Apakah logaritma asli bersamaan dengan 1. Logaritma asli

sering mengambil nombor e = 2,718281828 . Logaritma berdasarkan asas ini dipanggil semula jadi. Apabila melakukan pengiraan dengan logaritma semula jadi, ia adalah perkara biasa untuk beroperasi dengan tanda ln, bukan log; manakala nombor 2,718281828 , menentukan asas, tidak ditunjukkan.

Dengan kata lain, rumusan akan kelihatan seperti: logaritma semula jadi nombor X- ini ialah eksponen yang mana nombor mesti dinaikkan e untuk mendapatkan x.

Jadi, ln(7,389...)= 2, sejak e 2 =7,389... . Logaritma asli bagi nombor itu sendiri e= 1 kerana e 1 =e, dan logaritma semula jadi bagi perpaduan ialah sifar, kerana e 0 = 1.

Nombor itu sendiri e mentakrifkan had jujukan sempadan monoton

dikira itu e = 2,7182818284... .

Selalunya, untuk menetapkan nombor dalam ingatan, digit nombor yang diperlukan dikaitkan dengan beberapa tarikh tertunggak. Kelajuan menghafal sembilan digit pertama nombor e selepas titik perpuluhan akan meningkat jika anda perasan bahawa 1828 adalah tahun kelahiran Leo Tolstoy!

Hari ini sudah cukup meja penuh logaritma semula jadi.

Graf logaritma semula jadi(fungsi y =ln x) ialah akibat daripada graf eksponen imej cermin agak lurus y = x dan mempunyai bentuk:

Logaritma asli boleh didapati untuk setiap nombor nyata positif a sebagai kawasan di bawah lengkung y = 1/x daripada 1 kepada a.

Sifat asas rumusan ini, yang konsisten dengan banyak formula lain di mana logaritma asli terlibat, adalah sebab pembentukan nama "semula jadi".

Jika anda menganalisis logaritma semula jadi, sebagai fungsi sebenar pembolehubah sebenar, maka ia bertindak fungsi songsang kepada fungsi eksponen, yang mengurangkan kepada identiti:

e ln(a) =a (a>0)

ln(e a) =a

Dengan analogi dengan semua logaritma, logaritma asli menukarkan pendaraban kepada penambahan, pembahagian kepada penolakan:

ln(xy) = ln(x) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritma boleh didapati untuk setiap asas positif yang tidak sama dengan satu, bukan hanya untuk e, tetapi logaritma untuk asas lain berbeza daripada logaritma asli hanya dengan faktor malar, dan biasanya ditakrifkan dari segi logaritma asli.

Setelah menganalisis graf logaritma semula jadi, kita dapati ia wujud untuk nilai-nilai positif pembolehubah x. Ia meningkat secara monotoni dalam domain definisinya.

Pada x → 0 had logaritma asli ialah tolak infiniti ( -∞ ).Pada x → +∞ had logaritma asli ialah campur infiniti ( + ∞ ). Pada umumnya x Logaritma meningkat agak perlahan. Mana-mana fungsi kuasa xa dengan eksponen positif a meningkat lebih cepat daripada logaritma. Logaritma semula jadi ialah fungsi yang meningkat secara monoton, jadi ia tidak mempunyai ekstrem.

Penggunaan logaritma semula jadi sangat rasional apabila lulus matematik yang lebih tinggi. Oleh itu, menggunakan logaritma adalah mudah untuk mencari jawapan kepada persamaan di mana tidak diketahui muncul sebagai eksponen. Penggunaan logaritma semula jadi dalam pengiraan memungkinkan untuk dipermudahkan bilangan yang besar formula matematik. Logaritma kepada pangkalan e hadir semasa menyelesaikan nombor bererti masalah fizikal dan secara semula jadi masuk ke dalam huraian matematik kimia individu, biologi dan proses lain. Oleh itu, logaritma digunakan untuk mengira pemalar pereputan untuk separuh hayat yang diketahui, atau untuk mengira masa pereputan dalam menyelesaikan masalah radioaktiviti. Mereka memainkan peranan utama dalam banyak bidang matematik dan sains praktikal, mereka terpaksa dalam bidang kewangan untuk menyelesaikan bilangan yang besar tugas, termasuk pengiraan faedah kompaun.

Tidak buruk sama sekali, bukan? Semasa ahli matematik mencari perkataan untuk memberi anda definisi yang panjang dan mengelirukan, mari kita lihat dengan lebih dekat pada yang mudah dan jelas ini.

Nombor e bermaksud pertumbuhan

Nombor e bermaksud pertumbuhan berterusan. Seperti yang kita lihat dalam contoh sebelumnya, e x membolehkan kita menghubungkan minat dan masa: 3 tahun pada pertumbuhan 100% adalah sama dengan 1 tahun pada 300%, dengan mengandaikan "faedah kompaun".

Anda boleh menggantikan mana-mana peratusan dan nilai masa (50% selama 4 tahun), tetapi lebih baik untuk menetapkan peratusan sebagai 100% untuk kemudahan (ternyata 100% selama 2 tahun). Dengan beralih kepada 100%, kita boleh memberi tumpuan semata-mata pada komponen masa:

e x = e peratus * masa = e 1.0 * masa = e masa

Jelas sekali e x bermaksud:

berapa banyak sumbangan saya akan berkembang selepas x unit masa (dengan andaian 100% pertumbuhan berterusan).
sebagai contoh, selepas 3 selang masa saya akan menerima e 3 = 20.08 kali lebih banyak "benda".

e x ialah faktor penskalaan yang menunjukkan tahap apa yang akan kita kembangkan dalam amaun masa x.

Logaritma semula jadi bermaksud masa

Logaritma semula jadi ialah songsangan bagi e, istilah mewah untuk berlawanan. Bercakap tentang kebiasaan; dalam bahasa Latin ia dipanggil logaritmus naturali, oleh itu singkatan ln.

Dan apakah maksud penyongsangan atau sebaliknya ini?

e x membolehkan kita menggantikan masa dan mendapatkan pertumbuhan.
ln(x) membolehkan kita mengambil pertumbuhan atau pendapatan dan mengetahui masa yang diperlukan untuk menjananya.

Contohnya:

e 3 sama dengan 20.08. Selepas tiga tempoh masa kita akan mempunyai 20.08 kali lebih-lebih lagi di mana kita bermula.
ln(08/20) akan menjadi lebih kurang 3. Jika anda berminat untuk pertumbuhan sebanyak 20.08 kali, anda memerlukan 3 tempoh masa (sekali lagi, andaikan pertumbuhan berterusan 100%).

Masih membaca? Logaritma asli menunjukkan masa yang diperlukan untuk mencapai tahap yang dikehendaki.

Kiraan logaritma bukan piawai ini

Adakah anda telah melalui logaritma - mereka adalah makhluk aneh. Bagaimanakah mereka berjaya menukar pendaraban kepada penambahan? Bagaimana pula dengan pembahagian kepada penolakan? Jom tengok.

Apakah ln(1) bersamaan dengan? Secara intuitif, persoalannya ialah: berapa lama saya perlu menunggu untuk mendapat 1x lebih daripada apa yang saya ada?

Sifar. Sifar. Tidak sama sekali. Anda sudah memilikinya sekali. Ia tidak mengambil masa yang lama untuk pergi dari tahap 1 ke tahap 1.

ln(1) = 0

Okay, bagaimana pula nilai pecahan? Berapa lamakah masa yang diambil untuk kita mempunyai 1/2 daripada kuantiti yang ada? Kita tahu bahawa dengan pertumbuhan berterusan 100%, ln(2) bermakna masa yang diperlukan untuk menggandakan. Jika kita mari kita putarkan masa(iaitu, tunggu masa yang negatif), maka kita akan mendapat separuh daripada apa yang kita ada.

ln(1/2) = -ln(2) = -0.693

Logik kan? Jika kita kembali (masa kembali) kepada 0.693 saat, kita akan mendapati separuh daripada jumlah yang ada. Secara umum, anda boleh menukar pecahan dan mengambil nilai negatif: ln(1/3) = -ln(3) = -1.09. Ini bermakna jika kita kembali ke masa ke 1.09 kali, kita hanya akan menemui satu pertiga daripada nombor semasa.

Okay, bagaimana pula dengan logaritma nombor negatif? Berapa lama masa yang diperlukan untuk "menumbuhkan" koloni bakteria dari 1 hingga -3?

Ini adalah mustahil! Anda tidak boleh mendapat kiraan bakteria negatif, bukan? Anda boleh mendapatkan maksimum (er...minimum) sifar, tetapi tidak mungkin anda boleh mendapatkan nombor negatif daripada makhluk kecil ini. DALAM nombor negatif bakteria tidak masuk akal.

ln(nombor negatif) = tidak ditentukan

"Tidak ditentukan" bermakna tiada amaun masa yang perlu menunggu untuk mendapatkan nilai negatif.

Pendaraban logaritma adalah kelakar

Berapa lama masa yang diperlukan untuk berkembang empat kali ganda? Sudah tentu, anda hanya boleh mengambil ln(4). Tetapi ini terlalu mudah, kita akan pergi ke arah lain.

Anda boleh menganggap pertumbuhan empat kali ganda sebagai menggandakan (memerlukan ln(2) unit masa) dan kemudian menggandakan lagi (memerlukan satu lagi ln(2) unit masa):

Masa untuk berkembang 4 kali = ln(4) = Masa untuk menggandakan dan kemudian menggandakan lagi = ln(2) + ln(2)

Menarik. Sebarang kadar pertumbuhan, katakan 20, boleh dianggap sebagai dua kali ganda selepas peningkatan 10x. Atau pertumbuhan sebanyak 4 kali, dan kemudian sebanyak 5 kali. Atau tiga kali ganda dan kemudian meningkat sebanyak 6.666 kali. Nampak corak?

ln(a*b) = ln(a) + ln(b)

Logaritma A darab B ialah log(A) + log(B). Hubungan ini segera masuk akal apabila dilihat dari segi pertumbuhan.

Jika anda berminat dengan pertumbuhan 30x, anda boleh menunggu ln(30) dalam satu sesi, atau tunggu ln(3) untuk tiga kali ganda, dan kemudian ln(10) lagi untuk 10x. Hasil akhirnya adalah sama, jadi sudah tentu masa mesti kekal malar (dan ia berlaku).

Bagaimana dengan perpecahan? Secara khusus, ln(5/3) bermaksud: berapa lama masa yang diperlukan untuk berkembang 5 kali ganda dan kemudian mendapat 1/3 daripada itu?

Hebat, pertumbuhan sebanyak 5 kali ialah ln(5). Peningkatan sebanyak 1/3 kali akan mengambil -ln(3) unit masa. Jadi,

ln(5/3) = ln(5) – ln(3)

Ini bermakna: biarkan ia berkembang 5 kali ganda, dan kemudian "kembali ke masa" ke tahap di mana hanya satu pertiga daripada jumlah itu kekal, jadi anda mendapat 5/3 pertumbuhan. Secara umum ternyata

ln(a/b) = ln(a) – ln(b)

Saya berharap bahawa aritmetik aneh logaritma mula masuk akal kepada anda: mendarab kadar pertumbuhan menjadi menambah unit masa pertumbuhan, dan membahagi menjadi menolak unit masa. Tidak perlu menghafal peraturan, cuba memahaminya.

Menggunakan logaritma semula jadi untuk pertumbuhan sewenang-wenangnya

Sudah tentu," anda berkata, "ini semua bagus jika pertumbuhannya adalah 100%, tetapi bagaimana dengan 5% yang saya terima?"

Tiada masalah. "Masa" yang kita kira dengan ln() sebenarnya adalah gabungan kadar faedah dan masa, X yang sama daripada persamaan e x. Kami baru sahaja memutuskan untuk menetapkan peratusan kepada 100% untuk kesederhanaan, tetapi kami bebas menggunakan sebarang nombor.

Katakan kita mahu mencapai pertumbuhan 30x: ambil ln(30) dan dapatkan 3.4 Ini bermakna:

e x = tinggi
e 3.4 = 30

Jelas sekali, persamaan ini bermaksud "pulangan 100% dalam tempoh 3.4 tahun memberikan pertumbuhan 30x ganda." Kita boleh menulis persamaan ini seperti berikut:

e x = e kadar*masa
e 100% * 3.4 tahun = 30

Kita boleh menukar nilai "pertaruhan" dan "masa", selagi pertaruhan * masa kekal 3.4. Sebagai contoh, jika kita berminat dengan pertumbuhan 30x, berapa lama kita perlu menunggu pada kadar faedah 5%?

ln(30) = 3.4
kadar * masa = 3.4
0.05 * masa = 3.4
masa = 3.4 / 0.05 = 68 tahun

Saya beralasan seperti ini: "ln(30) = 3.4, jadi pada pertumbuhan 100% ia akan mengambil masa 3.4 tahun. Jika saya menggandakan kadar pertumbuhan, masa yang diperlukan akan dikurangkan separuh."

100% selama 3.4 tahun = 1.0 * 3.4 = 3.4
200% dalam 1.7 tahun = 2.0 * 1.7 = 3.4
50% untuk 6.8 tahun = 0.5 * 6.8 = 3.4
5% melebihi 68 tahun = .05 * 68 = 3.4.

Hebat kan? Logaritma semula jadi boleh digunakan dengan sebarang kadar faedah dan masa kerana produk mereka kekal malar. Anda boleh memindahkan nilai pembolehubah seberapa banyak yang anda suka.

Contoh hebat: Peraturan tujuh puluh dua

Peraturan Tujuh Puluh Dua ialah teknik matematik yang membolehkan anda menganggarkan berapa lama masa yang diambil untuk wang anda berganda. Sekarang kita akan menyimpulkannya (ya!), Dan lebih-lebih lagi, kita akan cuba memahami intipatinya.

Berapa lama masa yang diambil untuk menggandakan wang anda pada 100% faedah yang dikompaun setiap tahun?

Aduh. Kami menggunakan logaritma asli untuk kes dengan pertumbuhan berterusan, dan kini anda bercakap tentang akruan tahunan? Bukankah formula ini akan menjadi tidak sesuai untuk kes sedemikian? Ya, ia akan berlaku, tetapi untuk kadar faedah sebenar seperti 5%, 6% atau bahkan 15%, perbezaan antara pengkompaunan tahunan dan pertumbuhan berterusan adalah kecil. Jadi anggaran kasar berfungsi, um, secara kasar, jadi kita akan berpura-pura bahawa kita mempunyai akruan berterusan sepenuhnya.

Sekarang persoalannya mudah: Berapa cepat anda boleh menggandakan dengan pertumbuhan 100%? ln(2) = 0.693. Ia mengambil 0.693 unit masa (tahun dalam kes kami) untuk menggandakan jumlah kami dengan peningkatan berterusan sebanyak 100%.

Jadi, bagaimana jika kadar faedah bukan 100%, tetapi katakan 5% atau 10%?

dengan mudah! Oleh kerana pertaruhan * masa = 0.693, kami akan menggandakan jumlah:

kadar * masa = 0.693
masa = 0.693 / pertaruhan

Ternyata jika pertumbuhan adalah 10%, ia akan mengambil masa 0.693 / 0.10 = 6.93 tahun untuk berganda.

Untuk memudahkan pengiraan, mari kita darab kedua-dua belah dengan 100, kemudian kita boleh menyebut "10" dan bukannya "0.10":

masa untuk menggandakan = 69.3 / pertaruhan, di mana pertaruhan dinyatakan sebagai peratusan.

Kini tiba masanya untuk menggandakan pada kadar 5%, 69.3 / 5 = 13.86 tahun. Walau bagaimanapun, 69.3 bukanlah dividen yang paling mudah. Mari pilih nombor rapat, 72, yang senang dibahagi dengan 2, 3, 4, 6, 8 dan nombor lain.

masa untuk menggandakan = 72 / pertaruhan

iaitu peraturan tujuh puluh dua. Semuanya dilindungi.

Jika anda perlu mencari masa untuk tiga kali ganda, anda boleh menggunakan ln(3) ~ 109.8 dan dapatkan

masa untuk tiga kali ganda = 110 / pertaruhan

Apa yang lain peraturan yang berguna. "Peraturan 72" digunakan untuk pertumbuhan dalam kadar faedah, pertumbuhan populasi, budaya bakteria dan apa-apa sahaja yang berkembang dengan pesat.

Apa seterusnya?

Mudah-mudahan logaritma semula jadi kini masuk akal kepada anda - ia menunjukkan masa yang diperlukan untuk sebarang nombor berkembang secara eksponen. Saya rasa ia dipanggil semula jadi kerana e ialah ukuran pertumbuhan sejagat, jadi ln boleh dipertimbangkan secara universal menentukan berapa lama masa yang diperlukan untuk berkembang.

Setiap kali anda melihat ln(x), ingat "masa yang diperlukan untuk berkembang X kali." Dalam artikel akan datang saya akan menerangkan e dan ln bersama-sama supaya bau segar matematik akan memenuhi udara.

Tambahan: Logaritma asli bagi e

Kuiz pantas: apakah ln(e)?

robot matematik akan berkata: kerana ia ditakrifkan sebagai songsang antara satu sama lain, adalah jelas bahawa ln(e) = 1.
orang yang memahami: ln(e) ialah bilangan kali yang diperlukan untuk berkembang "e" kali (kira-kira 2.718). Walau bagaimanapun, nombor e itu sendiri ialah ukuran pertumbuhan dengan faktor 1, jadi ln(e) = 1.

Fikir dengan jelas.

9 September 2013

Logaritma semula jadi

Graf fungsi logaritma semula jadi. Fungsi perlahan-lahan menghampiri infiniti positif apabila ia meningkat x dan cepat menghampiri infiniti negatif apabila x cenderung kepada 0 (“lambat” dan “cepat” berbanding dengan mana-mana fungsi kuasa x).

Logaritma semula jadi ialah logaritma kepada asas , Di mana e- pemalar tidak rasional sama dengan lebih kurang 2.718281 828. Logaritma asli biasanya ditulis sebagai ln( x), log e (x) atau kadangkala hanya log( x), jika asas e tersirat.

Logaritma asli bagi suatu nombor x(ditulis sebagai ln(x)) ialah eksponen yang nombor itu mesti dinaikkan e untuk mendapatkan x. Sebagai contoh, ln(7,389...) adalah sama dengan 2 kerana e 2 =7,389... . Logaritma asli bagi nombor itu sendiri e (ln(e)) adalah sama dengan 1 kerana e 1 = e, dan logaritma asli ialah 1 ( ln(1)) adalah sama dengan 0 kerana e 0 = 1.

Logaritma asli boleh ditakrifkan untuk sebarang nombor nyata positif a sebagai kawasan di bawah lengkung y = 1/x dari 1 hingga a. Kesederhanaan definisi ini, yang konsisten dengan banyak formula lain yang menggunakan logaritma asli, membawa kepada nama "semula jadi". Takrifan ini boleh diperluaskan kepada nombor kompleks, seperti yang akan dibincangkan di bawah.

Jika kita menganggap logaritma asli sebagai fungsi sebenar pembolehubah sebenar, maka ia adalah fungsi songsang bagi fungsi eksponen, yang membawa kepada identiti:

Seperti semua logaritma, logaritma asli memetakan pendaraban kepada penambahan:

Oleh itu, fungsi logaritma ialah isomorfisme kumpulan positif nombor nyata berkenaan pendaraban mengikut kumpulan nombor nyata dengan tambahan, yang boleh diwakili sebagai fungsi:

Logaritma boleh ditakrifkan untuk sebarang asas positif selain daripada 1, bukan sahaja e, tetapi logaritma untuk asas lain berbeza daripada logaritma asli hanya dengan faktor malar, dan biasanya ditakrifkan dari segi logaritma asli. Logaritma berguna untuk menyelesaikan persamaan yang melibatkan tidak diketahui sebagai eksponen. Sebagai contoh, logaritma digunakan untuk mencari pemalar pereputan untuk separuh hayat yang diketahui, atau untuk mencari masa pereputan dalam menyelesaikan masalah radioaktiviti. Mereka sedang bermain peranan penting dalam banyak bidang matematik dan sains gunaan, digunakan dalam kewangan untuk menyelesaikan banyak masalah, termasuk mencari faedah kompaun.

cerita

Sebutan pertama logaritma semula jadi telah dibuat oleh Nicholas Mercator dalam karyanya Logaritmoteknik, diterbitkan pada tahun 1668, walaupun guru matematik John Spidell menyusun jadual logaritma semula jadi pada tahun 1619. Ia sebelum ini dipanggil logaritma hiperbolik kerana ia sepadan dengan kawasan di bawah hiperbola. Ia kadangkala dipanggil logaritma Napier, walaupun makna asal istilah ini agak berbeza.

Konvensyen penetapan

Logaritma semula jadi biasanya dilambangkan dengan “ln( x)", logaritma kepada asas 10 - melalui "lg( x)", dan sebab lain biasanya ditunjukkan secara eksplisit dengan simbol "log".

Dalam banyak karya mengenai matematik diskret, sibernetik dan sains komputer, pengarang menggunakan tatatanda “log( x)" untuk logaritma kepada asas 2, tetapi konvensyen ini tidak diterima umum dan memerlukan penjelasan sama ada dalam senarai tatatanda yang digunakan atau (sekiranya tiada senarai sedemikian) dengan nota kaki atau ulasan apabila pertama kali digunakan.

Tanda kurung di sekitar hujah logaritma (jika ini tidak membawa kepada bacaan formula yang salah) biasanya ditinggalkan, dan apabila menaikkan logaritma kepada kuasa, eksponen ditugaskan terus kepada tanda logaritma: ln 2 ln 3 4 x 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

Sistem Inggeris-Amerika

Ahli matematik, ahli statistik dan beberapa jurutera biasanya menggunakan istilah "logaritma semula jadi" atau "log( x)" atau "ln( x)", dan untuk menandakan logaritma asas 10 - "log 10 ( x)».

Sesetengah jurutera, ahli biologi dan pakar lain sentiasa menulis “ln( x)" (atau kadangkala "log e ( x)") apabila mereka bermaksud logaritma semula jadi, dan tatatanda "log( x)" maksudnya log 10 ( x).

log e ialah logaritma "semula jadi" kerana ia berlaku secara automatik dan sering muncul dalam matematik. Sebagai contoh, pertimbangkan masalah terbitan fungsi logaritma:

Jika asas b sama e, maka terbitannya ialah 1/ x, dan bila x= 1 terbitan ini bersamaan dengan 1. Satu lagi sebab mengapa asas e Perkara yang paling biasa tentang logaritma ialah ia boleh ditakrifkan secara ringkas dari segi kamiran mudah atau siri Taylor, yang tidak boleh dikatakan tentang logaritma lain.

Justifikasi lanjut untuk naturalness tidak berkaitan dengan notasi. Jadi, sebagai contoh, terdapat beberapa barisan mudah dengan logaritma semula jadi. Pietro Mengoli dan Nicholas Mercator memanggil mereka logaritmus naturalis beberapa dekad sehingga Newton dan Leibniz membangunkan kalkulus pembezaan dan kamiran.

Definisi

Secara rasmi ln( a) boleh ditakrifkan sebagai kawasan di bawah lengkung graf 1/ x dari 1 hingga a, iaitu sebagai integral:

Ia benar-benar logaritma kerana ia memenuhi sifat asas logaritma:

Ini boleh ditunjukkan dengan mengandaikan seperti berikut:

Nilai berangka

Untuk mengira nilai berangka logaritma asli nombor, anda boleh menggunakan pengembangan siri Taylornya dalam bentuk:

Untuk mendapatkan kadar penumpuan yang lebih baik, anda boleh menggunakan identiti berikut:

dengan syarat itu y = (x−1)/(x+1) dan x > 0.

Untuk ln( x), Di mana x> 1, semakin hampir nilainya x kepada 1, kemudian kelajuan lebih pantas penumpuan. Identiti yang berkaitan dengan logaritma boleh digunakan untuk mencapai matlamat:

Kaedah-kaedah ini telah digunakan walaupun sebelum kemunculan kalkulator, yang mereka gunakan jadual berangka dan manipulasi yang serupa dengan yang diterangkan di atas telah dilakukan.

Ketepatan yang tinggi

Untuk mengira logaritma asli dengan sebilangan besar nombor ketepatan, siri Taylor tidak cekap kerana penumpuannya perlahan. Alternatifnya ialah menggunakan kaedah Newton untuk menyongsangkan ke dalam fungsi eksponen yang sirinya menumpu lebih cepat.

Alternatif untuk sangat ketepatan tinggi pengiraan ialah formula:

di mana M menandakan purata aritmetik-geometri 1 dan 4/s, dan

m dipilih supaya hlm markah ketepatan dicapai. (Dalam kebanyakan kes, nilai 8 untuk m adalah mencukupi.) Malah, jika kaedah ini digunakan, songsangan Newton bagi logaritma asli boleh digunakan untuk mengira fungsi eksponen dengan cekap. (Pemalar ln 2 dan pi boleh dikira terlebih dahulu mengikut ketepatan yang diingini menggunakan mana-mana siri penumpuan cepat yang diketahui.)

Kerumitan pengiraan

Kerumitan pengiraan logaritma semula jadi (menggunakan min aritmetik-geometrik) ialah O( M(n)ln n). Di sini n ialah bilangan digit ketepatan yang mana logaritma asli mesti dinilai, dan M(n) ialah kerumitan pengiraan untuk mendarab dua n-digit nombor.

pecahan bersambung

Walaupun tidak ada pecahan berterusan mudah untuk mewakili logaritma, beberapa pecahan berterusan umum boleh digunakan, termasuk:

Logaritma kompleks

Fungsi eksponen boleh dilanjutkan kepada fungsi yang memberikan nombor kompleks bentuk e x untuk sebarang nombor kompleks arbitrari x, dalam kes ini siri tak terhingga dengan kompleks x. ini fungsi eksponen boleh diterbalikkan untuk membentuk logaritma kompleks, yang akan mempunyai kebanyakannya sifat logaritma biasa. Walau bagaimanapun, terdapat dua kesukaran: tidak ada x, yang mana e x= 0, dan ternyata itu e 2πi = 1 = e 0 . Oleh kerana sifat multiplikativiti adalah sah untuk fungsi eksponen yang kompleks, maka e z = e z+2nπi untuk semua kompleks z dan keseluruhan n.

Logaritma tidak boleh ditakrifkan ke atas keseluruhan satah kompleks, dan walaupun begitu ia berbilang nilai - sebarang logaritma kompleks boleh digantikan dengan logaritma "setara" dengan menambah sebarang gandaan integer 2 πi. Logaritma kompleks hanya boleh dinilai tunggal pada sekeping satah kompleks. Contohnya, ln i = 1/2 πi atau 5/2 πi atau −3/2 πi, dsb., dan walaupun i 4 = 1.4 log i boleh ditakrifkan sebagai 2 πi, atau 10 πi atau −6 πi, dan seterusnya.

Lihat juga

John Napier - pencipta logaritma

Nota

Matematik untuk kimia fizikal. - ke-3. - Akhbar Akademik, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Petikan muka surat 9
JJ O"Connor dan EF Robertson Nombor e. Arkib Sejarah Matematik MacTutor (September 2001). Diarkibkan
Cajori Florian A History of Mathematics, ed ke-5. - Kedai Buku AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
Flashman, Martin Menganggar Kamiran menggunakan Polinomial. Diarkibkan daripada yang asal pada 12 Februari 2012.

Sifat asas logaritma asli, graf, domain definisi, set nilai, formula asas, terbitan, kamiran, pengembangan dalam siri kuasa dan perwakilan fungsi ln x menggunakan nombor kompleks.

Definisi

Logaritma semula jadi ialah fungsi y = ln x, songsangan bagi eksponen, x = e y, dan ialah logaritma kepada asas nombor e: ln x = log e x.

Logaritma asli digunakan secara meluas dalam matematik kerana terbitannya mempunyai bentuk termudah: (ln x)′ = 1/ x.

berdasarkan takrifan, asas logaritma asli ialah nombor e:
e ≅ 2.718281828459045...;
.

Graf bagi fungsi y = ln x.

Graf logaritma asli (fungsi y = ln x) diperoleh daripada graf eksponen melalui pantulan cermin berbanding garis lurus y = x.

Logaritma asli ditakrifkan untuk nilai positif pembolehubah x.

Ia meningkat secara monotoni dalam domain definisinya. 0 Pada x →

had logaritma asli ialah tolak infiniti (-∞). Sebagai x → + ∞, had logaritma asli ialah campur infiniti (+ ∞). Untuk x besar, logaritma meningkat agak perlahan. mana-mana fungsi kuasa

x a dengan eksponen positif a berkembang lebih cepat daripada logaritma.

Sifat logaritma semula jadi

Domain definisi, set nilai, ekstrem, peningkatan, penurunan Logaritma semula jadi ialah fungsi yang meningkat secara monoton, jadi ia tidak mempunyai ekstrem. Sifat asas

logaritma asli dibentangkan dalam jadual.

ln nilai x

ln 1 = 0

Formula asas untuk logaritma semula jadi

Formula berikut daripada takrifan fungsi songsang:

Sifat utama logaritma dan akibatnya

Formula penggantian asas

Mana-mana logaritma boleh dinyatakan dalam sebutan logaritma asli menggunakan formula penggantian asas:

Bukti formula ini dibentangkan dalam bahagian "Logaritma".

Fungsi songsang

Songsangan logaritma asli ialah eksponen.

Jika , maka

Jika, maka.

Terbitan ln x
.
Terbitan logaritma asli:
.
Terbitan logaritma asli modulus x:
.
Terbitan urutan ke-n:

Rumus terbitan > > >

kamiran
.
Kamiran dikira dengan pengamiran mengikut bahagian:

Jadi,

Ungkapan menggunakan nombor kompleks
.
Pertimbangkan fungsi pembolehubah kompleks z: z Mari kita nyatakan pembolehubah kompleks melalui modul r φ :
.
dan hujah
.
Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita mempunyai:
.
Ataupun
Hujah φ tidak ditakrifkan secara unik. Jika anda meletakkan
, dengan n ialah integer,

ia akan menjadi nombor yang sama untuk n yang berbeza.

Pengembangan siri kuasa

Apabila pengembangan berlaku:

Sastera terpakai:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Panduan matematik untuk jurutera dan pelajar kolej, "Lan", 2009.