Tenaga kinetik semasa putaran. Tenaga kinetik semasa gerakan putaran

Tenaga kinetik ialah kuantiti tambahan. Oleh itu, tenaga kinetik jasad yang bergerak dengan cara sewenang-wenangnya adalah sama dengan jumlah tenaga kinetik semua n titik bahan di mana jasad ini boleh dibahagikan secara mental:

Jika jasad berputar mengelilingi paksi tetap z dengan halaju sudut , maka halaju linear titik ke-i , Ri ialah jarak ke paksi putaran. Akibatnya,

Membandingkan dan dapat dilihat bahawa momen inersia badan I adalah ukuran inersia semasa gerakan putaran, sama seperti jisim m adalah ukuran inersia semasa gerakan translasi.

Dalam kes umum, gerakan jasad tegar boleh diwakili sebagai hasil tambah dua gerakan - translasi dengan kelajuan vc dan putaran dengan halaju sudut ω mengelilingi paksi segera yang melalui pusat inersia. Kemudian jumlah tenaga kinetik badan ini

Di sini Ic ialah momen inersia mengenai paksi serta-merta putaran yang melalui pusat inersia.

Undang-undang asas dinamik gerakan putaran.

Dinamik putaran

Undang-undang asas dinamik gerakan putaran:

atau M=Je, di mana M ialah momen daya M=[ r F ] , J - momen inersia ialah momen momentum badan.

jika M(luaran)=0 - hukum kekekalan momentum sudut. - tenaga kinetik badan berputar.

kerja bergilir.

Hukum kekekalan momentum sudut.

Momentum sudut (momentum) bagi titik bahan A relatif kepada titik tetap O ialah kuantiti fizik yang ditentukan oleh hasil vektor:

dengan r ialah vektor jejari yang dilukis dari titik O ke titik A, p=mv ialah momentum titik bahan (Rajah 1); L ialah pseudovector, arahnya bertepatan dengan arah pergerakan translasi skru kanan semasa putarannya dari r ke p.

Modulus vektor momentum

di mana α ialah sudut antara vektor r dan p, l ialah bahu vektor p berkenaan dengan titik O.

Momentum sudut relatif kepada paksi tetap z ialah nilai skalar Lz, yang sama dengan unjuran pada paksi vektor momentum sudut ini, ditakrifkan relatif kepada titik sembarangan O paksi ini. Momentum sudut Lz tidak bergantung pada kedudukan titik O pada paksi z.

Apabila jasad yang benar-benar tegar berputar mengelilingi paksi tetap z, setiap titik jasad itu bergerak di sepanjang bulatan jejari tetap ri dengan kelajuan vi. Halaju vi dan momentum mivi adalah berserenjang dengan jejari ini, iaitu jejari ialah lengan vektor mivi . Jadi kita boleh menulis bahawa momentum sudut zarah individu ialah

dan diarahkan sepanjang paksi mengikut arah yang ditentukan oleh peraturan skru kanan.

Momentum jasad tegar berbanding paksi ialah jumlah momentum zarah individu:

Menggunakan formula vi = ωri, kita dapat

Oleh itu, momentum sudut jasad tegar mengenai paksi adalah sama dengan momen inersia jasad mengenai paksi yang sama, didarab dengan halaju sudut. Mari kita bezakan persamaan (2) berkenaan dengan masa:

Formula ini adalah satu lagi bentuk persamaan dinamik gerakan putaran jasad tegar mengenai paksi tetap: terbitan momentum sudut jasad tegar mengenai paksi adalah sama dengan momen daya pada paksi yang sama.

Ia boleh ditunjukkan bahawa kesamaan vektor berlaku

Dalam sistem tertutup, momen daya luar ialah M = 0 dan dari mana

Ungkapan (4) ialah undang-undang pemuliharaan momentum sudut: momentum sudut sistem tertutup dikekalkan, iaitu, tidak berubah dari semasa ke semasa.

Undang-undang pengekalan momentum sudut serta undang-undang pengekalan tenaga adalah undang-undang asas alam. Ia dikaitkan dengan sifat simetri ruang - isotropinya, iaitu, dengan invarian undang-undang fizik berkenaan dengan pilihan arah paksi koordinat sistem rujukan (berkenaan dengan putaran sistem tertutup dalam ruang oleh mana-mana sudut).

Di sini kita akan menunjukkan undang-undang pemuliharaan momentum sudut menggunakan bangku Zhukovsky. Seseorang yang duduk di atas bangku, berputar mengelilingi paksi menegak, dan memegang dumbbell dengan tangan yang dihulurkan (Rajah 2), diputar oleh mekanisme luaran dengan halaju sudut ω1. Sekiranya seseorang menekan dumbbell ke badan, maka momen inersia sistem akan berkurangan. Tetapi momen daya luar adalah sama dengan sifar, momentum sudut sistem dikekalkan dan halaju sudut putaran ω2 meningkat. Begitu juga, gimnas, semasa melompat ke atas kepalanya, mendekatkan tangan dan kakinya ke badan untuk mengurangkan momen inersianya dan dengan itu meningkatkan halaju sudut putaran.

Tekanan dalam cecair dan gas.

Molekul gas, melakukan pergerakan yang huru-hara dan huru-hara, tidak terikat atau lebih lemah terikat oleh daya interaksi, itulah sebabnya mereka bergerak hampir bebas dan, akibat perlanggaran, berselerak ke semua arah, sambil mengisi keseluruhan volum yang diberikan kepada mereka, iaitu, isipadu gas ditentukan oleh vesel isipadu yang diduduki oleh gas tersebut.

Dan cecair, mempunyai isipadu tertentu, mengambil bentuk kapal di mana ia tertutup. Tetapi tidak seperti gas dalam cecair, jarak purata antara molekul kekal secara purata, jadi cecair mempunyai isipadu yang hampir malar.

Sifat cecair dan gas sangat berbeza dalam banyak cara, tetapi dalam beberapa fenomena mekanikal sifatnya ditentukan oleh parameter dan persamaan yang sama. Atas sebab ini, hidroaeromekanik ialah cabang mekanik yang mengkaji keseimbangan dan pergerakan gas dan cecair, interaksi antara mereka dan antara jasad pepejal yang mengalir di sekelilingnya, i.e. pendekatan bersatu untuk kajian cecair dan gas digunakan.

Dalam mekanik, cecair dan gas dianggap dengan tahap ketepatan yang tinggi sebagai berterusan, diagihkan secara berterusan di bahagian ruang yang diduduki olehnya. Dalam gas, ketumpatan bergantung pada tekanan dengan ketara. Ditubuhkan daripada pengalaman. bahawa kebolehmampatan cecair dan gas selalunya boleh diabaikan dan adalah dinasihatkan untuk menggunakan satu konsep - ketidakmampatan cecair - cecair dengan ketumpatan yang sama di mana-mana, yang tidak berubah dari semasa ke semasa.

Kami meletakkannya dalam plat nipis dalam keadaan rehat, akibatnya, bahagian cecair yang terletak di sisi bertentangan plat akan bertindak pada setiap elemennya ΔS dengan daya ΔF, yang akan sama dengan nilai mutlak dan diarahkan serenjang ke tapak. ΔS, tanpa mengira orientasi tapak, jika tidak, kehadiran daya tangen akan menetapkan zarah cecair bergerak (Rajah 1)

Kuantiti fizik yang ditentukan oleh daya normal yang bertindak dari sisi cecair (atau gas) per unit luas dipanggil tekanan p / cecair (atau gas): p=ΔF / ΔS.

Unit tekanan ialah pascal (Pa): 1 Pa adalah sama dengan tekanan yang dicipta oleh daya 1 N, yang teragih sama rata di atas permukaan 1 m2 normal kepadanya (1 Pa = 1 N/m2).

Tekanan pada keseimbangan cecair (gas) mematuhi hukum Pascal: tekanan di mana-mana tempat bendalir dalam keadaan rehat adalah sama dalam semua arah, dan tekanan dihantar secara sama ke seluruh isipadu yang diduduki oleh bendalir dalam keadaan rehat.

Marilah kita menyiasat kesan berat bendalir ke atas taburan tekanan di dalam bendalir tak boleh mampat pegun. Apabila cecair berada dalam keseimbangan, tekanan sepanjang mana-mana garis mendatar adalah sentiasa sama, jika tidak, tidak akan ada keseimbangan. Ini bermakna bahawa permukaan bebas bendalir dalam keadaan rehat sentiasa mendatar (kami tidak mengambil kira tarikan bendalir oleh dinding kapal). Jika bendalir tidak boleh mampat, maka ketumpatan bendalir adalah bebas daripada tekanan. Kemudian, dengan keratan rentas S lajur cecair, ketinggiannya h dan ketumpatan ρ, beratnya ialah P=ρgSh, manakala tekanan pada tapak bawah ialah: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

iaitu tekanan berubah secara linear dengan ketinggian. Tekanan ρgh dipanggil tekanan hidrostatik.

Menurut formula (1), daya tekanan pada lapisan bawah cecair akan lebih besar daripada pada lapisan atas, oleh itu, daya yang ditentukan oleh hukum Archimedes bertindak ke atas jasad yang direndam dalam cecair (gas): apungan ke atas. daya yang sama dengan berat cecair (gas) yang disesarkan oleh jasad: FA = ρgV, dengan ρ ialah ketumpatan cecair, V ialah isipadu jasad yang direndam dalam cecair.

1. Pertimbangkan putaran badan di sekeliling tidak bergerak paksi Z. Mari kita bahagikan seluruh badan kepada satu set jisim asas m i. Halaju linear jisim asas m i– v i = w R i, di mana R i– jarak jisim m i daripada paksi putaran. Oleh itu, tenaga kinetik i-jisim asas ke- akan sama dengan . Jumlah tenaga kinetik badan: , berikut ialah momen inersia badan mengenai paksi putaran.

Oleh itu, tenaga kinetik jasad yang berputar pada paksi tetap ialah:

2. Biarkan badan sekarang berputar tentang beberapa paksi, dan paksi bergerak secara progresif, kekal selari dengan dirinya sendiri.

CONTOH: Bola bergolek tanpa gelongsor membuat pergerakan putaran, dan pusat gravitinya, yang melaluinya paksi putaran (titik "O") bergerak ke hadapan (Gamb. 4.17).

Kelajuan i-jisim asas badan itu adalah sama dengan , di manakah kelajuan beberapa titik "O" badan; – jejari-vektor yang menentukan kedudukan jisim asas berhubung dengan titik “O”.

Tenaga kinetik jisim asas adalah sama dengan:

NOTA: produk vektor bertepatan dalam arah dengan vektor dan mempunyai modulus yang sama dengan (Rajah 4.18).

Dengan mengambil kira kenyataan ini, kita boleh menulisnya , di manakah jarak jisim dari paksi putaran. Dalam penggal kedua, kami membuat pilih atur kitaran faktor, selepas itu kami memperoleh

Untuk mendapatkan jumlah tenaga kinetik badan, kami menjumlahkan ungkapan ini ke atas semua jisim asas, mengambil faktor malar daripada tanda jumlah. Dapatkan

Jumlah jisim asas ialah jisim badan "m". Ungkapan adalah sama dengan hasil jisim badan dan vektor jejari pusat inersia badan (mengikut takrifan pusat inersia). Akhirnya, - momen inersia badan mengenai paksi yang melalui titik "O". Oleh itu, seseorang boleh menulis

Jika kita mengambil pusat inersia badan "C" sebagai titik "O", vektor jejari akan sama dengan sifar dan sebutan kedua akan hilang. Kemudian, menandakan melalui - kelajuan pusat inersia, dan melalui - momen inersia badan berbanding paksi yang melalui titik "C", kita dapat:

(4.6)

Oleh itu, tenaga kinetik jasad semasa gerakan satah terdiri daripada tenaga gerakan translasi dengan kelajuan yang sama dengan kelajuan pusat inersia, dan tenaga putaran di sekeliling paksi yang melalui pusat inersia jasad.

Kerja daya luar semasa gerakan putaran jasad tegar.

Cari kerja yang dilakukan oleh daya apabila badan berputar mengelilingi paksi Z tetap.

Biarkan daya dalam dan daya luar bertindak ke atas jisim (daya yang terhasil terletak pada satah berserenjang dengan paksi putaran) (Rajah 4.19). Kuasa ini membuat dalam masa dt pekerjaan:

Setelah menjalankan pilihatur kitaran faktor dalam produk campuran vektor, kami dapati:

di mana , - masing-masing, momen daya dalaman dan luaran berbanding dengan titik "O".

Menjumlahkan semua jisim asas, kita memperoleh kerja asas yang dilakukan pada badan pada masa itu dt:

Jumlah momen daya dalaman adalah sama dengan sifar. Kemudian, menandakan jumlah momen daya luar melalui , kita sampai pada ungkapan:

Diketahui bahawa hasil darab dua vektor ialah skalar yang sama dengan hasil darab modulus salah satu vektor darab dan unjuran vektor kedua ke arah yang pertama, dengan mengambil kira bahawa , (arah paksi Z dan bertepatan), kita dapat

tetapi w dt=d j, iaitu sudut di mana badan berputar dalam masa dt. sebab tu

Tanda kerja bergantung pada tanda M z , i.e. daripada tanda unjuran vektor ke arah vektor .

Jadi, apabila badan berputar, daya dalaman tidak berfungsi, dan kerja daya luaran ditentukan oleh formula. .

Kerja yang dilakukan dalam selang masa yang terhad didapati dengan menyepadukan

Jika unjuran momen yang terhasil dari daya luaran pada arah tetap malar, maka ia boleh dikeluarkan dari tanda kamiran:

, iaitu .

Itu. kerja daya luar semasa gerakan putaran jasad adalah sama dengan hasil unjuran momen daya luar dan arah serta sudut putaran.

Sebaliknya, kerja daya luaran yang bertindak ke atas jasad pergi ke pertambahan tenaga kinetik badan (atau sama dengan perubahan tenaga kinetik badan berputar). Mari tunjukkan:

;

Akibatnya,

. (4.7)

Atas diri sendiri:

Daya elastik;

undang-undang Hooke.

KULIAH 7

Hidrodinamik

Garisan dan tiub arus.

Hidrodinamik mengkaji gerakan cecair, tetapi undang-undangnya juga digunakan untuk gerakan gas. Dalam aliran bendalir pegun, halaju zarahnya pada setiap titik dalam ruang adalah kuantiti yang bebas daripada masa dan fungsi koordinat. Dalam aliran pegun, trajektori zarah bendalir membentuk garis arus. Set garis arus membentuk tiub aliran (Rajah 5.1). Kami menganggap bahawa cecair tidak boleh mampat, maka isipadu cecair yang mengalir melalui bahagian-bahagian S 1 dan S 2 akan sama. Dalam satu saat, isipadu bendalir sama dengan

, (5.1)

di mana dan adalah halaju bendalir dalam keratan rentas S 1 dan S 2 , dan vektor dan ditakrifkan sebagai dan , di mana dan adalah normal kepada bahagian S 1 dan S 2. Persamaan (5.1) dipanggil persamaan kesinambungan jet. Ia berikutan daripada ini bahawa halaju bendalir adalah berkadar songsang dengan keratan rentas tiub semasa.

Persamaan Bernoulli.

Kami akan mempertimbangkan cecair tak boleh mampat yang ideal di mana tiada geseran dalaman (kelikatan). Mari kita pilih satu tiub nipis arus dalam cecair yang mengalir pegun (Rajah 5.2) dengan keratan rentas S1 dan S2 berserenjang dengan garis arus. dalam bahagian 1 dalam masa yang singkat t zarah bergerak satu jarak l 1, dan dalam bahagian 2 - pada kejauhan l 2. Melalui kedua-dua bahagian dalam masa t isipadu kecil cecair yang sama akan berlalu V= V 1 = V 2 dan membawa banyak cecair m=rV, di mana r ialah ketumpatan cecair. Secara umum, perubahan dalam tenaga mekanikal seluruh cecair dalam tiub semasa antara bahagian S1 dan S2, yang berlaku pada masa itu t, boleh digantikan dengan perubahan tenaga isipadu V, yang berlaku apabila ia berpindah dari bahagian 1 ke bahagian 2. Dengan pergerakan sedemikian, tenaga kinetik dan potensi isipadu ini akan berubah, dan jumlah perubahan tenaganya

, (5.2)

di mana v 1 dan v 2 - halaju zarah bendalir dalam bahagian S1 dan S2 masing-masing; g- pecutan graviti; h1 dan h2- ketinggian pusat bahagian.

Dalam cecair yang ideal, tiada kehilangan geseran, jadi tenaga bertambah DE mestilah sama dengan kerja yang dilakukan oleh daya tekanan pada isipadu yang diperuntukkan. Dengan ketiadaan daya geseran, kerja ini:

Menyamakan sisi kanan kesamaan (5.2) dan (5.3) dan memindahkan istilah dengan indeks yang sama kepada satu bahagian kesamaan, kita memperoleh

. (5.4)

Bahagian tiub S1 dan S2 telah diambil secara sewenang-wenangnya, jadi boleh dikatakan bahawa ungkapan itu sah dalam mana-mana bahagian tiub semasa

. (5.5)

Persamaan (5.5) dipanggil persamaan Bernoulli. Untuk garisan mendatar h = const , dan kesamarataan (5.4) mengambil bentuk

r /2 + p 1 = r /2 + p2 , (5.6)

mereka. tekanan adalah kurang pada titik-titik yang kelajuannya lebih besar.

Daya geseran dalaman.

Kelikatan adalah wujud dalam cecair sebenar, yang menampakkan dirinya dalam fakta bahawa sebarang pergerakan cecair dan gas berhenti secara spontan tanpa adanya punca yang menyebabkannya. Mari kita pertimbangkan eksperimen di mana lapisan cecair terletak di atas permukaan tetap, dan plat terapung di atasnya dengan permukaan bergerak dari atasnya dengan kelajuan S(Gamb. 5.3). Pengalaman menunjukkan bahawa untuk menggerakkan plat pada kelajuan tetap, perlu bertindak ke atasnya dengan daya. Oleh kerana plat tidak menerima pecutan, ini bermakna tindakan daya ini diimbangi oleh daya lain yang sama dengannya dalam magnitud dan arah bertentangan, iaitu daya geseran. . Newton menunjukkan bahawa daya geseran

, (5.7)

di mana d- ketebalan lapisan cecair, h - pekali kelikatan atau pekali geseran cecair, tanda tolak mengambil kira arah vektor yang berbeza F tr dan v o. Jika kita meneliti halaju zarah bendalir di tempat yang berbeza pada lapisan, ternyata ia berubah mengikut undang-undang linear (Rajah 5.3):

v(z) = (v 0 /d) z.

Membezakan persamaan ini, kita dapat dv/dz= v 0 /d. Dengan ini dalam fikiran

formula (5.7) mengambil bentuk

F tr=- h(dv/dz)S , (5.8)

di mana h- pekali kelikatan dinamik. Nilai dv/dz dipanggil kecerunan halaju. Ia menunjukkan betapa cepatnya perubahan kelajuan dalam arah paksi z. Pada dv/dz= kecerunan halaju konst adalah secara berangka sama dengan perubahan halaju v apabila ia berubah z seunit. Kami meletakkan secara berangka dalam formula (5.8) dv/dz =-1 dan S= 1, kita dapat h = F. ini membayangkan makna fizikal h: pekali kelikatan secara berangka sama dengan daya yang bertindak pada lapisan cecair luas unit pada kecerunan halaju sama dengan satu. Unit SI kelikatan dipanggil pascal second (ditandakan Pa s). Dalam sistem CGS, unit kelikatan ialah 1 poise (P), dengan 1 Pa s = 10P.

Mekanik.

Soalan 1

Sistem rujukan. Sistem rujukan inersia. Prinsip relativiti Galileo-Einstein.

sistem rujukan- ini ialah satu set badan yang berkaitan dengan pergerakan badan tertentu dan sistem koordinat yang berkaitan dengannya diterangkan.

Sistem Rujukan Inersia (ISO)- sistem di mana jasad yang bergerak bebas berada dalam keadaan rehat atau gerakan rectilinear seragam.

Prinsip relativiti Galileo-Einstein- Semua fenomena alam dalam mana-mana kerangka rujukan inersia berlaku dengan cara yang sama dan mempunyai bentuk matematik yang sama. Dengan kata lain, semua ISO adalah sama.

Soalan #2

Persamaan gerakan. Jenis-jenis pergerakan badan tegar. Tugas utama kinematik.

Persamaan pergerakan titik bahan:

- persamaan kinematik gerakan

Jenis-jenis pergerakan badan tegar:

1) Gerakan translasi - sebarang garis lurus yang dilukis dalam badan bergerak selari dengan dirinya.

2) Pergerakan putaran - mana-mana titik badan bergerak dalam bulatan.

φ = φ(t)

Tugas utama kinematik- ini memperoleh kebergantungan masa bagi halaju V= V(t) dan koordinat (atau vektor jejari) r = r(t) suatu titik bahan daripada pergantungan masa yang diketahui bagi pecutannya a = a(t) dan keadaan awal yang diketahui V 0 dan r 0 .

Soalan #7

nadi (Bilangan pergerakan) ialah kuantiti fizik vektor yang mencirikan ukuran pergerakan mekanikal badan. Dalam mekanik klasik, momentum badan adalah sama dengan hasil jisim m ini menunjukkan kelajuannya v, arah momentum bertepatan dengan arah vektor halaju:

Dalam mekanik teori momentum umum ialah terbitan separa bagi Lagrangian sistem berkenaan dengan halaju umum

Jika Lagrangian sistem tidak bergantung pada beberapa koordinat umum, kemudian disebabkan oleh Persamaan Lagrange .

Untuk zarah bebas, fungsi Lagrange mempunyai bentuk: , oleh itu:

Kebebasan Lagrangian sistem tertutup dari kedudukannya di angkasa mengikuti dari harta itu kehomogenan ruang: untuk sistem yang terpencil dengan baik, kelakuannya tidak bergantung pada tempat di ruang kita meletakkannya. Oleh Teorem Noether kehomogenan ini membayangkan pemuliharaan beberapa kuantiti fizik. Kuantiti ini dipanggil impuls (biasa, bukan umum).

Dalam mekanik klasik, lengkap momentum sistem titik bahan dipanggil kuantiti vektor sama dengan hasil tambah hasil jisim titik bahan pada kelajuannya:

oleh itu, kuantiti itu dipanggil momentum satu titik bahan. Ia adalah kuantiti vektor yang diarahkan ke arah yang sama dengan halaju zarah. Unit momentum dalam Sistem Unit Antarabangsa (SI) ialah meter kilogram sesaat(kg m/s)

Jika kita berurusan dengan badan dengan saiz terhingga, untuk menentukan momentumnya, adalah perlu untuk memecahkan badan kepada bahagian-bahagian kecil, yang boleh dianggap sebagai titik material dan menjumlahkan mereka, sebagai hasilnya kita mendapat:

Momentum sistem yang tidak dipengaruhi oleh sebarang kuasa luar (atau ia diberi pampasan), terpelihara dalam masa:

Pemuliharaan momentum dalam kes ini mengikuti daripada undang-undang kedua dan ketiga Newton: setelah menulis hukum kedua Newton untuk setiap titik material yang membentuk sistem dan menjumlahkannya ke atas semua titik material yang membentuk sistem, berdasarkan titik ketiga Newton. undang-undang kita memperoleh kesamarataan (*).

Dalam mekanik relativistik, momentum tiga dimensi sistem titik bahan tidak berinteraksi ialah kuantiti

di mana m i- berat i-titik bahan ke-.

Untuk sistem tertutup mata bahan tidak berinteraksi, nilai ini dikekalkan. Walau bagaimanapun, momentum tiga dimensi bukanlah kuantiti invarian secara relativistik, kerana ia bergantung pada kerangka rujukan. Nilai yang lebih bermakna akan menjadi momentum empat dimensi, yang bagi satu titik material ditakrifkan sebagai

Dalam amalan, hubungan berikut antara jisim, momentum dan tenaga zarah sering digunakan:

Pada dasarnya, untuk sistem mata bahan tidak berinteraksi, 4-momenta mereka dijumlahkan. Walau bagaimanapun, untuk zarah berinteraksi dalam mekanik relativistik, seseorang harus mengambil kira momenta bukan sahaja zarah yang membentuk sistem, tetapi juga momentum medan interaksi antara mereka. Oleh itu, kuantiti yang lebih bermakna dalam mekanik relativistik ialah tensor momentum tenaga, yang memenuhi sepenuhnya undang-undang pemuliharaan.

Soalan #8

Momen inersia- kuantiti fizik skalar, ukuran inersia jasad dalam gerakan putaran mengelilingi paksi, sama seperti jisim jasad adalah ukuran inersianya dalam gerakan translasi. Ia dicirikan oleh pengagihan jisim dalam badan: momen inersia adalah sama dengan hasil tambah hasil jisim asas dan kuasa dua jaraknya ke set asas.

Momen inersia paksi

Momen paksi inersia sesetengah jasad.

Momen inersia sistem mekanikal relatif kepada paksi tetap ("momen paksi inersia") dipanggil nilai J a sama dengan jumlah hasil jisim semua n titik material sistem ke dalam segi empat sama jaraknya ke paksi:

m i- berat i-titik ke-,
r i- jarak dari i-titik ke atas paksi.

paksi momen inersia badan J a ialah ukuran inersia jasad dalam gerakan putaran mengelilingi paksi, sama seperti jisim jasad adalah ukuran inersianya dalam gerakan translasi.

dm = ρ dV- jisim unsur isipadu kecil badan dV,
ρ - ketumpatan,
r- jarak dari unsur dV kepada paksi a.

Sekiranya badan itu homogen, iaitu, ketumpatannya adalah sama di mana-mana, maka

Derivasi formula

dm dan momen inersia DJ i. Kemudian

Silinder berdinding nipis (cincin, gelung)

Derivasi formula

Momen inersia jasad adalah sama dengan jumlah momen inersia bahagian konstituennya. Membahagikan silinder berdinding nipis kepada unsur-unsur dengan jisim dm dan momen inersia DJ i. Kemudian

Oleh kerana semua elemen silinder berdinding nipis berada pada jarak yang sama dari paksi putaran, formula (1) ditukar kepada bentuk

Teorem Steiner

Momen inersia jasad tegar berbanding mana-mana paksi bergantung bukan sahaja pada jisim, bentuk dan dimensi badan, tetapi juga pada kedudukan badan berkenaan dengan paksi ini. Menurut teorem Steiner (teorem Huygens-Steiner), momen inersia badan J relatif kepada paksi arbitrari adalah sama dengan jumlah momen inersia badan ini Jc relatif kepada paksi yang melalui pusat jisim badan selari dengan paksi yang dipertimbangkan, dan hasil jisim badan m setiap jarak persegi d antara gandar:

Jika ialah momen inersia jasad mengenai paksi yang melalui pusat jisim jasad, maka momen inersia mengenai paksi selari yang terletak pada jarak darinya adalah sama dengan

di manakah jumlah jisim badan.

Sebagai contoh, momen inersia rod mengenai paksi yang melalui hujungnya ialah:

Tenaga putaran

Tenaga kinetik gerakan putaran- tenaga badan yang berkaitan dengan putarannya.

Ciri-ciri kinematik utama bagi gerakan putaran jasad ialah halaju sudut (ω) dan pecutan sudut. Ciri dinamik utama gerakan putaran ialah momentum sudut mengenai paksi putaran z:

Kz = Izω

dan tenaga kinetik

di mana I z ialah momen inersia jasad mengenai paksi putaran.

Contoh yang sama boleh didapati apabila mempertimbangkan molekul berputar dengan paksi utama inersia saya 1, saya 2 dan saya 3. Tenaga putaran molekul sedemikian diberikan oleh ungkapan

di mana ω 1, ω 2, dan ω 3 adalah komponen utama halaju sudut.

Dalam kes umum, tenaga semasa putaran dengan halaju sudut ditemui dengan formula:

, di mana saya ialah tensor inersia.

Soalan #9

momen impuls (momentum sudut, momentum sudut, momentum orbit, momentum sudut) mencirikan jumlah gerakan putaran. Kuantiti yang bergantung pada berapa banyak jisim berputar, cara ia diedarkan tentang paksi putaran, dan berapa cepat putaran berlaku.

Perlu diingatkan bahawa putaran di sini difahami dalam erti kata yang luas, bukan sahaja sebagai putaran biasa di sekeliling paksi. Sebagai contoh, walaupun dengan gerakan rectilinear badan melepasi titik khayalan sewenang-wenangnya yang tidak terletak pada garis gerakan, ia juga mempunyai momentum sudut. Mungkin peranan terbesar dimainkan oleh momentum sudut dalam menerangkan gerakan putaran sebenar. Walau bagaimanapun, ia amat penting untuk kelas masalah yang lebih luas (terutamanya jika masalah itu mempunyai simetri pusat atau paksi, tetapi bukan sahaja dalam kes ini).

Hukum kekekalan momentum(undang-undang pemuliharaan momentum sudut) - jumlah vektor semua momenta sudut tentang mana-mana paksi untuk sistem tertutup kekal malar dalam kes keseimbangan sistem. Selaras dengan ini, momentum sudut sistem tertutup berkenaan dengan sebarang terbitan bukan masa bagi momentum sudut ialah momen daya:

Oleh itu, keperluan penutupan sistem boleh dilemahkan kepada keperluan bahawa momen utama (jumlah) daya luaran adalah sama dengan sifar:

di manakah momen salah satu daya yang dikenakan pada sistem zarah. (Tetapi sudah tentu, jika tiada kuasa luar sama sekali, keperluan ini juga dipenuhi).

Secara matematik, undang-undang pemuliharaan momentum sudut mengikuti dari isotropi ruang, iaitu, dari invarian ruang berkenaan dengan putaran melalui sudut arbitrari. Apabila berputar melalui sudut tak terhingga arbitrari, vektor jejari zarah dengan nombor akan berubah sebanyak , dan halaju - . Fungsi Lagrange sistem tidak akan berubah semasa putaran sedemikian, disebabkan oleh isotropi ruang. sebab tu

Ciri dinamik utama gerakan putaran ialah momentum sudut mengenai paksi putaran z:

dan tenaga kinetik

Dalam kes umum, tenaga semasa putaran dengan halaju sudut ditemui dengan formula:

, di manakah tensor inersia .

Dalam termodinamik

Dengan alasan yang sama seperti dalam kes gerakan translasi, kesetaraan membayangkan bahawa pada keseimbangan terma purata tenaga putaran setiap zarah gas monatomik ialah: (3/2)k B T. Begitu juga, teorem kesetaraan membolehkan seseorang mengira halaju sudut akar-min-persegi bagi molekul.

lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010 .

Lihat apa "Tenaga gerakan putaran" dalam kamus lain:

Istilah ini mempunyai makna lain, lihat Tenaga (makna). Tenaga, Dimensi ... Wikipedia

PERGERAKAN- PERGERAKAN. Kandungan: Geometri D.....................452 Kinematik D...................456 Dinamik D. ...................461 Mekanisme motor ......................465 Kaedah mengkaji D. seseorang ..........471 Patologi D. seseorang ............. 474 ... ... Ensiklopedia Perubatan Besar

Tenaga kinetik ialah tenaga sistem mekanikal, yang bergantung kepada kelajuan pergerakan titik-titiknya. Selalunya memperuntukkan tenaga kinetik gerakan translasi dan putaran. Lebih tegas lagi, tenaga kinetik ialah perbezaan antara jumlah ... ... Wikipedia

Pergerakan terma peptida α. Pergerakan menggeletar kompleks atom yang membentuk peptida adalah rawak, dan tenaga atom individu berubah-ubah dalam julat yang luas, tetapi menggunakan hukum kesetaraan dikira sebagai tenaga kinetik purata setiap ... ... Wikipedia

- (Marée Perancis, Gezeiten Jerman, pasang surut Inggeris) turun naik berkala dalam paras air akibat tarikan Bulan dan Matahari. Maklumat am. P. paling ketara di sepanjang pantai lautan. Sejurus selepas air surut air surut terbesar, paras lautan mula ... ... Kamus Ensiklopedia F.A. Brockhaus dan I.A. Efron

Kapal yang disejukkan Ivory Tirupati kestabilan awal adalah negatif Kestabilan keupayaan ... Wikipedia

Kapal yang disejukkan Ivory Tirupati kestabilan awal adalah negatif Kestabilan keupayaan kemudahan terapung untuk menahan daya luar yang menyebabkan ia bergolek atau dipotong dan kembali kepada keadaan keseimbangan pada penghujung gangguan ... ... Wikipedia

Tenaga kinetik badan berputar adalah sama dengan jumlah tenaga kinetik semua zarah badan:

Jisim mana-mana zarah, kelajuan linear (lilitan), berkadar dengan jarak zarah ini dari paksi putaran. Menggantikan ke dalam ungkapan ini dan mengambil halaju sudut o biasa untuk semua zarah daripada tanda jumlah, kita dapati:

Formula untuk tenaga kinetik badan berputar ini boleh dikurangkan kepada bentuk yang serupa dengan ungkapan untuk tenaga kinetik gerakan translasi jika kita memperkenalkan nilai yang dipanggil momen inersia badan. Momen inersia titik bahan ialah hasil darab jisim titik dan kuasa dua jaraknya daripada paksi putaran. Momen inersia jasad ialah jumlah momen inersia semua titik material jasad:

Jadi, tenaga kinetik badan berputar ditentukan oleh formula berikut:

Formula (2) berbeza daripada formula yang menentukan tenaga kinetik jasad dalam gerakan translasi kerana bukannya jisim badan, momen inersia I masuk di sini dan bukannya halaju, halaju kumpulan.

Tenaga kinetik besar roda tenaga berputar digunakan dalam teknologi untuk mengekalkan keseragaman mesin di bawah beban yang berubah-ubah secara tiba-tiba. Pada mulanya, untuk membawa roda tenaga dengan momen inersia yang besar ke dalam putaran, mesin memerlukan sejumlah besar kerja, tetapi apabila beban besar tiba-tiba dihidupkan, mesin tidak berhenti dan berfungsi kerana rizab tenaga kinetik roda tenaga. .

Roda tenaga yang sangat besar digunakan dalam kilang bergolek yang digerakkan oleh motor elektrik. Berikut ialah perihalan salah satu roda ini: “Roda mempunyai diameter 3.5 m dan berat Pada kelajuan normal 600 rpm, tenaga kinetik roda adalah sedemikian rupa sehingga pada masa menggelekkan roda memberikan kilang kuasa sebanyak 20,000 liter. Dengan. Geseran dalam galas dikekalkan pada tahap minimum oleh kisah dongeng di bawah tekanan, dan untuk mengelakkan kesan berbahaya daya inersia emparan, roda seimbang supaya beban yang diletakkan pada lilitan roda membawanya keluar dari rehat.

Kami membentangkan (tanpa melakukan pengiraan) nilai momen inersia beberapa badan (diandaikan bahawa setiap badan ini mempunyai ketumpatan yang sama dalam semua bahagiannya).

Momen inersia gelang nipis mengenai paksi yang melalui pusatnya dan berserenjang dengan satahnya (Rajah 55):

Momen inersia cakera bulat (atau silinder) tentang paksi yang melalui pusatnya dan berserenjang dengan satahnya (momen kutub inersia cakera; Rajah 56):

Momen inersia cakera bulat nipis mengenai paksi yang bertepatan dengan diameternya (momen inersia khatulistiwa cakera; Rajah 57):

Momen inersia bola mengenai paksi yang melalui pusat bola:

Momen inersia lapisan sfera nipis jejari tentang paksi yang melalui pusat:

Momen inersia lapisan sfera tebal (bola berongga yang mempunyai jejari permukaan luar dan jejari rongga) tentang paksi yang melalui pusat:

Pengiraan momen inersia jasad dijalankan menggunakan kalkulus kamiran. Untuk memberi gambaran tentang perjalanan pengiraan sedemikian, kita dapati momen inersia rod berbanding paksi yang berserenjang dengannya (Rajah 58). Biarkan ada bahagian batang, ketumpatan. Kami memilih bahagian kecil rod, yang mempunyai panjang dan terletak pada jarak x dari paksi putaran. Kemudian jisimnya Oleh kerana ia berada pada jarak x dari paksi putaran, maka momen inersianya Kami menyepadukan dari sifar kepada I:

Momen inersia segi empat selari berpipet pada paksi simetri (Rajah 59)

Momen inersia torus anulus (Rajah 60)

Mari kita pertimbangkan bagaimana tenaga putaran badan yang bergolek (tanpa gelongsor) di sepanjang satah disambungkan dengan tenaga gerakan translasi badan ini,

Tenaga bagi gerakan translasi jasad bergolek ialah , di manakah jisim jasad dan halaju gerakan translasi. Biarkan nyatakan halaju sudut putaran badan bergolek dan jejari jasad itu. Adalah mudah untuk memahami bahawa kelajuan gerakan translasi badan bergolek tanpa gelongsor adalah sama dengan kelajuan lilitan badan pada titik sentuhan badan dengan satah (semasa badan membuat satu pusingan, pusat graviti badan bergerak jauh, oleh itu,

Dengan cara ini,

Tenaga putaran

Akibatnya,

Menggantikan di sini nilai-nilai momen inersia di atas, kami mendapati bahawa:

a) tenaga gerakan putaran gelung bergolek adalah sama dengan tenaga gerakan translasinya;

b) tenaga putaran cakera homogen bergolek adalah sama dengan separuh tenaga gerakan translasi;

c) tenaga putaran bola homogen bergolek ialah tenaga gerakan translasi.

Pergantungan momen inersia pada kedudukan paksi putaran. Biarkan rod (Rajah 61) dengan pusat graviti di titik C berputar dengan halaju sudut (o mengelilingi paksi O, berserenjang dengan satah lukisan. Katakan bahawa dalam tempoh masa tertentu ia bergerak dari kedudukan A B ke dan pusat graviti menggambarkan lengkok. Rod pergerakan ini boleh dianggap seolah-olah rod pertama secara translasi (iaitu, kekal selari dengan dirinya sendiri) bergerak ke kedudukan dan kemudian berputar di sekitar C ke kedudukan Mari kita nyatakan (jarak pusat graviti daripada paksi putaran) oleh a, dan sudut dengan Apabila rod bergerak dari kedudukan Dan Dalam kedudukan, sesaran setiap zarahnya adalah sama dengan sesaran pusat graviti, iaitu ia sama dengan atau Kepada mendapatkan pergerakan sebenar joran, kita boleh mengandaikan bahawa kedua-dua pergerakan ini dilakukan secara serentak.tentang paksi yang melalui O boleh diuraikan kepada dua bahagian.