Apakah daya yang bertindak pada bandul. Bandul matematik: tempoh, pecutan dan formula

Bandul matematik.

Bandul matematik ialah titik bahan yang digantung pada benang tidak berberat yang tidak dapat dipanjangkan, berayun dalam satu satah menegak di bawah tindakan graviti.

Bandul sedemikian boleh dianggap sebagai bola berat berjisim m, digantung pada benang nipis, panjang l yang jauh lebih besar daripada saiz bola. Jika ia dipesongkan oleh sudut α (Rajah 7.3.) dari garis menegak, maka di bawah pengaruh daya F - salah satu komponen berat P, ia akan berayun. Komponen lain , diarahkan sepanjang benang, tidak diambil kira, kerana diseimbangkan oleh ketegangan dalam tali. Pada sudut anjakan kecil dan, maka koordinat-x boleh dikira dalam arah mendatar. Daripada Rajah 7.3 dapat dilihat bahawa komponen berat yang berserenjang dengan benang adalah sama dengan

Momen daya relatif kepada titik O: , dan momen inersia:
M=FL .
Momen inersia J dalam kes ini
Pecutan sudut:

Dengan mengambil kira nilai-nilai ini, kami mempunyai:

(7.8)

keputusan dia
,

Seperti yang anda lihat, tempoh ayunan bandul matematik bergantung pada panjangnya dan pecutan graviti dan tidak bergantung pada amplitud ayunan.

bandul fizikal.

Bandul fizikal ialah jasad tegar yang dipasang pada paksi mendatar tetap (paksi penggantungan) yang tidak melalui pusat graviti dan berayun mengenai paksi ini di bawah tindakan graviti. Tidak seperti bandul matematik, jisim badan sedemikian tidak boleh dianggap sebagai jisim titik.

Pada sudut pesongan kecil α (Rajah 7.4), bandul fizikal juga melakukan ayunan harmonik. Kami akan menganggap bahawa berat bandul fizik digunakan pada pusat gravitinya di titik C. Daya yang mengembalikan bandul ke kedudukan keseimbangan, dalam kes ini, akan menjadi komponen graviti - daya F.

Tanda tolak di sebelah kanan bermakna daya F diarahkan ke arah mengurangkan sudut α. Mengambil kira kekecilan sudut α

Untuk mendapatkan hukum gerakan bandul matematik dan fizik, kita menggunakan persamaan asas untuk dinamik gerakan putaran

Momen kekerasan: tidak dapat ditentukan secara eksplisit. Dengan mengambil kira semua kuantiti yang termasuk dalam persamaan pembezaan asal ayunan bandul fizik, ia mempunyai bentuk

Bandul matematik ialah model bandul biasa. Bandul matematik ialah titik material yang digantung pada benang panjang tanpa berat dan tidak boleh dipanjangkan.

Keluarkan bola daripada keseimbangan dan lepaskannya. Terdapat dua daya yang bertindak pada bola: graviti dan ketegangan dalam tali. Apabila bandul bergerak, daya geseran udara masih akan bertindak ke atasnya. Tetapi kami akan menganggapnya sangat kecil.

Marilah kita menguraikan daya graviti kepada dua komponen: daya yang diarahkan sepanjang benang, dan daya yang diarahkan berserenjang dengan tangen ke trajektori bola.

Kedua-dua daya ini menambah graviti. Daya kenyal benang dan komponen graviti Fn memberikan pecutan sentripetal kepada bola. Kerja daya ini akan sama dengan sifar, dan oleh itu mereka hanya akan mengubah arah vektor halaju. Pada bila-bila masa, ia akan bertangen dengan lengkok bulatan.

Di bawah tindakan komponen graviti Fτ, bola akan bergerak di sepanjang lengkok bulatan dengan kelajuan meningkat dalam nilai mutlak. Nilai daya ini sentiasa berubah dalam nilai mutlak; apabila melalui kedudukan keseimbangan, ia sama dengan sifar.

Dinamik gerakan berayun

Persamaan pergerakan jasad yang berayun di bawah tindakan daya kenyal.

Persamaan umum gerakan:

Ayunan dalam sistem berlaku di bawah tindakan daya kenyal, yang, menurut hukum Hooke, adalah berkadar terus dengan anjakan beban.

Kemudian persamaan pergerakan bola akan mengambil bentuk berikut:

Bahagikan persamaan ini dengan m, kita mendapat formula berikut:

Dan kerana jisim dan pekali keanjalan adalah nilai malar, maka nisbah (-k / m) juga akan tetap. Kami telah memperoleh persamaan yang menerangkan getaran jasad di bawah tindakan daya kenyal.

Unjuran pecutan badan akan berkadar terus dengan koordinatnya, diambil dengan tanda yang bertentangan.

Persamaan gerakan bandul matematik

Persamaan gerakan bandul matematik diterangkan dengan formula berikut:

Persamaan ini mempunyai bentuk yang sama dengan persamaan untuk pergerakan beban pada spring. Akibatnya, ayunan bandul dan pergerakan bola pada spring berlaku dengan cara yang sama.

Anjakan bola pada spring dan anjakan jasad bandul dari kedudukan keseimbangan berubah mengikut masa mengikut undang-undang yang sama.

Bandul Foucault- bandul, yang digunakan untuk menunjukkan secara eksperimen putaran harian Bumi.

Bandul Foucault ialah berat besar yang digantung pada wayar atau benang, hujung atasnya diperkukuh (contohnya, dengan sambungan kardan) supaya ia membolehkan bandul berayun dalam mana-mana satah menegak. Jika bandul Foucault terpesong dari menegak dan dilepaskan tanpa halaju awal, maka daya graviti dan tegangan benang yang bertindak ke atas berat bandul akan terletak sepanjang masa dalam satah ayunan bandul dan tidak akan dapat menyebabkannya. putaran berkenaan dengan bintang (kepada kerangka rujukan inersia yang berkaitan dengan bintang) . Pemerhati yang berada di Bumi dan berputar dengannya (iaitu, terletak dalam kerangka rujukan bukan inersia) akan melihat bahawa satah ayunan bandul Foucault berputar secara perlahan berbanding permukaan bumi dalam arah yang bertentangan dengan arah Putaran bumi. Ini mengesahkan fakta putaran harian Bumi.

Di Kutub Utara atau Selatan, satah ayunan bandul Foucault akan berputar 360° setiap hari sidereal (15 o setiap jam sidereal). Pada satu titik di permukaan bumi, latitud geografinya sama dengan φ, satah ufuk berputar mengelilingi menegak dengan halaju sudut ω 1 = ω sinφ (ω ialah modul halaju sudut Bumi) dan satah ayunan bagi bandul berputar dengan halaju sudut yang sama. Oleh itu, halaju sudut jelas putaran satah ayunan bandul Foucault pada latitud φ, dinyatakan dalam darjah setiap jam sidereal, mempunyai nilai berputar). Di Hemisfera Selatan, putaran satah goyang akan diperhatikan dalam arah yang bertentangan dengan yang diperhatikan di Hemisfera Utara. Pengiraan yang diperhalusi memberikan nilai

ω m = 15 o sinφ

di mana A- amplitud ayunan berat bandul, l- panjang benang. Istilah tambahan, yang mengurangkan halaju sudut, semakin kurang, semakin banyak l. Oleh itu, untuk menunjukkan pengalaman, adalah dinasihatkan untuk menggunakan pendulum Foucault dengan panjang benang yang paling besar (beberapa puluh meter).

cerita

Buat pertama kali peranti ini direka oleh saintis Perancis Jean Bernard Leon Foucault.

Peranti ini ialah bola loyang seberat lima kilogram yang digantung dari siling pada dawai keluli dua meter.

Pengalaman pertama Foucault adalah di ruang bawah tanah rumahnya sendiri. 8 Januari 1851. Ini telah direkodkan dalam diari saintifik saintis.

3 Februari 1851 Jean Foucault menunjukkan pendulumnya di Balai Cerap Paris kepada ahli akademik yang menerima surat seperti ini: "Saya menjemput anda untuk mengikuti putaran Bumi."

Demonstrasi awam pertama pengalaman itu berlaku atas inisiatif Louis Bonaparte di Paris Panthéon pada bulan April tahun itu. Sebiji bola logam digantung di bawah kubah Pantheon. seberat 28 kg dengan titik terpasang padanya pada dawai keluli 1.4 mm diameter dan 67 m panjang. bandul membenarkan dia berayun bebas dalam semua arah. Di bawah titik lampiran dibuat pagar bulat dengan diameter 6 meter, di sepanjang tepi pagar laluan berpasir dituangkan sedemikian rupa sehingga bandul dalam pergerakannya boleh melukis tanda pada pasir apabila melintasinya. Untuk mengelakkan tolakan sisi semasa memulakan pendulum, dia dibawa ke tepi dan diikat dengan tali, selepas itu tali itu terbakar habis. Tempoh ayunan ialah 16 saat.

Percubaan ini adalah satu kejayaan besar dan menyebabkan sambutan yang meluas dalam kalangan saintifik dan awam Perancis dan negara lain di dunia. Hanya pada tahun 1851 bandul lain dicipta pada model yang pertama, dan eksperimen Foucault telah dijalankan di Balai Cerap Paris, di Katedral Reims, di gereja St. Ignatius di Rom, di Liverpool, di Oxford, Dublin, di Rio de Janeiro, di bandar Colombo di Ceylon, New York.

Dalam semua eksperimen ini, dimensi bola dan panjang bandul adalah berbeza, tetapi semuanya mengesahkan kesimpulanJean Bernard Leon Foucault.

Unsur-unsur bandul, yang ditunjukkan di Pantheon, kini disimpan di Muzium Seni dan Kraf Paris. Dan bandul Foucault kini berada di banyak bahagian dunia: di politeknik dan muzium sejarah semula jadi, balai cerap saintifik, planetarium, makmal universiti dan perpustakaan.

Terdapat tiga pendulum Foucault di Ukraine. Satu disimpan di Universiti Teknikal Kebangsaan Ukraine "KPI dinamakan sempena I. Igor Sikorsky", yang kedua - di Universiti Kebangsaan Kharkiv. V.N. Karazin, yang ketiga - di Planetarium Kharkiv.

Bandul yang ditunjukkan dalam rajah. 2, ialah badan lanjutan pelbagai bentuk dan saiz, berayun di sekeliling titik penggantungan atau sokongan. Sistem sedemikian dipanggil bandul fizikal. Dalam keadaan keseimbangan, apabila pusat graviti berada pada menegak di bawah titik ampaian (atau sokongan), daya graviti diseimbangkan (melalui daya keanjalan bandul yang cacat) oleh tindak balas sokongan. Apabila menyimpang dari kedudukan keseimbangan, graviti dan daya kenyal menentukan pada setiap saat masa pecutan sudut bandul, iaitu, menentukan sifat pergerakannya (ayunan). Kami kini akan mempertimbangkan dinamik ayunan dengan lebih terperinci menggunakan contoh paling mudah yang dipanggil bandul matematik, iaitu berat kecil yang digantung pada benang nipis yang panjang.

Dalam bandul matematik, kita boleh mengabaikan jisim benang dan ubah bentuk berat, iaitu, kita boleh mengandaikan bahawa jisim bandul tertumpu pada berat, dan daya elastik tertumpu pada benang, yang dianggap tidak boleh dipanjangkan. Sekarang mari kita lihat di bawah pengaruh apa yang memaksa bandul kita berayun selepas ia dibawa keluar dari keseimbangan dalam beberapa cara (dengan menolak, pesongan).

Apabila bandul berada dalam kedudukan keseimbangan, daya graviti yang bertindak ke atas beratnya dan diarahkan menegak ke bawah diimbangi oleh ketegangan dalam benang. Dalam kedudukan terpesong (Rajah 15), graviti bertindak pada sudut kepada daya tegangan yang diarahkan sepanjang benang. Kami menguraikan daya graviti kepada dua komponen: ke arah benang () dan berserenjang dengannya (). Apabila bandul berayun, daya tegangan benang sedikit melebihi komponen - dengan nilai daya sentripetal, yang menyebabkan beban bergerak dalam lengkok. Komponen sentiasa diarahkan ke arah kedudukan keseimbangan; dia nampaknya sedang berusaha untuk memulihkan kedudukan ini. Oleh itu, ia sering dipanggil daya pemulihan. Modulus lebih besar, lebih banyak pendulum terpesong.

nasi. 15. Daya pemulih apabila bandul menyimpang daripada kedudukan keseimbangan

Jadi, sebaik sahaja bandul, semasa ayunannya, mula menyimpang dari kedudukan keseimbangan, katakan, ke kanan, daya muncul yang semakin memperlahankan pergerakannya, semakin jauh ia terpesong. Akhirnya, daya ini akan menghalangnya dan menyeretnya kembali ke kedudukan keseimbangan. Walau bagaimanapun, apabila kita menghampiri kedudukan ini, daya akan menjadi semakin kurang dan dalam kedudukan keseimbangan itu sendiri akan bertukar kepada sifar. Oleh itu, bandul melepasi kedudukan keseimbangan dengan inersia. Sebaik sahaja ia mula menyimpang ke kiri, daya akan muncul semula, berkembang dengan peningkatan sisihan, tetapi kini diarahkan ke kanan. Pergerakan ke kiri akan kembali perlahan, kemudian bandul akan berhenti seketika, selepas itu pergerakan yang dipercepatkan ke kanan akan bermula, dsb.

Apakah yang berlaku kepada tenaga bandul semasa ia berayun?

Dua kali dalam tempoh - pada sisihan terbesar ke kiri dan ke kanan - bandul berhenti, iaitu, pada saat-saat ini kelajuan adalah sifar, yang bermaksud tenaga kinetik juga sifar. Tetapi tepat pada saat-saat inilah pusat graviti bandul dinaikkan ke ketinggian yang paling tinggi dan, akibatnya, tenaga potensi adalah paling besar. Sebaliknya, pada saat-saat laluan melalui kedudukan keseimbangan, tenaga potensi adalah yang terkecil, dan kelajuan dan tenaga kinetik mencapai nilai maksimum.

Kami menganggap bahawa daya geseran bandul pada udara dan geseran pada titik ampaian boleh diabaikan. Kemudian, mengikut undang-undang pemuliharaan tenaga, tenaga kinetik maksimum ini betul-betul sama dengan lebihan tenaga keupayaan dalam kedudukan sisihan terbesar ke atas tenaga keupayaan dalam kedudukan keseimbangan.

Jadi, apabila bandul berayun, peralihan berkala tenaga kinetik kepada tenaga potensi dan sebaliknya berlaku, dan tempoh proses ini adalah separuh daripada tempoh ayunan bandul itu sendiri. Walau bagaimanapun, jumlah tenaga bandul (jumlah tenaga keupayaan dan kinetik) adalah malar sepanjang masa. Ia sama dengan tenaga yang diberikan kepada bandul pada permulaan, tidak kira sama ada ia dalam bentuk tenaga keupayaan (pesongan awal) atau dalam bentuk tenaga kinetik (tolak awal).

Ini adalah kes untuk semua getaran jika tiada geseran atau sebarang proses lain yang mengambil tenaga daripada sistem berayun atau memberikan tenaga kepadanya. Itulah sebabnya amplitud kekal tidak berubah dan ditentukan oleh sisihan awal atau daya tolakan.

Kami mendapat perubahan yang sama dalam daya pemulihan dan peralihan tenaga yang sama jika, bukannya menggantung bola pada benang, kami membuatnya bergolek dalam satah menegak dalam cawan sfera atau dalam palung melengkung di sekeliling lilitan. Dalam kes ini, peranan ketegangan benang akan diandaikan oleh tekanan dinding cawan atau palung (sekali lagi, kita mengabaikan geseran bola terhadap dinding dan udara).