Vektor yang manakah dipanggil unit. Vektor: definisi dan konsep asas

Konsep seperti vektor dianggap dalam hampir semua sains semula jadi, dan ia boleh mempunyai makna yang sama sekali berbeza, jadi adalah mustahil untuk memberikan definisi vektor yang tidak jelas untuk semua kawasan. Tetapi mari kita cuba memikirkannya. Jadi, vektor - apakah itu?

Konsep vektor dalam geometri klasik

Vektor dalam geometri ialah segmen yang mana titiknya ditunjukkan sebagai permulaan dan yang mana penghujungnya. Maksudnya, secara ringkasnya, segmen terarah dipanggil vektor.

Oleh itu, vektor ditunjukkan (apa itu - dibincangkan di atas), serta segmen, iaitu, dua huruf besar abjad Latin dengan penambahan garis atau anak panah menunjuk ke kanan di atas. Ia juga boleh ditandatangani dengan huruf kecil (kecil) abjad Latin dengan sempang atau anak panah. Anak panah sentiasa menunjuk ke kanan dan tidak berubah bergantung pada kedudukan vektor.

Jadi vektor mempunyai arah dan panjang.

Penetapan vektor juga mengandungi arahnya. Ini dinyatakan seperti yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Menukar arah membalikkan nilai vektor.

Panjang vektor ialah panjang segmen dari mana ia terbentuk. Ia ditetapkan sebagai modul daripada vektor. Ini ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Oleh itu, sifar ialah vektor yang panjangnya sama dengan sifar. Ia berikutan daripada ini bahawa vektor sifar adalah titik, lebih-lebih lagi, titik permulaan dan akhir bertepatan di dalamnya.

Panjang vektor sentiasa nilai bukan negatif. Dengan kata lain, jika terdapat segmen, maka ia semestinya mempunyai panjang tertentu atau titik, maka panjangnya adalah sifar.

Konsep sesuatu titik adalah asas dan tidak mempunyai definisi.

Penambahan vektor

Terdapat formula dan peraturan khas untuk vektor yang boleh digunakan untuk melakukan penambahan.

Peraturan segi tiga. Untuk menambah vektor mengikut peraturan ini, sudah cukup untuk menggabungkan penghujung vektor pertama dan permulaan yang kedua, menggunakan terjemahan selari, dan menyambungkannya. Vektor ketiga yang terhasil akan sama dengan penambahan dua yang lain.

peraturan selari. Untuk menambah mengikut peraturan ini, anda perlu melukis kedua-dua vektor dari satu titik, dan kemudian melukis vektor lain dari hujung setiap satu. Iaitu, yang kedua akan diambil dari yang pertama, dan yang pertama dari yang kedua. Akibatnya, titik persilangan baru akan diperoleh dan segi empat selari akan terbentuk. Jika kita menggabungkan titik persilangan permulaan dan penghujung vektor, maka vektor yang terhasil akan menjadi hasil penambahan.

Begitu juga, adalah mungkin untuk melakukan penolakan.

Perbezaan vektor

Begitu juga dengan penambahan vektor, adalah mungkin untuk melakukan penolakan mereka. Ia berdasarkan prinsip yang ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Iaitu, cukup untuk mewakili vektor untuk ditolak sebagai vektor yang bertentangan dengannya, dan untuk mengira mengikut prinsip penambahan.

Juga, benar-benar mana-mana vektor bukan sifar boleh didarab dengan sebarang nombor k, ini akan mengubah panjangnya dengan k kali.

Sebagai tambahan kepada ini, terdapat formula vektor lain (contohnya, untuk menyatakan panjang vektor dari segi koordinatnya).

Lokasi vektor

Pasti ramai yang telah menemui konsep seperti vektor kolinear. Apakah kolineariti?

Kolineariti vektor adalah bersamaan dengan keselarian garis lurus. Jika dua vektor terletak pada garisan yang selari antara satu sama lain, atau pada garis yang sama, maka vektor tersebut dipanggil kolinear.

Arah. Relatif antara satu sama lain, vektor kolinear boleh diarahkan bersama atau bertentangan, ini ditentukan oleh arah vektor. Oleh itu, jika vektor diarahkan bersama dengan yang lain, maka vektor yang bertentangan dengannya diarahkan secara bertentangan.

Rajah pertama menunjukkan dua vektor berarah bertentangan dan yang ketiga yang tidak sejajar dengannya.

Selepas memperkenalkan sifat di atas, ia juga mungkin untuk menentukan vektor yang sama - ini adalah vektor yang diarahkan ke arah yang sama dan mempunyai panjang segmen yang sama dari mana ia terbentuk.

Dalam banyak sains, konsep vektor jejari juga digunakan. Vektor sedemikian menerangkan kedudukan satu titik satah berbanding dengan titik tetap yang lain (selalunya ini adalah asal).

Vektor dalam fizik

Mari kita anggap bahawa apabila menyelesaikan masalah, keadaan timbul: badan bergerak pada kelajuan 3 m/s. Ini bermakna badan bergerak dengan arah tertentu dalam satu garis lurus, jadi pembolehubah ini akan menjadi kuantiti vektor. Untuk menyelesaikannya, adalah penting untuk mengetahui kedua-dua nilai dan arah, kerana bergantung kepada pertimbangan, kelajuan boleh sama ada 3 m/s atau -3 m/s.

Secara umum, vektor dalam fizik digunakan untuk menunjukkan arah daya yang bertindak ke atas jasad, dan untuk menentukan paduan.

Apabila daya ini ditunjukkan dalam rajah, ia ditunjukkan oleh anak panah dengan label vektor di atasnya. Secara klasik, panjang anak panah adalah sama pentingnya, dengan bantuannya mereka menunjukkan daya mana yang lebih kuat, tetapi harta ini adalah sekunder, anda tidak boleh bergantung padanya.

Vektor dalam algebra linear dan kalkulus

Unsur-unsur ruang linear juga dipanggil vektor, tetapi dalam kes ini ia adalah sistem nombor tersusun yang menerangkan beberapa unsur. Oleh itu, hala tuju dalam kes ini tidak lagi penting. Takrif vektor dalam geometri klasik dan dalam analisis matematik adalah sangat berbeza.

Unjuran vektor

Vektor yang diunjurkan - apakah itu?

Selalunya, untuk pengiraan yang betul dan mudah, adalah perlu untuk menguraikan vektor yang terletak dalam ruang dua dimensi atau tiga dimensi di sepanjang paksi koordinat. Operasi ini diperlukan, sebagai contoh, dalam mekanik apabila mengira daya yang bertindak pada badan. Vektor dalam fizik digunakan agak kerap.

Untuk melakukan unjuran, cukup untuk menurunkan serenjang dari awal dan akhir vektor ke setiap paksi koordinat, segmen yang diperoleh padanya akan dipanggil unjuran vektor ke paksi.

Untuk mengira panjang unjuran, cukup untuk mendarabkan panjang awalnya dengan fungsi trigonometri tertentu, yang diperoleh dengan menyelesaikan masalah mini. Malah, terdapat segi tiga tegak di mana hipotenus adalah vektor asal, satu daripada kaki adalah unjuran, dan kaki yang lain adalah serenjang yang jatuh.

Akhirnya, saya mendapat topik yang luas dan lama ditunggu-tunggu geometri analisis. Pertama, sedikit tentang bahagian matematik tinggi ini…. Pasti anda kini mengingati kursus geometri sekolah dengan pelbagai teorem, bukti, lukisan, dsb. Perkara yang perlu disembunyikan, subjek yang tidak digemari dan sering dikaburkan untuk sebahagian besar pelajar. Geometri analitik, anehnya, mungkin kelihatan lebih menarik dan boleh diakses. Apakah maksud kata sifat "analitik"? Dua giliran matematik yang dicop serta-merta muncul di fikiran: "kaedah penyelesaian grafik" dan "kaedah penyelesaian analitik". Kaedah grafik, sudah tentu, dikaitkan dengan pembinaan graf, lukisan. Analitikal sama kaedah melibatkan penyelesaian masalah sebahagian besarnya melalui operasi algebra. Dalam hal ini, algoritma untuk menyelesaikan hampir semua masalah geometri analitik adalah mudah dan telus, selalunya cukup untuk menggunakan formula yang diperlukan dengan tepat - dan jawapannya sudah sedia! Tidak, sudah tentu, ia tidak akan dilakukan tanpa lukisan sama sekali, selain itu, untuk pemahaman yang lebih baik tentang bahan, saya akan cuba membawanya melebihi keperluan.

Kursus terbuka pelajaran dalam geometri tidak mendakwa sebagai kesempurnaan teori, ia memberi tumpuan kepada menyelesaikan masalah praktikal. Saya akan masukkan dalam kuliah saya hanya apa, dari sudut pandangan saya, yang penting dari segi praktikal. Jika anda memerlukan rujukan yang lebih lengkap tentang mana-mana subseksyen, saya mengesyorkan literatur yang agak mudah diakses berikut:

1) Perkara yang, bukan jenaka, biasa kepada beberapa generasi: Buku teks sekolah tentang geometri, penulis - L.S. Atanasyan dan Syarikat. Penyangkut bilik persalinan sekolah ini telah pun bertahan 20 (!) keluaran semula, yang sememangnya bukan hadnya.

2) Geometri dalam 2 jilid. Penulis L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Ini adalah sastera untuk pendidikan tinggi, anda perlukan jilid pertama. Tugas yang jarang berlaku mungkin terkeluar dari bidang penglihatan saya, dan tutorial akan membantu yang tidak ternilai.

Kedua-dua buku ini percuma untuk dimuat turun dalam talian. Di samping itu, anda boleh menggunakan arkib saya dengan penyelesaian siap sedia, yang boleh didapati di halaman Muat turun contoh matematik yang lebih tinggi.

Daripada alatan itu, saya sekali lagi menawarkan pembangunan saya sendiri - pakej perisian pada geometri analitik, yang akan memudahkan kehidupan dan menjimatkan banyak masa.

Diandaikan bahawa pembaca sudah biasa dengan konsep dan angka geometri asas: titik, garis, satah, segi tiga, segi empat selari, selari, kubus, dll. Adalah dinasihatkan untuk mengingati beberapa teorem, sekurang-kurangnya teorem Pythagoras, hello pengulang)

Dan sekarang kita akan mempertimbangkan secara berurutan: konsep vektor, tindakan dengan vektor, koordinat vektor. Selanjutnya saya mengesyorkan membaca artikel yang paling penting Hasil darab titik bagi vektor, serta Vektor dan hasil campuran vektor. Tugas tempatan tidak akan berlebihan - Pembahagian segmen dalam hal ini. Berdasarkan maklumat di atas, anda boleh persamaan garis lurus dalam satah Dengan contoh penyelesaian yang paling mudah, yang akan membolehkan belajar cara menyelesaikan masalah dalam geometri. Artikel berikut juga berguna: Persamaan satah di angkasa, Persamaan garis lurus dalam ruang, Masalah asas pada talian dan satah , bahagian lain geometri analitik. Sememangnya, tugas standard akan dipertimbangkan sepanjang perjalanan.

Konsep vektor. vektor percuma

Mula-mula, mari kita ulang definisi sekolah bagi vektor. vektor dipanggil diarahkan segmen yang mana permulaan dan penghujungnya ditunjukkan:

Dalam kes ini, permulaan segmen ialah titik , penghujung segmen ialah titik . Vektor itu sendiri dilambangkan dengan . Arah adalah penting, jika anda menyusun semula anak panah ke hujung segmen yang lain, anda mendapat vektor, dan ini sudah pun vektor yang berbeza sama sekali. Adalah mudah untuk mengenal pasti konsep vektor dengan pergerakan badan fizikal: anda mesti mengakui bahawa memasuki pintu institut atau meninggalkan pintu institut adalah perkara yang sama sekali berbeza.

Adalah mudah untuk mempertimbangkan titik individu satah, ruang seperti yang dipanggil vektor sifar. Vektor sedemikian mempunyai hujung dan permulaan yang sama.

!!! Catatan: Di sini dan di bawah, anda boleh menganggap bahawa vektor terletak pada satah yang sama atau anda boleh menganggap bahawa ia terletak di angkasa - intipati bahan yang dibentangkan adalah sah untuk kedua-dua satah dan ruang.

Jawatan: Ramai segera menarik perhatian kepada kayu tanpa anak panah dalam sebutan dan mengatakan bahawa mereka juga meletakkan anak panah di bahagian atas! Betul, anda boleh menulis dengan anak panah: , tetapi boleh diterima dan rekod yang akan saya gunakan nanti. kenapa? Nampaknya, tabiat seperti itu telah berkembang dari pertimbangan praktikal, penembak saya di sekolah dan universiti ternyata terlalu pelbagai dan berbulu. Dalam kesusasteraan pendidikan, kadang-kadang mereka tidak peduli dengan cuneiform sama sekali, tetapi menyerlahkan huruf dalam huruf tebal: , dengan itu membayangkan bahawa ini adalah vektor.

Itulah gayanya, dan sekarang tentang cara menulis vektor:

1) Vektor boleh ditulis dalam dua huruf Latin besar:
dan sebagainya. Manakala huruf pertama semestinya menandakan titik permulaan vektor, dan huruf kedua menandakan titik akhir vektor.

2) Vektor juga ditulis dalam huruf Latin kecil:
Khususnya, vektor kami boleh direka bentuk semula untuk ringkas dengan huruf Latin kecil .

Panjang atau modul vektor bukan sifar dipanggil panjang segmen. Panjang vektor nol ialah sifar. Secara logiknya.

Panjang vektor dilambangkan dengan tanda modulo: ,

Bagaimana untuk mencari panjang vektor, kita akan belajar (atau ulangi, untuk siapa bagaimana) sedikit kemudian.

Itu adalah maklumat asas tentang vektor, biasa kepada semua pelajar sekolah. Dalam geometri analitik, apa yang dipanggil vektor percuma.

Jika ia agak mudah - vektor boleh dilukis dari mana-mana titik:

Kami biasa memanggil vektor tersebut sama (takrif vektor yang sama akan diberikan di bawah), tetapi dari sudut pandangan matematik semata-mata, ini adalah VEKTOR SAMA atau vektor percuma. Kenapa percuma? Kerana semasa menyelesaikan masalah, anda boleh "melampirkan" satu atau satu lagi vektor ke MANA-MANA ​​titik pesawat atau ruang yang anda perlukan. Ini adalah hartanah yang sangat keren! Bayangkan vektor dengan panjang dan arah yang sewenang-wenangnya - ia boleh "diklon" beberapa kali tidak terhingga dan pada mana-mana titik di angkasa, sebenarnya, ia wujud DI MANA-MANA. Pepatah pelajar begini: Setiap pensyarah dalam f ** u dalam vektor. Lagipun, bukan sahaja sajak lucu, semuanya betul secara matematik - vektor boleh dilampirkan di sana juga. Tetapi jangan tergesa-gesa untuk bergembira, pelajar sendiri lebih kerap menderita =)

Jadi, vektor percuma- ini adalah banyak segmen arah yang sama. Takrif sekolah bagi vektor, diberikan pada permulaan perenggan: "Segmen terarah dipanggil vektor ...", membayangkan khusus segmen terarah yang diambil daripada set tertentu, yang dilekatkan pada titik tertentu dalam satah atau ruang.

Perlu diingatkan bahawa dari sudut pandangan fizik, konsep vektor bebas secara amnya tidak betul, dan titik aplikasi vektor itu penting. Sesungguhnya, pukulan langsung dengan kekuatan yang sama pada hidung atau di dahi sudah cukup untuk membangunkan contoh bodoh saya memerlukan akibat yang berbeza. Walau bagaimanapun, bukan percuma vektor juga terdapat dalam perjalanan vyshmat (jangan pergi ke sana :)).

Tindakan dengan vektor. Kolineariti vektor

Dalam kursus geometri sekolah, beberapa tindakan dan peraturan dengan vektor dipertimbangkan: penambahan mengikut peraturan segi tiga, penambahan mengikut peraturan selari, peraturan perbezaan vektor, pendaraban vektor dengan nombor, hasil darab skalar vektor, dsb. Sebagai benih, kami mengulangi dua peraturan yang sangat relevan untuk menyelesaikan masalah geometri analitik.

Peraturan penambahan vektor mengikut peraturan segi tiga

Pertimbangkan dua vektor bukan sifar arbitrari dan :

Ia diperlukan untuk mencari jumlah vektor ini. Disebabkan fakta bahawa semua vektor dianggap percuma, kami menangguhkan vektor daripada tamat vektor :

Jumlah vektor ialah vektor . Untuk pemahaman yang lebih baik tentang peraturan, adalah dinasihatkan untuk meletakkan makna fizikal ke dalamnya: biarkan beberapa badan membuat laluan di sepanjang vektor , dan kemudian di sepanjang vektor . Kemudian jumlah vektor ialah vektor laluan yang terhasil bermula pada titik berlepas dan berakhir pada titik ketibaan. Peraturan serupa dirumuskan untuk jumlah sebarang bilangan vektor. Seperti yang mereka katakan, badan boleh bergerak secara zigzag, atau mungkin secara autopilot - sepanjang vektor jumlah yang terhasil.

Dengan cara ini, jika vektor ditangguhkan daripada mulakan vector , maka kita mendapat yang setara peraturan selari penambahan vektor.

Pertama, mengenai kolineariti vektor. Kedua-dua vektor itu dipanggil kolinear jika mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari. Secara kasarnya, kita bercakap tentang vektor selari. Tetapi berhubung dengan mereka, kata sifat "kolinear" selalu digunakan.

Bayangkan dua vektor kolinear. Jika anak panah vektor ini diarahkan ke arah yang sama, maka vektor tersebut dipanggil arah bersama. Jika anak panah melihat ke arah yang berbeza, maka vektor akan menjadi berlawanan arah.

Jawatan: kolineariti vektor ditulis dengan ikon selari biasa: , manakala perincian adalah mungkin: (vektor diarahkan bersama) atau (vektor diarahkan secara bertentangan).

kerja bagi vektor bukan sifar dengan nombor ialah vektor yang panjangnya sama dengan , dan vektor dan diarahkan bersama dan bertentangan dengan .

Peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor lebih mudah difahami dengan gambar:

Kami memahami dengan lebih terperinci:

1) Arah. Jika pengganda adalah negatif, maka vektor bertukar arah ke sebaliknya.

2) Panjang. Jika faktor terkandung dalam atau , maka panjang vektor berkurangan. Jadi, panjang vektor adalah dua kali kurang daripada panjang vektor. Jika pengganda modulo lebih besar daripada satu, maka panjang vektor bertambah dalam masa.

3) Sila ambil perhatian bahawa semua vektor adalah kolinear, manakala satu vektor dinyatakan melalui yang lain, sebagai contoh, . Begitu juga sebaliknya: jika satu vektor boleh dinyatakan dalam sebutan yang lain, maka vektor tersebut semestinya kolinear. Dengan cara ini: jika kita mendarab vektor dengan nombor, kita mendapat kolinear(berbanding dengan asal) vektor.

4) Vektor adalah kodirectional. Vektor dan juga kodirectional. Mana-mana vektor kumpulan pertama adalah bertentangan dengan mana-mana vektor kumpulan kedua.

Apakah vektor yang sama?

Dua vektor adalah sama jika ia adalah kodirectional dan mempunyai panjang yang sama. Ambil perhatian bahawa arahan bersama membayangkan bahawa vektor adalah kolinear. Takrifan akan menjadi tidak tepat (berlebihan) jika anda berkata: "Dua vektor adalah sama jika ia adalah kolinear, diarahkan bersama dan mempunyai panjang yang sama."

Dari sudut pandangan konsep vektor bebas, vektor yang sama adalah vektor yang sama, yang telah dibincangkan dalam perenggan sebelumnya.

Koordinat vektor pada satah dan di angkasa

Perkara pertama ialah mempertimbangkan vektor pada satah. Lukiskan sistem koordinat segi empat tepat Cartesan dan ketepikan daripada asalan bujang vektor dan:

Vektor dan ortogon. Ortogonal = Serenjang. Saya mengesyorkan perlahan-lahan membiasakan diri dengan istilah: bukannya selari dan berserenjang, kami menggunakan perkataan masing-masing kolineariti dan ortogonal.

Jawatan: keortogonan vektor ditulis dengan tanda serenjang biasa, contohnya: .

Vektor yang dipertimbangkan dipanggil vektor koordinat atau orts. Vektor ini terbentuk asas di permukaan. Apakah asasnya, saya fikir, secara intuitif jelas kepada ramai, maklumat yang lebih terperinci boleh didapati dalam artikel Kebergantungan linear (bukan) vektor. Asas vektor.Dalam perkataan mudah, asas dan asal usul koordinat menentukan keseluruhan sistem - ini adalah sejenis asas di mana kehidupan geometri yang penuh dan kaya mendidih.

Kadang-kadang asas yang dibina dipanggil ortonormal asas satah: "ortho" - kerana vektor koordinat adalah ortogon, kata sifat "dinormalkan" bermaksud unit, i.e. panjang vektor asas adalah sama dengan satu.

Jawatan: asasnya biasanya ditulis dalam kurungan, di dalamnya dalam susunan yang ketat vektor asas disenaraikan, contohnya: . vektor koordinat ia adalah dilarang bertukar tempat.

mana-mana vektor pesawat satu-satunya cara dinyatakan sebagai:
, di mana - nombor, yang dipanggil koordinat vektor dalam asas ini. Tetapi ungkapan itu sendiri dipanggil penguraian vektorasas .

Makan malam dihidangkan:

Mari kita mulakan dengan huruf pertama abjad: . Lukisan jelas menunjukkan bahawa apabila mengurai vektor dari segi asas, yang baru dipertimbangkan digunakan:
1) peraturan pendaraban vektor dengan nombor: dan ;
2) penambahan vektor mengikut peraturan segitiga: .

Sekarang secara mental ketepikan vektor dari mana-mana titik lain pada pesawat. Agak jelas bahawa rasuahnya akan "mengikutnya tanpa henti." Inilah dia, kebebasan vektor - vektor "membawa segala-galanya dengan anda." Sifat ini, sudah tentu, adalah benar untuk mana-mana vektor. Sungguh melucukan bahawa vektor asas (percuma) itu sendiri tidak perlu diketepikan daripada asal, satu boleh dilukis, sebagai contoh, di bahagian bawah kiri, dan yang lain di bahagian atas sebelah kanan, dan tiada apa yang akan berubah daripada ini! Benar, anda tidak perlu melakukan ini, kerana guru juga akan menunjukkan keaslian dan menarik anda "lulus" di tempat yang tidak dijangka.

Vektor , menggambarkan dengan tepat peraturan untuk mendarab vektor dengan nombor, vektor diarahkan bersama dengan vektor asas, vektor diarahkan bertentangan dengan vektor asas. Untuk vektor ini, salah satu koordinat adalah sama dengan sifar, ia boleh ditulis dengan teliti seperti berikut:


Dan vektor asas, dengan cara ini, adalah seperti ini: (sebenarnya, mereka dinyatakan melalui diri mereka sendiri).

Dan akhirnya: , . Ngomong-ngomong, apakah penolakan vektor, dan mengapa saya tidak memberitahu anda tentang peraturan penolakan? Di suatu tempat dalam algebra linear, saya tidak ingat di mana, saya perhatikan bahawa penolakan ialah kes penambahan khas. Jadi, pengembangan vektor "de" dan "e" ditulis dengan tenang sebagai jumlah: . Susun semula istilah di tempat dan ikuti lukisan betapa jelasnya penambahan vektor lama yang baik mengikut peraturan segi tiga berfungsi dalam situasi ini.

Dianggap penguraian bentuk kadang-kadang dipanggil penguraian vektor dalam ort sistem(iaitu dalam sistem vektor unit). Tetapi ini bukan satu-satunya cara untuk menulis vektor, pilihan berikut adalah perkara biasa:

Atau dengan tanda yang sama:

Vektor asas itu sendiri ditulis seperti berikut: dan

Iaitu, koordinat vektor ditunjukkan dalam kurungan. Dalam tugas praktikal, ketiga-tiga pilihan rakaman digunakan.

Saya ragu-ragu sama ada untuk bercakap, tetapi saya tetap akan berkata: koordinat vektor tidak boleh disusun semula. Tegas di tempat pertama tuliskan koordinat yang sepadan dengan vektor unit, ketat di tempat kedua tuliskan koordinat yang sepadan dengan vektor unit . Sesungguhnya, dan adalah dua vektor yang berbeza.

Kami mengetahui koordinat di dalam pesawat. Sekarang pertimbangkan vektor dalam ruang tiga dimensi, semuanya hampir sama di sini! Hanya satu lagi koordinat akan ditambah. Sukar untuk melakukan lukisan tiga dimensi, jadi saya akan mengehadkan diri saya kepada satu vektor, yang untuk kesederhanaan saya akan menangguhkan dari asal:

mana-mana vektor ruang 3d satu-satunya cara berkembang secara ortonormal:
, di manakah koordinat bagi vektor (nombor) dalam asas yang diberikan.

Contoh dari gambar: . Mari lihat cara peraturan tindakan vektor berfungsi di sini. Pertama, mendarabkan vektor dengan nombor: (anak panah merah), (anak panah hijau) dan (anak panah magenta). Kedua, berikut ialah contoh menambah beberapa, dalam kes ini tiga, vektor: . Vektor jumlah bermula pada titik permulaan berlepas (permulaan vektor ) dan berakhir pada titik ketibaan akhir (penghujung vektor ).

Semua vektor ruang tiga dimensi, tentu saja, juga bebas, cuba menangguhkan vektor secara mental dari mana-mana titik lain, dan anda akan memahami bahawa pengembangannya "kekal bersamanya."

Begitu juga dengan kes kapal terbang, selain menulis versi dengan kurungan digunakan secara meluas: sama ada .

Jika satu (atau dua) vektor koordinat hilang dalam pengembangan, maka sifar diletakkan sebagai gantinya. Contoh:
vektor (dengan teliti ) - menulis ;
vektor (dengan teliti ) - menulis ;
vektor (dengan teliti ) - menulis .

Vektor asas ditulis seperti berikut:

Di sini, mungkin, adalah semua pengetahuan teoretikal minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah geometri analitik. Mungkin terdapat terlalu banyak istilah dan takrifan, jadi saya mengesyorkan dummies untuk membaca semula dan memahami maklumat ini sekali lagi. Dan ia akan berguna bagi mana-mana pembaca untuk merujuk kepada pelajaran asas dari semasa ke semasa untuk penyerapan bahan yang lebih baik. Kolineariti, ortogonal, asas ortonormal, penguraian vektor - ini dan konsep lain akan sering digunakan dalam perkara berikut. Saya perhatikan bahawa bahan tapak tidak mencukupi untuk lulus ujian teori, kolokium mengenai geometri, kerana saya berhati-hati menyandikan semua teorem (selain tanpa bukti) - menjejaskan gaya persembahan saintifik, tetapi tambah untuk pemahaman anda daripada subjek. Untuk maklumat teori yang terperinci, saya meminta anda untuk tunduk kepada Profesor Atanasyan.

Sekarang mari kita beralih ke bahagian praktikal:

Masalah paling mudah bagi geometri analitik.
Tindakan dengan vektor dalam koordinat

Tugas yang akan dipertimbangkan, adalah sangat wajar untuk mempelajari cara menyelesaikannya sepenuhnya secara automatik, dan formula hafal, jangan ingat dengan sengaja, mereka akan ingat sendiri =) Ini sangat penting, kerana masalah geometri analitik yang lain adalah berdasarkan contoh asas yang paling mudah, dan ia akan menjengkelkan untuk menghabiskan masa tambahan makan bidak. Anda tidak perlu mengikat butang atas pada baju anda, banyak perkara yang anda biasa dari sekolah.

Penyampaian bahan akan mengikuti kursus selari - baik untuk pesawat dan untuk ruang angkasa. Atas sebab semua formula ... anda akan lihat sendiri.

Bagaimana untuk mencari vektor yang diberi dua mata?

Jika dua titik satah dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut:

Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka vektor mempunyai koordinat berikut:

Itu dia, daripada koordinat hujung vektor anda perlu menolak koordinat yang sepadan permulaan vektor.

Senaman: Untuk titik yang sama, tuliskan formula untuk mencari koordinat vektor. Formula pada akhir pelajaran.

Contoh 1

Diberi dua titik dalam satah dan . Cari koordinat vektor

Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:

Sebagai alternatif, notasi berikut boleh digunakan:

Aesthetes akan membuat keputusan seperti ini:

Secara peribadi, saya sudah biasa dengan versi pertama rekod.

Jawapan:

Mengikut syarat, ia tidak diperlukan untuk membina lukisan (yang tipikal untuk masalah geometri analitik), tetapi untuk menjelaskan beberapa perkara kepada dummies, saya tidak akan terlalu malas:

Mesti faham perbezaan antara koordinat titik dan koordinat vektor:

Koordinat titik ialah koordinat biasa dalam sistem koordinat segi empat tepat. Saya rasa semua orang tahu cara memplot mata pada satah koordinat sejak darjah 5-6. Setiap titik mempunyai tempat yang ketat di dalam pesawat, dan mereka tidak boleh dialihkan ke mana-mana.

Koordinat bagi vektor yang sama adalah pengembangannya berkenaan dengan asas, dalam kes ini. Mana-mana vektor adalah percuma, oleh itu, jika perlu, kita boleh menangguhkannya dengan mudah dari beberapa titik lain dalam pesawat. Menariknya, untuk vektor, anda tidak boleh membina paksi sama sekali, sistem koordinat segi empat tepat, anda hanya memerlukan asas, dalam kes ini, asas ortonormal pesawat.

Rekod koordinat titik dan koordinat vektor nampaknya serupa: , dan rasa koordinat secara mutlak berbeza, dan anda harus sedar tentang perbezaan ini. Perbezaan ini, tentu saja, juga berlaku untuk ruang.

Tuan-tuan dan puan-puan, kami mengisi tangan kami:

Contoh 2

a) Mata yang diberi dan . Cari vektor dan .
b) Mata diberi dan . Cari vektor dan .
c) Mata yang diberi dan . Cari vektor dan .
d) Mata diberi. Cari Vektor .

Mungkin cukup. Ini adalah contoh untuk keputusan bebas, cuba jangan mengabaikannya, ia akan membuahkan hasil ;-). Lukisan tidak diperlukan. Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Apakah yang penting dalam menyelesaikan masalah geometri analitik? Adalah penting untuk BERHATI-HATI untuk mengelakkan ralat "dua tambah dua sama dengan sifar" yang mahir. Saya minta maaf terlebih dahulu jika saya melakukan kesalahan =)

Bagaimana untuk mencari panjang segmen?

Panjang, seperti yang telah dinyatakan, ditunjukkan oleh tanda modulus.

Jika dua titik satah dan diberi, maka panjang segmen boleh dikira dengan formula

Jika dua titik dalam ruang dan diberi, maka panjang segmen boleh dikira dengan formula

Catatan: Formula akan kekal betul jika koordinat yang sepadan ditukar: dan , tetapi pilihan pertama adalah lebih standard

Contoh 3

Penyelesaian: mengikut formula yang sepadan:

Jawapan:

Untuk kejelasan, saya akan membuat lukisan

Segmen baris - ia bukan vektor, dan anda tidak boleh mengalihkannya ke mana-mana, sudah tentu. Di samping itu, jika anda melengkapkan lukisan mengikut skala: 1 unit. \u003d 1 cm (dua sel tetrad), maka jawapannya boleh disemak dengan pembaris biasa dengan mengukur panjang segmen secara langsung.

Ya, penyelesaiannya pendek, tetapi terdapat beberapa perkara penting di dalamnya yang ingin saya jelaskan:

Pertama, dalam jawapan kami menetapkan dimensi: "unit". Keadaan itu tidak menyatakan APA itu, milimeter, sentimeter, meter atau kilometer. Oleh itu, rumusan umum akan menjadi penyelesaian yang cekap secara matematik: "unit" - disingkat sebagai "unit".

Kedua, mari kita ulangi bahan sekolah, yang berguna bukan sahaja untuk masalah yang dipertimbangkan:

Beri perhatian kepada helah teknikal yang penting – mengeluarkan pengganda dari bawah akar. Hasil daripada pengiraan, kami mendapat keputusan dan gaya matematik yang baik melibatkan mengambil pengganda keluar dari bawah punca (jika boleh). Prosesnya kelihatan seperti ini dengan lebih terperinci: . Sudah tentu, meninggalkan jawapan dalam borang tidak akan menjadi satu kesilapan - tetapi ia pastinya adalah satu kelemahan dan hujah yang berat untuk mencungkil di pihak guru.

Berikut adalah kes biasa yang lain:

Selalunya bilangan yang cukup besar diperolehi di bawah akar, sebagai contoh. Bagaimana untuk berada dalam kes sedemikian? Pada kalkulator, kami menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagikan dengan 4:. Ya, pisahkan sepenuhnya, jadi: . Atau mungkin nombor itu boleh dibahagikan dengan 4 lagi? . Dengan cara ini: . Digit terakhir nombor adalah ganjil, jadi membahagikan dengan 4 untuk kali ketiga jelas tidak mungkin. Cuba bahagi dengan sembilan: . Akibatnya:
sedia.

Kesimpulan: jika di bawah akar kita mendapat nombor yang tidak boleh diekstrak sepenuhnya, maka kita cuba mengeluarkan faktor dari bawah akar - pada kalkulator kita menyemak sama ada nombor itu boleh dibahagikan dengan: 4, 9, 16, 25, 36, 49, dan lain-lain.

Dalam proses menyelesaikan pelbagai masalah, akar sering dijumpai, sentiasa cuba mengekstrak faktor dari bawah akar untuk mengelakkan skor yang lebih rendah dan masalah yang tidak perlu dengan memuktamadkan penyelesaian anda mengikut teguran guru.

Mari ulangi kuasa dua akar dan kuasa lain pada masa yang sama:

Peraturan untuk tindakan dengan darjah dalam bentuk umum boleh didapati dalam buku teks sekolah tentang algebra, tetapi saya fikir semuanya atau hampir semuanya sudah jelas daripada contoh yang diberikan.

Tugas untuk penyelesaian bebas dengan segmen dalam ruang:

Contoh 4

Mata diberi dan . Cari panjang ruas itu.

Penyelesaian dan jawapan pada akhir pelajaran.

Bagaimana untuk mencari panjang vektor?

Jika vektor satah diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula.

Jika vektor ruang diberikan, maka panjangnya dikira dengan formula .

VEKTOR
Dalam fizik dan matematik, vektor ialah kuantiti yang dicirikan oleh nilai berangka dan arahnya. Dalam fizik, terdapat banyak kuantiti penting yang merupakan vektor, seperti daya, kedudukan, kelajuan, pecutan, tork, momentum, medan elektrik dan magnet. Ia boleh dibezakan dengan kuantiti lain, seperti jisim, isipadu, tekanan, suhu dan ketumpatan, yang boleh diterangkan dengan nombor biasa, dan ia dipanggil "skalar". Notasi vektor digunakan apabila bekerja dengan kuantiti yang tidak dapat ditentukan sepenuhnya menggunakan nombor biasa. Sebagai contoh, kami ingin menerangkan kedudukan objek relatif kepada sesuatu titik. Kita boleh memberitahu berapa kilometer dari titik ke objek, tetapi kita tidak dapat menentukan lokasinya sepenuhnya sehingga kita mengetahui arah di mana ia berada. Oleh itu, lokasi objek dicirikan oleh nilai berangka (jarak dalam kilometer) dan arah. Secara grafik, vektor digambarkan sebagai segmen terarah bagi garis lurus dengan panjang tertentu, seperti dalam Rajah. 1. Sebagai contoh, untuk menggambarkan secara grafik daya lima kilogram, anda perlu melukis garis lurus lima unit panjang ke arah daya. Anak panah menunjukkan bahawa daya bertindak dari A ke B; jika daya bertindak dari B ke A, maka kita akan menulis atau Untuk kemudahan, vektor biasanya dilambangkan dengan huruf besar tebal (A, B, C, dan seterusnya); vektor A dan -A mempunyai nilai berangka yang sama, tetapi bertentangan arah. Nilai berangka bagi vektor A dipanggil modulus atau panjang dan dilambangkan dengan A atau |A|. Kuantiti ini, sudah tentu, skalar. Vektor yang permulaan dan penghujungnya bertepatan dipanggil vektor nol dan dilambangkan dengan O.

Dua vektor dipanggil sama (atau bebas) jika moduli dan arahnya adalah sama. Walau bagaimanapun, dalam mekanik dan fizik, takrifan ini mesti digunakan dengan berhati-hati, kerana dua daya yang sama digunakan pada titik yang berbeza pada badan biasanya akan membawa kepada keputusan yang berbeza. Dalam hal ini, vektor dibahagikan kepada "terpaut" atau "gelongsor", seperti berikut: Vektor terpaut mempunyai titik aplikasi tetap. Sebagai contoh, vektor jejari menunjukkan kedudukan titik relatif kepada beberapa asal tetap. Vektor berkaitan dianggap sama jika bukan sahaja ia mempunyai modul dan arah yang sama, tetapi ia juga mempunyai titik aplikasi yang sama. Vektor gelongsor ialah vektor sama yang terletak pada garis lurus yang sama.
Penambahan vektor. Idea penambahan vektor berasal dari fakta bahawa kita boleh mencari satu vektor yang mempunyai kesan yang sama seperti dua vektor lain bersama-sama. Jika, untuk sampai ke satu titik, kita perlu berjalan dahulu A kilometer ke satu arah dan kemudian B kilometer ke arah lain, maka kita boleh sampai ke titik akhir kita dengan berjalan C kilometer ke arah ketiga (Gamb. 2). Dalam pengertian ini, seseorang boleh mengatakan bahawa

A+B=C.
Vektor C dipanggil "vektor hasil" A dan B dan diberikan oleh binaan yang ditunjukkan dalam rajah; segi empat selari dibina pada vektor A dan B seperti pada sisi, dan C ialah pepenjuru yang menghubungkan permulaan A dan penghujung B. Daripada rajah. 2 dapat dilihat bahawa penambahan vektor adalah "commutative", i.e. A + B = B + A. Begitu juga, anda boleh menambah beberapa vektor dengan menyambungkannya secara bersiri dalam "rantai berterusan", seperti yang ditunjukkan dalam rajah. 3 untuk tiga vektor D, E, dan F. Daripada rajah. 3 juga menunjukkan bahawa

(D + E) + F = D + (E + F), i.e. penambahan vektor adalah bersekutu. Sebarang bilangan vektor boleh dijumlahkan, dan vektor tidak perlu terletak dalam satah yang sama. Menolak vektor diwakili sebagai menambah kepada vektor negatif. Sebagai contoh, A - B = A + (-B), di mana, seperti yang ditakrifkan sebelum ini, -B ialah vektor yang sama dengan B dalam nilai mutlak tetapi bertentangan arah. Peraturan penambahan ini kini boleh digunakan sebagai kriteria sebenar untuk menyemak sama ada beberapa kuantiti ialah vektor atau tidak. Pergerakan biasanya tertakluk kepada syarat peraturan ini; perkara yang sama boleh dikatakan mengenai kelajuan; daya bertambah dengan cara yang sama seperti yang dapat dilihat daripada "segi tiga daya". Walau bagaimanapun, beberapa kuantiti yang mempunyai kedua-dua nilai berangka dan arah tidak mematuhi peraturan ini, dan oleh itu tidak boleh dianggap sebagai vektor. Contohnya ialah putaran terhingga.
Mendarab vektor dengan skalar. Hasil darab mA atau Am, di mana m (m # 0) ialah skalar dan A ialah vektor bukan sifar, ditakrifkan sebagai vektor lain yang m kali lebih panjang daripada A dan mempunyai arah yang sama seperti A jika m adalah positif, dan sebaliknya jika m negatif, seperti ditunjukkan dalam Rajah. 4, dengan m ialah 2 dan -1/2, masing-masing. Di samping itu, 1A = A, i.e. apabila didarab dengan 1, vektor tidak berubah. Nilai -1A ialah vektor yang sama panjang dengan A tetapi bertentangan arah, biasanya ditulis sebagai -A. Jika A ialah vektor sifar dan (atau) m = 0, maka mA ialah vektor sifar. Pendaraban adalah pengagihan, i.e.

Kita boleh menambah sebarang bilangan vektor, dan susunan istilah tidak menjejaskan keputusan. Sebaliknya juga benar: mana-mana vektor diuraikan kepada dua atau lebih "komponen", i.e. menjadi dua atau lebih vektor yang, apabila ditambah bersama, akan memberikan vektor asal sebagai hasilnya. Sebagai contoh, dalam rajah. 2, A dan B ialah komponen C. Banyak operasi matematik dengan vektor dipermudahkan jika vektor diuraikan kepada tiga komponen dalam tiga arah yang saling berserenjang. Mari kita pilih sistem koordinat Cartesan yang betul dengan paksi Ox, Oy dan Oz seperti yang ditunjukkan dalam rajah. 5. Dengan sistem koordinat kanan, kami maksudkan bahawa paksi x, y dan z diletakkan sebagai ibu jari, telunjuk dan jari tengah tangan kanan, masing-masing, boleh diletakkan. Dari satu sistem koordinat kanan, selalu mungkin untuk mendapatkan sistem koordinat kanan yang lain dengan putaran yang sesuai. Pada rajah. 5 menunjukkan penguraian vektor A kepada tiga komponen dan Mereka menambah sehingga vektor A , kerana

Akibatnya,

Seseorang juga boleh terlebih dahulu menambah dan mendapatkan dan kemudian menambah kepada Unjuran vektor A pada tiga paksi koordinat, Ax, Ay dan Az yang dilambangkan dipanggil "komponen skalar" bagi vektor A:

di mana a, b dan g ialah sudut antara A dan tiga paksi koordinat. Sekarang kita memperkenalkan tiga unit vektor panjang i, j dan k (orths) yang mempunyai arah yang sama dengan paksi x, y dan z yang sepadan. Kemudian, jika Ax didarab dengan i, maka hasil darab yang terhasil ialah vektor bersamaan dengan dan

Dua vektor adalah sama jika dan hanya jika komponen skalar yang sepadan adalah sama. Oleh itu, A = B jika dan hanya jika Ax = Bx, Ay = By, Az = Bz. Dua vektor boleh ditambah dengan menambahkan komponennya:

Di samping itu, mengikut teorem Pythagoras:

Fungsi linear. Ungkapan aA + bB, di mana a dan b ialah skalar, dipanggil fungsi linear bagi vektor A dan B. Ini ialah vektor yang berada dalam satah yang sama dengan A dan B; jika A dan B tidak selari, maka apabila a dan b berubah, vektor aA + bB akan bergerak ke atas seluruh satah (Rajah 6). Jika A, B dan C tidak semuanya terletak pada satah yang sama, maka vektor aA + bB + cC (a, b dan c berubah) bergerak ke seluruh ruang. Katakan A, B dan C ialah vektor unit i, j dan k. Vektor ai terletak pada paksi-x; vektor ai + bj boleh bergerak sepanjang satah xy; vektor ai + bj + ck boleh bergerak ke seluruh ruang.

Seseorang boleh memilih empat vektor yang saling berserenjang i, j, k dan l dan mentakrifkan vektor empat dimensi sebagai kuantiti A = Axi + Ayj + Azk + Awl
dengan panjang

dan seseorang boleh meneruskan sehingga lima, enam, atau sebarang bilangan dimensi. Walaupun mustahil untuk mewakili vektor sedemikian secara visual, tiada kesukaran matematik di sini. Notasi sedemikian selalunya berguna; sebagai contoh, keadaan zarah yang bergerak diterangkan oleh vektor enam dimensi P (x, y, z, px, py, pz), yang komponennya ialah kedudukannya dalam ruang (x, y, z) dan momentum (px , py, pz). Ruang sedemikian dipanggil "ruang fasa"; jika kita menganggap dua zarah, maka ruang fasa adalah 12 dimensi, jika tiga, maka 18, dan seterusnya. Bilangan dimensi boleh ditingkatkan selama-lamanya; walau bagaimanapun, kuantiti yang akan kita hadapi berkelakuan dengan cara yang sama seperti yang akan kita pertimbangkan dalam artikel ini yang lain, iaitu, vektor tiga dimensi.
Pendaraban dua vektor. Peraturan penambahan vektor diperoleh dengan mengkaji tingkah laku kuantiti yang diwakili oleh vektor. Tidak ada sebab yang jelas mengapa dua vektor tidak boleh didarab dalam beberapa cara, tetapi pendaraban ini hanya akan masuk akal jika ia boleh ditunjukkan sebagai baik secara matematik; di samping itu, adalah wajar produk itu mempunyai makna fizikal tertentu. Terdapat dua cara untuk mendarab vektor yang memenuhi syarat ini. Hasil salah satu daripadanya ialah skalar, produk sedemikian dipanggil "hasil skalar" atau "hasil dalam" dua vektor dan ditulis ACHB atau (A, B). Hasil pendaraban lain ialah vektor yang dipanggil "hasil silang" atau "hasil luar" dan ditulis A*B atau []. Produk dot mempunyai makna fizikal untuk satu, dua atau tiga dimensi, manakala produk vektor hanya ditakrifkan untuk tiga dimensi.
Produk skalar. Jika, di bawah tindakan beberapa daya F, titik yang digunakan menggerakkan jarak r, maka kerja yang dilakukan adalah sama dengan hasil darab r dan komponen F dalam arah r. Komponen ini sama dengan F cos bF, rc, dengan bF, rc ialah sudut antara F dan r, i.e. Kerja selesai = Fr cos bF, rc. Ini adalah contoh justifikasi fizikal produk skalar yang ditakrifkan untuk mana-mana dua vektor A, B melalui formula
A*B = AB cos bA, Bs.
Oleh kerana semua kuantiti di sebelah kanan persamaan ialah skalar, maka A*B = B*A; oleh itu, pendaraban skalar adalah komutatif. Pendaraban skalar juga mempunyai sifat taburan: A*(B + C) = A*B + A*C. Jika vektor A dan B adalah berserenjang, maka cos bA, Bc adalah sama dengan sifar, dan, oleh itu, A*B = 0, walaupun A atau B tidak sama dengan sifar. Itulah sebabnya kita tidak boleh membahagi dengan vektor. Katakan kita membahagikan kedua-dua belah persamaan A*B = A*C dengan A. Ini akan memberikan B = C, dan jika pembahagian boleh dilakukan, maka kesamaan ini akan menjadi satu-satunya hasil yang mungkin. Walau bagaimanapun, jika kita menulis semula persamaan A*B = A*C sebagai A*(B - C) = 0 dan ingat bahawa (B - C) ialah vektor, maka jelas bahawa (B - C) tidak semestinya sifar dan, oleh itu B mestilah tidak sama dengan C. Keputusan yang bercanggah ini menunjukkan bahawa pembahagian vektor adalah mustahil. Hasil kali skalar memberikan cara lain untuk menulis nilai berangka (modulus) bagi vektor: A*A = AA*cos 0° = A2;
sebab tu

Hasil kali skalar juga boleh ditulis dengan cara lain. Untuk melakukan ini, ingat bahawa: A = Ax i + Ayj + Azk. perasan, itu

Kemudian,

Oleh kerana persamaan terakhir mengandungi x, y, dan z sebagai subskrip, persamaan itu nampaknya bergantung pada sistem koordinat tertentu yang dipilih. Walau bagaimanapun, ini tidak berlaku, seperti yang dapat dilihat dari definisi, yang tidak bergantung pada paksi koordinat yang dipilih.
Karya seni vektor. Vektor atau hasil darab luar vektor ialah vektor yang modulusnya sama dengan hasil darab modulinya dan sinus sudut berserenjang dengan vektor asal dan bersama-sama dengannya membentuk tiga kali ganda kanan. Produk ini paling mudah diperkenalkan dengan mempertimbangkan hubungan antara halaju dan halaju sudut. Yang pertama ialah vektor; kita kini akan menunjukkan bahawa yang terakhir juga boleh ditafsirkan sebagai vektor. Halaju sudut badan berputar ditentukan seperti berikut: pilih mana-mana titik pada jasad dan lukis serenjang dari titik ini ke paksi putaran. Maka halaju sudut jasad ialah bilangan radian yang telah diputarkan oleh garis ini per unit masa. Jika halaju sudut ialah vektor, ia mesti mempunyai nilai berangka dan arah. Nilai berangka dinyatakan dalam radian sesaat, arah boleh dipilih di sepanjang paksi putaran, ia boleh ditentukan dengan mengarahkan vektor ke arah di mana skru tangan kanan akan bergerak apabila berputar dengan badan. Pertimbangkan putaran jasad mengelilingi paksi tetap. Jika kita memasang paksi ini di dalam gelang, yang seterusnya dipasang pada paksi yang dimasukkan ke dalam gelang lain, kita boleh memberikan putaran kepada badan di dalam gelang pertama dengan halaju sudut w1 dan kemudian membuat gelang dalam (dan badan) berputar dengan halaju sudut w2. Rajah 7 menerangkan intipati perkara itu; anak panah bulat menunjukkan arah putaran. Jasad ini ialah sfera pepejal dengan pusat O dan jejari r.

nasi. 7. Sfera BERPUSAT O, berputar dengan halaju sudut w1 di dalam gelang BC, yang seterusnya berputar di dalam gelang DE dengan halaju sudut w2. Sfera berputar dengan halaju sudut sama dengan jumlah halaju sudut dan semua titik pada garis POP" berada dalam keadaan rehat seketika.

Mari kita berikan badan ini gerakan yang merupakan hasil tambah dua halaju sudut yang berbeza. Pergerakan ini agak sukar untuk digambarkan, tetapi agak jelas bahawa badan tidak lagi berputar pada paksi tetap. Walau bagaimanapun, anda masih boleh mengatakan bahawa ia berputar. Untuk menunjukkan ini, marilah kita memilih beberapa titik P pada permukaan badan, yang pada masa yang kita pertimbangkan terletak pada bulatan besar yang menghubungkan titik-titik di mana dua paksi bersilang dengan permukaan sfera. Mari kita jatuhkan serenjang dari P ke paksi. Serenjang ini masing-masing menjadi jejari PJ dan PK bagi bulatan PQRS dan PTUW. Mari kita lukis garis POPў melalui pusat sfera. Sekarang titik P, pada momen masa yang dipertimbangkan, serentak bergerak di sepanjang bulatan yang menyentuh pada titik P. Untuk selang masa yang kecil Dt, P bergerak ke satu jarak.

Jarak ini adalah sifar jika

Dalam kes ini, titik P berada dalam keadaan rehat serta-merta, dan begitu juga semua titik pada garis POP. paksi putaran sfera, sama seperti roda yang bergolek di atas jalan pada setiap saat masa berputar kira-kira paling rendah. titik. , ia bergerak dalam masa Dt ke satu jarak

Pada bulatan berjejari r sin w1. Mengikut definisi, halaju sudut

Daripada formula dan hubungan ini (1) kita dapat

Dalam erti kata lain, jika anda menulis nilai berangka dan memilih arah halaju sudut seperti yang diterangkan di atas, maka kuantiti ini ditambah sebagai vektor dan boleh dianggap sedemikian. Sekarang anda boleh memasukkan produk silang; pertimbangkan jasad berputar dengan halaju sudut w. Kami memilih mana-mana titik P pada badan dan mana-mana asal O, yang terletak pada paksi putaran. Biarkan r ialah vektor yang diarahkan dari O ke P. Titik P bergerak sepanjang bulatan dengan kelajuan V = w r sin (w, r). Vektor halaju V adalah tangen kepada bulatan dan menunjuk ke arah yang ditunjukkan dalam rajah. lapan.

Persamaan ini memberikan pergantungan kelajuan V suatu titik pada gabungan dua vektor w dan r. Kami menggunakan hubungan ini untuk mentakrifkan jenis produk baharu dan menulis: V = w * r. Oleh kerana hasil pendaraban tersebut ialah vektor, hasil darab ini dinamakan hasil darab vektor. Untuk mana-mana dua vektor A dan B, jika A * B = C, maka C = AB sin bA, Bc, dan arah vektor C adalah sedemikian rupa sehingga ia berserenjang dengan satah yang melalui A dan B dan titik dalam yang sama arah sebagai arah pergerakan skru dextrorotatory jika ia selari dengan C dan berputar dari A ke B. Dengan kata lain, kita boleh mengatakan bahawa A, B, dan C, dalam susunan itu, membentuk set paksi koordinat yang betul. Produk vektor adalah antikomutatif; vektor B * A mempunyai modulus yang sama seperti A * B, tetapi diarahkan ke arah yang bertentangan: A * B = -B * A. Produk ini adalah pengedaran, tetapi tidak bersekutu; itu boleh dibuktikan

Mari kita lihat bagaimana produk vektor ditulis dari segi komponen dan vektor unit. Pertama sekali, untuk mana-mana vektor A, A * A = AA sin 0 = 0.
Oleh itu, dalam kes vektor unit, i * i = j * j = k * k = 0 dan i * j = k, j * k = i, k * i = j. Kemudian,

Kesamaan ini juga boleh ditulis sebagai penentu:

Jika A * B = 0, maka sama ada A atau B ialah 0, atau A dan B ialah kolinear. Oleh itu, seperti produk titik, pembahagian dengan vektor tidak mungkin. Nilai A * B adalah sama dengan luas segi empat selari dengan sisi A dan B. Ini mudah dilihat, kerana B sin bA, Bc ialah ketinggiannya dan A ialah tapaknya. Terdapat banyak kuantiti fizik lain yang merupakan produk vektor. Salah satu produk vektor yang paling penting muncul dalam teori elektromagnetisme dan dipanggil vektor Poynting P. Vektor ini ditakrifkan seperti berikut: P = E * H, di mana E dan H ialah vektor medan elektrik dan magnet masing-masing. Vektor P boleh dianggap sebagai aliran tenaga yang diberikan dalam watt per meter persegi pada sebarang titik. Berikut adalah beberapa lagi contoh: momen daya F (tork) berbanding dengan asalan, bertindak pada titik yang vektor jejarinya ialah r, ditakrifkan sebagai r * F; zarah yang terletak di titik r, dengan jisim m dan halaju V, mempunyai momentum sudut mr * V berbanding dengan asalan; daya yang bertindak ke atas zarah yang membawa cas elektrik q melalui medan magnet B dengan halaju V ialah qV * B.
Triple berfungsi. Daripada tiga vektor, kita boleh membentuk hasil rangkap tiga berikut: vektor (A*B) * C; vektor(A*B)*C; skalar (A * B)*C. Jenis pertama ialah hasil darab vektor C dan skalar A*B; kami telah pun bercakap tentang kerja-kerja sedemikian. Jenis kedua dipanggil produk silang berganda; vektor A * B adalah berserenjang dengan satah tempat A dan B terletak, dan oleh itu (A * B) * C ialah vektor yang terletak dalam satah A dan B dan berserenjang dengan C. Oleh itu, secara amnya, (A * B) * C tidak sama dengan A * (B * C). Dengan menulis A, B dan C dalam sebutan koordinat x, y, dan z mereka (komponen) dan mendarab, kita boleh menunjukkan bahawa A * (B * C) = B * (A*C) - C * (A* B). Jenis produk ketiga yang berlaku dalam pengiraan kekisi dalam fizik keadaan pepejal adalah secara berangka sama dengan isipadu selari dengan tepi A, B, C. Oleh kerana (A * B) * C = A * (B * C), tanda-tanda pendaraban skalar dan vektor boleh ditukar ganti, dan hasil darab selalunya ditulis sebagai (A B C). Produk ini sama dengan penentu

Perhatikan bahawa (A B C) = 0 jika ketiga-tiga vektor terletak pada satah yang sama atau jika A = 0 atau (dan) B = 0 atau (dan) C = 0.
PEMBEZAAN VEKTOR
Katakan vektor U ialah fungsi bagi satu pembolehubah skalar t. Sebagai contoh, U boleh menjadi vektor jejari yang dilukis dari asal ke titik bergerak, dan t boleh menjadi masa. Biarkan t berubah dengan sedikit Dt, yang akan menukar U dengan DU. Ini ditunjukkan dalam rajah. 9. Nisbah DU/Dt ialah vektor yang diarahkan ke arah yang sama dengan DU. Kita boleh mentakrifkan terbitan U berkenaan dengan t sebagai

dengan syarat had sedemikian wujud. Sebaliknya, seseorang boleh mewakili U sebagai jumlah komponen di sepanjang tiga paksi dan menulis

Jika U ialah vektor jejari r, maka dr/dt ialah kelajuan titik, dinyatakan sebagai fungsi masa. Membezakan berkenaan dengan masa sekali lagi, kita mendapat pecutan. Katakan titik bergerak di sepanjang lengkung yang ditunjukkan dalam Rajah. 10. Biarkan s ialah jarak yang dilalui oleh titik sepanjang lengkung. Semasa selang masa kecil Dt, titik akan melepasi jarak Ds sepanjang lengkung; kedudukan vektor jejari akan berubah kepada Dr. Oleh itu Dr/Ds adalah vektor yang diarahkan seperti Dr. Selanjutnya

Dr vektor - perubahan jejari-vektor.

ialah tangen vektor unit kepada lengkung. Ini dapat dilihat daripada fakta bahawa apabila titik Q menghampiri titik P, PQ menghampiri tangen dan Dr menghampiri Ds. Formula untuk membezakan produk adalah serupa dengan formula untuk membezakan hasil darab fungsi skalar; bagaimanapun, kerana hasil silang adalah antikomutatif, susunan pendaraban mesti dikekalkan. sebab itu,

Oleh itu, kita melihat bahawa jika vektor ialah fungsi satu pembolehubah skalar, maka kita boleh mewakili derivatif dengan cara yang sama seperti dalam kes fungsi skalar.
Medan vektor dan skalar. Kecerunan. Dalam fizik, seseorang sering perlu berurusan dengan vektor atau kuantiti skalar yang berubah dari satu titik ke titik dalam kawasan tertentu. Kawasan sedemikian dipanggil "medan". Sebagai contoh, skalar boleh menjadi suhu atau tekanan; vektor boleh menjadi halaju bendalir yang bergerak atau medan elektrostatik sistem cas. Jika kita telah memilih beberapa sistem koordinat, maka mana-mana titik P (x, y, z) dalam kawasan yang diberikan sepadan dengan beberapa vektor jejari r (= xi + yj + zk) dan juga nilai kuantiti vektor U (r) atau skalar f (r) yang berkaitan dengannya. Mari kita andaikan bahawa U dan f ditakrifkan secara unik dalam domain; mereka. setiap titik sepadan dengan satu dan hanya satu nilai U atau f, walaupun titik yang berbeza mungkin, sudah tentu, mempunyai nilai yang berbeza. Katakan kita ingin menerangkan kadar perubahan U dan f semasa kita bergerak melalui kawasan ini. Derivatif separa mudah, seperti dU / dx dan df / dy, tidak sesuai dengan kami, kerana ia bergantung pada paksi koordinat yang dipilih secara khusus. Walau bagaimanapun, adalah mungkin untuk memperkenalkan pengendali pembezaan vektor bebas daripada pilihan paksi koordinat; operator ini dipanggil "gradient". Mari kita berurusan dengan medan skalar f. Pertama, sebagai contoh, pertimbangkan peta kontur kawasan sesebuah negara. Dalam kes ini, f ialah ketinggian di atas paras laut; garisan kontur menghubungkan titik dengan nilai f yang sama. Apabila bergerak di sepanjang mana-mana garisan ini, f tidak berubah; jika kita bergerak berserenjang dengan garis-garis ini, maka kadar perubahan f akan menjadi maksimum. Kita boleh mengaitkan setiap titik dengan vektor yang menunjukkan magnitud dan arah perubahan maksimum dalam kelajuan f; peta sedemikian dan beberapa vektor ini ditunjukkan dalam Rajah. 11. Jika kita melakukan ini untuk setiap titik medan, kita mendapat medan vektor yang dikaitkan dengan medan skalar f. Ini ialah medan vektor yang dipanggil "kecerunan" f, yang ditulis sebagai grad f atau Cf (simbol C juga dipanggil "nabla").

Dalam kes tiga dimensi, garisan kontur menjadi permukaan. Anjakan kecil Dr (= iDx + jDy + kDz) membawa kepada perubahan dalam f, yang ditulis sebagai

di mana titik menunjukkan istilah tertib tinggi. Ungkapan ini boleh ditulis sebagai hasil darab titik

Bahagikan bahagian kanan dan kiri kesamaan ini dengan Ds, dan biarkan Ds cenderung kepada sifar; kemudian

di mana dr/ds ialah vektor unit dalam arah yang dipilih. Ungkapan dalam kurungan ialah vektor bergantung pada titik yang dipilih. Jadi df/ds mempunyai nilai maksimum apabila dr/ds menunjuk ke arah yang sama, ungkapan dalam kurungan ialah kecerunan. Dengan cara ini,

- vektor yang sama magnitud dan bertepatan arah dengan kadar maksimum perubahan f berbanding koordinat. Kecerunan f selalunya ditulis sebagai

Ini bermakna operator C wujud dengan sendirinya. Dalam banyak kes ia berkelakuan seperti vektor dan sebenarnya merupakan "pengendali pembezaan vektor" - salah satu pengendali pembezaan yang paling penting dalam fizik. Walaupun fakta bahawa C mengandungi vektor unit i, j dan k, makna fizikalnya tidak bergantung pada sistem koordinat yang dipilih. Apakah hubungan antara Cf dan f? Pertama sekali, katakan bahawa f mentakrifkan potensi pada mana-mana titik. Untuk sebarang sesaran kecil Dr, nilai f akan berubah sebanyak

Jika q ialah kuantiti (contohnya, jisim, cas) yang digerakkan oleh Dr, maka kerja yang dilakukan apabila menggerakkan q oleh Dr adalah sama dengan

Oleh kerana Dr ialah anjakan, qCF ialah daya; -Cf ialah ketegangan (daya per unit jumlah) yang berkaitan dengan f. Sebagai contoh, biarkan U ialah keupayaan elektrostatik; maka E ialah kekuatan medan elektrik, diberikan oleh formula E = -CU. Mari kita andaikan bahawa U dicipta oleh cas elektrik titik q coulomb yang diletakkan pada asalan. Nilai U pada titik P (x, y, z) dengan vektor jejari r diberikan oleh formula

Di mana e0 ialah pemalar dielektrik bagi ruang bebas. sebab tu

dari mana ia berikutan bahawa E bertindak dalam arah r dan magnitudnya adalah sama dengan q/(4pe0r3). Mengetahui medan skalar, seseorang boleh menentukan medan vektor yang berkaitan. Begitu juga sebaliknya. Dari sudut pandangan pemprosesan matematik, medan skalar lebih mudah dikendalikan daripada medan vektor, kerana ia diberikan oleh satu fungsi koordinat, manakala medan vektor memerlukan tiga fungsi yang sepadan dengan komponen vektor dalam tiga arah. Oleh itu, persoalan timbul: diberikan medan vektor, bolehkah kita menulis medan skalar yang berkaitan dengannya?
Perbezaan dan pemutar. Kami telah melihat hasil C bertindak pada fungsi skalar. Apakah yang berlaku jika C digunakan pada vektor? Terdapat dua kemungkinan: biarkan U (x, y, z) menjadi vektor; maka kita boleh membentuk hasil silang dan titik seperti berikut:

Ungkapan pertama ini ialah skalar yang dipanggil divergensi U (divU dilambangkan); yang kedua ialah vektor yang dipanggil rotor U (ditandakan rotU). Fungsi pembezaan ini, divergence dan curl, digunakan secara meluas dalam fizik matematik. Bayangkan bahawa U ialah beberapa vektor dan ia dan terbitan pertamanya adalah berterusan dalam beberapa domain. Biarkan P ialah titik di rantau ini yang dikelilingi oleh permukaan tertutup kecil S yang mengikat isipadu DV. Biarkan n ialah vektor unit yang berserenjang dengan permukaan ini pada setiap titik (n berubah arah apabila ia bergerak di sekeliling permukaan, tetapi sentiasa mempunyai panjang unit); biarkan n menunjuk ke luar. Mari kita tunjukkan itu

Di sini S menunjukkan bahawa kamiran ini diambil ke atas seluruh permukaan, da ialah unsur permukaan S. Untuk kesederhanaan, kita akan memilih bentuk mudah S dalam bentuk parallelepiped kecil (seperti ditunjukkan dalam Rajah 12) dengan sisi Dx, Dy dan Dz; titik P ialah pusat parallelepiped. Kami mengira kamiran daripada persamaan (4) pertama di atas satu muka selari. Untuk muka hadapan n = i (vektor unit selari dengan paksi-x); Da = DyDz. Sumbangan kepada kamiran dari muka hadapan adalah sama dengan

Pada muka bertentangan n = -i; muka ini menyumbang kepada integral

Menggunakan teorem Taylor, kita mendapat jumlah sumbangan daripada dua muka

Ambil perhatian bahawa DxDyDz = DV. Begitu juga sumbangan daripada dua pasang muka yang lain boleh dikira. Kamiran penuh adalah sama dengan

dan jika kita menetapkan DV (r) 0, maka terma tertib yang lebih tinggi hilang. Menurut formula (2), ungkapan dalam kurungan ialah divU, yang membuktikan kesamaan (4). Kesaksamaan (5) boleh dibuktikan dengan cara yang sama. Mari gunakan Rajah. 12; maka sumbangan dari muka hadapan kepada kamiran akan sama dengan

Dan, dengan menggunakan teorem Taylor, kita mendapat bahawa jumlah sumbangan kepada kamiran daripada dua muka mempunyai bentuk

mereka. ini adalah dua istilah daripada ungkapan untuk rotU dalam persamaan (3). Empat penggal lagi akan diperolehi selepas mengambil kira sumbangan daripada empat muka lain. Apakah maksud nisbah ini sebenarnya? Pertimbangkan kesaksamaan (4). Mari kita andaikan bahawa U ialah kelajuan (contohnya cecair). Kemudian nЧU da = Un da, dengan Un ialah komponen normal vektor U ke permukaan. Oleh itu, Un da ​​​​ ialah isipadu bendalir yang mengalir melalui da per unit masa, dan ialah isipadu bendalir yang mengalir melalui S per unit masa. Akibatnya,

Kadar pengembangan unit isipadu di sekeliling titik P. Di sinilah perbezaan mendapat namanya; ia menunjukkan kadar di mana bendalir mengembang keluar daripada (iaitu, mencapah daripada) P. Untuk menerangkan maksud fizikal rotor U, pertimbangkan kamiran permukaan lain di atas isipadu silinder kecil ketinggian h mengelilingi P; permukaan selari satah boleh diorientasikan ke mana-mana arah yang kita pilih. Biarkan k ialah vektor unit berserenjang dengan setiap permukaan, dan biarkan luas setiap permukaan ialah DA; maka jumlah isipadu DV = hDA (Rajah 13). Pertimbangkan sekarang integral

integrand ialah produk skalar tiga yang disebut sebelum ini. Produk ini akan menjadi sifar pada permukaan rata di mana k dan n adalah selari. Pada permukaan melengkung

Di mana ds ialah elemen lengkung seperti yang ditunjukkan dalam rajah. 13. Membandingkan kesamaan ini dengan hubungan (5), kita memperolehnya

Kami masih menganggap bahawa U ialah kelajuan. Berapakah halaju sudut purata bendalir di sekeliling k dalam kes ini? Ia adalah jelas bahawa

jika DA tidak sama dengan 0. Ungkapan ini adalah maksimum apabila k dan rotU menghala ke arah yang sama; ini bermakna rotU ialah vektor bersamaan dua kali halaju sudut bendalir pada titik P. Jika bendalir berputar kira-kira P, ​​maka rotU ialah #0 dan vektor U akan berputar mengelilingi P. Oleh itu dinamakan rotor. Teorem divergensi (teorem Ostrogradsky-Gauss) ialah generalisasi formula (4) untuk isipadu terhingga. Dia menyatakan bahawa untuk beberapa isipadu V yang dibatasi oleh permukaan tertutup S,

Vektor ialah objek matematik yang dicirikan oleh arah dan magnitud. Dalam geometri, vektor ialah segmen garisan dalam satah atau dalam ruang, yang mempunyai arah dan panjang tertentunya sendiri.

Notasi vektor

Untuk menetapkan vektor, sama ada satu huruf kecil atau dua huruf besar digunakan, yang sepadan dengan permulaan dan penghujung vektor, manakala sempang mendatar dipaparkan di atas huruf. Huruf pertama menunjukkan permulaan vektor, yang kedua - akhir (lihat Rajah 1). Paparan grafik vektor menunjukkan anak panah yang menunjukkan arahnya.

Apakah koordinat bagi vektor pada satah dan di angkasa?

Koordinat vektor ialah pekali satu-satunya kombinasi linear vektor asas yang mungkin dalam sistem koordinat yang dipilih. Kedengarannya rumit, tetapi ia sebenarnya agak mudah. Mari kita ambil contoh.

Katakan kita perlu mencari koordinat bagi vektor a. Mari letakkannya dalam sistem koordinat tiga dimensi (lihat Rajah 2) dan lakukan unjuran vektor pada setiap paksi. Vektor a dalam kes ini akan ditulis seperti berikut: a= a x i+ a y j+ a z k, dengan i, j, k ialah vektor asas, a x , a y , a z ialah pekali yang menentukan koordinat bagi vektor a. Ungkapan itu sendiri akan dipanggil gabungan linear. Pada satah (dalam sistem koordinat segi empat tepat), gabungan linear akan terdiri daripada dua tapak dan pekali.

Hubungan vektor

Dalam teori vektor, terdapat istilah seperti nisbah vektor. Konsep ini mentakrifkan lokasi vektor secara relatif antara satu sama lain di satah dan di angkasa. Kes khas perhubungan vektor yang paling terkenal ialah:

• kolineariti;
• hala tuju bersama;
• keserasian;
• kesaksamaan.

Vektor kolinear terletak pada garis lurus yang sama atau selari antara satu sama lain, vektor kodirectional mempunyai arah yang sama, vektor koplanar terletak pada satah yang sama atau dalam satah selari, vektor yang sama mempunyai arah dan panjang yang sama.

Vektor ialah segmen berarah garis lurus dalam ruang Euclidean, di mana satu hujung (titik A) dipanggil permulaan vektor, dan hujung satu lagi (titik B) dipanggil hujung vektor (Rajah 1) . Vektor dilambangkan:

Jika permulaan dan penghujung vektor adalah sama, maka vektor itu dipanggil vektor sifar dan dilambangkan 0 .

Contoh. Biarkan permulaan vektor dalam ruang dua dimensi mempunyai koordinat A(12,6) , dan hujung vektor ialah koordinat B(12.6). Maka vektor adalah vektor nol.

Potong panjang AB dipanggil modul (panjang, kebiasaan) vektor dan dilambangkan dengan | a|. Vektor yang panjangnya sama dengan satu dipanggil vektor unit. Sebagai tambahan kepada modulus, vektor dicirikan oleh arah: vektor mempunyai arah dari A kepada B. Vektor dipanggil vektor, bertentangan vektor .

Kedua-dua vektor itu dipanggil kolinear jika mereka terletak pada garisan yang sama atau pada garisan selari. Dalam Rajah. 3 vektor merah adalah kolinear sejak itu mereka terletak pada garis lurus yang sama, dan vektor biru adalah kolinear, kerana mereka terletak pada garisan selari. Dua vektor kolinear dipanggil sama diarahkan jika hujung mereka terletak pada bahagian yang sama garisan yang menyertai permulaan mereka. Dua vektor kolinear dipanggil arah bertentangan jika hujungnya terletak pada sisi bertentangan garis yang bergabung dengan permulaannya. Jika dua vektor kolinear terletak pada garis yang sama, maka ia dipanggil sama terarah jika salah satu sinar yang dibentuk oleh satu vektor sepenuhnya mengandungi sinar yang dibentuk oleh vektor yang lain. Jika tidak, vektor dipanggil berlawanan arah. Dalam Rajah 3, vektor biru berada dalam arah yang sama dan vektor merah berada dalam arah yang bertentangan.

Kedua-dua vektor itu dipanggil sama rata jika mereka mempunyai modul yang sama dan diarahkan sama. Dalam Rajah.2, vektor adalah sama kerana moduli mereka adalah sama dan mempunyai arah yang sama.

Vektor dipanggil coplanar jika mereka terletak pada satah yang sama atau dalam satah selari.

AT n Dalam ruang vektor dimensi, pertimbangkan set semua vektor yang titik permulaannya bertepatan dengan asalan. Kemudian vektor boleh ditulis dalam bentuk berikut:

(1)

di mana x 1 , x 2 , ..., x n koordinat titik akhir vektor x.

Vektor yang ditulis dalam bentuk (1) dipanggil vektor baris, dan vektor ditulis sebagai

(2)

dipanggil vektor lajur.

Nombor n dipanggil dimensi (mengikut tertib) vektor. Sekiranya maka vektor itu dipanggil vektor sifar(kerana titik permulaan vektor ). Dua vektor x dan y adalah sama jika dan hanya jika elemen yang sepadan adalah sama.