negatif p 1 - dengan bahagian positif p 2.

4. Satah p 3 berputar mengelilingi paksi z(garisan persilangan satah) sehingga sejajar dengan satah p 2 (lihat Rajah 2.31).

Imej yang diperoleh pada satah p 1, p 2 dan p 3 dengan unjuran imej segi empat tepat dipanggil unjuran.

Satah p 1, p 2 dan p 3, bersama-sama dengan unjuran yang digambarkan pada mereka, membentuk lukisan atau rajah kompleks planar.

Garisan yang menghubungkan unjuran imej ke paksi x, y, z, dipanggil talian komunikasi unjuran.

Untuk menentukan imej dalam angkasa dengan lebih tepat, sistem tiga satah berserenjang p 1, p 2, p 3 boleh digunakan.

Bergantung pada keadaan masalah, anda boleh memilih sama ada sistem p 1, p 2 atau p 1, p 2, p 3 untuk imej.

Sistem satah p 1, p 2, p 3 boleh disambungkan ke sistem koordinat Cartesian, yang memungkinkan untuk menentukan objek bukan sahaja secara grafik atau (secara lisan), tetapi juga secara analitikal (menggunakan nombor).

Kaedah menggambarkan imej ini, khususnya titik, memungkinkan untuk menyelesaikan masalah kedudukan seperti:

• lokasi titik relatif kepada satah unjuran (kedudukan umum, kepunyaan satah, paksi);
• kedudukan titik dalam suku (di suku mana titik itu terletak);
• kedudukan mata relatif kepada satu sama lain (lebih tinggi, lebih rendah, lebih dekat, lebih jauh berbanding satah unjuran dan penonton);
• kedudukan unjuran titik berbanding satah unjuran (jarak sama, lebih dekat, lebih jauh).

Tugas metrik:

• sama jarak unjuran dari satah unjuran;
• nisbah jarak unjuran dari satah unjuran (2–3 kali, lebih, kurang);
• menentukan jarak titik dari satah unjuran (apabila memperkenalkan sistem koordinat).

Soalan Muhasabah Diri

1. Garis persilangan yang satahnya ialah paksi z?

2. Garis persilangan yang satahnya ialah paksi y?

3. Bagaimanakah garisan sambungan unjuran antara unjuran hadapan dan profil sesuatu titik terletak? Tunjukkan saya.

4. Apakah koordinat yang menentukan kedudukan unjuran sesuatu titik: mendatar, hadapan, profil?

5. Di suku manakah titik F (10; –40; –20) terletak? Dari satah unjuran yang manakah titik F paling jauh?

6. Jarak dari unjuran ke paksi manakah menentukan jarak titik dari satah p 1? Apakah koordinat titik jarak ini?

Mari kita pertimbangkan unjuran titik ke dua satah, yang mana kita mengambil dua satah berserenjang (Rajah 4), yang akan kita panggil hadapan mendatar dan satah. Garis persilangan satah ini dipanggil paksi unjuran. Kami mengunjurkan satu titik A ke atas satah yang dipertimbangkan menggunakan unjuran satah. Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menurunkan serenjang Aa dan A dari titik tertentu ke satah yang dipertimbangkan.

Unjuran ke satah mengufuk dipanggil unjuran mendatar mata A, dan unjuran A? pada satah hadapan dipanggil unjuran hadapan.

Titik yang akan diunjurkan biasanya dilambangkan dalam geometri deskriptif menggunakan huruf besar A, B, C. Huruf kecil digunakan untuk menunjukkan unjuran titik mendatar a, b, c... Unjuran hadapan ditunjukkan dalam huruf kecil dengan lejang di bahagian atas a?, b?, c?…

Mata juga ditetapkan dengan angka Rom I, II,... dan untuk unjurannya - dengan angka Arab 1, 2... dan 1?, 2?...

Dengan memutarkan satah mengufuk sebanyak 90°, anda boleh mendapatkan lukisan di mana kedua-dua satah berada dalam satah yang sama (Rajah 5). Gambar ini dipanggil rajah satu titik.

Melalui garis serenjang Ahh Dan Hah? Mari kita lukis satah (Gamb. 4). Satah yang terhasil adalah berserenjang dengan satah hadapan dan mendatar kerana ia mengandungi serenjang dengan satah ini. Oleh itu, satah ini berserenjang dengan garis persilangan satah. Garis lurus yang terhasil memotong satah mengufuk dalam garis lurus ahh x, dan satah hadapan – dalam garis lurus a?a X. Lurus aahs dan a?a x berserenjang dengan paksi persilangan satah. iaitu Aahaha? ialah segi empat tepat.

Apabila menggabungkan satah unjuran mendatar dan hadapan A Dan A? akan terletak pada serenjang yang sama dengan paksi persilangan satah, kerana apabila satah mengufuk berputar, keserenjangan segmen ahh x dan a?a x akan rosak.

Kami mendapatnya pada rajah unjuran A Dan A? beberapa titik A sentiasa terletak pada serenjang yang sama dengan paksi persilangan satah.

Dua unjuran a dan A? titik A tertentu boleh menentukan dengan jelas kedudukannya dalam ruang (Rajah 4). Ini disahkan oleh fakta bahawa apabila membina serenjang dari unjuran a ke satah mendatar, ia akan melalui titik A. Dengan cara yang sama, serenjang dari unjuran A? ke satah hadapan akan melalui titik A, iaitu titik A adalah serentak pada dua garis lurus tertentu. Titik A ialah titik persilangan mereka, iaitu, ia pasti.

Pertimbangkan segi empat tepat Aaa X A?(Gamb. 5), yang mana pernyataan berikut adalah benar:

1) Jarak titik A dari satah hadapan adalah sama dengan jarak unjuran mengufuk a dari paksi persilangan satah, i.e.

Hah? = ahh X;

2) jarak mata A dari satah unjuran mendatar adalah sama dengan jarak unjuran hadapannya A? dari paksi persilangan pesawat, i.e.

Ahh = a?a X.

Dalam erti kata lain, walaupun tanpa titik itu sendiri pada rajah, dengan hanya menggunakan dua unjurannya, anda boleh mengetahui pada jarak berapa titik tertentu terletak dari setiap satah unjuran.

Persilangan dua satah unjuran membahagikan ruang kepada empat bahagian, yang dipanggil dalam kuarters(Gamb. 6).

Paksi persilangan pesawat membahagikan satah mendatar kepada dua suku - bahagian hadapan dan belakang, dan satah hadapan - ke suku atas dan bawah. Bahagian atas satah hadapan dan bahagian hadapan satah mengufuk dianggap sebagai sempadan suku pertama.

Apabila menerima rajah, satah mengufuk berputar dan diselaraskan dengan satah hadapan (Rajah 7). Dalam kes ini, bahagian hadapan satah mendatar akan bertepatan dengan bahagian bawah satah hadapan, dan bahagian belakang satah mendatar akan bertepatan dengan bahagian atas satah hadapan.

Rajah 8-11 menunjukkan titik A, B, C, D, terletak di bahagian ruang yang berbeza. Titik A terletak pada suku pertama, titik B pada suku kedua, titik C pada suku ketiga dan titik D pada suku keempat.

Apabila mata terletak pada suku pertama atau keempat daripadanya unjuran mendatar berada di bahagian hadapan satah mengufuk, dan pada rajah ia akan terletak di bawah paksi persilangan satah. Apabila titik terletak pada suku kedua atau ketiga, unjuran mendatarnya akan terletak di belakang satah mengufuk, dan pada rajah ia akan berada di atas paksi persilangan satah.

Unjuran hadapan titik yang terletak pada suku pertama atau kedua akan terletak di bahagian atas satah hadapan, dan pada rajah ia akan terletak di atas paksi persilangan satah. Apabila titik terletak pada suku ketiga atau keempat, unjuran hadapannya berada di bawah paksi persilangan satah.

Selalunya, dalam pembinaan sebenar, angka itu diletakkan pada suku pertama ruang.

Dalam beberapa kes khas, titik ( E) boleh terletak pada satah mendatar (Rajah 12). Dalam kes ini, unjuran mendatar e dan titik itu sendiri akan bertepatan. Unjuran hadapan titik sedemikian akan berada pada paksi persilangan pesawat.

Dalam kes apabila titik KEPADA terletak pada satah hadapan (Rajah 13), unjuran mendatarnya k terletak pada paksi persilangan pesawat, dan bahagian hadapan k? menunjukkan lokasi sebenar titik ini.

Untuk titik sedemikian, tanda bahawa ia terletak pada salah satu satah unjuran ialah salah satu unjurannya berada pada paksi persilangan satah.

Jika satu titik terletak pada paksi persilangan satah unjuran, ia dan kedua-dua unjurannya bertepatan.

Apabila titik tidak terletak pada satah unjuran, ia dipanggil titik kedudukan umum. Dalam perkara berikut, jika tiada markah khas, perkara yang dimaksudkan ialah titik dalam kedudukan umum.

2. Kekurangan paksi unjuran

Untuk menerangkan cara mendapatkan unjuran titik pada model yang berserenjang dengan satah unjuran (Rajah 4), adalah perlu untuk mengambil sekeping kertas tebal dalam bentuk segi empat tepat memanjang. Ia perlu dibengkokkan antara unjuran. Garis lipatan akan mewakili paksi persilangan satah. Jika selepas ini sekeping kertas yang bengkok itu diluruskan semula, kita akan mendapat gambar rajah yang serupa dengan yang ditunjukkan dalam rajah.

Dengan menggabungkan dua satah unjuran dengan satah lukisan, adalah mungkin untuk tidak menunjukkan garis lipatan, iaitu, untuk tidak melukis paksi persilangan satah pada rajah.

Apabila memplot pada rajah, anda hendaklah sentiasa meletakkan unjuran A Dan A? titik A pada satu garis menegak (Rajah 14), yang berserenjang dengan paksi persilangan satah. Oleh itu, walaupun kedudukan paksi persilangan satah-satah itu kekal tidak menentu, tetapi arahnya ditentukan, paksi persilangan satah-satah itu hanya boleh terletak pada rajah yang berserenjang dengan garis lurus. huh?.

Jika tiada paksi unjuran pada rajah titik, seperti dalam Rajah 14 a yang pertama, anda boleh bayangkan kedudukan titik ini dalam ruang. Untuk melakukan ini, lukis di mana-mana berserenjang dengan garis lurus huh? paksi unjuran, seperti dalam rajah kedua (Rajah 14) dan bengkokkan lukisan di sepanjang paksi ini. Jika kita memulihkan serenjang pada titik A Dan A? sebelum mereka bersilang, anda boleh mendapat mata A. Apabila menukar kedudukan paksi unjuran, kedudukan titik yang berbeza berbanding satah unjuran diperoleh, tetapi ketidakpastian kedudukan paksi unjuran tidak menjejaskan kedudukan relatif beberapa titik atau angka di angkasa.

3. Unjuran satu titik pada tiga satah unjuran

Mari kita pertimbangkan satah profil unjuran. Unjuran pada dua satah berserenjang biasanya menentukan kedudukan rajah dan membolehkan untuk mengetahui saiz dan bentuk sebenar. Tetapi ada kalanya dua unjuran tidak mencukupi. Kemudian pembinaan unjuran ketiga digunakan.

Satah unjuran ketiga dilukis supaya ia berserenjang dengan kedua-dua satah unjuran secara serentak (Rajah 15). Pesawat ketiga biasanya dipanggil profil.

Dalam pembinaan sedemikian, garis lurus biasa bagi satah mendatar dan hadapan dipanggil paksi X , garis lurus biasa bagi satah mengufuk dan profil – paksi di , dan garis lurus biasa bagi satah hadapan dan profil ialah paksi z . titik TENTANG, yang dimiliki oleh ketiga-tiga satah, dipanggil titik asal.

Rajah 15a menunjukkan titik A dan tiga unjurannya. Unjuran pada satah profil ( A??) dipanggil unjuran profil dan menandakan A??.

Untuk mendapatkan gambar rajah titik A, yang terdiri daripada tiga unjuran a, a, a, adalah perlu untuk memotong trihedron yang dibentuk oleh semua satah sepanjang paksi-y (Rajah 15b) dan menggabungkan semua satah ini dengan satah unjuran hadapan. Satah mendatar mesti diputarkan mengenai paksi X, dan satah profil adalah mengenai paksi z mengikut arah yang ditunjukkan oleh anak panah dalam Rajah 15.

Rajah 16 menunjukkan kedudukan unjuran huh, huh? Dan A?? mata A, diperoleh dengan menggabungkan ketiga-tiga satah dengan satah lukisan.

Hasil daripada pemotongan, paksi-y muncul di dua tempat yang berbeza pada rajah. Pada satah mendatar (Rajah 16) ia mengambil kedudukan menegak (berserenjang dengan paksi X), dan pada satah profil – mendatar (berserenjang dengan paksi z).

Terdapat tiga unjuran dalam Rajah 16 huh, huh? Dan A?? titik A mempunyai kedudukan yang jelas pada rajah dan tertakluk kepada syarat yang tidak jelas:

A Dan A? hendaklah sentiasa terletak pada garis menegak yang sama, berserenjang dengan paksi X;

A? Dan A?? hendaklah sentiasa terletak pada garis lurus mendatar yang sama, berserenjang dengan paksi z;

3) apabila dijalankan melalui unjuran mendatar dan garis lurus mendatar, dan melalui unjuran profil A??– garis lurus menegak, garis lurus yang dibina semestinya akan bersilang pada pembahagi dua sudut antara paksi unjuran, kerana rajah Oa di A 0 A n – segi empat sama.

Apabila membina tiga unjuran titik, anda perlu menyemak sama ada ketiga-tiga syarat dipenuhi untuk setiap titik.

4. Koordinat titik

Kedudukan titik dalam ruang boleh ditentukan menggunakan tiga nombor yang dipanggilnya koordinat. Setiap koordinat sepadan dengan jarak titik dari beberapa satah unjuran.

Jarak titik yang ditentukan A kepada satah profil ialah koordinat X, manakala X = huh?Hah(Rajah 15), jarak ke satah hadapan ialah koordinat y, dan y = huh?Hah, dan jarak ke satah mengufuk ialah koordinat z, manakala z = aA.

Dalam Rajah 15, titik A menduduki lebar parallelepiped segi empat tepat, dan ukuran parallelepiped ini sepadan dengan koordinat titik ini, iaitu, setiap koordinat diwakili dalam Rajah 15 empat kali, iaitu:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a?.

Dalam rajah (Rajah 16), koordinat x dan z muncul tiga kali:

x = a z a?= Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a?.

Semua segmen yang sepadan dengan koordinat X(atau z), adalah selari antara satu sama lain. koordinat di diwakili dua kali oleh paksi yang terletak secara menegak:

y = Oa y = a x a

dan dua kali - terletak secara mendatar:

y = Oa y = a z a?.

Perbezaan ini muncul disebabkan oleh fakta bahawa paksi-y hadir pada rajah dalam dua kedudukan berbeza.

Perlu diambil kira bahawa kedudukan setiap unjuran ditentukan pada rajah hanya dengan dua koordinat, iaitu:

1) mendatar – koordinat X Dan di,

2) hadapan – koordinat x Dan z,

3) profil – koordinat di Dan z.

Menggunakan koordinat x, y Dan z, anda boleh membina unjuran titik pada rajah.

Jika titik A diberikan oleh koordinat, rakamannya ditakrifkan seperti berikut: A ( X; y; z).

Semasa membina unjuran titik A syarat-syarat berikut mesti diperiksa:

1) unjuran mendatar dan hadapan A Dan A? X X;

2) unjuran hadapan dan profil A? Dan A? mesti terletak pada serenjang yang sama dengan paksi z, kerana mereka mempunyai koordinat yang sama z;

3) unjuran mendatar dan juga dikeluarkan dari paksi X, seperti unjuran profil A jauh dari paksi z, sejak unjuran ah? dan eh? mempunyai koordinat yang sama di.

Jika satu titik terletak pada mana-mana satah unjuran, maka salah satu koordinatnya adalah sama dengan sifar.

Apabila titik terletak pada paksi unjuran, dua koordinatnya adalah sama dengan sifar.

Jika satu titik terletak pada asalan, ketiga-tiga koordinatnya adalah sifar.

Permukaan polyhedra, seperti yang diketahui, dihadkan oleh angka satah. Akibatnya, titik yang ditakrifkan pada permukaan polihedron dengan sekurang-kurangnya satu unjuran adalah, dalam kes umum, titik yang ditakrifkan. Perkara yang sama berlaku untuk permukaan badan geometri lain: silinder, kon, bola dan torus, dibatasi oleh permukaan melengkung.

Marilah kita bersetuju untuk menggambarkan titik yang kelihatan terletak di permukaan badan sebagai bulatan, titik yang tidak kelihatan sebagai bulatan hitam (titik); Garisan yang boleh dilihat akan digambarkan sebagai garisan pepejal dan garisan yang tidak kelihatan sebagai garis putus-putus.

Biarkan unjuran mengufuk A 1 titik A terletak pada permukaan prisma segi tiga tegak diberi (Rajah 162, a).

TBegin-->TEnd-->

Seperti yang dapat dilihat daripada lukisan, tapak hadapan dan belakang prisma adalah selari dengan satah hadapan unjuran P 2 dan diunjurkan ke atasnya tanpa herotan, muka sisi bawah prisma adalah selari dengan satah mengufuk unjuran P 1 dan juga diunjurkan tanpa herotan. Tepi sisi prisma secara hadapan mengunjurkan garis lurus, oleh itu ia diunjurkan dalam bentuk titik pada satah hadapan unjuran P 2.

Sejak unjuran A 1. digambarkan oleh bulatan cahaya, maka titik A kelihatan dan, oleh itu, terletak pada muka sebelah kanan prisma itu. Muka ini ialah satah unjuran hadapan, dan unjuran hadapan titik A2 mesti bertepatan dengan unjuran hadapan satah, yang diwakili oleh garis lurus.

Melukis garis lurus malar k 123, kita dapati unjuran ketiga A 3 titik A. Apabila diunjurkan pada satah profil unjuran, titik A akan tidak kelihatan, oleh itu titik A 3 digambarkan sebagai bulatan hitam. Menentukan titik dengan unjuran hadapan B 2 adalah tidak pasti, kerana ia tidak menentukan jarak titik B dari tapak hadapan prisma.

Mari kita bina satu unjuran isometrik bagi prisma dan titik A (Rajah 162, b). Ia adalah mudah untuk memulakan pembinaan dari dasar depan prisma. Kami membina segi tiga asas mengikut dimensi yang diambil dari lukisan kompleks; sepanjang paksi y" kita plot saiz tepi prisma. Kami membina imej aksonometrik A" titik A menggunakan garis putus koordinat, yang digariskan dalam kedua-dua lukisan dengan garis nipis berganda.

Biarkan unjuran hadapan C 2 titik C terletak pada permukaan piramid segi empat sekata yang ditakrifkan oleh dua unjuran utama diberikan (Rajah 163, a). Ia diperlukan untuk membina tiga unjuran titik C.

Dari unjuran hadapan dapat dilihat bahagian atas piramid adalah lebih tinggi daripada tapak segi empat sama piramid. Di bawah keadaan ini, keempat-empat muka sisi akan kelihatan apabila diunjurkan pada satah mendatar unjuran P 1. Apabila mengunjurkan unjuran P2 ke satah hadapan, hanya muka hadapan piramid akan kelihatan. Oleh kerana unjuran C 2 ditunjukkan dalam lukisan sebagai bulatan cahaya, titik C boleh dilihat dan tergolong dalam muka hadapan piramid. Untuk membina unjuran mendatar C 1, kita lukis melalui titik C 2 garis lurus tambahan D 2 E 2, selari dengan garis asas piramid. Kami mendapati unjuran mendatarnya D 1 E 1 dan titik C 1 di atasnya Jika terdapat unjuran ketiga piramid, kita dapati unjuran mendatar titik C 1 dengan lebih mudah: setelah menemui unjuran profil C 3, menggunakan dua unjuran kita. bina satu pertiga menggunakan talian komunikasi mendatar dan mendatar-menegak. Kemajuan pembinaan ditunjukkan dalam lukisan dengan anak panah.

TMulai-->
TEnd-->

Mari kita bina satu unjuran dimetrik piramid dan titik C (Rajah 163, b). Kami membina asas piramid; untuk melakukan ini, melalui titik O" yang diambil pada paksi r", kita lukis paksi x" dan y"; Di sepanjang paksi-x kita plot dimensi sebenar tapak, dan di sepanjang paksi-y kita plot dimensi separuh. Melalui titik yang diperoleh kita melukis garis lurus selari dengan paksi x" dan y". Di sepanjang paksi z" kami melukis ketinggian piramid; kami menyambungkan titik yang terhasil dengan titik pangkalan, dengan mengambil kira keterlihatan tepi. Untuk membina titik C, kami menggunakan garis putus koordinat, yang digariskan dalam lukisan dengan garis nipis berganda Untuk memeriksa ketepatan penyelesaian, kita lukis melalui titik C yang dijumpai garis lurus D "E", selari paksi-x. Panjangnya mestilah sama dengan panjang garis lurus D 2 E 2 (atau D 1 E 1).

Kedudukan titik dalam ruang boleh ditentukan oleh dua unjuran ortogonnya, contohnya, mendatar dan hadapan, hadapan dan profil. Gabungan mana-mana dua unjuran ortogon membolehkan anda mengetahui nilai semua koordinat titik, membina unjuran ketiga, dan menentukan oktan di mana ia terletak. Mari kita lihat beberapa masalah biasa dari kursus geometri deskriptif.

Untuk lukisan kompleks titik A dan B tertentu, adalah perlu:

Mari kita tentukan dahulu koordinat titik A, yang boleh ditulis dalam bentuk A (x, y, z). Unjuran mendatar bagi titik A - titik A", mempunyai koordinat x, y. Mari kita lukis serenjang dari titik A" ke paksi x, y dan cari A x, A y, masing-masing. Koordinat x untuk titik A adalah sama dengan panjang segmen A x O dengan tanda tambah, kerana A x terletak dalam kawasan nilai positif paksi x. Dengan mengambil kira skala lukisan, kita dapati x = 10. Koordinat y adalah sama dengan panjang segmen A y O dengan tanda tolak, kerana t A y terletak di kawasan nilai negatif paksi y. Dengan mengambil kira skala lukisan, y = –30. Unjuran hadapan titik A - titik A"" mempunyai koordinat x dan z. Mari kita lepaskan serenjang dari A"" ke paksi z dan cari A z. Koordinat z bagi titik A adalah sama dengan panjang segmen A z O dengan tanda tolak, kerana A z terletak di kawasan nilai negatif paksi z. Mengambil kira skala lukisan z = –10. Oleh itu, koordinat titik A ialah (10, –30, –10).

Koordinat titik B boleh ditulis sebagai B (x, y, z). Pertimbangkan unjuran mendatar bagi titik B - titik B". Oleh kerana ia terletak pada paksi x, maka B x = B" dan koordinat B y = 0. Absis x titik B adalah sama dengan panjang segmen B x O dengan tanda tambah. Mengambil kira skala lukisan x = 30. Unjuran hadapan titik B ialah t B˝ mempunyai koordinat x, z. Mari kita lukis satu serenjang dari B"" ke paksi z, dengan itu mencari B z. Penggunaan z titik B adalah sama dengan panjang segmen B z O dengan tanda tolak, kerana B z terletak di kawasan nilai negatif paksi z. Dengan mengambil kira skala lukisan, kami menentukan nilai z = –20. Jadi koordinat B ialah (30, 0, -20). Semua pembinaan yang diperlukan dibentangkan dalam rajah di bawah.

Pembinaan unjuran mata

Titik A dan B dalam satah P 3 mempunyai koordinat berikut: A""" (y, z); B""" (y, z). Dalam kes ini, A"" dan A""" terletak pada serenjang yang sama dengan paksi z, kerana mereka mempunyai koordinat z yang sama. Begitu juga, B"" dan B""" terletak pada serenjang sepunya dengan paksi z. Untuk mencari unjuran profil titik A, kita plot sepanjang paksi-y nilai koordinat sepadan yang ditemui sebelum ini. Dalam rajah, ini dilakukan dengan menggunakan lengkok bulat jejari A y O. Selepas ini, lukiskan serenjang dari A y sehingga ia bersilang dengan serenjang yang dipulihkan dari titik A"" ke paksi z. Titik persilangan kedua-dua serenjang ini menentukan kedudukan A""".

Titik B""" terletak pada paksi z, kerana koordinat y bagi titik ini ialah sifar. Untuk mencari unjuran profil titik B dalam masalah ini, anda hanya perlu melukis serenjang dari B"" ke paksi z. titik persilangan serenjang ini dengan paksi z ialah B """.

Menentukan kedudukan titik dalam ruang

Membayangkan secara visual susun atur spatial, terdiri daripada satah unjuran P 1, P 2 dan P 3, lokasi oktan, serta susunan mengubah susun atur menjadi gambar rajah, anda boleh secara langsung menentukan bahawa titik A terletak dalam oktan III , dan titik B terletak pada satah P 2.

Pilihan lain untuk menyelesaikan masalah ini ialah kaedah pengecualian. Sebagai contoh, koordinat titik A ialah (10, -30, -10). Abscissa positif x membolehkan kita menilai bahawa titik itu terletak di empat oktan pertama. Y-ordinat negatif menunjukkan bahawa titik berada dalam oktan kedua atau ketiga. Akhirnya, aplikasi negatif z menunjukkan bahawa titik A terletak dalam oktan ketiga. Jadual berikut dengan jelas menggambarkan alasan di atas.

oktan	Tanda-tanda koordinat
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Koordinat titik B (30, 0, -20). Oleh kerana ordinat bagi titik B ialah sifar, titik ini terletak dalam satah unjuran P 2. Absis positif dan aplikasi negatif t B menunjukkan bahawa ia terletak di sempadan oktan ketiga dan keempat.

Pembinaan imej visual titik dalam sistem satah P 1, P 2, P 3

Menggunakan unjuran isometrik hadapan, kami membina susun atur spatial bagi oktan III. Ia ialah trihedron segi empat tepat yang mukanya ialah satah P 1, P 2, P 3, dan sudut (-y0x) ialah 45 º. Dalam sistem ini, segmen di sepanjang paksi x, y, z akan diplot dalam saiz semula jadi tanpa herotan.

Mari kita mulakan membina imej visual titik A (10, -30, -10) dengan unjuran mendatarnya A. Setelah memplot koordinat yang sepadan di sepanjang paksi absis dan ordinat, kita dapati titik A x dan A y dibina semula daripada A x dan A y masing-masing kepada paksi x dan y menentukan kedudukan titik A". Berhenti dari A" selari dengan paksi z ke arah nilai negatifnya segmen AA", yang panjangnya ialah 10, kita dapati kedudukan titik A.

Imej visual titik B (30, 0, -20) dibina dengan cara yang sama - dalam satah P2 di sepanjang paksi x dan z, anda perlu merancang koordinat yang sepadan. Persilangan serenjang yang dibina semula daripada B x dan B z akan menentukan kedudukan titik B.