Nombor kompleks. Menaikkan nombor kompleks kepada kuasa

Biar kami ingatkan anda maklumat yang diperlukan tentang nombor kompleks.

Nombor kompleks adalah ungkapan bentuk a + bi, Di mana a, b - nombor nyata, A i- yang dipanggil unit khayalan, simbol yang kuasa duanya sama dengan –1, iaitu i 2 = –1. Nombor a dipanggil bahagian sebenar, dan nombor b - bahagian khayalan nombor kompleks z = a + bi. Jika b= 0, maka sebaliknya a + 0i mereka hanya menulis a. Ia boleh dilihat bahawa nombor sebenar adalah kes khas nombor kompleks.

Operasi aritmetik pada nombor kompleks adalah sama seperti pada nombor nyata: ia boleh ditambah, ditolak, didarab dan dibahagikan antara satu sama lain. Penambahan dan penolakan berlaku mengikut peraturan ( a + bi) ± ( c + di) = (a ± c) + (b ± d)i, dan pendaraban mengikut peraturan ( a + bi) · ( c + di) = (ac – bd) + (iklan + bc)i(di sini ia digunakan itu i 2 = –1). Nombor = a – bi dipanggil konjugat kompleks Kepada z = a + bi. Kesaksamaan z · = a 2 + b 2 membolehkan anda memahami cara membahagi satu nombor kompleks dengan nombor kompleks lain (bukan sifar):

(Sebagai contoh, .)

Nombor kompleks mempunyai mudah dan visual perwakilan geometri: nombor z = a + bi boleh diwakili oleh vektor dengan koordinat ( a; b) pada satah Cartes(atau, yang hampir sama, titik - penghujung vektor dengan koordinat ini). Dalam kes ini, jumlah dua nombor kompleks digambarkan sebagai jumlah vektor yang sepadan (yang boleh didapati menggunakan peraturan selari). Menurut teorem Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( a; b) adalah sama dengan . Kuantiti ini dipanggil modul nombor kompleks z = a + bi dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat oleh vektor ini dengan arah positif paksi-x (dikira lawan jam) dipanggil hujah nombor kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Hujah tidak ditakrifkan secara unik, tetapi hanya sehingga penambahan gandaan 2 π radian (atau 360°, jika dikira dalam darjah) - lagipun, adalah jelas bahawa putaran dengan sudut sedemikian di sekeliling asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjang r membentuk sudut φ dengan arah positif paksi-x, maka koordinatnya adalah sama dengan ( r cos φ ; r dosa φ ). Dari sini ternyata tatatanda trigonometri nombor kompleks: z = |z| · (cos(Arg z) + i dosa (Arg z)). Selalunya mudah untuk menulis nombor kompleks dalam bentuk ini, kerana ia sangat memudahkan pengiraan. Mendarab nombor kompleks dalam bentuk trigonometri adalah sangat mudah: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i dosa (Arg z 1 + Arg z 2)) (apabila mendarab dua nombor kompleks, modulnya didarab dan hujahnya ditambah). Dari sini ikuti Formula Moivre: z n = |z|n· (cos( n· (Arg z)) + i dosa( n· (Arg z))). Menggunakan formula ini, adalah mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar dari mana-mana darjah daripada nombor kompleks. akar ijazah ke-n daripada nombor z- ini adalah nombor kompleks w, Apa w n = z. Ia adalah jelas bahawa , dan , di mana k boleh mengambil sebarang nilai daripada set (0, 1, ..., n– 1). Ini bermakna sentiasa ada yang tepat n akar n darjah ke-1 bagi nombor kompleks (pada satah ia terletak di bucu nombor biasa n-gon).

§1. Nombor kompleks

1°. Definisi. tatatanda algebra.

Definisi 1. Nombor kompleks pasangan tertib nombor nyata dipanggil Dan , jika bagi mereka konsep kesamaan, operasi tambah dan darab ditakrifkan, memenuhi aksiom berikut:

1) Dua nombor
Dan
sama jika dan hanya jika
,
, iaitu

2) Jumlah nombor kompleks
Dan

dan sama rata
, iaitu

3) Hasil darab nombor kompleks
Dan
ialah nombor yang dilambangkan dengan
dan sama, i.e.

Set nombor kompleks dilambangkan C.

Formula (2), (3) untuk nombor borang
ambil borang

dari mana ia berikutan bahawa operasi penambahan dan pendaraban untuk nombor bentuk
bertepatan dengan penambahan dan pendaraban bagi nombor nyata nombor kompleks bentuk
dikenal pasti dengan nombor nyata .

Nombor kompleks
dipanggil unit khayalan dan ditetapkan , iaitu
Kemudian daripada (3)

Daripada (2), (3)  yang bermaksud

Ungkapan (4) dipanggil tatatanda algebra nombor kompleks.

Dalam tatatanda algebra, operasi penambahan dan pendaraban mengambil bentuk:

Nombor kompleks dilambangkan dengan
,- bahagian sebenar, - bahagian khayalan, ialah nombor khayalan semata-mata. Jawatan:
,
.

Definisi 2. Nombor kompleks
dipanggil konjugasi dengan nombor kompleks
.

Sifat konjugasi kompleks.

1)

2)
.

3) Jika
, Itu
.

4)
.

5)
– nombor sebenar.

Buktinya dilakukan dengan pengiraan langsung.

Definisi 3. Nombor
dipanggil modul nombor kompleks
dan ditetapkan
.

Jelas sekali
, dan


. Formulanya juga jelas:
Dan
.

2°. Sifat operasi tambah dan darab.

1) Komutatif:
,
.

2) pergaulan:,
.

3) Pengagihan: .

Bukti 1) – 3) dijalankan dengan pengiraan langsung berdasarkan sifat serupa untuk nombor nyata.

4)
,
.

5) , C ! , memuaskan persamaan
. ini

6) ,C, 0, ! :
. ini didapati dengan mendarab persamaan dengan



.

Contoh. Mari kita bayangkan nombor kompleks
V bentuk algebra. Untuk melakukan ini, darabkan pengangka dan penyebut pecahan dengan nombor konjugat penyebutnya. Kami ada:

3°. Tafsiran geometri nombor kompleks. Bentuk trigonometri dan eksponen untuk menulis nombor kompleks.

Biar diberikan dalam kapal terbang sistem segi empat tepat koordinat Kemudian
C anda boleh memadankan satu titik pada satah dengan koordinat
.(lihat Rajah 1). Jelas sekali, surat-menyurat sedemikian adalah satu-satu. Dalam kes ini, nombor nyata terletak pada paksi absis, dan nombor khayalan semata-mata terletak pada paksi ordinat. Oleh itu, paksi absis dipanggil paksi sebenar, dan paksi ordinat − paksi khayalan. Satah di mana nombor kompleks terletak dipanggil satah kompleks.

Perhatikan bahawa Dan
adalah simetri tentang asal usul, dan Dan simetri tentang Ox.

Setiap nombor kompleks (iaitu, setiap titik pada satah) boleh dikaitkan dengan vektor dengan permulaan di titik O dan penghujung pada titik
. Korespondensi antara vektor dan nombor kompleks adalah satu dengan satu. Oleh itu, vektor sepadan dengan nombor kompleks , dilambangkan dengan huruf yang sama

D garis vektor
sepadan dengan nombor kompleks
, adalah sama
, dan
,
.

Menggunakan tafsiran vektor, kita boleh melihat bahawa vektor
− jumlah vektor Dan , A
− jumlah vektor Dan
.(lihat Rajah 2). Oleh itu, ketaksamaan berikut adalah sah: ,

Bersama dengan panjangnya vektor mari kita perkenalkan sudut antara vektor dan paksi Lembu, dikira dari arah positif paksi Lembu: jika pengiraan adalah lawan jam, maka tanda sudut dianggap positif, jika mengikut arah jam, maka ia adalah negatif. Sudut ini dipanggil hujah nombor kompleks dan ditetapkan
. Sudut tidak ditentukan dengan jelas, tetapi dengan ketepatan
… . Untuk
hujah tidak ditakrifkan.

Formula (6) mentakrifkan apa yang dipanggil tatatanda trigonometri nombor kompleks.

Daripada (5) ia berikutan bahawa jika
Dan
Itu

daripada (5)
bagaimana dengan Dan nombor kompleks ditentukan secara unik. Sebaliknya adalah tidak benar: iaitu, atas nombor kompleks modulnya ditemui secara unik, dan hujahnya , berdasarkan (7), − dengan ketepatan
. Ia juga mengikuti daripada (7) bahawa hujah boleh didapati sebagai penyelesaian kepada persamaan

Walau bagaimanapun, tidak semua penyelesaian kepada persamaan ini adalah penyelesaian kepada (7).

Di antara semua nilai hujah nombor kompleks, satu dipilih, yang dipanggil nilai utama hujah dan dilambangkan
. Biasanya nilai utama hujah dipilih sama ada dalam selang
, atau dalam selang waktu

Adalah mudah untuk melakukan operasi darab dan bahagi dalam bentuk trigonometri.

Teorem 1. Modulus hasil darab nombor kompleks Dan adalah sama dengan produk modul, dan hujah adalah jumlah hujah, i.e.

, A .

Begitu juga

,

Bukti. Biar ,. Kemudian dengan pendaraban langsung kita dapat:

Begitu juga

.■

Akibat(formula Moivre). Untuk
Formula Moivre adalah sah

P contoh. Mari kita cari lokasi geometri titik itu
. Daripada Teorem 1 ia berikutan bahawa .

Oleh itu, untuk membinanya, anda mesti membina titik terlebih dahulu , iaitu penyongsangan relatif kepada bulatan unit, dan kemudian cari titik simetri kepadanya berbanding dengan paksi Lembu.

biarlah
, mereka.
Nombor kompleks
dilambangkan dengan
, iaitu R Formula Euler adalah sah

Kerana
, Itu
,
. Daripada Teorem 1
ada apa dengan fungsi
anda boleh bekerja seperti dengan fungsi eksponen biasa, i.e. persamaan adalah sah

,
,
.

daripada (8)
tatatanda demonstratif nombor kompleks

, Di mana
,

Contoh. .

4°. Akar -kuasa ke- bagi nombor kompleks.

Pertimbangkan persamaan

biarlah
, dan penyelesaian kepada persamaan (9) dicari dalam bentuk
. Kemudian (9) mengambil borang
, dari mana kita dapati itu
,
, iaitu

,
,
.

Oleh itu, persamaan (9) mempunyai punca

Mari kita tunjukkan bahawa antara (10) ada betul-betul akar yang berbeza. sungguh,

adalah berbeza, kerana hujah mereka berbeza dan berbeza kurang daripada
. Seterusnya,
, kerana
. Begitu juga
.

Oleh itu, persamaan (9) pada
mempunyai tepat akar
, terletak di bucu biasa -segi tiga yang ditulis dalam bulatan jejari dengan pusat di t.O.

Justeru itu terbukti

Teorem 2. Pengekstrakan akar -kuasa ke- bagi nombor kompleks
Ia sentiasa boleh. Semua makna akar darjah ke- terletak di bucu yang betul -gon ditulis dalam bulatan dengan pusat pada sifar dan jejari
. Pada masa yang sama,

Akibat. Akar -kuasa ke-1 bagi 1 dinyatakan oleh formula

.

Hasil darab dua punca 1 ialah punca, 1 ialah punca -kuasa perpaduan, akar
:
.

Mari kita mulakan dengan dataran kegemaran kita.

Contoh 9

Kuadratkan nombor kompleks

Di sini anda boleh pergi dalam dua cara, cara pertama ialah menulis semula darjah sebagai hasil darab faktor dan mendarab nombor mengikut peraturan untuk mendarab polinomial.

Kaedah kedua ialah menggunakan formula sekolah yang terkenal untuk pendaraban singkatan:

Untuk nombor kompleks adalah mudah untuk memperoleh formula pendaraban singkatan anda sendiri:

Formula yang serupa boleh diperolehi untuk kuasa dua perbezaan, dan juga untuk kubus hasil tambah dan kubus perbezaan itu. Tetapi formula ini lebih relevan untuk masalah analisis yang kompleks. Bagaimana jika anda perlu menaikkan nombor kompleks kepada, katakan, kuasa ke-5, ke-10 atau ke-100? Adalah jelas bahawa hampir mustahil untuk melakukan helah sedemikian dalam bentuk algebra, fikirkan bagaimana anda akan menyelesaikan contoh seperti itu?

Dan di sini bentuk trigonometri nombor kompleks datang untuk menyelamatkan dan apa yang dipanggil Formula Moivre: Jika nombor kompleks diwakili dalam bentuk trigonometri, maka apabila ia dinaikkan kepada kuasa semula jadi, formula berikut adalah sah:

Ia hanya keterlaluan.

Contoh 10

Diberi nombor kompleks, cari.

Apa yang perlu dilakukan? Mula-mula anda perlu mewakili nombor ini dalam bentuk trigonometri. Pembaca yang penuh perhatian akan menyedari bahawa dalam Contoh 8 kita telah pun melakukan ini:

Kemudian, mengikut formula Moivre:

Allah melarang, anda tidak perlu bergantung pada kalkulator, tetapi dalam kebanyakan kes sudut harus dipermudahkan. Bagaimana untuk memudahkan? Secara kiasan, anda perlu menyingkirkan giliran yang tidak perlu. Satu pusingan ialah radian atau 360 darjah. Mari kita ketahui berapa banyak pusingan yang kita ada dalam hujah. Untuk kemudahan, kami membuat pecahan betul:, selepas itu ia menjadi jelas kelihatan bahawa anda boleh mengurangkan satu revolusi:. Saya harap semua orang faham bahawa ini adalah sudut yang sama.

Oleh itu, jawapan akhir akan ditulis seperti ini:

Variasi yang berasingan bagi masalah eksponen ialah eksponen bagi nombor khayalan semata-mata.

Contoh 12

Naikkan nombor kompleks kepada kuasa

Di sini juga, semuanya mudah, perkara utama adalah untuk mengingati persamaan yang terkenal.

Jika unit khayalan dinaikkan kepada kuasa genap, maka teknik penyelesaian adalah seperti berikut:

Jika unit khayalan dinaikkan kepada kuasa ganjil, maka kita "mencubit" satu "dan", memperoleh kuasa genap:

Jika terdapat tolak (atau sebarang pekali nyata), maka ia mesti dipisahkan dahulu:

Mengeluarkan akar daripada nombor kompleks. Persamaan kuadratik dengan punca kompleks

Mari lihat contoh:

Tidak boleh mengeluarkan akar? Jika kita bercakap tentang tentang nombor nyata, maka ia benar-benar mustahil. Ia adalah mungkin untuk mengekstrak punca nombor kompleks! Lebih tepat lagi, dua akar:

Adakah akar-akar yang ditemui benar-benar penyelesaian kepada persamaan? Mari semak:

Itu yang perlu diperiksa.

Notasi singkatan sering digunakan; kedua-dua akar ditulis pada satu baris di bawah "sikat yang sama": .

Akar ini juga dipanggil konjugasi akar kompleks.

Cara mengekstrak punca kuasa dua Daripada nombor negatif, saya rasa semua orang faham: ,,,, dll. Dalam semua kes ternyata dua konjugasi akar kompleks.