Pertimbangkan dahulu jasad tegar berputar mengelilingi paksi tetap OZ dengan halaju sudut ω (rajah 5.6). Mari pecahkan badan kepada jisim asas. Halaju linear jisim asas ialah , di manakah jaraknya dari paksi putaran. Tenaga kinetik i-jisim asas itu akan sama dengan

.

Oleh itu, tenaga kinetik seluruh badan terdiri daripada tenaga kinetik bahagian-bahagiannya

.

Memandangkan jumlah di sebelah kanan hubungan ini mewakili momen inersia badan mengenai paksi putaran, akhirnya kita memperoleh

. (5.30)

Formula untuk tenaga kinetik badan berputar (5.30) adalah serupa dengan formula yang sepadan untuk tenaga kinetik gerakan translasi jasad. Mereka diperoleh daripada yang terakhir dengan penggantian rasmi .

AT kes am gerakan jasad tegar boleh diwakili sebagai jumlah gerakan - translasi dengan kelajuan, kelajuan yang sama pusat jisim badan, dan putaran dengan halaju sudut mengenai paksi segera yang melalui pusat jisim. Dalam kes ini, ungkapan untuk tenaga kinetik badan mengambil bentuk

.

Marilah kita mencari kerja yang dilakukan pada masa ini kuasa luar, semasa putaran badan tegar. Kerja asas kuasa luar dalam masa dt akan sama dengan perubahan tenaga kinetik badan

Mengambil perbezaan daripada tenaga kinetik gerakan putaran, kita dapati kenaikannya

.

Selaras dengan persamaan asas dinamik untuk gerakan putaran

Dengan mengambil kira hubungan ini, kami mengurangkan ungkapan untuk kerja asas kepada bentuk

di mana adalah unjuran momen yang terhasil bagi daya luar pada arah paksi putaran OZ, ialah sudut putaran jasad untuk tempoh masa yang dipertimbangkan.

Mengintegrasikan (5.31), kita memperoleh formula untuk kerja daya luar yang bertindak pada jasad berputar

Jika , maka formula dipermudahkan

Oleh itu, kerja daya luar semasa putaran jasad tegar mengenai paksi tetap ditentukan oleh tindakan unjuran momen daya ini pada paksi tertentu.

Giroskop

Giroskop ialah badan simetri yang berputar dengan pantas, paksi putarannya boleh mengubah arahnya di angkasa. Supaya paksi giroskop boleh berputar bebas di angkasa, giroskop diletakkan dalam apa yang dipanggil ampaian gimbal (Rajah 5.13). Roda tenaga giroskop berputar dalam sangkar anulus dalam mengelilingi paksi C 1 C 2 yang melalui pusat gravitinya. Sangkar dalam pula boleh berputar dalam sangkar luar mengelilingi paksi B 1 B 2 berserenjang dengan C 1 C 2 . Akhirnya, perlumbaan luar boleh berputar bebas dalam galas tupang di sekeliling paksi A 1 A 2 berserenjang dengan paksi C 1 C 2 dan B 1 B 2 . Ketiga-tiga paksi bersilang dalam beberapa titik tetap O, dipanggil pusat ampaian atau fulcrum giroskop. Gimbal dalam gimbal mempunyai tiga darjah kebebasan dan, oleh itu, boleh membuat sebarang putaran di sekeliling pusat gimbal. Jika pusat ampaian giroskop bertepatan dengan pusat gravitinya, maka momen graviti yang terhasil bagi semua bahagian giroskop berbanding dengan pusat ampaian adalah sama dengan sifar. Giroskop sedemikian dipanggil seimbang.

Sekarang mari kita pertimbangkan yang paling banyak sifat penting giroskop, yang telah menemui aplikasi luas dalam pelbagai bidang.

1) Kelestarian.

Dengan sebarang putaran rak giroskop seimbang, paksi putarannya mengekalkan arah yang sama berkenaan dengan sistem makmal rujukan. Ini disebabkan oleh fakta bahawa momen semua daya luaran, sama dengan momen daya geseran, adalah sangat kecil dan praktikalnya tidak menyebabkan perubahan dalam momentum sudut giroskop, i.e.

Oleh kerana momentum sudut diarahkan sepanjang paksi putaran giroskop, orientasinya mesti kekal tidak berubah.

Jika daya luar bertindak untuk masa yang singkat, maka kamiran yang menentukan kenaikan momentum sudut adalah kecil.

. (5.34)

Ini bermakna bahawa di bawah pengaruh jangka pendek walaupun kuasa besar, pergerakan giroskop seimbang berubah sedikit. Giroskop, seolah-olah, menentang semua percubaan untuk menukar magnitud dan arah momentum sudutnya. Dihubungkan dengan ini adalah kestabilan yang luar biasa yang diperoleh oleh gerakan giroskop selepas membawanya ke putaran pantas. Sifat giroskop ini digunakan secara meluas untuk mengawal pergerakan pesawat, kapal, roket dan kenderaan lain secara automatik.

Jika kita bertindak pada giroskop masa yang lama malar ke arah momen daya luaran, maka paksi giroskop ditubuhkan, pada akhirnya, ke arah momen daya luaran. Fenomena ini digunakan dalam gyrocompass. Peranti ini ialah giroskop, yang paksinya boleh diputar secara bebas satah mendatar. Disebabkan oleh putaran harian Bumi dan tindakan momen daya emparan, paksi giroskop diputarkan supaya sudut antara dan menjadi minimum (Rajah 5.14). Ini sepadan dengan kedudukan paksi giroskop dalam satah meridian.

2). Kesan gyroscopic.

Jika sepasang daya dan digunakan pada giroskop berputar, cenderung untuk memutarkannya pada paksi yang berserenjang dengan paksi putaran, maka ia akan berputar di sekitar paksi ketiga, berserenjang dengan dua yang pertama (Rajah 5.15). Tingkah laku luar biasa giroskop ini dipanggil kesan giroskop. Ia dijelaskan oleh fakta bahawa momen sepasang daya diarahkan sepanjang paksi O 1 O 1 dan perubahan dalam vektor dengan nilai dari masa ke masa akan mempunyai arah yang sama. Akibatnya, vektor baharu akan berputar pada paksi O 2 O 2. Oleh itu, kelakuan giroskop yang kelihatan tidak wajar sepenuhnya sepadan dengan undang-undang dinamik gerakan putaran.

3). Precession giro.

Kedahuluan giroskop ialah pergerakan kon paksinya. Ia berlaku apabila momen daya luaran, kekal malar dalam magnitud, berputar serentak dengan paksi giroskop, membentuk sudut tepat dengannya sepanjang masa. Untuk menunjukkan precession, roda basikal dengan gandar lanjutan, dibawa ke putaran pantas (Rajah 5.16), boleh berfungsi.

Jika roda digantung oleh hujung gandar yang dilanjutkan, maka gandarnya akan mula bergerak mengelilingi paksi menegak di bawah tindakan beratnya sendiri. Bahagian atas yang berputar dengan pantas juga boleh berfungsi sebagai demonstrasi precession.

Ketahui sebab-sebab precession giroskop. Pertimbangkan giroskop tidak seimbang yang paksinya boleh berputar bebas mengelilingi titik O tertentu (Rajah 5.16). Momen graviti yang digunakan pada giroskop adalah sama dalam magnitud

di mana ialah jisim giroskop, ialah jarak dari titik O ke pusat jisim giroskop, ialah sudut yang dibentuk oleh paksi giroskop dengan menegak. Vektor diarahkan berserenjang dengan satah menegak yang melalui paksi giroskop.

Di bawah tindakan momen ini, momentum sudut giroskop (permulaannya diletakkan pada titik O) akan menerima kenaikan masa, dan satah menegak yang melalui paksi giroskop akan berputar mengikut sudut. Vektor sentiasa berserenjang dengan , oleh itu, tanpa mengubah magnitud, vektor hanya berubah arah. Namun, selepas beberapa ketika susunan bersama vektor dan akan sama seperti dalam detik awal. Akibatnya, paksi giroskop akan terus berputar mengelilingi menegak, menggambarkan kon. Pergerakan ini dipanggil precession.

Mari kita tentukan halaju sudut precession. Menurut Rajah.5.16, sudut putaran satah yang melalui paksi kon dan paksi giroskop adalah sama dengan

di manakah momentum sudut giroskop, dan ialah kenaikannya dari semasa ke semasa.

Membahagi dengan , dengan mengambil kira hubungan dan penjelmaan di atas, kita memperoleh halaju sudut precession

. (5.35)

Untuk giroskop yang digunakan dalam teknologi, halaju sudut precession adalah berjuta-juta kali kurang daripada kelajuan putaran giroskop.

Sebagai kesimpulan, kita perhatikan bahawa fenomena precession juga diperhatikan dalam atom disebabkan oleh pergerakan orbit elektron.

Contoh penggunaan hukum dinamik

Pada gerakan berputar

1. Pertimbangkan beberapa contoh undang-undang pemuliharaan momentum sudut, yang boleh dilaksanakan menggunakan bangku Zhukovsky. Dalam kes yang paling mudah, bangku Zhukovsky ialah platform berbentuk cakera (kerusi) yang boleh berputar bebas di sekeliling paksi menegak pada galas bebola (Rajah 5.17). Penunjuk perasaan duduk atau berdiri di atas bangku, selepas itu ia dibawa ke dalam gerakan putaran. Disebabkan oleh fakta bahawa daya geseran akibat penggunaan galas adalah sangat kecil, momentum sudut sistem yang terdiri daripada bangku dan penunjuk, berbanding dengan paksi putaran, tidak boleh berubah dalam masa jika sistem dibiarkan sendiri. . Jika penunjuk perasaan memegang dumbbell berat di tangannya dan menyebarkan lengannya ke sisi, maka dia akan meningkatkan momen inersia sistem, dan oleh itu halaju sudut putaran mesti berkurangan supaya momentum sudut kekal tidak berubah.

Mengikut undang-undang pemuliharaan momentum sudut, kita menyusun persamaan untuk kes ini

di mana ialah momen inersia orang dan bangku, dan ialah momen inersia dumbbells dalam kedudukan pertama dan kedua, dan ialah halaju sudut sistem.

Halaju sudut putaran sistem apabila membiak dumbbells ke sisi akan sama dengan

.

kerja, disempurnakan oleh manusia apabila menggerakkan dumbbell, boleh ditentukan melalui perubahan tenaga kinetik sistem

2. Mari kita berikan satu lagi eksperimen dengan bangku Zhukovsky. Penunjuk perasaan duduk atau berdiri di atas bangku dan diberi roda berputar dengan pantas dengan paksi diarahkan menegak (Rajah 5.18). Penunjuk perasaan kemudian memutar roda 180 0 . Dalam kes ini, perubahan dalam momentum sudut roda dipindahkan sepenuhnya ke bangku simpanan dan penunjuk perasaan. Akibatnya, bangku, bersama-sama dengan penunjuk perasaan, datang ke putaran dengan halaju sudut ditentukan berdasarkan undang-undang pemuliharaan momentum sudut.

Momentum sudut sistem dalam keadaan awal hanya ditentukan oleh momen momentum roda dan adalah sama dengan

di mana adalah momen inersia roda, ialah halaju sudut putarannya.

Selepas memusingkan roda pada sudut 180 0, momen momentum sistem sudah pun ditentukan oleh jumlah momen momentum bangku dengan orang dan momen momentum roda. Mengambil kira fakta bahawa vektor momentum roda telah menukar arahnya ke arah yang bertentangan, dan unjurannya kepada paksi menegak menjadi negatif, kita dapat

,

di mana adalah momen inersia sistem "man-platform", ialah halaju sudut putaran bangku dengan orang itu.

Mengikut undang-undang pemuliharaan momentum sudut

dan .

Akibatnya, kita dapati kelajuan putaran bangku simpanan

3. Jisim rod nipis m dan panjang l berputar dengan halaju sudut ω=10 s -1 dalam satah mengufuk mengelilingi paksi mencancang yang melalui bahagian tengah rod. Terus berputar dalam satah yang sama, rod bergerak supaya paksi putaran kini melalui hujung rod. Cari halaju sudut dalam kes kedua.

Dalam masalah ini, disebabkan oleh fakta bahawa taburan jisim rod relatif kepada paksi putaran berubah, momen inersia rod juga berubah. Selaras dengan undang-undang pemuliharaan momentum sudut sistem terpencil, kita ada

Di sini - momen inersia rod mengenai paksi yang melalui tengah rod; - momen inersia rod mengenai paksi yang melalui hujungnya dan ditemui oleh teorem Steiner.

Menggantikan ungkapan ini ke dalam undang-undang pemuliharaan momentum sudut, kita perolehi

,

.

4. Panjang batang L=1.5 m dan berat m 1=10 kg berengsel di hujung atas. Peluru mengenai bahagian tengah rod dengan jisim m2=10 g, terbang mendatar pada kelajuan =500 m/s, dan tersangkut pada batang. Melalui sudut apakah rod akan menyimpang selepas hentaman?

Mari kita bayangkan dalam Rajah. 5.19. sistem badan yang berinteraksi "rod-bullet". Momen daya luar (graviti, tindak balas paksi) pada saat hentaman adalah sama dengan sifar, jadi kita boleh menggunakan undang-undang pemuliharaan momentum sudut

Momentum sudut sistem sebelum hentaman adalah sama dengan momentum sudut peluru berbanding dengan titik penggantungan

Momentum sudut sistem selepas hentaman tak anjal ditentukan oleh formula

,

di mana adalah momen inersia rod berbanding dengan titik ampaian, ialah momen inersia peluru, ialah halaju sudut rod dengan peluru sejurus selepas hentaman.

Menyelesaikan persamaan yang terhasil selepas penggantian, kita dapati

.

Sekarang mari kita gunakan undang-undang pemuliharaan tenaga mekanikal. Mari kita samakan tenaga kinetik joran selepas pelurunya mengenainya tenaga keupayaan dalam titik tertinggi mengangkat:

,

di manakah ketinggian pusat jisim sistem yang diberi.

Setelah melakukan transformasi yang diperlukan, kami memperoleh

Sudut pesongan rod berkaitan dengan nilai mengikut nisbah

.

Setelah menjalankan pengiraan, kita memperoleh =0,1p=18 0 .

5. Tentukan pecutan badan dan ketegangan benang pada mesin Atwood, dengan andaian (Rajah 5.20). Momen inersia bongkah mengenai paksi putaran ialah saya, jejari blok r. Abaikan jisim benang.

Mari kita susun semua daya yang bertindak pada beban dan blok, dan susun persamaan dinamik untuknya

Jika tiada gelinciran benang di sepanjang blok, maka linear dan pecutan sudut berkaitan antara satu sama lain dengan perhubungan

Menyelesaikan persamaan ini, kita dapat

Kemudian kita dapati T 1 dan T 2 .

6. Benang dilekatkan pada takal salib Oberbeck (Rajah 5.21), di mana beban jisim M= 0.5 kg. Tentukan berapa lama masa yang diambil untuk beban jatuh dari ketinggian h=1 m ke kedudukan bawah. Jejari takal r\u003d 3 cm. Empat berat jisim m= 250g setiap satu pada jarak R= 30 cm dari paksinya. Abaikan momen inersia salib itu sendiri dan takal berbanding dengan momen inersia pemberat.

Tenaga kinetik putaran

Kuliah 3. Dinamik badan tegar

Rancangan kuliah

3.1. Detik kuasa.

3.2. Persamaan asas bagi gerakan putaran. Momen inersia.

3.3. Tenaga kinetik putaran.

3.4. momen impuls. Hukum kekekalan momentum sudut.

3.5. Analogi antara gerakan translasi dan putaran.

Detik kuasa

Pertimbangkan pergerakan jasad tegar mengelilingi paksi tetap. Biarkan jasad tegar mempunyai paksi putaran tetap ОО ( rajah.3.1) dan daya sewenang-wenangnya dikenakan padanya.

nasi. 3.1

Kami menguraikan daya kepada dua komponen daya, daya terletak pada satah putaran, dan daya selari dengan paksi putaran. Kemudian kita menguraikan daya kepada dua komponen: – bertindak sepanjang vektor jejari dan – berserenjang dengannya.

Tiada sebarang daya yang dikenakan pada badan akan memutarkannya. Paksa dan buat tekanan pada galas, tetapi jangan putarkannya.

Daya mungkin atau mungkin tidak menyebabkan badan menjadi tidak seimbang, bergantung pada di mana dalam vektor jejari ia digunakan. Oleh itu, konsep momen daya tentang paksi diperkenalkan. Detik kekerasan relatif kepada paksi putaran dipanggil hasil vektor vektor jejari dan daya.

Vektor diarahkan sepanjang paksi putaran dan ditentukan oleh peraturan hasil silang atau peraturan skru kanan, atau peraturan gimlet.

Modulus momen daya

dengan α ialah sudut antara vektor dan .

Daripada Rajah.3.1. itu jelas .

r0 – jarak terpendek dari paksi putaran ke garis tindakan daya dan dipanggil lengan daya. Kemudian momen daya boleh ditulis

M = F r 0 . (3.3)

Daripada rajah. 3.1.

di mana F ialah unjuran vektor ke arah, berserenjang dengan vektor vektor jejari . Dalam kes ini, momen kekerasan adalah

. (3.4)

Jika beberapa daya bertindak ke atas jasad, maka momen daya yang terhasil adalah sama dengan jumlah vektor momen daya individu, tetapi kerana semua momen diarahkan sepanjang paksi, ia boleh diganti. jumlah algebra. Momen akan dianggap positif jika ia memutar badan mengikut arah jam dan negatif jika mengikut lawan jam. Jika semua momen daya adalah sama dengan sifar (), jasad akan berada dalam keseimbangan.

Konsep momen daya boleh ditunjukkan menggunakan "gegelung aneh". Gelendong benang ditarik oleh hujung bebas benang ( nasi. 3.2).

nasi. 3.2

Bergantung pada arah ketegangan benang, gegelung berguling ke satu arah atau yang lain. Jika anda menarik pada sudut α , maka momen daya terhadap paksi O(berserenjang dengan rajah) memutarkan gegelung mengikut lawan jam dan ia bergolek ke belakang. Sekiranya berlaku ketegangan pada sudut β tork adalah lawan jam dan gegelung bergolek ke hadapan.

Menggunakan keadaan keseimbangan (), anda boleh membina mekanisme mudah, yang merupakan "penukar" daya, i.e. Dengan menggunakan lebih sedikit daya, anda boleh mengangkat dan mengalihkan beban dengan berat yang berbeza. Leverage, kereta sorong, blok adalah berdasarkan prinsip ini. jenis yang berbeza yang digunakan secara meluas dalam pembinaan. Untuk mematuhi keadaan keseimbangan dalam kren pembinaan untuk mengimbangi momen daya yang disebabkan oleh berat beban, sentiasa ada sistem pengimbang yang mencipta momen daya tanda yang bertentangan.

3.2. Persamaan putaran asas
pergerakan. Momen inersia

Pertimbangkan badan yang benar-benar tegar berputar mengelilingi paksi tetap OO(rajah.3.3). Mari kita secara mental membahagikan badan ini kepada unsur-unsur dengan jisim Δ m 1, Δ m2, …, Δ m n. Semasa putaran, elemen ini akan menerangkan bulatan dengan jejari r1,r2 , …,rn. Daya bertindak pada setiap elemen F1,F2 , …,F n. Putaran jasad mengelilingi paksi OO berlaku di bawah pengaruh jumlah momen daya M.

M \u003d M 1 + M 2 + ... + M n (3.4)

di mana M 1 = F 1 r 1, M 2 = F 2 r 2, ..., M n = F n r n

Mengikut undang-undang kedua Newton, setiap daya F, bertindak ke atas unsur jisim D m, menyebabkan pecutan unsur yang diberikan a, iaitu

F i = D m i a i (3.5)

Menggantikan nilai yang sepadan ke dalam (3.4), kami memperoleh

nasi. 3.3

Mengetahui hubungan antara pecutan sudut linear ε () dan bahawa pecutan sudut adalah sama untuk semua elemen, formula (3.6) akan kelihatan seperti

M = (3.7)

=saya (3.8)

saya ialah momen inersia badan mengenai paksi tetap.

Kemudian kita akan dapat

M = I ε (3.9)

Atau dalam bentuk vektor

(3.10)

Persamaan ini ialah persamaan asas untuk dinamik gerakan putaran. Bentuknya serupa dengan Persamaan II hukum Newton. Daripada (3.10) momen inersia ialah

Oleh itu, momen inersia jasad tertentu ialah nisbah momen daya kepada pecutan sudut yang disebabkan olehnya. Daripada (3.11) dapat dilihat bahawa momen inersia ialah ukuran inersia badan berkenaan dengan gerakan putaran. Momen inersia memainkan peranan yang sama seperti jisim dalam gerakan translasi. unit SI [ saya] = kg m 2. Daripada formula (3.7) ia mengikuti bahawa momen inersia mencirikan taburan jisim zarah badan berbanding dengan paksi putaran.

Jadi, momen inersia unsur berjisim ∆m bergerak di sepanjang bulatan jejari r adalah sama dengan

saya = r2 D m (3.12)

saya= (3.13)

Bila pengedaran berterusan jumlah jisim boleh digantikan dengan kamiran

I= ∫ r 2 dm (3.14)

di mana integrasi dilakukan ke atas seluruh jisim badan.

Ini menunjukkan bahawa momen inersia badan bergantung kepada jisim dan taburannya berbanding dengan paksi putaran. Ini boleh ditunjukkan secara eksperimen rajah.3.4).

nasi. 3.4

Dua silinder bulat, satu berongga (contohnya, logam), satu lagi pepejal (kayu) dengan sama panjang, jejari dan jisim mula bergolek ke bawah serentak. Silinder berongga dengan momen inersia yang besar akan ketinggalan di belakang silinder pepejal.

Anda boleh mengira momen inersia jika anda mengetahui jisim m dan taburannya berbanding paksi putaran. Kes paling mudah ialah cincin, apabila semua unsur jisim terletak sama dari paksi putaran ( nasi. 3.5):

saya= (3.15)

nasi. 3.5

Mari kita berikan ungkapan untuk momen inersia bagi jasad simetri yang berbeza dengan jisim m.

1. Momen inersia cincin, silinder berdinding nipis berongga tentang paksi putaran yang bertepatan dengan paksi simetri.

, (3.16)

r ialah jejari gelang atau silinder

2. Untuk silinder pepejal dan cakera, momen inersia tentang paksi simetri

(3.17)

3. Momen inersia bola mengenai paksi yang melalui pusat

(3.18)

r- jejari bola

4. Momen inersia rod nipis panjang l berbanding dengan paksi yang berserenjang dengan rod dan melalui bahagian tengahnya

(3.19)

l- panjang batang.

Jika paksi putaran tidak melalui pusat jisim, maka momen inersia jasad terhadap paksi ini ditentukan oleh teorem Steiner.

(3.20)

Menurut teorem ini, momen inersia mengenai paksi arbitrari О'O' ( ) adalah sama dengan momen inersia mengenai paksi selari yang melalui pusat jisim badan ( ) tambah hasil jisim badan darab kuasa dua jarak a antara gandar ( nasi. 3.6).

nasi. 3.6

Tenaga kinetik putaran

Pertimbangkan putaran jasad tegar mutlak di sekeliling paksi tetap OO dengan halaju sudut ω (nasi. 3.7). Jom belah badan tegar tu n jisim asas ∆ m i. Setiap unsur jisim berputar pada bulatan jejari r i dengan kelajuan linear(). Tenaga kinetik ialah jumlah tenaga kinetik unsur-unsur individu.

(3.21)

nasi. 3.7

Ingat dari (3.13) bahawa ialah momen inersia mengenai paksi OO.

Oleh itu, tenaga kinetik badan berputar

E k \u003d (3.22)

Kami telah mempertimbangkan tenaga kinetik putaran di sekeliling paksi tetap. Jika badan terlibat dalam dua pergerakan: dalam gerakan translasi dan putaran, maka tenaga kinetik badan ialah jumlah tenaga kinetik gerakan translasi dan tenaga kinetik putaran.

Contohnya, sebiji bola berjisim m bergolek; pusat jisim bola bergerak ke hadapan dengan laju u (nasi. 3.8).

nasi. 3.8

Jumlah tenaga kinetik bola akan sama dengan

(3.23)

3.4. momen impuls. undang-undang pemuliharaan
momentum sudut

Kuantiti fizikal sama dengan produk momen inersia saya kepada kelajuan sudut ω , dipanggil momentum sudut (momen momentum) L tentang paksi putaran.

– momentum sudut ialah kuantiti vektor dan bertepatan dalam arah dengan arah halaju sudut .

Membezakan persamaan (3.24) berkenaan dengan masa, kita perolehi

di mana, M ialah jumlah momen kuasa luar. Dalam sistem terpencil, tiada momen kuasa luar ( M=0) dan

« Fizik - Darjah 10"

Mengapa pemain skate meregang sepanjang paksi putaran untuk meningkatkan halaju sudut putaran.
Sekiranya helikopter berputar apabila kipasnya berputar?

Soalan-soalan yang dikemukakan mencadangkan bahawa jika daya luar tidak bertindak ke atas badan atau tindakannya diberi pampasan dan satu bahagian badan mula berputar ke satu arah, maka bahagian lain mesti berputar ke arah lain, sama seperti apabila bahan api dikeluarkan dari roket, roket itu sendiri bergerak ke arah yang bertentangan.

momen impuls.

Jika kita menganggap cakera berputar, ia menjadi jelas bahawa jumlah momentum cakera adalah sifar, kerana mana-mana zarah badan sepadan dengan zarah yang bergerak dengan kelajuan yang sama dalam nilai mutlak, tetapi dalam arah yang bertentangan (Rajah 6.9).

Tetapi cakera bergerak, halaju sudut putaran semua zarah adalah sama. Walau bagaimanapun, adalah jelas bahawa semakin jauh zarah itu dari paksi putaran, semakin besar momentumnya. Oleh itu, untuk gerakan putaran adalah perlu untuk memperkenalkan satu lagi ciri, serupa dengan impuls, - momentum sudut.

Momentum sudut zarah yang bergerak dalam bulatan ialah hasil darab momentum zarah dan jarak daripadanya ke paksi putaran (Rajah 6.10):

Halaju linear dan sudut dikaitkan dengan v = ωr, maka

Semua titik jirim tegar bergerak relatif kepada paksi tetap putaran dengan halaju sudut yang sama. Badan tegar boleh diwakili sebagai koleksi mata material.

momentum sudut badan padat adalah sama dengan produk momen inersia per halaju sudut putaran:

Momentum sudut ialah kuantiti vektor, mengikut formula (6.3), momentum sudut diarahkan dengan cara yang sama seperti halaju sudut.

Persamaan asas dinamik gerakan putaran dalam bentuk impulsif.

Pecutan sudut jasad adalah sama dengan perubahan halaju sudut dibahagikan dengan selang masa semasa perubahan ini berlaku: Gantikan ungkapan ini ke dalam persamaan asas untuk dinamik gerakan putaran maka I(ω 2 - ω 1) = MΔt, atau IΔω = MΔt.

Oleh itu,

∆L = M∆t. (6.4)

Perubahan dalam momentum sudut adalah sama dengan hasil kali jumlah momen daya yang bertindak ke atas jasad atau sistem dan masa tindakan daya-daya ini.

Hukum kekekalan momentum sudut:

Jika jumlah momen daya yang bertindak ke atas jasad atau sistem jasad dengan paksi tetap putaran adalah sama dengan sifar, maka perubahan dalam momentum sudut juga sama dengan sifar, iaitu momentum sudut sistem kekal malar.

∆L=0, L=const.

Perubahan dalam momentum sistem adalah sama dengan jumlah momentum daya yang bertindak ke atas sistem.

Pemain luncur berputar merentangkan tangannya ke tepi, dengan itu meningkatkan momen inersia untuk mengurangkan halaju sudut putaran.

Undang-undang pemuliharaan momentum sudut boleh ditunjukkan menggunakan eksperimen berikut, yang dipanggil "eksperimen dengan bangku Zhukovsky." Seseorang berdiri di atas bangku dengan paksi menegak putaran melalui pusatnya. Lelaki itu memegang dumbbell di tangannya. Jika bangku dibuat untuk berputar, maka seseorang boleh menukar kelajuan putaran dengan menekan dumbbell ke dadanya atau menurunkan tangannya, dan kemudian merenggangkannya. Sambil merenggangkan tangannya, dia meningkatkan momen inersia, dan halaju sudut putaran berkurangan (Rajah 6.11, a), menurunkan tangannya, dia mengurangkan momen inersia, dan halaju sudut putaran bangku meningkat (Gamb. 6.11, b).

Seseorang juga boleh membuat bangku berputar dengan berjalan di sepanjang tepinya. Dalam kes ini, bangku akan berputar ke arah yang bertentangan, kerana jumlah momentum sudut mesti kekal sama dengan sifar.

Prinsip pengendalian peranti yang dipanggil giroskop adalah berdasarkan undang-undang pemuliharaan momentum sudut. Harta utama giroskop ialah pemeliharaan arah paksi putaran, jika daya luaran tidak bertindak pada paksi ini. Pada abad ke-19 giroskop digunakan oleh pelayar untuk mengemudi laut.

Tenaga kinetik jasad tegar berputar.

Tenaga kinetik badan pepejal berputar adalah sama dengan jumlah tenaga kinetik zarah individunya. Marilah kita membahagikan badan kepada unsur-unsur kecil, setiap satunya boleh dianggap sebagai titik material. Maka tenaga kinetik badan adalah sama dengan jumlah tenaga kinetik titik bahan yang terdiri daripadanya:

Halaju sudut putaran semua titik jasad adalah sama, oleh itu,

Nilai dalam kurungan, seperti yang kita sedia maklum, ialah momen inersia badan tegar. Akhirnya, formula untuk tenaga kinetik jasad tegar dengan paksi tetap putaran mempunyai bentuk

Dalam kes umum gerakan jasad tegar, apabila paksi putaran bebas, tenaga kinetiknya adalah sama dengan jumlah tenaga gerakan translasi dan putaran. Jadi, tenaga kinetik roda, yang jisimnya tertumpu di rim, bergolek di sepanjang jalan dengan kelajuan tetap, adalah sama dengan

Jadual membandingkan formula mekanik gerakan translasi titik material dengan formula yang serupa untuk gerakan putaran jasad tegar.

Tugasan

1. Tentukan berapa kali jisim berkesan lebih daripada jisim graviti kereta api seberat 4000 tan, jika jisim roda adalah 15% daripada jisim kereta api itu. Pertimbangkan roda sebagai cakera dengan diameter 1.02 m. Bagaimanakah jawapan akan berubah jika diameter roda adalah separuh daripada itu?

2. Tentukan pecutan sepasang roda berjisim 1200 kg bergolek menuruni bukit dengan kecerunan 0.08. Pertimbangkan roda sebagai cakera. Pekali rintangan bergolek 0.004. Tentukan daya lekatan roda pada rel.

3. Tentukan pecutan dengan sepasang roda berjisim 1400 kg bergolek ke atas sebuah bukit dengan kecerunan 0.05. Pekali seret 0.002. Apakah pekali lekatan yang sepatutnya supaya roda tidak tergelincir. Pertimbangkan roda sebagai cakera.

4. Tentukan pecutan dengan mana sebuah gerabak seberat 40 tan bergolek menuruni bukit dengan kecerunan 0.020 jika ia mempunyai lapan roda seberat 1200 kg dan diameter 1.02 m. Tentukan daya lekatan roda tersebut ke rel. Pekali seret 0.003.

5. Tentukan daya tekanan kasut brek pada tayar, jika kereta api seberat 4000 tan menjadi perlahan dengan pecutan 0.3 m/s 2 . Momen inersia satu set roda ialah 600 kg m 2 , bilangan gandar ialah 400, pekali geseran gelongsor blok ialah 0.18, pekali rintangan gelek ialah 0.004.

6. Tentukan daya brek yang bertindak pada gerabak empat gandar dengan jisim 60 tan pada pad brek kawasan marshalling jika kelajuan pada trek 30 m berkurangan daripada 2 m/s kepada 1.5 m/s. Momen inersia satu set roda ialah 500 kg m 2 .

7. Meter laju lokomotif menunjukkan peningkatan kelajuan kereta api dalam masa satu minit daripada 10 m/s kepada 60 m/s. Mungkin, terdapat tergelincir pada roda depan. Tentukan momen daya yang bertindak pada angker motor elektrik. Momen inersia set roda 600 kg m 2 , sauh 120 kg m 2 . Gear nisbah gear 4.2. Daya tekanan pada rel ialah 200 kN, pekali geseran gelongsor roda di sepanjang rel ialah 0.10.

11. TENAGA KINETIK PEMUTAR

PERGERAKAN

Kami memperoleh formula untuk tenaga kinetik gerakan putaran. Biarkan badan berputar dengan halaju sudut ω tentang paksi tetap. Mana-mana zarah kecil badan pergerakan ke hadapan dalam bulatan dengan kelajuan , di mana r i - jarak ke paksi putaran, jejari orbit. Tenaga kinetik zarah jisim m i adalah sama dengan . Jumlah tenaga kinetik sistem zarah adalah sama dengan jumlah tenaga kinetiknya. Mari kita rumuskan formula untuk tenaga kinetik zarah jasad dan keluarkan tanda hasil tambah separuh kuasa dua halaju sudut, yang sama untuk semua zarah, . Hasil tambah hasil jisim zarah dan kuasa dua jaraknya ke paksi putaran ialah momen inersia jasad terhadap paksi putaran . Jadi, tenaga kinetik jasad yang berputar pada paksi tetap adalah sama dengan separuh hasil darab momen inersia jasad terhadap paksi dan kuasa dua halaju sudut putaran:

Dengan bantuan badan berputar adalah mungkin untuk disimpan tenaga mekanikal. Badan sedemikian dipanggil roda tenaga. Biasanya ini adalah badan revolusi. Penggunaan roda tenaga dalam roda tembikar telah diketahui sejak zaman dahulu. dalam enjin pembakaran dalaman semasa lejang kerja, omboh memberikan tenaga mekanikal kepada roda tenaga, yang kemudiannya melakukan kerja pada putaran aci enjin untuk tiga kitaran seterusnya. Dalam cetakan dan penekan, roda tenaga digerakkan oleh motor elektrik berkuasa rendah, mengumpul tenaga mekanikal selama hampir giliran penuh dan dalam masa yang singkat impak memberikannya kepada kerja pengecapan.

Banyak percubaan diketahui menggunakan roda tenaga berputar untuk memandu kenderaan: kereta, bas. Mereka dipanggil mahomobiles, pembawa giro. Banyak mesin eksperimen sedemikian telah dicipta. Ia menjanjikan untuk menggunakan roda tenaga untuk penyimpanan tenaga semasa membrek kereta api elektrik untuk menggunakan tenaga terkumpul semasa pecutan berikutnya. Penyimpanan tenaga roda tenaga diketahui digunakan pada kereta api bawah tanah New York City.

Mari kita tentukan tenaga kinetik jasad tegar yang berputar mengelilingi paksi tetap. Mari bahagikan badan ini kepada n titik material. Setiap titik bergerak dengan kelajuan linear υ i =ωr i , kemudian tenaga kinetik titik itu

atau

Jumlah tenaga kinetik badan tegar berputar adalah sama dengan jumlah tenaga kinetik semua titik bahannya:

(3.22)

(J - momen inersia badan mengenai paksi putaran)

Jika trajektori semua titik terletak pada satah selari (seperti silinder bergolek ke bawah satah condong, setiap titik bergerak dalam satahnya sendiri rajah), ini gerakan rata. Menurut prinsip Euler, gerakan satah sentiasa boleh diuraikan dalam beberapa cara yang tidak terhingga kepada gerakan translasi dan putaran. Jika bola jatuh atau tergelincir di sepanjang satah condong, ia hanya bergerak ke hadapan; apabila bola bergolek, ia juga berputar.

Jika jasad melakukan gerakan translasi dan putaran pada masa yang sama, maka jumlah tenaga kinetiknya adalah sama dengan

(3.23)

Daripada perbandingan rumus tenaga kinetik untuk gerakan translasi dan putaran, dapat dilihat bahawa ukuran inersia semasa gerakan putaran ialah momen inersia jasad.

§ 3.6 Kerja daya luar semasa putaran jasad tegar

Apabila jasad tegar berputar, tenaga potensinya tidak berubah, oleh itu, kerja asas daya luaran adalah sama dengan kenaikan tenaga kinetik badan:

dA = dE atau

Memandangkan Jβ = M, ωdr = dφ, kita mempunyai α badan pada sudut terhingga φ sama

(3.25)

Apabila jasad tegar berputar mengelilingi paksi tetap, kerja daya luar ditentukan oleh tindakan momen daya ini terhadap paksi tertentu. Jika momen daya pada paksi adalah sama dengan sifar, maka daya ini tidak menghasilkan kerja.

Contoh penyelesaian masalah

Contoh 2.1. jisim roda tenagam=5kg dan jejarir= 0.2 m berputar mengelilingi paksi mengufuk dengan frekuensiν 0 =720 min -1 dan berhenti apabila membrekt=20 s. Cari tork brek dan bilangan pusingan sebelum berhenti.

Untuk menentukan tork brek, kami menggunakan persamaan asas untuk dinamik gerakan putaran

di mana I=mr 2 ialah momen inersia cakera; Δω \u003d ω - ω 0, dan ω \u003d 0 ialah halaju sudut akhir, ω 0 \u003d 2πν 0 ialah halaju awal. M ialah momen brek bagi daya yang bertindak pada cakera.

Mengetahui semua kuantiti, adalah mungkin untuk menentukan tork brek

Encik 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Daripada kinematik gerakan putaran, sudut putaran semasa putaran cakera untuk berhenti boleh ditentukan oleh formula

(3)

di mana β ialah pecutan sudut.

Mengikut keadaan masalah: ω = ω 0 - βΔt, kerana ω=0, ω 0 = βΔt

Kemudian ungkapan (2) boleh ditulis sebagai:

Contoh 2.2. Dua roda tenaga dalam bentuk cakera dengan jejari dan jisim yang sama dipusing sehingga kelajuan putarann= 480 rpm dan dibiarkan sendiri. Di bawah tindakan daya geseran aci pada galas, yang pertama berhenti selepas itut\u003d 80 s, dan yang kedua melakukannyaN= 240 pusingan untuk berhenti. Dalam roda tenaga yang mana, momen daya geseran aci pada galas adalah lebih besar dan berapa kali.

Kita akan mencari momen daya duri M 1 roda tenaga pertama menggunakan persamaan asas dinamik gerakan putaran

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

di mana Δt ialah masa tindakan momen daya geseran, I \u003d mr 2 - momen inersia roda tenaga, ω 1 \u003d 2πν dan ω 2 \u003d 0 ialah halaju sudut awal dan akhir roda tenaga

Kemudian

Momen daya geseran M 2 roda tenaga kedua dinyatakan melalui hubungan antara kerja A daya geseran dan perubahan tenaga kinetiknya ΔE k:

di mana Δφ = 2πN ialah sudut putaran, N ialah bilangan pusingan roda tenaga.

Kemudian di mana

O nisbah akan menjadi

Tork geseran roda tenaga kedua adalah 1.33 kali lebih besar.

Contoh 2.3. Jisim cakera pepejal homogen m, jisim beban m 1 dan m 2 (rajah 15). Tiada gelinciran dan geseran benang pada paksi silinder. Cari pecutan jisim dan nisbah tegangan benangdalam proses pergerakan.

Tiada gelinciran benang, oleh itu, apabila m 1 dan m 2 akan membuat gerakan translasi, silinder akan berputar pada paksi yang melalui titik O. Mari kita andaikan untuk kepastian bahawa m 2 > m 1.

Kemudian beban m 2 diturunkan dan silinder berputar mengikut arah jam. Mari kita tuliskan persamaan pergerakan badan yang termasuk dalam sistem

Dua persamaan pertama ditulis untuk jasad dengan jisim m 1 dan m 2 melakukan gerakan translasi, dan persamaan ketiga adalah untuk silinder berputar. Dalam persamaan ketiga, di sebelah kiri adalah jumlah momen daya yang bertindak ke atas silinder (momen daya T 1 diambil dengan tanda tolak, kerana daya T 1 cenderung untuk memutarkan silinder mengikut lawan jam). Di sebelah kanan, I ialah momen inersia silinder mengenai paksi O, yang sama dengan

di mana R ialah jejari silinder; β ialah pecutan sudut silinder.

Oleh kerana tiada slip benang,
. Dengan mengambil kira ungkapan untuk I dan β, kita dapat:

Menambah persamaan sistem, kita sampai pada persamaan

Dari sini kita dapati pecutan a kargo

Ia boleh dilihat dari persamaan yang terhasil bahawa ketegangan benang akan sama, i.e. =1 jika jisim silinder jauh lebih kecil daripada jisim pemberat.

Contoh 2.4. Sebiji bola berongga berjisim m = 0.5 kg mempunyai jejari luar R = 0.08m dan jejari dalam r = 0.06m. Bola berputar mengelilingi paksi yang melalui pusatnya. Pada masa tertentu, daya mula bertindak ke atas bola, akibatnya sudut putaran bola berubah mengikut undang-undang
. Tentukan momen daya yang dikenakan.

Kami menyelesaikan masalah menggunakan persamaan asas dinamik gerakan putaran
. Kesukaran utama adalah untuk menentukan momen inersia bola berongga, dan pecutan sudut β didapati sebagai
. Momen inersia I bola berongga adalah sama dengan perbezaan antara momen inersia bola berjejari R dan bola berjejari r:

di mana ρ ialah ketumpatan bahan bola. Kami mencari ketumpatan, mengetahui jisim bola berongga

Dari sini kita menentukan ketumpatan bahan bola

Untuk momen daya M kita memperoleh ungkapan berikut:

Contoh 2.5. Sebatang rod nipis berjisim 300 g dan panjang 50 cm berputar dengan halaju sudut 10 s. -1 dalam satah mengufuk mengelilingi paksi menegak yang melalui tengah-tengah rod. Cari halaju sudut jika, semasa putaran dalam satah yang sama, rod bergerak supaya paksi putaran melalui hujung rod.

Kami menggunakan undang-undang pemuliharaan momentum sudut

(1)

(J i - momen inersia rod berbanding paksi putaran).

Bagi sistem jasad terpencil, jumlah vektor momentum sudut kekal malar. Disebabkan oleh fakta bahawa pengagihan jisim rod relatif kepada paksi putaran berubah, momen inersia rod juga berubah mengikut (1):

J 0 ω 1 = J 2 ω 2 . (2)

Adalah diketahui bahawa momen inersia rod mengenai paksi yang melalui pusat jisim dan berserenjang dengan rod adalah sama dengan

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

Mengikut teorem Steiner

J = J 0 +m a 2

(J ialah momen inersia rod mengenai paksi putaran arbitrari; J 0 ialah momen inersia mengenai paksi selari yang melalui pusat jisim; a- jarak dari pusat jisim ke paksi putaran yang dipilih).

Mari cari momen inersia tentang paksi yang melalui hujungnya dan berserenjang dengan rod:

J 2 \u003d J 0 +m a 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)

Mari kita gantikan formula (3) dan (4) kepada (2):

mℓ 2 ω 1/12 = mℓ 2 ω 2/3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2.5s -1

Contoh 2.6 . lelaki jisimm= 60 kg, berdiri di tepi pelantar dengan jisim M = 120 kg, berputar dengan inersia mengelilingi paksi menegak tetap dengan frekuensi ν 1 =12min -1 , pergi ke pusatnya. Mempertimbangkan platform sebagai cakera homogen bulat, dan orang sebagai jisim titik, tentukan dengan kekerapan ν 2 platform kemudian akan berputar.

Diberi: m=60kg, M=120kg, ν 1 =12min -1 = 0.2s -1 .

Cari: v 1

Keputusan: Mengikut keadaan masalah, platform dengan orang itu berputar dengan inersia, i.e. momen yang terhasil bagi semua daya yang dikenakan pada sistem berputar adalah sifar. Oleh itu, untuk sistem "platform-man", undang-undang pemuliharaan momentum dipenuhi

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

di mana
- momen inersia sistem apabila seseorang berdiri di pinggir platform (kami mengambil kira bahawa momen inersia platform adalah sama dengan (R ialah jejari p
platform), momen inersia seseorang di tepi pelantar ialah mR 2).

- momen inersia sistem apabila seseorang berdiri di tengah platform (kami mengambil kira bahawa momen seseorang berdiri di tengah platform adalah sama dengan sifar). Halaju sudut ω 1 = 2π ν 1 dan ω 1 = 2π ν 2 .

Menggantikan ungkapan bertulis ke dalam formula (1), kita perolehi

dari mana kelajuan putaran yang dikehendaki

Jawab: v 2 =24 min -1 .