Pada mulanya, hanya sebagai koleksi maklumat dan pemerhatian empirikal permainan dadu, teori kebarangkalian telah menjadi sains yang kukuh. Fermat dan Pascal adalah orang pertama yang memberikannya rangka kerja matematik.

Daripada refleksi tentang yang kekal kepada teori kebarangkalian

Dua individu yang teori kebarangkalian berhutang banyak formula asas, Blaise Pascal dan Thomas Bayes, dikenali sebagai orang yang sangat beragama, yang terakhir adalah seorang menteri Presbyterian. Nampaknya, keinginan kedua-dua saintis ini untuk membuktikan kekeliruan pendapat tentang Fortune tertentu, memberikan tuah kepada kegemarannya, memberi dorongan kepada penyelidikan dalam bidang ini. Sesungguhnya, mana-mana perjudian dengan menang dan kalah, ia hanyalah simfoni prinsip matematik.

Terima kasih kepada keterujaan Chevalier de Mere, yang dalam sama-sama adalah seorang penjudi dan seorang yang tidak peduli dengan sains, Pascal terpaksa mencari jalan untuk mengira kebarangkalian. De Mere berminat dengan soalan ini: "Berapa kali anda perlu membaling dua dadu secara berpasangan supaya kebarangkalian mendapat 12 mata melebihi 50%?". Soalan kedua yang sangat menarik minat lelaki itu: "Bagaimana untuk membahagikan pertaruhan antara peserta dalam permainan yang belum selesai?" Sudah tentu, Pascal berjaya menjawab kedua-dua soalan de Mere, yang menjadi pemula tanpa disedari perkembangan teori kebarangkalian. Adalah menarik bahawa orang de Mere kekal dikenali di kawasan ini, dan bukan dalam kesusasteraan.

Sebelum ini, belum ada ahli matematik yang membuat percubaan untuk mengira kebarangkalian kejadian, kerana dipercayai bahawa ini hanyalah penyelesaian tekaan. Blaise Pascal memberikan definisi pertama tentang kebarangkalian sesuatu peristiwa dan menunjukkan bahawa ini adalah angka khusus yang boleh dibenarkan secara matematik. Teori kebarangkalian telah menjadi asas kepada statistik dan digunakan secara meluas dalam sains moden.

Apa itu rawak

Jika kita menganggap ujian yang boleh diulang tanpa nombor terhingga kali, maka anda boleh menentukan peristiwa rawak. Ini adalah salah satu hasil yang mungkin dari pengalaman itu.

Pengalaman ialah pelaksanaan tindakan tertentu dalam keadaan yang berterusan.

Untuk dapat bekerja dengan hasil pengalaman, peristiwa biasanya dilambangkan dengan huruf A, B, C, D, E ...

Kebarangkalian kejadian rawak

Untuk dapat meneruskan ke bahagian matematik kebarangkalian, adalah perlu untuk menentukan semua komponennya.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah ukuran berangka kemungkinan berlakunya sesuatu peristiwa (A atau B) hasil daripada pengalaman. Kebarangkalian dilambangkan sebagai P(A) atau P(B).

Teori kebarangkalian ialah:

• boleh dipercayai peristiwa itu dijamin berlaku hasil daripada eksperimen Р(Ω) = 1;
• mustahil peristiwa itu tidak boleh berlaku Р(Ø) = 0;
• rawak peristiwa itu terletak di antara tertentu dan mustahil, iaitu, kebarangkalian kejadiannya adalah mungkin, tetapi tidak dijamin (kebarangkalian peristiwa rawak sentiasa dalam 0≤P(A)≤1).

Hubungan antara peristiwa

Kedua-dua satu dan jumlah peristiwa A + B dipertimbangkan apabila peristiwa itu dikira dalam pelaksanaan sekurang-kurangnya satu daripada komponen, A atau B, atau kedua-duanya - A dan B.

Berkaitan antara satu sama lain, acara boleh:

• Sama-sama boleh.
• serasi.
• Tidak serasi.
• Bertentangan (saling eksklusif).
• Tanggungan.

Jika dua peristiwa boleh berlaku dengan kebarangkalian yang sama, maka ia sama mungkin.

Jika berlakunya peristiwa A tidak membatalkan kebarangkalian kejadian B, maka mereka serasi.

Jika peristiwa A dan B tidak pernah berlaku pada masa yang sama dalam eksperimen yang sama, maka ia dipanggil tidak serasi. lambungan duit syiling - contoh yang baik: rupa ekor secara automatik bukan rupa kepala.

Kebarangkalian untuk jumlah yang sedemikian peristiwa yang tidak serasi terdiri daripada jumlah kebarangkalian bagi setiap peristiwa:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Jika berlakunya satu kejadian menjadikan kejadian yang lain mustahil, maka ia dipanggil sebaliknya. Kemudian salah satu daripada mereka ditetapkan sebagai A, dan yang lain - Ā (dibaca sebagai "bukan A"). Berlakunya peristiwa A bermakna Ā tidak berlaku. Kedua-dua peristiwa ini membentuk kumpulan lengkap dengan jumlah kebarangkalian sama dengan 1.

Peristiwa bergantung mempunyai pengaruh bersama, mengurangkan atau meningkatkan kebarangkalian masing-masing.

Hubungan antara peristiwa. Contoh

Adalah lebih mudah untuk memahami prinsip teori kebarangkalian dan gabungan peristiwa menggunakan contoh.

Eksperimen yang akan dijalankan adalah untuk menarik bola keluar dari kotak, dan keputusan setiap eksperimen adalah hasil asas.

Acara ialah salah satu hasil yang mungkin dari pengalaman - bola merah, bola biru, bola dengan nombor enam, dsb.

Ujian nombor 1. Terdapat 6 bola, tiga daripadanya berwarna biru dengan nombor ganjil, dan tiga lagi berwarna merah dengan nombor genap.

Ujian nombor 2. 6 bola mengambil bahagian daripada warna biru dengan nombor dari satu hingga enam.

Berdasarkan contoh ini, kita boleh menamakan kombinasi:

• Acara yang boleh dipercayai. Dalam bahasa Sepanyol No. 2, acara "dapatkan bola biru" boleh dipercayai, kerana kebarangkalian kejadiannya ialah 1, kerana semua bola berwarna biru dan tidak boleh terlepas. Manakala acara "dapat bola dengan nombor 1" adalah rawak.
• Peristiwa yang mustahil. Dalam bahasa Sepanyol No. 1 dengan bola biru dan merah, acara "dapatkan bola ungu" adalah mustahil, kerana kebarangkalian kejadiannya ialah 0.
• Peristiwa yang setara. Dalam bahasa Sepanyol No. 1, acara "dapatkan bola dengan nombor 2" dan "dapatkan bola dengan nombor 3" adalah sama besar kemungkinannya, dan acara "dapatkan bola dengan nombor genap" dan "dapatkan bola dengan nombor 2" ” mempunyai kebarangkalian yang berbeza.
• Acara yang serasi. Mendapat enam dalam proses melontar dadu dua kali berturut-turut adalah acara yang serasi.
• Peristiwa yang tidak serasi. Dalam bahasa Sepanyol yang sama No. 1 acara "dapat bola merah" dan "dapat bola dengan nombor ganjil" tidak boleh digabungkan dalam pengalaman yang sama.
• Peristiwa bertentangan. Paling contoh utama Ini adalah lambungan syiling, apabila melukis kepala adalah sama seperti tidak melukis ekor, dan jumlah kebarangkalian mereka sentiasa 1 (kumpulan penuh).
• Peristiwa tanggungan. Jadi, dalam bahasa Sepanyol No. 1, anda boleh menetapkan sendiri matlamat untuk mengeluarkan bola merah dua kali berturut-turut. Mengeluarkannya atau tidak mengekstraknya pada kali pertama menjejaskan kebarangkalian mengekstraknya untuk kali kedua.

Dapat dilihat bahawa peristiwa pertama secara signifikan mempengaruhi kebarangkalian kedua (40% dan 60%).

Formula Kebarangkalian Peristiwa

Peralihan daripada ramalan nasib kepada data tepat berlaku dengan memindahkan topik ke satah matematik. Iaitu, pertimbangan tentang peristiwa rawak seperti "kebarangkalian tinggi" atau "kebarangkalian minimum" boleh diterjemahkan kepada data berangka tertentu. Ia sudah dibenarkan untuk menilai, membandingkan dan memperkenalkan bahan tersebut ke dalam pengiraan yang lebih kompleks.

Dari sudut pandangan pengiraan, takrifan kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah nisbah bilangan hasil positif asas kepada bilangan semua kemungkinan hasil pengalaman berkenaan dengan peristiwa tertentu. Kebarangkalian dilambangkan dengan P (A), di mana P bermaksud perkataan "kebarangkalian", yang diterjemahkan daripada bahasa Perancis sebagai "kebarangkalian".

Jadi, formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah:

Di mana m ialah bilangan hasil yang menggalakkan untuk peristiwa A, n ialah jumlah semua hasil yang mungkin untuk pengalaman ini. Kebarangkalian sesuatu peristiwa sentiasa antara 0 dan 1:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Pengiraan kebarangkalian sesuatu peristiwa. Contoh

Mari ambil bahasa Sepanyol. No 1 dengan bola, yang diterangkan sebelum ini: 3 bola biru dengan nombor 1/3/5 dan 3 bola merah dengan nombor 2/4/6.

Berdasarkan ujian ini, beberapa tugas yang berbeza boleh dipertimbangkan:

• A - jatuhan bola merah. Terdapat 3 bola merah, dan terdapat 6 pilihan kesemuanya. Ini adalah contoh paling mudah, di mana kebarangkalian sesuatu peristiwa ialah P(A)=3/6=0.5.
• B - menjatuhkan nombor genap. Terdapat 3 (2,4,6) nombor genap kesemuanya, dan jumlah bilangan pilihan berangka yang mungkin ialah 6. Kebarangkalian kejadian ini ialah P(B)=3/6=0.5.
• C - menjatuhkan nombor yang lebih besar daripada 2. Terdapat 4 (3,4,5,6) pilihan sedemikian daripada jumlah kemungkinan hasil 6. Kebarangkalian peristiwa С adalah sama dengan Р(С)=4/6=0.67.

Seperti yang dapat dilihat daripada pengiraan, peristiwa C mempunyai kebarangkalian yang lebih tinggi, kerana bilangan hasil positif yang mungkin lebih tinggi daripada di A dan B.

Peristiwa yang tidak serasi

Peristiwa sedemikian tidak boleh muncul serentak dalam pengalaman yang sama. Seperti dalam bahasa Sepanyol No 1, adalah mustahil untuk mendapatkan bola biru dan merah pada masa yang sama. Iaitu, anda boleh mendapatkan sama ada bola biru atau merah. Dengan cara yang sama, nombor genap dan nombor ganjil tidak boleh muncul dalam dadu pada masa yang sama.

Kebarangkalian dua peristiwa dianggap sebagai kebarangkalian jumlah atau hasil duanya. Jumlah peristiwa sedemikian A + B dianggap sebagai peristiwa yang terdiri daripada penampilan peristiwa A atau B, dan hasil darab ABnya - dalam penampilan kedua-duanya. Sebagai contoh, penampilan dua enam serentak pada muka dua dadu dalam satu lontaran.

Jumlah beberapa peristiwa ialah peristiwa yang membayangkan berlakunya sekurang-kurangnya satu daripadanya. Hasil daripada beberapa peristiwa adalah kejadian bersama kesemuanya.

Dalam teori kebarangkalian, sebagai peraturan, penggunaan kesatuan "dan" menandakan jumlah, kesatuan "atau" - pendaraban. Formula dengan contoh akan membantu anda memahami logik penambahan dan pendaraban dalam teori kebarangkalian.

Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi

Jika kebarangkalian dipertimbangkan acara bersama, maka kebarangkalian jumlah peristiwa adalah sama dengan jumlah kebarangkalian mereka:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Sebagai contoh: kami mengira kebarangkalian bahawa dalam bahasa Sepanyol. No. 1 dengan bola biru dan merah akan menjatuhkan nombor antara 1 dan 4. Kami akan mengira bukan dalam satu tindakan, tetapi dengan jumlah kebarangkalian komponen asas. Jadi, dalam eksperimen sedemikian hanya terdapat 6 bola atau 6 daripada semua hasil yang mungkin. Nombor yang memenuhi syarat ialah 2 dan 3. Kebarangkalian mendapat nombor 2 ialah 1/6, kebarangkalian nombor 3 juga ialah 1/6. Kebarangkalian mendapat nombor antara 1 dan 4 ialah:

Kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi bagi kumpulan lengkap ialah 1.

Jadi, jika dalam eksperimen dengan kubus kita menjumlahkan kebarangkalian untuk mendapatkan semua nombor, maka sebagai hasilnya kita mendapat satu.

Ini juga berlaku untuk peristiwa berlawanan, contohnya, dalam eksperimen dengan syiling, di mana salah satu sisinya ialah peristiwa A, dan satu lagi ialah peristiwa berlawanan Ā, seperti yang diketahui,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Kebarangkalian menghasilkan peristiwa yang tidak serasi

Pendaraban kebarangkalian digunakan apabila mempertimbangkan berlakunya dua atau lebih peristiwa yang tidak serasi dalam satu pemerhatian. Kebarangkalian peristiwa A dan B akan muncul di dalamnya pada masa yang sama adalah sama dengan hasil darab kebarangkalian mereka, atau:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Sebagai contoh, kebarangkalian bahawa dalam No. 1 hasil daripada dua percubaan, bola biru akan muncul dua kali, sama dengan

Iaitu, kebarangkalian sesuatu peristiwa berlaku apabila, hasil daripada dua percubaan dengan pengekstrakan bola, hanya bola biru akan diekstrak, ialah 25%. Sangat mudah untuk melakukan eksperimen praktikal mengenai masalah ini dan melihat sama ada ini sebenarnya berlaku.

Acara Bersama

Peristiwa dianggap bersama apabila penampilan salah satu daripadanya boleh bertepatan dengan penampilan yang lain. Walaupun fakta bahawa mereka adalah bersama, kebarangkalian tidak peristiwa bergantung. Sebagai contoh, membaling dua dadu boleh memberikan keputusan apabila nombor 6 jatuh ke atas kedua-duanya. Walaupun peristiwa itu bertepatan dan muncul pada masa yang sama, mereka bebas antara satu sama lain - hanya satu enam boleh jatuh, dadu kedua tidak mempunyai pengaruh ke atasnya.

Kebarangkalian kejadian bersama dianggap sebagai kebarangkalian jumlahnya.

Kebarangkalian jumlah peristiwa bersama. Contoh

Kebarangkalian jumlah peristiwa A dan B, yang bergabung dalam hubungan antara satu sama lain, adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa itu tolak kebarangkalian hasil mereka (iaitu, pelaksanaan bersama mereka):

R sendi. (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Andaikan kebarangkalian untuk terkena sasaran dengan satu pukulan ialah 0.4. Kemudian acara A - memukul sasaran pada percubaan pertama, B - pada percubaan kedua. Peristiwa-peristiwa ini adalah bersama, kerana kemungkinan untuk mencapai sasaran kedua-dua dari pukulan pertama dan kedua. Tetapi peristiwa tidak bergantung. Apakah kebarangkalian kejadian mengenai sasaran dengan dua pukulan (sekurang-kurangnya satu)? Mengikut formula:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Jawapan kepada soalan ialah: "Kebarangkalian untuk mencapai sasaran dengan dua pukulan ialah 64%."

Formula untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa ini juga boleh digunakan untuk peristiwa tidak serasi, di mana kebarangkalian kejadian bersama peristiwa P(AB) = 0. Ini bermakna kebarangkalian jumlah peristiwa tidak serasi boleh dianggap sebagai kes khas daripada formula yang dicadangkan.

Geometri kebarangkalian untuk kejelasan

Menariknya, kebarangkalian jumlah peristiwa bersama boleh diwakili sebagai dua kawasan A dan B yang bersilang antara satu sama lain. Seperti yang anda lihat dari gambar, luas kesatuan mereka adalah sama dengan jumlah kawasan tolak luas persimpangan mereka. Penjelasan geometri ini menjadikan formula yang kelihatan tidak logik lebih mudah difahami. Perhatikan bahawa penyelesaian geometri tidak jarang dalam teori kebarangkalian.

Takrifan kebarangkalian jumlah set (lebih daripada dua) peristiwa bersama adalah agak rumit. Untuk mengiranya, anda perlu menggunakan formula yang disediakan untuk kes ini.

Peristiwa tanggungan

Peristiwa bersandar dipanggil jika kejadian satu (A) daripadanya mempengaruhi kebarangkalian kejadian yang lain (B). Selain itu, pengaruh kedua-dua kejadian A dan tidak berlakunya diambil kira. Walaupun peristiwa dipanggil bergantung mengikut definisi, hanya satu daripadanya adalah bergantung (B). Kebarangkalian biasa dilambangkan sebagai P(B) atau kebarangkalian acara bebas. Dalam kes tanggungan, konsep baru diperkenalkan - kebarangkalian bersyarat P A (B), iaitu kebarangkalian peristiwa bergantung B di bawah syarat peristiwa A (hipotesis) telah berlaku, di mana ia bergantung.

Tetapi peristiwa A juga rawak, jadi ia juga mempunyai kebarangkalian yang mesti dan boleh diambil kira dalam pengiraan. Contoh berikut akan menunjukkan cara bekerja dengan peristiwa bergantung dan hipotesis.

Contoh pengiraan kebarangkalian peristiwa bersandar

Contoh yang baik untuk mengira acara bergantung ialah dek standard kad.

Pada contoh dek 36 kad, pertimbangkan peristiwa bergantung. Adalah perlu untuk menentukan kebarangkalian bahawa kad kedua yang dikeluarkan dari dek akan menjadi sut berlian, jika kad pertama yang dikeluarkan ialah:

1. Rebana.
2. Satu lagi saman.

Jelas sekali, kebarangkalian peristiwa kedua B bergantung pada A pertama. Jadi, jika pilihan pertama adalah benar, iaitu 1 kad (35) dan 1 berlian (8) kurang dalam dek, kebarangkalian peristiwa B:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0.23

Jika pilihan kedua adalah benar, maka terdapat 35 kad dalam dek, dan jumlah nombor rebana (9), maka kebarangkalian kejadian B berikut:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0.26.

Ia boleh dilihat bahawa jika peristiwa A bersyarat pada fakta bahawa kad pertama adalah berlian, maka kebarangkalian peristiwa B berkurangan, dan sebaliknya.

Pendaraban peristiwa bergantung

Berdasarkan bab sebelumnya, kami menerima peristiwa pertama (A) sebagai fakta, tetapi pada dasarnya, ia telah berlaku watak rawak. Kebarangkalian kejadian ini, iaitu pengekstrakan rebana daripada dek kad, adalah sama dengan:

P(A) = 9/36=1/4

Oleh kerana teori tidak wujud dengan sendirinya, tetapi dipanggil untuk berkhidmat tujuan praktikal, adalah wajar untuk diperhatikan bahawa selalunya kebarangkalian hasil darab peristiwa bergantung diperlukan.

Menurut teorem hasil darab kebarangkalian peristiwa bersandar, kebarangkalian kejadian peristiwa bergantung bersama A dan B adalah sama dengan kebarangkalian satu peristiwa A, didarab dengan kebarangkalian bersyarat bagi peristiwa B (bergantung kepada A):

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Kemudian dalam contoh dengan dek, kebarangkalian untuk melukis dua kad dengan sut berlian ialah:

9/36*8/35=0.0571 atau 5.7%

Dan kebarangkalian untuk mengekstrak bukan berlian pada mulanya, dan kemudian berlian, adalah sama dengan:

27/36*9/35=0.19 atau 19%

Ia boleh dilihat bahawa kebarangkalian berlakunya peristiwa B adalah lebih besar, dengan syarat kad sut selain daripada berlian dilukis terlebih dahulu. Keputusan ini agak logik dan boleh difahami.

Jumlah kebarangkalian sesuatu peristiwa

Apabila tugas itu kebarangkalian bersyarat menjadi pelbagai rupa, ia tidak boleh dikira dengan kaedah konvensional. Apabila terdapat lebih daripada dua hipotesis, iaitu A1, A2, ..., A n , .. membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap di bawah syarat:

• P(A i)>0, i=1,2,…
• A i ∩ A j =Ø,i≠j.
• Σ k A k =Ω.

Jadi formulanya kebarangkalian penuh untuk peristiwa B dengan kumpulan lengkap peristiwa rawak A1, A2, ..., A n ialah:

Pandangan ke masa depan

Kebarangkalian kejadian rawak adalah penting dalam banyak bidang sains: ekonometrik, statistik, fizik, dsb. Memandangkan sesetengah proses tidak dapat diterangkan secara deterministik, kerana ia sendiri adalah kemungkinan, kaedah kerja khas diperlukan. Kebarangkalian teori peristiwa boleh digunakan dalam mana-mana bidang teknologi sebagai cara untuk menentukan kemungkinan ralat atau kerosakan.

Boleh dikatakan bahawa, dengan mengenali kebarangkalian, entah bagaimana kita mengambil langkah teoritis ke masa depan, melihatnya melalui prisma formula.

Klasik dan definisi statistik kebarangkalian

Untuk aktiviti amali adalah perlu untuk dapat membandingkan peristiwa mengikut tahap kemungkinan kejadiannya. Pertimbangkan kes klasik. Sebuah urn mengandungi 10 bola, 8 daripadanya warna putih, 2 hitam. Jelas sekali bahawa acara "bola putih akan ditarik dari urn" dan acara "bola hitam akan ditarik dari urn" telah darjah yang berbeza-beza kemungkinan kejadian mereka. Oleh itu, untuk membandingkan peristiwa, ukuran kuantitatif tertentu diperlukan.

ukuran kuantitatif kemungkinan sesuatu peristiwa berlaku ialah kebarangkalian . Paling penggunaan yang meluas memperoleh dua takrifan kebarangkalian sesuatu peristiwa: klasik dan statistik.

Definisi klasik kebarangkalian adalah berkaitan dengan tanggapan hasil yang menggalakkan. Mari kita fikirkan perkara ini dengan lebih terperinci.

Biarkan hasil beberapa ujian membentuk kumpulan peristiwa yang lengkap dan berkemungkinan sama, i.e. adalah unik mungkin, tidak konsisten dan sama mungkin. Hasil sedemikian dipanggil hasil asas, atau kes. Dikatakan bahawa ujian dikurangkan kepada carta kes atau" skema balang”, kerana sebarang masalah kebarangkalian untuk ujian sedemikian boleh digantikan dengan masalah yang setara dengan guci dan bola yang berbeza warna.

Keluaran dipanggil menguntungkan peristiwa TAPI jika berlakunya kes ini melibatkan berlakunya peristiwa tersebut TAPI.

Mengikut definisi klasik kebarangkalian peristiwa A adalah sama dengan nisbah bilangan hasil yang menguntungkan acara ini kepada jumlah nombor hasil, iaitu

,

(1.1)

di mana P(A)- kebarangkalian sesuatu kejadian TAPI; m- bilangan kes yang menguntungkan acara tersebut TAPI; n ialah jumlah keseluruhan kes.

Contoh 1.1. Apabila membaling dadu, enam keputusan mungkin - kehilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6 mata. Apakah kebarangkalian mendapat mata genap?

Penyelesaian. Semua n= 6 hasil membentuk kumpulan acara yang lengkap dan berkemungkinan sama, i.e. adalah unik mungkin, tidak konsisten dan sama mungkin. Peristiwa A - "kemunculan bilangan mata genap" - digemari oleh 3 keputusan (kes) - kehilangan 2, 4 atau 6 mata. Mengikut formula klasik untuk kebarangkalian sesuatu peristiwa, kita memperoleh

P(A) = = . ◄

Berdasarkan definisi klasik kebarangkalian sesuatu peristiwa, kami perhatikan sifatnya:

1. Kebarangkalian sebarang peristiwa terletak di antara sifar dan satu, i.e.

0 ≤ R(TAPI) ≤ 1.

2. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu.

3. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Seperti yang dinyatakan sebelum ini, definisi klasik kebarangkalian hanya terpakai untuk peristiwa-peristiwa yang mungkin muncul sebagai hasil daripada percubaan dengan simetri hasil yang mungkin, i.e. boleh dikurangkan kepada skema kes. Walau bagaimanapun, terdapat kelas besar peristiwa yang kebarangkaliannya tidak dapat dikira menggunakan definisi klasik.

Sebagai contoh, jika kita menganggap syiling itu diratakan, maka jelaslah bahawa peristiwa "kemunculan jata" dan "kemunculan ekor" tidak boleh dianggap sama mungkin. Oleh itu, formula untuk menentukan kebarangkalian mengikut skema klasik tidak boleh digunakan dalam kes ini.

Walau bagaimanapun, terdapat pendekatan lain untuk menilai kebarangkalian peristiwa, berdasarkan kekerapan kejadian tertentu akan berlaku dalam ujian yang dijalankan. Dalam kes ini, definisi statistik kebarangkalian digunakan.

Kebarangkalian Statistikperistiwa A ialah kekerapan relatif (frekuensi) kejadian kejadian ini dalam n ujian yang dilakukan, i.e.

,

(1.2)

di mana R * (A) ialah kebarangkalian statistik sesuatu peristiwa TAPI; w(A) ialah kekerapan relatif kejadian TAPI; m ialah bilangan percubaan di mana peristiwa itu berlaku TAPI; n ialah jumlah bilangan percubaan.

Tidak seperti kebarangkalian matematik P(A) dipertimbangkan dalam definisi klasik, kebarangkalian statistik R * (A) adalah ciri berpengalaman, percubaan. Dalam kata lain, kebarangkalian statistik perkembangan TAPI nombor itu dipanggil, berbanding dengan kekerapan relatif distabilkan (ditubuhkan) w(A) dengan peningkatan tanpa had dalam bilangan ujian yang dijalankan di bawah set syarat yang sama.

Sebagai contoh, apabila mereka mengatakan tentang penembak bahawa dia mencapai sasaran dengan kebarangkalian 0.95, ini bermakna daripada seratus tembakan yang dilepaskan olehnya dalam keadaan tertentu (sasaran yang sama pada jarak yang sama, senapang yang sama, dsb. ), secara purata terdapat kira-kira 95 yang berjaya. Sememangnya, tidak setiap ratus akan mempunyai 95 tangkapan yang berjaya, kadangkala akan ada lebih sedikit, kadangkala lebih, tetapi secara purata, dengan pengulangan rakaman berulang dalam keadaan yang sama, peratusan pukulan ini akan kekal tidak berubah. Nombor 0.95, yang berfungsi sebagai penunjuk kemahiran penembak, biasanya sangat stabil, iaitu peratusan pukulan dalam kebanyakan penangkapan akan hampir sama untuk penembak tertentu, hanya dalam kes yang jarang berlaku menyimpang dalam apa-apa cara yang ketara daripada nilai puratanya.

Satu lagi kelemahan definisi klasik kebarangkalian ( 1.1 ), yang mengehadkan penggunaannya ialah ia menganggap bilangan terhingga hasil ujian yang mungkin. Dalam sesetengah kes, kelemahan ini boleh diatasi dengan menggunakan definisi geometri kebarangkalian, i.e. mencari kebarangkalian untuk memukul titik di kawasan tertentu (segmen, bahagian satah, dll.).

Biarkan angka rata g membentuk bahagian angka rata G(Gamb. 1.1). Pada angka itu G satu titik dilempar secara rawak. Ini bermakna semua titik di kawasan itu G"sama" berhubung dengan memukulnya dengan titik rawak yang dilemparkan. Dengan mengandaikan bahawa kebarangkalian sesuatu peristiwa TAPI- memukul mata yang dibaling pada rajah g- berkadar dengan luas angka ini dan tidak bergantung pada lokasinya berbanding dengan G, bukan dari borang g, cari

Asas Teori Kebarangkalian

Pelan:

1. Acara rawak

2. Takrifan klasik bagi kebarangkalian

3. Pengiraan kebarangkalian peristiwa dan kombinatorik

4. Kebarangkalian geometri

Maklumat teori

Acara rawak.

fenomena rawak- fenomena, yang hasilnya ditentukan dengan jelas. Konsep ini boleh ditafsirkan secara agak pengertian yang luas. Iaitu: segala-galanya dalam alam semula jadi agak tidak sengaja, penampilan dan kelahiran mana-mana individu adalah fenomena rawak, pilihan barang di kedai juga fenomena rawak, mendapat markah pada peperiksaan adalah fenomena rawak, penyakit dan pemulihan adalah rawak. fenomena, dsb.

Contoh fenomena rawak:

~ Menembak dari pistol yang dipasang di bawah sudut yang diberi ke kaki langit. Memukulnya pada sasaran adalah tidak sengaja, tetapi memukul peluru dalam "garpu" tertentu adalah corak. Anda boleh menentukan jarak yang lebih dekat daripada dan seterusnya peluru tidak akan terbang. Dapatkan beberapa "penyebaran cangkerang garpu"

~ Badan yang sama ditimbang beberapa kali. Tegasnya, keputusan yang berbeza akan diperolehi setiap kali, walaupun berbeza dengan jumlah yang kecil, tetapi berbeza.

~ Pesawat terbang di sepanjang laluan yang sama mempunyai koridor penerbangan tertentu di mana pesawat boleh bergerak, tetapi ia tidak akan mempunyai laluan yang sama

~ Seorang atlet tidak akan dapat berlari pada jarak yang sama dengan masa yang sama. Keputusannya juga akan berada dalam julat berangka tertentu.

Pengalaman, eksperimen, pemerhatian adalah ujian

Perbicaraan- pemerhatian atau pemenuhan set syarat tertentu yang dilakukan berulang kali, dan kerap diulang dalam urutan ini dan yang sama, tempoh, sambil memerhati parameter lain yang serupa.

Mari kita pertimbangkan prestasi oleh ahli sukan itu daripada pukulan ke sasaran. Agar ia dapat dihasilkan, adalah perlu untuk memenuhi syarat-syarat seperti penyediaan atlet, memuatkan senjata, membidik, dll. "Pukul" dan "rindu" ialah peristiwa akibat pukulan.

Peristiwa- keputusan ujian kualitatif.

Peristiwa mungkin berlaku atau tidak Peristiwa ditunjukkan dengan huruf besar dengan huruf Latin. Contohnya: D ="Penembak itu terkena sasaran". S="Keluar bola putih". K="Diambil secara rawak tiket loteri tiada untung."

Melambung syiling adalah satu ujian. Kejatuhan "jata" beliau adalah satu peristiwa, kejatuhan "nombor" beliau adalah peristiwa kedua.

Sebarang ujian melibatkan berlakunya beberapa peristiwa. Sebahagian daripada mereka mungkin diperlukan masa ini masa untuk penyelidik, yang lain tidak perlu.

Peristiwa itu dipanggil rawak, jika di bawah pelaksanaan set syarat tertentu S ia boleh berlaku atau tidak. Dalam perkara berikut, bukannya mengatakan "set syarat S dipenuhi," kami akan mengatakan secara ringkas: "ujian telah dijalankan." Oleh itu, acara itu akan dianggap sebagai keputusan ujian.

~ Penembak menembak sasaran yang dibahagikan kepada empat kawasan. Pukulan adalah ujian. Memukul kawasan sasaran tertentu adalah satu peristiwa.

~ Terdapat bola berwarna di dalam urn. Satu bola diambil secara rawak dari urn. Mengeluarkan bola dari tempayan adalah satu ujian. Penampilan bola warna tertentu- acara.

Jenis peristiwa rawak

1. Peristiwa dikatakan tidak serasi jika kejadian salah satu daripadanya tidak termasuk kejadian lain dalam percubaan yang sama.

~ Satu bahagian diambil secara rawak daripada kotak dengan bahagian. Kemunculan bahagian standard tidak termasuk penampilan bahagian bukan standard. Peristiwa € bahagian standard muncul" dan dengan bahagian bukan standard muncul" - tidak serasi.

~ Syiling dilempar. Penampilan "jata" tidak termasuk penampilan inskripsi. Peristiwa "sebuah jata muncul" dan "sebuah prasasti muncul" tidak serasi.

Beberapa acara terbentuk kumpulan penuh, jika sekurang-kurangnya salah satu daripadanya muncul sebagai hasil daripada ujian. Dalam erti kata lain, berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa kumpulan lengkap adalah peristiwa tertentu.

Khususnya, jika peristiwa yang membentuk kumpulan lengkap tidak serasi secara berpasangan, maka satu dan hanya satu daripada peristiwa ini akan muncul sebagai hasil daripada ujian. kes istimewa mewakili untuk kita kepentingan terbesar, kerana ia akan digunakan di bawah.

~ Dua tiket wang dan loteri pakaian telah dibeli. Satu dan hanya satu daripada peristiwa berikut mesti berlaku:

1. "kemenangan jatuh pada tiket pertama dan tidak jatuh pada tiket kedua",

2. "kemenangan tidak jatuh pada tiket pertama dan jatuh pada tiket kedua",

3. "kemenangan jatuh pada kedua-dua tiket",

4. "kedua-dua tiket tidak menang."

Peristiwa ini membentuk kumpulan lengkap acara tidak serasi berpasangan,

~ Penembak melepaskan tembakan ke arah sasaran. Salah satu daripada dua peristiwa berikut pasti akan berlaku: pukul, terlepas. Kedua-dua peristiwa berpecah ini juga membentuk kumpulan yang lengkap.

2. Peristiwa dipanggil sama mungkin jika ada sebab untuk mempercayai bahawa tidak ada yang lebih mungkin daripada yang lain.

~ Kemunculan "jata" dan kemunculan inskripsi apabila syiling dilambung adalah kejadian yang sama. Malah, diandaikan bahawa syiling itu diperbuat daripada bahan homogen, mempunyai bentuk silinder biasa, dan kehadiran syiling tidak menjejaskan kehilangan satu atau satu lagi bahagian syiling.

~ Kemunculan satu atau satu lagi bilangan mata pada dadu yang dibaling adalah peristiwa yang sama kemungkinannya. Memang diandaikan begitu dadu diperbuat daripada bahan homogen, mempunyai bentuk polihedron biasa, dan kehadiran mata tidak mempunyai kesan pada penurunan mana-mana muka.

3. Peristiwa itu dipanggil asli, jika ia tidak boleh berlaku

4. Peristiwa itu dipanggil tidak boleh dipercayai jika ia tidak boleh berlaku.

5. Peristiwa itu dipanggil bertentangan kepada sesuatu peristiwa jika ia terdiri daripada kejadian yang tidak berlaku. Peristiwa bertentangan tidak serasi, tetapi salah satu daripadanya mesti berlaku. Peristiwa bertentangan biasanya dirujuk sebagai penafian, i.e. sengkang ditulis di atas huruf. Peristiwa adalah bertentangan: A dan Ā; U dan Ū, dsb. .

Takrif klasik kebarangkalian

Kebarangkalian adalah salah satu konsep asas teori kebarangkalian.

Terdapat beberapa definisi konsep ini. Mari kita berikan definisi yang dipanggil klasik. Seterusnya, kami menunjukkan pihak yang lemah definisi ini dan kami memberikan definisi lain yang membolehkan kami mengatasi kelemahan definisi klasik.

Pertimbangkan situasi: Sebuah kotak mengandungi 6 bola yang sama, 2 berwarna merah, 3 berwarna biru dan 1 berwarna putih. Jelas sekali, kemungkinan melukis bola berwarna (iaitu, merah atau biru) secara rawak dari tempayan adalah lebih besar daripada kemungkinan melukis bola putih. Kemungkinan ini boleh dicirikan oleh nombor, yang dipanggil kebarangkalian peristiwa (kemunculan bola berwarna).

Kebarangkalian- nombor yang mencirikan tahap kemungkinan berlakunya peristiwa itu.

Dalam situasi yang sedang dipertimbangkan, kami menyatakan:

Acara A = "Mencabut bola berwarna".

Setiap kemungkinan hasil ujian (ujian terdiri daripada mengekstrak bola dari urn) dipanggil hasil dan peristiwa asas (kemungkinan). Hasil asas boleh dilambangkan dengan huruf dengan indeks di bawah, contohnya: k 1 , k 2 .

Dalam contoh kami, terdapat 6 bola, jadi terdapat 6 kemungkinan hasil: bola putih muncul; bola merah muncul; bola biru muncul, dan seterusnya. Adalah mudah untuk melihat bahawa hasil ini membentuk kumpulan lengkap acara tidak serasi berpasangan (hanya satu bola semestinya akan muncul) dan ia berkemungkinan sama (bola dibawa keluar secara rawak, bola adalah sama dan bercampur dengan teliti).

Hasil asas, di mana peristiwa yang menarik minat kami berlaku, kami akan memanggil hasil yang menggalakkan acara ini. Dalam contoh kami, acara itu digemari TAPI(penampilan bola berwarna) 5 hasil berikut:

Justeru peristiwa itu TAPI diperhatikan jika sesuatu berlaku dalam ujian, tidak kira yang mana, daripada hasil asas yang memihak TAPI. Ini adalah rupa mana-mana bola berwarna, yang mana terdapat 5 keping di dalam kotak

Dalam contoh ini hasil asas 6; yang mana 5 memihak kepada acara tersebut TAPI. Akibatnya, P(A)= 5/6. Nombor ini memberikan kuantifikasi tahap kemungkinan penampilan bola berwarna.

Definisi kebarangkalian:

Kebarangkalian kejadian A ialah nisbah bilangan hasil yang menguntungkan acara ini kepada jumlah bilangan semua hasil asas tidak serasi yang sama mungkin yang membentuk kumpulan lengkap.

P(A)=m/n atau P(A)=m: n, di mana:

m ialah bilangan hasil asas yang memihak TETAPI;

P- bilangan semua kemungkinan hasil asas ujian.

Diandaikan di sini bahawa hasil asas adalah tidak serasi, berkemungkinan sama dan membentuk kumpulan yang lengkap.

Sifat-sifat berikut mengikut takrifan kebarangkalian:

1. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu.

Sesungguhnya, jika acara itu boleh dipercayai, maka setiap keputusan asas ujian itu memihak kepada acara itu. Dalam kes ini m = n maka p=1

2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar.

Sememangnya, jika peristiwa itu mustahil, maka tiada satu pun keputusan asas perbicaraan itu memihak kepada acara itu. Dalam kes ini m=0, maka p=0.

3.Kebarangkalian kejadian rawak ialah nombor positif antara sifar dan satu. 0t< n.

Dalam topik seterusnya, teorem akan diberikan yang membenarkan, daripada kebarangkalian yang diketahui bagi beberapa peristiwa, untuk mencari kebarangkalian peristiwa lain.

Pengukuran. Terdapat 6 perempuan dan 4 lelaki dalam kumpulan pelajar. Apakah kebarangkalian bahawa pelajar yang dipilih secara rawak akan menjadi perempuan? adakah ia seorang lelaki muda?

p dev = 6 / 10 = 0.6 p jun = 4 / 10 = 0.4

Konsep "kebarangkalian" dalam kursus ketat teori kebarangkalian moden dibina atas dasar set-teoretik. Mari kita lihat beberapa pendekatan ini.

Katakan bahawa hasil daripada ujian satu dan hanya satu daripada peristiwa berikut berlaku: w i(i=1, 2, .... n). Perkembangan w i, dipanggil peristiwa asas (hasil asas). O ia berikutan bahawa peristiwa asas adalah tidak serasi berpasangan. Set semua peristiwa asas yang boleh muncul dalam percubaan dipanggil ruang acara asasΩ (huruf Yunani omega kapital), dan peristiwa asas itu sendiri - titik dalam ruang ini..

Peristiwa TAPI dikenal pasti dengan subset (ruang Ω) yang unsur-unsurnya memihak kepada hasil asas TETAPI; peristiwa AT ialah subset Ω yang unsur-unsurnya adalah hasil yang memihak AT, dsb. Oleh itu, set semua peristiwa yang boleh berlaku dalam ujian ialah set semua subset Ω. Ω sendiri berlaku dengan sebarang hasil ujian, oleh itu Ω ialah peristiwa tertentu; subset kosong bagi ruang Ω ialah peristiwa -mustahil (ia tidak berlaku untuk sebarang hasil ujian).

Peristiwa asas dibezakan daripada semua acara mengikut topik, "setiap daripadanya hanya mengandungi satu elemen Ω

Untuk setiap hasil asas w i padankan nombor positif p i ialah kebarangkalian hasil ini, dan jumlah semua p i sama dengan 1 atau dengan tanda jumlah, fakta ini akan ditulis sebagai ungkapan:

Mengikut definisi, kebarangkalian P(A) perkembangan TAPI adalah sama dengan jumlah kebarangkalian hasil asas yang memihak TAPI. Oleh itu, kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu, mustahil - kepada sifar, sewenang-wenangnya - adalah antara sifar dan satu.

Mari kita pertimbangkan satu kes tertentu yang penting, apabila semua hasil berkemungkinan sama. Bilangan hasil adalah sama dengan n, jumlah kebarangkalian semua hasil adalah sama dengan satu; maka kebarangkalian setiap hasil ialah 1/n. Biarkan acara itu TAPI memihak kepada m hasil.

Kebarangkalian Peristiwa TAPI adalah sama dengan jumlah kebarangkalian hasil yang memihak TETAPI:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Takrifan klasik kebarangkalian diperolehi.

masih ada aksiomatik pendekatan kepada konsep "kebarangkalian". Dalam sistem aksiom yang dicadangkan. Kolmogorov A.N., konsep yang tidak ditentukan ialah peristiwa asas dan kebarangkalian. Pembinaan teori kebarangkalian lengkap secara logik adalah berdasarkan takrifan aksiomatik bagi peristiwa rawak dan kebarangkaliannya.

Berikut ialah aksiom yang menentukan kebarangkalian:

1. Setiap peristiwa TAPI diberikan nombor nyata bukan negatif P(A). Nombor ini dipanggil kebarangkalian kejadian. TAPI.

2. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu:

3. Kebarangkalian berlakunya sekurang-kurangnya satu daripada peristiwa tidak serasi berpasangan adalah sama dengan jumlah kebarangkalian peristiwa ini.

Berdasarkan aksiom-aksiom ini, sifat-sifat kebarangkalian untuk hubungan antara mereka diterbitkan sebagai teorem.

Kebarangkalian peristiwa ialah nisbah bilangan hasil asas yang memihak kepada peristiwa tertentu kepada bilangan semua hasil pengalaman yang sama kemungkinan di mana peristiwa ini mungkin berlaku. Kebarangkalian kejadian A dilambangkan dengan P(A) (di sini P ialah huruf pertama perkataan Perancis probabilite - kebarangkalian). Mengikut definisi
(1.2.1)
di manakah bilangan hasil asas yang memihak kepada acara A; - bilangan semua hasil asas pengalaman yang sama mungkin, membentuk kumpulan acara yang lengkap.
Takrifan kebarangkalian ini dipanggil klasik. Ia timbul pada peringkat awal perkembangan teori kebarangkalian.

Kebarangkalian sesuatu peristiwa mempunyai sifat berikut:
1. Kebarangkalian kejadian tertentu adalah sama dengan satu. Mari kita tentukan acara tertentu dengan surat . Untuk acara tertentu, oleh itu
(1.2.2)
2. Kebarangkalian kejadian mustahil ialah sifar. Kami menandakan peristiwa mustahil dengan huruf. Untuk peristiwa yang mustahil, oleh itu
(1.2.3)
3. Kebarangkalian kejadian rawak dinyatakan sebagai nombor positif kurang daripada satu. Oleh kerana ketaksamaan , atau berpuas hati untuk peristiwa rawak, maka
(1.2.4)
4. Kebarangkalian sebarang peristiwa memenuhi ketaksamaan
(1.2.5)
Ini berikutan daripada hubungan (1.2.2) -(1.2.4).

Contoh 1 Sebuah guci mengandungi 10 biji bola yang sama saiz dan berat, di mana 4 daripadanya adalah merah dan 6 adalah biru. Satu bola diambil dari urn. Apakah kebarangkalian bahawa bola yang dilukis itu berwarna biru?

Penyelesaian. Peristiwa "bola yang ditarik ternyata biru" akan dilambangkan dengan huruf A. Percubaan ini mempunyai 10 hasil asas yang sama mungkin, di mana 6 acara memihak kepada A. Selaras dengan formula (1.2.1), kami memperoleh

Contoh 2 Semua nombor asli dari 1 hingga 30 ditulis pada kad yang sama dan diletakkan di dalam bekas. Selepas mencampurkan kad dengan teliti, satu kad dikeluarkan dari urn. Apakah kebarangkalian bahawa nombor pada kad yang dikeluarkan ialah gandaan 5?

Penyelesaian. Nyatakan dengan A peristiwa "nombor pada kad yang diambil ialah gandaan 5". Dalam ujian ini, terdapat 30 hasil asas yang sama mungkin, di mana 6 keputusan memihak kepada peristiwa A (nombor 5, 10, 15, 20, 25, 30). Akibatnya,

Contoh 3 Dua dadu dilambung dan jumlah markah dikira. muka atas. Cari kebarangkalian peristiwa B, yang terdiri daripada fakta bahawa muka atas kubus akan mempunyai sejumlah 9 mata.

Penyelesaian. Terdapat 6 2 = 36 kemungkinan hasil asas yang sama dalam percubaan ini. Peristiwa B digemari oleh 4 hasil: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), jadi

Contoh 4. Dipilih secara rawak nombor asli, tidak melebihi 10. Apakah kebarangkalian nombor ini adalah perdana?

Penyelesaian. Nyatakan dengan huruf C peristiwa "nombor yang dipilih ialah perdana". Dalam kes ini, n = 10, m = 4 (bilangan perdana 2, 3, 5, 7). Oleh itu, kebarangkalian yang dikehendaki

Contoh 5 Dua syiling simetri dilambung. Apakah kebarangkalian kedua-dua syiling mempunyai digit di bahagian atas?

Penyelesaian. Mari kita nyatakan dengan huruf D peristiwa "terdapat nombor di bahagian atas setiap syiling". Terdapat 4 kemungkinan hasil asas yang sama dalam ujian ini: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasi (G, C) bermaksud bahawa pada syiling pertama terdapat jata, pada kedua - nombor). Peristiwa D digemari oleh satu hasil asas (C, C). Oleh kerana m = 1, n = 4, maka

Contoh 6 Apakah kebarangkalian bahawa digit dalam nombor dua digit yang dipilih secara rawak adalah sama?

Penyelesaian. Nombor dua digit ialah nombor dari 10 hingga 99; terdapat 90 nombor sedemikian secara keseluruhan. 9 nombor mempunyai digit yang sama (ini ialah nombor 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Oleh kerana dalam kes ini m = 9, n = 90, maka
,
di mana A ialah acara "nombor dengan digit yang sama".

Contoh 7 Daripada huruf perkataan pembezaan satu huruf dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian bahawa huruf ini akan menjadi: a) vokal b) konsonan c) huruf h?

Penyelesaian. Terdapat 12 huruf dalam perkataan pembezaan, di mana 5 adalah vokal dan 7 adalah konsonan. surat h perkataan ini tidak. Mari kita nyatakan peristiwa: A - "vokal", B - "konsonan", C - "huruf h". Bilangan hasil asas yang menggalakkan: - untuk acara A, - untuk acara B, - untuk acara C. Sejak n \u003d 12, maka
, dan .

Contoh 8 Dua dadu dilambung, bilangan mata pada muka atas setiap dadu dicatat. Cari kebarangkalian bahawa kedua-dua dadu mempunyai bilangan mata yang sama.

Penyelesaian. Mari kita nyatakan peristiwa ini dengan huruf A. Peristiwa A digemari oleh 6 hasil asas: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Secara keseluruhan terdapat hasil asas yang sama mungkin yang membentuk kumpulan lengkap peristiwa, dalam kes ini n=6 2 =36. Jadi kebarangkalian yang diingini

Contoh 9 Buku ini mempunyai 300 muka surat. Apakah kebarangkalian bahawa halaman yang dibuka secara rawak akan mempunyai nombor urutan yang merupakan gandaan 5?

Penyelesaian. Ia berikutan daripada syarat masalah bahawa akan terdapat n = 300 daripada semua hasil asas yang sama mungkin yang membentuk kumpulan lengkap peristiwa.Daripada jumlah ini, m = 60 memihak kepada kejadian yang ditentukan. Sesungguhnya, nombor yang merupakan gandaan 5 mempunyai bentuk 5k, dengan k ialah nombor asli, dan , dari mana . Akibatnya,
, di mana A - acara "halaman" mempunyai nombor urutan yang merupakan gandaan 5".

Contoh 10. Dua dadu dilempar, jumlah mata pada muka atas dikira. Apakah yang lebih berkemungkinan mendapat jumlah 7 atau 8?

Penyelesaian. Mari kita tentukan peristiwa: A - "7 mata jatuh", B - "8 mata jatuh". Acara A digemari oleh 6 hasil asas: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), dan acara B - oleh 5 hasil: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Terdapat n = 6 2 = 36 daripada semua hasil asas yang sama mungkin. dan .

Jadi, P(A)>P(B), iaitu mendapat jumlah 7 mata adalah peristiwa yang lebih berkemungkinan daripada mendapat jumlah 8 mata.

Tugasan

1. Nombor asli tidak melebihi 30 dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian nombor ini ialah gandaan 3?
2. Dalam tempayan a merah dan b bola biru dengan saiz dan berat yang sama. Apakah kebarangkalian bahawa bola yang diambil secara rawak daripada balang ini berwarna biru?
3. Nombor tidak melebihi 30 dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian nombor ini adalah pembahagi zo?
4. Dalam tempayan a biru dan b bola merah dengan saiz dan berat yang sama. Satu bola diambil dari balang ini dan ketepikan. Bola ini berwarna merah. Kemudian bola lain diambil dari urn. Cari kebarangkalian bahawa bola kedua juga berwarna merah.
5. Nombor asli tidak melebihi 50 dipilih secara rawak. Apakah kebarangkalian nombor ini adalah perdana?
6. Tiga dadu dilempar, jumlah mata pada muka atas dikira. Apakah yang lebih berkemungkinan - untuk mendapatkan jumlah 9 atau 10 mata?
7. Tiga dadu dilambung, jumlah mata yang dijatuhkan dikira. Apakah yang lebih berkemungkinan mendapat jumlah 11 (acara A) atau 12 mata (acara B)?

Jawapan

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - kebarangkalian mendapat 9 mata secara keseluruhan; p 2 \u003d 27/216 - kebarangkalian mendapat 10 mata secara keseluruhan; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

Soalan

1. Apakah yang dipanggil kebarangkalian sesuatu peristiwa?
2. Apakah kebarangkalian sesuatu kejadian?
3. Apakah kebarangkalian kejadian mustahil?
4. Apakah had kebarangkalian kejadian rawak?
5. Apakah had kebarangkalian sebarang kejadian?
6. Apakah takrifan kebarangkalian yang dipanggil klasik?