Antara ungkapan yang ditunjukkan yang manakah sama dengan ungkapan tersebut. Transformasi ekspresi yang sama, jenisnya
Setelah mendapat idea tentang identiti, adalah logik untuk beralih kepada berkenalan. Dalam artikel ini, kami akan menjawab soalan tentang ungkapan yang sama, dan juga menggunakan contoh untuk memahami ungkapan yang sama dan yang tidak.
Navigasi halaman.
Apakah ungkapan yang sama?
Takrif ungkapan yang sama sama diberikan selari dengan takrif identiti. Ini berlaku dalam kelas algebra gred 7. Dalam buku teks algebra untuk gred ke-7 oleh pengarang Yu N. Makarychev, rumusan berikut diberikan:
Definisi.
– ini adalah ungkapan yang nilainya sama untuk sebarang nilai pembolehubah yang disertakan di dalamnya. Ungkapan berangka yang mempunyai nilai yang sama juga dipanggil identik sama.
Takrif ini digunakan sehingga gred 8; ia sah untuk ungkapan integer, kerana ia masuk akal untuk sebarang nilai pembolehubah yang disertakan di dalamnya. Dan dalam gred 8, takrifan ungkapan yang sama diperjelaskan. Mari kita terangkan apa kaitannya.
Dalam gred ke-8, kajian tentang jenis ungkapan lain bermula, yang, tidak seperti ungkapan keseluruhan, mungkin tidak masuk akal untuk beberapa nilai pembolehubah. Ini memaksa kami untuk memperkenalkan definisi nilai pembolehubah yang dibenarkan dan tidak boleh diterima, serta julat nilai yang dibenarkan bagi nilai pembolehubah pembolehubah, dan, sebagai akibatnya, untuk menjelaskan definisi ungkapan yang sama.
Definisi.
Dua ungkapan yang nilainya sama untuk semua nilai yang boleh diterima pembolehubah yang termasuk di dalamnya dipanggil secara identik dalam istilah yang sama . Dua ungkapan berangka yang mempunyai nilai yang sama juga dipanggil secara identik sama.
DALAM takrifan ini ungkapan yang sama, adalah bernilai menjelaskan maksud frasa "untuk semua nilai pembolehubah yang dibenarkan yang termasuk di dalamnya." Ia membayangkan semua nilai pembolehubah yang mana kedua-dua ungkapan yang sama sama masuk akal pada masa yang sama. Kami akan menerangkan idea ini dalam perenggan seterusnya dengan melihat contoh.
Takrif ungkapan yang sama dalam buku teks A. G. Mordkovich diberikan sedikit berbeza:
Definisi.
Ungkapan yang sama- ini adalah ungkapan di sebelah kiri dan bahagian yang betul identiti.
Maksud ini dan definisi sebelumnya bertepatan.
Contoh ungkapan yang sama
Takrifan yang diperkenalkan dalam perenggan sebelumnya membolehkan kita memberi contoh ungkapan yang sama.
Mari kita mulakan dengan ungkapan berangka yang sama. Ungkapan berangka 1+2 dan 2+1 adalah sama, kerana ia sepadan nilai yang sama 3 dan 3. Ungkapan 5 dan 30:6 juga secara identik sama, begitu juga dengan ungkapan (2 2) 3 dan 2 6 (nilai ungkapan yang terakhir adalah sama berdasarkan ). Tetapi ungkapan angka 3+2 dan 3−2 tidak sama, kerana nilai yang sepadan adalah 5 dan 1, masing-masing, dan mereka tidak sama.
Sekarang mari kita berikan contoh ungkapan yang sama dengan pembolehubah. Ini adalah ungkapan a+b dan b+a. Sesungguhnya, untuk sebarang nilai pembolehubah a dan b, ungkapan bertulis mengambil nilai yang sama (seperti berikut dari nombor). Sebagai contoh, dengan a=1 dan b=2 kita mempunyai a+b=1+2=3 dan b+a=2+1=3 . Untuk sebarang nilai lain pembolehubah a dan b, kami juga akan memperoleh nilai yang sama bagi ungkapan ini. Ungkapan 0·x·y·z dan 0 juga adalah sama untuk sebarang nilai pembolehubah x, y dan z. Tetapi ungkapan 2 x dan 3 x tidak sama, kerana, sebagai contoh, apabila x=1 nilainya tidak sama. Sesungguhnya, untuk x=1 ungkapan 2·x bersamaan dengan 2·1=2, dan ungkapan 3·x bersamaan dengan 3·1=3.
Apabila julat nilai pembolehubah yang dibenarkan dalam ungkapan bertepatan, sebagai contoh, dalam ungkapan a+1 dan 1+a, atau a·b·0 dan 0, atau dan, dan nilai ungkapan ini adalah sama untuk semua nilai pembolehubah dari kawasan ini, maka di sini semuanya jelas - ungkapan ini adalah sama untuk semua nilai pembolehubah yang dibenarkan termasuk di dalamnya. Jadi a+1≡1+a untuk mana-mana a, ungkapan a·b·0 dan 0 adalah sama untuk sebarang nilai pembolehubah a dan b, dan ungkapan dan adalah sama sama untuk semua x daripada ; disunting oleh S. A. Telyakovsky. - ed ke-17. - M.: Pendidikan, 2008. - 240 p. : sakit. - ISBN 978-5-09-019315-3.
Mari kita pertimbangkan dua persamaan:
1. a 12 *a 3 = a 7 *a 8
Kesamaan ini akan berlaku untuk sebarang nilai pembolehubah a. Julat nilai yang boleh diterima untuk kesaksamaan itu ialah keseluruhan set nombor nyata.
2. a 12: a 3 = a 2 *a 7 .
Ketaksamaan ini adalah benar untuk semua nilai pembolehubah a, kecuali yang sama dengan sifar. Julat nilai yang boleh diterima untuk ketaksamaan ini ialah keseluruhan set nombor nyata kecuali sifar.
Bagi setiap kesamaan ini boleh dikatakan bahawa ia adalah benar untuk sebarang nilai pembolehubah yang boleh diterima a. Persamaan sedemikian dalam matematik dipanggil identiti.
Konsep identiti
Identiti ialah kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah yang boleh diterima. Jika anda menggantikan mana-mana nilai yang sah ke dalam kesamaan ini dan bukannya pembolehubah, anda harus mendapatkan kesamaan berangka yang betul.
Perlu diingat bahawa kesamaan berangka sebenar juga merupakan identiti. Identiti, sebagai contoh, akan menjadi sifat tindakan pada nombor.
3. a + b = b + a;
4. a + (b + c) = (a + b) + c;
6. a*(b*c) = (a*b)*c;
7. a*(b + c) = a*b + a*c;
11. a*(-1) = -a.
Jika dua ungkapan untuk sebarang pembolehubah yang boleh diterima adalah sama, maka ungkapan tersebut dipanggil sama sama. Di bawah ialah beberapa contoh ungkapan yang sama:
1. (a 2) 4 dan a 8 ;
2. a*b*(-a^2*b) dan -a 3 *b 2 ;
3. ((x 3 *x 8)/x) dan x 10.
Kita sentiasa boleh menggantikan satu ungkapan dengan mana-mana ungkapan lain yang sama dengan yang pertama. Penggantian sedemikian akan menjadi transformasi identiti.
Contoh identiti
Contoh 1: adakah persamaan berikut adalah sama:
1. a + 5 = 5 + a;
2. a*(-b) = -a*b;
3. 3*a*3*b = 9*a*b;
Tidak semua ungkapan yang dibentangkan di atas akan menjadi identiti. Daripada kesamaan ini, hanya 1, 2 dan 3 kesamaan adalah identiti. Tidak kira apa nombor yang kita gantikan di dalamnya, bukannya pembolehubah a dan b kita masih akan mendapat kesamaan berangka yang betul.
Tetapi 4 kesamaan bukan lagi identiti. Kerana kesaksamaan ini tidak akan berlaku untuk semua nilai yang sah. Sebagai contoh, dengan nilai a = 5 dan b = 2, hasil berikut akan diperoleh:
Persamaan ini tidak benar, kerana nombor 3 tidak sama dengan nombor -3.
Artikel ini memberikan titik permulaan idea tentang identiti. Di sini kita akan menentukan identiti, memperkenalkan notasi yang digunakan, dan, sudah tentu, memberi pelbagai contoh identiti
Navigasi halaman.
Apakah identiti?
Adalah logik untuk mula membentangkan bahan dengan definisi identiti. Dalam buku teks Makarychev Yu., algebra untuk gred 7, definisi identiti diberikan seperti berikut:
Definisi.
identiti– ini adalah kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah; sebarang kesamaan berangka yang benar juga merupakan identiti.
Pada masa yang sama, penulis segera menetapkan bahawa definisi ini akan diperjelaskan pada masa akan datang. Penjelasan ini berlaku dalam gred ke-8, selepas menjadi biasa dengan takrifan nilai pembolehubah dan DL yang dibenarkan. Definisi menjadi:
Definisi.
Identiti- ini adalah kesamaan berangka yang benar, serta kesamaan yang benar untuk semua nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah yang disertakan di dalamnya.
Jadi mengapa, apabila menentukan identiti, di gred ke-7 kita bercakap tentang sebarang nilai pembolehubah, dan di gred ke-8 kita mula bercakap tentang nilai pembolehubah dari DL mereka? Sehingga gred 8, kerja dijalankan secara eksklusif dengan seluruh ungkapan (khususnya, dengan monomial dan polinomial), dan mereka masuk akal untuk sebarang nilai pembolehubah yang termasuk di dalamnya. Itulah sebabnya dalam gred 7 kita mengatakan bahawa identiti ialah kesamaan yang benar untuk mana-mana nilai pembolehubah. Dan dalam gred ke-8, ungkapan kelihatan tidak lagi masuk akal bukan untuk semua nilai pembolehubah, tetapi hanya untuk nilai dari ODZ mereka. Oleh itu, kita mula memanggil kesamaan yang benar untuk semua nilai pembolehubah yang boleh diterima.
Jadi identiti adalah kes khas kesamarataan. Maksudnya, apa-apa identiti adalah kesaksamaan. Tetapi bukan setiap kesamaan adalah identiti, tetapi hanya kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah dari julat nilai yang dibenarkan.
Tanda identiti
Adalah diketahui bahawa dalam menulis kesamaan tanda sama dengan bentuk "=" digunakan, di kiri dan kanannya terdapat beberapa nombor atau ungkapan. Jika kita menambah satu lagi garis mendatar pada tanda ini, kita dapat tanda identiti“≡”, atau ia juga dipanggil tanda sama.
Tanda identiti biasanya digunakan hanya apabila perlu terutamanya untuk menekankan bahawa kita berhadapan dengan bukan sahaja kesamaan, tetapi identiti. Dalam kes lain, tatatanda identiti tidak berbeza dalam rupa daripada kesamaan.
Contoh identiti
Sudah tiba masanya untuk membawa contoh identiti. Takrif identiti yang diberikan dalam perenggan pertama akan membantu kita dengan ini.
Kesamaan berangka 2=2 ialah contoh identiti, kerana kesamaan ini adalah benar, dan sebarang kesamaan berangka yang benar mengikut takrifan identiti. Mereka boleh ditulis sebagai 2≡2 dan .
Kesamaan berangka dalam bentuk 2+3=5 dan 7−1=2 3 juga merupakan identiti, kerana kesamaan ini adalah benar. Iaitu, 2+3≡5 dan 7−1≡2·3.
Mari kita beralih kepada contoh identiti yang mengandungi bukan sahaja nombor, tetapi juga pembolehubah.
Pertimbangkan kesamaan 3·(x+1)=3·x+3. Untuk mana-mana nilai pembolehubah x, kesamaan bertulis adalah benar disebabkan oleh sifat taburan pendaraban berbanding penambahan, oleh itu, kesamaan asal ialah contoh identiti. Berikut ialah satu lagi contoh identiti: y·(x−1)≡(x−1)·x:x·y 2:y, di sini julat nilai yang dibenarkan bagi pembolehubah x dan y terdiri daripada semua pasangan (x, y), di mana x dan y ialah sebarang nombor kecuali sifar.
Tetapi kesamaan x+1=x−1 dan a+2·b=b+2·a bukanlah identiti, kerana terdapat nilai pembolehubah yang mana kesamaan ini tidak akan benar. Contohnya, apabila x=2, kesamaan x+1=x−1 bertukar menjadi kesamaan yang salah 2+1=2−1. Selain itu, kesamaan x+1=x−1 tidak dicapai sama sekali untuk sebarang nilai pembolehubah x. Dan kesamaan a+2·b=b+2·a akan bertukar menjadi kesamaan yang salah jika kita mengambil sebarang makna yang berbeza pembolehubah a dan b. Contohnya, dengan a=0 dan b=1 kita akan sampai pada kesamaan yang salah 0+2·1=1+2·0. Kesamaan |x|=x, di mana |x| - pembolehubah x juga bukan identiti, kerana ia tidak benar untuk nilai negatif
x.
Contoh identiti yang paling terkenal ialah dalam bentuk sin 2 α+cos 2 α=1 dan log a b =b.
Sebagai kesimpulan artikel ini, saya ingin ambil perhatian bahawa apabila belajar matematik kita sentiasa menghadapi identiti. Rekod sifat tindakan dengan nombor ialah identiti, contohnya, a+b=b+a, 1·a=a, 0·a=0 dan a+(−a)=0. Juga identiti adalahTopik "Bukti identiti
» darjah 7 (KRO)
Buku Teks Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G.
Objektif Pelajaran
Pendidikan:
memperkenalkan dan pada mulanya menyatukan konsep "ungkapan yang sama sama", "identiti", "transformasi yang serupa";
mempertimbangkan cara untuk membuktikan identiti, menggalakkan pembangunan kemahiran untuk membuktikan identiti;
untuk menyemak asimilasi pelajar terhadap bahan yang diliputi, untuk membangunkan keupayaan untuk menggunakan apa yang telah mereka pelajari untuk melihat perkara baru.
Perkembangan: Membangunkan celik huruf ucapan matematik pelajar (memperkaya dan merumitkan kosa kata
apabila menggunakan istilah matematik khas),
mengembangkan pemikiran,
Pendidikan: untuk memupuk kerja keras, ketepatan, dan rakaman penyelesaian senaman yang betul.
Jenis pelajaran: mempelajari bahan baharu
1 . Kemajuan pelajaran.
Detik organisasi
Menyemak kerja rumah.
Soalan kerja rumah.
Analisis penyelesaian di papan.
Matematik diperlukan
Tak mungkin tanpa dia
Kami mengajar, kami mengajar, kawan,
2 Apa yang kita ingat pada waktu pagi?
. Jom buat pemanasan badan.
Hasil penambahan. (Jumlah)
Berapa nombor yang anda tahu? (Sepuluh)
Seratus daripada nombor. (Peratus)
Hasil perpecahan? (Swasta)
Adakah mungkin apabila membahagikan nombor asli mendapat sifar? (Tidak)
Namakan integer terbesar nombor negatif. (-1)
Apakah nombor yang tidak boleh dibahagikan dengan? (0)
Hasil pendaraban? (Kerja)
Hasil penolakan. (Perbezaan)
Sifat komutatif penambahan. (Jumlah tidak berubah dengan menyusun semula tempat syarat)
Sifat komutatif bagi pendaraban. (Produk tidak berubah daripada menyusun semula tempat faktor)
belajar topik baru(definisi dengan catatan buku nota)
Mari cari nilai ungkapan untuk x=5 dan y=4
3(x+y)=3(5+4)=3*9=27
3х+3у=3*5+3*4=27
Kami mendapat keputusan yang sama. Daripada sifat pengedaran, ia mengikut bahawa, secara umum, untuk sebarang nilai nilai pembolehubah ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama.
Sekarang mari kita pertimbangkan ungkapan 2x+y dan 2xy. Apabila x=1 dan y=2 mereka mengambil nilai yang sama:
Walau bagaimanapun, anda boleh menentukan nilai x dan y supaya nilai ungkapan ini tidak sama. Contohnya, jika x=3, y=4, maka
Definisi: Dua ungkapan yang nilainya sama untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil sama sama.
Ungkapan 3(x+y) dan 3x+3y adalah sama, tetapi ungkapan 2x+y dan 2xy tidak sama.
Kesamaan 3(x+y) dan 3x+3y adalah benar untuk sebarang nilai x dan y. Persamaan sedemikian dipanggil identiti.
Definisi: Kesamaan yang benar untuk sebarang nilai pembolehubah dipanggil identiti.
Persamaan berangka sebenar juga dianggap sebagai identiti. Kami telah pun menemui identiti. Identiti adalah persamaan yang dinyatakan sifat asas tindakan pada nombor (Pelajar mengulas setiap harta, menyebutnya).
a + b = b + a
ab = ba
(a + b) + c = a + (b + c)
(ab)c = a(bc)
a(b + c) = ab + ac
Berikan contoh identiti yang lain
Definisi: Menggantikan satu ungkapan dengan ungkapan lain yang seiras dipanggil penjelmaan yang serupa atau sekadar penjelmaan bagi ungkapan.
Transformasi identiti ungkapan dengan pembolehubah dilakukan berdasarkan sifat operasi pada nombor.
Transformasi ungkapan yang sama digunakan secara meluas dalam mengira nilai ungkapan dan menyelesaikan masalah lain. Anda sudah terpaksa melakukan beberapa transformasi yang sama, contohnya, pemutus istilah yang serupa, membuka kurungan.
5 . No. 691, No. 692 (dengan sebutan peraturan untuk membuka kurungan, mendarab negatif dan nombor positif)
Identiti untuk memilih penyelesaian rasional:(kerja depan)
6 . Merumuskan pelajaran.
Guru bertanyakan soalan, dan murid menjawabnya sesuka hati.
Dua ungkapan yang manakah dikatakan sama? Beri contoh.
Apakah jenis persamaan yang dipanggil identiti? Berikan satu contoh.
Apakah transformasi identiti yang anda tahu?
7. Kerja rumah. Ketahui definisi, Berikan contoh ungkapan yang sama (sekurang-kurangnya 5), tuliskannya dalam buku nota anda
Semasa mempelajari algebra, kami menjumpai konsep polinomial (contohnya ($y-x$,$\ 2x^2-2x$, dsb.) dan pecahan algebra (contohnya $\frac(x+5)(x)$ , $\frac(2x ^2)(2x^2-2x)$,$\ \frac(x-y)(y-x)$, dsb.) Persamaan konsep ini ialah kedua-dua pecahan polinomial dan algebra mengandungi pembolehubah dan nilai angka, dijalankan operasi aritmetik: penambahan, penolakan, pendaraban, eksponen. Perbezaan antara konsep ini ialah dalam polinomial pembahagian dengan pembolehubah tidak dilakukan, tetapi dalam pecahan algebra pembahagian dengan pembolehubah boleh dilakukan.
Kedua-dua polinomial dan pecahan algebra dipanggil ungkapan algebra rasional dalam matematik. Tetapi polinomial ialah ungkapan rasional keseluruhan, dan pecahan algebra pecahan-rasional ungkapan.
Boleh diperolehi daripada pecahan --ungkapan rasional ungkapan algebra keseluruhan menggunakan penjelmaan identiti, yang dalam dalam kes ini akan menjadi sifat utama pecahan - pengurangan pecahan. Mari kita semak ini dalam amalan:
Contoh 1
Tukarkan:$\ \frac(x^2-4x+4)(x-2)$
Penyelesaian: Tukar yang diberi persamaan rasional pecahan mungkin dengan menggunakan harta utama pecahan - singkatan, iaitu membahagikan pengangka dan penyebut dengan nombor atau ungkapan yang sama selain $0$.
Terus sahaja pecahan yang diberi Tidak mustahil untuk mengurangkan, perlu mengubah pengangka.
Mari kita ubah ungkapan dalam pengangka pecahan, untuk ini kita menggunakan formula untuk kuasa dua perbezaan: $a^2-2ab+b^2=((a-b))^2$
Pecahan itu kelihatan seperti
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kiri(x-2\kanan)(x-2))(x-2)\]
Sekarang kita melihat bahawa pengangka dan penyebut mempunyai faktor sepunya - ini adalah ungkapan $x-2$, yang mana kita akan mengurangkan pecahan
\[\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(x^2-4x+4)(x-2)=\frac(((x-2))^2)( x-2)=\frac(\kiri(x-2\kanan)(x-2))(x-2)=x-2\]
Selepas pengurangan kami mendapat yang asal ungkapan rasional pecahan$\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ menjadi polinomial $x-2$, i.e. rasional keseluruhan.
Sekarang mari kita perhatikan fakta bahawa ungkapan $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2\ $ boleh dianggap sama bukan untuk semua nilai pembolehubah, kerana Agar ungkapan rasional pecahan wujud dan dapat dikurangkan dengan polinomial $x-2$, penyebut pecahan mestilah tidak sama dengan $0$ (serta faktor yang kita kurangkan. Dalam dalam contoh ini penyebut dan pengganda adalah sama, tetapi ini tidak selalu berlaku).
Nilai pembolehubah di mana pecahan algebra akan wujud dipanggil nilai pembolehubah yang dibenarkan.
Mari kita letakkan syarat pada penyebut pecahan: $x-2≠0$, kemudian $x≠2$.
Ini bermakna ungkapan $\frac(x^2-4x+4)(x-2)$ dan $x-2$ adalah sama untuk semua nilai pembolehubah kecuali $2$.
Definisi 1
Identik sama ungkapan adalah yang sama untuk semua nilai sah pembolehubah.
Penjelmaan yang serupa ialah sebarang penggantian ungkapan asal dengan penjelmaan yang sama dengan penjelmaan tersebut termasuk melakukan tindakan: penambahan, penolakan, pendaraban, meletakkan faktor sepunya daripada kurungan, pengurangan. pecahan algebra Kepada penyebut biasa, pengurangan pecahan algebra, pengurangan sebutan serupa, dsb. Adalah perlu untuk mengambil kira bahawa beberapa transformasi, seperti pengurangan, pengurangan istilah yang serupa, boleh mengubah nilai pembolehubah yang dibenarkan.
Teknik yang digunakan untuk membuktikan identiti
Bawa bahagian kiri identiti ke kanan atau sebaliknya menggunakan transformasi identiti
Kurangkan kedua-dua belah kepada ungkapan yang sama menggunakan transformasi yang sama
Pindahkan ungkapan dalam satu bahagian ungkapan ke bahagian lain dan buktikan bahawa perbezaan yang terhasil adalah sama dengan $0$
Antara kaedah di atas yang manakah digunakan untuk membuktikan identiti yang diberikan bergantung kepada identiti asal.
Contoh 2
Buktikan identiti $((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=a^2+b^2+c^2$
Penyelesaian: Untuk membuktikan identiti ini, kita akan menggunakan kaedah pertama di atas, iaitu, kita akan mengubah bahagian kiri identiti sehingga ia sama dengan kanan.
Mari kita pertimbangkan bahagian kiri identiti: $\ ((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)$ - ia mewakili perbezaan dua polinomial. Dalam kes ini, polinomial pertama ialah kuasa dua jumlah tiga sebutan Untuk kuasa dua jumlah beberapa sebutan, kita menggunakan formula:
\[((a+b+c))^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\]
Untuk melakukan ini, kita perlu mendarabkan nombor dengan polinomial. Ingat bahawa untuk ini kita perlu mendarabkan faktor sepunya di belakang kurungan dengan setiap sebutan polinomial dalam kurungan.
$2(ab+ac+bc)=2ab+2ac+2bc$
Sekarang mari kita kembali kepada polinomial asal, ia akan mengambil bentuk:
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)$
Sila ambil perhatian bahawa sebelum kurungan terdapat tanda "-", yang bermaksud bahawa apabila kurungan dibuka, semua tanda yang ada dalam kurungan bertukar kepada sebaliknya.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc$
Marilah kita membentangkan istilah yang serupa, kemudian kita memperoleh bahawa monomial $2ab$, $2ac$,$\ 2bc$ dan $-2ab$,$-2ac$, $-2bc$ membatalkan satu sama lain, i.e. jumlah mereka ialah $0.
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-(2ab+2ac+2bc)= a ^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc-2ab-2ac-2bc=a^2+b^2+c^2$
Ini bermakna melalui transformasi yang sama yang kami dapat ungkapan yang sama di sebelah kiri identiti asal
$((a+b+c))^2- 2(ab+ac+bc)=\ a^2+b^2+c^2$
Ambil perhatian bahawa ungkapan yang terhasil menunjukkan bahawa identiti asal adalah benar.
Sila ambil perhatian bahawa dalam identiti asal semua nilai pembolehubah adalah sah, yang bermaksud kami membuktikan identiti menggunakan transformasi identiti, dan ia adalah benar untuk semua nilai pembolehubah yang sah.
Perang Revolusi Amerika, perang antara Great Britain dan Loyalists (mereka yang setia kepada kerajaan British Crown yang sah) - pembentangan
"Adalah mengejutkan jika salah seorang dari Rusia tidak mengenali Krylov"
John Milton dan puisinya "Syurga Hilang" "Syurga Didapat Semula" dan "Samson the Fighter"