Takrif klasik teori kebarangkalian. Kebarangkalian klasik dan sifatnya

Kebarangkalian sesuatu peristiwa difahami sebagai beberapa ciri berangka kemungkinan berlakunya peristiwa ini. Terdapat beberapa pendekatan untuk menentukan kebarangkalian.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa TAPI ialah nisbah bilangan hasil yang menguntungkan acara ini kepada jumlah bilangan semua hasil asas tidak serasi yang sama mungkin yang membentuk kumpulan lengkap. Jadi kebarangkalian sesuatu kejadian TAPI ditentukan oleh formula

di mana m ialah bilangan hasil asas yang memihak TAPI, n- bilangan semua kemungkinan hasil asas ujian.

Contoh 3.1. Dalam eksperimen dengan membaling dadu, bilangan semua hasil n ialah 6 dan mereka semua sama mungkin. Biarkan acara itu TAPI bermaksud rupa nombor genap. Kemudian untuk acara ini, hasil yang menggalakkan ialah penampilan nombor 2, 4, 6. Nombor mereka ialah 3. Oleh itu, kebarangkalian acara itu TAPI adalah sama dengan

Contoh 3.2. Apakah kebarangkalian bahawa digit dalam nombor dua digit yang dipilih secara rawak adalah sama?

Nombor dua digit ialah nombor dari 10 hingga 99, jumlahnya ada 90 nombor. 9 nombor mempunyai nombor yang sama (ini ialah nombor 11, 22, ..., 99). Sejak dalam kes ini m=9, n=90, maka

di mana TAPI- peristiwa, "nombor dengan digit yang sama."

Contoh 3.3. Terdapat 7 bahagian standard dalam banyak 10 bahagian. Cari kebarangkalian terdapat 4 bahagian piawai di antara enam bahagian yang dipilih secara rawak.

Jumlah bilangan kemungkinan hasil asas ujian adalah sama dengan bilangan cara di mana 6 bahagian boleh diekstrak daripada 10, iaitu bilangan gabungan 10 unsur 6 unsur. Tentukan bilangan hasil yang memihak kepada acara yang menarik minat kami TAPI(antara enam bahagian yang diambil, 4 adalah standard). Empat bahagian standard boleh diambil daripada tujuh bahagian standard dengan cara; pada masa yang sama, baki 6-4=2 bahagian mestilah bukan standard, tetapi anda boleh mengambil dua bahagian bukan standard daripada 10-7=3 bahagian bukan standard dengan cara yang berbeza. Oleh itu, bilangan hasil yang menggalakkan ialah .

Maka kebarangkalian yang diingini adalah sama dengan

Sifat-sifat berikut mengikut takrifan kebarangkalian:

1. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu.

Sesungguhnya, jika acara itu boleh dipercayai, maka setiap keputusan asas ujian itu memihak kepada acara itu. Dalam kes ini m=n, oleh itu

2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sememangnya, jika peristiwa itu mustahil, maka tiada satu pun keputusan asas perbicaraan itu memihak kepada acara itu. Dalam kes ini bermakna

3. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu.

Sesungguhnya, hanya sebahagian daripada jumlah hasil asas ujian yang memihak kepada peristiwa rawak. Dalam kes ini< m< n, bermakna 0 < m/n < 1, iaitu 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Pembinaan teori kebarangkalian lengkap secara logik adalah berdasarkan takrifan aksiomatik bagi peristiwa rawak dan kebarangkaliannya. Dalam sistem aksiom yang dicadangkan oleh A. N. Kolmogorov, konsep yang tidak ditentukan adalah peristiwa asas dan kebarangkalian. Berikut ialah aksiom yang menentukan kebarangkalian:

1. Setiap peristiwa TAPI diberikan nombor nyata bukan negatif P(A). Nombor ini dipanggil kebarangkalian kejadian. TAPI.

2. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu.

3. Kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa tidak serasi berpasangan adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini.

Berdasarkan aksiom ini, sifat-sifat kebarangkalian dan hubungan antara mereka diterbitkan sebagai teorem.

Soalan untuk pemeriksaan diri

1. Apakah nama ciri berangka bagi kemungkinan sesuatu peristiwa?

2. Apakah yang dipanggil kebarangkalian sesuatu peristiwa?

3. Apakah kebarangkalian sesuatu kejadian?

4. Apakah kebarangkalian kejadian mustahil?

5. Apakah had kebarangkalian kejadian rawak?

6. Apakah had kebarangkalian sebarang kejadian?

7. Apakah takrifan kebarangkalian yang dipanggil klasik?

INSTITUSI PENDIDIKAN PERBANDARAN

GYMNASIUM No 6

mengenai topik "Takrifan klasik kebarangkalian".

Diisi oleh pelajar kelas "B" ke-8

Klimantova Alexandra.

Guru matematik: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Banyak permainan menggunakan dadu. Die mempunyai 6 muka, setiap muka mempunyai bilangan mata yang berbeza - dari 1 hingga 6. Pemain membaling dadu dan melihat berapa banyak mata yang terdapat pada muka yang dijatuhkan (pada muka yang terletak di atas). Selalunya, titik di tepi dadu digantikan dengan nombor yang sepadan dan kemudian mereka bercakap tentang gulungan 1, 2 atau 6. Melempar dadu boleh dianggap sebagai pengalaman, percubaan, ujian, dan keputusan yang diperolehi. ialah hasil ujian atau peristiwa asas. Orang ramai berminat untuk meneka permulaan sesuatu peristiwa, meramalkan keputusannya. Apakah ramalan yang boleh mereka buat apabila dadu dilempar? Sebagai contoh, ini:

1) peristiwa A - nombor 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 jatuh;

2) peristiwa B - nombor 7, 8 atau 9 jatuh;

3) peristiwa C - nombor 1 jatuh.

Peristiwa A, yang diramalkan dalam kes pertama, pasti akan datang. Secara umum, peristiwa yang pasti berlaku dalam pengalaman tertentu dipanggil peristiwa tertentu .

Peristiwa B, yang diramalkan dalam kes kedua, tidak akan berlaku, ia adalah mustahil. Secara umum, peristiwa yang tidak boleh berlaku dalam eksperimen tertentu dipanggil kejadian yang mustahil .

Adakah peristiwa C, yang diramalkan dalam kes ketiga, akan berlaku atau tidak? Kami tidak dapat menjawab soalan ini dengan pasti sepenuhnya, kerana 1 mungkin atau mungkin tidak gagal. Peristiwa yang dalam pengalaman tertentu mungkin atau mungkin tidak berlaku dipanggil peristiwa rawak .

Berfikir tentang permulaan peristiwa tertentu, kemungkinan besar kita tidak akan menggunakan perkataan "mungkin". Sebagai contoh, jika hari ini hari Rabu, maka esok hari Khamis, ini adalah peristiwa tertentu. Pada hari Rabu kami tidak akan berkata: "Mungkin esok adalah Khamis", kami akan mengatakan secara ringkas dan jelas: "Esok adalah Khamis." Benar, jika kita terdedah kepada frasa yang indah, maka kita boleh mengatakan ini: "Dengan seratus peratus kebarangkalian saya mengatakan bahawa esok adalah Khamis." Sebaliknya, jika hari ini adalah hari Rabu, maka kedatangan esok hari Jumaat adalah peristiwa yang mustahil. Menilai acara ini pada hari Rabu, kita boleh mengatakan ini: "Saya pasti esok bukan hari Jumaat." Atau seperti ini: "Sungguh sukar dipercayai bahawa esok adalah hari Jumaat." Nah, jika kita cenderung kepada frasa yang indah, maka kita boleh mengatakan ini: "Kebarangkalian esok hari Jumaat adalah sifar." Jadi, peristiwa tertentu ialah peristiwa yang berlaku dalam keadaan tertentu. dengan kepastian 100%.(iaitu datang dalam 10 kes daripada 10, dalam 100 kes daripada 100, dsb.). Peristiwa mustahil ialah peristiwa yang tidak pernah berlaku dalam keadaan tertentu, peristiwa dengan kebarangkalian sifar .

Tetapi, malangnya (dan mungkin bernasib baik), tidak semua dalam kehidupan begitu jelas dan jelas: ia akan sentiasa (peristiwa tertentu), ini tidak akan berlaku (peristiwa mustahil). Selalunya, kita berhadapan dengan peristiwa rawak, beberapa daripadanya lebih berkemungkinan, yang lain kurang berkemungkinan. Biasanya orang menggunakan perkataan "lebih mungkin" atau "kurang berkemungkinan", seperti yang mereka katakan, secara sesuka hati, bergantung pada apa yang dipanggil akal. Tetapi selalunya anggaran sedemikian ternyata tidak mencukupi, kerana ia penting untuk diketahui berapa banyak peratus kemungkinan kejadian rawak atau berapa kali satu peristiwa rawak lebih berkemungkinan daripada yang lain. Dalam erti kata lain, kita memerlukan tepat kuantitatif ciri, anda perlu dapat mencirikan kebarangkalian dengan nombor.

Kami telah pun mengambil langkah pertama ke arah ini. Kami berkata bahawa kebarangkalian kejadian tertentu berlaku dicirikan sebagai seratus peratus, dan kebarangkalian kejadian mustahil berlaku ialah sifar. Memandangkan 100% sama dengan 1, orang telah bersetuju dengan perkara berikut:

1) kebarangkalian kejadian tertentu dianggap sama dengan 1;

2) kebarangkalian kejadian mustahil dianggap sama dengan 0.

Bagaimanakah anda mengira kebarangkalian peristiwa rawak? Lagipun, ia berlaku secara kebetulan, yang bermaksud bahawa ia tidak mematuhi undang-undang, algoritma, formula. Ternyata undang-undang tertentu beroperasi dalam dunia rawak, membolehkan anda mengira kebarangkalian. Ini adalah cabang matematik yang dipanggil - teori kebarangkalian .

Matematik berurusan dengan model beberapa fenomena realiti di sekeliling kita. Daripada semua model yang digunakan dalam teori kebarangkalian, kami akan mengehadkan diri kami kepada yang paling mudah.

Skim probabilistik klasik

Untuk mencari kebarangkalian kejadian A semasa beberapa eksperimen, seseorang harus:

1) cari nombor N semua kemungkinan hasil eksperimen ini;

2) menerima andaian bahawa semua hasil ini berkemungkinan sama (sama mungkin);

3) cari nombor N(A) hasil daripada pengalaman di mana peristiwa A berlaku;

4) cari yang peribadi ; ia akan sama dengan kebarangkalian peristiwa A.

Adalah menjadi kebiasaan untuk menetapkan kebarangkalian peristiwa A sebagai P(A). Penjelasan untuk sebutan ini sangat mudah: perkataan "kebarangkalian" dalam bahasa Perancis adalah kebarangkalian, dalam Bahasa Inggeris- kebarangkalian.Penetapan menggunakan huruf pertama perkataan.

Dengan menggunakan tatatanda ini, kebarangkalian peristiwa A mengikut skema klasik boleh didapati menggunakan formula

P(A)=.

Selalunya semua titik skema probabilistik klasik yang diberikan dinyatakan dalam satu frasa yang agak panjang.

Takrif klasik kebarangkalian

Kebarangkalian kejadian A semasa ujian tertentu ialah nisbah bilangan hasil, akibatnya peristiwa A berlaku, kepada jumlah bilangan semua hasil yang sama kemungkinan ujian ini.

Contoh 1. Cari kebarangkalian bahawa dalam satu lontaran dadu: a) 4; b) 5; c) bilangan mata genap; d) bilangan mata lebih daripada 4; e) bilangan mata bukan gandaan tiga.

Penyelesaian. Secara keseluruhan, terdapat N=6 hasil yang mungkin: menjatuhkan muka kubus dengan bilangan mata yang sama dengan 1, 2, 3, 4, 5 atau 6. Kami percaya bahawa tiada satu pun daripada mereka mempunyai kelebihan berbanding yang lain, iaitu, kami menerima andaian persamaan hasil ini.

a) Tepat dalam salah satu hasil, peristiwa yang menarik minat kami A akan berlaku - kehilangan nombor 4. Oleh itu, N (A) \u003d 1 dan

P ( A )= =.

b) Penyelesaian dan jawapannya adalah sama seperti dalam perenggan sebelumnya.

c) Peristiwa B yang menarik perhatian kita akan berlaku tepat dalam tiga kes apabila bilangan mata ialah 2, 4 atau 6. Oleh itu,

N ( B )=3 dan P ( B )==.

d) Peristiwa C yang menarik minat kita akan berlaku tepat dalam dua kes apabila bilangan mata ialah 5 atau 6. Oleh itu,

N ( C ) =2 dan P(C)=.

e) Daripada enam nombor yang mungkin dilukis, empat (1, 2, 4 dan 5) bukan gandaan tiga, dan baki dua (3 dan 6) boleh dibahagikan dengan tiga. Ini bermakna peristiwa yang menarik minat kita berlaku tepat dalam empat daripada enam kemungkinan dan kemungkinan yang sama antara mereka sendiri dan kemungkinan yang sama antara mereka hasil pengalaman itu. Oleh itu, jawapannya ialah

. ; b); dalam); G); e).

Dadu permainan sebenar mungkin berbeza daripada dadu (model) yang ideal, oleh itu, untuk menggambarkan kelakuannya, model yang lebih tepat dan terperinci diperlukan, dengan mengambil kira kelebihan satu muka berbanding yang lain, kemungkinan kehadiran magnet, dsb. Tetapi "syaitan ada dalam butiran", dan ketepatan yang lebih cenderung membawa kepada lebih kerumitan, dan mendapatkan jawapan menjadi masalah. Kami menghadkan diri kami untuk mempertimbangkan model kebarangkalian yang paling mudah, di mana semua hasil yang mungkin berkemungkinan sama.

=0.5, iaitu, tiga mata skim kebarangkalian diambil kira, tetapi pemenuhan mata 2) adalah diragui. Sudah tentu, dari sudut pandangan undang-undang semata-mata, kami mempunyai hak untuk mempercayai bahawa kehilangan tiga kali ganda berkemungkinan besar gagal. Tetapi bolehkah kita berfikir begitu tanpa melanggar andaian semula jadi kita tentang "kesamaan" wajah? Sudah tentu tidak! Di sini kita berurusan dengan penaakulan yang betul dalam beberapa model. Hanya model ini sendiri "salah", tidak sepadan dengan fenomena sebenar.

Catatan 2. Apabila membincangkan kebarangkalian, jangan lupa tentang keadaan penting berikut. Jika kita katakan bahawa apabila dadu dilempar, kebarangkalian mendapat satu mata ialah

, ini tidak bermakna sama sekali dengan menggolek dadu sebanyak 6 kali anda akan mendapat satu mata tepat sekali, dengan menggolek dadu sebanyak 12 kali anda akan mendapat satu mata tepat dua kali, dengan menggolek dadu sebanyak 18 kali anda akan mendapat satu mata tepat tiga kali. , dsb. Perkataan itu mungkin mempunyai watak tekaan. Kami mengandaikan itu mungkin berlaku. Mungkin jika kita melancarkan dadu sebanyak 600 kali, satu mata akan naik 100 kali ganda, atau kira-kira 100.

Teori ringkas

Untuk perbandingan kuantitatif peristiwa mengikut tahap kemungkinan kejadiannya, ukuran berangka diperkenalkan, yang dipanggil kebarangkalian kejadian. Kebarangkalian kejadian rawak nombor dipanggil, yang merupakan ungkapan ukuran kemungkinan objektif berlakunya peristiwa.

Nilai yang menentukan betapa pentingnya alasan objektif untuk mengira kejadian sesuatu peristiwa dicirikan oleh kebarangkalian peristiwa itu. Perlu ditekankan bahawa kebarangkalian ialah kuantiti objektif yang wujud secara bebas daripada pengecam dan dikondisikan oleh keseluruhan keadaan yang menyumbang kepada kejadian sesuatu peristiwa.

Penjelasan yang telah kami berikan kepada konsep kebarangkalian bukanlah definisi matematik, kerana mereka tidak mentakrifkan konsep ini secara kuantitatif. Terdapat beberapa takrifan kebarangkalian kejadian rawak, yang digunakan secara meluas dalam menyelesaikan masalah tertentu (klasik, aksiomatik, statistik, dll.).

Takrif klasik bagi kebarangkalian sesuatu peristiwa mengurangkan konsep ini kepada konsep yang lebih asas tentang kejadian yang sama kemungkinan, yang tidak lagi tertakluk kepada definisi dan diandaikan jelas secara intuitif. Sebagai contoh, jika dadu ialah kubus homogen, maka kejatuhan mana-mana muka kubus ini akan menjadi peristiwa yang berkemungkinan sama.

Biarkan peristiwa tertentu dibahagikan kepada kes yang sama kemungkinan, jumlahnya memberikan peristiwa itu. Iaitu, kes dari , ke mana ia berpecah, dipanggil sesuai untuk acara itu, kerana kemunculan salah satu daripadanya memastikan serangan.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa akan dilambangkan dengan simbol .

Kebarangkalian sesuatu peristiwa adalah sama dengan nisbah bilangan kes yang menguntungkannya, daripada jumlah bilangan kes unik, sama mungkin dan tidak serasi, kepada bilangan, i.e.

Ini ialah takrifan klasik bagi kebarangkalian. Oleh itu, untuk mencari kebarangkalian sesuatu peristiwa, adalah perlu, selepas mempertimbangkan pelbagai hasil ujian, untuk mencari satu set satu-satunya kes yang mungkin, sama mungkin dan tidak serasi, hitung jumlah bilangannya n, bilangan kes m yang pilih acara ini, dan kemudian lakukan pengiraan mengikut formula di atas.

Kebarangkalian kejadian yang sama dengan nisbah bilangan hasil pengalaman yang menguntungkan kepada peristiwa itu kepada jumlah bilangan hasil pengalaman dipanggil kebarangkalian klasik peristiwa rawak.

Sifat-sifat kebarangkalian berikut mengikut definisi:

Harta 1. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu.

Sifat 2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sifat 3. Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu.

Harta 4. Kebarangkalian berlakunya peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap adalah sama dengan satu.

Sifat 5. Kebarangkalian berlakunya peristiwa bertentangan ditakrifkan dengan cara yang sama seperti kebarangkalian kejadian A.

Bilangan kejadian yang memihak kepada kejadian yang bertentangan. Oleh itu, kebarangkalian kejadian berlawanan berlaku adalah sama dengan perbezaan antara perpaduan dan kebarangkalian kejadian A berlaku:

Kelebihan penting definisi klasik tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah dengan bantuannya kebarangkalian sesuatu peristiwa boleh ditentukan tanpa menggunakan pengalaman, tetapi berdasarkan penaakulan logik.

Apabila satu set syarat dipenuhi, sesuatu peristiwa pasti akan berlaku, dan yang mustahil pasti tidak akan berlaku. Antara peristiwa yang, apabila keadaan kompleks dicipta, mungkin atau mungkin tidak berlaku, kemunculan sesetengah boleh dikira dengan lebih banyak sebab, pada kemunculan orang lain dengan alasan yang kurang. Jika, sebagai contoh, terdapat lebih banyak bola putih di dalam tempayan daripada yang hitam, maka terdapat lebih banyak sebab untuk mengharapkan kemunculan bola putih apabila dikeluarkan secara rawak daripada kemunculan bola hitam.

Contoh penyelesaian masalah

Contoh 1

Sebuah kotak mengandungi 8 bola putih, 4 bola hitam dan 7 bola merah. 3 biji bola diambil secara rawak. Cari kebarangkalian bagi peristiwa berikut: - sekurang-kurangnya 1 bola merah ditarik, - terdapat sekurang-kurangnya 2 bola warna yang sama, - terdapat sekurang-kurangnya 1 bola merah dan 1 bola putih.

Penyelesaian masalah

Kami mencari jumlah bilangan hasil ujian sebagai bilangan gabungan 19 (8 + 4 + 7) elemen bagi 3 setiap satu:

Cari kebarangkalian sesuatu peristiwa– ditarik sekurang-kurangnya 1 bola merah (1,2 atau 3 bola merah)

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu- terdapat sekurang-kurangnya 2 bola dengan warna yang sama (2 atau 3 bola putih, 2 atau 3 bola hitam dan 2 atau 3 bola merah)

Bilangan hasil yang memihak kepada acara:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Biarkan acara itu– terdapat sekurang-kurangnya satu bola merah dan satu bola putih

(1 merah, 1 putih, 1 hitam atau 1 merah, 2 putih atau 2 merah, 1 putih)

Bilangan hasil yang memihak kepada acara:

Kebarangkalian yang diperlukan:

Jawapan: P(A)=0.773;P(C)=0.7688; P(D)=0.6068

Contoh 2

Dua dadu dilempar. Cari kebarangkalian bahawa jumlah mata adalah sekurang-kurangnya 5.

Penyelesaian

Biarkan peristiwa itu menjadi jumlah mata tidak kurang daripada 5

Mari kita gunakan definisi klasik kebarangkalian:

Jumlah bilangan hasil percubaan yang mungkin

Bilangan percubaan yang memihak kepada acara yang menarik minat kami

Pada muka yang dijatuhkan daripada dadu pertama, satu mata, dua mata ..., enam mata boleh muncul. begitu juga, enam hasil adalah mungkin pada gulungan die kedua. Setiap hasil daripada mati pertama boleh digabungkan dengan setiap keputusan yang kedua. Oleh itu, jumlah bilangan kemungkinan hasil asas ujian adalah sama dengan bilangan peletakan dengan ulangan (pemilihan dengan peletakan 2 elemen daripada set volum 6):

Cari kebarangkalian kejadian bertentangan - jumlah mata adalah kurang daripada 5

Gabungan mata yang digugurkan berikut akan memihak kepada acara tersebut:

№

tulang pertama

tulang ke-2

Takrif geometri kebarangkalian dibentangkan dan penyelesaian masalah pertemuan yang terkenal diberikan.

Teori kebarangkalian ialah sains matematik yang mengkaji corak dalam fenomena rawak. Kemunculan teori ini bermula pada pertengahan abad ke-17 dan dikaitkan dengan nama Huygens, Pascal, Fermat, J. Bernoulli.

Hasil yang tidak dapat dikurangkan,..., beberapa eksperimen akan dipanggil peristiwa asas, dan keseluruhannya

ruang (terhingga) peristiwa asas, atau ruang hasil.

Contoh 21. a) Apabila dadu dilambung, ruang acara asas terdiri daripada enam mata:

b) Balikkan syiling dua kali berturut-turut, kemudian

di mana G - "jata", R - "kekisi" dan jumlah bilangan hasil

c) Kami melemparkan syiling sehingga penampilan pertama "jata", kemudian

Dalam kes ini dipanggil ruang diskret peristiwa asas.

Biasanya, seseorang tidak berminat dengan hasil tertentu yang berlaku akibat ujian, tetapi sama ada hasil itu tergolong dalam satu atau subset lain daripada semua hasil. Semua subset yang, mengikut syarat percubaan, tindak balas salah satu daripada dua jenis mungkin: "hasil" atau "hasil", kami akan memanggil peristiwa.

Dalam contoh 21 b), set = (ГГ, СР, РТ) ialah peristiwa yang terdiri daripada fakta bahawa sekurang-kurangnya satu "jata" jatuh. Oleh itu, sesuatu peristiwa terdiri daripada tiga hasil asas ruang

Jumlah dua peristiwa dipanggil peristiwa yang terdiri daripada pelaksanaan peristiwa atau peristiwa.

Produk acara ialah acara yang terdiri daripada pelaksanaan bersama acara dan acara.

Lawan daripada acara ialah peristiwa yang terdiri daripada bukan kemunculan dan, oleh itu, melengkapkannya sebelum ini.

Satu set dipanggil peristiwa tertentu, set kosong dipanggil mustahil.

Jika setiap kejadian itu disertai dengan kejadian, maka mereka menulis dan mengatakan apa yang mendahului atau membawanya.

Peristiwa dan dikatakan setara jika dan.

Definisi. Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nombor yang sama dengan nisbah bilangan hasil asas yang membentuk peristiwa itu kepada bilangan semua hasil asas

Kes kejadian yang berkemungkinan sama, (dipanggil "klasik", oleh itu kebarangkalian

dipanggil "klasik".

Acara asas (hasil pengalaman) yang termasuk dalam acara itu dipanggil "favorable".

Sifat kebarangkalian klasik:

Jika (dan adalah peristiwa yang tidak serasi).

Contoh 22 (masalah Huygens). Sebuah urn mengandungi 2 bola putih dan 4 bola hitam. Seorang penjudi membuat pertaruhan dengan yang lain bahawa antara 3 bola yang ditarik akan ada tepat satu bola putih. Apakah nisbah peluang pihak yang bertikai?

Penyelesaian 1 (tradisional). Dalam kes ini, ujian = (melukis 3 bola), dan acara itu menguntungkan salah satu pihak yang bertikai:

= (dapat tepat satu bola putih).

Oleh kerana susunan tiga bola ditarik tidak penting, maka

Satu bola putih boleh diperolehi dalam kes, dan dua bola hitam - , dan kemudian mengikut peraturan asas kombinatorik. Oleh itu a dengan sifat kelima kebarangkalian Oleh itu,

Penyelesaian 2. Mari kita buat pokok kemungkinan hasil:

Contoh 23. Pertimbangkan piggy bank di mana empat syiling tinggal - tiga daripada 2 rubel setiap satu. dan satu untuk 5 rubel. Kami mengeluarkan dua syiling.

Penyelesaian. a) Dua pengekstrakan berturut-turut (dengan pulangan) boleh membawa kepada hasil berikut:

Apakah kebarangkalian bagi setiap hasil ini?

Jadual menunjukkan kesemua enam belas kes yang mungkin.

Akibatnya,

Pokok berikut membawa kepada hasil yang sama:

b) Dua pengekstrakan berturut-turut (tanpa pengulangan) boleh membawa kepada tiga hasil berikut:

Jadual menunjukkan semua kemungkinan hasil:

Akibatnya,

Pokok yang sepadan membawa kepada hasil yang sama:

Contoh 24 (masalah de Mere). Dua permainan "lambungan" kepada lima kemenangan. Permainan ini ditamatkan apabila yang pertama telah memenangi empat perlawanan, dan yang kedua tiga. Bagaimanakah pertaruhan awal harus dibahagikan dalam kes ini?

Penyelesaian. Biarkan acara = (menangi hadiah oleh pemain pertama). Maka pokok bayaran kebarangkalian untuk pemain pertama ialah:

Oleh itu, tiga bahagian pertaruhan harus diberikan kepada pemain pertama, dan satu bahagian kepada yang kedua.

Mari kita tunjukkan kecekapan menyelesaikan masalah kebarangkalian dengan bantuan graf menggunakan contoh berikut, yang kita pertimbangkan dalam Bahagian 1 (Contoh 2).

Contoh 25. Adakah pilihan dengan bantuan "mengira" adil?

Penyelesaian. Mari kita buat pokok kebarangkalian hasil:

dan, oleh itu, apabila bermain "mengira" adalah lebih menguntungkan untuk berdiri di tempat kedua.

Dalam penyelesaian terakhir, tafsiran pada graf teorem penambahan dan pendaraban kebarangkalian digunakan:

dan khususnya

Jika dan adalah peristiwa yang tidak serasi

dan, jika dan merupakan acara bebas.

Kebarangkalian Statik

Definisi klasik, apabila mempertimbangkan masalah yang kompleks, menghadapi kesukaran yang tidak dapat diatasi. Khususnya, dalam beberapa kes mungkin tidak dapat mengenal pasti kes yang berkemungkinan sama. Walaupun dalam kes syiling, seperti yang diketahui, terdapat kemungkinan "tepi" yang jelas tidak sama besarnya jatuh, yang tidak boleh dianggarkan dari pertimbangan teori (seseorang hanya boleh mengatakan bahawa ia tidak mungkin dan pertimbangan ini agak praktikal ). Oleh itu, pada awal pembentukan teori kebarangkalian, definisi "frekuensi" alternatif bagi kebarangkalian telah dicadangkan. Iaitu, secara formal, kebarangkalian boleh ditakrifkan sebagai had kekerapan pemerhatian peristiwa A, dengan mengandaikan kehomogenan pemerhatian (iaitu, kesamaan semua keadaan pemerhatian) dan kebebasannya antara satu sama lain:

di mana ialah bilangan pemerhatian, dan ialah bilangan kejadian peristiwa itu.

Walaupun pada hakikatnya definisi ini lebih menunjukkan cara untuk menganggarkan kebarangkalian yang tidak diketahui - melalui sejumlah besar pemerhatian homogen dan bebas - namun, definisi ini mencerminkan kandungan konsep kebarangkalian. Iaitu, jika kebarangkalian tertentu dikaitkan dengan peristiwa, sebagai ukuran objektif kemungkinannya, maka ini bermakna bahawa dalam keadaan tetap dan ulangan berganda, kita harus mendapatkan kekerapan kejadiannya hampir dengan (lebih dekat, lebih banyak pemerhatian). Sebenarnya, ini adalah maksud asal konsep kebarangkalian. Ia berdasarkan pandangan objektivis tentang fenomena alam. Di bawah ini kita akan mempertimbangkan apa yang dipanggil undang-undang bilangan besar, yang menyediakan asas teori (dalam rangka kerja pendekatan aksiomatik moden yang dibentangkan di bawah), termasuk untuk anggaran kekerapan kebarangkalian.

INSTITUSI PENDIDIKAN PERBANDARAN

GYMNASIUM No 6

mengenai topik "Takrifan klasik kebarangkalian".

Diisi oleh pelajar kelas "B" ke-8

Klimantova Alexandra.

Guru matematik: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Banyak permainan menggunakan dadu. Die mempunyai 6 muka, pada setiap muka ditandakan bilangan mata yang berbeza - dari 1 hingga 6. Pemain membaling dadu dan melihat berapa banyak mata yang terdapat pada muka yang dijatuhkan (pada muka yang terletak di atas). Selalunya, titik di tepi dadu digantikan dengan nombor yang sepadan dan kemudian mereka bercakap tentang gulungan 1, 2 atau 6. Melempar dadu boleh dianggap sebagai pengalaman, percubaan, ujian, dan keputusan yang diperolehi. ialah hasil ujian atau peristiwa asas. Orang ramai berminat untuk meneka permulaan sesuatu peristiwa, meramalkan keputusannya. Apakah ramalan yang boleh mereka buat apabila dadu dilempar? Sebagai contoh, ini:

acara A - nombor 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 jatuh;
acara B - nombor 7, 8 atau 9 jatuh;
peristiwa C - nombor 1 jatuh.

Peristiwa A, yang diramalkan dalam kes pertama, pasti akan datang. Secara umum, peristiwa yang pasti berlaku dalam pengalaman tertentu dipanggil peristiwa tertentu.

Peristiwa B, yang diramalkan dalam kes kedua, tidak akan berlaku, ia adalah mustahil. Secara umum, peristiwa yang tidak boleh berlaku dalam eksperimen tertentu dipanggil kejadian yang mustahil.

Berfikir tentang permulaan peristiwa tertentu, kemungkinan besar kita tidak akan menggunakan perkataan "mungkin". Sebagai contoh, jika hari ini hari Rabu, maka esok hari Khamis, ini adalah peristiwa tertentu. Pada hari Rabu kami tidak akan berkata: "Mungkin esok adalah Khamis", kami akan mengatakan secara ringkas dan jelas: "Esok adalah Khamis." Benar, jika kita terdedah kepada frasa yang indah, maka kita boleh mengatakan ini: "Dengan seratus peratus kebarangkalian saya mengatakan bahawa esok adalah Khamis." Sebaliknya, jika hari ini adalah hari Rabu, maka hari esok adalah hari Jumaat—suatu peristiwa yang mustahil. Menilai acara ini pada hari Rabu, kita boleh mengatakan ini: "Saya pasti esok bukan hari Jumaat." Atau seperti ini: "Sungguh sukar dipercayai bahawa esok adalah hari Jumaat." Nah, jika kita cenderung kepada frasa yang indah, maka kita boleh mengatakan ini: "Kebarangkalian esok hari Jumaat adalah sifar." Jadi, peristiwa tertentu ialah peristiwa yang berlaku dalam keadaan tertentu. dengan kepastian 100%.(iaitu datang dalam 10 kes daripada 10, dalam 100 kes daripada 100, dsb.). Peristiwa mustahil ialah peristiwa yang tidak pernah berlaku dalam keadaan tertentu, peristiwa dengan kebarangkalian sifar.

Kami telah pun mengambil langkah pertama ke arah ini. Kami berkata bahawa kebarangkalian kejadian tertentu berlaku dicirikan sebagai seratus peratus, dan kebarangkalian kejadian mustahil berlaku sebagai sifar. Memandangkan 100% sama dengan 1, orang telah bersetuju dengan perkara berikut:

kebarangkalian kejadian tertentu dianggap sama dengan 1;
kebarangkalian kejadian mustahil dianggap sama dengan 0.

Skim probabilistik klasik

Untuk mencari kebarangkalian kejadian A semasa beberapa eksperimen, seseorang harus:

1) cari nombor N semua kemungkinan hasil eksperimen ini;

2) menerima andaian bahawa semua hasil ini berkemungkinan sama (sama mungkin);

3) cari nombor N(A) hasil daripada pengalaman di mana peristiwa A berlaku;

4) cari yang peribadi ; ia akan sama dengan kebarangkalian peristiwa A.

Dengan menggunakan tatatanda ini, kebarangkalian peristiwa A mengikut skema klasik boleh didapati menggunakan formula

P(A)=.

Selalunya semua titik skema probabilistik klasik yang diberikan dinyatakan dalam satu frasa yang agak panjang.

Takrif klasik kebarangkalian

Kebarangkalian kejadian A semasa ujian tertentu ialah nisbah bilangan hasil, akibatnya peristiwa A berlaku, kepada jumlah bilangan semua hasil yang sama kemungkinan ujian ini.

Contoh 1. Cari kebarangkalian bahawa dalam satu lontaran dadu: a) 4; b) 5; c) bilangan mata genap; d) bilangan mata lebih daripada 4; e) bilangan mata bukan gandaan tiga.

a) Tepat dalam salah satu hasil, peristiwa yang menarik minat kami A akan berlaku - kehilangan nombor 4. Oleh itu, N (A) \u003d 1 dan

P(A)= =.

b) Penyelesaian dan jawapannya adalah sama seperti dalam perenggan sebelumnya.

c) Peristiwa B yang menarik perhatian kita akan berlaku tepat dalam tiga kes apabila bilangan mata ialah 2, 4 atau 6. Oleh itu,

N(B)=3 danP(B)==.

d) Peristiwa C yang menarik minat kita akan berlaku tepat dalam dua kes apabila bilangan mata ialah 5 atau 6. Oleh itu,

N(C) =2 dan P(C)=.

Jawapan: a); b); dalam); G); e).

Catatan 1. Mari kita pertimbangkan contoh lain. Soalan ditanya: "Apakah kebarangkalian mendapat tiga pada satu gulungan dadu?" Pelajar menjawab seperti ini: "Kebarangkalian ialah 0.5." Dan dia menjelaskan jawapannya: "Ketiganya sama ada akan gugur atau tidak. Ini bermakna terdapat dua hasil secara keseluruhan, dan tepat satu peristiwa peristiwa yang menarik minat kita berlaku. Mengikut skema kebarangkalian klasik, kita mendapat jawapan 0.5. Adakah terdapat kesilapan dalam penaakulan ini? Pada pandangan pertama, tidak. Walau bagaimanapun, ia masih ada, dan dalam momen asas. Ya, memang, triple sama ada akan gugur atau tidak, iaitu, dengan takrifan hasil lontaran sedemikian, N = 2. Ia juga benar bahawa N(A)=1 dan, sudah tentu, adalah benar bahawa =0, 5, iaitu, tiga mata skim kebarangkalian diambil kira, tetapi pemenuhan titik 2) adalah diragui. Sudah tentu, dari sudut pandangan undang-undang semata-mata, kami mempunyai hak untuk mempercayai bahawa kehilangan tiga kali ganda berkemungkinan besar gagal. Tetapi bolehkah kita berfikir begitu tanpa melanggar andaian semula jadi kita tentang "kesamaan" wajah? Sudah tentu tidak! Di sini kita berurusan dengan penaakulan yang betul dalam beberapa model. Hanya model ini sendiri "salah", tidak sepadan dengan fenomena sebenar.

Catatan 2. Apabila membincangkan kebarangkalian, jangan lupa tentang keadaan penting berikut. Jika kita katakan bahawa semasa melontar dadu, kebarangkalian untuk mendapat satu mata adalah sama dengan , ini tidak bermakna sama sekali dengan melempar dadu sebanyak 6 kali, anda akan mendapat satu mata tepat sekali, dengan membaling dadu sebanyak 12 kali, anda akan dapatkan satu mata tepat dua kali, dengan melemparkan dadu sebanyak 18 kali, anda mendapat satu mata tepat tiga kali, dan seterusnya. Perkataan itu mungkin spekulatif. Kami mengandaikan itu mungkin berlaku. Mungkin jika kita melancarkan dadu sebanyak 600 kali, satu mata akan naik 100 kali ganda, atau kira-kira 100.

Teori kebarangkalian timbul pada abad ke-17 apabila menganalisis pelbagai permainan perjudian. Oleh itu, tidak menghairankan bahawa contoh pertama adalah bersifat suka bermain. Daripada contoh dadu, mari kita beralih kepada lukisan rawak bermain kad dari dek.

Contoh 2. Daripada dek 36 kad, 3 kad diambil secara rawak pada masa yang sama. Apakah kebarangkalian bahawa tiada Queen of Spades di kalangan mereka?

Penyelesaian. Kami mempunyai satu set 36 elemen. Kami memilih tiga elemen, susunan yang tidak penting. Oleh itu, adalah mungkin untuk mendapatkan hasil N=C. Kami akan bertindak mengikut skema probabilistik klasik, iaitu, kami akan menganggap bahawa semua hasil ini berkemungkinan sama.

Ia kekal untuk mengira kebarangkalian yang diperlukan mengikut definisi klasik:

Dan apakah kebarangkalian bahawa di antara tiga kad yang dipilih terdapat Queen of Spades? Bilangan semua hasil sedemikian tidak sukar untuk dikira, anda hanya perlu menolak daripada semua hasil N semua hasil yang tidak ada ratu penyodok, iaitu, tolak nombor N(A) yang terdapat dalam Contoh 3. Maka perbezaan ini N - N (A) mengikut skema probabilistik klasik harus dibahagikan dengan N. Inilah yang kita dapat:

Kami melihat bahawa terdapat hubungan tertentu antara kebarangkalian kedua-dua peristiwa. Jika acara A terdiri daripada ketiadaan Ratu Spades, dan acara B terdiri daripada kehadirannya di antara tiga kad yang dipilih, maka

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

Malangnya, dalam kesamaan P(A)+P(B)=1 tiada maklumat tentang hubungan antara peristiwa A dan B; kita harus ingat hubungan ini. Adalah lebih mudah untuk memberikan nama dan penetapan acara B terlebih dahulu, dengan jelas menunjukkan kaitannya dengan A.

Definisi 1. Peristiwa B dipanggil bertentangan dengan peristiwa A dan nyatakan B=Ā jika peristiwa B berlaku jika dan hanya jika peristiwa A tidak berlaku.

TTeorem 1. Untuk mencari kebarangkalian peristiwa berlawanan, tolak kebarangkalian peristiwa itu sendiri daripada kesatuan: Р(Ā)= 1—Р(А). Sesungguhnya,

Dalam amalan, mereka mengira apa yang lebih mudah dicari: sama ada P(A) atau P(Ā). Selepas itu, mereka menggunakan formula daripada teorem dan mencari, masing-masing, sama ada P(Ā)= 1-P(A), atau P(A)= 1-P(Ā).

Selalunya digunakan ialah kaedah menyelesaikan masalah tertentu dengan "penghitungan kes", apabila keadaan masalah dibahagikan kepada kes yang saling eksklusif, yang masing-masing dianggap secara berasingan. Sebagai contoh, "jika anda pergi ke kanan, anda akan kehilangan kuda anda, jika anda pergi lurus, anda akan menyelesaikan masalah mengikut teori kebarangkalian, jika anda pergi ke kiri...". Atau apabila merancang fungsi y=│x+1│—│2x—5│, pertimbangkan kes x

Contoh 3. Daripada 50 titik itu, 17 adalah berlorek biru dan 13 adalah oren. Cari kebarangkalian bahawa satu titik yang dipilih secara rawak akan berlorek.

Penyelesaian. Secara keseluruhan, 30 mata daripada 50 dilorekkan. Oleh itu, kebarangkalian ialah = 0.6.

Jawapan: 0.6.

Mari kita lihat dengan lebih dekat contoh mudah ini, walau bagaimanapun. Biarkan peristiwa A ialah titik yang dipilih berwarna biru, dan peristiwa B ialah titik yang dipilih ialah oren. Mengikut konvensyen, peristiwa A dan B tidak boleh berlaku pada masa yang sama.

Kami menandakan dengan huruf C peristiwa yang menarik minat kami. Peristiwa C berlaku jika dan hanya jika ia berlaku sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa A atau B. Jelas bahawa N(C)= N(A)+N(B).

Mari kita bahagikan kedua-dua belah kesamaan ini dengan N, bilangan semua hasil yang mungkin bagi eksperimen yang diberikan; kita mendapatkan

Kami telah menganalisis situasi penting dan kerap berlaku menggunakan contoh mudah. Ada nama khas untuknya.

Definisi 2. Peristiwa A dan B dipanggil tidak serasi jika ia tidak boleh berlaku pada masa yang sama.

Teorem 2. Kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada dua peristiwa yang tidak serasi adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka.

Apabila menterjemah teorem ini ke dalam bahasa matematik, ia menjadi perlu untuk entah bagaimana menamakan dan menetapkan peristiwa yang terdiri daripada berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada dua peristiwa A dan B. Peristiwa sedemikian dipanggil jumlah peristiwa A dan B dan dilambangkan dengan A+B.

Jika A dan B tidak serasi, maka P(A+B)= P(A)+P(B).

Sesungguhnya,

Ketidakserasian peristiwa A dan B boleh digambarkan dengan mudah oleh angka. Jika semua hasil pengalaman adalah beberapa set mata dalam rajah, maka peristiwa A dan B adalah beberapa subset bagi set tertentu. Ketidakserasian A dan B bermakna kedua-dua subset ini tidak bersilang. Contoh tipikal peristiwa tidak serasi ialah sebarang peristiwa A dan peristiwa bertentangan Ā.

Sudah tentu, teorem ini adalah benar untuk tiga, empat, dan untuk sebarang bilangan terhingga peristiwa tidak serasi berpasangan. Kebarangkalian jumlah sebarang bilangan peristiwa tidak serasi berpasangan adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini. Kenyataan penting ini betul-betul sepadan dengan kaedah penyelesaian masalah dengan "penghitungan kes".

Antara peristiwa yang berlaku akibat beberapa pengalaman, dan antara kebarangkalian peristiwa ini, mungkin terdapat beberapa hubungan, kebergantungan, sambungan, dll. Contohnya, peristiwa boleh "ditambah", dan kebarangkalian jumlah yang tidak serasi. peristiwa adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka.

Sebagai kesimpulan, kita membincangkan soalan asas berikut: adakah mungkin untuk buktikan, bahawa kebarangkalian mendapat "ekor" dalam satu lambungan syiling adalah sama dengan

Jawapannya negatif. Secara umumnya, soalan itu sendiri tidak betul, makna sebenar perkataan "buktikan" tidak jelas. Lagipun, kami sentiasa membuktikan sesuatu dalam rangka kerja sesetengah pihak model, di mana peraturan, undang-undang, aksiom, formula, teorem, dan lain-lain sudah diketahui. Jika kita bercakap tentang syiling khayalan, "ideal", maka itulah sebabnya ia dianggap ideal kerana, mengikut takrifan, kebarangkalian mendapat kepala adalah sama dengan kebarangkalian mendapat kepala. Dan, pada dasarnya, kita boleh mempertimbangkan model di mana kebarangkalian "ekor" jatuh adalah dua kali lebih besar daripada kebarangkalian "helang" jatuh, atau tiga kali kurang, dsb. Kemudian timbul persoalan: atas sebab apa kita memilih satu di mana kedua-dua hasil lambungan berkemungkinan sama?

Jawapan yang tepat adalah: "Tetapi ia lebih mudah, lebih jelas dan lebih semula jadi untuk kami!" Tetapi terdapat hujah yang lebih substantif juga. Mereka datang dari latihan. Sebilangan besar buku teks tentang teori kebarangkalian memberikan contoh naturalis Perancis J. Buffon (abad ke-18) dan ahli matematik-statistik Inggeris C. Pearson (akhir abad ke-19), yang melemparkan syiling 4040 dan 24000 kali, masing-masing, dan mengira bilangan "helang" atau "ekor" yang jatuh. "Ekor" mereka jatuh, masing-masing, 1992 dan 11998 kali. Jika anda mengira kekerapan jatuh"ekor", maka anda mendapat = = 0.493069 ... untuk Buffon dan = 0.4995 untuk Pearson. Timbul secara semula jadi andaian bahawa dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan lambungan syiling, kekerapan "ekor" jatuh, serta kekerapan "helang" jatuh, akan semakin menghampiri 0.5. Andaian inilah, berdasarkan data praktikal, yang menjadi asas untuk memilih model dengan hasil yang sama.

Sekarang kita boleh merumuskan. Konsep asasnya ialah kebarangkalian kejadian rawak, yang dikira dalam rangka model termudah— skema probabilistik klasik. Konsep ini penting dalam teori dan praktikal. peristiwa bertentangan dan formula Р(Ā)= 1—Р(А) untuk mencari kebarangkalian kejadian sedemikian.

Akhirnya, kami bertemu peristiwa yang tidak serasi dan dengan formula.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

membenarkan untuk mencari kebarangkalian jumlah peristiwa sebegitu.

Bibliografi

1. Peristiwa. Kebarangkalian. Pemprosesan data statistik: Tambah. perenggan kepada perjalanan algebra 7-9 sel. institusi pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.—Edisi ke-4.—M.: Mnemozina, 2006.—112 p.: ill.

2.Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk “Algebra. Elemen statistik dan teori kebarangkalian.-Moscow, Enlightenment, 2006.