Apabila persamaan kuadratik mempunyai dua punca yang berbeza. Menyelesaikan persamaan kuadratik: formula akar, contoh

Dengan cara yang lebih mudah. Untuk melakukan ini, keluarkan z daripada kurungan. Anda mendapat: z(az + b) = 0. Faktor boleh ditulis: z=0 dan az + b = 0, kerana kedua-duanya boleh menghasilkan sifar. Dalam notasi az + b = 0, kita gerakkan yang kedua ke kanan dengan tanda yang berbeza. Dari sini kita dapat z1 = 0 dan z2 = -b/а. Ini adalah akar dari yang asal.

Sekiranya terdapat persamaan yang tidak lengkap dalam bentuk az² + c \u003d 0, dalam kes ini ia didapati dengan hanya memindahkan istilah bebas ke sebelah kanan persamaan. Tukar juga tandanya. Anda mendapat rekod az² \u003d -s. Ungkapkan z² = -c/a. Ambil punca dan tulis dua penyelesaian - nilai positif dan negatif punca kuasa dua.

catatan

Jika terdapat pekali pecahan dalam persamaan, darabkan keseluruhan persamaan dengan faktor yang sesuai untuk menyingkirkan pecahan itu.

Mengetahui cara menyelesaikan persamaan kuadratik adalah perlu untuk kedua-dua pelajar sekolah dan pelajar, kadangkala ia boleh membantu orang dewasa dalam kehidupan seharian. Terdapat beberapa kaedah keputusan khusus.

Menyelesaikan persamaan kuadratik

Persamaan kuadratik berbentuk a*x^2+b*x+c=0. Pekali x ialah pembolehubah yang dikehendaki, a, b, c - pekali berangka. Ingat bahawa tanda "+" boleh bertukar kepada tanda "-".

Untuk menyelesaikan persamaan ini, anda mesti menggunakan teorem Vieta atau mencari diskriminasi. Cara yang paling biasa adalah untuk mencari diskriminasi, kerana untuk beberapa nilai a, b, c tidak mungkin untuk menggunakan teorem Vieta.

Untuk mencari diskriminasi (D), anda mesti menulis formula D=b^2 - 4*a*c. Nilai D boleh lebih besar daripada, kurang daripada atau sama dengan sifar. Jika D lebih besar atau kurang daripada sifar, maka akan ada dua punca, jika D = 0, maka hanya tinggal satu punca, lebih tepat lagi, kita boleh mengatakan bahawa D dalam kes ini mempunyai dua punca yang setara. Gantikan pekali a, b, c yang diketahui ke dalam formula dan hitung nilainya.

Selepas anda menemui diskriminasi, untuk mencari x, gunakan formula: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a dengan sqrt ialah fungsi untuk mengambil punca kuasa dua nombor yang diberi. Selepas mengira ungkapan ini, anda akan menemui dua punca persamaan anda, selepas itu persamaan dianggap selesai.

Jika D kurang daripada sifar, maka ia masih mempunyai punca. Di sekolah, bahagian ini boleh dikatakan tidak dipelajari. Pelajar universiti harus sedar bahawa nombor negatif muncul di bawah akar. Kami menyingkirkannya dengan memisahkan bahagian khayalan, iaitu, -1 di bawah akar sentiasa sama dengan unsur khayalan "i", yang didarabkan dengan punca dengan nombor positif yang sama. Contohnya, jika D=sqrt(-20), selepas penjelmaan, D=sqrt(20)*i diperolehi. Selepas transformasi ini, penyelesaian persamaan dikurangkan kepada penemuan akar yang sama, seperti yang diterangkan di atas.

Teorem Vieta terdiri daripada pemilihan nilai x(1) dan x(2). Dua persamaan yang sama digunakan: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=s. Selain itu, titik yang sangat penting ialah tanda di hadapan pekali b, ingat bahawa tanda ini bertentangan dengan yang dalam persamaan. Pada pandangan pertama, nampaknya pengiraan x(1) dan x(2) adalah sangat mudah, tetapi apabila menyelesaikannya, anda akan menghadapi hakikat bahawa nombor itu perlu dipilih dengan tepat.

Elemen untuk menyelesaikan persamaan kuadratik

Mengikut peraturan matematik, ada yang boleh difaktorkan: (a + x (1)) * (b-x (2)) \u003d 0, jika anda berjaya mengubah persamaan kuadratik ini dengan cara ini menggunakan formula matematik, maka berasa bebas untuk tulis jawapan. x(1) dan x(2) akan sama dengan pekali bersebelahan dalam kurungan, tetapi dengan tanda yang bertentangan.

Juga, jangan lupa tentang persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Anda mungkin kehilangan beberapa istilah, jika ya, maka semua pekalinya adalah sama dengan sifar. Jika x^2 atau x didahului oleh tiada, maka pekali a dan b adalah sama dengan 1.

Beberapa masalah dalam matematik memerlukan kebolehan untuk mengira nilai punca kuasa dua. Masalah ini termasuk menyelesaikan persamaan tertib kedua. Dalam artikel ini, kami membentangkan kaedah yang berkesan untuk mengira punca kuasa dua dan menggunakannya apabila bekerja dengan formula untuk punca persamaan kuadratik.

Apakah punca kuasa dua?

Dalam matematik, konsep ini sepadan dengan simbol √. Data sejarah mengatakan bahawa ia mula digunakan buat kali pertama sekitar separuh pertama abad ke-16 di Jerman (karya Jerman pertama mengenai algebra oleh Christoph Rudolf). Para saintis percaya bahawa simbol ini adalah huruf Latin r yang diubah (radix bermaksud "akar" dalam bahasa Latin).

Punca sebarang nombor adalah sama dengan nilai sedemikian, kuasa duanya sepadan dengan ungkapan akar. Dalam bahasa matematik, definisi ini akan kelihatan seperti ini: √x = y jika y 2 = x.

Punca nombor positif (x > 0) juga adalah nombor positif (y > 0), tetapi jika anda mengambil punca nombor negatif (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Berikut adalah dua contoh mudah:

√9 = 3 kerana 3 2 = 9; √(-9) = 3i kerana i 2 = -1.

Formula lelaran Heron untuk mencari nilai punca kuasa dua

Contoh-contoh di atas sangat mudah, dan pengiraan akar di dalamnya tidak sukar. Kesukaran mula muncul apabila mencari nilai akar untuk sebarang nilai yang tidak boleh diwakili sebagai kuasa dua nombor asli, contohnya √10, √11, √12, √13, apatah lagi fakta bahawa dalam amalan ia adalah perlu untuk mencari punca bagi nombor bukan integer: contohnya √(12.15), √(8.5) dan seterusnya.

Dalam semua kes di atas, kaedah khas untuk mengira punca kuasa dua harus digunakan. Pada masa ini, beberapa kaedah sedemikian diketahui: contohnya, pengembangan dalam siri Taylor, pembahagian dengan lajur, dan beberapa yang lain. Daripada semua kaedah yang diketahui, mungkin yang paling mudah dan berkesan ialah penggunaan formula lelaran Heron, yang juga dikenali sebagai kaedah Babylon untuk menentukan punca kuasa dua (terdapat bukti bahawa orang Babylon kuno menggunakannya dalam pengiraan praktikal mereka).

Biarlah perlu untuk menentukan nilai √x. Formula untuk mencari punca kuasa dua adalah seperti berikut:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), dengan lim n->∞ (a n) => x.

Mari kita tafsirkan tatatanda matematik ini. Untuk mengira √x, anda harus mengambil beberapa nombor a 0 (ia boleh sewenang-wenangnya, walau bagaimanapun, untuk mendapatkan keputusan dengan cepat, anda harus memilihnya supaya (a 0) 2 sedekat mungkin dengan x. Kemudian gantikannya ke dalam formula yang ditunjukkan untuk mengira punca kuasa dua dan mendapatkan nombor baru a 1, yang sudah lebih dekat dengan nilai yang dikehendaki. Selepas itu, perlu menggantikan 1 ke dalam ungkapan dan mendapatkan 2. Prosedur ini perlu diulang sehingga ketepatan yang diperlukan diperolehi.

Contoh penggunaan formula lelaran Heron

Bagi kebanyakan orang, algoritma untuk mendapatkan punca kuasa dua nombor tertentu mungkin terdengar agak rumit dan mengelirukan, tetapi pada hakikatnya semuanya ternyata lebih mudah, kerana formula ini menumpu dengan sangat cepat (terutamanya jika nombor yang baik 0 dipilih).

Mari kita berikan contoh mudah: adalah perlu untuk mengira √11. Kami memilih 0 \u003d 3, sejak 3 2 \u003d 9, yang lebih dekat dengan 11 daripada 4 2 \u003d 16. Menggantikan ke dalam formula, kami mendapat:

a 1 \u003d 1/2 (3 + 11/3) \u003d 3.333333;

a 2 \u003d 1/2 (3.33333 + 11 / 3.33333) \u003d 3.316668;

a 3 \u003d 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) \u003d 3.31662.

Tidak ada gunanya meneruskan pengiraan, kerana kami mendapati bahawa 2 dan 3 mula berbeza hanya di tempat perpuluhan ke-5. Oleh itu, cukup untuk menggunakan formula hanya 2 kali untuk mengira √11 dengan ketepatan 0.0001.

Pada masa ini, kalkulator dan komputer digunakan secara meluas untuk mengira punca, bagaimanapun, adalah berguna untuk mengingati formula yang ditanda agar dapat mengira nilai tepatnya secara manual.

Persamaan tertib kedua

Memahami apa itu punca kuasa dua dan keupayaan untuk mengiranya digunakan semasa menyelesaikan persamaan kuadratik. Persamaan ini adalah persamaan dengan satu yang tidak diketahui, bentuk umumnya ditunjukkan dalam rajah di bawah.

Di sini c, b dan a ialah beberapa nombor, dan a tidak boleh sama dengan sifar, dan nilai c dan b boleh menjadi sewenang-wenangnya, termasuk sama dengan sifar.

Sebarang nilai x yang memenuhi kesamaan yang ditunjukkan dalam rajah dipanggil puncanya (konsep ini tidak boleh dikelirukan dengan punca kuasa dua √). Oleh kerana persamaan yang sedang dipertimbangkan mempunyai susunan ke-2 (x 2), maka tidak boleh terdapat lebih banyak punca untuknya daripada dua nombor. Kami akan mempertimbangkan kemudian dalam artikel cara mencari akar ini.

Mencari punca-punca persamaan kuadratik (rumus)

Kaedah menyelesaikan jenis kesamaan yang sedang dipertimbangkan ini juga dipanggil universal, atau kaedah melalui diskriminasi. Ia boleh digunakan untuk mana-mana persamaan kuadratik. Formula untuk diskriminasi dan punca persamaan kuadratik adalah seperti berikut:

Ia dapat dilihat daripadanya bahawa punca bergantung kepada nilai setiap tiga pekali persamaan. Selain itu, pengiraan x 1 berbeza daripada pengiraan x 2 hanya dengan tanda di hadapan punca kuasa dua. Ungkapan radikal, yang sama dengan b 2 - 4ac, tidak lebih daripada diskriminasi kesamaan yang dianggap. Diskriminasi dalam formula untuk punca-punca persamaan kuadratik memainkan peranan penting kerana ia menentukan bilangan dan jenis penyelesaian. Jadi, jika ia adalah sifar, maka hanya akan ada satu penyelesaian, jika ia positif, maka persamaan mempunyai dua punca nyata, dan akhirnya, diskriminasi negatif membawa kepada dua punca kompleks x 1 dan x 2.

Teorem Vieta atau beberapa sifat punca persamaan tertib kedua

Pada akhir abad ke-16, salah seorang pengasas algebra moden, seorang Perancis, yang mempelajari persamaan tertib kedua, dapat memperoleh sifat-sifat akarnya. Secara matematik, mereka boleh ditulis seperti ini:

x 1 + x 2 = -b / a dan x 1 * x 2 = c / a.

Kedua-dua kesamaan boleh didapati dengan mudah oleh semua orang; untuk ini, hanya perlu melakukan operasi matematik yang sesuai dengan punca yang diperoleh melalui formula dengan diskriminasi.

Gabungan kedua-dua ungkapan ini boleh dipanggil formula kedua bagi punca-punca persamaan kuadratik, yang memungkinkan untuk meneka penyelesaiannya tanpa menggunakan diskriminasi. Di sini perlu diperhatikan bahawa walaupun kedua-dua ungkapan sentiasa sah, ia adalah mudah untuk menggunakannya untuk menyelesaikan persamaan hanya jika ia boleh difaktorkan.

Tugas menyatukan pengetahuan yang diperoleh

Kami akan menyelesaikan masalah matematik di mana kami akan menunjukkan semua teknik yang dibincangkan dalam artikel. Syarat masalah adalah seperti berikut: anda perlu mencari dua nombor yang produknya ialah -13, dan jumlahnya ialah 4.

Keadaan ini segera mengingatkan teorem Vieta, menggunakan formula untuk jumlah punca kuasa dua dan hasil mereka, kami menulis:

x 1 + x 2 \u003d -b / a \u003d 4;

x 1 * x 2 \u003d c / a \u003d -13.

Andaikan a = 1, maka b = -4 dan c = -13. Pekali ini membolehkan kita menyusun persamaan tertib kedua:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Kami menggunakan formula dengan diskriminasi, kami mendapat akar berikut:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Iaitu, tugas itu dikurangkan kepada mencari nombor √68. Perhatikan bahawa 68 = 4 * 17, maka, dengan menggunakan sifat punca kuasa dua, kita dapat: √68 = 2√17.

Sekarang kita menggunakan formula punca kuasa dua yang dipertimbangkan: a 0 \u003d 4, kemudian:

a 1 \u003d 1/2 (4 + 17/4) \u003d 4.125;

a 2 \u003d 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) \u003d 4.1231.

Tidak perlu mengira 3 kerana nilai yang ditemui berbeza hanya 0.02. Oleh itu, √68 = 8.246. Menggantikannya ke dalam formula untuk x 1,2, kita dapat:

x 1 \u003d (4 + 8.246) / 2 \u003d 6.123 dan x 2 \u003d (4 - 8.246) / 2 \u003d -2.123.

Seperti yang anda lihat, jumlah nombor yang ditemui adalah benar-benar sama dengan 4, tetapi jika anda menemui produk mereka, maka ia akan sama dengan -12.999, yang memenuhi keadaan masalah dengan ketepatan 0.001.

Penerangan bibliografi: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Kaedah untuk menyelesaikan persamaan kuadratik // Saintis muda. 2016. №6.1. S. 17-20..03.2019).



Projek kami didedikasikan kepada cara-cara menyelesaikan persamaan kuadratik. Tujuan projek: untuk mempelajari cara menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cara yang tidak termasuk dalam kurikulum sekolah. Tugas: cari semua cara yang mungkin untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dan pelajari cara menggunakannya sendiri dan perkenalkan rakan sekelas kepada kaedah ini.

Apakah "persamaan kuadratik"?

Persamaan kuadratik- persamaan bentuk kapak2 + bx + c = 0, di mana a, b, c- beberapa nombor ( a ≠ 0), x- tidak diketahui.

Nombor a, b, c dipanggil pekali persamaan kuadratik.

• a dipanggil pekali pertama;
• b dipanggil pekali kedua;
• c - ahli percuma.

Dan siapakah yang pertama "mencipta" persamaan kuadratik?

Beberapa teknik algebra untuk menyelesaikan persamaan linear dan kuadratik telah diketahui seawal 4000 tahun dahulu di Babylon Purba. Tablet tanah liat Babylon purba yang ditemui, bertarikh antara 1800 dan 1600 SM, adalah bukti terawal kajian persamaan kuadratik. Tablet yang sama mengandungi kaedah untuk menyelesaikan beberapa jenis persamaan kuadratik.

Keperluan untuk menyelesaikan persamaan bukan sahaja yang pertama, tetapi juga dari peringkat kedua pada zaman dahulu disebabkan oleh keperluan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan mencari kawasan tanah dan kerja tanah yang bersifat ketenteraan, serta perkembangan astronomi dan matematik itu sendiri.

Peraturan untuk menyelesaikan persamaan ini, yang dinyatakan dalam teks Babylonia, pada dasarnya bertepatan dengan yang moden, tetapi tidak diketahui bagaimana orang Babylon datang kepada peraturan ini. Hampir semua teks cuneiform yang ditemui setakat ini hanya memberikan masalah dengan penyelesaian yang dinyatakan dalam bentuk resipi, tanpa petunjuk bagaimana ia ditemui. Walaupun tahap perkembangan algebra yang tinggi di Babylon, teks kuneiform tidak mempunyai konsep nombor negatif dan kaedah umum untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Ahli matematik Babylon dari kira-kira abad ke-4 B.C. menggunakan kaedah pelengkap kuasa dua untuk menyelesaikan persamaan dengan punca positif. Sekitar 300 B.C. Euclid datang dengan kaedah penyelesaian geometri yang lebih umum. Ahli matematik pertama yang menemui penyelesaian kepada persamaan dengan punca negatif dalam bentuk formula algebra ialah seorang saintis India. Brahmagupta(India, abad ke-7 Masihi).

Brahmagupta menggariskan peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal:

ax2 + bx = c, a>0

Dalam persamaan ini, pekali boleh menjadi negatif. Pemerintahan Brahmagupta pada dasarnya bertepatan dengan pemerintahan kita.

Di India, pertandingan awam dalam menyelesaikan masalah sukar adalah perkara biasa. Dalam salah satu buku lama India, perkara berikut dikatakan tentang pertandingan sedemikian: "Sebagaimana matahari menyinari bintang dengan kecemerlangannya, begitu juga orang yang terpelajar akan mengatasi kegemilangan dalam mesyuarat awam, mencadangkan dan menyelesaikan masalah algebra." Tugas selalunya berpakaian dalam bentuk puisi.

Dalam risalah algebra Al-Khawarizmi pengelasan persamaan linear dan kuadratik diberikan. Penulis menyenaraikan 6 jenis persamaan, menyatakannya seperti berikut:

1) "Petak sama dengan punca", iaitu ax2 = bx.

2) “Petak sama dengan nombor”, iaitu ax2 = c.

3) "Akar adalah sama dengan nombor", iaitu ax2 = c.

4) "Petak kuasa dan nombor adalah sama dengan punca", iaitu ax2 + c = bx.

5) "Petak kuasa dan punca adalah sama dengan nombor", iaitu ax2 + bx = c.

6) "Akar dan nombor adalah sama dengan kuasa dua", iaitu bx + c == ax2.

Bagi Al-Khawarizmi, yang mengelak penggunaan nombor negatif, sebutan bagi setiap persamaan ini adalah tambah, bukan penolakan. Dalam kes ini, persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian positif jelas tidak diambil kira. Penulis menggariskan kaedah untuk menyelesaikan persamaan ini, menggunakan kaedah al-jabr dan al-muqabala. Keputusannya, tentu saja, tidak sepenuhnya bertepatan dengan keputusan kita. Belum lagi fakta bahawa ia adalah retorik semata-mata, perlu diperhatikan, sebagai contoh, bahawa apabila menyelesaikan persamaan kuadratik yang tidak lengkap jenis pertama, Al-Khwarizmi, seperti semua ahli matematik sebelum abad ke-17, tidak mengambil kira sifar. penyelesaian, mungkin kerana dalam tugas praktikal tertentu, ia tidak penting. Apabila menyelesaikan persamaan kuadratik lengkap, Al-Khawarizmi menetapkan peraturan untuk menyelesaikannya menggunakan contoh berangka tertentu, dan kemudian bukti geometrinya.

Bentuk untuk menyelesaikan persamaan kuadratik pada model Al-Khwarizmi di Eropah pertama kali diterangkan dalam "Book of the Abacus", yang ditulis pada tahun 1202. ahli matematik Itali Leonard Fibonacci. Penulis secara bebas membangunkan beberapa contoh algebra baru penyelesaian masalah dan merupakan orang pertama di Eropah yang mendekati pengenalan nombor negatif.

Buku ini menyumbang kepada penyebaran pengetahuan algebra bukan sahaja di Itali, tetapi juga di Jerman, Perancis dan negara-negara Eropah yang lain. Banyak tugas dari buku ini telah dipindahkan ke hampir semua buku teks Eropah pada abad ke-14-17. Peraturan am untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dikurangkan kepada bentuk kanonik tunggal x2 + bx = c dengan semua kemungkinan kombinasi tanda dan pekali b, c, telah dirumuskan di Eropah pada tahun 1544. M. Stiefel.

Vieta mempunyai terbitan umum formula untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, tetapi Vieta hanya mengiktiraf punca positif. ahli matematik Itali Tartaglia, Cardano, Bombelli antara yang pertama pada abad ke-16. mengambil kira, sebagai tambahan kepada akar positif, dan negatif. Hanya pada abad XVII. terima kasih kepada kerja Girard, Descartes, Newton dan saintis lain, cara menyelesaikan persamaan kuadratik mengambil bentuk moden.

Pertimbangkan beberapa cara untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Cara standard untuk menyelesaikan persamaan kuadratik daripada kurikulum sekolah:

1. Pemfaktoran bahagian kiri persamaan.
2. Kaedah pemilihan persegi penuh.
3. Penyelesaian persamaan kuadratik dengan formula.
4. Penyelesaian grafik bagi persamaan kuadratik.
5. Penyelesaian persamaan menggunakan teorem Vieta.

Marilah kita memikirkan dengan lebih terperinci tentang penyelesaian persamaan kuadratik terkurang dan tidak terkurang menggunakan teorem Vieta.

Ingat bahawa untuk menyelesaikan persamaan kuadratik yang diberikan, cukup untuk mencari dua nombor supaya hasil darabnya sama dengan sebutan bebas, dan jumlahnya sama dengan pekali kedua dengan tanda yang bertentangan.

Contoh.x 2 -5x+6=0

Anda perlu mencari nombor yang hasil darabnya ialah 6 dan jumlahnya ialah 5. Nombor ini ialah 3 dan 2.

Jawapan: x 1 =2, x 2 =3.

Tetapi anda boleh menggunakan kaedah ini untuk persamaan dengan pekali pertama tidak sama dengan satu.

Contoh.3x 2 +2x-5=0

Kami mengambil pekali pertama dan mendarabkannya dengan sebutan bebas: x 2 +2x-15=0

Punca-punca persamaan ini ialah nombor yang hasil darabnya bersamaan dengan - 15, dan jumlahnya adalah sama dengan - 2. Nombor-nombor ini ialah 5 dan 3. Untuk mencari punca persamaan asal, kita bahagikan punca yang diperolehi dengan pekali pertama .

Jawapan: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Penyelesaian persamaan dengan kaedah "pemindahan".

Pertimbangkan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0, di mana a≠0.

Mendarab kedua-dua bahagiannya dengan a, kita mendapat persamaan a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Biarkan ax = y, dari mana x = y/a; maka kita sampai pada persamaan y 2 + by + ac = 0, yang bersamaan dengan yang diberikan. Kami mencari akarnya pada 1 dan pada 2 menggunakan teorem Vieta.

Akhirnya kita dapat x 1 = y 1 /a dan x 2 = y 2 /a.

Dengan kaedah ini, pekali a didarab dengan istilah bebas, seolah-olah "dipindahkan" kepadanya, oleh itu ia dipanggil kaedah "pemindahan". Kaedah ini digunakan apabila mudah untuk mencari punca persamaan menggunakan teorem Vieta dan, yang paling penting, apabila diskriminasi ialah segi empat tepat.

Contoh.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Mari "pindahkan" pekali 2 kepada sebutan bebas dan membuat penggantian kita mendapat persamaan y 2 - 11y + 30 = 0.

Mengikut teorem songsang Vieta

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2.5; y 2 ​​​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Jawapan: x 1 =2.5; X 2 = 3.

7. Sifat pekali bagi persamaan kuadratik.

Biarkan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c \u003d 0, a ≠ 0 diberikan.

1. Jika a + b + c \u003d 0 (iaitu, jumlah pekali persamaan ialah sifar), maka x 1 \u003d 1.

2. Jika a - b + c \u003d 0, atau b \u003d a + c, maka x 1 \u003d - 1.

Contoh.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Oleh kerana a + b + c \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0), maka x 1 \u003d 1, x 2 \u003d -208/345.

Jawapan: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Contoh.132x 2 + 247x + 115 = 0

Kerana a-b + c \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), kemudian x 1 \u003d - 1, x 2 \u003d - 115/132

Jawapan: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Terdapat sifat lain bagi pekali persamaan kuadratik. tetapi penggunaannya lebih rumit.

8. Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan nomogram.

Rajah 1. Nomogram

Ini adalah kaedah lama dan kini dilupakan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, diletakkan pada ms 83 koleksi: Bradis V.M. Jadual matematik empat digit. - M., Pendidikan, 1990.

Jadual XXII. Nomogram untuk Penyelesaian Persamaan z2 + pz + q = 0. Nomogram ini membenarkan, tanpa menyelesaikan persamaan kuadratik, untuk menentukan punca persamaan dengan pekalinya.

Skala curvilinear nomogram dibina mengikut formula (Rajah 1):

Andainya OS = p, ED = q, OE = a(semua dalam cm), daripada Rajah 1 persamaan segi tiga SAN dan CDF kita mendapat perkadaran

dari mana, selepas penggantian dan penyederhanaan, persamaan berikut z 2 + pz + q = 0, dan surat itu z bermaksud label mana-mana titik pada skala melengkung.

nasi. 2 Menyelesaikan persamaan kuadratik menggunakan nomogram

Contoh.

1) Untuk persamaan z 2 - 9z + 8 = 0 nomogram memberikan punca z 1 = 8.0 dan z 2 = 1.0

Jawapan: 8.0; 1.0.

2) Selesaikan persamaan menggunakan nomogram

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Bahagikan pekali persamaan ini dengan 2, kita mendapat persamaan z 2 - 4.5z + 1 = 0.

Nomogram memberikan akar z 1 = 4 dan z 2 = 0.5.

Jawapan: 4; 0.5.

9. Kaedah geometri untuk menyelesaikan persamaan kuadratik.

Contoh.X 2 + 10x = 39.

Pada asalnya, masalah ini dirumuskan seperti berikut: "Kuasa dua dan sepuluh punca adalah sama dengan 39."

Pertimbangkan segi empat sama dengan sisi x, segi empat tepat dibina pada sisinya supaya sisi lain setiap satunya ialah 2.5, oleh itu, luas setiap satunya ialah 2.5x. Angka yang terhasil kemudian ditambah kepada segi empat sama ABCD baru, melengkapkan empat segi empat sama di sudut, sisi setiap satu daripadanya ialah 2.5, dan luasnya ialah 6.25

nasi. 3 Cara grafik untuk menyelesaikan persamaan x 2 + 10x = 39

Luas S segi empat sama ABCD boleh diwakili sebagai hasil tambah luas: segi empat sama asal x 2, empat segi empat tepat (4 ∙ 2.5x = 10x) dan empat segi empat sama bercantum (6.25 ∙ 4 = 25), i.e. S \u003d x 2 + 10x \u003d 25. Menggantikan x 2 + 10x dengan nombor 39, kita mendapat S \u003d 39 + 25 \u003d 64, yang membayangkan bahawa sisi segi empat sama ABCD, i.e. segmen AB \u003d 8. Untuk sisi x yang dikehendaki dari segi empat sama asal, kita dapat

10. Penyelesaian persamaan menggunakan teorem Bezout.

Teorem Bezout. Baki selepas membahagikan polinomial P(x) dengan binomial x - α adalah sama dengan P(α) (iaitu, nilai P(x) pada x = α).

Jika nombor α ialah punca polinomial P(x), maka polinomial ini boleh dibahagikan dengan x -α tanpa baki.

Contoh.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α=1, 1-4+3=0. Bahagikan P(x) dengan (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, atau x-3=0, x=3; Jawapan: x1 =2, x2 =3.

Kesimpulan: Keupayaan untuk menyelesaikan persamaan kuadratik dengan cepat dan rasional hanya diperlukan untuk menyelesaikan persamaan yang lebih kompleks, contohnya, persamaan rasional pecahan, persamaan kuasa yang lebih tinggi, persamaan biquadratik, dan dalam persamaan trigonometri, eksponen dan logaritma sekolah tinggi. Setelah mengkaji semua kaedah yang dijumpai untuk menyelesaikan persamaan kuadratik, kami boleh menasihati rakan sekelas, sebagai tambahan kepada kaedah standard, untuk menyelesaikan dengan kaedah pemindahan (6) dan menyelesaikan persamaan dengan sifat pekali (7), kerana ia lebih mudah diakses untuk pemahaman. .

kesusasteraan:

1. Bradis V.M. Jadual matematik empat digit. - M., Pendidikan, 1990.
2. Algebra gred 8: buku teks untuk gred 8. pendidikan umum institusi Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorova S. B. ed. S. A. Teleyakovsky ed. ke-15, disemak. - M.: Pencerahan, 2015
3. https://ms.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Glazer G.I. Sejarah matematik di sekolah. Panduan untuk guru. / Ed. V.N. Lebih muda. - M.: Pencerahan, 1964.

Persamaan kuadratik dipelajari dalam gred 8, jadi tidak ada yang rumit di sini. Keupayaan untuk menyelesaikannya adalah penting.

Persamaan kuadratik ialah persamaan bentuk ax 2 + bx + c = 0, di mana pekali a , b dan c ialah nombor arbitrari, dan a ≠ 0.

Sebelum mengkaji kaedah penyelesaian khusus, kami perhatikan bahawa semua persamaan kuadratik boleh dibahagikan kepada tiga kelas:

1. Tidak mempunyai akar;
2. Mereka mempunyai tepat satu akar;
3. Mereka mempunyai dua akar yang berbeza.

Ini adalah perbezaan penting antara persamaan kuadratik dan linear, di mana punca sentiasa wujud dan unik. Bagaimana untuk menentukan berapa banyak punca persamaan? Terdapat perkara yang menarik untuk ini - diskriminasi.

Diskriminasi

Biarkan persamaan kuadratik ax 2 + bx + c = 0 diberikan. Maka yang mendiskriminasi hanyalah nombor D = b 2 − 4ac .

Formula ini mesti diketahui dengan hati. Dari mana ia datang tidak penting sekarang. Perkara lain yang penting: dengan tanda diskriminasi, anda boleh menentukan berapa banyak punca persamaan kuadratik. Iaitu:

1. Jika D< 0, корней нет;
2. Jika D = 0, terdapat betul-betul satu punca;
3. Jika D > 0, akan ada dua punca.

Sila ambil perhatian: diskriminasi menunjukkan bilangan akar, dan bukan sama sekali tanda mereka, kerana atas sebab tertentu ramai orang berfikir. Lihat contoh dan anda akan memahami semuanya sendiri:

Satu tugas. Berapa banyak punca persamaan kuadratik mempunyai:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Kami menulis pekali untuk persamaan pertama dan mencari diskriminasi:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Jadi, diskriminasi adalah positif, jadi persamaan mempunyai dua punca yang berbeza. Kami menganalisis persamaan kedua dengan cara yang sama:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Diskriminasi adalah negatif, tidak ada akar. Persamaan terakhir kekal:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Diskriminasi adalah sama dengan sifar - puncanya ialah satu.

Ambil perhatian bahawa pekali telah ditulis untuk setiap persamaan. Ya, ia panjang, ya, ia membosankan - tetapi anda tidak akan mencampur-adukkan kemungkinan dan tidak membuat kesilapan bodoh. Pilih sendiri: kelajuan atau kualiti.

Dengan cara ini, jika anda "mengisi tangan anda", selepas beberapa ketika anda tidak perlu lagi menulis semua pekali. Anda akan melakukan operasi sedemikian di kepala anda. Kebanyakan orang mula melakukan ini di suatu tempat selepas 50-70 persamaan diselesaikan - secara umum, tidak begitu banyak.

Punca-punca persamaan kuadratik

Sekarang mari kita beralih kepada penyelesaian. Jika diskriminasi D > 0, akar boleh didapati menggunakan formula:

Formula asas bagi punca-punca persamaan kuadratik

Apabila D = 0, anda boleh menggunakan mana-mana formula ini - anda mendapat nombor yang sama, yang akan menjadi jawapannya. Akhirnya, jika D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Persamaan pertama:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ persamaan mempunyai dua punca. Mari cari mereka:

Persamaan kedua:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ persamaan itu sekali lagi mempunyai dua punca. Jom cari mereka

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(align)\]

Akhirnya, persamaan ketiga:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ persamaan mempunyai satu punca. Apa-apa formula boleh digunakan. Sebagai contoh, yang pertama:

Seperti yang anda lihat dari contoh, semuanya sangat mudah. Jika anda tahu formula dan boleh mengira, tidak akan ada masalah. Selalunya, ralat berlaku apabila pekali negatif digantikan ke dalam formula. Di sini, sekali lagi, teknik yang diterangkan di atas akan membantu: lihat formula secara literal, cat setiap langkah - dan hapuskan kesilapan tidak lama lagi.

Persamaan kuadratik tidak lengkap

Ia berlaku bahawa persamaan kuadratik agak berbeza daripada apa yang diberikan dalam definisi. Sebagai contoh:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Adalah mudah untuk melihat bahawa salah satu istilah hilang dalam persamaan ini. Persamaan kuadratik sedemikian adalah lebih mudah untuk diselesaikan daripada yang standard: mereka tidak perlu mengira diskriminasi. Jadi mari kita perkenalkan konsep baru:

Persamaan ax 2 + bx + c = 0 dipanggil persamaan kuadratik tidak lengkap jika b = 0 atau c = 0, i.e. pekali pembolehubah x atau unsur bebas adalah sama dengan sifar.

Sudah tentu, kes yang sangat sukar adalah mungkin apabila kedua-dua pekali ini sama dengan sifar: b \u003d c \u003d 0. Dalam kes ini, persamaan mengambil bentuk ax 2 \u003d 0. Jelas sekali, persamaan sedemikian mempunyai satu akar: x \u003d 0.

Mari kita pertimbangkan kes lain. Biarkan b \u003d 0, maka kita mendapat persamaan kuadratik yang tidak lengkap dari bentuk ax 2 + c \u003d 0. Mari kita ubah sedikit:

Oleh kerana punca kuasa dua aritmetik hanya wujud daripada nombor bukan negatif, kesamaan terakhir hanya masuk akal apabila (−c / a ) ≥ 0. Kesimpulan:

1. Jika persamaan kuadratik tidak lengkap dalam bentuk ax 2 + c = 0 memenuhi ketaksamaan (−c / a ) ≥ 0, akan ada dua punca. Formula diberikan di atas;
2. Jika (−c / a )< 0, корней нет.

Seperti yang anda lihat, diskriminasi tidak diperlukan - tiada pengiraan yang rumit sama sekali dalam persamaan kuadratik yang tidak lengkap. Malah, adalah tidak perlu untuk mengingati ketaksamaan (−c / a ) ≥ 0. Ia cukup untuk menyatakan nilai x 2 dan melihat apa yang ada di sisi lain tanda sama. Jika terdapat nombor positif, akan ada dua punca. Jika negatif, tidak akan ada akar sama sekali.

Sekarang mari kita berurusan dengan persamaan bentuk ax 2 + bx = 0, di mana unsur bebas adalah sama dengan sifar. Segala-galanya mudah di sini: akan sentiasa ada dua akar. Ia cukup untuk memfaktorkan polinomial:

Mengambil faktor sepunya daripada kurungan

Hasil darab adalah sama dengan sifar apabila sekurang-kurangnya satu daripada faktor adalah sama dengan sifar. Di sinilah asal usulnya. Sebagai kesimpulan, kami akan menganalisis beberapa persamaan ini:

Satu tugas. Selesaikan persamaan kuadratik:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Tiada akar, kerana segi empat sama tidak boleh sama dengan nombor negatif.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 \u003d -1.5.