Saya fikir kita harus bermula dengan sejarah alat matematik yang mulia seperti persamaan pembezaan. Seperti semua kalkulus pembezaan dan kamiran, persamaan ini dicipta oleh Newton pada akhir abad ke-17. Dia menganggap penemuannya ini sangat penting sehingga dia menyulitkan mesej itu, yang hari ini boleh diterjemahkan seperti ini: "Semua undang-undang alam diterangkan oleh persamaan pembezaan." Ini mungkin kelihatan seperti keterlaluan, tetapi ia benar. Mana-mana undang-undang fizik, kimia, biologi boleh diterangkan oleh persamaan ini.

Sumbangan besar kepada pembangunan dan penciptaan teori persamaan pembezaan telah dibuat oleh ahli matematik Euler dan Lagrange. Sudah pada abad ke-18, mereka menemui dan mengembangkan apa yang mereka pelajari sekarang dalam kursus senior universiti.

Satu pencapaian baharu dalam kajian persamaan pembezaan bermula berkat Henri Poincare. Dia yang mencipta " teori kualitatif persamaan pembezaan”, yang, dalam kombinasi dengan teori fungsi pembolehubah kompleks, memberikan sumbangan penting kepada asas topologi - sains ruang dan sifatnya.

Apakah persamaan pembezaan?

Ramai yang takut dengan satu frasa. Walau bagaimanapun, dalam artikel ini kami akan memperincikan keseluruhan intipati ini sangat berguna radas matematik, yang sebenarnya tidak begitu rumit seperti namanya. Untuk mula bercakap tentang persamaan pembezaan tertib pertama, anda harus terlebih dahulu membiasakan diri dengan konsep asas yang sememangnya berkaitan dengan definisi ini. Mari kita mulakan dengan pembezaan.

Berbeza

Ramai orang tahu konsep ini dari sekolah. Walau bagaimanapun, mari kita lihat dengan lebih dekat. Bayangkan graf bagi suatu fungsi. Kita boleh meningkatkannya sehingga satu tahap sehingga mana-mana segmennya akan berbentuk garis lurus. Di atasnya kita mengambil dua mata yang hampir tidak terhingga antara satu sama lain. Perbezaan antara koordinat mereka (x atau y) akan menjadi nilai yang sangat kecil. Ia dipanggil pembezaan dan dilambangkan dengan tanda dy (berbeza daripada y) dan dx (berbeza daripada x). Adalah sangat penting untuk memahami bahawa pembezaan bukan nilai terhingga, dan ini adalah makna dan fungsi utamanya.

Dan kini adalah perlu untuk mempertimbangkan elemen berikut, yang akan berguna kepada kita dalam menerangkan konsep persamaan pembezaan. Ini adalah derivatif.

Derivatif

Kita semua mungkin pernah mendengar konsep ini di sekolah. Derivatif dikatakan sebagai kadar pertumbuhan atau penurunan fungsi. Walau bagaimanapun, kebanyakan definisi ini menjadi tidak dapat difahami. Mari cuba terangkan terbitan dari segi pembezaan. Mari kita kembali kepada segmen tak terhingga fungsi dengan dua titik yang berada pada jarak minimum antara satu sama lain. Tetapi walaupun untuk jarak ini, fungsi berjaya berubah dengan beberapa jumlah. Dan untuk menerangkan perubahan ini, mereka menghasilkan derivatif, yang sebaliknya boleh ditulis sebagai nisbah pembezaan: f (x) "=df / dx.

Sekarang patut dipertimbangkan sifat asas terbitan. Terdapat hanya tiga daripada mereka:

1. Derivatif jumlah atau perbezaan boleh diwakili sebagai jumlah atau perbezaan derivatif: (a+b)"=a"+b" dan (a-b)"=a"-b".
2. Sifat kedua berkaitan dengan pendaraban. Terbitan hasil darab ialah hasil tambah hasil satu fungsi dan terbitan satu lagi: (a*b)"=a"*b+a*b".
3. Terbitan perbezaan boleh ditulis sebagai kesamaan berikut: (a/b)"=(a"*b-a*b")/b 2 .

Semua sifat ini akan berguna kepada kita untuk mencari penyelesaian kepada persamaan pembezaan tertib pertama.

Terdapat juga terbitan separa. Katakan kita mempunyai fungsi z yang bergantung pada pembolehubah x dan y. Untuk mengira terbitan separa bagi fungsi ini, katakan, berkenaan dengan x, kita perlu mengambil pembolehubah y sebagai pemalar dan hanya membezakan.

kamiran

Satu lagi konsep penting ialah integral. Sebenarnya, ini adalah lawan langsung dari derivatif. Terdapat beberapa jenis kamiran, tetapi untuk menyelesaikan persamaan pembezaan yang paling mudah, kita memerlukan yang paling remeh

Jadi, Katakan kita mempunyai sedikit pergantungan f pada x. Kami mengambil kamiran daripadanya dan mendapatkan fungsi F (x) (sering dipanggil antiterbitan), terbitan yang sama dengan fungsi asal. Oleh itu F(x)"=f(x). Ia juga mengikuti kamiran terbitan adalah sama dengan fungsi asal.

Apabila menyelesaikan persamaan pembezaan, adalah sangat penting untuk memahami maksud dan fungsi kamiran, kerana anda perlu mengambilnya dengan kerap untuk mencari penyelesaian.

Persamaan adalah berbeza bergantung pada sifatnya. Dalam bahagian seterusnya, kita akan mempertimbangkan jenis persamaan pembezaan tertib pertama, dan kemudian kita akan belajar cara menyelesaikannya.

Kelas persamaan pembezaan

"Diffura" dibahagikan mengikut susunan derivatif yang terlibat di dalamnya. Oleh itu, terdapat urutan pertama, kedua, ketiga dan lebih banyak lagi. Mereka juga boleh dibahagikan kepada beberapa kelas: terbitan biasa dan separa.

Dalam artikel ini, kita akan mempertimbangkan persamaan pembezaan biasa bagi urutan pertama. Kami juga akan membincangkan contoh dan cara untuk menyelesaikannya bahagian berikut. Kami akan mempertimbangkan hanya ODE, kerana ini adalah jenis persamaan yang paling biasa. Biasa dibahagikan kepada subspesies: dengan pembolehubah boleh dipisahkan, homogen dan heterogen. Seterusnya, anda akan belajar bagaimana ia berbeza antara satu sama lain, dan belajar bagaimana untuk menyelesaikannya.

Di samping itu, persamaan ini boleh digabungkan, supaya selepas kita mendapat sistem persamaan pembezaan urutan pertama. Kami juga akan mempertimbangkan sistem sedemikian dan belajar cara menyelesaikannya.

Mengapa kita hanya mempertimbangkan pesanan pertama? Kerana anda perlu bermula dengan yang mudah, dan adalah mustahil untuk menerangkan segala-galanya yang berkaitan dengan persamaan pembezaan dalam satu artikel.

Persamaan Pembolehubah Boleh Dipisahkan

Ini mungkin persamaan pembezaan urutan pertama yang paling mudah. Ini termasuk contoh yang boleh ditulis seperti ini: y "=f (x) * f (y). Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita memerlukan formula untuk mewakili terbitan sebagai nisbah pembezaan: y" = dy / dx. Menggunakannya, kita mendapat persamaan berikut: dy/dx=f(x)*f(y). Sekarang kita boleh beralih kepada kaedah penyelesaian contoh standard: kita akan membahagikan pembolehubah kepada bahagian, iaitu kita akan memindahkan segala-galanya dengan pembolehubah y ke bahagian di mana dy terletak, dan kita akan melakukan perkara yang sama dengan pembolehubah x. Kami memperoleh persamaan bentuk: dy/f(y)=f(x)dx, yang diselesaikan dengan mengambil kamiran kedua-dua bahagian. Jangan lupa tentang pemalar, yang mesti ditetapkan selepas mengambil kamiran.

Penyelesaian mana-mana "perbezaan" ialah fungsi pergantungan x pada y (dalam kes kami) atau, jika terdapat keadaan berangka, maka jawapannya adalah dalam bentuk nombor. Mari kita lihat contoh khusus keseluruhan penyelesaian:

Kami memindahkan pembolehubah dalam arah yang berbeza:

Sekarang kita ambil kamiran. Kesemuanya boleh didapati dalam jadual kamiran khas. Dan kami mendapat:

log(y) = -2*cos(x) + C

Jika perlu, kita boleh menyatakan "y" sebagai fungsi "x". Sekarang kita boleh mengatakan bahawa persamaan pembezaan kita diselesaikan jika tiada syarat diberikan. Satu syarat boleh diberikan, sebagai contoh, y(n/2)=e. Kemudian kita hanya menggantikan nilai pembolehubah ini ke dalam penyelesaian dan mencari nilai pemalar. Dalam contoh kami, ia sama dengan 1.

Persamaan pembezaan homogen tertib pertama

Sekarang mari kita beralih ke bahagian yang lebih sukar. Persamaan pembezaan homogen tertib pertama boleh ditulis dalam Pandangan umum jadi: y"=z(x,y). Perlu diingat bahawa fungsi yang betul pada dua pembolehubah adalah homogen, dan ia tidak boleh dibahagikan kepada dua kebergantungan: z pada x dan z pada y. Memeriksa sama ada persamaan itu homogen atau tidak agak mudah: kita membuat penggantian x=k*x dan y=k*y. Sekarang kita batalkan semua k. Jika semua huruf ini dikurangkan, maka persamaannya adalah homogen dan anda boleh meneruskan untuk menyelesaikannya dengan selamat. Memandang ke hadapan, katakan: prinsip menyelesaikan contoh ini juga sangat mudah.

Kita perlu membuat penggantian: y=t(x)*x, dengan t ialah beberapa fungsi yang juga bergantung kepada x. Kemudian kita boleh menyatakan terbitan: y"=t"(x)*x+t. Menggantikan semua ini ke dalam persamaan asal kami dan memudahkannya, kami mendapat contoh dengan pembolehubah boleh dipisahkan t dan x. Kami menyelesaikannya dan mendapatkan pergantungan t(x). Apabila kami mendapatnya, kami hanya menggantikan y=t(x)*x ke dalam penggantian kami yang terdahulu. Kemudian kita mendapat pergantungan y pada x.

Untuk menjadikannya lebih jelas, mari lihat contoh: x*y"=y-x*e y/x .

Apabila menyemak dengan pengganti, semuanya berkurangan. Jadi persamaan itu benar-benar homogen. Sekarang kita buat penggantian lain yang kita bincangkan: y=t(x)*x dan y"=t"(x)*x+t(x). Selepas penyederhanaan, kami mendapat persamaan berikut: t "(x) * x \u003d -e t. Kami menyelesaikan contoh yang terhasil dengan pembolehubah yang dipisahkan dan dapatkan: e -t \u003dln (C * x). Kami hanya perlu menggantikan t dengan y / x (kerana jika y \u003d t * x, maka t \u003d y / x), dan kami mendapat jawapan: e -y / x \u003d ln (x * C).

Persamaan pembezaan linear bagi urutan pertama

Sudah tiba masanya untuk mempertimbangkan satu lagi topik yang luas. Kami akan menganalisis persamaan pembezaan tak homogen bagi urutan pertama. Bagaimanakah mereka berbeza daripada dua sebelumnya? Mari kita fikirkan. Persamaan pembezaan linear tertib pertama dalam bentuk umum boleh ditulis seperti berikut: y " + g (x) * y \u003d z (x). Perlu dijelaskan bahawa z (x) dan g (x) boleh menjadi nilai malar .

Dan sekarang contoh: y" - y*x=x 2 .

Terdapat dua cara untuk menyelesaikannya, dan kami akan menganalisis kedua-duanya mengikut urutan. Yang pertama ialah kaedah variasi pemalar arbitrari.

Untuk menyelesaikan persamaan dengan cara ini, anda mesti terlebih dahulu menyamakan bahagian kanan dengan sifar dan menyelesaikan persamaan yang terhasil, yang, selepas memindahkan bahagian, akan mengambil bentuk:

ln|y|=x 2 /2 + C;

y \u003d e x2 / 2 * y C \u003d C 1 * e x2 / 2.

Sekarang kita perlu menggantikan pemalar C 1 dengan fungsi v(x), yang perlu kita cari.

Mari kita tukar derivatif:

y"=v"*e x2/2 -x*v*e x2/2 .

Mari kita gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan asal:

v"*e x2/2 - x*v*e x2/2 + x*v*e x2/2 = x 2 .

Ia boleh dilihat bahawa dua penggal dibatalkan di sebelah kiri. Jika dalam beberapa contoh ini tidak berlaku, maka anda melakukan sesuatu yang salah. Jom sambung:

v"*e x2/2 = x 2 .

Sekarang kita menyelesaikan persamaan biasa di mana kita perlu memisahkan pembolehubah:

dv/dx=x 2 /e x2/2 ;

dv = x 2 *e - x2/2 dx.

Untuk mengekstrak kamiran, kami perlu menggunakan penyepaduan mengikut bahagian di sini. Walau bagaimanapun, ini bukan topik artikel kami. Jika anda berminat, anda boleh belajar cara melakukan tindakan sedemikian sendiri. Ia tidak sukar, dan dengan kemahiran dan penjagaan yang mencukupi, ia tidak mengambil banyak masa.

Mari beralih kepada penyelesaian kedua. persamaan homogen: Kaedah Bernoulli. Pendekatan mana yang lebih cepat dan mudah terpulang kepada anda.

Jadi, apabila menyelesaikan persamaan dengan kaedah ini, kita perlu membuat penggantian: y=k*n. Di sini k dan n ialah beberapa fungsi yang bergantung kepada x. Kemudian terbitan akan kelihatan seperti ini: y"=k"*n+k*n". Kami menggantikan kedua-dua penggantian ke dalam persamaan:

k"*n+k*n"+x*k*n=x 2 .

Pengelompokan:

k"*n+k*(n"+x*n)=x 2 .

Sekarang kita perlu samakan dengan sifar apa yang ada dalam kurungan. Sekarang, jika kita menggabungkan dua persamaan yang terhasil, kita mendapat sistem persamaan pembezaan tertib pertama yang perlu diselesaikan:

Kami menyelesaikan kesamaan pertama sebagai persamaan biasa. Untuk melakukan ini, anda perlu memisahkan pembolehubah:

Kami mengambil kamiran dan mendapat: ln(n)=x 2 /2. Kemudian, jika kita menyatakan n:

Sekarang kita menggantikan kesamaan yang terhasil ke dalam persamaan kedua sistem:

k "*e x2/2 \u003d x 2.

Dan mengubah, kita mendapat kesamaan yang sama seperti dalam kaedah pertama:

dk=x 2 /e x2/2 .

Kami juga tidak akan mengupas tindakan selanjutnya. Perlu dikatakan bahawa pada mulanya penyelesaian persamaan pembezaan tertib pertama menyebabkan kesukaran yang ketara. Walau bagaimanapun, dengan pemahaman yang lebih mendalam dalam topik, ia mula menjadi lebih baik dan lebih baik.

Di manakah persamaan pembezaan digunakan?

Persamaan pembezaan sangat aktif digunakan dalam fizik, kerana hampir semua undang-undang asas ditulis bentuk pembezaan, dan formula yang kita lihat adalah penyelesaian bagi persamaan ini. Dalam kimia, mereka digunakan untuk alasan yang sama: undang-undang asas diperoleh daripada mereka. Dalam biologi, persamaan pembezaan digunakan untuk memodelkan tingkah laku sistem, seperti mangsa-pemangsa. Ia juga boleh digunakan untuk mencipta model pembiakan, katakan, koloni mikroorganisma.

Bagaimanakah persamaan pembezaan akan membantu dalam kehidupan?

Jawapan kepada soalan ini adalah mudah: tidak mungkin. Jika anda bukan seorang saintis atau jurutera, maka mereka tidak mungkin berguna kepada anda. Walau bagaimanapun, untuk perkembangan umum Tidak salah untuk mengetahui apakah persamaan pembezaan dan bagaimana ia diselesaikan. Dan kemudian soalan anak lelaki atau perempuan "apakah persamaan pembezaan?" tidak akan mengelirukan anda. Nah, jika anda seorang saintis atau seorang jurutera, maka anda sendiri memahami kepentingan topik ini dalam mana-mana sains. Tetapi perkara yang paling penting ialah sekarang soalan "bagaimana untuk menyelesaikan persamaan pembezaan tertib pertama?" anda sentiasa boleh menjawab. Setuju, ia sentiasa bagus apabila anda memahami apa yang orang takut untuk faham.

Masalah utama dalam pembelajaran

Masalah utama dalam memahami topik ini ialah kemahiran yang lemah dalam mengintegrasikan dan membezakan fungsi. Jika anda tidak pandai mengambil derivatif dan kamiran, maka ia mungkin berbaloi untuk mempelajari lebih lanjut, menguasai kaedah penyepaduan dan pembezaan yang berbeza, dan kemudian teruskan untuk mengkaji bahan yang diterangkan dalam artikel.

Sesetengah orang terkejut apabila mereka mengetahui bahawa dx boleh dipindahkan, kerana sebelum ini (di sekolah) telah dinyatakan bahawa pecahan dy / dx tidak boleh dibahagikan. Di sini anda perlu membaca literatur tentang terbitan dan memahami bahawa ia adalah nisbah kuantiti tak terhingga yang boleh dimanipulasi semasa menyelesaikan persamaan.

Ramai yang tidak segera menyedari bahawa penyelesaian persamaan pembezaan tertib pertama selalunya merupakan fungsi atau kamiran yang tidak boleh diambil, dan khayalan ini memberi mereka banyak masalah.

Apa lagi yang boleh dikaji untuk pemahaman yang lebih baik?

Adalah lebih baik untuk memulakan lebih mendalami dunia kalkulus pembezaan daripada buku teks khusus, contohnya, analisis matematik untuk pelajar pengkhususan bukan matematik. Kemudian anda boleh beralih kepada kesusasteraan yang lebih khusus.

Perlu dikatakan bahawa, sebagai tambahan kepada persamaan pembezaan, terdapat juga persamaan kamiran, jadi anda akan sentiasa mempunyai sesuatu untuk diusahakan dan sesuatu untuk dipelajari.

Kesimpulan

Kami berharap selepas membaca artikel ini anda mempunyai idea tentang persamaan pembezaan dan cara menyelesaikannya dengan betul.

Walau apa pun, matematik entah bagaimana berguna kepada kita dalam kehidupan. Ia mengembangkan logik dan perhatian, tanpanya setiap orang seperti tanpa tangan.

Pada masa ini, mengikut tahap asas belajar matematik, hanya 4 jam disediakan untuk belajar matematik di sekolah menengah (2 jam algebra, 2 jam geometri). Di sekolah kecil luar bandar, mereka cuba menambah bilangan jam dengan mengorbankan komponen sekolah. Tetapi jika kelas itu adalah kemanusiaan, maka komponen sekolah ditambah kepada kajian mata pelajaran kemanusiaan. Di sebuah kampung kecil, selalunya seorang pelajar sekolah tidak perlu memilih, dia belajar di kelas itu; apa yang terdapat di sekolah. Dia tidak akan menjadi seorang peguam, ahli sejarah atau wartawan (ada kes sedemikian), tetapi mahu menjadi seorang jurutera atau ahli ekonomi, jadi peperiksaan dalam matematik mesti lulus kepada markah yang tinggi. Dalam keadaan sedemikian, guru matematik perlu mencari jalan keluar sendiri dari situasi ini, selain itu, menurut buku teks Kolmogorov, kajian topik "persamaan homogen" tidak disediakan. Pada tahun-tahun lepas, untuk memperkenalkan topik ini dan mengukuhkannya, saya memerlukan dua pengajaran berganda. Malangnya, pemeriksaan penyeliaan pendidikan melarang pelajaran berganda di sekolah, jadi bilangan latihan terpaksa dikurangkan kepada 45 minit, dan, dengan itu, tahap kesukaran latihan diturunkan kepada sederhana. Saya membawa perhatian anda rancangan pengajaran mengenai topik ini dalam darjah 10 dengan peringkat asas belajar matematik di sekolah yang sedikit lengkap di luar bandar.

Jenis pelajaran: tradisional.

Sasaran: belajar menyelesaikan persamaan homogen tipikal.

Tugasan:

kognitif:

Pendidikan:

Pendidikan:

• Pendidikan ketekunan melalui pelaksanaan tugas pesakit, rasa setiakawan melalui kerja berpasangan dan berkumpulan.

Semasa kelas

saya. berorganisasi pentas(3 min.)

II. Menyemak pengetahuan yang diperlukan untuk mengasimilasikan bahan baharu (10 min.)

Kenal pasti kesukaran utama dengan analisis lanjut tentang tugasan yang dilakukan. Kanak-kanak mempunyai 3 pilihan untuk dipilih. Tugasan dibezakan mengikut tahap kerumitan dan tahap kesediaan kanak-kanak, diikuti dengan penerangan di papan hitam.

1 tahap. Selesaikan persamaan:

1. 3(x+4)=12,
2. 2(x-15)=2x-30
3. 5(2-x)=-3x-2(x+5)
4. x 2 -10x+21=0 Jawapan: 7;3

2 tingkat. Selesaikan yang paling mudah persamaan trigonometri dan persamaan biquadratic:

jawapan:

b) x 4 -13x 3 +36=0 Jawapan: -2; 2; -3; 3

peringkat ke-3. Menyelesaikan persamaan dengan kaedah perubahan pembolehubah:

b) x 6 -9x 3 +8=0 Jawapan:

III. Topik mesej, menetapkan matlamat dan objektif.

Subjek: Persamaan homogen

Sasaran: belajar menyelesaikan persamaan homogen tipikal

Tugasan:

kognitif:

• berkenalan dengan persamaan homogen, pelajari cara menyelesaikan jenis persamaan yang paling biasa.

Pendidikan:

• Perkembangan pemikiran analitikal.
• Pembangunan kemahiran matematik: belajar untuk menyerlahkan ciri utama yang persamaan homogen berbeza daripada persamaan lain, dapat mewujudkan persamaan persamaan homogen dalam pelbagai manifestasinya.

IV. Penyerapan pengetahuan baharu (15 min.)

1. Detik kuliah.

Definisi 1(Tulis dalam buku nota). Persamaan bentuk P(x;y)=0 dipanggil homogen jika P(x;y) ialah polinomial homogen.

Polinomial dalam dua pembolehubah x dan y dipanggil homogen jika darjah setiap sebutannya adalah sama dengan nombor k yang sama.

Definisi 2(Sekadar pengenalan). Persamaan bentuk

dipanggil persamaan homogen darjah n berkenaan dengan u(x) dan v(x). Dengan membahagikan kedua-dua belah persamaan dengan (v(x))n, kita boleh menggunakan penggantian untuk mendapatkan persamaan

Ini memudahkan persamaan asal. Kes v(x)=0 mesti dipertimbangkan secara berasingan, kerana adalah mustahil untuk dibahagi dengan 0.

2. Contoh persamaan homogen:

Terangkan mengapa ia adalah homogen, berikan contoh anda sendiri bagi persamaan tersebut.

3. Tugas untuk takrif persamaan homogen:

Antara persamaan yang diberikan tentukan persamaan homogen dan terangkan pilihan anda:

Selepas menerangkan pilihan anda pada salah satu contoh, tunjukkan cara untuk menyelesaikan persamaan homogen:

4. Tentukan sendiri:

Jawapan:

b) 2sin x - 3 cos x \u003d 0

Bahagikan kedua-dua belah persamaan dengan cos x, kita dapat 2 tg x -3=0, tg x=⅔ , x=arctg⅔ +

5. Tunjukkan Brosur Contoh Penyelesaian“P.V. Chulkov. Persamaan dan ketaksamaan dalam kursus sekolah matematik. Moscow Universiti Pedagogi"Pertama September" 2006 p.22. Sebagai salah satu yang mungkin GUNAKAN contoh tahap C.

V. Selesaikan untuk menyatukan mengikut buku teks Bashmakov

ms 183 No. 59 (1.5) atau mengikut buku teks yang disunting oleh Kolmogorov: ms 81 No. 169 (a, c)

jawapan:

VI. Menyemak, kerja bebas (7 min.)

1 pilihan	Pilihan 2
Selesaikan Persamaan:
a) sin 2 x-5sinxcosx + 6cos 2 x \u003d 0	a) 3sin 2 x+2sin x cos x-2cos 2 x=0
b) cos 2 -3sin 2 \u003d 0	b)

Jawapan kepada tugasan:

Pilihan 1 a) Jawapan: arctg2+πn,n € Z; b) Jawapan: ±π/2+ 3πn,n € Z; V)

Pilihan 2 a) Jawapan: arctg(-1±31/2)+πn,n € Z; b) Jawapan: -arctg3+πn, 0.25π+πk, ; c) (-5; -2); (5;2)

VII. Kerja rumah

No 169 mengikut Kolmogorov, No 59 mengikut Bashmakov.

Selain itu, selesaikan sistem persamaan:

Jawapan: arctg(-1±√3) +πn ,

Rujukan:

1. P.V. Chulkov. Persamaan dan ketaksamaan dalam kursus matematik sekolah. - M .: Universiti Pedagogi "Pertama September", 2006. ms 22
2. A. Merzlyak, V. Polonsky, E. Rabinovich, M. Yakir. Trigonometri. - M .: "AST-PRESS", 1998, hlm. 389
3. Algebra untuk darjah 8, disunting oleh N.Ya. Vilenkin. - M .: "Pencerahan", 1997.
4. Algebra untuk darjah 9, disunting oleh N.Ya. Vilenkin. Moscow "Pencerahan", 2001.
5. M.I. Bashmakov. Algebra dan permulaan analisis. Untuk gred 10-11 - M .: "Pencerahan" 1993
6. Kolmogorov, Abramov, Dudnitsyn. Algebra dan permulaan analisis. Untuk gred 10-11. - M .: "Pencerahan", 1990.
7. A.G. Mordkovich. Algebra dan permulaan analisis. Bahagian 1 Buku Teks 10-11 gred. - M .: "Mnemosyne", 2004.

Jawapan sedia dibuat untuk contoh untuk persamaan pembezaan homogen Ramai pelajar sedang mencari pesanan pertama (DE pesanan pertama adalah yang paling biasa dalam latihan), kemudian anda boleh menganalisisnya secara terperinci. Tetapi sebelum meneruskan pertimbangan contoh, kami mengesyorkan agar anda membaca ringkasan dengan teliti bahan teori.
Persamaan bentuk P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0, di mana fungsi P(x,y) dan Q(x,y) ialah fungsi homogen dari susunan yang sama, dipanggil persamaan pembezaan homogen(ODR).

Skema untuk menyelesaikan persamaan pembezaan homogen

1. Mula-mula anda perlu menggunakan penggantian y=z*x , di mana z=z(x) ialah fungsi baru yang tidak diketahui (dengan itu persamaan asal dikurangkan kepada persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan.
2. Terbitan hasil darab ialah y"=(z*x)"=z"*x+z*x"=z"*x+z atau dalam pembezaan dy=d(zx)=z*dx+x* dz.
3. Seterusnya, kita gantikan ciri baharu y dan terbitannya y" (atau dy ) dalam DE dengan pembolehubah boleh dipisahkan berkenaan dengan x dan z .
4. Setelah menyelesaikan persamaan pembezaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan, kita akan membuat penggantian songsang y=z*x, oleh itu z= y/x, dan kita dapat keputusan bersama(kamiran am) bagi persamaan pembezaan.
5. Jika diberi keadaan awal y(x 0)=y 0 , maka kita mencari penyelesaian tertentu kepada masalah Cauchy. Secara teori, semuanya kelihatan mudah, tetapi dalam praktiknya, tidak semua orang begitu seronok untuk menyelesaikan persamaan pembezaan. Oleh itu, untuk mendalami ilmu, pertimbangkan contoh biasa. Mengenai tugas yang mudah, tidak banyak yang perlu diajar kepada anda, jadi kami akan segera beralih kepada tugas yang lebih kompleks.

Pengiraan persamaan pembezaan homogen tertib pertama

Contoh 1

Penyelesaian: Bahagikan bahagian kanan persamaan dengan pembolehubah yang merupakan faktor berhampiran derivatif. Akibatnya, kami tiba di persamaan pembezaan homogen tertib 0

Dan di sini ia menjadi menarik kepada ramai, bagaimana untuk menentukan susunan fungsi persamaan homogen?
Soalan itu cukup relevan, dan jawapannya adalah seperti berikut:
di sebelah kanan, kita menggantikan nilai t*x, t*y bukannya fungsi dan hujah. Apabila memudahkan, parameter "t" diperoleh pada tahap k tertentu, dan ia dipanggil susunan persamaan. Dalam kes kami, "t" akan dikurangkan, yang bersamaan dengan darjah 0 atau tertib sifar bagi persamaan homogen.
Selanjutnya di sebelah kanan kita boleh beralih kepada pembolehubah baharu y=zx; z=y/x .
Pada masa yang sama, jangan lupa untuk menyatakan terbitan "y" melalui terbitan pembolehubah baharu. Dengan peraturan bahagian, kita dapati

Persamaan dalam Pembezaan akan mengambil borang

Kami mengurangkan istilah bersama di sebelah kanan dan kiri dan lulus ke persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang dipisahkan.

Marilah kita menyepadukan kedua-dua bahagian DE

Untuk kemudahan transformasi selanjutnya, kami segera memperkenalkan pemalar di bawah logaritma

Mengikut sifat logaritma, yang diperolehi persamaan logaritma adalah bersamaan dengan yang berikut

Entri ini belum lagi penyelesaian (jawapan), anda perlu kembali kepada perubahan pembolehubah yang dilakukan

Oleh itu mereka dapati penyelesaian umum persamaan pembezaan. Jika anda membaca pelajaran sebelumnya dengan teliti, maka kami berkata bahawa anda seharusnya dapat menggunakan skema untuk mengira persamaan dengan pembolehubah yang dipisahkan secara bebas dan persamaan tersebut perlu dikira untuk lebih jenis yang kompleks DU.

Contoh 2 Cari kamiran bagi persamaan pembezaan

Penyelesaian: Skim untuk mengira DE homogen dan ringkasan kini sudah biasa kepada anda. Kami memindahkan pembolehubah ke sebelah kanan persamaan, dan juga dalam pengangka dan penyebut kami mengambil x 2 sebagai faktor sepunya

Oleh itu, kami memperoleh DE homogen pesanan sifar.
Langkah seterusnya ialah memperkenalkan perubahan pembolehubah z=y/x, y=z*x , yang kami akan sentiasa ingatkan anda untuk menghafal

Selepas itu, kami menulis DE dalam pembezaan

Seterusnya, kami mengubah pergantungan kepada persamaan pembezaan dengan pembolehubah yang dipisahkan

dan menyelesaikannya dengan integrasi.

Kamiran adalah mudah, selebihnya transformasi adalah berdasarkan sifat logaritma. Tindakan terakhir melibatkan pendedahan logaritma. Akhirnya, kami kembali kepada penggantian asal dan tulis dalam borang

Pemalar "C" mengambil sebarang nilai. Semua mereka yang belajar tanpa kehadiran mempunyai masalah dalam peperiksaan dengan persamaan jenis ini, jadi sila lihat dengan teliti dan ingat skema pengiraan.

Contoh 3 Selesaikan persamaan pembezaan

Penyelesaian: Seperti berikut daripada teknik di atas, persamaan pembezaan jenis ini selesaikan dengan memperkenalkan pembolehubah baharu. Mari kita tulis semula pergantungan supaya terbitan tanpa pembolehubah

Selanjutnya, dengan menganalisis bahagian kanan, kita melihat bahawa bahagian -ee hadir di mana-mana dan dilambangkan dengan yang baru tidak diketahui.
z=y/x, y=z*x .
Mencari terbitan bagi y

Dengan mengambil kira penggantian, kami menulis semula DE asal dalam borang

Ringkaskan syarat yang sama dan kurangkan semua syarat yang diterima kepada DE dengan pembolehubah yang dipisahkan

Dengan mengintegrasikan kedua-dua belah kesamarataan

kita datang kepada penyelesaian dalam bentuk logaritma

Dengan mendedahkan kebergantungan yang kami temui penyelesaian umum persamaan pembezaan

yang, selepas menggantikan perubahan awal pembolehubah ke dalamnya, mengambil bentuk

Di sini C ialah pemalar, yang boleh dilanjutkan daripada keadaan Cauchy. Jika masalah Cauchy tidak diberikan, maka ia menjadi nilai sebenar yang sewenang-wenangnya.
Itu sahaja kebijaksanaan dalam kalkulus persamaan pembezaan homogen.

homogen

hidup pelajaran ini kita akan mempertimbangkan apa yang dipanggil persamaan pembezaan homogen tertib pertama. Bersama dengan persamaan pembolehubah boleh dipisahkan Dan persamaan tak homogen linear alat kawalan jauh jenis ini terdapat dalam hampir mana-mana kerja kawalan mengenai topik difusi. Jika anda memasuki halaman dari enjin carian atau tidak begitu yakin dengan persamaan pembezaan, pertama-tama saya amat mengesyorkan agar anda membuat pelajaran pengenalan mengenai topik itu - Persamaan pembezaan tertib pertama. Hakikatnya ialah banyak prinsip untuk menyelesaikan persamaan homogen dan teknik yang digunakan akan sama persis dengan persamaan termudah dengan pembolehubah boleh dipisahkan.

Apakah perbezaan antara persamaan pembezaan homogen dan jenis DE yang lain? Ini paling mudah untuk dijelaskan dengan segera dengan contoh konkrit.

Contoh 1

Penyelesaian:
Apa Pertama sekali perlu dianalisis semasa membuat keputusan mana-mana persamaan pembezaan Susunan pertama? Pertama sekali, adalah perlu untuk menyemak sama ada mungkin untuk segera memisahkan pembolehubah menggunakan tindakan "sekolah"? Biasanya analisis sedemikian dijalankan secara mental atau cuba memisahkan pembolehubah dalam draf.

DALAM contoh ini pembolehubah tidak boleh dipisahkan(anda boleh cuba membalikkan istilah dari bahagian ke bahagian, mengambil faktor daripada kurungan, dsb.). Dengan cara ini, dalam contoh ini, fakta bahawa pembolehubah tidak boleh dibahagikan adalah agak jelas kerana kehadiran faktor .

Persoalannya timbul - bagaimana untuk menyelesaikan diffur ini?

Perlu menyemak dan Adakah persamaan ini homogen?? Pengesahan adalah mudah, dan algoritma pengesahan itu sendiri boleh dirumuskan seperti berikut:

Kepada persamaan asal:

bukannya pengganti, bukannya pengganti, jangan sentuh terbitan:

Huruf lambda ialah parameter bersyarat, dan di sini ia dimainkan peranan seterusnya: jika hasil daripada transformasi adalah mungkin untuk "memusnahkan" SEMUA lambda dan mendapatkan persamaan asal, maka persamaan pembezaan ini adalah homogen.

Jelas sekali, lambda segera membatalkan dalam eksponen:

Sekarang, di sebelah kanan, kami mengeluarkan lambda daripada kurungan:

dan bahagikan kedua-dua bahagian dengan lambda yang sama ini:

Akibatnya Semua lambdas lenyap seperti mimpi, seperti kabus pagi, dan kami mendapat persamaan asal.

Kesimpulan: Persamaan ini adalah homogen

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan pembezaan homogen?

Saya mempunyai berita yang sangat baik. Benar-benar semua persamaan homogen boleh diselesaikan dengan penggantian piawai tunggal (!).

Fungsi "y" sepatutnya menggantikan kerja beberapa fungsi (juga bergantung pada "x") dan "x":

Hampir selalu menulis secara ringkas:

Kami mengetahui derivatif akan bertukar menjadi dengan penggantian sedemikian, kami menggunakan peraturan untuk membezakan produk. Jika , maka:

Gantikan dalam persamaan asal:

Apa yang akan diberikan oleh pengganti sedemikian? Selepas penggantian ini dan pemudahan yang dibuat, kami terjamin kita memperoleh persamaan dengan pembolehubah boleh dipisahkan. INGAT seperti cinta pertama :) dan, dengan itu, .

Selepas penggantian, kami melaksanakan penyederhanaan maksimum:

Oleh kerana ialah fungsi yang bergantung kepada "x", maka terbitannya boleh ditulis sebagai pecahan piawai: .
Oleh itu:

Kami memisahkan pembolehubah, manakala di sebelah kiri anda perlu mengumpul hanya "te", dan di sebelah kanan - hanya "x":

Pembolehubah dipisahkan, kami mengintegrasikan:


Mengikut petua teknologi pertama saya dari artikel itu Persamaan pembezaan tertib pertama dalam banyak kes adalah suai manfaat untuk "merumuskan" pemalar dalam bentuk logaritma.

Selepas persamaan disepadukan, anda perlu menjalankan penggantian terbalik, ia juga standard dan unik:
Jika , maka
DALAM kes ini:

Dalam 18-19 kes daripada 20, penyelesaian persamaan homogen ditulis sebagai kamiran am.

Jawapan: kamiran am:

Mengapakah jawapan kepada persamaan homogen hampir selalu diberikan sebagai kamiran am?
Dalam kebanyakan kes, adalah mustahil untuk menyatakan "y" dalam bentuk yang jelas (untuk mendapatkan penyelesaian umum), dan jika mungkin, maka selalunya penyelesaian umum ternyata menyusahkan dan kekok.

Jadi, sebagai contoh, dalam contoh yang dipertimbangkan, penyelesaian umum boleh diperolehi dengan menggantung logaritma pada kedua-dua bahagian kamiran am:

- baik, masih baik. Walaupun, anda lihat, ia masih bengkok.

Ngomong-ngomong, dalam contoh ini, saya tidak menulis kamiran am dengan "secara sopan". Ia bukan satu kesilapan, tetapi dalam gaya "baik", saya mengingatkan anda, adalah kebiasaan untuk menulis kamiran am dalam bentuk . Untuk melakukan ini, sejurus selepas menyepadukan persamaan, pemalar hendaklah ditulis tanpa sebarang logaritma (Itu pengecualian kepada peraturan!):

Dan selepas penggantian terbalik, dapatkan kamiran am dalam bentuk "klasik":

Jawapan yang diterima boleh disemak. Untuk melakukan ini, anda perlu membezakan kamiran am, iaitu, cari terbitan bagi fungsi yang ditakrifkan secara tersirat:

Singkirkan pecahan dengan mendarab setiap ruas persamaan dengan:

Persamaan pembezaan asal telah diperoleh, yang bermaksud bahawa penyelesaian telah ditemui dengan betul.

Adalah dinasihatkan untuk sentiasa menyemak. Tetapi persamaan homogen tidak menyenangkan kerana biasanya sukar untuk memeriksa kamiran amnya - ini memerlukan teknik pembezaan yang sangat baik. Dalam contoh yang dipertimbangkan, semasa pengesahan, adalah perlu untuk mencari bukan derivatif yang paling mudah (walaupun contoh itu sendiri agak mudah). Jika anda boleh menyemaknya, lihatlah!

Contoh 2

Semak persamaan untuk kehomogenan dan cari kamiran amnya.

Tulis jawapan dalam borang

Ini adalah contoh untuk keputusan bebas- supaya anda terbiasa dengan algoritma tindakan itu sendiri. Semak pada masa lapang anda, kerana. di sini ia agak rumit, dan saya tidak mula membawanya, jika tidak, anda tidak akan datang kepada gila seperti itu :)

Dan sekarang yang dijanjikan perkara penting, disebut pada awal topik,
dalam huruf hitam tebal:

Jika dalam perjalanan transformasi kita "set semula" faktor (bukan tetap)kepada penyebut, maka kita BERISIKO kehilangan penyelesaian!

Dan sebenarnya, kami menemui ini dalam contoh pertama. pelajaran pengenalan tentang persamaan pembezaan. Dalam proses menyelesaikan persamaan, "y" ternyata berada dalam penyebut: , tetapi, jelas sekali, adalah penyelesaian kepada DE, dan sebagai hasil daripada transformasi tidak setara (bahagian), terdapat setiap peluang. kehilangannya! Perkara lain ialah ia memasuki penyelesaian umum apabila nilai sifar pemalar. Menetapkan semula "x" kepada penyebut juga boleh diabaikan, kerana tidak memenuhi diffuse asal.

Kisah serupa dengan persamaan ketiga pelajaran yang sama, semasa penyelesaian yang kami "jatuhkan" ke dalam penyebut. Tegasnya, di sini adalah perlu untuk menyemak sama ada penyebaran yang diberikan adalah penyelesaian? Lagipun, ia adalah! Tetapi di sini "semuanya berjaya", kerana fungsi ini memasuki kamiran am di .

Dan jika ini sering berlaku dengan persamaan "boleh dipisahkan";) ia "bergulung", maka dengan homogen dan beberapa diffurs lain ia mungkin "tidak bergolek". Dengan kebarangkalian yang tinggi.

Mari kita menganalisis masalah yang telah diselesaikan dalam pelajaran ini: Contoh 1 terdapat "set semula" x, bagaimanapun, ia tidak boleh menjadi penyelesaian kepada persamaan. Tetapi dalam contoh 2 kami dibahagikan kepada , tetapi ini juga "melepaskan diri": kerana penyelesaian tidak boleh hilang, mereka tidak wujud di sini. Tetapi, sudah tentu, saya sengaja mengatur "kes gembira", dan bukan fakta yang akan ditemui dalam amalan:

Contoh 3

Selesaikan persamaan pembezaan

Bukankah ia satu contoh yang mudah? ;-)

Penyelesaian: kehomogenan persamaan ini adalah jelas, tetapi masih - pada langkah pertama SENTIASA semak sama ada pembolehubah boleh diasingkan. Untuk persamaan juga homogen, tetapi pembolehubah di dalamnya diasingkan secara senyap-senyap. Ya, terdapat beberapa!

Selepas menyemak "kebolehpisahan", kami membuat penggantian dan memudahkan persamaan sebanyak mungkin:

Kami memisahkan pembolehubah, di sebelah kiri kami mengumpul "te", di sebelah kanan - "x":

Dan inilah STOP. Apabila membahagi dengan kita berisiko kehilangan dua fungsi sekaligus. Oleh kerana , maka ini adalah fungsinya:

Fungsi pertama jelas merupakan penyelesaian kepada persamaan . Kami menyemak yang kedua - kami menggantikan derivatifnya ke dalam diffur kami:

- kesamaan yang betul diperolehi, yang bermaksud bahawa fungsi adalah penyelesaian.

DAN kita berisiko kehilangan keputusan ini.

Di samping itu, penyebutnya ialah "X", bagaimanapun, penggantian membayangkan bahawa ia adalah bukan sifar. Ingat fakta ini. Tetapi! Pastikan anda menyemak, sama ada penyelesaian kepada persamaan pembezaan ASAL. Tidak.

Mari kita ambil perhatian semua ini dan teruskan:

Ia mesti dikatakan bahawa kita bernasib baik dengan kamiran sebelah kiri, ia berlaku lebih teruk.

Kami mengumpul logaritma tunggal di sebelah kanan, dan menetapkan semula belenggu:

Dan tadi penggantian terbalik:

Darab semua istilah dengan:

Sekarang untuk menyemak - sama ada penyelesaian "berbahaya" dimasukkan dalam kamiran am. Ya, kedua-dua penyelesaian dimasukkan dalam kamiran am pada nilai sifar pemalar: , jadi ia tidak perlu ditunjukkan tambahan dalam jawab:

kamiran am:

Peperiksaan. Bukan ujian pun, tapi keseronokan tulen :)

Persamaan pembezaan asal telah diperoleh, yang bermaksud bahawa penyelesaian telah ditemui dengan betul.

Untuk penyelesaian kendiri:

Contoh 4

Lakukan ujian kehomogenan dan selesaikan persamaan pembezaan

Kamiran am boleh disemak dengan pembezaan.

Penyelesaian Lengkap dan jawapan di akhir pelajaran.

Pertimbangkan beberapa contoh di mana persamaan homogen diberikan dengan pembezaan sedia dibuat.

Contoh 5

Selesaikan persamaan pembezaan

Ini sangat contoh yang menarik, secara langsung keseluruhan thriller!

Penyelesaian Kami akan membiasakan diri untuk menjadikannya lebih padat. Pertama, secara mental atau pada draf, kami memastikan bahawa pembolehubah tidak boleh dibahagikan di sini, selepas itu kami menyemak keseragaman - ia biasanya tidak dijalankan pada salinan yang bersih (kecuali diperlukan secara khusus). Oleh itu, hampir selalu penyelesaiannya bermula dengan entri: " Persamaan ini homogen, mari kita buat penggantian: ...».

Jika persamaan homogen mengandungi pembezaan sedia, maka ia boleh diselesaikan dengan penggantian yang diubah suai:

Tetapi saya tidak menasihati menggunakan penggantian sedemikian, kerana hasilnya akan menjadi yang Hebat Tembok Cina pembezaan, di mana anda memerlukan mata dan mata. Dari sudut pandangan teknikal, adalah lebih berfaedah untuk beralih kepada sebutan "putus-putus" terbitan, untuk ini kita bahagikan semua istilah persamaan dengan:

Dan sudah di sini kita telah membuat transformasi "berbahaya"! Pembezaan sifar sepadan dengan - keluarga garisan selari dengan paksi. Adakah mereka punca DU kita? Gantikan dalam persamaan asal:

Persamaan ini benar jika , iaitu, apabila membahagi dengan kita berisiko kehilangan penyelesaian , dan kami kehilangannya- kerana ia tidak lagi memuaskan persamaan yang terhasil .

Perlu diingatkan bahawa jika kita pada mulanya persamaan telah diberikan , maka akarnya akan keluar dari soalan. Tetapi kami memilikinya, dan kami "menangkapnya" tepat pada masanya.

Kami meneruskan penyelesaian dengan penggantian standard:
:

Selepas penggantian, kami permudahkan persamaan sebanyak mungkin:

Mengasingkan pembolehubah:

Dan di sini sekali lagi STOP: apabila membahagi dengan kita berisiko kehilangan dua fungsi. Oleh kerana , maka ini adalah fungsinya:

Jelas sekali, fungsi pertama adalah penyelesaian kepada persamaan . Kami menyemak yang kedua - kami menggantikan dan terbitannya:

- menerima persamaan sebenar, jadi fungsi itu juga merupakan penyelesaian bagi persamaan pembezaan.

Dan apabila membahagikan dengan kita berisiko kehilangan penyelesaian ini. Walau bagaimanapun, mereka boleh memasuki kamiran sepunya. Tetapi mereka mungkin tidak masuk.

Mari kita ambil perhatian tentang ini dan integrasikan kedua-dua bahagian:

Kamiran bahagian kiri diselesaikan secara standard menggunakan pemilihan petak penuh, tetapi dalam peresap ia lebih mudah digunakan kaedah pekali tak tentu:

Dengan menggunakan kaedah pekali tak tentu, kami mengembangkan kamiran dan menjadi jumlah pecahan asas:


Oleh itu:

Kami mencari kamiran:

- oleh kerana kami hanya melukis logaritma, kami juga menolak pemalar di bawah logaritma.

Sebelum penggantian permudahkan lagi segala yang boleh dipermudahkan:

Menjatuhkan rantai:

Dan penggantian terbalik:

Sekarang kita ingat "kerugian": penyelesaiannya memasuki kamiran am pada , tetapi - "terbang melepasi daftar tunai", kerana muncul dalam penyebut. Oleh itu, dalam jawapannya, ia dianugerahkan frasa yang berasingan, dan ya - jangan lupa tentang keputusan yang hilang, yang, dengan cara itu, juga ternyata berada di bahagian bawah.

Jawapan: kamiran am: . Lebih banyak penyelesaian:

Ia tidak begitu sukar untuk menyatakan penyelesaian umum di sini:
, tetapi ini sudah menunjuk-nunjuk.

Mudah, bagaimanapun, untuk ujian. Mari cari derivatif:

dan pengganti ke sebelah kiri persamaan:

- akibat diterima bahagian kanan persamaan, yang perlu disahkan.

Diffur berikut adalah dengan sendiri:

Contoh 6

Selesaikan persamaan pembezaan

Penyelesaian penuh dan jawapan pada akhir pelajaran. Cuba pada masa yang sama untuk latihan dan nyatakan penyelesaian umum di sini.

Pada bahagian akhir pelajaran, kami akan mempertimbangkan beberapa lagi tugas khas mengenai topik:

Contoh 7

Selesaikan persamaan pembezaan

Penyelesaian: Mari pergi ke landasan yang terpukul. Persamaan ini adalah homogen, mari kita ubah:

Dengan "x" semuanya teratur, tetapi inilah masalahnya trinomial segi empat sama? Oleh kerana ia tidak boleh diuraikan kepada faktor : , maka kita pasti tidak kehilangan penyelesaian. Ia akan sentiasa seperti ini! Pilih petak penuh di sebelah kiri dan sepadukan:

Tiada apa-apa untuk dipermudahkan di sini, dan oleh itu penggantian terbalik:

Jawapan: kamiran am:

Contoh 8

Selesaikan persamaan pembezaan

Ini adalah contoh buat sendiri.

Jadi:

Untuk penukaran yang tidak setara, SENTIASA semak (sekurang-kurangnya secara lisan), jangan anda kehilangan keputusan anda! Apakah transformasi ini? Sebagai peraturan, pengurangan oleh sesuatu atau pembahagian oleh sesuatu. Jadi, sebagai contoh, apabila membahagi dengan, anda perlu menyemak sama ada fungsi adalah penyelesaian bagi persamaan pembezaan. Pada masa yang sama, apabila membahagikan dengan keperluan untuk cek sedemikian sudah hilang - kerana fakta bahawa pembahagi ini tidak hilang.

Ini satu lagi keadaan bahaya:

Di sini, menyingkirkan , seseorang harus menyemak sama ada ia adalah penyelesaian kepada DE. Selalunya, "x", "y" didapati sebagai faktor sedemikian, dan mengurangkannya, kita kehilangan fungsi yang mungkin menjadi penyelesaian.

Sebaliknya, jika sesuatu pada AWALnya dalam penyebut, maka tidak ada sebab untuk kebimbangan sedemikian. Jadi, dalam persamaan homogen, anda tidak perlu risau tentang fungsi , kerana ia "diisytiharkan" dalam penyebut.

Kehalusan yang disenaraikan tidak kehilangan kaitannya, walaupun ia diperlukan untuk mencari penyelesaian tertentu sahaja dalam masalah itu. Terdapat sedikit, tetapi peluang bahawa kita akan kehilangan penyelesaian tertentu yang diperlukan. Adakah benar Masalah cauchy V tugas amali dengan persamaan homogen diminta agak jarang. Walau bagaimanapun, terdapat contoh sedemikian dalam artikel itu Persamaan Mengurangkan kepada Homogen, yang saya syorkan untuk belajar "dalam mengejar panas" untuk menyatukan kemahiran menyelesaikan anda.

Terdapat juga persamaan homogen yang lebih kompleks. Kesukarannya bukan pada perubahan pembolehubah atau penyederhanaan, tetapi pada kamiran yang agak sukar atau jarang yang timbul akibat pemisahan pembolehubah. Saya mempunyai contoh penyelesaian kepada persamaan homogen tersebut - kamiran hodoh dan jawapan hodoh. Tetapi kita tidak akan bercakap tentang mereka, kerana dalam pelajaran seterusnya (lihat di bawah) Saya masih mempunyai masa untuk menyeksa anda, saya mahu melihat anda segar dan optimis!

Promosi yang berjaya!

Penyelesaian dan jawapan:

Contoh 2: Penyelesaian: semak persamaan untuk homogeniti, untuk ini, dalam persamaan asal bukannya mari letak , dan bukannya mari kita gantikan:

Hasilnya, persamaan asal diperolehi, yang bermaksud bahawa DE ini adalah homogen.