Apabila vektor adalah serenjang. Mencari vektor berserenjang dengan vektor tertentu, contoh dan penyelesaian

Arahan

Jika vektor asal ditunjukkan dalam lukisan dalam sistem koordinat dua dimensi segi empat tepat dan yang berserenjang perlu dibina di tempat yang sama, teruskan dari takrifan keserenjangan vektor pada satah. Ia menyatakan bahawa sudut antara sepasang segmen terarah sedemikian mestilah sama dengan 90°. Ia adalah mungkin untuk membina bilangan tak terhingga bagi vektor tersebut. Jadi lukis dalam mana-mana lokasi yang selesa satah berserenjang dengan vektor asal, ketepikan segmen di atasnya, sama dengan panjang diberi sepasang mata yang dipesan dan tetapkan salah satu hujungnya sebagai permulaan vektor serenjang. Lakukan ini dengan protraktor dan pembaris.

Jika vektor asal diberikan oleh koordinat dua dimensi ā = (X₁;Y₁), teruskan daripada fakta bahawa hasil darab skalar sepasang vektor serenjang mestilah sama dengan sifar. Ini bermakna anda perlu memilih untuk vektor yang dikehendaki ō = (X₂,Y₂) koordinat sedemikian di mana kesamaan (ā,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ = 0 akan dipegang. Ini boleh dilakukan seperti ini: pilih sebarang nilai bukan sifar untuk koordinat X₂, dan hitung koordinat Y₂ menggunakan formula Y₂ = -(X₁*X₂)/Y₁. Sebagai contoh, untuk vektor ā = (15;5) akan ada vektor ō, dengan abscissa, sama dengan satu, dan ordinat sama dengan -(15*1)/5 = -3, i.e. ō = (1;-3).

Untuk sistem koordinat tiga dimensi dan mana-mana ortogonal yang lain, syarat yang diperlukan dan mencukupi yang sama untuk keserenjangan vektor adalah benar - hasil darab skalarnya mestilah sama dengan sifar. Oleh itu, jika segmen terarah asal diberikan oleh koordinat ā = (X₁,Y₁,Z₁), untuk pasangan tertib titik ō = (X₂,Y₂,Z₂) berserenjang dengannya, pilih koordinat sedemikian yang memenuhi syarat (ā ,ō) = X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂ = 0. Cara paling mudah adalah dengan memberikan nilai tunggal kepada X₂ dan Y₂, dan mengira Z₂ daripada persamaan dipermudahkan Z₂ = -1*(X₁*1 + Y₁*1)/Z₁ = -(X₁+Y₁)/ Z₁. Sebagai contoh, untuk vektor ā = (3,5,4) ini akan mengambil bentuk berikut: (ā,ō) = 3*X₂ + 5*Y₂ + 4*Z₂ = 0. Kemudian ambil absis dan ordinat bagi vektor serenjang sebagai kesatuan, dan dalam kes ini akan sama dengan -(3+5)/4 = -2.

Sumber:

• cari vektor jika ia berserenjang

Serenjang dipanggil vektor, sudut antaranya ialah 90º. Vektor berserenjang dibina menggunakan alat lukisan. Jika koordinatnya diketahui, maka anda boleh menyemak atau mencari keserenjangan vektor kaedah analisis.

Anda perlu

• - protraktor;
• - kompas;
• - pembaris.

Arahan

Bina vektor berserenjang dengan yang diberi. Untuk melakukan ini, pada titik yang merupakan permulaan vektor, pulihkan serenjang dengannya. Ini boleh dilakukan dengan protraktor, mengetepikan sudut 90º. Jika tiada protraktor, buat dengan kompas.

Tetapkannya ke titik permulaan vektor. Lukis bulatan dengan jejari sewenang-wenangnya. Kemudian bina dua berpusat pada titik di mana bulatan pertama bersilang dengan garis tempat vektor terletak. Jejari bulatan ini mestilah sama antara satu sama lain dan lebih besar daripada bulatan yang dibina pertama. Di titik persilangan bulatan, bina garis lurus yang akan berserenjang dengan vektor asal pada titik permulaannya, dan ketepikan di atasnya satu vektor berserenjang dengan yang diberikan.

Artikel ini mendedahkan maksud keserenjang dua vektor pada satah dalam ruang tiga dimensi dan mencari koordinat vektor berserenjang dengan satu atau sepasang keseluruhan vektor. Topik ini boleh digunakan untuk masalah yang berkaitan dengan persamaan garis dan satah.

Kami akan mempertimbangkan syarat yang perlu dan mencukupi untuk dua vektor berserenjang, memutuskan kaedah mencari vektor berserenjang dengan yang diberikan, dan menyentuh situasi dalam mencari vektor yang berserenjang dengan dua vektor.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Keadaan yang diperlukan dan mencukupi untuk dua vektor berserenjang

Mari kita gunakan peraturan tentang vektor serenjang pada satah dan dalam ruang tiga dimensi.

Definisi 1

Diberi nilai sudut antara dua vektor bukan sifar bersamaan dengan 90 ° (π 2 radian) dipanggil berserenjang.

Apakah maksud ini, dan dalam situasi apakah perlu mengetahui tentang keserenjangannya?

Penubuhan perpendicularity adalah mungkin melalui lukisan. Apabila memplot vektor pada satah dari titik tertentu, anda boleh mengukur sudut di antara mereka secara geometri. Keserenjangan vektor, jika ia ditetapkan, tidak sepenuhnya tepat. Selalunya, tugas ini tidak membenarkan anda melakukan ini dengan protraktor, oleh itu kaedah ini terpakai hanya apabila tiada perkara lain yang diketahui tentang vektor.

Kebanyakan kes membuktikan keserenjangan dua vektor bukan sifar pada satah atau di angkasa dilakukan menggunakan keadaan yang perlu dan mencukupi untuk keserenjangan dua vektor.

Teorem 1

Produk skalar dua vektor bukan sifar a → dan b → sama dengan sifar untuk memenuhi kesamaan a → , b → = 0 adalah mencukupi untuk keserenjangannya.

Bukti 1

Biarkan vektor yang diberi a → dan b → berserenjang, maka kita akan membuktikan kesamaan a ⇀ , b → = 0 .

Daripada definisi hasil darab titik bagi vektor kita tahu bahawa ia sama hasil darab panjang vektor yang diberi dan kosinus sudut di antaranya. Mengikut keadaan, a → dan b → adalah berserenjang, dan, oleh itu, berdasarkan definisi, sudut di antara mereka ialah 90 °. Kemudian kita mempunyai → , b → = a → b → cos (a → , b → ^) = a → b → cos 90 ° = 0 .

Bahagian kedua bukti

Di bawah keadaan apabila a ⇀ , b → = 0 membuktikan keserenjangan a → dan b → .

Malah, buktinya adalah sebaliknya daripada yang sebelumnya. Adalah diketahui bahawa a → dan b → bukan sifar, jadi daripada kesamaan a ⇀ , b → = a → b → cos (a → , b →) ^ kita dapati kosinus. Kemudian kita dapat cos (a → , b →) ^ = (a → , b →) a → · b → = 0 a → · b → = 0 . Oleh kerana kosinus ialah sifar, kita boleh membuat kesimpulan bahawa sudut a → , b → ^ bagi vektor a → dan b → ialah 90 ° . Mengikut definisi, ini adalah harta yang perlu dan mencukupi.

Keadaan serenjang pada satah koordinat

Bab hasil darab titik dalam koordinat menunjukkan ketaksamaan (a → , b →) = a x b x + a y b y , sah untuk vektor dengan koordinat a → = (a x , a y) dan b → = (b x , b y) , pada satah dan (a → , b → ) = a x b x + a y b y untuk vektor a → = (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) dalam ruang. Keadaan yang perlu dan mencukupi untuk dua vektor berserenjang satah koordinat mempunyai bentuk a x b x + a y b y = 0 , untuk ruang tiga dimensi a x b x + a y b y + a z b z = 0 .

Mari kita praktikkan dan lihat contoh.

Contoh 1

Semak sifat serenjang dua vektor a → = (2 , - 3) , b → = (- 6 , - 4) .

Penyelesaian

Untuk menyelesaikan masalah ini, anda perlu mencari produk skalar. Jika mengikut syarat ia akan sama dengan sifar, maka ia adalah serenjang.

(a → , b →) = a x b x + a y b y = 2 (- 6) + (- 3) (- 4) = 0 . Keadaan ini dipenuhi, yang bermaksud bahawa vektor yang diberikan adalah berserenjang pada satah.

Jawapan: ya, vektor yang diberi a → dan b → adalah berserenjang.

Contoh 2

Diberi vektor koordinat i → , j → , k → . Semak sama ada vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → boleh berserenjang.

Penyelesaian

Untuk mengingati bagaimana koordinat vektor ditentukan, anda perlu membaca artikel tentang koordinat vektor dalam sistem segi empat tepat koordinat. Oleh itu, kita memperoleh bahawa vektor yang diberi i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → mempunyai koordinat yang sepadan (1, - 1, 0) dan (1, 2, 2) . Pengganti nilai berangka dan kita dapat: i → + 2 j → + 2 k → , i → - j → = 1 1 + (- 1) 2 + 0 2 = - 1 .

Ungkapan itu bukan sifar, (i → + 2 j → + 2 k → , i → - j →) ≠ 0 , yang bermaksud bahawa vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → bukan berserenjang kerana keadaan tidak dipenuhi.

Jawapan: tidak, vektor i → - j → dan i → + 2 j → + 2 k → tidak berserenjang.

Contoh 3

Diberi vektor a → = (1 , 0 , - 2) dan b → = (λ , 5 , 1) . Cari nilai λ yang mana vektor yang diberi adalah berserenjang.

Penyelesaian

Kami menggunakan keadaan serenjang dua vektor dalam ruang dalam bentuk segi empat, maka kita dapat

a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 λ + 0 5 + (- 2) 1 = 0 ⇔ λ = 2

Jawapan: vektor adalah berserenjang pada nilai λ = 2.

Terdapat kes apabila persoalan perpendicularity adalah mustahil walaupun dalam keadaan yang perlu dan mencukupi. Dengan data yang diketahui pada tiga sisi segitiga pada dua vektor, adalah mungkin untuk mencari sudut antara vektor dan semaknya.

Contoh 4

Diberi segitiga A B C dengan sisi A B \u003d 8, A C \u003d 6, B C \u003d 10 cm Periksa vektor A B → dan A C → untuk keserenjangan.

Penyelesaian

Apabila vektor A B → dan A C → berserenjang, segitiga A B C dianggap segi empat tepat. Kemudian kita menggunakan teorem Pythagoras, di mana BC ialah hipotenus bagi segi tiga. Kesamaan B C 2 = A B 2 + A C 2 mesti dipenuhi. Ia berikutan bahawa 10 2 = 8 2 + 6 2 ⇔ 100 = 100 . Oleh itu, A B dan A C ialah kaki bagi segi tiga A B C, oleh itu, A B → dan A C → adalah berserenjang.

Adalah penting untuk mempelajari cara mencari koordinat vektor yang berserenjang dengan yang diberikan. Ini boleh dilakukan di atas satah dan di angkasa, dengan syarat vektornya berserenjang.

Mencari vektor yang berserenjang dengan yang diberikan dalam satah.

Vektor bukan sifar a → boleh mempunyai bilangan vektor serenjang yang tidak terhingga dalam satah. Mari kita wakili pada garis koordinat.

Vektor bukan sifar a → , terletak pada garis a, diberi. Kemudian b → yang diberi, terletak pada mana-mana garis yang berserenjang dengan garis a, menjadi berserenjang dan a → . Jika vektor j → atau mana-mana vektor λ j → berserenjang dengan vektor i → dengan λ sama dengan sebarang nombor sebenar kecuali sifar, kemudian mencari koordinat bagi vektor b → berserenjang dengan a → = (a x , a y) berkurang kepada set penyelesaian tak terhingga. Tetapi adalah perlu untuk mencari koordinat vektor yang berserenjang dengan a → = (a x , a y) . Untuk melakukan ini, adalah perlu untuk menuliskan keadaan keserenjangan vektor dalam bentuk berikut a x · b x + a y · b y = 0 . Kami mempunyai b x dan b y , yang merupakan koordinat yang dikehendaki bagi vektor serenjang. Apabila a x ≠ 0 , nilai b y ialah bukan sifar dan b x dikira daripada ketaksamaan a x · b x + a y · b y = 0 ⇔ b x = - a y · b y a x . Apabila a x = 0 dan a y ≠ 0, kami menetapkan b x sebarang nilai selain sifar, dan b y ditemui daripada ungkapan b y = - a x · b x a y .

Contoh 5

Diberi vektor dengan koordinat a → = (- 2 , 2) . Cari vektor yang berserenjang dengan yang diberi.

Penyelesaian

Nyatakan vektor yang diingini sebagai b → (b x , b y) . Anda boleh mencari koordinatnya daripada keadaan bahawa vektor a → dan b → adalah berserenjang. Kemudian kita dapat: (a → , b →) = a x b x + a y b y = - 2 b x + 2 b y = 0 . Berikan b y = 1 dan gantikan: - 2 b x + 2 b y = 0 ⇔ - 2 b x + 2 = 0 . Oleh itu daripada rumus kita dapat b x = - 2 - 2 = 1 2 . Oleh itu, vektor b → = (1 2 , 1) ialah vektor berserenjang dengan a → .

Jawapan: b → = (1 2 , 1) .

Sekiranya persoalan ruang tiga dimensi dibangkitkan, masalah itu diselesaikan mengikut prinsip yang sama. Pada vektor yang diberi a → = (a x , a y , a z) wujud set tak terhingga vektor serenjang. Akan membetulkannya pada koordinat satah tiga dimensi. Diberi a → berbaring di atas garisan a . Satah berserenjang dengan garis lurus a dilambangkan dengan α. Dalam kes ini, sebarang vektor bukan sifar b → dari satah α adalah berserenjang dengan a → .

Ia adalah perlu untuk mencari koordinat b → berserenjang dengan vektor bukan sifar a → = (a x , a y , a z) .

Biarkan b → diberikan dengan koordinat b x , b y dan b z . Untuk mencari mereka, adalah perlu untuk menggunakan takrifan keadaan serenjang dua vektor. Kesamaan a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 mesti dipegang. Daripada keadaan a → - bukan sifar, yang bermaksud bahawa salah satu koordinat mempunyai nilai yang tidak sama dengan sifar. Katakan bahawa a x ≠ 0 , (a y ≠ 0 atau a z ≠ 0). Oleh itu, kita mempunyai hak untuk membahagikan keseluruhan ketaksamaan a x b x + a y b y + a z b z = 0 dengan koordinat ini, kita mendapat ungkapan b x + a y b y + a z b z a x = 0 ⇔ b x = - a y b y + a z b z a x . Kami menetapkan sebarang nilai kepada koordinat b y dan b x , hitung nilai b x , berdasarkan formula, b x = - a y · b y + a z · b z a x . Vektor serenjang yang dikehendaki akan mempunyai nilai a → = (a x , a y , a z) .

Mari kita lihat bukti dengan contoh.

Contoh 6

Diberi vektor dengan koordinat a → = (1 , 2 , 3) ​​​​  . Cari vektor yang berserenjang dengan yang diberi.

Penyelesaian

Nyatakan vektor yang dikehendaki sebagai b → = (b x , b y , b z) . Berdasarkan syarat bahawa vektor adalah berserenjang, hasil kali skalar mestilah sama dengan sifar.

a ⇀ , b ⇀ = 0 ⇔ a x b x + a y b y + a z b z = 0 ⇔ 1 b x + 2 b y + 3 b z = 0 ⇔ b x = - (2 b y + 3 b z)

Jika nilai b y = 1 , b z = 1 , maka b x = - 2 · b y - 3 · b z = - (2 · 1 + 3 · 1) = - 5 . Ia berikutan bahawa koordinat bagi vektor b → (- 5 , 1 , 1) . Vektor b → ialah salah satu vektor serenjang dengan yang diberikan.

Jawapan: b → = (- 5 , 1 , 1) .

Mencari koordinat bagi vektor yang berserenjang dengan dua vektor yang diberi

Anda perlu mencari koordinat vektor dalam ruang tiga dimensi. Ia berserenjang dengan vektor bukan kolinear a → (a x , a y , a z) dan b → = (b x , b y , b z) . Di bawah syarat bahawa vektor a → dan b → adalah kolinear, dalam masalah ia akan mencukupi untuk mencari vektor berserenjang dengan a → atau b → .

Apabila menyelesaikan, konsep produk vektor bagi vektor digunakan.

Hasil silang vektor a → dan b → ialah vektor yang berserenjang serentak dengan kedua-dua a → dan b → . Untuk menyelesaikan masalah ini, produk vektor a → × b → digunakan. Untuk ruang tiga dimensi ia mempunyai bentuk a → × b → = a → j → k → a x a y a z b x b y b z

Marilah kita menganalisis produk vektor dengan lebih terperinci menggunakan contoh masalah.

Contoh 7

Vektor b → = (0 , 2 , 3) ​​​​dan a → = (2 , 1 , 0) diberikan. Cari koordinat mana-mana vektor berserenjang dengan data pada masa yang sama.

Penyelesaian

Untuk menyelesaikannya, anda perlu mencari hasil silang vektor. (Mesti rujuk perenggan pengiraan penentu matriks untuk mencari vektor). Kita mendapatkan:

a → × b → = i → j → k → 2 1 0 0 2 3 = i → 1 3 + j → 0 0 + k → 2 2 - k → 1 0 - j → 2 3 - i → 0 2 = 3 i → + (- 6) j → + 4 k →

Jawapan: (3 , - 6 , 4) - koordinat vektor yang berserenjang serentak dengan diberi a → dan b → .

Jika anda melihat kesilapan dalam teks, sila serlahkannya dan tekan Ctrl+Enter

Keadaan keserenjangan vektor

Vektor adalah berserenjang jika dan hanya jika hasil darab titiknya ialah sifar.

Dua vektor a(xa;ya) dan b(xb;yb) diberi. Vektor ini akan berserenjang jika ungkapan xaxb + yayb = 0.

Vektor adalah selari jika hasil silangnya ialah sifar

Persamaan garis lurus pada satah. Tugas asas pada garis lurus di atas kapal terbang.

Mana-mana garis lurus pada satah boleh diberikan oleh persamaan tertib pertama Ax + Vy + C = 0, dan pemalar A, B tidak sama dengan sifar pada masa yang sama, i.e. A2 + B2  0. Persamaan tertib pertama ini dipanggil persamaan am lurus. Bergantung kepada nilai pemalar A, B dan C kes khas berikut mungkin: - C = 0, A  0, B  0 - garisan melalui asalan - A = 0, B  0, C  0 ( By

C \u003d 0) - garis lurus selari dengan paksi Ox - B \u003d 0, A  0, C  0 (Ax + C \u003d 0) - garis lurus selari dengan paksi Oy - B \u003d C \u003d 0, A  0 - garis lurus bertepatan dengan paksi Oy - A \u003d C \u003d 0, B  0 - garis lurus bertepatan dengan paksi Lembu Persamaan garis lurus boleh diwakili dalam pelbagai bentuk bergantung pada mana-mana syarat awal yang diberikan.

Jika sekurang-kurangnya satu daripada pekali A, B, C ur-i Ax+By+C=0 ialah 0, ur-e
dipanggil tidak lengkap. Dengan bentuk persamaan garis lurus, seseorang boleh menilai kedudukannya pada
sial ohh. Kes yang mungkin:
1 C=0 L: Ax+By=0 t. O(0,0) memenuhi persamaan ini, yang bermaksud garis
melalui asal
2 A=0 L: Wu+C=0 - v-r biasa n=(0,B) berserenjang dengan paksi OX dari sini
ia berikutan bahawa garis itu selari dengan paksi-x
3 V \u003d 0 L: Ay + C \u003d 0 0 - normal v-r n \u003d (A, 0) berserenjang dengan paksi OY dari sini
ia berikutan bahawa garis itu selari dengan paksi-y
4 A=0, C=0 L: Oleh=0(y=0(L=OX
5 B=0, C=0 L: Ax=0(x=0(L=OY
6 A (0, B (0, C (0 L; - tidak melalui asalan dan bersilang
kedua-dua paksi.

Persamaan lurus　di dalam kapal terbang melalui dua mata yang diberikan dan:

Sudut antara satah.

Pengiraan penentu

Pengiraan penentu adalah berdasarkan sifatnya yang diketahui, yang digunakan untuk penentu semua pesanan. Sifat-sifat ini ialah:

1. Jika anda menyusun semula dua baris (atau dua lajur) penentu, maka penentu akan menukar tanda.

2. Jika elemen sepadan dua lajur (atau dua baris) penentu adalah sama atau berkadar, maka penentu adalah sama dengan sifar.

3. Nilai penentu tidak akan berubah jika baris dan lajur ditukar, mengekalkan susunannya.

4. Jika semua elemen mana-mana baris (atau lajur) mempunyai faktor sepunya, maka ia boleh dikeluarkan daripada tanda penentu.

5. Nilai penentu tidak akan berubah jika elemen yang sepadan bagi baris (atau lajur) lain ditambah pada elemen satu baris (atau lajur), didarab dengan nombor yang sama.

Matriks dan tindakan ke atas mereka

Matriks- objek matematik yang ditulis sebagai jadual segi empat tepat nombor (atau unsur gelang) dan membenarkan operasi algebra (penambahan, penolakan, pendaraban, dll.) di antaranya dan objek lain yang serupa. Biasanya matriks diwakili oleh jadual dua dimensi (segi empat tepat). Kadangkala matriks multidimensi atau matriks bukan segi empat tepat dipertimbangkan.

Matriks biasanya dilambangkan huruf besar abjad Latin dan peruntukkan dengan kurungan "(...)" (terdapat juga pilihan dalam kurungan"[…]" atau dua garis lurus "||…||").

Nombor yang membentuk matriks (elemen matriks) selalunya dilambangkan dengan huruf yang sama dengan matriks itu sendiri, tetapi huruf kecil (contohnya, a11 ialah unsur matriks A).

Setiap elemen matriks mempunyai 2 subskrip (aij) - "i" pertama menunjukkan bilangan baris di mana elemen itu terletak, dan "j" kedua ialah nombor lajur. Mereka menyebut "matriks dimensi", bermakna matriks mempunyai m baris dan n lajur. Sentiasa dalam matriks yang sama

Operasi matriks

Biarkan aij ialah unsur matriks A dan bij ialah unsur matriks B.

Operasi linear:

Pendaraban matriks A dengan nombor λ (notasi: λA) terdiri daripada membina matriks B, unsur-unsurnya diperoleh dengan mendarab setiap unsur matriks A dengan nombor ini, iaitu setiap unsur matriks B adalah sama. kepada

Penambahan matriks A + B ialah operasi mencari matriks C, yang kesemua unsurnya adalah sama dengan jumlah berpasangan semua unsur yang sepadan bagi matriks A dan B, iaitu setiap unsur matriks C adalah sama dengan

Penolakan matriks A − B ditakrifkan sama seperti penambahan, ia adalah operasi mencari matriks C yang unsur-unsurnya

Penambahan dan penolakan hanya dibenarkan untuk matriks yang sama saiz.

Terdapat matriks sifar Θ supaya penambahannya kepada matriks A yang lain tidak mengubah A, i.e.

Semua elemen matriks sifar adalah sama dengan sifar.

Operasi tak linear:

Pendaraban matriks (notasi: AB, jarang dengan tanda pendaraban) ialah operasi untuk mengira matriks C, unsur-unsurnya adalah sama dengan hasil tambah unsur dalam baris yang sepadan bagi faktor pertama dan lajur bagi kedua.cij = ∑ aikbkj k

Pengganda pertama mesti mempunyai seberapa banyak lajur yang terdapat pada baris kedua. Jika matriks A mempunyai dimensi B - , maka dimensi hasil darabnya AB = C ialah. Pendaraban matriks bukan komutatif.

Pendaraban matriks adalah bersekutu. Hanya matriks segi empat sama boleh dinaikkan kepada kuasa.

Transposisi matriks (simbol: AT) ialah operasi di mana matriks dipantulkan sepanjang pepenjuru utama, i.e.

Jika A ialah matriks saiz, maka AT ialah matriks saiz

Derivatif fungsi kompleks

Fungsi kompleks mempunyai bentuk: F(x) = f(g(x)), i.e. ialah fungsi bagi suatu fungsi. Contohnya, y = sin2x, y = ln(x2+2x), dsb.

Jika pada titik x fungsi g (x) ialah terbitan g "(x), dan pada titik u \u003d g (x) fungsi f (u) mempunyai terbitan f" (u), maka terbitan bagi fungsi kompleks f (g (x)) dalam titik x wujud dan sama dengan f"(u)g"(x).

Derivatif fungsi tersirat

Dalam banyak masalah, fungsi y(x) ditentukan dengan cara tidak langsung. Sebagai contoh, untuk fungsi di bawah

adalah mustahil untuk mendapatkan pergantungan y(x) secara eksplisit.

Algoritma untuk mengira terbitan y "(x) bagi fungsi tersirat adalah seperti berikut:

Pertama, anda perlu membezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x, dengan mengandaikan bahawa y ialah fungsi boleh dibezakan bagi x dan menggunakan peraturan untuk mengira terbitan bagi fungsi kompleks;

Selesaikan persamaan yang terhasil berkenaan dengan terbitan y "(x).

Mari lihat beberapa contoh untuk menggambarkan.

Bezakan fungsi y(x) yang diberikan oleh persamaan.

Bezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan pembolehubah x:

yang membawa kepada hasilnya

Peraturan Lapital

Peraturan L'Hopital. Biarkan f-tion f(x) dan g(x) mempunyai dalam env. t-ki x0 pr-nye f‘ dan g‘ tidak termasuk kemungkinan t-ku x0 ini. Biarkan lim(x®Dx)=lim(x®Dx)g(x)=0 supaya f(x)/g(x) untuk x®x0 memberikan 0/0. lim(x®x0)f'(x)/g'(x) $ (4) apabila ia bertepatan dengan had nisbah fungsi lim(x®x0)f(x)/g(x)= lim (x ®x0)f'(x)/g'(x) (5)

44 .1.(Kriteria untuk monotonisitas fungsi yang mempunyai terbitan pada selang) Biarkan fungsi berterusan pada

(a,b), dan mempunyai terbitan f"(x) pada setiap titik. Kemudian

1)f bertambah sebanyak (a,b) jika dan hanya jika

2) berkurangan pada (a,b) jika dan hanya jika

2. (Keadaan yang mencukupi monotonisitas ketat fungsi yang mempunyai terbitan pada selang) Biarkan fungsi adalah selanjar pada (a,b), dan mempunyai terbitan f"(x) pada setiap titik. Kemudian

1) jika kemudian f meningkat dengan tegas pada (a,b);

2) jika kemudian f semakin berkurangan pada (a,b).

Sebaliknya secara amnya tidak benar. Terbitan bagi fungsi monotonik yang ketat boleh lenyap. Walau bagaimanapun, set titik di mana terbitan tidak sama dengan sifar mestilah padat pada selang (a,b). Lebih tepat lagi, ia berlaku.

3. (Kriteria untuk monotonisitas ketat fungsi yang mempunyai terbitan pada selang waktu) Biarkan dan terbitan f"(x) ditakrifkan di mana-mana pada selang. Kemudian f meningkat dengan tegas pada selang (a,b) jika dan hanya jika dua syarat berikut dipenuhi:

Hasil darab skalar bagi vektor. Sudut antara vektor. Keadaan selari atau keserenjang vektor.

Hasil darab skalar bagi vektor ialah hasil darab panjangnya dan kosinus sudut di antara keduanya:

Dengan cara yang sama seperti dalam planimetri, pernyataan berikut dibuktikan:

Hasil darab skalar bagi dua vektor bukan sifar adalah sifar jika dan hanya jika vektor ini berserenjang.

Kuasa dua titik bagi vektor, iaitu hasil darab titik itu sendiri dan dirinya sendiri, adalah sama dengan kuasa dua panjangnya.

Hasil darab skalar dua vektor dan diberikan oleh koordinatnya boleh dikira dengan formula

Vektor adalah berserenjang jika dan hanya jika hasil darab titiknya ialah sifar. Contoh. Diberi dua vektor dan . Vektor-vektor ini akan berserenjang jika ungkapan x1x2 + y1y2 = 0. Sudut antara vektor bukan sifar ialah sudut antara garis yang vektor ini adalah panduan. Sudut antara mana-mana vektor dan vektor sifar adalah, mengikut definisi, dianggap sama dengan sifar. Jika sudut antara vektor ialah 90°, maka vektor tersebut dipanggil serenjang. Sudut antara vektor akan dilambangkan seperti berikut: